2014届高考数学基础知识清单：第13章 极 限
高中数学 第十三章《排列组合与概率》数学竞赛讲义 苏教版
第十三章 排列组合与概率一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法,在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事,完成它需要分n 个步骤,第1步有m 1种不同的方法,第2步有m 2种不同的方法,……,第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用m n A 表示,mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1,0！=1,nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA nn =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地,从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合,即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）knk n C C kn =--11；（4）n nk kn n nn n C C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
2014高考数学知识点讲析数列
2014高考数学知识点讲析:数列【专题要点】数列的概念及表示方法，等差数列和等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质、判定，等差数列和等比数列的比较，等差数列和等比数列与其它知识的综合应用【考纲要求】1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的通项公式写出数列的前几项。
2.理解等差、等比数列的概念并能解决简单的实际问题，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差（或等比）关系，能够构造等差、等比数列的模型，并能用有关知识解决相应的实际问题【知识纵横】【教法指引】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
在解决综合题和探索性问题时，教师可适当引导学生加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，从而提高分析问题和解决问题的能力， 进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．【典例精析】例1.（04年浙江）设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列解: (1)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(2)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列 例2.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --=＿＿＿＿解：第1个图个数：1第2个图个数：1+3+1第3个图个数：1+3+5+3+1第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41，所以，f（５）＝４１f(2)-f(1)=４，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６()(1)f n f n--=4(1)n-点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想例3．已知数列{an }是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn．(2)过点Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直线12，设l1与l2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{an}的公差d≠0，所以Kp1p k是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l2的方程为y-a1=d(x-1)，直线l2的斜率为d．例4．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即 a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。
2014届高考理科数学知识点总结(经典)
高考数学(理科)基础知识归纳集合与简易逻辑知识回顾：(一) 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 3⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 .否命题 逆命题.② 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.(二) 含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1. 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法)① 将不等式化为a o (x-x i )(x-x 2)…(x-x ">0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“ +” ；(为了统一方便)② 求根，并在数轴上表示出来；③ 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；④ 若不等式(x 的系数化“ +”后)是“ >0” ,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“<0” ,则找“线”在 x 轴下方的区间.— _C 口 - 七_______ g+u+ 、x1x2X 3m-3_[xm-2 x m-1- 卜 --------------------------x ym(自右向左正负相间)则不等式 a 0x na 1xn 1a 2xn 2确定•3.含绝对值不等式的解法(1) 公式法：ax b c ,与|ax b| c(c 0)型的不等式的解法 (2) 定义法：用“零点分区间法”分类讨论.(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.a n 0( O)(a o 0)的解可以根据各区间的符号特例①一元一次不等式ax>b 解的讨论;一兀二次方程ax 2 bx c 0 a 0的根有两相异实根X l ,X 2(X i X 2)有两相等实根bX [ x ?—2a无实根ax 2 bx c 0 (a 0)的解集xx 為或x x 2b XX ——2aRax 2 bx c 0 (a 0)的解集xx 1 x x 22.分式不等式的解法(1)标准化：移项通分化为f(x)>0(或 f (x) c\ <0)f(x)>0(或 f(x)W 0)的形式，g(x ) g(x)g(x) g(x)(2)转化为整式不等式(组)f (X)0 f(x)g(x)f (x) 0; 0 f(x)g(x) 0g(x)g(x)g(x) 04. 一兀二次方程根的分布2一兀二次方程 ax +bx+c-0(a 丰0)(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之 •(三)简易逻辑1命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2014年高考数学知识大梳理
2014．．．．．．．．年高考数学．．．．．．．．．．知识识大大梳梳理理（（．．．．．．．．．．．知知识识精精粹粹版版）） 《《黄黄冈冈中中学学》》资资深深老老师师强强势势总总结结，，为为年年学学子子倾倾情情打打造造．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA AA B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A BA B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A BA B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A C a rd A B C a rd A C a rd B C a rd A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
第13章 第66讲 含有绝对值的不等式
D. 4
【解析】 由|x－a|<b，得 a－b<x<a＋b，由已知得aa－ ＋bb＝ ＝24， ， 解得ab＝ ＝31.，
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学理科
第十三章 不等式选讲
3. (选修 4－5P23 习题 4 改编)不等式|x－5|＋|x＋3|≥10 的解集是( D )
A. [－5,7]
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第十三章 不等式选讲
【解答】 方法一：原不等式等价于||xx－ －22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2 或 x－2≥2，所以 x≤0 或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0 或 4≤x≤6}． 方法二：当 x≥2 时，2≤x－2≤4，解得 4≤x≤6；当 x<2 时，得 2≤2－x≤4， 解得－2≤x≤0，所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0 或 4≤x≤6}．
x≤－95，所以 x≤－95； ②当－23<x<12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5，所以
x∈∅； ③当 x≥12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥75，所以 x≥75. 综上，原不等式的解集为－∞，－95∪75，＋∞.
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第十三章 不等式选讲
知识梳理
1. 绝对值不等式的解法
(1) 含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a＝0 a<0
高中数学知识点第十三章-极 限
高中数学第十三章-极 限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极 限 知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k nk n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim③)0(lim ≠=∞→b ba b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q q a S -=. （化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件.） 如⎩⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0③)0()()(lim 0≠=→b ba x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→xn ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0li m =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x x x④e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件： ①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定： 如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf . ⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞→ ②)0(0!lim a n a nn =+∞→ ③k a a n n kn ,1(0lim =+∞→为常数） ④0ln lim=+∞→n n n ⑤k n n k n ,0(0)(ln limεε=+∞→为常数）。
高考数学基础知识点归纳总结
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2014高考数学知识点
2014高考数学知识点2014年的高考数学试卷是考查学生对数学知识点的掌握和应用能力的重要考试。
下面，我将为您详细介绍2014年高考数学试卷涉及的主要知识点。
知识点一：函数与方程在2014年的高考数学试卷中，函数与方程是一个非常重要的知识点。
学生需要掌握函数的概念、性质和图像，并能够解一元一次方程、一元二次方程、一次不等式、二次不等式等各种类型的方程。
此外，还需要了解函数与方程在实际问题中的应用，例如利用函数关系解决实际问题、求函数的最值等。
知识点二：三角函数三角函数也是2014年高考数学试卷中的重点内容。
学生需要了解正弦函数、余弦函数、正切函数等各种三角函数的定义、性质以及它们的图像。
同时，还需要能够解三角方程和三角不等式，并能够应用三角函数解决实际问题，如求角度、求距离等。
知识点三：数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是2014年高考数学试卷中的重要知识点。
学生需要了解数列的概念、性质和求和公式，并能够判断数列的特点，如等差数列、等比数列等。
此外，还需要掌握数学归纳法的基本原理和应用，以解决数列问题。
知识点四：立体几何立体几何是2014年高考数学试卷中的必考知识点之一。
学生需要了解各种立体几何的基本概念，如球体、圆柱体、锥体等，并能够计算立体几何的表面积和体积。
此外，还需要掌握立体几何在实际问题中的应用，如计算容积、表面积等。
知识点五：概率与统计概率与统计也是2014年高考数学试卷中的重点知识点。
学生需要了解概率的基本概念、性质和计算方法，并能够解决概率问题，如计算事件的概率、计算样本空间等。
同时，还需要了解统计的基本概念和方法，如频数、频率、均值、中位数等，并能够分析和解释统计数据。
通过对2014年高考数学试卷的分析，我们可以看出，数学知识点的掌握是高考数学考试的核心要求。
只有对这些知识点有深入的理解和熟练的应用，才能在考试中取得好成绩。
因此，我们应该注重对这些知识点的学习和巩固，并进行大量的练习，以提高自己的数学水平和解题能力。
最全2014高考数学考前必看系列材料之一__基本知识篇
2014年高考数学考前必看系列材料之一基本知识篇一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及{}x y y x lg |),(=2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。
原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集（非空子集）个数为2n－1；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ （3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==二、函数1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知()f x 的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；2.函数的奇偶性（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ;（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则(0)0f =（可用于求参数）；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或1)()(±=-x f x f （f(x)≠0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然；（3）曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0;（5）若函数y=f(x)对x ∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a 对称；（6）函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2b a +对称； 4.函数的周期性(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；（6）y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；5.方程k=f(x)有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；6.a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min ;7.（1）n a a b b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +); (2) l og a N=aN b b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N = N ( a>0,a ≠1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
中职数学极限与导数基础知识点测试题（含答案）
高中数学第十三、四章极限与导数章节知识点与05年高考试题一、知识结构：【知识网络】【学法点拨】1．注意“函数f(x)在点x0处的导数f '(x0)”与“函数f(x)在开区间(a，b)内的导数f'(x)”之间的区别与联系．2．求函数单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，得f(x)的递增区间；解不等式f'(x)<0，得f(x)的递减区间．3．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f ' (x)；（2）求方程f ' (x)=0的根；（3）检查f '(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．二、基本知识点：数学归纳法：1.数学归纳法证题的关键是一凑假设,二凑结论;数学归纳法证明问题过程中,归纳假设一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳假设这一条件.2.用数学归纳法证明整除性问题,关键在于n=k成立推n=k+1成立过程中归纳假设的运用,一般通过整体凑假设的手段进行代数式的变形.3.利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少,一般地,证明第二步时常用的方法是加一法,即在原来k的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出1个来,剩下的k个利用假设.4.猜想,归纳能培养探索问题的能力,所以成为高考的重点,应引起足够的重视,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,解归纳问题,需要从特殊情况入手,通过观察,分析,归纳,猜想,探索一般规律,其关键在于正确的归纳,猜想.数列的极限 1. 求数列极限的基本类型1)()()n f n limg n →∞型,分子,分母同除以n 的最高次幂 2) 含有n 的无理形式,利用分子或分母有理化.3)指数行数列极限,如n 1n n 1n+1n a b lim a b ++→∞-+,分子,分母同除以n 1a +或n 1b +转化为()n n lim q =0q <1→∞.4) 求和型,需要先求和(利用等差,比数列的前n 项和或裂项法求和等),然后求极限. 2.无穷递缩等比数列各项的和1a =1-qS ,关键是确定1a q 和. 3. 注意极限与数列等内容的综合应用. 函数的极限及连续性1. 求函数极限的常见方法有: 1)直接代入发; 2)对型的极限计算,应通过根式有理化或因式分解,约去零因子. 3) 对∞∞型的极限计算,通常是分子,分母同除以分母的最高次幂. 4)∞-∞型,主要是通过通分,分子,分母有理化转化为00型或∞∞型. 5)分段函数的函数极限计算,通过计算左右极限来求.2已知极限求参数值,主要运用求函数极限的方法建立参数的有关等式求解. 3求函数的极限,判断函数的连续性,注意画函数的图像,通过图像的直观性解题. 导数的概念及运算 1. 函数求导的常用方法及应注意的问题:1)复合函数的求导问题,关键是分析好函数的复合关系,合理选择中间变量从外到内逐项求导.2) 对于复杂函数求导问题,应先分解函数,使之成为初等函数的复合,然后应用公式,函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导,注意计算的准确性.3) 对于较复杂的函数,在求导前可以先对函数解析式进行化简,然后求导. 4)对于形如()()222x lnx 3fx =32log x e++的函数求导,应先求出函数解析式,然后求导. 5) 两边对x 求导,特别要注意y 是x 的函数.6)隐函数的导数表达式中常包含x,y 两个变量,如x y=x (x>0)它的导数:由原式lny=xlnx '1y =ln x 1y∴⋅+故()'x y =x ln ex 2对于抽象函数问题,常常利用导数的定义来解题,用定义求导的一般步骤为: 求函数的增量()()y=fx+x f x - ;求平均变化率()()f x+x f x y =x x- ;取极限,得导数()'y f x =limxx → 2. 注意导数的两个实际背景:切线的斜率和瞬时速度,出现上述问题常利用导数来解决. 导数的应用(一)1. 求函数的单调区间的具体步骤为:确定()f x 的定义域;计算导数()'f x ;求出()'0f x =的根;用()'0f x =的根将()f x 的定义域分成若干区间,列表考查这若干个区间内()'f x 的符号,进而确定()f x 的单调区间.2. 若()f x 在(),a b ,(),b c 上单调递增(减)又()f x 在x=b 处连续,则()f x 在(),a c 上单调递增(减) 3. 求函数极值的步骤: 1)求导数()'f x ;2) 求出()'0f x =或()'f x 不存在的所有的点;3) 检查上面求出的是x 的两侧导数的符号,如果左正右负,那么()f x 在这个点处取极大值;如果左负右正,那么()f x 在该点处取极小值.导数的应用(二) 1.连续函数()f x 在[],a b 上有最大值和最小值,求最值的一般步骤:求极值;把极值和()f a ,()f b 相比较,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.2.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把问题情景译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解. 3.证明不等式也是导数应用之一,把不等式问题转化为函数问题,然后利用函数的单调性,最值去解决.4.参数讨论问题,一般要对参数进行分类讨论,分类讨论时要注意:分类讨论的依据;分类讨论要不重不漏.三、巩固练习（2005年高考试题）： 1．(2005年湖北卷理)若1)11(lim 21=---→x bx a x ，则常数a ，b 的值为 （ C ） A ．a=-2，b=4 B ．a=2，b=-4 C ．a=-2，b=-4 D ．a=2，b=4 2．（2005年广东卷）23lim9x x x →∞+=- （ A ）1()6A - ()0B 1()6C 1()3D3．（2005年广东卷）已知数列}{n x 满足,...4,3),(21,22112=+==--n x x x x x n n n 。
高考备考指南文科数学第13章第4讲不等式的证明
件．
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第十三章 选考部分
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【跟踪训练】
3．(2018 年银川模拟)已知 x，y，z 是正实数，且 x＋2y＋3z＝1.
(1)求1x＋1y＋1z的最小值；
(2)求证：x2＋y2＋z2≥114.
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【
解
析
】
(1)
由
柯
西
不
等
式
，
得
1 x
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【解析】(1)证明：因为( 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋
2＋3z＋3)＝27，所以 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3≤3 3.
当且仅当 x＝23，y＝13，z＝0 时取等号．
(2)因为 6＝x＋2y＋3z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋9，所以 x2＋y2＋z2≥178，当且仅当 x
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又 a，b 均为正数，所以 a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy＝－ab(x2＋y2－2xy)＝－ab(x －y)2≤0，当且仅当 x＝y 时等号成立．所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
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(2)a＋1a2＋b＋1b2＝4＋a2＋b2＋a12＋b12＝4＋a2＋b2＋a＋a2b2＋a＋b2b2＝4＋a2 ＋b2＋1＋2ab＋ba22＋ab22＋2ba＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2ba＋ab＋ba22＋ab22≥4＋a＋2 b2＋2＋ 4＋2＝225，当且仅当 a＝b 时等号成立．
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2014届高考数学基础知识清单第13章 极 限
高中数学第十三章-极 限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极 限 知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k n k n ∈=∞→③对于任意实常数，当1|| a 时，0lim =∞→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ③)0(lim ≠=∞→b ba b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q qa S -=. （化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件.）如⎩⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零. ⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0③)0()()(lim 0≠=→b ba x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→xn ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0lim =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→xx x ④e xx x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件：①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定：如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→.5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf .⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞→ ②)0(0!lim a n a nn =+∞→ ③k a a n n k n ,1(0lim=+∞→为常数） ④0ln lim =+∞→nn n ⑤k n n k n ,0(0)(ln limεε=+∞→为常数）。
2014高考数学知识点
2014高考数学全套知识点（通用版）1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。
()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg()()()（答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。
2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：133函数的极限与连续(共31张PPT)
失误防范 1．在数列极限lni→m∞an 中“n→∞”是指“n→＋∞且 n∈N*”， 这 一 点 与 函 数 极 限 中 “x→∞” 是 不 同 的 ， 函 数 极 限 中 “x→∞”包含“x→＋∞”和“x→－∞”两个方面． 2.xl→imx0f(x)＝a，xl→imx0g(x)＝b 是xl→imx0[f(x)±g(x)]＝a±b， xl→imx0[f(x)·g(x)]＝ab，xl→imx0 gfxx＝ab(b≠0)成立的充分不必 要条件．
目录
例2 求下列各极限的值．
(1)lim x→2
x2x＋2－x－1 2；
(2)
lim
x→π 2
cos x ； cosx2－sin2x
(3) lim x→－1
(xx22－－13－x＋1 1)；
x
(4)lim x→0
|x|.
【思路分析】
目录
【解】
(1)lim x→2
x2x＋2－x－1 2＝222＋2－2－1 2＝34.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：B
目录
3. lim x→－2
xx2＋－24的值为(
)
A．0
B．－1
C．－4
D．不存在
答案：C
目录
4．如果函数 f(x)＝xx2－＋1a
x<1
且limf(x)存在，则 a 的值为
x>1
x→1
________．
答案：－1
目录
5．如果函数 f(x)＝xx2＋－11
设 f(x)＝ x2＋1 0<x≤1，
问 a，b 为何值时，f(x)
b x
x>1，
在定义区间内连续？
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高中数学第十三章-极 限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果
①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；
②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立.
那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①a a n n =∞
→lim ②当∞→n 时，a a n →.
⑵几个常用极限：
①C C n =∞
→lim （C 为常数） ②),(01
lim 是常数k N k n k n ∈=∞→
③对于任意实常数，
当1|| a 时，0lim =∞
→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞
→∞→不存在
当1 a 时，n n a ∞
→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：
如果b b a a b n n n ==∞
→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞
→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞
→)(lim ③)0(lim ≠=∞→b b
a b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么
Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞
→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q q
a S -=. （化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件.）
如⎩⎨
⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零. ⑵函数极限的四则运算法则：
如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
0，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0
②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0
③)0()()(lim 0≠=→b b
a x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么
)(lim ))((lim 0
0x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 0
0→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→x
n ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0lim =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x
x x ④e x
x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：
⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()
()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.
⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件：
①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00
x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定：
如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→.
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf . ⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.
⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0
A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）
6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞
→ ②)0(0!lim a n a n
n =+∞→ ③k a a n n k
n ,1(0lim =+∞→为常数）
④0ln lim =+∞→n
n n ⑤k n n k
n ,0(0)(ln lim εε=+∞→为常数）。