江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备三解题陷阱妙破学案

必备三 解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质例1 若z=sinθ-35+(cos θ-45)i 是纯虚数,则tan (θ-π4)的值为 .易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan (θ-π4)的值为多个,从而错解.答案 -7正确解析 由纯虚数的概念,可知{sin θ-35=0,①cos θ-45≠0,②由①,得sinθ=35,故cosθ=±√1-sin 2θ=±√1-(35)2=±45,而由②,可得cosθ≠45,故cosθ=-45,所以tanθ=sin θcos θ=-34,则tan (θ-π4)=tan θ-tanπ41+tan θtanπ4=-34-11+(-34)×1=-7.▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,设a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是 .陷阱二 错用结论——公式定理要记准例2 将函数g(x)=4sinxcosx 的图象向左平移π6个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f (π4)= .易错分析 该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案√6+√22正确解析 将函数g(x)=4sinxcosx=2sin2x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin2(θ+π6)=2sin (2θ+π3)的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin (12×2x +π3)=2sin (θ+π3).所以f (π4)=2sin (π4+π3)=2sin π4cos π3+cos π4sin π3=2×(√22×12+√22×√32)=√6+√22. ▲跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.跟踪集训2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin (2θ+π6)-cos (2θ+π3)+2cos 2x.(1)求f (π12)的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)的图象可由y=sinx 的图象如何变换得来?请详细说明.陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记 例3 已知椭圆θ29+θ28=1的半焦距为c,曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y 轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l 过点F,交曲线Γ于A,B 两点,过A,B 分别作曲线Γ的切线交于点P,判断θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析 直线l 过点F 交曲线Γ于A,B 两点,由于思维定势,经常只考虑直线l 的方程为y=k(x-1),k≠0的情况,从而漏掉了过点F 的直线l 与x 轴垂直这一特殊情况,导致错解.正确解析 (1)因为椭圆θ29+θ28=1的半焦距为c,所以c=√9-8=1,因为曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y 轴的距离大1, 所以曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离. 根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线. 设曲线Γ的方程为y 2=2px(p>0),所以θ2=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y 2=4x. (2)θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值.证明如下:①当过点F 的直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为x=1, 根据抛物线的对称性知,点P 在x 轴上, 所以PF⊥AB,所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.②当过点F 的直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x-1),k≠0, 由{θ=θ(θ-1),θ2=4x得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,所以Δ=[-(2k 2+4)]2-4k 2·k 2=16k 2+16>0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x P ,y P ),y 1>0,y 2<0, 则x 1+x 2=2+4θ2,x 1x 2=1.由y 2=4x(y>0),得y=2√θ,y'=√θ,所以过点A 的切线PA 的方程为y-y 1=√θ(x-x 1),即y=√θ+√θ1; 由y 2=4x(y<0),得y=-2√θ,y'=-√θ,所以过点B 的切线PB 的方程为y-y 2=-√θ(x-x 2),即y=-√θ-√θ2. 由{θθ=θθ+√θ1,θθ=θ√θ√θ2得{θθ=-√θ1θ2=-1,θθ=2θ,即P (-1,2θ),所以直线PF 的斜率k PF =2θ-0-1-1=-1θ,所以k PF ·k=-1θ×k=-1,所以PF⊥AB.综上所述,θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值,且定值为0. 跟踪集训3.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:θ2θ2+θ2θ2=1(a>b>0)与直线l:x=m(m∈R).四点(3,1),(3,-1),(-2√2,0),(√3,√3)中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上.(1)求椭圆C的方程;(2)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过点P作直线l'⊥MN.证明:直线l'过定点,并求出该定点的坐标.陷阱四讨论漏解——参数标准要恰当例4 已知函数f(x)=lnx-ax+1-θθ-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当0≤a<12时,讨论f(x)的单调性.易错分析该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.正确解析(1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+2θ-1,x∈(0,+∞).所以f'(x)=θ2+x-2θ2,x∈(0,+∞).因此f'(1)=0,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0.又f(1)=ln1+1+2-1=2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2.(2)因为f(x)=lnx-ax+1-θθ-1,所以f'(x)=1θ-a+θ-1θ2=-θθ2-x+1-aθ2,x∈(0,+∞).令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).①当a=0时,g(x)=-x+1,当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增.②当0<a<12时,由f'(x)=0,即ax 2-x+1-a=0,亦即(x-1)(ax+a-1)=0,解得x 1=1,x 2=1θ-1. 此时1θ-1>1>0,所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,1θ-1)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(1θ-1,+∞)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<12时,函数f(x)在(0,1),(1θ-1,+∞)上单调递减,在(1,1θ-1)上单调递增.▲跳出陷阱 含参的函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参的函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序:①最高次幂的系数是不是0;②方程f'(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,常画出导函数的图象,根据图象与x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.跟踪集训4.已知函数f(x)=a x+x 2-xlna(a>0,a≠1). (1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)若存在x 1,x 2∈[-1,1],使得|f(x 1)-f(x 2)|≥e -1(e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.陷阱五 条件遗漏——细心审题不遗漏例5 在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=8,b=10,△ABC 的面积为20√3,则△ABC 中最大角的正切值是 .易错分析 本题易忽视锐角三角形这一条件. 答案5√33解析 由题意得20√3=12×8×10×sinC ⇒sinC=√32⇒C=π3或C=2π3(舍),由余弦定理得,c 2=82+102-2×8×10×12=84,因为a=8,b=10,所以a 2<c 2<b 2,因此B 角最大, 由余弦定理的推论得,cosB=22=√84,则tanB=√1-cos 2B cos 2B=5√33.▲跳出陷阱 审题时一定要仔细,注意题中正数、整数、锐角、钝角、x 轴上方等限制条件. 跟踪集训5.已知钝角△ABC 的三个内角成等差数列,最大边长与最小边长的比值为m,则实数m 的取值范围为 .陷阱六 推理不当——归纳类比要合理例6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x 2=4y 和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理可知,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为 .易错分析 该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误的类比.答案 32π正确解析 设图(1)中的阴影部分绕y 轴旋转一周得到的旋转体Γ1的体积为V',则V'=2θθ1,圆(1)、(2)中的两图形绕y 轴旋转所得的旋转体均夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S 1=π(42-4|y|),S 2=π(42-y 2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S 1=S 2,由祖暅原理知,Γ1与Γ2的体积相等.因为Γ2是由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该是一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为4π3·43-2·4π3·23=64π,所以Γ1的体积为32π.▲跳出陷阱 类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.跟踪集训6.先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a 1,a 2∈R,a 1+a 2=1,求证:θ12+θ22≥12.证明:构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2,则f(x)=2x 2-2(a 1+a 2)x+θ12+θ22=2x 2-2x+θ12+θ22,∵对一切x∈R,恒有f(x)≥0,∴Δ=4-8(θ12+θ22)≤0,从而得θ12+θ22≥12.(1)若a 1,a 2,…,a n ∈R,a 1+a 2+…+a n =1,请写出上述结论的推广式; (2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.陷阱七 画图不准——数化“形”要准确 例7 已知定义在R 上的函数f(x)满足:①f(x)+f(2-x)=0; ②f(x -2)=f(-x);③在[-1,1]上的表达式为f(x)={√1-θ2,x∈[-1,0],cos (π2x ),x∈(0,1].则函数f(x)与函数g(x)={2θ,x ≤0,1-θ,θ>0的图象在区间[-3,3]上的交点个数为 .易错分析 该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数. 答案 6正确解析 由①可得,f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)对称; 由②可得f(x-1)=f(-x-1),即f(x)的图象关于直线x=-1对称.如图,根据③先作出函数f(x)在[-1,1]上的图象,然后作出其关于直线x=-1对称的图象,则得函数f(x)在[-3,-1]上的图象,再作其关于(1,0)对称的图象,则得函数f(x)在[-3,3]上的图象,最后作出函数g(x)的图象.由图象可知两函数的图象在[-3,3]上有6个交点.▲跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等.跟踪集训7.(2018江苏南通阶段检测)设函数f(x)是定义域为R,周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)={lg|θ|,θ≠0,1,θ=0,则函数f(x)和g(x)的图象在区间[-5,10]内交点的个数为.陷阱八推理跳步——步骤过程要合理例8 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1.(2)求证:EF⊥B1C.易错分析证明立体几何中平行和垂直问题时,易出现的问题是对判定定理的条件书写不完整导致推理不严密或者使用课本上没有的、但是是正确的命题作为推理条件.正确证明(1)如图,连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为DD1,DB的中点,则EF∥D1B.因为EF∥D1B,D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,所以EF∥平面ABC1D1.(2)因为立体图形ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AB⊥平面BCC1B1,又B1C⊂平面BCC1B1,所以B1C⊥AB.又因为B1C⊥BC1,AB,BC1⊂平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1.因为BD1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1.又因为EF∥BD1,所以EF⊥B1C.▲跳出陷阱 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,通过恰当地转化达到最终目的.解这类问题时要注意推理要严谨,使用定理时要找足条件,不要用没有证明的结论作为推理条件,同时书写要规范.跟踪集训8.(2018江苏海安高级中学阶段检测)如图,在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形,∠A 1AC=60°.在平面ABC 中,AB=2√3,BC=4,M 为BC 的中点,过A 1,B 1,M 三点的平面交AC 于点N. 求证:(1)N 为AC 的中点; (2)AC⊥平面A 1B 1MN.陷阱九 转化不当——由此及彼要等价 例9 f(x)=12x 2-2alnx+(a-2)x,a∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)是否存在实数a,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a 恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.易错分析 该题易出现的问题是直接把θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a 转化为函数f(x)的导数的范围,即f'(x)>a,导致错解.正确解析 f'(x)=x-2θθ+a-2=(θ-2)(θ+θ)θ(x>0).(1)当a=1时,f(1)=-12, f'(x)=(θ-2)(θ+1)θ,f'(1)=-2,所以所求的切线方程为y-(-12)=-2(x-1), 即4x+2y-3=0.(2)①当-a=2,即a=-2时, f'(x)=(θ-2)2θ≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当0<-a<2,即-2<a<0时,因为0<x<-a 或x>2时,f'(x)>0;-a<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,-a),(2,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减. ③当-a>2,即a<-2时,因为0<x<2或x>-a 时,f'(x)>0;当2<x<-a 时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,2),(-a,+∞)上单调递增,在(2,-a)上单调递减. (3)假设存在这样的实数a 满足条件,不妨设x 1<x 2. 由θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a恒成立,知f(x 2)-ax 2>f(x 1)-ax 1恒成立.令g(x)=f(x)-ax=12x 2-2alnx-2x,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x-2θθ-2≥0,即2a≤x 2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立,因为(x-1)2-1在(0,+∞)上的最小值为-1,所以a≤-12, 故存在这样的实数a 满足题意,其取值范围为(-∞,-12].▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如本题中的第(3)问中的“θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1”,其几何意义是曲线上两点(x 1,f(x 1))与(x 2,f(x 2))连线的斜率,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,故应该通过代数式的等价变换,将原问题转化为函数g(x)=f(x)-ax 的单调性问题进行求解.跟踪集训9.(2018江苏楚水实验学校等三校联考)已知函数f(x)=x-θθ,g(x)=2alnx. (1)若b=0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a 的值;(2)若a>0,b=-1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x 1,x 2∈(0,1](x 1≠x 2),都有|F(x 1)-F(x 2)|<3|1θ1-1θ2|恒成立,求a 的取值范围;(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x 1,x 2,其中x 1∈(0,13],求G(x 1)-G(x 2)的最小值.陷阱十 新定义不明——用新定义要明确例10 定义:用[x](x∈R)表示不超过x 的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x 的最小整数.例如[1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论:①函数f(x)=[sinx]是奇函数; ②2π是函数f(x)=[sinx]的周期;③若x∈(1,2),则不等式([x)-x)[x)<x 的解集为(43,2); ④函数g(x)=[sinx]+[cosx)的值域是{2,1,0,-1}. 其中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)易错分析 未读懂新定义“[x](x∈R)”与“[x)(x∈R)”的含义,导致判断结论是否正确时出错. 答案 ②③④正确解析 对于①,因为f (π6)=[sin π6]=[0.5]=0, f (-π6)=[sin (-π6)]=[-0.5]=-1,所以f (-π6)≠-f (π6),所以函数f(x)=[sinx]不是奇函数,所以①错. 对于②,因为f(x)=[sinx]={0,2θπ≤θ<2θπ+π且θ≠2θπ+π2,1,θ=2θπ+π2,-1,2θπ+π<θ<2θπ+2π,k∈Z.数形结合可知,2π是函数f(x)=[sinx]的周期,所以②正确. 对于③,当x∈(1,2)时,[x)=2,由([x)-x)[x)<x,得{1<θ<2,(2-θ)·2<θ,解得43<x<2,故其解集为(43,2).所以③正确.对于④,因为g(x)=[sinx]+[cosx) ={ 2,θ=2θπ或θ=2θπ+π2,1,2θπ<θ<2θπ+π2,0,θπ+π2<x <kπ+π或θ=2θπ+π或θ=2θπ+3π2,-1,2θπ+π<θ<2θπ+3π2,k∈Z.所以函数g(x)=[sinx]+[cosx)的值域是{2,1,0,-1},所以④正确.▲跳出陷阱解新定义问题时,一定要过好审题关,仔细辨析试题中待求的问题.在准确理解新定义的前提下求解,这样才能避免掉入新定义问题的陷阱里.跟踪集训10.若函数f(x)(x1≤x≤x2)图象上的两端点A,B的横坐标分别为x1,x2,动点M(x M,y M)在函数f(x)的图象⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则称向量θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的上,且满足x M=x2+λ(x1-x2)(λ∈R),O为坐标原点,且点N满足θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λθθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =θθ模的最大值为函数f(x)的“向高”.函数f(x)=x2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为.答案精解精析陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质跟踪集训1.答案 {θ|θ>-12且λ≠2} 解析 因为θ为锐角,所以0<cosθ<1. 又因为cosθ=θ·θ|θ||θ|=5·√2+1, 所以5·√2+1>0且5·√2+1≠1,所以{2θ+1>0,2θ+1≠√5·√θ2+1,解得{θ>-12,θ≠2,所以λ的取值范围是{θ|θ>-12且λ≠2}.陷阱二 错用结论——公式定理要记准跟踪集训2.解析 (1)f(x)=sin (2θ+π6)-cos (2θ+π3)+2cos 2x=√32sin2x+12cos2x-12cos2x+√32sin2x+cos2x+1=√3sin2x+cos2x+1=2sin (2θ+π6)+1, ∴f (π12)=2sin (2×π12+π6)=√3+1.(2)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z);令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为[θπ-π3,kπ+π6](k∈Z),f(x)的单调递减区间为[θπ+π6,kπ+2π3](k∈Z).(3)变换步骤:(答案不唯一) y=sinx y=sin2xy=sin (2θ+π6) y=2sin (2θ+π6)y=2sin (2θ+π6)+1.陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记跟踪集训3.解析 (1)由题意有3个点在椭圆C 上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C 上,即9θ2+1θ2=1(a>b>0)①, 若点(-2√2,0)在椭圆C 上,则点(-2√2,0)必为椭圆C 的左顶点,而3>2√2,则点(-2√2,0)一定不在椭圆C 上,故点(√3,√3)在椭圆C 上,点(-2√2,0)在直线l 上, 所以3θ2+3θ2=1②,联立①②可解得a 2=12,b 2=4, 所以椭圆C 的方程为θ212+θ24=1.(2)证明:由(1)可得直线l 的方程为x=-2√2, 设P(-2√2,y 0),y 0∈(-2√33,2√33),当y 0≠0时,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),显然x 1≠x 2,联立{θ1212+θ124=1,θ2212+θ224=1,则θ12-θ2212+θ12-θ224=0,即θ1-θ2θ1-θ2=-13·θ1+θ2θ1+θ2,又PM=PN,即点P 为线段MN 的中点, 故直线MN 的斜率为-13·-2√2θ0=2√23θ0,又直线l'⊥MN,所以直线l'的方程为y-y 0=-(x+2√2),即y=-θ+4√23),显然直线l'过定点(-4√23,0);当y 0=0时,直线MN 为x=-2√2,此时直线l'为x 轴亦过点(-4√23,0).综上所述,直线l'过定点,且该定点的坐标为(-4√23,0).陷阱四 讨论漏解——参数标准要恰当跟踪集训4.解析 (1)因为函数f(x)=a x+x 2-xlna(a>0,a≠1), 所以f'(x)=a xlna+2x-lna,f'(0)=0,又因为f(0)=1,所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (2)由(1)知,f'(x)=a xlna+2x-lna=2x+(a x-1)lna.因为当a>0,a≠1时,总有f'(x)在R上是增函数,又f'(0)=0,所以不等式f'(x)>0的解集为(0,+∞),所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,当x∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.又因为x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x (-∞,0)0 (0,+∞) f'(x) - 0 +f(x) 减函数极小值增函数所以f(x)在[-1,0)上是减函数,在(0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大值.因为f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(1θ+1+lnθ)=a-1θ-2lna,令g(a)=a-1θ-2lna(a>0),因为g'(a)=1+1θ2-2θ=(1-1θ)2≥0(当a=1时,取“=”),所以g(a)在(0,+∞)上是增函数.而g(1)=0,故当a>1时,g(a)>0,即f(1)>f(-1);当0<a<1时,g(a)<0,即f(1)<f(-1).所以,当a>1时,f(1)-f(0)≥e-1,即a-lna≥e-1,函数y=a-lna在(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;当0<a<1时,f(-1)-f(0)≥e-1,即1θ+lna≥e-1,函数y=1θ+lna在(0,1)上是减函数,解得0<a≤1e.综上可知,实数a的取值范围为(0,1e]∪[e,+∞).陷阱五条件遗漏——细心审题不遗漏跟踪集训5.答案(2,+∞)解析不妨设A<B<C,则a<b<c,A+C=2B=π-B,B=π3,{0<θ<π3,π2<C=2π3-A<π⇒0<A<π6,0<tanA<√33,√32tanθ>32,m=θθ=sin θsin θ =sin (2π3-A )sin θ=√32cos θ+12sin θsin θ=12+√32tan θ>2, 即实数m 的取值范围是(2,+∞).陷阱六 推理不当——归纳类比要合理跟踪集训6.解析 (1)若a 1,a 2,…,a n ∈R,a 1+a 2+…+a n =1,则θ12+θ22+…+θθ2≥1θ.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x -a n )2,则f(x)=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x+…+θ12+θ22+…+θθ2=nx 2-2x+θ12+θ22+…+θθ2,∵对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(θ12+θ22+…+θθ2)≤0, 从而得θ12+θ22+…+θθ2≥1θ.陷阱七 画图不准——数化“形”要准确跟踪集训 7.答案 15解析 函数y=f(x),y=g(x),x∈[-5,10]的图象的交点个数即为函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数,在同一坐标系中作出函数图象如图,当x∈[9,10]时,f(9)=0<g(9)=lg9,f(10)=1=g(10)=lg10,所以在区间(9,10)内还有一个交点,由图可得两个函数图象有15个交点,故函数零点个数是15.陷阱八 推理跳步——步骤过程要合理跟踪集训8.证明 (1)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB∥A 1B 1,平面ABC∥平面A 1B 1C 1, 平面A 1B 1M∩平面ABC=MN, 平面A 1B 1M∩平面A 1B 1C 1=A 1B 1, 所以MN∥A 1B 1.因为AB∥A 1B 1,所以MN∥AB,所以θθθθ=θθθθ. 因为M 为AB 的中点,所以N 为AC 的中点.(2)在三角形A 1AN 中,AN=1,AA 1=2,∠A 1AC=60°,由余弦定理得A 1N=√3, 故A 1A 2=AN 2+A 1N 2,从而可得∠A 1NA=90°,即A 1N⊥AC. 在三角形ABC 中,AB=2√3,AC=2,BC=4,则BC 2=AB 2+AC 2,从而可得∠BAC=90°,即AB⊥AC. 又MN∥AB,则AC⊥MN.因为MN∩A 1N=N,MN ⊂面A 1B 1MN,A 1N ⊂面A 1B 1MN, 所以AC⊥平面A 1B 1MN.陷阱九 转化不当——由此及彼要等价跟踪集训9.解析 (1)当b=0时,函数f(x)=x 的图象与g(x)=2alnx 的图象相切,设切点为(x 0,2alnx 0),则切线方程为y=2θθx-2a+2alnx 0,所以{2θθ0=1,-2θ+2θln θ0=0,得{θ0=e,θ=e 2,所以a=e 2.(2)当a>0,b=-1时,F(x)=x 2+1+2alnx,F'(x)=2x+2θθ>0,所以F(x)在(0,1]上递增. 不妨设0<x 1<x 2≤1,原不等式⇔F(x 2)-F(x 1)<3(1θ1-1θ2),即F(x 2)+3θ2<F(x 1)+3θ1.设h(x)=x 2+1+2alnx+3θ,则原不等式⇔h(x)在(0,1]上递减,即h'(x)=2x+2θθ-3θ2≤0在(0,1]上恒成立,所以2a≤3θ-2x 2在(0,1]上恒成立. y=3θ-2x 2在(0,1]上递减,所以y min =3-2=1,所以2a≤1,又a>0,所以0<a≤12. (3)当b=1时,函数G(x)=f(x)+g(x)=x-1θ+2alnx,G'(x)=θ2+2ax +1θ2(x>0),由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根,∴x 1x 2=1,x 1+x 2=-2a,x 2=1θ1,2a=-x 1-1θ1,G(x 1)-G(x 2)=G(x 1)-G (1θ1)=2[θ1-1θ1-(θ1+1θ1)ln θ1].令H(x)=2[θ-1θ-(θ+1θ)ln θ], H'(x)=2(1θ2-1)lnx=2(1+θ)(1-θ)ln θθ2.当x∈(0,13]时,H'(x)<0,所以H(x)在(0,13]上单调递减,H(x)的最小值为H (13)=20ln3-163,即G(x 1)-G(x 2)的最小值为20ln3-163.陷阱十 新定义不明——用新定义要明确跟踪集训 10.答案 9解析 易知A(-1,7),B(5,7),所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,0),所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λθθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-6λ,7). 因为x M =x 2+λ(x 1-x 2),所以x M =5+λ(-1-5)=5-6λ. 因为点M(x M ,y M )在函数f(x)的图象上, 所以-1≤5-6λ≤5,解得0≤λ≤1.所以y M =f(5-6λ)=(5-6λ)2-4(5-6λ)+2=36λ2-36λ+7,所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-6λ,7)-(5-6λ,36λ2-36λ+7)=(0,-36λ2+36λ), 所以|θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|-36λ2+36λ|=36|-(θ-12)2+14|, 当λ=12时,|θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最大值,为9.所以函数f(x)=x 2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为9,故填9.。