高中数学弧度制导学案
【B版】人教课标版高中数学必修四《弧度制和弧度制与角度制的换算》导学案-新版
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式=l rα（l 为以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定r 角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二） 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是44l r r rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602rad π= 180r a dπ=1rad 0.01745rad 180π=≈ 1801rad 5718'π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭1 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整例1、把下列各角从度化为弧度：(1)252 （2）1115' (3)30 (4)6730'变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）43π- （3）310π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：l r α=⋅扇形面积公式：12S lr =．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
高中数学《弧度制》导学案
弧度制学案一，复习回顾，温故知新1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？2. 1°的角是如何定义的？二，探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时:（1）分别计算相对应的弧长.(l =nπr 180)（2）分别计算对应弧长与半径之比.思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？1,弧度的概念把 叫做1弧度(radian)的角.思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r 、3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少?思考2：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么角α的弧度数的绝对值如何计算？结论：圆心角AOB 的弧度数等于2.角度与弧度的换算思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？例1：把 67°30′化成弧度。
例2：把下列各角的弧度化为度数。
（1）125π （2）π4例3：填写下列表中特殊角的弧度数或度数。
三，达标检测1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 2．与30°角终边相同的角的集合是( )A {α|α=k ∙360°+π6,k ∈Z} B {α|α=2kπ+30°,k ∈Z }C {α|α=2k ∙360°+30°,k ∈Z }D {α|α=2kπ+π6,k ∈Z} 3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A ．403πB ．203πC ．2003πD ．4003π4．将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为 ． 四，课堂小结：1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别. 3．度与弧度的相互转换公式。
高中数学 1.1.2弧度制 精品导学案
第一章 §1.1.2 弧度制【学习目标】1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.【学习重点】理解弧度制的概念，能用弧度制表示角，并能进行角度与弧度的换算.【基础知识】1. 弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度，记做1rad. 2.角度制与弧度制的换算：∵ 360︒=2π rad, ∴180︒=π rad. ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π.'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .3.公式：α⋅=r l . 4扇形面积公式 lR S 21=,其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径. 注意几点：1.在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略,如：3表示3rad ，sin π表示πrad 角的正弦；角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系. 任意角的集合 实数集R【例题讲解】例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒oR Sl正角 零角 负角正实数 零 负实数变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）103π例3 已知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积.【达标检测】1．若α＝5 rad ，则角α的终边所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( )A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B ．ππ+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ZC ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D ．π2π+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为( )B A ．π4 B ．π2 C ．2 D ．2 4．2π5化成角度为__________．5．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为__________． 6.在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。
高中数学《弧度制》导学案
1．1.2弧度制1.角的单位制□1长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作□2弧度，通常略去不写.□3以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度数的计算：2．角度与弧度的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表3．扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l ＝□17n πr 180＝□18αr ，扇形的面积：S ＝□19n πr 2360＝□2012lr ＝□2112α·r 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )(3)用弧度表示的角都是正角．( )(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．做一做(1)(教材改编P 9T 5)在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3 cmB.20π3 cmC.10π3 cmD.50π3 cm答案 B解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l ＝|α|r ＝20π3.(2)－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．答案 －3π4 660°解析 －135°＝－135×π180＝－3π4，11π3＝113×180°＝660°.探究1弧度制的概念例1下列命题中，假命题是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题．答案D拓展提升角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．【跟踪训练1】下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案 D解析 弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．故选D.探究2 角度和弧度的换算例2 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－5π12；3.5.解 112°30′＝2252×π180＝5π8.36°＝36×π180＝π5.－5π12＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°. 3．5＝3.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)． 拓展提升用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角．【跟踪训练2】 (1)－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6(2)8π5化为度数是( )A ．278°B ．280°C ．288°D ．318°答案 (1)B (2)C解析 (1)－300°＝－300×π180＝－5π3.(2)8π5＝85×180°＝288°.探究3 用弧度制表示角的集合例3 已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．解 (1)2005°＝2005×π180rad ＝401π36rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π＋41π36 rad ， 又π<41π36<3π2，∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z )，由－5π≤2k π＋41π36<0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.拓展提升用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【跟踪训练3】 (1)将－1125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________；(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．答案 (1)－8π＋7π4 (2)见解析解析 (1)∵－1125°＝－⎝⎛⎭⎪⎫1125×π180＝－25π4， 而－25π4＝－8π＋7π4，∴－1125°＝－8π＋7π4.(2)因为终边落在OA 处的角θ＝2k π＋5π12，k ∈Z ，终边落在OB 处的角θ＝2k π－π6，k ∈Z ，所以终边落在阴影部分的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 探究4 扇形的弧长及面积公式的应用例4 (1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________cm 2；(2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？解析 (1)设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4.故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是l R ＝2(π－1)，扇形的面积是12lR ＝(π－1)R 2.答案 (1)4 (2)见解析拓展提升弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．【跟踪训练4】 已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求：(1)AB ︵的长； (2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．解 (1)∵120°＝2π3，∴AB ︵的长l ＝2π3×6＝4π.(2)S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×33×3＝93，∴弓形的面积为S 扇形AOB －S △AOB ＝12π－9 3.1.弧度制与角度制的区别与联系(1)区别①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同．(2)联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．2.角度制与弧度制换算时应注意的问题(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为名数，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3) 用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝π4弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．(5)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2k π＋30°，k ∈Z ；β＝k ·90°＋π4，k ∈Z ，都不正确.1．2145°转化为弧度数为( )A.163B.322C.16π3D.143π12答案 D解析 2145°＝2015×π180 rad ＝143π12 rad.2．α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵1 rad ≈57.30°，∴－2 rad ≈－114.60°.故α的终边在第三象限．3．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________．答案 π5，π3，7π15解析 A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则A 占总度数的33＋5＋7＝15； B 占总度数的53＋5＋7＝13； C 占总度数的73＋5＋7＝715. 三角形的内角和为π，则A 为π5，B 为π3，C 为7π15.4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．答案 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z 解析 若角α的终边落在第二象限，则2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z . 5．(1)把310°化成弧度；(2)把5π12 rad 化成角度；(3)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．解 (1)310°＝π180 rad ×310＝31π18 rad.(2)5π12 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π×5π12°＝75°. (3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12<π10<1<7π12，故α<β<γ<θ＝φ.解法二(化为角度)：β＝π10＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.A 级：基础巩固练一、选择题1．下列各式中正确的是( )A ．π＝180B ．π＝3.14C ．90°＝π2 radD ．1 rad ＝π 答案 C解析 A 选项，π rad ＝180°，故错误；B 选项，π≈3.14，故错误；C 选项，90°＝π2rad ，故正确；D 选项，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，故错误．故选C.2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形圆心角不变C ．扇形面积增大到原来的2倍D ．扇形圆心角增大到原来的2倍答案 B解析 由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.3．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－3π4 B.π4 C.3π4 D ．－π4答案 A解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－3π4.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.4．若α＝2k π－354，k ∈Z ，则角α所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵－9<－354<－8，∴－3π<－354<－3π＋π2.∴－354在第三象限，故α也在第三象限．5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3D ．2答案 C解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3r r ＝ 3.二、填空题6．将－1485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________．答案 －10π＋7π4解析 －1485°＝－1485×π180＝－33π4＝－10π＋7π4.7．扇形AOB ，半径为2 cm ，|AB |＝2 2 cm ，则AB ︵所对的圆心角弧度数为________． 答案 π2解析 ∵|AO |＝|OB |＝2，|AB |＝22，∴∠AOB ＝90°＝π2.8．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________________． 答案 2π5，9π10，7π5，19π10解析 由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.三、解答题9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β⎪⎪⎪⎭⎬⎫5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z .∵2019°＝219°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫219π180＋10π rad ，又 5π6<219π180<3π2，∴2019°∈S .10．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R .依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx .于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4.故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2·2sin1＝4sin1(cm)．故扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.B 级：能力提升练1．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ，若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，该扇形的最大面积为( )A.C 4B.C 24C.C 216D.C 22答案 C解析 设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ，则S ＝12(C －2R )R ＝－R 2＋C 2R ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －C 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫C 42，当R ＝C 4，即α＝C －2R R ＝2时，扇形的面积最大，最大面积为C 216.故选C.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇所用的时间及P ，Q 各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4. 即第一次相遇时所用的时间为4秒．P 点走过的弧长为：4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3.。
高中数学1.1.2弧度制导学案新人教A版必修4
§1.1.2 弧度制1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.2.了解角的集合与实数集R之间可以成立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.69在初中，咱们常常利用量角器量取角的大小，那么角的大小的气宇单位为何？二、新课导学※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的概念是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是如何的？问题5：角的集合与实数集R之间成立了________对应关系。
问题6：用弧度别离写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导 进程。
回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。
※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方式） （1）53π（2） （3）252º （4）11º15¹变式训练：①填表②若6-=α，则α为第几象限角？③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合___ ____.用弧度制表示终边在第四象限的角的集合__ _____.例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.变式训练 (2)：A=()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k,21ππ, B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22ππ则A 、B 之间的关系为 .※ 动手试试一、将下列弧度转化为角度：（1）12π= °；（2）－87π= ° ′； （3）613π= °；二、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ； （2）－105°= rad ； （3）37°30′= rad ；3、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则 （ ）A ．集合M 是集合N 的真子集B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包括关系4、圆的半径变成原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变 C ．扇形的面积增大到原来的2倍 D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍三、小结反思角度制与弧度制是气宇角的两种制度。
弧度制导学案
弧度制一、学习目标1.理解并掌握弧度制的定义，领会弧度制定义的合理性；2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；3.熟练地进行角度制与弧度制的换算；4.理解角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系5.通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、重点难点重点是理解弧度制的概念以及角度制与弧度制之间的换算；难点是弧度制概念的理解。
三、自学指导自学课本P6到P8内容，完成下列问题.四、新课学习：1、复习回顾1)、角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 2)、在角度制下 360n 1802r l r n S ππ==扇扇2、新课学习：弧度制的定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。
用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。
在这种规定下，圆周长所对的圆心角为π2rad,半圆所对的圆心角为π rad ，︒90=2πrad,你能继续往下推吗？请你填写书上第6页的表格。
注：1、一般地，正角的弧度数是一个正数（正实数），负角的弧度数是一个负数（负实数），零角的弧度数是零。
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
2、用角度制和弧度制度量零角，单位不同，数量相同；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同。
练习：请你填下列表格。
角度0°15°45°弧度角度 90° 270°弧度更进一步，我们可以得到：︒=180rad π'185730.57)180(101745.01801︒=︒≈︒=≈=︒ππrad radrad利用上面的方法，我们可以把任意一个角度转换成弧度，或将任意一个弧度转化成角度。
例：按照下列要求，把67°30′化成弧度。
1）精确值； 2）精确到0.001的近似值。
弧度制汇报课导学案.doc
§1.1.2弧度制【教学内容分析】(1)弧度制的定义，角度制与弧度制的转换。
(2)弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式的应用。
【学习目标】1、知识与技能(1)理解并掌握弧度制的定义；(2)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(3)熟练地进行角度制与弧度制的换算；(4)角的集合与实数集7?之间建立的一一对应关系.(5)使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性•根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制-一弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.为下一节学习三角函数做好准备.【学习重点】重点：品解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.【学习难点】难点：理解弧度制定义，弧度制的运用.【使用说明和学法指导】在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.(一)课前准备复习1：写出终边在下列位置的角的集合.(1) x轴：_________________ . (2) y轴：_______________ .(3) _________________________ 第三象限：__________________________ . (4)第一、三象限： .复习2：角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的________ 。
这种用度为单位度量角的单位制叫做角度制。
故一周等于 ____ 度，平角等于_____ 度，直角等于 _____ 度.角度制中1° = ' ,1' =60"。
弧度制导学案
弧度制导学案引言弧度制是一种用来度量角度的单位系统。
相较于我们常用的度数制，弧度制在数学、物理和工程等领域具有重要的应用。
本文档旨在介绍弧度制的定义、换算关系、使用方法以及常见应用。
一、弧度制的定义弧度制是一种用弧长来度量角度的单位系统。
定义如下：1弧度（简写为1 rad）是半径为1的圆的弧所对应的角度。
即当圆的半径为1单位长度时，弧长等于半径的角度称为1弧度。
二、弧度与度数的换算弧度制和度数制是常用的角度单位制度，它们之间的换算关系如下：1弧度 = (180/π)度1度 = (π/180)弧度其中，π是圆周率，约等于3.14159。
应用实例：1. 将60°转换为弧度。
根据换算关系可得：60°× (π/180) ≈ 1.0471 rad因此，60°约等于1.0471弧度。
2. 将2π弧度转换为度数。
根据换算关系可得：2π× (180/π) ≈ 360°因此，2π弧度约等于360°。
三、弧度的使用方法弧度制在数学和物理中常用于计算角度的大小以及相关的三角函数。
1. 弧度制在三角函数中的应用三角函数中角度的输入参数为弧度制。
常见三角函数包括：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例如，sin(π/6)表示半径为1的圆上相对于x轴正向的角度为π/6弧度的点的y轴坐标。
2. 弧度制在角速度中的应用角速度是表示物体旋转快慢的物理量，单位是弧度/秒。
例如，当一个物体以每秒2π弧度的角速度旋转时，它完成了一圈的运动。
四、弧度制的常见应用1. 计算圆的弧长和扇形面积使用弧度制可以简化圆的弧长和扇形面积的计算。
根据圆的弧长公式：弧长 = 半径×弧度根据扇形面积公式：扇形面积 = 1/2 ×半径²×弧度2. 物体的旋转学弧度制在描述和计算物体的旋转学中起着重要作用。
例如，刚体的转动惯量和角动量的计算都需要使用弧度制。
弧度制导学案
弧度制导学案一、导学目标1.了解弧度制的定义和计算方法。
2.掌握角度与弧度之间的转换关系。
3.能够在实际问题中应用弧度制进行计算。
二、知识导入在几何学和三角学中，我们通常使用度数来度量角的大小。
例如，一个圆的周长是360度。
然而，当我们涉及到复杂的几何和三角函数计算时，度数制并不是最方便的。
为了解决这个问题，数学家们引入了弧度制。
三、弧度制的定义和计算方法1. 弧度的定义：弧度是角度的一种度量方式，它是指在半径为1的圆中所对应的圆弧长度。
我们用符号“rad”表示弧度。
例如，一个完整的圆周对应的弧长是2π，所以一个完整的圆周对应的角度是360度或2π弧度。
2. 弧度的计算方法：对于任意一个角度θ，我们可以通过以下公式将其转换为弧度：弧度 = (θ×π) / 1803. 例题：将60度转换为弧度。
解答：弧度 = (60 ×π) / 180= π / 3四、角度与弧度的转换关系1. 角度转换为弧度的公式：弧度 = (θ×π) / 1802. 弧度转换为角度的公式：角度 = (弧度× 180) / π3. 例题：将π/4弧度转换为角度。
解答：角度 = (π/4 × 180) / π= 45度五、实际问题中的弧度计算除了转换角度与弧度之外，我们还可以应用弧度制进行实际问题的计算。
1. 弧长公式：在一个圆形的轨道上，当我们沿着圆的边界行进一段距离时，我们所走过的弧长即为弧度所对应的圆弧的长度。
弧长公式如下：弧长 = 弧度×半径2. 弧度与度数的比较：使用弧度制进行计算时，有时候可以更方便地进行数值比较。
例如，当我们在解决三角函数运算时，很多函数表格都是基于弧度制给出的。
六、总结通过本次学习，我们了解了弧度制的定义和计算方法，掌握了角度与弧度之间的转换关系，并学会了在实际问题中应用弧度制进行计算。
弧度制在几何学和三角学中有着广泛的应用，能够更方便地进行各种数学计算。
高中数学1.1.2弧度制 导学案
1.1.2 弧度制
［学习目标］
1.了解弧度制，领会弧度制定义的合理性； 2.能进行弧度与度的换算； 3.熟记特殊角的弧度数； 4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决有关问题.
［学习重难点］
重点：了解弧度制；能进行弧度与度的换算. 难点：弧度的概念.
［问题探究］
探究点一 弧度的概念
第1页 共4页
班级_____________组别_____________姓名_____________
正角的弧度数是一个______，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是______. 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝对值是__________. 探究点三 弧度与角度的换算
［问题探究］
探究点四 弧度制表示扇形的弧长公式与面积公式
α 是弧度数（0＜＜2）
［典例剖析］
例 2 已知半径为 5cm 的圆上，有一条弧的长是 10cm.求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数及对应的扇形面积.
反思小结 练习 2 在半径为 R 的圆中，
(1)240º的圆心角所对的弧长为 (2)面积为 2R2 的扇形的圆心角等于
； 弧度.
第3_________组别_____________姓名_____________
［自我评价］
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A.很好
B.较好
C.一般
反思
D.较差
［作业巩固］
教材第 9 页：
1.把下列角度化成弧度：
（1）22°30’
（2）－210°
（3）1200°
2.把下列弧度化成度：
（1） 12
（2） 4 3
弧度制(导学案)
《5.1.2弧度制》一：学习目标1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数二、导学指导与检测导学指导导学检测及课堂展示阅读相关材料，完成相应练习知识点一度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的，记作1°2．弧度制：(1)定义：以作为单位来度量角的单位制．1弧度记作1 rad(rad可省略不写)(2)1弧度的角：长度等于长的圆弧所对的圆心角．知识点二弧度数的计算在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系，每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应。
思考比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？答案一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．知识点三角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2三、巩固诊断：1．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．若α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A.143π B ．－143π C.718 π D ．－718π 4．在半径为10的圆中，4π3的圆心角所对弧长为( ) A.40π3 B.20π3 C.200π3 D.400π35．周长为9，圆心角为1 rad 的扇形面积为________．6已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？四、堂清、日清记录。
人教新课标版数学高一必修4导学案 弧度制
1．1.2弧度制导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？思考2长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？1．角度制和弧度制2.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？1．角度与弧度的互化2.知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？【合作探究】类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.类型二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad2．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或44．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 5．将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________．【小结作业】小结：作业：本节限时练。
秋人教A版数学必修四1.1.2《弧度制》word导学案
秋人教A版数学必修四1.1.2《弧度制》word导学案1.1.2 弧度制【学习目标】1．理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数2．掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 3．了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】弧度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一下初中所学的1的角是如何定义的？二、建构数学 1．弧度制角还可以用__________为单位进行度量，___________________________________叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。
2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半径为r的圆心角所对的弧的长为1，那么，角α的弧度数的绝对值是_________。
这里，α的正负由____________________________________决定。
3．角度制与弧度制相互换算360°＝_________rad 180°＝_________rad1°＝_________rad 1 rad＝_________°≈ _________°4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数也都有________________(即_______________)与它对应。
5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：角?的弧度数的绝对值|?|?______________ （l为弧长，r为半径）弧长公式：____________________________扇形面积公式：____________________________【典型例题】例1．把下列各角从弧度化为度。
(完整word版)高中数学弧度制导学案新人教A版必修1
弧度制-、预案 1.弧度制的定义： (1 )定义：长度等于 ______________ 所对的圆心角叫做 1弧度角，记作 _________ ,或1弧度,或1(单位可以省略不写). (2)如果一个半径为r 的圆的圆心角 所对的弧长是l ,那么a的弧度数是多少？ 角的弧度数的绝对值是：，其中，1是圆心角所对的弧长，r 是半径.2 •角度制与弧度制得互化：(1)角度化弧度：180rad360 rad ； 1rad ；(2)弧度化角度：rad度；2rad度；1rad度； (3)某些特殊角的角度数与弧度数的互化：角度制0o45o60o90o150o 180o315o弧度制62 35 43 223.弧长公式= _______________【预习自测】将下■列弧度与角度制进行互化’(3) 36° = rad ；( 5)— 105° = rad 二、导案1、 学习目标：(1).理解弧度制的意义；(2).能正确的应用弧度与角度之间的换算;(3)•记住公式| | -( I 为以.作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径)；r(4) .熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
2、教学过程问题1:度量角的大小用什么单位？1度的角是如何规定的？<思考 >:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?12(2)13£⑷-600°教学课件探究：如果一个半径为 r 的圆的圆心角a 所对的弧长是 ，那么a 的弧度数是多少 ？既然角度制和弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？ 例1、 把下列各角从弧度化为度，从度化为弧度：17 5 (1)⑵：(3) 1000128变式1把下列各角从度化为弧度，从弧度化为度：4(1)— 210o(2)1200 o(3) __3练习：若三角形的三个内角之比是 2： 3： 4,求其三个内角的弧度数.例2、请判断2是第几象限角例3、用弧度表示：(1)终边在x 轴上的角的集合 _______________________________________(2) 第一象限角的集合为 ____________________________________ ;变式 3： (1)终边在 y 轴上的角的集合 ____________________________________ ;(2)第三象限角的集合为 ______________________________________弧长及扇形面积公式：例4、知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ,,求该扇形的面积。
高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
1.3 弧度制问题导学1．角度制与弧度制的互化活动与探究1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度．迁移与应用把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π5．1．角度与弧度的互化．(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad ． 2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度即可．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．2．用弧度表示终边相同的角及区域角活动与探究2已知角α＝2 005°，(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．迁移与应用已知角α的终边与π3的终边相同，求角α3在[0,2π)内的值．(1)用弧度表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β ①首先表示β的一般形式．②然后根据区间范围讨论k 的值．③最后把k 的值代入β的一般形式求出．活动与探究3用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．迁移与应用用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．区域角的表示方法(1)要用终边相同的角的表示形式表示出以阴影部分的边界为终边的角，并注意旋转的方向及两边界角的大小顺序；(2)表达式中角度制与弧度制不能混用；(3)要分清阴影部分是否包括边界，以确定表达式中是否带“等号”．3．弧长公式及扇形面积公式的应用活动与探究4扇形AOB的周长为8 cm，圆心角为α(0＜α＜2π)．(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角α的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小．迁移与应用如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB的长；(2)弓形ACB的面积．(1)在弧度制下的弧长公式及扇形面积公式中，由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量，即用方程的思想“知二求二”．(2)求扇形的面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．当堂检测1．下列说法中，错误的是( )．A．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积为( )．A ．83π B．43C ．2π D．4π33．把－1 485°写成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )．A ．－8π＋π4B ．－8π－7π4C ．－10π－π4D ．－10π＋7π44．(1)300°化为弧度是________；(2)－5π6化为度是________；(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是________．5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角α(0＜α＜2π)．课前预习导学 【预习导引】1．(1)1360(2)1弧度的角 rad 弧度 弧度预习交流1 略预习交流2 30° 45° 120°0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π2 3．正数 负数 0预习交流3 (1)32 (2)π34．|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12lr 12|α|r 2预习交流4 (1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆．(2)π2 3π2课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：(1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8；(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°. 迁移与应用 (1)3π8rad(2)9π2rad (3)3π5rad (4)3π4rad(5)1 260° (6)－450° (7)1 035° (8)－144°活动与探究2 解：(1)2 005°＝2 005×π180＝401π36＝5×2π＋4136π.又π＜41π36＜3π2，所以α与41π36终边相同，是第三象限角．(2)与α角终边相同的角为2k π＋41π36，k ∈Z .由－5π≤2k π＋41π36＜0，可得－52－4172≤k ＜－4172.∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1.∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.迁移与应用 π9，7π9，13π9活动与探究3 解：(1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|2k π－π6<θ<2k π ＋5π12，k ∈Z .(2)图②中以OB 为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .迁移与应用 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π3≤α≤2k π＋π6，k ∈Z . (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋2π3，k ∈Z. 活动与探究4 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12(8－2r )·r ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，∴当r ＝2时，S 扇形最大取4，此时l ＝4，α＝lr＝2. 迁移与应用 (1)4π(2)12π－9 3 【当堂检测】 1．A 2．D 3．D4．(1)5π3(2)－150°(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π≤α≤5π4＋2k π，k ∈Z5．1弧度或4弧度。
【新导学案】高中数学人教版必修四：112《弧度制》(2).doc
1.1.2《弧度制》导学案【学习目标】1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度Z间的换算；3.记住公^\a\=-（/为以Q作为圆心角吋所对圆弧的长，厂为圆半径）；r4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
【重点难点】弧度与角度之间的换算；弧t公式、扇形面积公式的应用。
【学法指导】1.了解弧度制的表示方法：2.知道弧长公式和扇形面积公式.【知识链接】初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量, 是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：1、角的弧度制是如何引入的？2、为什么要引入弧度制？好处是什么？3、弧度是如何定义的？4、角度制与弧度制的区别与联系？三、提出疑惑1、平角、周角的弧度数？2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？【学习过程】（一）复习：初屮时所学的角度制，是怎么规定1°角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制一一弧度制。
＜我们规定〉 _____________________________________ 叫做］弧度的角，用符号 _____________ 表示，读作 _________ o练习：圆的半径为厂，圆弧长为2厂、3厂、工的弧所对的圆心角分别为多少？2V，思考〉：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r的园的圆心角Q所对的弧长为/,那么，角Q的弧度数的绝对值是：_____________________________________ , a 的正负由 ___________________________ 决定。
正角的弧度数是一个 ___________ ,负角的弧度数是一个 ____________ ，零角的弧度数是 __________ 」 v 说明〉：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或％〃经常省略，即只写一实数表示角的度量。
新人教A版必修四1.2《弧度制》word导学案
§1．1．2 弧度制导学案主编：段小文审核：彭小武班级姓名【学习目标】了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1、写出终边在下列位置的角的集合。
（1）x轴：；（2）y轴：。
复习2、角度制规定，将一个圆周分成份，每一份叫做度，故一周等于度，平角等于度，直角等于度。
（二）自主研讨：（预习教材P6-P9）探究一：弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，这种度量角的单位制称为。
新知：①正角的弧度数是数，负角的弧度数是数，零角的弧度数是。
②角α的弧度数的绝对值lrα=（l为弧长，r为半径）反思：① 1rad等于度，②1︒等于弧度。
试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：二、合作探究1、按要求解答下列各题：（1）把3730'︒化成弧度，（2）把35radπ化成度。
2、用弧度制表示：（1）终边在x轴上的角的集合，（2）终边在y轴上的角的集合。
3、利用弧度制证明扇形面积公式：（1）12S lR=，（2）212S Rα=。
三、交流展示1、把2230'︒化成弧度表示是（ ） A. 4π B. 8π C. 16π D. 32π 2、下午正2点时，时针和分针的夹角为（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 3、半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 rad 。
4、54π化为度表示是 。
四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1、时钟经过一小时，时针转过了( ) A. 6πrad B.－6π rad C. 12πrad D.－12πrad2、若α＝－3，则角α的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、半径为πcm ，中心角为120o的弧长为（ ） A ．cm 3π B ．cm 32π C ．cm 32π D ．cm 322π 4、若扇形的圆心角α＝2，弧长l ＝3π，则该扇形的面积S ＝（ ）A. 3πB. 32π C. 6π D. 6 B 组：1、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则（ ） A ．集合M 是集合N 的真子集 B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包含关系2、如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）A ．｛α∣120°<α<330°｝B ．｛α∣k ·360°－30°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z ｝C ．｛α∣k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋330°，k ∈Z ｝D ．｛α∣k ·180°＋120°≤α≤k ·180°＋330°，k ∈Z ｝3、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
高中数学必修4《弧度制》导学案
第一章三角函数第一节弧度制（第2课时）一、学习目标1.理解认识弧度制的概念。
2.掌握弧度制与角度制的互化。
3.学会解决弧度制相关应用题。
【重点、难点】弧度制与角度制的互化以及相关应用。
二、学习过程【情景创设】1. 在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？2. 半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角为360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？3.周角是多少度？是多少弧度？4.半圆所对圆心角是多少度？是多少弧度？【导入新课】1、弧度制：(1)1弧度的角：_______________________________；(2)记作：_____或______；(3)定义：________________________________.2、互化：3、弧度数的计算公式：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是：|α|=______.【典型例题】例1：已知圆的半径为2，则弧长为5的弧所对的圆心角α的弧度数为（）。
例2：将下列角度化为弧度，弧度化为角度.(1)75°=（），120°=（），35π=（），74π=（）.【变式拓展】1. 已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为( )A.1B.4C.1或4D.2或42.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C（C>0），该扇形的最大面积为（）。
222C C C CA. B. C. D.44162三、总结反思1.对弧度制定义及角度制与弧度制互化的四点说明(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的值.(2)用弧度与度去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的.(3)任意角的弧度数与实数的对应关系①正角：正角的弧度数是一个正数.②负角：负角的弧度数是一个负数.③零角：零角的弧度数是0.2.扇形周长及面积的最值问题的求解技巧(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l<2πr.(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值.其求法是把周长L转化为关于r的函数，但要注意r的取值范围.四、随堂检测设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角是( )。
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1.1.2弧度制
学习目标：
1、弧度制定义的理解；
2. 能够角度转化弧度，弧度转化角度，并且理解弧度与实数的对应
一、 引入
(1)、问题引入：初中角度是如何定义的.(什么是1度角？这样表示好不好？)
(2)、 直接导入：
我们都知道角采用的是60进制，但是我们数学中的数字都采用的十进制，由于进制不同，造成计算的困难，因此很有必要引入另一种表示角的方法，即弧度制。
弧度制使用圆的半径来度量角，由于半径具有一定的长度，就可以与实数相对应。
二、自学
阅读教科书P6—P7， 请回答下列问题：
1、什么是1弧度角？
2、弧度数的计算公式______________
3、把O O O O O 06090180360、、、、
分别化为弧度制如何表示？ 4、1度=________弧度；1弧度=_______度
三、讨论
1、你能说说弧度制的好处吗？
2、一个同学想写O 30，不小心写成了30，会出现什么样的错误？
四、例题(每道题讲解部分即可，其余学生练习)
1、把下列角度化为弧度表示：
①ο30②ο45③ο120④ο135⑤ο150⑥ο210⑦ο225
⑧ο240⑨ο270⑩ο300⑾ο315⑿ο330⒀ο1200-⒁ο75-
2、把下列弧度表示的角化为角度表示： ①3π②65π③34π-④12
π ⑤
92π⑥103π-⑦53π⑧3
五、交流、展示
1. 用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合。
2. 用弧度制表示终边在第一象限的角集合：___________
用弧度制表示终边在第一象限的角集合:__________
用弧度制表示终边在第一象限的角集合：___________
用弧度制表示终边在第一象限的角集合：_____________
3、半径为R 的圆中，圆心角为O 120所对的弧长为_________
六、反馈练习
1. 2弧度的角所在的象限是( )，-5弧度的角所在的象限是( )
（A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
2.用弧度制表示：终边在直线y=x 上的角的集合
3、(1)圆的半径不变，弧长变为原来的４倍，则圆心角为原来的_________倍；
(2)圆的半径变为原来的4倍，弧长不变，则该弧所对圆心角变为原来的_________倍。
4、利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)、L=R α (2)、221R S α= (3)、LR S 2
1= 其中：R 为半径，L 是弧长，α为圆心角，S 是面积
七、总结提升：
请归纳出本节课的知识点有哪些？你觉得重点应该掌握哪些？。