知识讲解_空间几何体的表面积和体积_基础
高考复习数学立体几何初步第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积————————————————————————————————[考纲传真]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32 cmB [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图7-2-1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7-2-2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.图7-2-2323 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.](1)某几何体的三视图如图7-2-3所示，则该几何体的表面积等于( )图7-2-3A ．8＋22B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图7-2-4A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.][规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1] (2016·全国卷Ⅲ)如图7-2-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：31222245】图7-2-5A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.](1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7-2-6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.图7-2-6(1)C (2)2 [(1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2.][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2] 一个几何体的三视图如图7-2-7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图7-2-783π [由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.]111V 的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝3 2.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.][迁移探究1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]如图，设球心为O，半径为r，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．课时分层训练(三十九)空间几何体的表面积与体积A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()【导学号：31222246】A.32π3B．4πC．2π D.4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()图7-2-8A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26πC [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )【导学号：31222247】图7-2-9A ．2 B.92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-10所示，则该四面体的表面积是()图7-2-10A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【导学号：31222248】7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-11所示，则该几何体的体积为________．图7-2-11136π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．如图7-2-12，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．图7-2-12[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，4分则V D -ABC＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D -ABC 体积最大.8分 ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.12分10．四面体ABCD 及其三视图如图7-2-13所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图7-2-13(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.5分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，8分∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图7-2-14A ．1B ．2C ．4D ．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]2．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14 [设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A -DBEV A -PBC＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h＝14.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-15，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.图7-2-15(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解] (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，P A＝PB，所以G是AB的中点.5分(2)在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影.7分理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC.又P A∩PC＝P，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.10分由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.12分。
空间几何体的表面积与体积
10mm
练习1
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来,绿意盎然.可以想象,明年将春色满院.可惜,应了“人面不知何处去,桃花依旧笑春风.”这么一句话,听者心生悲凉.他兀立庭园中,凉风撩起头上细碎の棕色发丝.眼眸深邃,依稀仿佛看到一个满心欢喜の小女人站在田边转着圈,正一脸陶醉地舒展双臂沉浸在美丽の大自然里...没过几天,何玲 又带着一个人进村看房子.先前那个说没看中,不要了,问他们什么原因结果对方挂了电筒.不怕,她手上多の是客源.可是,两人进屋不到三分钟,看房子の那个人发疯似の狂奔而出,一路上嘴里嚷嚷那屋里有鬼,把何玲气个半死.隔天又带了几位进村,结果其中两个被抬了出来.连接出事,那些对宅 子有几分兴趣の人顿时全部歇了心思.包括余岚和云大少.虽然大家口上说流言属于迷信,但事实胜于雄辩,接二连三有人中招,哪个有钱人吃了熊心豹子胆敢买一栋闹鬼の宅子？钱多扎手の话不如拿去做做善事博个好名声回来.“唉呀,真の是迷信！上回有个十九岁の女生在这里住了一年多,走 の时候脸蛋红润活蹦乱跳の！人家也是高校生,还是一个人,你们有两个怕什么？况且对面就是邻居你一喊他们就出来了,都是帅哥哦！所以外边那些讹传你们千万别信.”“知道了知道了,大姐,你不用说了,我们再考虑考虑...”“还考虑什么？过了这村没这店了,哎哎,等等.”两名女生一边往 外走,一边窃窃私语：“拍下没有？”“拍了拍了,藏在深山里の鬼屋...嘻嘻,标题不错吧？”“别说了,趁天还早赶紧出去.”“嗯嗯～”看着那两个跑得比兔子还快の姑娘,气得何玲直骂娘猛跺脚.啐,又白跑了一趟...第178部分周定康一直在安心等待何玲の消息,他现在成了打工仔不太自由, 家里负债累累全靠他一个人辛苦承担着.至于儿子の病,现在靠妻子瑞娟の娘家财产在维持.妻子是独女,老丈人夫妇去世之后,所以家产都落在他俩头上.本来可以过得很快活,可惜福无双至.妻儿先后得病,尤其是儿子多灾多难,饶是家里有金山银山也即将被花光.所以,周定康很期待村里の旧屋 能卖个好价钱.谁知一等再等,始终等不到何玲の好消息.随着日子一天天过去,他心里开始忐忑不安.前些年洪水多吓跑无数土豪,难得这两年天公作美,趁村里形势大好导致房子行情见涨,铁定能卖个好价钱.之前有人租住时,他经常听说有人想在云岭村买房子,当时蛮心动の,怎么现在连个讲价 の客户都没有了呢？万一哪天水位涨了,洪水来了...不,不会の.这天晚上,周定康下班回来又饿又累,妻子瑞娟给他热了饭菜端上来.“这两天何玲来过电筒没有？”他问道.“没有,我给她打了,她说暂时还没人有购买の意向.”瑞娟苦着脸,唉声叹气.周定康见她瘦成纸人似の,心疼之余更多の 是心烦.医生说妻子の病不会轻易复发,让她放开胸怀迎接新の人生.她却偏偏钻牛角尖出不来,天天病怏怏の,情绪影响胃口导致越吃越少结果瘦成今天这样.夫妻俩日看夜看,害得他也没了胃口.这些年来,除了在儿子面前强颜欢笑之外,一家人几乎没怎么笑过.他很怕,怕她像儿子那样又熬出新 の毛病来.那样の话,眼前住の这栋房子恐怕也不长久.“沫沫呢？睡了？”太早了吧？现在才八点多.“明天周末,她去同学家玩了.对了,这次她死活要去秋游,我看就让她去吧.春游没去她被同学笑话到现在,眼看明年就要上初中了,别让她留下遗憾,家里也不差这点钱.”瑞娟看着丈夫,说话有 气无力.呵呵,不差这点钱.“你看着办,别让孩子大手大脚の,如今不比往昔,家里困难个个省着点用...”周定康内心一阵苦涩,家里处处要用钱,每个人都摊开双手问他要钱.只有他一个人在工作,压力山大,原本挺香の饭菜刹时变得味如嚼蜡.吃过饭,他迫不及待地打电筒给何玲问个究竟.“哎唷, 大兄弟,不是我不帮,我带人去看房没十回也有七八回了.”收听那端の何玲很无奈,“每次都有人被吓病.定康,不是我说,你那房子真の是...有点邪门.”“那是谣传！”周定康急了,“姓陆の住了一年多不是好好の吗？”“有人说她本身就是个孤女,命硬,克得住,身边又有四条叩气腾腾の狗护 着所以没事.别の人怕是没那福气...”她の话把周定康噎个半死.这叫福气？分明是他晦气好吗？要不是她の怂恿,他家房子也不至于再一次丢空被人说是讲非.“先不说那个,你有没问过那些人到底犯の什么病？如果是因为房子总该有个共同点吧？”他保持理智问.他の问题让何玲稍显迟 疑,“呃,问是问过,他们...他们说,好像见到那个啥了...”她还是不敢相信.“什么那个啥？你说清楚啊！”“就是鬼啊！”何玲一急,憋在心里の那句话脱口而出.周定康默了默,“什么鬼？长什么样？”原本の焦急化为冷静.“还能什么样？脸白白眼红红那些.”提起那些东西何玲浑身发冷, 显得有些暴躁,“我就知道这么多,他们不肯多说.我说定康,这事先搁一阵吧.等过了风头我再帮你问问啊！就这样.”然后挂了电筒.黑暗中,周定康の眼神隐隐透出些狠戾之意,左手死死握紧收听,不发一语.他需要钱,太需要了！村里那套房子不值得留恋必须趁现在卖掉,哼,之前有人住の时候, 一个两个眼馋着整天追问他要不要卖.等房子空出来了,又一个两个胆小如鼠吓破胆.早知如此...没有早知,人一旦生起欲.念将无法停止,只能硬着头皮继续走下去...第二天是周末,他亲自去了一趟梅林村の何玲家,仔细询问去看房の人们の突发情况.“详细の我不大清楚,就一个敢 说了一下,其余几个吓得提都不敢提.去の时候是大白天...”好猛！何玲神色犹豫地看着周定康,“我建议你最好悄悄请个法师来看看.”呵呵,请法师？周定康笑了笑,在何玲家坐一会便走了.他独自回到云岭村,走进自己从未住过一天の房子里.由庭院进入里屋,挨个房间地看了一遍,姓陆の女 孩很爱惜房里の一切,没把它弄得乱七八糟,墙上也没贴海报啥の.不像他女儿の房间贴满了小鲜肉の海报,看得眼晕.对方很爱干净,地板连一片纸屑都没有,多日无人打理到处铺满了灰尘.厨房新净明亮,一如初建时.整栋房子の架构是他和妻子の杰作,可惜未能住上一天.他请过风水先生,请过有 名气の道士,请过大能高僧帮自己家人祈福.奈何一个个不幸の消息仍然在发生.夫妻俩の美好初衷成了一场噩梦,至今醒不来.想起躺在医馆里の儿子,他心如刀割.为什么出事の人不是他？他才是一家之主,灾福理应由他承担.儿子还那么小.“爸,妈,如果你们在天有灵,帮帮我,救救你们の孙 子...”庭院里,桃树下,一个大男人跪在屋前痛哭流涕,深深忏悔着...一直以来,有不少人劝他放手.他们说男人只要有钱不怕娶不到贤妻,不怕生不出儿子.老实说,他没有外界传の那么伟大,他曾经想过放弃给儿子治疗,只是妻子死活不肯放手.后来他偷偷去医馆做过检查,发现自己不能再生育 了.他们夫妻从来不避孕,有了就生,结果生了女儿之后一直怀不上.原以为是妻子の问题,没想到问题出在自己身上,医生说与他の生活、工作习惯有关.以前做生意多应酬,经常吸烟酗酒,休息时间不定.后来妻儿相继病倒,他心中抑郁难纾再无激情可言,又怎会有孩子呢？所以他必须救儿子,在俗 世中,绝户可是很恶毒の诅咒.第179部分云岭村の居民生活作息很有规律,中午时分基本上都喜欢睡午觉.至于在哪儿睡就不一定了,有の在河边,有の在山上,有の村里の树荫下纳凉,餐厅の服务生中午也回家休息两个小时.休闲居本身不作宣传,缺少外界有心人士の渲染,他们中午一般没什么生 意.在一阵犬吠声中,周定康进来了,腆着脸和两位店主尬聊.“晚上你们家有没动静？”德力正在洗擦盘子,闻之愕然,“没有吧？我睡得早没听到.”瞄一眼擦桌子の陆易,“你习惯晚睡有听见什么吗？”陆易正要摇头,忽然想起一件事来,“哦,前天晚上我是听见一些,”在周定康紧张の注视下, 他说,“好像是一群高校生爬墙进屋探险,被我在楼上喊了一声吓跑了.”“高校生？肯定是灵异社团,我以前也参加过.”德力陷入回忆中,无比怀念自己往日の单纯.“什么灵异社团,是白痴社团吧？幼稚.”陆易颇不屑.“你才幼稚,世上有太多无法用科学解释の怪异现象,将来就要靠这些年轻 人の想象力去寻找答案,你别小看人.”德力一本正经道.“是,未来嘛,五十年是未来,一百年也是未来...到时候我们都成土了.”“你现在跟土有区别吗？”两人你一句我一语地辩驳反讽,无视周定康の一脸失望.他原以为休闲居の人住在附近可能听到什么,可惜一无所获.他很想查清楚自己家 里到底有什么鬼,为什么看房子の人有事,而何玲和自己却安然无恙？是真有鬼,还是有人在搞鬼？是针对他吗？为了报复？他曾经怀疑是休闲居の人,听何玲说,这些老外跟姓陆の女学生比较熟很有可能在为她出气.国外の科学技术比华夏发达很多,做出一些乡民看不透の吓人手段不奇怪.当然, 他承认自己对不起姓陆の,手段卑劣了一些.但人不为己天诛地灭,他是迫于无奈才那么做の,换成别人站在他の立场也会这么做,这是现实.“对了,你们跟陆小姐联系过吗？她现在在哪儿？之前の事我越想越愧疚,真是对不住她.”男子汉大丈夫,能屈能伸.“事情都过去了,你还提来干什么？” 德力脸上挂着招牌表情,目光似笑非笑,“人家在城里玩得乐不思蜀,住着最豪华の别墅和她の朋友到处去旅游,吃遍各地美食,哪里记得跟我们联系？”俩姑娘洒脱得很,在S市呆了不到两个礼拜就出去游山玩水了,拿着相机走到哪儿,拍到哪儿.人物极少,风景挺好,偶尔一张合照证明她俩正身临 其境惹人会心一笑.“可惜少君不在,不然铁定跟着她跑.”陆易笑笑说.“呃,”生怕两人再扯淡,周定康忙插嘴说,“能不能麻烦你们跟她联系一下？就说,我可以便宜些把房子卖给她.你们知道の,我那房子被人在外边传得那么厉害,恐怕只有她相信是假の.”“你拉倒吧.”没见过脸皮这么厚の, 德力忍不住出言讽刺,“换了以前她可能考虑考虑,现在？八辆坦克请她都不来了,你以为你是谁呀？”想撵就撵,想让她回来就回来,以为自己是伊丽莎白二世？被他一通讽刺,周定康顿时面红耳赤,好在早有心理准备仍坐得住.“听少君说她以前有心想买,”还是陆易为人忠厚,不忍心同胞太尴 尬,“后来经常被人找麻烦她就打消了念头.别说便宜些,你就算便宜一半她也未必肯要,不信你打她电筒问问.她这人怕麻烦不爱计较,你有话直说就好.”周定康忙替自己辩解,“不是我,我从来没找过她の麻烦.”唯
空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积在几何学中，空间几何体是指由点、线、面在三维空间中组成的立体物体。
每个空间几何体都有其独特的特征，其中包括表面积和体积。
表面积是指几何体外部覆盖的总面积，而体积则是指几何体所包含的最大空间。
不同类型的空间几何体有不同的表面积和体积计算公式。
下面我们将介绍几种常见的空间几何体，以及它们的表面积和体积计算方法。
一、球体球体是由一条半径相等的曲线绕着它的直径旋转一周所形成的几何体。
球体的表面积和体积计算公式如下：球体的表面积= 4πr²球体的体积= (4/3)πr³其中，r表示球的半径，π是一个常数，约等于3.14。
二、长方体长方体是由六个矩形面围成的空间几何体，它的所有侧面都是矩形。
长方体的表面积和体积计算公式如下：长方体的表面积 = 2lw + 2lh + 2wh长方体的体积 = lwh其中，l、w、h分别表示长方体的长、宽和高。
三、圆柱体圆柱体是由一个圆形的底面和与底面平行的一个曲面所组成的几何体。
圆柱体的表面积和体积计算公式如下：圆柱体的表面积= 2πr² + 2πrh圆柱体的体积= πr²h其中，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高。
四、圆锥体圆锥体是由一个圆锥面和一个圆形底面所组成的几何体。
圆锥体的表面积和体积计算公式如下：圆锥体的表面积= πr² + πrl圆锥体的体积= (1/3)πr²h其中，r表示圆锥体的底面半径，l表示圆锥体的斜高，h表示圆锥体的高。
五、正方体正方体又称为立方体，是由六个相等的正方形面围成的空间几何体。
正方体的表面积和体积计算公式如下：正方体的表面积 = 6a²正方体的体积 = a³其中，a表示正方体的边长。
除了上述所介绍的常见几何体之外，还有一些其他几何体，如圆环、圆球截面、棱锥等，它们的表面积和体积计算方法也略有不同。
总结起来，空间几何体的表面积和体积可以通过特定的公式进行计算。
空间几何体的表面积及体积计算公式
空间几何体的表面积及体积计算公式空间几何体是指在三维坐标系中存在的几何图形，包括立方体、圆锥体、圆柱体、球体等等。
对于这些几何体来说，求其表面积和体积是我们在学习空间几何时需要掌握的核心内容。
下面我们将详细介绍各种空间几何体的表面积及体积的计算公式。
一、立方体立方体是一种六个面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为立方体的边长。
二、正方体正方体是一种所有面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为正方体的边长。
三、圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥顶点和一个底面为圆形的仿射锥面构成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= πr²+πrl体积= 1/3πr²h其中，r为底面圆半径，l为母线长度，h为圆锥体的高。
四、圆柱体圆柱体是一种由平行于固定轴的两个相等且共面的圆面和它们之间的圆柱面所围成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 2πrh+2πr²体积= πr²h其中，r为底面圆半径，h为圆柱体的高。
五、球体球体是一种由所有到球心的距离等于固定半径的点所组成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 4πr²体积= 4/3πr³其中，r为球体的半径。
以上就是五种常见空间几何体的表面积及体积计算公式，希望能够对大家在学习空间几何时有所帮助。
同时，我们也需要关注其实际应用，在工程建设和生活中经常会涉及到这些几何体的计算，因此深化这些知识点的学习，将对我们未来的发展产生积极的影响。
初中数学知识归纳空间几何体的表面积和体积的计算
初中数学知识归纳空间几何体的表面积和体积的计算初中数学知识归纳：空间几何体的表面积和体积的计算在初中数学学习中，我们学习了许多与空间几何体有关的概念和计算方法。
其中，计算空间几何体的表面积和体积是最基本的技能之一。
本文将对空间几何体的表面积和体积的计算进行归纳总结。
1. 直方体的表面积和体积计算直方体是一种常见的空间几何体，它的六个面都是长方形。
我们可以通过以下公式计算直方体的表面积和体积：表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)体积 = 长 ×宽 ×高在计算过程中，需要注意长、宽、高的单位要保持一致。
例如，如果长宽高的单位是厘米，那么计算得出的表面积和体积也都应该用厘米作为单位。
2. 正方体的表面积和体积计算正方体是一种特殊的直方体，它的六个面都是正方形。
正方体的表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 ×边长^2体积 = 边长^3在计算正方体的表面积和体积时，需要注意边长的单位要保持一致。
3. 圆柱体的表面积和体积计算圆柱体是由一个圆面和一个矩形面组成的空间几何体。
我们可以通过以下公式计算圆柱体的表面积和体积：表面积= 2πr(r+h) + πr^2体积= πr^2h其中，r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高。
4. 球体的表面积和体积计算球体是一个完全由曲面构成的空间几何体，它的所有点到球心的距离都相等。
我们可以通过以下公式计算球体的表面积和体积：表面积= 4πr^2体积= (4/3)πr^3其中，r表示球体的半径。
5. 金字塔的表面积和体积计算金字塔是由一个多边形的底面和若干个三角形的侧面组成的空间几何体。
金字塔的表面积和体积计算公式如下：表面积 = 底面积 + (底边长×斜高)/2体积 = (底面积×高)/3在计算金字塔的表面积和体积时，需要注意底边长、高、斜高的单位要保持一致。
通过以上的归纳总结，我们可以掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法。
高中数学 空间几何体的表面积和体积
1、表面积：几何体表面的面积 2、体积：几何体所占空间的大小。
表面积、全面积和侧面积
• 表面积：立体图形的所能触摸到的面积之 和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ）
• 全面积 全面积是立体几何里的概念， 相对于截面积（“截面积”即切面的面积） 来说的，就是表面积总和
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公
式：S正棱台侧＝ 1∕2(c＋c.′)h′
②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为
r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝ πl(r′＋． r)
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜 高为h′，则
S正棱锥侧＝ 1∕2ch.（′ 类比三角形的面积）
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那 么
S圆锥侧＝ πrl.（类比三角形的面积）
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正棱锥＝ 侧 12ch'
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆锥 ＝ S 侧 扇 ＝ n 3l6 201 2l扇 lrl
2 第2讲 空间几何体的表面积与体积
第2讲 空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面 展开图侧面 积公式 S 圆柱侧 ＝2πrlS 圆锥侧 ＝πrlS 圆台侧＝ π(r ＋r ′)l表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧 ＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2V ＝43πR 3常用知识拓展1．正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，内切球的半径为r . (1)若球为正方体的外接球，则2R ＝3a . (2)若球为正方体的内切球，则2r ＝a . (3)若球与正方体的各棱相切，则2R ′＝2a .2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×以长为a ，宽为b 的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为( )A ．abB ．πabC ．2πabD ．2ab解析：选C.若以长边所在的直线为轴旋转，则S 侧＝2πab ，若以短边所在的直线为轴旋转，则S 侧＝2πba .所以S 圆柱侧＝2πab ，故选C.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．(2018·高考天津卷)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为____________．解析：法一：连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22，矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1，故VA 1BB 1D 1D ＝13×1×2×22＝13.法二：连接BD 1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1，V A 1BB 1D 1D＝V B A 1DD 1＋V B A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13.答案：13(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π. 答案：14π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质量检测(一))某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D. 83【解析】 (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. 【答案】 (1)B (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．1．(2019·湖南五市联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋4 5B ．12＋4 5C ．20＋2 5D ．12＋2 5解析：选A.由三视图知该几何体是一个直三棱柱，底面是直角边分别为4，2的直角三角形，高为2，所以该几何体的表面积是(2＋4＋22＋42)×2＋2×12×2×4＝20＋45，故选A.2．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )A ．1－π4B ．3＋π2C ．2＋π4D ．4解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫1×1－14×π×12＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D.空间几何体的体积(多维探究)角度一 求简单几何体的体积(1)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为____________．【解析】 (1)法一(补形法)：如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二(估值法)：由题意，知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．(2)如图，过点P 分别作PE ⊥BC 交BC 于点E ，作PF ⊥AC 交AC 于点F .由题意知PE ＝PF ＝ 3.过P 作PH ⊥平面ABC 于点H ，连接HE ，HF ，HC ，易知HE ＝HF ，则点H 在∠ACB 的平分线上，又∠ACB ＝90°，故△CEH 为等腰直角三角形．在Rt △PCE 中，PC ＝2，PE ＝3，则CE ＝1，故CH ＝2，在Rt △PCH 中，可得PH ＝2，即点P 到平面ABC 的距离为 2.【答案】 (1)B (2) 2角度二 求组合体的体积(2019·福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π12＋3 B.π12＋6 C.π3＋3 D.π3＋6【解析】 由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与圆锥拼接而成的简单组合体，如图所示．由题设得，V 四棱柱＝12×(1＋2)×2×1＝3，V 圆锥＝13π⎝⎛⎭⎫122×1＝π12，所以该几何体的体积V＝V 四棱柱＋V 圆锥＝3＋π12.故选A.【答案】 A求空间几何体的体积的常用方法1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________g.解析：长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 1＝6×6×4＝144(cm 3)，而四棱锥O -EFGH 的底面积为矩形BB 1C 1C 的面积的一半，高为AB 长的一半，所以四棱锥O -EFGH 的体积V 2＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)，所以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得几何体的体积V ＝V 1－V 2＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，则几何体的体积为____________．解析：过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°， 则V ＝V A1B 1C 1A 2B 2C ＋V C ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. 答案：6球与空间几何体的接、切问题(师生共研)(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设等边三角形ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.【答案】 (1)B (2)B处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．正四棱锥P -ABCD 的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是( ) A ．16π B ．12π C ．8πD ．4π解析：选A.设正四棱锥的外接球半径为R ，顶点P 在底面上的射影为O ，因为OA ＝12AC＝12AB 2＋BC 2＝12（22）2＋（22）2＝2，所以PO ＝P A 2－OA 2＝（22）2－22＝2.又OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，由此可知R ＝2，于是S 球＝4πR 2＝16π.2．设球O 内切于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 半径为R ，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R ，又正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27直观想象——数学文化与三视图(2019·长春市质量检测(一))《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】 如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E -ADHG ＋V 三棱柱EHG -FNM ＝2×13×3×1＋32×2＝5，故选B. 【答案】 B本题是数学文化与三视图结合，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养．(2019·郑州市第二次质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.[基础题组练]1．(2019·安徽合肥质检)已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为( )A ．5 B. 5 C ．9D ．3解析：选B.因为圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πrl ＝20π，设球的半径为R ，则4πR 2＝20π，所以R ＝5，故选B.2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C.由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A.设球的半径为R ，则由题意知球被正方体上面截得的圆的半径为4 cm ，球心到截面圆的距离为(R －2)cm ，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5，所以球的体积为4π×533＝500π3cm 3.4．(2019·福建市第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163π C.323π D ．16π解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.5．(2019·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，所以组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝⎛⎭⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.6.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1EDF 的体积为________．解析：三棱锥D 1EDF 的体积即为三棱锥F DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以V D 1EDF ＝V F DD 1E ＝13×12×1＝16.答案：167.(2017·高考江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________． 解析：设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr 3＝32. 答案：328．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面积＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π. [综合题组练]1．(2019·蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选B.根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和2的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×3＝ 2.故选B. 2．(2019·福州市质量检测)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π解析：选C.如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋（3）2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.3．(2019·福建泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸．若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于( )A ．8πB ．18πC ．24πD ．86π解析：选C.设球的半径为R .多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)．两顶点之间的距离为2R ，底面是边长为2R 的正方形，由R 2＋⎝⎛⎭⎫2R 22＝32⇒R 2＝6，故该球的表面积S ＝4πR 2＝24π.选C.4．(2019·辽宁五校协作体模考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．36B ．48C ．64D ．72解析：选B.由几何体的三视图可得几何体如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为12×3×4×4＋12×3×4×4＝48，故选B.5．(2019·洛阳市第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.6.(应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解：由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PQ 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． 故仓库的容积是312 m 3.。
体积与表面积的计算知识点总结
体积与表面积的计算知识点总结在数学和物理学中，体积和表面积是基础的计算概念。
体积是指一个物体所占据的空间大小，而表面积则描述了物体外部的相对大小。
这两个概念在科学和实际生活中都具有重要的应用。
本文将总结体积与表面积的计算知识点，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、体积的计算体积的计算方法因不同几何体而异。
下面将根据常见几何体的形状介绍其体积的计算方法。
1. 立方体与长方体立方体和长方体是最基本的几何体，它们的体积计算非常简单。
立方体的体积等于边长的立方，公式为V = a³，其中V表示体积，a表示边长。
而长方体的体积则是长度、宽度和高度的乘积，公式为V = l ×w × h，其中l、w和h分别表示长度、宽度和高度。
2. 圆柱体圆柱体的体积计算需要利用底面积和高度。
底面积可通过圆的面积公式计算得出，即A = πr²，其中π为圆周率，r为底面半径。
再将底面积乘以高度h，即可得到圆柱体的体积，公式为V = A × h = πr²h。
3. 圆锥体与圆柱体类似，圆锥体的体积计算也需要利用到底面积和高度。
底面积仍然为A = πr²，而圆锥体的体积等于底面积乘以高度再除以3，公式为V = A × h / 3 = πr²h / 3。
4. 球体球体的体积计算相对复杂一些。
球体的体积等于4/3乘以π与半径r 的立方的乘积，公式为V = (4/3) × πr³。
这个公式是由球的表面积公式导出的。
二、表面积的计算与体积类似，不同几何体的表面积计算方法也不同。
下面将介绍几种常见几何体的表面积计算方法。
1. 立方体与长方体立方体和长方体的表面积计算比较简单，可以根据各个面的尺寸进行求和。
立方体的表面积等于6倍的边长的平方，公式为A = 6a²，其中A表示表面积，a表示边长。
而长方体的表面积等于2倍的长×宽加上2倍的长×高加上2倍的宽×高，公式为A = 2lw + 2lh + 2wh，其中l、w和h分别表示长度、宽度和高度。
新高考数学复习考点知识专题讲义26---空间几何体
新高考数学复习考点知识专题讲义第26讲 空间几何体[考情分析]几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，多以小题的形式进行考查，属于中等难度． 考点一表面积与体积 核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． 2．空间几何体的体积公式 V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； V 锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．例1(1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案402π解析因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r，则母线长l＝2r.在△SAB中，cos∠ASB＝78，所以sin∠ASB＝158.因为△SAB的面积为515，即12SA·SB sin∠ASB＝12×2r×2r×158＝515，所以r2＝40，故圆锥的侧面积为πrl＝2πr2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D －BB1C1的体积为________．答案23 3解析如图，取BC的中点O，连接AO .∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2， ∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3. ∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3. 又11BB C S＝12×2×2＝2，∴11D BB C V ＝13×2×3＝233.易错提醒(1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)． (2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解． (3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．跟踪演练1(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为() A ．122πB ．12π C ．82πD ．10π 答案B解析设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．答案327解析设CD ＝DE ＝x (0<x <1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x )(1－x )＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0.∴当x ＝33时，V max ＝327. 考点二多面体与球 核心提炼解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．例2(1)已知三棱锥P －ABC 满足平面P AB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 答案64π解析 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面P AB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面P AB 上， 即球心就是△P AB 的外心，根据正弦定理AB sin ∠APB ＝2R ，解得R ＝4，所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2022·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案23π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面P AB ，如图所示，则△P AB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB 中，P A ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ， 故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π.规律方法(1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S－ABC的外接球球心O的确定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到过O1的平面ABC的垂线l，在l上找点O，使OS＝OA，点O即为三棱锥S－ABC的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．跟踪演练2(1)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π答案C解析如图所示，设球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝12，2R因为V O－ABC＝V C－AOB，而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大， 此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知P A ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．答案20π解析∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3，∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1，则43πR 31＝92π，解得R 1＝322.∵P A ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A 22＋r 21， 可得P A 2＝R 21－r 21＝102，∴P A ＝10.正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10， ∴r 2＝102， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题强化练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个()A ．等边三角形B ．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形答案A解析AO＝2A′O′＝2×32＝3，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2.在Rt△AOB中，AB＝12＋(3)2＝2，同理AC＝2，所以原△ABC是等边三角形．2．(2022·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12答案C解析设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h′，则由已知得h2＝12ah′.如图，设O为正四棱锥S－ABCD底面的中心，E为BC的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，∴h ′2＝12ah ′＋14a 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)．3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于()A.12B.13C.14D.18 答案C 解析如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长，则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形， 设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径， 则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14.4．(2022·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体的费用最少为()A ．4500元B ．4000元C ．2880元D ．2380元 答案B解析因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1000元，所以气体的费用最少为4×1000＝4000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积()A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 答案B解析由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h (h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D．2π答案C解析如图，过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－13·π·CE2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3.7．(2022·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π答案A解析如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角形ABC的边长为a.由πr2＝4π，得r＝2，则33a＝2，a＝23，OO1＝a＝2 3.在Rt△OO1A中，由勾股定理得R2＝r2＋OO21＝22＋(23)2＝16，所以S球＝4πR2＝4π×16＝64π.8．(2022·武汉调研)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝23，∠BAC＝2π3，则球O的体积为()A.32π3B．3πC.4π3D．8π答案A解析设△ABC外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，∵AB＝AC＝1，AA1＝23，∠BAC＝2π3，∴2r＝ABsin∠ACB ＝112＝2，即O1A＝1，O1O＝12AA1＝3，∴OA＝O1O2＋O1A2＝3＋1＝2，∴球O的体积V＝43π·OA3＝32π3.故选A.9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9 B.4000π27C．81πD．128π答案B解析小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h (0<h <5)，底面半径为r (0<r <5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h <53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h <5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫25－259×⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋5＝4000π27，故选B.10．已知在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为() A.36B.12C.13D.32 答案C解析∵在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等， ∴此三棱锥的外接球即以P A ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， ∵球O 的半径为1，∴正方体的边长为233，即P A ＝PB ＝PC ＝233，球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13S △P AB ×PC＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形， S △ABC ＝233，∴h ＝23，∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13. 二、多项选择题11．(2022·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值 答案AD解析由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A正确；因为水面EFGH所在四边形，从图②，图③可以看出，EF，GH长度不变，而EH，FG的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B错；假设A1C1与水面所在的平面始终平行，又A1B1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A1B1C1D1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C错；水量不变时，棱柱AEH－BFG的体积是定值，又该棱柱的高AB不变，且V AEH－BFG＝12·AE·AH·AB，所以AE·AH＝2V AEH－BFGAB，即AE·AH是定值，故D正确．12.(2022·青岛检测)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝22，A1B1＝2，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，则下列叙述正确的是()A．该四棱台的高为 3B．AA1⊥CC1C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为16π答案AD解析将四棱台补为如图所示的四棱锥P－ABCD，并取E，E1分别为BC，B1C1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O1，O，连接AC，BD，A1C1，B1D1，A1O，OE，OP，PE.由条件知A1，B1，C1，D1分别为四棱锥的侧棱P A，PB，PC，PD的中点，则P A＝2AA1＝4，OA＝2，所以OO1＝12PO＝12P A2－OA2＝3，故该四棱台的高为3，故A正确；由P A＝PC＝4，AC＝4，得△P AC为正三角形，则AA1与CC1所成角为60°，故B不正确；四棱台的斜高h′＝12PE＝12PO2＋OE2＝12×(23)2＋(2)2＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C不正确；易知OA1＝OB1＝OC1＝OD1＝O1A21＋O1O2＝2＝OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D正确．三、填空题13．(2022·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．答案1解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.答案2600π解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm2)．15．已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为________．答案82 3π解析将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R＝22，则球O的体积V＝43πR3＝823π.16．(2022·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
高考复习 第8篇 第1讲 空间几何体及其表面积与体积知识点+例题+练习 含答案
第1讲空间几何体及其表面积与体积知识梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh续表4.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√)(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(6)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为312a3.(×)[感悟·提升]两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．答案①②③规律方法解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④考点二 几何体的表面积与体积【例2】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°， △ADP ∽△BAD . (1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°， 又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DP AD ， ∠PDA ＝∠BAD ＝90°， DP ＝AD 2BA ＝(BD sin 60°)2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . ∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， 又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥底面ABCD ， 则S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋14R 2.所以三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积． 解(1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32.在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台斜高为 3 cm ，侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.考点三 球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高⇒求底面正方形的对角线长⇒由勾股定理求OA ⇒由球的表面积公式求解．(2)BC 为过底面ABC 的截面圆的直径⇒取BC 中点D ，则球心在BC 的垂直平分线上，再由对称性求解． 解析 (1)设正四棱锥的高为h ， 则13×(3)2×h ＝322，解得h ＝322. 又底面正方形的对角线长为2×3＝ 6. 所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝ 6. 故球的表面积为S 球＝4π×(6)2＝24π.(2)因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案 (1)24π (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练3】(2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若P A＝26，则△OAB的面积为________．解析根据球的内接四棱锥的性质求解．如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案3 3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋P A1最小，则最小值为________．解析 (1)折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13 S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A 1P 在几何体内部，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可． 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋P A 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3，∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8，∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋P A 1的最小值为73.答案 (1)823 (2)73规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6＝3个这样的几何体，才能拼成的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672一个棱长为6的正方体．答案 31．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则VD 1－EDF ＝VD 1－ADC ＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 16[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D 1－EDF 的体积转化为三棱锥F －DD 1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法． 【自主体验】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2.则V三棱柱＝12V四棱柱＝12S四边形BCC1B1·d＝12×4×2＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π 6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案 38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 答案 23 二、解答题 9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ， 因为AC ＝BC ，所以CD ⊥AB .因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AB . (2)解 设C 到平面APB 的距离为h ，则由题意，得AP ＝PB ＝AB ＝AC 2＋BC 2＝22， 所以PC ＝AP 2－AC 2＝2.因为CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， 所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD .由(1)得AB ⊥平面PCD ，于是由V C －APB ＝V A －PDC ＋V B －PDC ， 得13·h ·S △APB ＝13AB ·S △PDC ，所以h ＝AB ·S △PDCS △APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C 到平面APB 的距离为233.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r － 43πr 3＝53πr 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为 V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________．解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 答案 33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
空间几何体的体积与表面积比较知识点总结
空间几何体的体积与表面积比较知识点总结空间几何体是我们在数学学科中经常遇到的一类立体图形，对于不同形状的几何体，其体积和表面积的计算方法也有所不同。
本文将对常见空间几何体的体积与表面积进行比较，并总结相关知识点。
一、立方体立方体是一种六个面都是正方形的空间几何体。
它的体积计算方法很简单，即边长的立方。
而立方体的表面积则是六个面积之和，每个面的面积等于边长的平方。
因此，立方体的体积与表面积的比值为1:6。
二、长方体长方体是一种六个面都是矩形的空间几何体。
其体积的计算方法是长乘以宽乘以高，即长方体的三个边长相乘。
而长方体的表面积则是两倍长乘以宽、两倍长乘以高、两倍宽乘以高之和。
由此可知，长方体的体积与表面积的比值为1:2。
三、圆柱体圆柱体是一种底面为圆形、侧面为矩形的空间几何体。
它的体积计算方法是底面积乘以高，即底面半径的平方乘以π再乘以高。
而圆柱体的表面积则是底面积加上两倍底面积与高的乘积，即两倍底面半径的平方乘以π再加上两倍底面半径乘以π再乘以高。
因此，圆柱体的体积与表面积的比值为1:3。
四、球体球体是一种所有点到固定点的距离都相等的空间几何体。
球体的体积计算方法是四分之三乘以半径的立方乘以π，即4/3πr³。
而球体的表面积则是四倍半径的平方乘以π，即4πr²。
由此可知，球体的体积与表面积的比值为1:3。
五、锥体锥体是一种底面为圆形、侧面为三角形的空间几何体。
它的体积计算方法是底面积乘以高再除以3，即底面半径的平方乘以π再乘以高再除以3。
而锥体的表面积则是底面积加上一半底面周长乘以母线的乘积，即底面半径的平方乘以π再加上底面半径乘以π再乘以母线。
因此，锥体的体积与表面积的比值为1:4。
综上所述，不同形状的空间几何体在体积与表面积之间存在着不同的比值关系。
了解这些比值关系，有助于我们在实际问题中正确计算几何体的体积和表面积，并应用到相关的数学、物理等领域中去。
通过这篇文章希望对空间几何体的体积与表面积进行了简要总结，并帮助读者更好地理解这一知识点的重要性和应用范围。
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解34---空间几何体的表面积和体积
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题34 空间几何体的表面积和体积【考纲要求】1．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.【知识清单】知识点1．几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 知识点2．几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【考点梳理】考点一 ：几何体的面积【典例1】（2020·天津高考真题）若棱长为则该球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514-B ．512-C ．514+D ．512+ 【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==， 由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得14b a +=（负值舍去）. 故选：C.【规律方法】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【答案】【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB ，因为SAB 的面积为,l 所以221802l l ⨯==，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos,4l =因此圆锥的侧面积为2ππ.2rl l ==2．（2019·福建高三月考）已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD ，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 【答案】16π【解析】如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以△ABC 为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高.所以11323DC ⨯=,解得DC =所以4AD ==. 所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为24R π=24216ππ⨯=.【总结提升】计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 高频考点二 ：几何体的体积【典例3】（2019·北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 【典例4】（2020·江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2π【解析】正六棱柱体积为2624⨯⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π【总结提升】 （1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．（3）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（4）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.（5）三视图形式：若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”．【变式探究】1．（2020·全国高一课时练习）已知ABC ∆的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =.下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，故A 正确，B 错误； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确. 故选：AD.2.（2019·湖南高三月考（理））正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，以EFG ∆为底面作直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱），若此直三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则该直三棱柱的体积为（ ）B.2C.32D.34【答案】C【解析】如图，连接11A C ，1C D ，1AC , 1BC ,分别取11A C 、1BC 、1C D 中点M 、N 、Q ，连接MQ ，MN ，NQ ,FQ ,EN ,GM由中位线定理可得111111111//,,//,,//,222GM AC GM AC FQ AC FQ AC EN AC EN AC === 又1AC EFG ⊥平面，∴三棱柱EFG NQM —是正三棱柱2EFG S ∆==112h GM AC ===，∴三棱柱32EFG NQM V =— 答案选C【方法总结】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.高频考点三 ： 几何体的展开、折叠、切、截问题【典例5】（2020·全国高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】 设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【典例6】（2019·天津高考真题（理））已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.【答案】4π. 【解析】2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【规律方法】几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.【典例7】（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．86π B ．46πC ．26πD 6π【答案】D 【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++= 364466633R V R =∴=π==ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D.【典例8】（2019·四川高三月考（理））学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为10cm .打印所用部料密度为30.9g/cm ．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g .（π取3.14）【答案】358.5 【解析】设被挖去的正方体的棱长为xcm ，圆锥底面半径为r ，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得则10210x xh x x r h --=⇒=，解得5x =．模型的体积为(223311500105125333V r h x πππ=-=⨯⨯-=-， 因此，制作该模型所需材料质量约为5000.91251500.9125358.5g 3ππ⎛⎫⨯-=-⨯≈⎪⎝⎭． 故答案为：358.5. 【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．【典例9】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥-，则其外接球的体积为（）B ACD【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：本题选择D选项.【总结提升】解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：【变式探究】1．（2018届河南省洛阳市高三期中）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是直角三角形，其斜边4AB =， SC ⊥平面ABC ，且3SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 25π B. 20π C. 16π D. 13π 【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于43AB SC ==，，且ABC ∆是直角三角形， SC ⊥平面ABC ， ∴长方体的对角线长为∴三棱锥的外接球的半径 ∴三A.2．（2018·天津高考真题（文））如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．【答案】13【解析】如图所示，连结11A C ，交11B D 于点O ，很明显11A C ⊥平面11BDD B ，则1A O 是四棱锥的高，且111122A O A C ===，1111BDD B S BD DD =⨯==四边形，结合四棱锥体积公式可得其体积为1113323V Sh ===，故答案为13.3．（2018届河北省衡水市武邑中学高三上第三次调研）在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑M ABC-中, MA⊥平面ABC, 2MA AB BC===,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．【解析】由题意，MC为球O的直径，O∴球O的表面积为4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ，【典例10】（2017课标1，理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【变式探究】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）ABCD AC ABC ⊥ADC BD B ACD -【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：本题选择D选项.【典例11】（2018·江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正，所以该多面体的体积为21421.33⨯⨯⨯=【变式探究】（2020·山东省滨州市三模）已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，平面，则球O的表面积为__________．PA⊥,26,ABC PA BC==AB AC⊥【答案】 【解析】由于平面，所以，而，故可将补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥的外接球，也即球. 由于，设，则，所以长方体的对角设球的半径为，则所以球的表面积为. 故答案为：【典例12】（2020·山东省泰安市6月三模）已知球O是正三棱锥的外接球，，E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是_______. 【答案】45πPA ⊥ABC ,PA AB PA AC ⊥⊥AB AC ⊥P ABC -P ABC -O 26,3PA BC BC ===,AB a AC b ==2229a b BC +===O R 2R =O 2445R ππ=45πP ABC -3AB =PA =94π【解析】如图，设三棱锥的外接球半径为R ，正三角形的外接圆圆心为，因为，三角形是正三角形，为正三角形的外接圆圆心， 所以因为所以，解得，，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值，在中，故，截面面积， 故答案为：. 【总结提升】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【变式探究】1.（2020·安徽马鞍山�高三三模（文））已知正方体1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）ABC D 3AB =ABC D ABC DA =PA =3PD =()223R R +-=2R =1OD =E O OE OE Rt EDO ∆OE ==32r ==294S r ππ==94πA ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为D 【答案】D【解析】如图在正方体中1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行平面α与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形 当截面为正六边形EFNMGH 时，截面面积有最大，由题可知：21sin 45==NM ，则133611sin 6022=⨯⨯⨯⨯=EFNMGH S 故选：D2．（2020·江苏苏州�高一期末）已知在球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，则球O 的表面积为________，若P 为线段AD 的中点，则过点P 的平面截球O 所得截面面积的最小值为______．【答案】17π9π4【解析】如图，因为球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，所以12=DB R = 所以球的表面积2=417S R ππ=， 当OP ⊥球的截面，即P 为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离d OP =时最大， 此时截面圆的半径22d R r -=最小，此时截面圆的面积最小，而OP ===所以32r ==， 所以截面圆面积294S r ππ==. 故答案为：17π；94π。
空间几何体的表面积与体积讲义
空间几何体的表面积与体积讲义一、知识梳理1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh 台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2 V ＝43πR 3 注意：1(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )题组二：教材改编2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cm D.32cm 3．[]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．题组三：易错自纠4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋45．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 6．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．二、典型例题题型一：求空间几何体的表面积1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172 C ．13 D.17＋3102思维升华：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二：求空间几何体的体积命题点1：以三视图为背景的几何体的体积典例 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 命题点2：求简单几何体的体积 典例已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥C 1—B 1EDF 的体积为________．思维升华：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练 (1)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323B.163C.83D.43 (2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32题型三：与球有关的切、接问题典例 在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB.9π2 C ．6π D.32π3引申探究：1．若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．2．若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．思维升华：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．跟踪训练如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.3π2 B ．3π C.2π3 D ．2π四、反馈练习1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.(24＋2)π4＋1C.(23＋2)π4＋12D.(23＋2)π4＋1 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．303．已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，三棱锥O —ABC 的体积为43，则球O 的表面积为( )A.16π3B ．16π C.32π3 D ．32π4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．24πB ．30πC ．42πD ．60π5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋436．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P —ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P —ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．9.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将该直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．10．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则R r ＝________.11.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 12如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．2＝4－x 2，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，体积有最大值33. 13.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N —P AC 与三棱锥D —P AC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶8C ．1∶6D ．1∶314．在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B ．4πC ．8πD ．20π15．已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O —ABC 的体积为( )A.32B.233C.23D.13 16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P —BCD 的体积的最大值是________．。
高考数学总复习考点知识专题讲解37---空间几何体的表面积和体积
最新考纲：1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算 公式；2.了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式．
基础
知识回顾
1．多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所 有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
角度2：几何体的内切球
【例3－2】 (1)(2019·重庆七校联考)已知正三棱锥的
高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面
边长为( B )
A．18
B．12
C．6 3
D．4 3
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)(2019·广东七校第二次联考)在四棱锥P－ABCD中， 四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD ＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值 为_(_2_－___2_)_a．
1 2
×3×4×5－
1 3
×
1 2
×3×4×(5－2)＝
24，故选C.
2．(2019·福建泉州期中)已知一几何体的三视图如图所 示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的 体积为( B )
A．16＋8π B．136＋8π C．16＋16π D．136＋16π
[解析] 由三视图可知，该几何体是一个三棱锥与半圆
[拓展探究] (1)本例(1)改为“侧棱和底面边长都是3 2
的正四棱锥”，则其外接球的半径是___3_____． (2)本例(2)改为：底面为正三角形的直棱柱ABC－
A′B′C′的6个顶点都在球面上，且AB＝6，AA′＝12， 则球O的半径是__4__3____．
5 空间几何体的表面积和体积
1B1C1AA1D DCBO5空间几何体的表面积一、基础知识：1.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ； 它们的表面积等于 。
3.棱柱的体积 ；锥体的体积sh V 31=锥台体的体积h S S S S V ⋅+'+'=)(31台。
4.球的表面积 ；体积 。
二、基本题型：1．已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，OC=1，OA=x ，OB=y ，若x+y=4，则三棱锥O —ABC 体积的最大值是 ．2. 如图，已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为2，O 为底面正方形ABC D 的中心， 则三棱锥1-B BCO 的体积为 .3. 已知正六棱锥ABCDEF P -的底面边长为1cm ，侧面积为32cm ，则该棱锥的体积为3cm ．4．若高为3的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为 ．5．一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是 ．6．圆锥母线长为6cm ，底面直径为3cm ，在母线SA 上有一点B ，AB=2 cm ，则由A 绕圆锥侧面一周到B 点的最短距离为 ．7.一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ．)8．将一个边长为3cm 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 ． 9．.若圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为 ．10．一个底面半径和高都是R 的圆锥形密闭容器，容器中装有一些水．如果底面朝下（且水平）时水的高度为12R ，那么当底面朝上（且水平）时容器中水的高度为 ．11．.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别为1D D 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1E F B C ⊥；（3）（理）求二面角D FC E --的正切值。
空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积在我们的日常生活和学习中，空间几何体无处不在。
从简单的正方体、长方体，到复杂的球体、锥体，它们的形状各异，而了解它们的表面积与体积对于解决许多实际问题具有重要意义。
首先，咱们来聊聊什么是空间几何体的表面积。
简单来说，表面积就是几何体表面的总面积。
比如说一个正方体，它有六个完全相同的正方形面，那么这个正方体的表面积就是这六个面的面积之和。
对于长方体，其表面积的计算就稍微复杂一点。
假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么它的表面积 S ＝ 2(ab ＋ bc ＋ ac)。
为什么是这样呢？咱们可以想象把这个长方体展开，就会得到六个面，其中相对的两个面面积是相等的。
前面和后面的面积都是 ac，上面和下面的面积都是 ab，左面和右面的面积都是 bc，把它们加起来就是总的表面积。
再来说说圆柱体。
圆柱体由两个底面（圆形）和一个侧面（矩形）组成。
底面圆的面积我们都知道是πr²（r 是底面圆的半径），而侧面展开是一个矩形，其长就是底面圆的周长2πr，宽就是圆柱体的高 h，所以圆柱体的表面积 S ＝2πr² ＋2πrh。
接下来谈谈圆锥体的表面积。
圆锥体的表面积由底面积（圆形）和侧面积（扇形）组成。
底面积还是πr²，侧面积的计算就需要一点小技巧了。
我们可以把圆锥侧面展开，得到一个扇形，扇形的半径是圆锥的母线 l，弧长就是底面圆的周长2πr。
根据扇形面积的计算公式，圆锥的侧面积就是πrl，所以圆锥的表面积 S ＝πr² ＋πrl。
说完了表面积，咱们再看看空间几何体的体积。
体积就是几何体所占空间的大小。
正方体的体积很好计算，就是边长的立方，即 V ＝ a³。
长方体的体积则是长、宽、高的乘积，V ＝ abc。
圆柱体的体积公式是 V ＝πr²h，这可以理解为把圆柱体看作是由无数个同样大小的圆片堆叠而成，每个圆片的面积是πr²，高度为 h，那么总体积就是底面积乘以高。
空间几何体表面积和体积公式
空间几何体表面积和体积公式空间几何体是在三维空间中存在的物体，它们可以有不同的形状和大小。
对于任何空间几何体，我们都可以计算出它的表面积和体积。
表面积是指几何体外部的总表面面积。
不同类型的几何体有不同的计算公式。
对于立方体来说，它的表面积等于六个面的面积之和。
每个面的面积都相等，可以通过计算边长的平方来得到。
所以立方体的表面积公式为：表面积 = 6 * a^2 （其中a为边长）。
对于球体来说，它的表面积等于球的半径的平方乘以4π。
所以球体的表面积公式为：表面积= 4π * r^2 （其中r为半径）。
对于圆柱体来说，它的表面积由两个圆面和一个侧面组成。
圆柱的底面积为π * r^2，所以两个圆面的面积之和为2π * r^2。
侧面是一个矩形，它的长等于圆周长2πr，宽等于圆柱的高h。
所以圆柱体的表面积公式为：表面积= 2π * r^2 + 2πrh。
体积是指几何体所占据的空间大小。
与表面积一样，不同类型的几何体有不同的计算公式。
对于立方体来说，它的体积等于边长的立方。
所以立方体的体积公式为：体积 = a^3 （其中a为边长）。
对于球体来说，它的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方。
所以球体的体积公式为：体积= (4/3)π * r^3 （其中r为半径）。
对于圆柱体来说，它的体积等于底面积乘以高。
所以圆柱体的体积公式为：体积= π * r^2 * h （其中r为底面半径，h为高）。
除了立方体、球体和圆柱体，还有许多其他类型的空间几何体，它们的表面积和体积公式也各不相同。
想要计算某个具体几何体的表面积和体积，需要根据其特定的形状和尺寸选择相应的计算公式进行计算。
高中数学苏教版必修2讲义：第一章 1.3 空间几何体的表面积和体积
第1课时空间几何体的表面积(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱．(3)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.观察下列多面体：问题1：直棱柱的侧面展开图是什么？提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．问题2：正棱锥的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰三角形．问题3：正棱台的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰梯形．几个特殊的多面体的侧面积公式(1)S 直棱柱侧＝ch (h 为直棱柱的高)； (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(h ′为斜高)；(3)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(h ′为斜高).观察下列旋转体：问题1：圆柱的侧面展开图是什么？ 提示：以底面周长为长，高为宽的矩形． 问题2：圆锥的侧面展开图是什么？ 提示：扇形．问题3：圆台的侧面展开图是什么？ 提示：扇环．几种旋转体的侧面积公式 (1)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl ． (2)S 圆锥侧＝12cl ＝πrl ．(3)S 圆台侧＝12(c ＋c ′)h ＝π(r ＋r ′)l ．1．柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和．2．柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开． 3．柱、锥、台的侧面积之间的关系(1)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系： S 正棱柱侧――→h ′＝hc ′＝cS 正棱台侧――→c ′＝0S 正棱锥侧. (2)圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系： S 圆柱侧――→r 1＝r 2S 圆台侧――→r 1＝0S 圆锥侧.[例1] 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．[思路点拨] 由S 侧与S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．[精解详析] 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底，∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2.∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE .∴9＋(PE2)2＝PE 2.∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12. S 侧＝2S 底＝2×12＝24. ∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.[一点通] 求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为________．解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都是34，所以三棱锥 的表面积为4×34＝ 3. ★★答案★★： 32．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是________．解析：设直棱柱底面边长为a ，高为h ，则h ＝6－2＝2，a ＝2×22＝1， 所以S 棱柱侧＝4×1×2＝8. ★★答案★★：83．正四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2，求底面的边长．解：如图，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm ，在Rt △E 1FE 中，EF ＝x ＋10－x2＝5(cm)．∵E 1F ＝12 cm ，∴斜高E 1E ＝13 cm. ∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360. ∵S 表＝512 cm 2， ∴2x 2＋72x ＋360＝512. 解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2. ∴x 2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm 、12 cm.[例2] 圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？[思路点拨] 解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．[精解详析]如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100πcm2.[一点通](1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)对于与旋转体有关的组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的半径和母线长，注意方程思想的应用．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是________．解析：根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.★★答案★★：3π5．如图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆柱的底面半径为x，圆锥高h＝42－22＝23，画轴截面积图(如图)，则3 23＝2－x2.故圆锥内接圆柱的底半径x＝1.则圆柱的表面积S＝2π·12＋2π·1·3＝(2＋23)π.6．一个直角梯形的上、下底的半径和高的比为1∶2∶3，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比．解：如图所示，设上、下底的半径和高分别为x、2x、3x，则母线长l＝（2x－x）2＋（3x）2＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π(2x)2＝4πx2，S侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.1．正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．2．棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到．3．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．课下能力提升(十)1．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S侧＝πRl＝π×2×（23）2＋22＝8π.★★答案★★：8π2．正三棱锥的底面边长为a，高为33a，则此棱锥的侧面积为________．解析：如图，在正三棱锥S-ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h ′＝（33a ）2＋（36a ）2＝156a ，所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2. ★★答案★★：154a 23．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，则母线l ＝12(r ′＋r )．∴S 侧＝π(r ＋r ′)·l ＝π·2l ·l ＝2πl 2＝32π.∴l ＝4.★★答案★★：44．一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．解析：设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2，R ＝Sπ，底面周长c ＝2πR . 故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2Sπ＝4πS .★★答案★★：4πS5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.★★答案★★：1∶ 36．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2.①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2πRh ＝6，πRl ＝5，②由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ.7．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的全面积．解：设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，则SE ⊥AB ，即SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2， ∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2. ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 全＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 8.如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3＝9.3(m 2)，半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(12)2≈1.6(m 2)， 所以S 1＋S 2≈9.3＋1.6＝10.9(m 2)． 10．9×150≈1 635(朵)．答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．第2课时 空间几何体的体积观察下列几何体：问题1：你能否求出上述几何体的体积吗？ 提示：能．问题2：要求上述几何体的体积，需要知道什么？ 提示：底面积和高．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体体积：V 柱体＝Sh ．其中S 为柱体的底面积，h 为高． (2)锥体体积：V 锥体＝13Sh ．其中S 为锥体的底面积，h 为高．(3)台体体积：V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．其中S ，S ′分别为台体的两底面面积，h 为台体的高.2009年12月4日，阿迪达斯和国际足联在开普敦共同发布2010年南非世界杯官方比赛用球“JABULANI ”，“JABULANI ”源于非洲祖鲁语，意为“普天同庆”，新的比赛用球在技术上取得历史性突破，设计上融入了南非元素．问题1：根据球的形成定义，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？ 提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球． 问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？ 提示：能，只要知道球的半径即可求出．1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．1．求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要时注意分割． 2．柱体、锥体、台体之间体积公式的关系3．要求球的表面积，只需求出球的半径．4．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数．[例1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积．(2)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝ 2.求此四棱锥的体积．[思路点拨] (1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明P A ⊥底面ABCD ，再利用公式求体积．[精解详析] (1)如图，由条件知此三棱柱为正三棱柱．∵正三棱柱的面对角线AB 1＝2. ∠B 1AB ＝45°.∴AB ＝2×sin 45°＝2＝BB 1. ∴V 三棱柱＝S △ABC ·BB 1＝34×(2)2×2＝62. (2)在△P AD 中，P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2.∴P A ⊥AD ，又P A ⊥CD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ，从而P A 是底面ABCD 上的高， ∴V 四棱锥＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×12×1＝13.[一点通] 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，则该圆锥的体积为________． 解析：设圆锥侧面展开图的弧长为l ， 则l ＝240°×π×1180°＝4π3.设圆锥的底面半径为r ，则4π3＝2πr ，r ＝23.V ＝π3·⎝⎛⎭⎫232·12－49＝4π33·59＝4581π. ★★答案★★：4581π2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________．解析：设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4， 设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，V 正方体＝1，V 圆柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2·1＝4π.∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. ★★答案★★：π∶4[例2] 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．[精解详析]如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 圆台的高h ＝BC＝BD 2－（OD －AB ）2 ＝102－（6－4）2＝46(cm)，V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm 3)．[一点通] 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．3．正四棱台两底面边长为20 cm 和10 cm ，侧面积为780 cm 2，求其体积． 解：如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，连结E 1E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1，O 分别是上，下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．S 侧＝4×12×(10＋20)·E 1E ，即780＝60E 1E ，解得E 1E ＝13 (cm)．在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 (cm)，OE ＝12AB ＝10 (cm)，所以O 1O ＝E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝132－52＝12(cm)．所以V ＝13×12×(102＋202＋102×202)＝2800(cm 3).[例3] 一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2.求球的表面积．[思路点拨] 由于题中没有说明截面的位置，故需分类讨论．[精解详析] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且O 1，O 2分别为两截面圆的圆心， 则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15.即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2 500π.所以，球的表面积为2 500πcm2.(2)当截面位于球心O的两侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设O1O＝x，则OO2＝(9－x)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500πcm2.[一点通]球的截面性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面，本题利用球的截面将立体几何问题转化为平面几何问题，借助于直角三角形中的勾股定理解决问题．4．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3.解析：设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝43πR3＝43π×53＝500π3cm3.★★答案★★：500π35．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为________．解析：过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有r＝R2－⎝⎛⎭⎫R22＝32R，则球的表面积为4πR2，截面的面积为π⎝⎛⎭⎫32R2＝34πR2，所以截面的面积与球的表面积的比为34πR24πR2＝316.★★答案★★：3166．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积和体积是多少？解：设球的半径为R，则由已知得(2R)2＝32＋42＋52，故R2＝252，∴R＝522，∴S球＝4πR2＝50π，∴V球＝43πR3＝43π·(522)3＝12532π.1．求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求．2．求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．3．球的截面是一个圆面、圆心与球心的连线与截面圆垂直，且满足d ＝R 2－r 2(d 为球心到截面圆的距离)．课下能力提升(十一)1．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为________．解析：设球的半径为r ，则圆锥的底面半径是3r ，设圆锥的高为h ，则43πr 3＝13π(3r )2h ，解得h ＝49r ，所以圆锥的高与底面半径之比为427.★★答案★★：4272．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________． 解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ， 由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1， 所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π. ★★答案★★：2π3．(福建高考)三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P -ABC 的体积等于________．解析：依题意有，三棱锥P -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·|P A |＝13×34×22×3＝ 3.★★答案★★： 34．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13π(3)2(1＋1.5－1)＝32π.★★答案★★：32π5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2， 则正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.★★答案★★： 36．如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面AC 的距离为2，求该多面体的体积．解：如图，设G ，H 分别是AB ，DC 的中点，连结EG ，EB ，EC ，EH ，HG ，HB ，∵EF ∥AB ，EF ＝12AB ＝GB ，∴四边形GBFE 为平行四边形，则EG ∥FB ，同理可得EH ∥FC ，GH ∥BC ，得三棱柱EGH -FBC 和棱锥E AGHD . 依题意V E AGHD ＝13S AGHD ×2＝13×3×32×2＝3， 而V EGH FBC ＝3V B EGH ＝3×12V E BCHG ＝32V E AGHD ＝92，∴V 多面体＝V E AGHD ＋V EGH FBC ＝152.7．已知正四棱台两底面面积分别为80 cm 2和245 cm 2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm ，求正四棱台的体积．解：如图，SO ＝35，A ′O ′＝25，AO ＝752，由SO ′SO ＝A ′O ′AO ，得SO ′＝35×25752＝20.∴OO ′＝15.∴V 正四棱台＝13×15×(80＋80×245＋245)＝2 325.即正四棱台的体积为2 325 cm 3.8．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ；(2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积． 解：(1)证明：因为PH 是四棱锥P -ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ， 所以AC ⊥平面PBD ，故平面P AC ⊥平面PBD .(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°， 所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1， 可得PH ＝ 3.等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.一、空间几何体1．多面体与旋转体(1)棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体．(3)棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想．(4)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．2．直观图画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z 轴，最大区别是空间几何体的直观图有实线与虚线之分，而平面图形的直观图全为实线．二、平面的基本性质1．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈α，B∈α⇒AB⊂α公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．三个公理的主要作用(1)公理1的作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内．②用直线检验平面．(2)公理2的作用：①判定两个平面是否相交；②证明点共线．(3)公理3的作用：①确定平面；②证明点线共面．三、空间直线与直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．注意：两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种．1．证明线线平行的方法 (1)线线平行的定义；(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； (3)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ； (4)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ； (5)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .2．证明线线垂直的方法(1)线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；(2)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 四、空间直线与平面的位置关系空间中直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行． 注意：直线在平面外包括平行和相交两种关系． 1．证明线面平行的方法 (1)线面平行的定义；(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α； (3)平面与平面平行的性质：α∥β，a ⊂α⇒a ∥β. 2．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)面面平行的性质：α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β；(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β . 五、空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系有且只有平行和相交两种． 1．证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ⇒α∥β； (3)线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行．2．证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； (2)面面垂直的判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β. 3．证明空间线面平行或垂直需注意三点 (1)由已知想性质，由求证想判定； (2)适当添加辅助线(面)；(3)用定理时先明确条件，再由定理得出相应结论． 六、空间几何体的表面积和体积1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系S 正棱台侧＝12（c ＋c ′）h ′ ――→c ′＝0 S 正棱锥侧＝12ch ′――→c ＝c ′h ＝h ′S 正棱柱侧＝ch 2．圆锥、圆台、圆柱的侧面积公式间的联系S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0 S 圆锥侧＝πrl ――→r ′＝rS 圆柱侧＝2πrl 3．锥、台、柱的体积之间的联系V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ――→S 上＝0 V 锥体＝13Sh ――→S 上＝S下V 柱体＝Sh 4．球的表面积与体积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列几何体是旋转体的是________．①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． 答案：①④2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面． 答案：平行或异面3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l ＝3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r ，则S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. 答案：74．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π.答案：823π5．一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．解析：如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62，所以CO ＝2O ′C ′＝ 6.∴S △ABC ＝12×1×6＝62.答案：626．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是________．解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .答案：垂直7．已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与平面β的位置关系为________． 解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. 答案：a ∥β或a ⊂β8．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m ，则全面积的最大值为________． 解析：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πrm . ∴当r ＝πm 2（π2－π）＝m2（π－1）时，S 全有最大值πm 24（π－1）.答案：πm 24（π－1）9．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：如图设点A 为圆O 和圆K 公共弦的中点，则在Rt △OAK 中，∠OAK 为圆O 和圆K 所在的平面所成的二面角的一个平面角，即∠OAK ＝60°.由OK ＝32，可得OA ＝3，设球的半径为R ，则(3)2＋⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，解得R ＝2，因此球的表面积为4π·R 2＝16π.答案：16π10．如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ， 由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：3411．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中错误的是________．①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .解析：对于①，m ，n 均为直线，其中m ，n 平行于α，则m ，n 可以相交也可以异面，故①不正确；对于②，③，α，β还可能相交，故②，③错；对于④，m ⊥α，n ⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故④正确．答案：①②③12．若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________．解析：设球的半径为R ，圆柱、圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r ＝R ，h ＝2R ，V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，V圆锥＝13πR 2×2R ＝23πR 3，所以V 圆柱∶V 球∶V圆锥＝2πR 3∶43πR 3∶23πR 3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶113.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得ACA 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a.整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a14．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC 的体积的最大值为________．解析：记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连线OD 、OS ，易求R ＝23，又SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD 的最小值为12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC 的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33.答案：33二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是多少？解：如图，底面半径为52cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点． 依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝（52π）2＋52＝5 π2＋42. ∴圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为5π2＋42cm.16．(14分)如图所示，已知ABCD 是矩形，E 是以DC 为直径的半圆周上一点，且平面CDE ⊥平面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE .证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点，∴CE ⊥DE . 又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．(14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.18．(16分)已知等腰梯形PDCB 中(如图①)，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且DA ⊥PB .现将△P AD 沿AD 折起，使平面P AD ⊥平面ABCD (如图②)．(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA ∶V M ACB ＝2∶1.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ， 又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)由题意知P A ⊥平面ABCD ，∴平面P AB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ，。
第十八讲空间几何体表面积和体积解析版
第十八讲：空间几何体的表面积及体积【考点梳理】空间几何体的表面积与体积公式表面积体积=+2S S S 表面积侧底 =Sh V=+S S S 表面积侧底1=Sh 3V =++S S S S 下上表面积侧1=(S +S 3V 下上2=4S R π表面积34=3V R π 【典型题型讲解】考点一：空间几何体的表面积【典例例题】例1．（2022·广东深圳·一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A ．8π B ．4π C ．8 D ．4【答案】．A【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径r =2，高h =2，故其侧面积为=22228S r h πππ⨯=⨯⨯=. 故选：A例2．（2022·广东韶关·一模）已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为（ ） AB ．1CD 【答案】D【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则21222l r l r ππππ=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得221,4r l ==，则圆锥的高h 故选：D.例3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4π，圆台上､下底面圆的半径分别为1r ，2r （12r r <），则2221r r -=___________.【答案】2【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环， 所以圆台的母线长为21212π2π22ππr r r r -=-， 圆台的侧面积为()()221221212π2π222π4π2r r r r r r +⨯-=-=， 所以22212r r -=.故答案为：2例4．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O ，则圆柱的表面积与球O 的表面积之比为（ ）A ．3:4B ．1:2C ．D ．不能确定【答案】A【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为r ，其高2h r =，其外接球的半径R =，则圆柱的表面积2212226S r r r r πππ=⋅+⋅=，球O 的表面积22248S R r ππ==，则圆柱的表面积与球O 的表面积之比为3:4，故选：A .例5．（2022·广东潮州·高三期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】．C【详解】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ， 因为圆锥的侧面积是底面积的2倍， 所以22Rl R ππ=， 解得2l R =，设该圆锥的母线与底面所成角α， 则1cos 2R l α==， 所以3πα=．故选：C【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 【变式训练】1．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为___________. 【答案】12π【详解】设圆锥的母线长为l ， 因为圆锥的底面半径3r =，所以圆锥的侧面积S 3rl l ππ==，依题意可得315l ππ=，解得5l =，所以圆锥的高4h ==，所以该圆锥的体积221113412333V Sh r h πππ==⋅=⨯⨯⨯=.故答案为：12π.2．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】8π 【详解】如图所示：设CD =x ，由题意得：C B '=在C BD '中，由余弦定理得：2222cos135C B C D BD C D BD '''=+-⋅⋅，即2222x x ⎛=+- ⎝⎭，即2480x x +-=，解得2x =或4x =-（舍去）， 如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：R所以外接球的表面积为248S R ππ== ， 故答案为：8π3．（2021·广东佛山·一模）（多选）如图，已知圆锥OP 的底面半径r =，内切球的球心为1O ，外接球的球心为2O ，则下列说法正确的是（ ）A ．外接球2O 的表面积为16πB ．设内切球1O 的半径为1r ，外接球2O 的半径为2r ，则213r r =C ．过点P 作平面α截圆锥OPD ．设长方体1AC 为圆锥OP 的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为89【答案】．AD【详解】因为S rl l π==，解得2l =，即圆锥母线长为2，则高1h =， 设圆锥外接球半径为2r ，如图，则对2AOO 由勾股定理得22222AO AO OO =+，即()2222221,2r r r =+-=，外接球面积为21416S r ππ==，故A 正确；设内切球1O 的半径为11,r O D 垂直于交PA 于点D ，如图，则对222111,PDO PO DO PD =+，即()222111(2r r -=+，解得13r =，故B 项错误；过点P 作平面α截圆锥OP 的截面面积的最大时，如图，因为h r <，故恰好PAC △为等腰直角三角形时取到，点C 在圆锥底面上，12222PACS =⨯⨯=，故C 项错误；设圆锥OP 有一内接长方体，其中一个上顶点为E ，上平面中心为333,O EO r =，如图，则3333,1PO OO ==，当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大，长方体体积为()22333121,42V r V r ⎛⎫=⋅=- '⎪⎝⎭，当3r ⎛∈ ⎝时，30,V r ⎫'>∈+∞⎪⎭时，0V '<，故2max18129V ⎛=⋅= ⎝， 故D 正确， 故选：AD4.（2022·广东广州·一模）已知三棱锥-P ABC 的棱AP ，AB ，AC 两两互相垂直，AP AB AC ===以顶点P 为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________. 【答案】．43π【详解】由题设，将三棱锥-P ABC 补全为棱长为若2AD AF ==，则4PD PF ==，即,D F 在P 为球心，4为半径的球面上，且O 为底面中心，又2OA =>，4OP =>，所以，面ABC 与球面所成弧是以A 为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为π；面PBC 与与球面所成弧是以P 为圆心，4为半径且圆心角为3π的圆弧，故弧长为43π；面,PBA PCA 与球面所成弧是以P 为圆心，4为半径且圆心角为12π的圆弧，故弧长为3π；所以最长弧的弧长为43π.故答案为：43π. 5.设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.【答案】【解析】设圆锥的顶点为P ，底面圆圆心为点O ，取线段AB 的中点E ，连接OE 、PE 、OA 、OB ，因为PA PB =，OA OB =，则OE AB ⊥，PE AB ⊥，故PE = 因为PO ⊥平面OAB ，OE ⊂平面OAB ，PO OE ∴⊥， 所以，OE 为直线PO 、AB 的公垂线，故1OE =，因为112AE AB ==，OA ∴2PA ==，所以，圆锥PO 2，因此，该圆锥的侧面积为2π=.故答案为：.6.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为210R =，所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为5R =，画出轴截面如图，设圆台上底面圆的半径r ，则4r =所以球心O 到上底面的距离3h =，即圆台的高为3，所以母线长l =所以()12πS r r l =+=侧， 故选：C.考点二：空间几何体体积【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（ ）A B ．83C D ．163【答案】．C【详解】如图，设底面ABCD 中心为O ，连接,CO EO ，由几何关系知，CO EO =212233V =⨯⨯=.故选：C例2.已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】D【解析】解：如图所示：连接11CO DO ，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=， 所以AB ⊥平面1CDO ， 所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯=CDO S AB ， 故选：D例3.《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16【答案】C【解析】由题意得12EF AB =，设2EF x =，则4AB x =，BF =.过点E 、F 在平面ABFE 内分别作EM AB ⊥，FN AB ⊥，垂足分别为点M 、N ，在等腰梯形ABFE 中，因为//EF AB ，EM AB ⊥，FN AB ⊥，则四边形MNFE 为矩形， 所以，2MN EF x ==，EM FN =，因为AE BF =，EM FN =，90AME BNF ∠=∠=，所以，Rt AME Rt BNF △≌△，所以，2AB EFAM BN x -===，所以，FN ，所以等腰梯形ABFE 的面积为2242x xS +===，得1x =.所以，22EF x ==，44AB x ==，故方亭的体积为(156241633⨯⨯+=.故选：C.【方法技巧与总结】熟记几何体体积公式，能够画出几何体的直观图 【变式训练】1.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误；圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误． 故选：AC ．2．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为___________. 【答案】12π【详解】设圆锥的母线长为l ， 因为圆锥的底面半径3r =，所以圆锥的侧面积S 3rl l ππ==，依题意可得315l ππ=，解得5l =，所以圆锥的高4h ==，所以该圆锥的体积221113412333V Sh r h πππ==⋅=⨯⨯⨯=.故答案为：12π.3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若12AA AC ==，AB BC ⊥，则此球的体积为__________.【详解】解：设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ，球的半径为R ，球心为O ， 底面ABC 为直角三角形，故其外接圆圆心D 在斜边中点处，则1r =，又1211A O A D ==，在Rt OCD △中，343R V R π====球.. 4．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若12AA AC ==，AB BC ⊥，则此球的体积为__________.【详解】解：设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ，球的半径为R ，球心为O ，底面ABC 为直角三角形，故其外接圆圆心D 在斜边中点处，则1r =，又1211A O A D ==，在Rt OCD △中，343R V R π====球..5.（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，AB CD ==AC BD =BC AD ==则其外接球的体积为______.则四面体A BCD -的外接球即为此长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别x ，y ，z ，外接球半径为R 则2222225,10,13x y y z x z +=+=+=， 所以2222225,10,13x y y z x z +=+=+=,则222214(2)x y z R ++==，解得R =所以343V R π==.6．（2021·广东佛山·一模）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF 则三棱锥A BEF -的体积为（ ）A ．112 B ．14C D ．不确定7．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】8π 【详解】如图所示：设CD =x ，由题意得：C B '=在C BD '中，由余弦定理得：2222cos135C B C D BD C D BD '''=+-⋅⋅，即2222x x ⎛=+- ⎝⎭，即2480x x +-=，解得2x =或4x =-（舍去）， 如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：R所以外接球的表面积为248S R ππ== ， 故答案为：8π8．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，AB CD ==AC BD ==BC AD ==则其外接球的体积为______.【答案】则四面体A BCD -的外接球即为此长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别x ，y ，z ，外接球半径为R 则2222225,10,13x y y z x z +=+=+=， 所以2222225,10,13x y y z x z +=+=+=,则222214(2)x y z R ++==，解得2R =，所以343V R π==.9．（2022·广东清远·高三期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4AB AD AA ===，P 为1DD 的中点，过PB 的平面α分别与棱11,AA CC 交于点E ，F ，且∥AC α，则平面α截长方体所得上下两部分的体积比值为_________；所得的截面四边形PEBF 的面积为___________．【答案】3 【详解】如图，过点B 作AC 的平行线分别与,DA DC 的延长线交于G ，H ，连接,PG PH ，并分别与11,AA CC 交于E ，F ，因为AC ∥GH ，且AC ⊄平面PGH ，GH 平面PGH所以AC ∥平面PGH ， 所以平面PGH 即平面α．因为12,4AB AD AA ===，所以1AE =，所以1(12)222442224,3324-+⨯⨯⨯-==⨯⨯⨯===上下下B ADPE V V V V ．因为四边形PEBF 为菱形，且==EF PB所以12=⨯=PEBF S EF PB故答案为：3；【巩固练习】 一、单选题1．已知圆锥的高为1 ）A ．2B ．52CD ．3【答案】D【解析】如图ABC 是圆锥的轴截面，由题意母线=BC 1CO =，则1sin 2CBO ∠=<，CBO ∠是锐角， 所以30CBO ∠<，于是得轴截面顶角12090ACB ∠>>， 设截面三角形的顶角为θ，则过此圆锥顶点的截面面积21sin 2S θ=⨯，当两条母线夹角为90θ=时，截面面积为2132S =⨯=为所求面积最大值，故选：D.2．若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ） A．B．C．(2D．(2【答案】C【解析】根据题意过顶点S 和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示： 所以4SE SF EF ===，60E F ∠=∠=，所以2EO =，SO 11A ACC 为矩形，设1AA x =，所以11AC AC =，所以11A O =所以111AO SO EO SO =，即111AO SO AA EO SO-=，即22=，解得(2x =. 故选：C.3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）A ．43B ．43πC ．83D ．83π【答案】D【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为2，所以圆锥的体积为2182233ππ⨯⨯⨯=.故选：D4．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 【答案】D【解析】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r ，()R r R <， 则21r π=π⨯，24R π=π⨯，解得12r =，2R =． 所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1cm 和4cm ，腰长为3cm ， 即1,4,3AD BC AB ===,过点A 作AH BC ⊥,H 为垂足，所以32BH =，AH =， 故选：D ．5．已知某圆锥的侧面积为 ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】B【解析】设该圆锥底面圆的半径为r ，则π=，故()223108r r +=，即()()229120r r -+=，解得3r = 故选：B6．正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56BC ．D ．563【答案】B【解析】如图所示，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，点1,O O 分别为上、下底面的中心，连接111,,OA O A OO ，则由题意可知1O O ⊥底面ABCD ，11OA O A ==1A 作11//A E OO 交AO 于点E ，则AE ⊥底面ABCD ，四边形11OEA O为矩形，11OE O A =AE =12AA =，所以11A E O O ==，(221423V =⨯+=故选：B.7．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约为2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯ C ．931.410m ⨯ D ．931.610m ⨯【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ． 棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯+'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ． 二、多选题8．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 【答案】BCD【解析】对于A ，当1BP A D ⊥时，BP 最小，由于11A B BD A D ===B ∴到直线1A D 的距离d =A 错误； 对于B ，将平面11DCB A 翻折到平面1ADA 上，如图，连接AC ，与1A D 的交点即为点P ，此时PA PC +取最小值AC ，在三角形ADC 中，135ADC ∠=,cos1352AC ==B 正确； 对于C ，由正方体的性质可得11//A D B C ，1A D ⊄平面1AB C ，1//A D ∴平面1AB C ，P ∴到平面1AB C 的距离为定值，又1AB C S 为定值，则1P AB C V -为定值，即三棱锥1B ACP -的体积不变，故C 正确；对于D ，由于1BD ⊥平面1AB C ，设1BD 与平面1AB C 交于Q 点，113BQ BD ∴==，设以B 1AB C 交线上任一点为G ，2BG ∴=QG ∴=，G ∴在以Q由于1AB C 13=， 故此圆恰好为1AB C 的内切圆，完全落在面1AB C 内，∴交线长为2π=，故D 正确． 故选：BCD.9．如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD 【解析】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥， 又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ==，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ===，3EF a =，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM SEM FM =⋅=，AC =， 则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD. 10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC 【解析】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误； 圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误． 故选：AC ．。
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空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的表面积】 要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。
要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇环的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】 要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ．圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =+棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =+． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】 要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．【思路点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。
【答案】32 cm 2 48cm 2【解析】如图，正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE ．∵OE=2 cm ，∠OPE=30°，∴4cm sin 30OEPE ==︒．因此211'44432(cm )22S Ch ==⨯⨯⨯=侧， S 表面积=S 侧+S 底=32+16=48（cm 2）．【总结升华】 求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三角形的高（称为斜高），这就需要充分利用棱锥的高、边心距（底面中心到各边的距离）和斜高所构成的直角三角形来求解．举一反三：【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 例1】【变式1】已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积。
2【变式2】 圆锥的母线长扩大到原来的n 倍，底面半径缩小为原来的1n，那么它的侧面积变为原来的（ ）A ．1倍B ．n 倍C ．2n 倍 D ．1n倍 【答案】A例2．圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
1【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r 、R ，圆锥的母线长为l ． 则有r R r R R -=，即12r R =， ∴R=2r，l =,令圆柱和圆锥的表面积分别为S 1和S 2∴2222121S S ===== 【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体．这种切接问题一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算．例3．一个直角梯形的上底、下底、高的比为1:，求由它旋转而成的圆台的上底面积，下底面积和侧面积的比．【答案】1∶4∶6【解析】如右图，设上、下底和高分别为x 、2x ，则母线2l x ==，∴S 上底=πx 2，S 下底=π(2x)2=4πx 2，S 侧=π(x+2x)2x=6πx 2．∴圆台的上、下底面积及侧面积之比为1∶4∶6．【总结升华】解题的关键是利用轴截面是等腰梯形，进而化为直角梯形、直角三角形，从而将上、下底半径、高、母线等集中在一个直角三角形中研究．举一反三：【变式1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？（结果中保留π） 【答案】1100π【变式2】 邻边长为a ，b 的平行四边形，且a ＞b ，分别以a ，b 两边所在直线为轴旋转这个平行四边形，所得几何体的表面积分别为S 1，S 2，则有（ ）A ．S 1＜S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1≥S 2 【答案】A类型二、简单几何体的体积例4．（2016 南通模拟）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，已知AD =1AA =1，AB =2，点E 是AB 的中点．求三棱锥1C DD E -的体积．【思路点拨】（1）11113C DDE D CDE CDE V V S DD --∆==⋅； 【答案】13【解析】由长方体性质可得，1DD ⊥平面DEC ， 所以1DD 是三棱锥1D CDE -的高， ∴三棱锥1D CDE -的体积1111112113323D CDE CDE V V S DD -∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=．【总结升华】求几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．举一反三：【变式1】（1）各棱长都为1的正四棱锥的体积V =________．（2）如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF =1，A 1E =x ，DQ =y ，DP =z （x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ）A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关【答案】（1；（2）D 【解析】从图中可以分析出，△EFQ 的面积永远不变，为面A 1B 1CD 面积的而当P 点变化时，它到面A 1B 1CD 的距离是变化的，即y 的大小，影响P 到面A 1B 1CD 的距离，因此会导致四面体体积的变化．故选D ．例5．（2015年 重庆高考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13π+ B ．23π+C ．123π+D ．223π+【答案】A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，故选A ．【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．举一反三：【变式1】 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．283π-B ．83π- C ．82π- D ．23π【答案】A【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥 所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即283π-． 类型三、球的表面积与体积例6．求体积为V 的正方体的外接球的表面积和体积．V【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）．因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可．如图，以正方体的对角面11ACC A 作球的截面，则球心O 为1AC 的中点，设正方体的棱长为x，则3,x V x=∴=，而111,AC AC=∴===R ∴=2344332S R V R Vππ∴====球球【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图．解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．举一反三：【变式1】（2015年全国Ⅱ高考）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144π D．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O—ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326O ABC C AOBV V R R R--==⨯⨯==，故R=6，则球O的表面积为24144S Rππ==，故选C．【变式2】圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是cm．【答案】4【解析】设球的半径为r cm，则底面圆的半径为r cm，从而有23248363r r r rπππ+⨯=⋅，由此解得r=4。