自适应课件(北航)5(2)

ym
yr
k mG ( s )
e
kc
k pG ( s )
yp

s
图5-3 自适应控制系统结构图
从式（5-25）可以看出， 中的
和 k m 设定后， 将为一常数，当输入 yr
为恒值时， y m 的稳定值也为恒值，所以 kc (t ) 将根据 e(t ) 的变化而产生调整作 用，作用方向是使 e(t ) 变小，直至为零。 以上参数控制规律的推演过程并没有考虑系统的稳定性问题，由于设计人员 5
将式（5-25）代入，有
a2 a1e e kp kmr 2e 0 e
由Hurwits稳定判据知，当 a1 / a2 > kp km r 2 时，系统才是稳定的。若r 过大， 或 选得过大，均容易使上述不等式不成立，从而导致系统不能稳定工作。
5.2.2 MIT的规范化算法
当参考模型与可调系统完全匹配时，有 y p y m ，并且
k m k p kc
式中， kc 为匹配时 k c 的取值。现在的稳态是如何确定 kc (t )的调节规律。
定义输出误差：
e(t ) ym yp
取性能指标函数为
(5-20)
1 J (kc ) e 2 (t ) 2
kc (t ) 的变化方向应使J在参数空间下降最快的方向，即负梯度方向。
整个系统工作不稳定。
例5.2.2 已知
G(s) 1 s 2 a1s a2
将其代入式（5-27）有：
s 3 a1s 2 a2 s Байду номын сангаас 0
如果
ym0 yr0 kp < a1a2
9
所有的根将在s平面左半部分。 从式（5-28）看， 和 yr0 均与 有关，所以 的选择不仅要以式（527）为基础，而且要考虑输入幅值的大小。 当 选定以后，对某些幅值较小的输入 yr0 ，系统工作可能是稳定的，但对 某些幅值较大的输入 yr0 ，系统工作可能不稳定。对较小幅值的 yr0 ，系统响应 速度可能较慢；对较大幅值的 yr0 ，响应可能较快。 这些清楚地表明：自适应增益的选择，依赖于输入信号的幅度；输入信号的
3
响应的时域表达式为
e(t ) (k m kc k p )G( p) yr (t )
式中， p
d dt
(5-22)
。下面求敏感导数。由于
ym kmG( p) yr (t )
yp kc k pG ( p) y r (t )
(5-23)
两式相比，得
yp kp kc ym k m
幅度影响着系统的特性。为了改变这一现象，我们对MIT控制规律做如下的修
改：
dkc 将 dt eym
修改为
dk c dt
ey m
kp 2 ym km
2
(5-29)
式中， > 0，它是为避免 (k p ym / k m ) 较小时出现上式右端过大而引入的。
5.2 用梯度法设计自适应控制系统
模型参考自适应控制系统的设计关键是可调参数的自适应规律。如前所
述，设计这种自适应规律的方法一般有梯度法和稳定理论法，本节讨论梯度法。 梯度法属于一种局部参数最优化方法，类似的方法还有牛顿-拉夫逊法、共轭梯
度法、变尺度法等，由于梯度法算法简捷，实践中用得最多。
最早用该方法设计并后来被大量使用的自适应控制规律是MIT规律，因该规 律首先在美国麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology，MIT）， 的一个仪表实验室产生而得名。
为了清楚地掌握 kc (t ) 的动态特性，我们不妨假设： kc (t ) 开始是一个常数，
自适应机构不与控制器相连，施加恒定的输入信号 yr 。当系统进入稳态之后， 再接入自适应机构，于是控制参数的特性由下列方程描述：
dkc 2 ym0 yr0 [ kpG( p)]kc ym0 dt
ym (s)
稳态输出为
km r a 2 s 2 a1s 1 s
ym (t ) k m r
由式（5-22），输出误差微分方程为
a2 e a1e e [ k m k p kc (t )] r
6
两边对 t 求导，有
a2 a1e e kp rkc (t ) e
从上面的例子可以看出，过大的输入幅度和过大的自适应增益均可能使系统 不稳定，所以有必要对这个问题做进一步的研究。
由式（5-25）知，kc (t ) 与 e(t ) 联系密切，又由式（5-20）知 e(t ) 与 yp (t ) 直接有
关，所以对kc (t ) 特性的研究是间接地对
y p (t )进行研究。
的随意性和控制要求及输入信号的多样性，设计出来的自适应控制系统必须进行
稳定性校验。
例5.2.1 设有稳定的被控对象
k p G(s)
kp a2 s 2 a1s 1
式中， kp未知，输入为阶跃信号，幅度为r，即 y r r ，试研究采用MIT控制规律 后，系统的稳定情况。 解：根据被控对象，参考模型的输出为
y p y p J J e dk k c c e(t )( ) e(t ) dt k c e k c k c k c
y p 式中， > 0 为调整步长， k c 为敏感导数。
(5-21)
关于输出误差，我们有
E(s) (km kc kp )G(s) yr (s)
将式（5-20）代入式（5-25），并考虑式（5-23），有：
7
dkc 2 ym [kpG( p) yr ]kc ym dt
式中 p d / dt
(5-26)
式（5-26）描述了控制器参数的变化规律。其中 y m 可看做是已知的时间 函数，如果 G(s) 是一个有理函数，式（5-26）是一个线性时变的微分方程。我们 很难获得控制参数随时间变化的解析解，更不用说知道自适应增益如何影响参数 特性。
11
k mG(s)
式中， k m 是使模型输出达到期望状态的增益。 控制器的设计根据被控对象与参考模型结构相匹配的原则进行，设计为一个 可调增益 kc (t ) ，整个系统的结构图如图5-2所示。
ym
km G ( s )
yr
u
e
kc
k p G(s)
yp
?
图5-2 系统结构框图
2
图中， y m 和 yp 分别为参考模型输出和对象输出。“ ？”为待定的符号。
式中， y m 0 是模型稳态输出， yr0 是恒值输入信号的幅值。
8
这是一个线性时不变系统，微分方程的系数是恒定的，其稳定性可由下列代 数方程来确定：
s G(s) 0
式中
(5-27)
ym0 yr0 kp
画出零点随 变化的轨迹来。
(5-28)
由于 G(s) 原来设定是稳定的，所以 k c 的特性由 来确定。我们甚至可以 如果方程式（5-27）有零点在s平面右半部，控制器工作将会不稳定，从而
kp yp kc ym km
y p k p ym k c k m
kp dk kc c e y m ey m dt km
(5-25) 4
于是有
(5-24)
两边对 k c 求偏导，得
将此式代入式（5-21），有
式中， kp / km 为自适应增益。
式（5-25）称MIT控制规律，其自适应控制系统结构图如图5-3所示。
10 式（5-29）称为MIT的规范化算法。根据式（5-29），用同样的分析，式
（5-27）将变为
s
y m 0 y r0
kp ym0 km
2
k pG(s) 0
从上式知，由于 y m 0 正比于 yr0 ，所以方程的根不会因输入幅度变化而改变许多。 MIT控制原理明了，结构简单，工程上易于实现，因此近期仍有应用。但 是，它也存在一些问题：设计出的自适应控制系统不能保证其闭环系统的稳定 性，需要进行稳定性检验。此外，仅调整增益只能在较小范围内改变系统的动态 性能，如果需要对系统进行较大的校正，一般难以实现，所以该设计方法的应用 范围有限。
5.2.1 MIT控制规律
设有被控对象或过程
k p G( s)
式中， kp 为增益，未知或慢时变，G(s) 为已知的传递函数，且稳定。 现在的任务有两条：一是根据参考输入和控制要求，选取一个参考模型，并 1
使其输出达到期望的特性；二是设计一个控制器调节规律，使它与被控对象构成
的可调系统，能使其输出接近并最终达到参考模型的输出。 显然，参考模型可取