2019-2020学年福建省普通高中高二6月学业水平合格性考试数学试题(解析版)

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福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)word

2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz i+=，则z =( )A. 5B. 3C.D. 22.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A. 0R α∃∈，0tan 1α< B. 0R α∃∈，0tan 1α≤ C. R α∀∈，tan 1α<D. R α∀∈，tan 1α≤3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数()sin 2xf x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x -B.2cos 2sin 2x x xx +C. 22cos 2sin 2x x x x- D. 22cos 2sin 2x x x x+ 6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB. /hC. /hD. 60/km h7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A.)1,0B.)1,0C.)1,0D. ()4,08.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(3,13--⋃二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A. 是团员，且体育成绩达标 B. 是团员，且体育成绩不达标 C. 不是团员，且体育成绩达标D. 不是团员，且体育成绩不达标10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u rD. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12.已知椭圆C ：22142x y +=左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线()xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且122PF PF =，则M 的离心率为______.16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点)2,0A ，()0,1B .(1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积. 19.已知函数()321323mx mx x f x =--+3x =处有极小值.(1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值.20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：11ln 0x e x x -+>.2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz i+=，则z =( ) A. 5 B. 3C.5 D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据模长的性质求解即可.【详解】因为12i z i+=,故121i z i +===故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的运算,属于基础题. 2.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A. 0R α∃∈，0tan 1α< B. 0R α∃∈，0tan 1α≤ C. R α∀∈，tan 1α< D. R α∀∈，tan 1α≤【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定直接判断即可.【详解】命题“0R α∃∈,0tan 1α>”的否定是“R α∀∈,tan 1α≤”. 故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据渐近线公式直接得到答案.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】实数a ＞1，b ＞1，由不等式性质知a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12，即可判断出结论. 【详解】实数a ＞1，b ＞1⇒a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12. ∴a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知函数()sin 2xf x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x -B.2cos 2sin 2x x xx +C. 22cos 2sin 2x x x x- D. 22cos 2sin 2x x x x+ 【答案】C 【解析】【分析】根据分式的求导法则求解即可. 【详解】因为()sin 2x f x x =,故()()22sin 2'sin 2'2cos 2sin 2'x x x x x x x f x x x -⋅-==.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB. /hC. /hD. 60/km h【答案】A 【解析】【分析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可.【详解】由题, 100km 的航程需要100x 小时,故总的费用31100()540100f x x x x⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭.即254000()100f x x x =++.故()32222700054000'()2x f x x x x-=-=. 令'()0f x =有30x =.故当030x <<时'()0f x <,()f x 单调递减,当30x >时'()0f x >,()f x 单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为30/km h 故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际问题中最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( ) A.)1,0B.)1,0C.)1,0D. ()4,0【答案】C 【解析】【分析】求得,,A B F 的坐标表达式,再根据0AB BF ⋅=u u u r u u u r求解即可.【详解】由题,()2,0A -,()0,B b , )F.因为0AB BF ⋅=u u u r u u u r,故())2,0b b ⋅-=.即()()2224244220b b b b =⇒+=⇒-=.故22b =.1==.故F 的坐标为)1,0.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.8.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(3,13--⋃【答案】B 【解析】【分析】分()2,1x ∈--与()1,2x ∈-两种情况,根据导数与单调性的关系观察求解即可. 【详解】当()2,1x ∈--时,若()'01f x x >+则()'0f x <,此时函数单调递减,故()2,1x ∈--. 当()1,2x ∈-时,若()'01f x x >+则()'0f x >,此时函数单调递增,故()1,1x ∈-. 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与分段求解不等式的方法,属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A. 是团员，且体育成绩达标 B. 是团员，且体育成绩不达标 C. 不是团员，且体育成绩达标 D. 不是团员，且体育成绩不达标【答案】AC【解析】【分析】根据题意逐个选项判定即可.【详解】对A, 是团员,且体育成绩达标同时满足①②,满足资格. 对B , 是团员,且体育成绩不达标不满足②,不满足资格.对C, 不是团员,且体育成绩达标,故可能为班干部且体育成绩达标.满足资格. 对D, 不是团员,且体育成绩不达标一定不满足②,不满足资格. 故选：AC【点睛】本题主要考查了实际问题中的逻辑推理的运用,属于基础题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u rD. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等【答案】AC 【解析】【分析】对A,根据11//A C EF 判定即可.对B,建立空间直角坐标系证明1B D 与平面CEF 中的CF 不垂直即可. 对C, 建立空间直角坐标系计算即可.对D,判断点D 与点1B 的中点是否在平面CEF 上即可.【详解】对A,因为E ,F 分别是11A D 和11C D 的中点故11//EF A C ,故11//A C 平面CEF 成立.对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体1111ABCD A B C D -边长为2则()12,2,2B D =---u u u u r，()0,1,2FC =-u u u r .故101430B D FC ⋅=-+=≠u u u u r u u u r .故1,B D FC u u u u r u u u r不互相垂直.又CF 属于平面CEF .故1B D ⊥平面CEF 不成立.对C,同B 空间直角坐标系有()1,2,2CE =-u u u r ,112DA DD DC +-u u ur u u u r u u u r()()()()12,0,00,0,20,2,01,2,22=+-=-.故112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r 成立.对D, 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等则点D 与点1B 中点O 在平面CEF 上.连接,AC AE 易得平面CEF 即平面CAEF .又点D 与点1B 中点O 在11A ACC 上,故点O 不在平面CEF 上.故D 不成立.故选：AC【点睛】本题主要考查了空间中的线面关系和利用空间直角坐标系判定垂直的方法与空间向量的运算等.属于中档题.11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ABD 【解析】【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 对B,求导后利用恒成立问题分析即可.对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可.【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B, ()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-, 因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题.12.已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可.【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B ,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,2OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确.对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-. 又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线()xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】1y = 【解析】【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为()xf x e x =-,故()'1x f x e =-,故()0'010f e =-=,又()0001f e =-=,故()xf x e x=-在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. 故答案为：1y =【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题,属于基础题.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.【答案】32【解析】【分析】根据面的法向量与平行于面的向量垂直求解即可.【详解】由题, ()()1,2,12,,12210n a λλ⋅=-⋅-=-+-=r r ,解得32λ=.故答案为：32【点睛】本题主要考查了法向量的性质应用,属于基础题.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且12PF =，则M 的离心率为______.【答案】21- 【解析】【分析】根据抛物线与椭圆的定义转化边角关系求解即可.【详解】由抛物线的定义可知,准线为过左焦点且垂直与x 轴的直线.作1PQ F Q ⊥,则2PF PQ =, 又122PF PF =,故222211122QF PF PQ PF PF PF PQ =-=-==.故1PFQ V 为等腰直角三角形.故14PF Q π∠=,又1122PFQ PF F π∠+∠=,故124PF F π∠=.又122PF PF =,同理可得122F F PF =.故12PF F △也为等腰直角三角形.故椭圆离心率为1212221221F F c e a PF PF ====-++.21-【点睛】本题主要考查了根据抛物线与椭圆的定义与三角形中的关系求解椭圆离心率的问题,属于中档题. 16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.【答案】 (1). 2 (2). 25【解析】【分析】(1)根据PC DE ⊥与鳖臑的性质证明DE ⊥平面PAC 再求解即可.(2)根据(1)中的计算可知PC 垂直于D 所在的平面,再得出PC 垂直于E 在平面内的轨迹再计算长度即可. 【详解】(1)当E 在AC 上时,因为PA ⊥平面ABC ,故PA DE ⊥,又PC DE ⊥,故DE ⊥平面PAC . 故DE AC ⊥.又90ACB ∠=︒,D 为AB 中点,故//DE BC 所以E 为AC 中点. 故122AE AC ==. (2)取AC 中点F 则由(1)有DF ⊥平面PAC ,故PC DF ⊥,又PC DE ⊥, 设平面DEF PC G ⋂=则有PC ⊥平面DGF .故点E 的轨迹为FG .又此时2CF =,1tan 2PA PCA AC ∠==,故22sin 512PCA ∠==+.所以25sin 55FG CF PCA =⋅∠==.故答案为：(1). 2 (2).25【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与线面垂直的性质求解立体几何中的轨迹问题,需要根据垂直关系求解对应的线段长度.属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)2；(2)(),2-∞-. 【解析】【分析】(1)利用复数的乘法化简z 再根据纯虚数的定义计算即可.(2)求得()()22z m m i =-++,再根据复数的象限求得实部与虚部的范围即可. 【详解】(1)()()()()2122z mi i m m i =--=--+,由2020m m -=⎧⎨+≠⎩,得2m =.(2)由(1)知,()()22z m m i =-++, 因为复数z 在复平面上对应的点在第四象限, 所以2020m m ->⎧⎨+<⎩,解得2m <-,所以m 的取值范围为(),2-∞-.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与基本概念和几何意义.属于基础题.18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点)A ，()0,1B .(1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.【答案】(1)2212x y +=；(2)23.【分析】(1)根据椭圆的基本量求解即可.(2)联立直线与椭圆的方程,求出交点的纵坐标,再根据OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+求解即可. 【详解】(1)依题意,A ,B 分别为椭圆E 的右顶点、上顶点,E 的焦点在x 轴上.设E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,则a =1b =,所以E 的方程为2212x y +=.(2)设()11,P x y ,()22,Q x y ,不妨设12y y >, 依题意,直线l 的方程为1y x =-.由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩,得23210y y +-=, 解得113y =,21y =-, 记点()1,0为F ,则OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+1212OF y y =- 14123=⨯⨯ 23=. 所以OPQ ∆的面积为23. 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与椭圆联立求三角形面积的问题,属于中档题. 19.已知函数()321323mx mx x f x =--+在3x =处有极小值. (1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值. 【答案】(1)1；(2)()f x 的最小值为703-，最大值为113. 【解析】(1)求导后根据()'30f =求解再检验所得的值是否满足题意即可.(2) 由(1)得()2'23f x x x =--,再求得极值点列表分析函数单调性再求最值即可.【详解】(1)依题意,()223'f mx x x m =--,因为()f x 在3x =处有极小值, 所以()'3330f m =-=, 解得1m =.经检验,1m =符合题意,故m 的值为1.(2)由(1)得()2'23f x x x =--,令()'0f x =,得3x =或1x =-.当x 变化时,()'f x ,()f x 的变化情况如下表：x-4()4,1---1()1,3-3()3,44()'f x+0 -0 +()f x703-Z113]-7Z143-由上表可知,()f x 的最小值为703-； ()f x 的最大值为113. 【点睛】本题主要考查了根据函数的极值点求解参数以及求导分析函数的单调性的问题,属于中档题. 20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)36. 【解析】【分析】(1) 过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,连接BE .再分别证明PE EB ⊥与PE EA ⊥即可.(2) 分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解线面所成的角即可.【详解】(1)证明：过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,则1EF AB ==,12CD E DE CF F==-=, 连接BE ,依题意,AED ∆为等腰直角三角形,故1AE DE ==,又AE DE ⊥,故AE AB ⊥,所以222EB EA AB =+=,在四棱锥P ABCE -中,因为3PB =,1PE DE ==,所以222PE EB PB +=,故PE EB ⊥, 因为PE EA ⊥,EA EB E =I ,且,EA EB ⊂平面ABCE ,所以PE ⊥平面ABCE .(2)由(1)知,PE ⊥平面ABCE ,所以PE EA ⊥,PE EC ⊥,又AE EC ⊥,所以EA ,EC ,EP 两两垂直.以E 为原点,分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则各点坐标为：()0,0,0E ,()0,0,1P ,()1,0,0A ,()1,1,0B ,()0,2,0C , ()1,0,1PA =-u u u r ,()0,2,1=-u u u r PC ,()1,1,0BC =-uu u r,设平面PBC法向量为(),,n x y z =r,则00n PC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v,故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩, 取1y =,故()1,1,2n =r.所以3626cos ,PA n PA n PA n⋅=⨯==-u u u r ru u u r r u u u r r . 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ,则3sin cos ,6PA n θ==u u u r r .【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与建立空间直角坐标系求解线面角的问题,属于中档题.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0.【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可.【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线.则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=, 216160m ∆=+>,124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y m y y ++===-, 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y y B -==-==.圆的半径为2r =. 所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+.展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-.所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=,所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y k x x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即()22212112121210x y x y y y x y y x x x x +-+-+=, 即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-.所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：11ln 0x e x x -+>. 【答案】(1)当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求导后分0a >与0a <两种情况分析导数的正负从而求得原函数的单调性即可.(2)根据(1)中的结论,求得()f x 最小值从而得出当0x >时,1ln x x e -≤,再构造函数式证明11ln 0x e x x -+>.或构造()1ln x g x e x x -=+,求导后根据隐零点的方法证明.【详解】(1)依题意,()f x 的定义域为()0,∞+,()()'ln 1f x a x =+, 当10x e<<时,ln 10x +<；当1x e >时,ln 10x +>. ①当0a >时,若10x e <<,则()'0f x <；若1x e >,则()'0f x >. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ②当0a <时,若10x e <<,则()'0f x >；若1x e >,则()'0f x <. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上,当0a >时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)法一：由(1)知,当1a =-时,()ln f x x x =-,在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 1111ln f x e e e e f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭, 故当0x >时,1ln x x e -≤. 又当0x >时,1011x ee e -->=, 所以当0x >时,11ln x e ex x ->≥-,故1ln 0x e x x -+>,所以11ln 0x e x x -+>. (2)法二：令()1ln x g x ex x -=+,则()1'ln 1x g x e x -=++, 令()1ln 1x h x e x -=++,则()h x 为增函数,且21121210c h e e -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,111110e h e e -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭, 所以()h x 有唯一的零点0x ,0211,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以当00x x <<时,()'0g x <,()g x 为减函数；当0x x >时,()g x 为增函数.所以()()01000ln x e g x g x x x -=+≥.由(1)知,当1a =时,()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,故 ()01e f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即001ln x x e >-, 所以()()()0010111110x x g x e e e e ee ->-=->-=, 所以1ln 0x e x x -+>,故11ln 0x e x x -+>. 【点睛】本题主要考查了分类讨论求解函数的单调性问题以及利用导数求解函数单调性与最值从而证明不等式的问题.属于难题.。

2019-2020年高二学业水平考试数学试题含答案

2019-2020年高二学业水平考试数学试题含答案一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为()A.5B.4C.3D.22．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.A ．2xyB ．2yx C.2yx D ．2yx 3．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A ．2πB ．3π2C ．3πD ．4π4．已知角的终边经过点P(-3,4)，则下列计算结论中正确的是（）A ．4tan3B ．4sin5C ．3cos5D．3sin55．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为（）A ．12 B．13C ．14D．166．三个数21log ,)21(,33321c ba 的大小顺序为（） A ．a cbB ．c abC．a bcD．bac7．在等比数列n a 中，)(0*N na n且,16,464a a 则数列n a 的公比q 是（）A ．1B ．2 C．3 D ．48．设R ba,且3ba，则ba22的最小值是( ) A. 6B. 24 C. 22 D. 629．已知直线n m l 、、及平面，下列命题中的假命题是（） A.若//l m ，//m n ，则//l n . B.若l，//n ，则ln .主视图左视图俯视图C.若//l ，//n ，则//l n .D.若l m ，//m n ，则l n .10．把正弦函数R)(xsinx y 图象上所有的点向左平移6个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍，得到的函数是（）A ．y=sin 1()26xB.y=sin 1()26xC.y=sin(2)6xD.y=sin (2)3x11．不等式组131y x yx的区域面积是( )A ．12B ．52C ．32D ．112．已知圆4)1(22yx 内一点P （2，1），则过P 点最短弦所在的直线方程是（） A ．01y xB ．03y xC ．03y xD ．2x二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省2019-2020学年高二下学期6月联考数学试题+Word版含答案byde

2020年福建省高二年级6月联考数学注意事项：1.本试延卷共8页，满分150分，考试对间120分钟，2.答题前，考生务必自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置3.全部答在答题卡上完成，答在本试题卷上无效4.回答选择题时，选出每小題答案后，用2B 船笔把答題卡上对应题日的答标号涂黑，如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答标号5.考试结来后，将本试题卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1～8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的;11～12题为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足71zi i=- (i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C ，第三象限 D.第四象限2.已知X 服从三项分布:X ~1(4,)4B ,则()3P x ==( )A.164B.364C.1256D. 3256 3.设离散型随机变量X 的分布列为:则q =（）A ．12B.1-C.D.1±4.曲线ln 2y x x =-在点(12)，-处的切线方程为（）A.10x y ++=B.10x y +-=C.30x y --=D.30x y -+= 5.函数()13ln 1x x xf =++的单调道减区间是( ) A.1(,)3-∞ B. 1(0,)3 C.1(,)3+∞ D. 11(,)326.将6张不同的贺卡分给4名同学、每名同学至少1张，则不同的分法有（）A.384种B.960种C.1 560种D.1 620种7．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，先后出现点数分别为x y ，，记事件A 为4x y +>.事件B 为x y ≠，则概率(B |A)P =( )A.215 B.45 C.1315 D.568.函数()||3||21x x f x =--的大致象为（）水地9．的展开式中含的项的系数为（）A.192B.576C.600D.79210.已知函数()1(1),g()2ln f x x x x x =+>-=，若s t <，且(s)g(t)f =，则s t -的最大值为（）A.ln21-B.223ln -C.212nD.1- 11．下列结论正确的有（）A.公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有510种。

2019年6月福建省普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试题含答案

机密★2019年6月17日启用前2019年福建省普通高中学生学业基础会考数学试题考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差(n s x =+− 其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高台体体积公式()13V S S h '=+，其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积公式24S R π=，球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题45分）一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分，每小题只有一个选项符合题意）1．若集合{0,1},{1,2}A B ==，则A B ⋃=（）A ．{0,1,2}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}12．若角50α=−︒，则角α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．如图是一个底面边长为2的正三棱柱，当侧面水平放置时，它的俯视图．．．是（）A ．B ．C ．D ．4．若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =（）A ．8B ．4C ．3D ．25．一组数据3，4，5，6，7的中位数是（）A ．7B ．6C ．5D ．46．函数2sin y x =的最小值是（）A ．2−B ．1−C ．1D ．27．直径．．为2的球的表面积是（） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π8．从a ，b ，c ，d 四个字母中，随机抽取一个字母，则抽到字母a 的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．1 9．已知向量()()1,2,2,1a b ==−，则a b −=（）A ．()1,3−B ．()3,1−−C ．()1,3D ．()3,110．已知直线l 的斜率是1，且在y 轴上的截距是1−，则直线l 的方程是（）A ．1y x =−−B ．1y x =−+C ．1y x =−D ．1y x =+11．不等式220x x −>的解集是（）A ．{}|0x x <B ．{|2}x x >C ．{|02}x x <<D ．{|0,2}x x x <>或12．下列图象表示的函数中，在R 上是增函数的是（）A ．B ．C ．D ．13．不等式组0,0,20x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+−≤⎩表示的平面区域的面积是（）A ．4B ．2C ．1D ．1214．某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示．由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（）A ．2100元B ．2400元C ．2700元D ．3000元15．函数2lg ,0,()2,0x x f x x x x >⎧=⎨−≤⎩的零点个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题55分）（请考生在答题卡上作答）二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）16．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则这个函数的解析式()f x =____________．17．执行右边的程序框图，当输入m 的值为3时，则输出的m 值是___________．18．函数6()([3,5])2f x x x =∈−的最小值是___________． 19．已知向量(1,1),(,1)a b x ==，且a b ⊥，则x =___________．20．设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1,6a c B π===，则b =________．三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（本小题满分6分）已知4sin ,5αα=是第一象限角．（Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 22．（本小题满分8分）甲、乙两人玩投掷骰子游戏，规定每人每次投掷6枚骰子，将掷得的点数和．．．记为该次成绩．进行6轮投掷后，两人的成绩用茎叶图表示，如图．（Ⅰ）求乙成绩的平均数；（Ⅱ）规定成绩在27点以上（含27点）为高分，根据两人的成绩，估计掷得高分的概率．23．（本小题满分8分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率v 与时间t 的关系如图所示．（Ⅰ）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（Ⅱ）根据图示，求该汽车在这段路的行驶路程km s 关于时间h t 的函数解析式．24．（本小题满分8分）如图，长方体1111ABCD ABC D −中，AB BC =，E 为1CC 的中点．（Ⅰ）求证：1AC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：1AC BD ⊥．25．（本小题满分10分）已知圆22:(2)16C x y +−=．（Ⅰ）写出圆C 的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）已知圆C 与x 轴相交于A 、B 两点，试问在圆C 上是否存在点P ，使ABP 的面积等于请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2019年福建省普通高中学生学业基础会考数学试题参考答案与评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容、比照评分标准酌情给分．2．对计算题，当考生的解答在某一步骤出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答所得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．解答題只给整数分，填空题不给中间分数．第Ⅰ卷（选择题45分）一、选择题（本大题主要考查基础知识和基本运算．每小题3分，满分45分）1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 13．B 14．C15．B第Ⅱ卷（非选择题55分）二、填空题（本大题主要考查基础知识和基本运算．每小题3分，满分15分）16．12x 17．4 18．2 19．1− 20．1三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的符号，两角和的正弦等基础知识；考查运算求解能力、化归与转化思想．满分6分．解：（Ⅰ）∵4sin 5α=，且22sin cos 1αα+=，α为第一象限角，（1分）∴cos α= （2分）35==．（3分）（Ⅱ）sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（4分）3455=⨯+ （5分）=．（6分） 22．本小题主要考查茎叶图、特征数、概率等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识．满分8分．解：（Ⅰ）由茎叶图得815151923286x +++++= （2分） 18=．（3分）∴乙成绩的平均数为18．（4分）（Ⅱ）由茎叶图知，掷得的12个数据中得高分的有3个，（6分） ∴据此估计得高分的概率30.2512P ==．（8分） 23．本小题主要考查函数有关概念、分段函数等基础知识；考查读图能力、运算求解能力、数学建模能力，考查函数思想、化归与转化思想和运用意识．满分8分．解：（Ⅰ）阴影部分的面积为601801901701300⨯+⨯+⨯+⨯=．（2分）阴影部分的面积表示该汽车在这4小时内行驶的路程为300km ．（4分）（Ⅱ）根据图形有：60,01,80(1)60,12,90(2)140,23,70(3)230,3 4.t t t t s t t t t ≤<⎧⎪−+≤<⎪=⎨−+≤<⎪⎪−+≤≤⎩ （注：按段给分）（8分）或60,01,8020,12,9040,23,7020,3 4.t t t t s t t t t ≤<⎧⎪−≤<⎪=⎨−≤<⎪⎪+≤≤⎩ （8分）24．本小题主要考查空间直线、平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分8分．（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ．在长方体1111ABCD ABC D −中，AB BC =， ∴底面ABCD 是正方形，∴AO OC =．（1分）∵1CE EC =，∴1OE AC ∥．（3分）又∵OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1AC ∥平面BDE ．（4分）（Ⅱ）证明：在长方体1111ABCD ABC D −中，1CC ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ∴1CC BD ⊥．（5分）由（Ⅰ）知，ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．又1AC CC C ⋂=，∴BD ⊥平面1ACC ．（7分）∵1AC ⊂平面1ACC ，∴1AC BD ⊥．（8分）25．本小题考查圆的方程、点与圆的位置关系、一元二次方程、三角形的面积等基础知识；考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、方程思想．满分10分．解：（Ⅰ）圆心()0,2C ，（2分）半径4r =．（4分）（Ⅱ）对于方程22(2)16x y +−=，令0y =，解得x =±∴(A B −，∴||AB = （5分）假设圆C 上存在点()()000,26P x y y −≤≤，使得PAB 的面积等于即0011||22PAB S AB y y =⨯=⨯= 解得04y =，∴04y =（04y =−舍去）．（7分）将04y =代入方程22(2)16x y +−=，解得0x =± （9分）∴圆C 上存在点12(P P −满足题意．（10分）。

福建省2019年普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试题(解析版)

A. 2100元B. 2400元C. 2700元D. 3000元
【答案】C
【解析】
【分析】
利用公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，设出函数解析式，代入图象中的坐标，求出函数并将月销售量为3百件代入，可得此时的月收入．
【详解】设一次函数为：，将和代入得：，
解得，
故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率,属于基础题型.
9.已知向量 ,则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算公式计算得出答案．
【详解】 , ,
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查学生计算能力,属于基础题．
10.已知直线l的斜率是1,且在y轴上的截距是 ,则直线l的方程是（）
【详解】解：由图形可知：
A：在上单调递减,所以不正确；
B：在上单调递增,在上单调递增,但是在定义域上不单调,所以不真确；
C：在上单调递减,在上单调递增,不正确；
D：在上单调递增,正确；
故选：D
【点睛】本题考查由图形确定函数的单调性,属于基础题.
13.不等式组表示的平面区域的面积是（）
A. 4B. 2C. 1D.
【详解】由题意,不等式可化为 ,解得或 ,
所以不等式的解集是或 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
12.下列图象表示的函数中,在R上是增函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D

2019-2020第二学期6月份阶段测试试卷高二数学答案

参考答案1、B 【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln 3x x'=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错． 2、A 3、D 4、B 5、B【详解】4x =，代入回归直线方程得12y =，所以()1123711215m =++++，则18a =，故选择B. 6、A 7、D 【解析】试题分析：第一类：3位数学家相邻在前排有3434A A ；第二类：三位数学家相邻在后排，先从4位物理学家中选3为排在前排有34A ，将3位数学家合一，与剩下的一名物理学家在后排排列有22A ，3位数学家再排有33A ，此类共有323423A A A ，综上共有3432334423432A A A A A +=种，故选择D. 8、C【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.9.BD 【解析】由题()()()2122211112i i z i i i i ----====---+-+--，其共轭复数1i -+，所以z =，22122z i i i =++=，若01z z -=，设0z a bi =+，则()()22111a b +++=，即(),a b 是圆()()22111x y +++=上的点，0z =可以看成圆()()22111x y +++=1所以正确的命题为②④. 故选：BD 10.ACD 11、【答案】BD【详解】对A ，将一组数据中的毎个数据都乘以同一个非零常数a 后，利用公式标准差变为原来的2a 倍，故A 错误；对B ，设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，故B 正确；对C ，线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数||r 越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，故C 错误；对D ，服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，则位于区域(1,)+∞内的概率为0.5，故D 正确；故选：BD.12.ABD 13、11 【详解】由444411(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+--=-+---, 则4(1)x -展开式的通项公式为：()()4414411rrr r r rr T C x C x --+=-=-. 所以4(1)x x -的展开式中3x 的系数为：()2241=6C -41(1)x x-的展开式中含3x 的项: ()0041=1C - 4(1)x -展开式中3x 的系数为：()1141=4C --41(1)(1)x x x+--的展开式中3x 的系数为:()6+14=11-- 故答案为：11 14、640【详解】解：有且只有两个人选择北京大学有2510C =种方案剩余3人参观的方案有以下三种：作为一组参观有4种方案，3人分成两组，一组1人，另一组2人，参观4个学校有233436C A ⋅=，3人分成3组，每组1人，参观4个学校有3424A =，所以共有()10436+24=640⨯+。

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学含答案

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至3页，第II卷4至6页。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的考生号、姓名与考生本人考生号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{1，2}B．{0，1}C．{3，4}D．{2，3}2．已知函数f(x)=lgx，则f(10)=A．1B．0C．10D．23．sin(2π+α)=A．cosαB．sinαC．－cosαD．－sinα4．已知函数y=f(x)在[－1，2]上的图像如图，则函数单调递增区间为A．[0，1]B．[－1，0]C．[1，2]D．[－1，2]5．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为A．π3B．π4C．πD．π26．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为A．13B．17C．47D．377．函数f(x)=√x−1的定义域为A．{x|x≥－1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤－1}D．{x|x≤1}8．已知平面α、β，α//β是α与β无公共点的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件，则cosα为9．已知α是第一象限角，sinα=45A．34B．35C．43D．4510．不等式(x－1)(x－2)<0的解集为A．{x|－2<x<－1}B．{x|1<x<2}C．{x|x≤－1}D．{x|x>2或x<1}11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，B1D1所成角的大小为A．45∘B．30∘C．90∘D．60∘12．已知向量a=(1，2)，b=(m，－1)，若a⊥b，则m的值为A．－12B．－2C．2D．12。

2023-2024学年福建省普通高中高二6月学业水平合格性考试数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则的值为( )A. 1B.C.D. 22.已知球体O 的半径为2，则球体O 的表面积为( )A.B.C.D.3.已知全集为U ，，则其图象为2023-2024学年福建省普通高中高二6月学业水平合格性考试数学试题( )A. B.C. D.4.已知，则的最小值为( )A. 1 B. 2C. 3D. 45.已知，则下列不等式正确的是( )A. B.C.D.6.已知，，则的值为( )A. 4B. 8C. 16D. 327.下列图象中，最有可能是的图象是( )A. B.C.D.8.厦门中学生小助团队的几名成员考试成绩分别为73 76 81 83 85 88 91 93 95，则这几人考试成绩的中位数是( )A. 76 B. 81C. 85D. 919.的值为( )A. B.C.D.10.已知，，且，则y 的值为( )A. 3B. C. 4D.11.已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，则值为( )A.B.C.D.12.“敬骅号”列车一排共有A 、B 、C 、D 、F 五个座位，其中A 和F 座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A 或F 座的概率为( )A. B.C.D.13.已知，则上的所有点全部向右移动个单位的函数解析式是( )A.B. C.D. 14.如图所示，，，M 为AB 的中点，则为( )A. B. C. D.15.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A. B. C.D.16.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件17.已知，，则的周期为( )A. B. C. D.18.已知四棱锥底面为正方形，平面ABCD，则( )A. B. C. 平面ABCD D. 平面SBC19.厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示不超过的部分3元超过不超过的部分6元超过的部分9元若小曾同学用水量为，则应交水费单位：元( )A. 48B. 60C. 72D. 80二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

福建省2020-2021学年高二6月普通高中学业水平合格性考试数学试题(含答案解析)

福建省2020-2021学年高二6月普通高中学业水平合格性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．．C ．．3．若数列{}n a 为等比数列，，则公比q =（）A ．-4B 3D 4．函数tan y x =的最小正周期是（．2πB 32πD ()sin πα-等于（．-sin αB -cos αD ．直线3y x =+在y 轴上的截距是（．3B -1D ．从甲、乙、丙三位同学中，任选两位同学参加数学竞赛，则甲同学被选中的概率是．．．．．不等式102x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集是（．{}0x x <102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．102x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（）．21y x =-+21y x =+y x=．2xy =二、填空题三、解答题(1)求证：//EF 平面PBC ；(2)若三棱锥-P ABC 的各棱长均为24．某市出租车的收费标准如下表：里程不超过3公里的部分超过3公里但不超过8公里的部分超过8公里的部分(1)设里程为x 公里时乘车费用为①当03x <≤时，y =_________②当38x <≤时，(102y =+③当8x >时，y =__________.综上，y 关于x 的函数关系式是(2)若计价器中显示的里程数为(3)若某乘客微信支付了32元的费用，问该乘客的乘车里程是多少公里25．已知圆C ：()223x y -+=(1)写出圆C 的圆心坐标及半径长；(2)设直线l ：(2x my m =+∈①求证：直线l 与圆C 恒相交；参考答案：答案第7页，共7页。

福建省2019-2020学年高二年级6月联考数学试题

二、多选题
11. 下列结论正确的有（） A．公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种. B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是；
C．若随机変量服从二项分布
，则
；
D．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12.
21. 某便利店每天以每件5元的价格购进若干鲜奶，然后以每件10元价格出售，如果当天卖不完，剩下的鲜奶作餐厨垃圾处理.便利店记录了100天这种鲜奶的日需求量（单位：件）如表所示：
日需求量n（件） 140 150 160 170 180 190
200
频数
10
20
16
16
15
12
11
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （1）若便利店一天购进160件这种鲜奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列与数学期望及方差；（2）若便利店一天购进160件或170件这种鲜奶，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应购进160件还是170件？请说明理由.
的值等于_____________；
五、解答题
17. 已知复数满足：
.
（1）求
（2）若复数的虚部为2，且是实数，求 .
18. 已知函数
（1）求的值；
（2）求函数
在
在处有极值 . 上的最大值与最小值.
19. 已知
的展开式中前三项的系数为等差数列.
（1）求展开式中含的项；（2）求展开式中系数最大的项.
14. 若
的展开式的各项系数之和为，则该展开式中含的项的系数为_____________；（用数字填写答案）

2019-2020学年福州市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年福州市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设地球的半径为R ，在纬度为α的纬线圈上有A,B 两地，若这两地的纬线圈上的弧长为cos R πα，则A,B 两地之间的球面距离为（） A ．R π B ．sin R παC ．R αD ．()2R πα-【答案】D 【解析】【分析】根据纬线圈上的弧长为cos R πα求出A,B 两地间的径度差，即可得出答案。

【详解】设球心为O ，纬度为α的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=α,∴O´A=OAcos ∠O´AO=Rcos α,设A,B 两地间的径度差的弧度数为θ，则θRcos α=cos R πα,∴θ=π,即A,B 两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=2πα-,∴A,B 两地之间的球面距离为()2R πα-．答案：D ．【点睛】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。

学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。

2．对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是（） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A 中n 可能在α内，A 错；B 中m 也可能在β内，B 错；m 与n 可能平行，C 错；,ααβ⊥⊥m ，则m β⊂或//m β，若m β⊂，则由n β⊥得n m ⊥，若//m β，则β内有直线//c m ，而易知c n ⊥，从而m n ⊥，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．3．二项式62x ⎫⎪⎭展开式中常数项等于（） A ．60 B ．﹣60C ．15D ．﹣15【答案】A 【解析】【分析】化简二项式展开式的通项公式，由此计算0x 的系数，从而得出正确选项. 【详解】()6366216622rr rrrr r T CC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当3602r -=时，即4r =，故常数项为()2456260T C =-=，选A. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 4．下列关于残差图的描述错误的是（） A ．残差图的横坐标可以是编号B ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小【答案】C【解析】分析：根据残差图的定义和图象即可得到结论．详解：A 残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故AB 正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．则对应相关指数越大，故选项D 正确，C 错误. 故选：C ．点睛：本题主要考查残差图的理解，比较基础．5．设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（） A ．24x y = B ．22x y =C ．24y x =D ．22y x =【答案】A 【解析】【分析】由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案．【详解】由题意知，动圆圆心到定点(0,1)F 与到定直线1y =-的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，则方程为24x y = 故选A 【点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题．6．已知某同学在高二期末考试中，A 和B 两道选择题同时答对的概率为23，在A 题答对的情况下，B 题也答对的概率为89，则A 题答对的概率为( ) A ．1 4B ．3 4C ．1 2D ．79【答案】B 【解析】分析：根据条件概率公式计算即可.详解：设事件A ：答对A 题，事件B ：答对B 题，则()()()23P AB P A P B =⋅=， ()()()8|9P AB P B A P A ∴==. ()34P A ∴=. 故选：B.点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题. 7．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（） A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，可得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-.故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 8．设4log 9a =，4log 25b =，5log 9c =，则( ) A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】【分析】依换底公式可得454995log log log =，从而得出54log 9log 9<，而根据对数函数的单调性即可得出44log 9log 25<，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】由于454995log log log =，44log 9log 51>>∴444995log log log <； 54log 9log 9∴<，又44log 9log 25<，b a c ∴>>．故选D ．【点睛】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用．9．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，侧棱长为3，点D 是侧面11BB C C 的两条对角线的交点，则直线AD 与底面ABC 所成角的正切值为（）A ．12B ．22C 3D ．1【答案】C 【解析】【分析】通过作DH 垂直BC ，可知DAH ∠为直线AD 与底面ABC 所成角，于是可求得答案. 【详解】如图，过D作DH垂直BC于点H，连接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故DAH∠为直线AD与底面ABC所成角，而3 = 2DH，=3AH,故3an2t DAH∠=，故选C.【点睛】本题主要考查线面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度一般. 10．由曲线2y x，3y x=围成的封闭图形的面积为（）A．13B．14C．112D．712【答案】C【解析】围成的封闭图形的面积为134231111()()343412x xx x dx-=-=-=⎰，选C. 11．设集合{|12}A x x=-<，[]{|2,0,2}xB y y x==∈，则A B= A．[]0,2B．()1,3C．[)1,3D．()1,4【答案】C【解析】由12x-<，得：1x3,-<<∴()A1,3=-；∵[]0,2x∈，∴[]21,4xy=∈∴A B⋂=[)1,3故选C12．曲线的参数方程为2232{(05)1x tty t=+≤≤=-，则曲线是（）A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线【答案】A【解析】由21t y=+代入232x t=+消去参数t 得3(1)2350x y x y=++--=即又05277,124t x y ≤≤∴≤≤-≤≤所以表示线段。

福州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

福州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．函数()cos x f x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可.详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin x x x f x e x e x e x x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()x f x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．等差数列{}n a 中，2583a a a ++=，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则9S =( )A ．9B ．18C ．27D ．54 【答案】A【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质求得a 5，再由考查等差数列的前n 项和公式求S 2．【详解】在等差数列{a n }中，由a 2+a 5+a 8＝3，得3a 5＝3，即a 5＝2．∴S 2()19559299922a a a a +⨯⨯====．故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．3．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为( )A ．分层抽样,简单随机抽样B ．简单随机抽样, 分层抽样C ．分层抽样,系统抽样D ．简单随机抽样,系统抽样【解析】第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多．第二种是系统抽样，系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个．而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后按等比例进行抽取．故选D4．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（）A ．[3-+∞）B ．[3++∞）C ．[74-,+∞）D ．[74,+∞）【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意可得2,1c b ==,,故a =设(,)P m n ,则221,3m n m -=≥. 222224(,)(2,)2212133m OP FP m n m n m m n m m m m ⋅=⋅+=++=++-=+-u u u r u u u r 关于 34m =-对称,故OP FP ⋅u u u r u u u r 在)+∞上是增函数,当m =时有最小值为3+无最大值,故OP FP ⋅u u u r u u u r的取值范围为[3)++∞,故选B.5．若0n >，则9n n +的最小值为（） A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式求解即可．【详解】∵96n n+≥=（当且仅当n ＝3时等号成立）故选：C ．本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．6．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种。

福建2019-2020年下学期高二数学6月联考试题(含答案)

1.若复数z 满足71zi i=- (i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C ，第三象限 D.第四象限2.已知X 服从三项分布:X ~1(4,)4B ,则()3P x ==( )A.164B.3643.设离散型随机变量X A ．12B.12- 4.曲线ln 2y x x =-在点(1A.10x y ++=B.C.0D.30x y -+= 5.函数()13ln 1x x xf =++的单调道减区间是( ) A.1(,)3-∞ B. 1(0,)3 C.1(,)3+∞ D. 11(,)326.将6张不同的贺卡分给4名同学、每名同学至少1张，则不同的分法有（）A.384种B.960种C.1 560种D.1 620种7．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，先后出现点数分别为x y ，，记事件A 为4x y +>.事件B 为x y ≠，则概率(B |A)P =( )A.215 B.45 C.1315D.568.函数()||3||21x x f x =--的大致象为（）震雷离兑泽乾风巽水坎山艮地坤y OxyOxy OxyOx9．的展开式中含的项的系数为（）A.192B.576C.600D.79210.已知函数()1(1),g()2ln f x x x x x =+>-=，若s t <，且(s)g(t)f =，则s t -的最大值为（）A.ln21-B.223ln -C.2122nD.1- 11．下列结论正确的有（）A.公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有510种。