小波分析基础学习资料
第3章小波分析概述2
x −b ψ a ,b ( x ) = a ψ ( ) a
− 1 2
ˆ ˆ ψ ab (ω ) = a e -jω bψ ( aω )
ω*
a
ω
*
频窗半宽度： ∆ψˆ 频窗范围： [ω ± ∆ψˆ ]
*
问题：为何b没有对频窗宽度以及位置产生影响？
∆ψˆ ab =
[
∆ψˆ a
]
时域：∆ψ ab = a ∆ψ
注意存在条件：容许小波 Cψ = ∫
∞
Ψ (ω )
2
ω
dω < ∞
类似傅立叶逆变换，可看成是对f(x)的一种分解 （不同的是这种分解有一个多尺度的思想）
五、离散小波变换
离散傅立叶变换的基函数是离散的， 而离散小波变换的基函数是连续的
X ( k ) = ∑ x ( n )e
离散傅立叶变换
n =0
N −1
傅立叶分析
傅立叶变换和逆变换：
F (ω ) = ∫ f ( x )e − jxω dx
∞
1 f ( x) = F (ω )e jxω d ω 2π ∫ ∞
傅立叶变换没有时域局域化的能力，任何局 部时域上的变化都会影响整个频域。（例子：一次
实现多通道图像的傅立叶变换）
小波基与傅立叶变换基函数的差别？
% ψ j ,k 是相对于 ψ j,k
的重构小波
注意:
1. 正交与双正交的情况、对偶 2. 从积分到离散和的变化（冗余度的变化）
1 Cψ dadb a2
f (x) =
∫∫ W f ( a , b )ψ ( a , b )
∞
回顾：
1、各种小波的关系（a,b的取值类型不同）。
小波分析
小波分析小波分析是一种在信号处理领域中常用的数学工具。
它可以分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像和视频等。
小波分析的概念来源于法国数学家Jean Morlet在20世纪80年代提出的一种数学理论，经过不断的发展和改进，如今已成为信号处理中不可或缺的技术之一。
小波分析的基本思想是将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。
这些小波基函数可以看作是时间和频率的局部性的权衡。
相比于传统的傅里叶分析和傅立叶变换方法，小波分析更加适用于处理非平稳信号，因为它允许信号在时间和频率上的变化。
小波分析的核心概念是小波变换，它将信号分解成不同频率的小波分量，并用小波系数表示。
这些小波系数可以提供关于信号的时间和频率信息。
小波变换可以通过离散小波变换（DWT）或连续小波变换（CWT）来实现。
DWT适用于离散信号，而CWT适用于连续信号。
小波分析有许多优点。
首先，它可以提供更精确的时间和频率信息。
由于小波基函数具有局部性，它们可以更好地捕捉信号的瞬时特性。
其次，小波分析可以有效地处理非平稳信号。
传统的傅里叶变换方法基于信号是稳态的假设，对于非平稳信号的处理效果会相对较差。
而小波分析通过局部分析的方式，可以更好地处理非平稳信号。
此外，小波分析还可以提供多分辨率分析的能力。
通过对小波系数的分层表示，可以在不同的分辨率下对信号进行分析，从而可以同时关注信号的整体结构和细节。
在实际应用中，小波分析有广泛的应用。
在音频和音乐领域，小波分析可以用于音频信号的压缩、去噪和特征提取等方面。
在图像和视频领域，小波分析可以用于图像压缩、边缘检测和运动分析等。
此外，小波分析还可以应用于金融领域的数据分析、生物医学信号的处理和地震信号的分析等。
总的来说，小波分析是一种强大的信号处理技术，它可以提供更精确和全面的信号分析。
小波分析在不同领域有广泛的应用，并且随着技术的发展和创新，其应用范围还会不断扩大。
通过深入研究和应用小波分析，我们可以更好地理解和处理各种类型的信号，为我们的生活和工作带来更大的便利和效益。
小波分析基础学习资料
6、Meyer小波
SKIP
不是小波的例
RETURN
3、傅立叶变换与时频分析[4] 我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函
数表示成如下形式：
f (t) a0 2
(ak cosk 0t bk sin k 0t)
i1
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，cosk 0t和sin k 0t 都是简单的调和 振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
f (t) ci gi (t)
(1.2)
i1
其中
ci f (t), gi (t)
f (t)gi (t)dt
gk (t), gl (t)
gk (t)gl (t)dt kl，k,l Z (1.3)
对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不
f (t)
c j,k j,k (t)
j Zk Z
(1.14)
其中c j,k f (t), j,k (t)
f (t) j,k (t)dt (1.15)
二、小波变换的定义及特点
定义1 [1]函数 (t) L2(R) 称为基本小波，如果它满足以下的“允 许”条件：
以下三个特性： 任何复杂的信号f(t)，都能由一个母函数 (t) 经过伸缩和平移产生的基 底的线性组合表示；
信号用新的基展开的系数要能反映出信号在时域上的局部化特性； 新的基函数 (t) 及其伸缩平移要比三角基sint更好地匹配非平稳信号。
历史上，Haar第一个找到了这样一个基函数，这就是非常著名但又 及其简单的Haar小波。
T
lim f (t)
小波分析方法
20小波去噪(1) Nhomakorabea21
小波去噪(2)
22
基于小波的图像融合
23
基于小波的图像融合实例(1)
24
基于小波的图像融合实例(2)
25
基于小波的图像融合实例(3)
26
基于小波的图像融合实例(4)
27
基于小波的图像融合实例(5)
28
IR-Fusion技术
IR-Fusion技术可实时将红外图像和可见光图像以像素对像 素的方式融合并显示成一个图像。据称,IR-Fusion是唯一 允许用户在相机屏幕上就可对图像进行操作的技术。该技 术的出现使用户可以发现类似红外热像仪一般不能检测到 的问题。
R
f (t ) (
1 t b W ( a , b ) ( )dadb f 2 a a R R
12
8.2 小波的应用领域 • 模式识别——指纹，人脸
• 语音识别——语音特征提取
• 地震勘探——异常信号捕捉 • 数据压缩——选用高消失距的小波基 • 故障诊断——检测突变信号 • 医疗监护——检测异常生理信号
• 信号降噪——一维信号降噪
• 图像降噪——二维信号降噪
• 数据融合
13
小波应用 一维小波分解ca1,cd1
14
一维小波分解ca3,cd3,cd2,cd1
15
一维小波分解 S=a1+d1
16
一维小波分解 S=a3+d3+d2+d1
17
二维小波分解
18
二维小波分解与重建
19
基于小波的奇异性分析
8 小波分析方法
8.1 小波分析与傅里叶变换的比较 8.2 小波应用
《小波分析概述》课件
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
第1章(268)教材配套课件
第1章 小波分析基础
定理1 设Wn是由形如 kZ ak(2n x k)( ak R)的函数所组成
的线性空间，其中ak含有限个非0项，则Wn构成Vn在Vn+1中 的正交补，并且Vn1 Vn Wn 。
定理2 能量有限空间L2(R)可以分解为如下形式之和： L2 (R) V0 W0 W1
第1章 小波分析基础
定理3 设 {Vn;n Z} 为一个具有尺度函数的正交多分辨
分析，则下列尺度关系式成立：
( x) hk (2x k )
kZ
其中，hk
2
(x) (2x k)dx
，并且有 (2 j1 x l)
， hk2l (2 j x k )
~ˆ () ˆ *()
ˆ (2 j ) 2
j
由上式可以看出，稳定条件实际上是对上式分母的约束
条件，它的作用是保证对偶小波的傅里叶变换存在。
Wf (a, b)
第1章 小波分析基础
1.4 离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波
变换必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波 a,b (t)
是一个仅有4个非0系数的小波(俗称D4小波)，相关系数hk的值为
h0
1 4
3
，
h1
3
4
3
h2
3 4
3
，
h3
1
4
3
第1章 小波分析基础
而其他的系数为0，对应尺度函数的图形如图1.7和图 1.8所示。
j,k
(t)
a0
j
2
t
ka0 a0 j
第十一讲 小波分析基础
式中 c j ,k 为离散小波变换的结果，称为小波系数。
4.1 多分辨分析
若空间 L2 ( R) 中有一列子函数空间 V j 1. 2. 3. 4. 5.
jZ
满足如下条件：
单调性： V j 1 V j V j 1 , j Z ； 逼近性： V j 0, V L2 (R) ；
S ( , ) f (t ) g (t )e jt dt
R
g (t ) 是一个具有紧支集的函数，可以看出是一个窗函数
f (t )
是待分析信号函数
e jt 起着频限的作用
g (t )
起着时限的作用
1.3 短时傅里叶的特点
S (, ) ：大致上反映了信号f ( x) 在时刻 、频率为 的
频 率
时间
3.2 连续小波变换
ˆ ( ) ，当 ˆ ( ) 满足允 设 ( x) L2 (R) ，即满足 R ( x ) dx ，其傅里叶变换为
2
许条件（完全重构或恒等分辨条件）
ˆ ( ) C d R
称 ( x) 为一个小波或母小波，若采用以下定义式：
试求相应的正交小波函数
7 课后预习
小波评价指标 各种母小波特点及适用性 正交小波构造方法（了解） 小波变换的应用
8 课堂练习
求下列分段函数的哈尔变换，并进行复原
v(t)
2
1 0.25 0.5 0.75 t
-1
-2
1 f ( x) C
da (W f )(b, a) b,a ( x) a 2 db
小波_基础知识
完全标准正交系、 Parseval 定理和付里叶展开之间 的本质联系。只要找到 一种正交系，则 空间的任意元素均可以 表示为一个付里叶级数 的形式： x(t ) x(t ), en (t ) en
n 1
框架及紧框架 Frame & Compact Frame
函数序列 k (t )是相关的，空间 中的元素也能够展开为 (t ) x(t ), k (t ) k (t ) X x
什么叫完全的标准正交系？
内积空间 中的标准正交系en }，x X , n Z , 若xen，必有x 0. X {
什么叫双正交基？
~ 基底{en }不一定满足正交关系， 但是满足 el (t ), ek (t ) (l k ) 正交性体现在展开系和 对偶系之间。
Hilbert空间
线性赋范空间
设X为一线性空间， x X , 存在非负实数 x 与之对应，满足 1. x 0,当且仅当x 0时， 0 2. R, x x 3.x, y X , x y x y x 距离定义为 ( x, y ) y x
Banach (巴拿赫)空间
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波
小波分析基础：从理论到应用
这一章主要介绍了小波分析的基本概念、历史背景和发展现状，为读者提供 了必要的基础知识。通过这一章的学习，读者可以对小波分析有一个初步的了解 和认识。
这一章深入介绍了小波变换的基本理论，包括连续小波变换、离散小波变换、 多尺度分析等。通过这一章的学习，读者可以掌握小波变换的基本原理和方法。
这一章主要介绍了小波基的构造方法和性质，包括尺度函数和小波函数的构 造、正交性、对称性等。通过这一章的学习，读者可以了解如何构造具有优良性 质的小波基。
精彩摘录
当我们谈到小波分析，许多人可能首先想到的是一串深奥难懂的数学公式和 理论。然而，《小波分析基础：从理论到应用》这本书却以一种全新的方式，将 小波分析的魅力展现得淋漓尽致。在这篇文章中，我们将为大家分享这本书中的 一些精彩摘录，让大家感受到小波分析的独特魅力。
“小波分析是一种强大的数学工具，它能够揭示信号和数据的本质特征。通 过小波变换，我们可以将信号分解成不同频率和时频部分的组合，从而更好地理 解信号的特性和变化。”
在深入学习过程中，我对小波框架和正交小波产生了浓厚的兴趣。框架理论 是小波分析中的一个重要部分，它为我们提供了一种全新的视角来看待信号或数 据的处理。而正交小波因其独特的性质，在小波分析中占据着举足轻重的地位。 通过本书，我对这两部分内容有了更为深入的了解。
书中的多分辨率分析也是一大亮点。这一章节通过一个简单的例子入手，逐 步引导读者进入多分辨率分析的殿堂。双尺度方程的时域和频域描述，以及小波 滤波器等内容，都让我对多分辨率分析有了更为深刻的认识。而小波子空间和L2 空间的正交分解，更是让我感受到了数学与信号处理之间的紧密。
这段摘录展望了小波分析的未来应用前景。随着科技的不断发展和人类对自 然界认识的深入，小波分析将在更多领域发挥其独特的优势，为人类社会的进步 做出贡献。
第三讲小波分析
∞
1 da = 2 2π a
∞
∫∫
0
R
da 2 ˆ (ω ) g ˆ (aω ) dω ˆ (ω )ψ f a
R 2 ∞ ψ ˆ (a) ˆ ˆ (ω )dω ∫ f (ω ) g da 0 a
1 = 2π
∫
R
ψ ˆ (aω ) 1 ˆ (ω ) g ˆ (ω ) ∫ f da dω = 0 2π a
R
2
∫ aωψ (aw)
R
2
dω
∫ ωψ (ω )
R
2
1 * dω = ωψ a
ˆ a ,b (ω ) |2 dω )1 / 2 / || ψ ˆ a ,b || ∆ω = ( ∫ (ω − ω * ) 2 | ψ 1 1 * 2 2 ˆ ( aω ) dω (ω − ωψ ) aψ = ∫ R ˆ || a || ψ = 1 1 a || ψ ||2 1 = 2 2 || ψ || a 1 = ∆ωψ . a 1
即 (| a | + | b |) ≤| a | + | b | ；另一方面，由于 f ( x) = x , x > 0 ，是关于 x 的单调函数，所
α α α
α
α
α
以， | a + b | ≤ (| a | + | b |) ；因此， | a + b | ≤ (| a | + | b |) ≤| a | + | b | 。
3.2.1 定理 假定
∫ (1+ | x |) | ψ ( x) | dx < ∞ ，且ψˆ (0) = 0 。如果有界函数 f 是以指数α
R
小波_基础知识
说明
Z表示整数集合 R表示实数集合 C表示复数集合 Z ＋表示正整数集合 R n 表示n为欧氏空间 内积 x, y
x(t ) y (t )d t
R
常用的距离空间
1.n维欧氏空间R
n
n维向量x ( x1 , x2 , , xn )的全体所组成的集合 . x, y R n , 定义距离 ( x, y ) [ ( xi yi ) ]1/ 2
正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波
小波变换如同一台可变焦距的数学显微
镜，改变各种焦距便可探测到被处理信 号中所隐含的奇异点并识别出它的性质， 或分析出非平衡信号所包含的各种成分， 从而可有效地探测并诊断出精密复杂设 备中的疑难故障，是该领域具有明显应 用前景的前沿课题
小波分析的基本原理和算法介绍
小波分析的基本原理和算法介绍小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具。
它通过将信号分解为不同频率的小波函数来研究信号的局部特征和时频特性。
与傅里叶变换相比，小波分析可以提供更多的时域信息，因此在许多领域中得到广泛应用。
一、小波分析的基本原理小波分析的基本原理是将信号表示为一组基函数的线性组合。
这些基函数是由一个母小波函数进行平移和伸缩得到的。
母小波函数是一个有限能量且具有零平均值的函数。
通过平移和伸缩操作，可以得到不同频率和位置的小波函数。
小波分析的核心思想是将信号分解为不同频率的小波函数的线性组合。
这种分解可以通过连续小波变换（CWT）或离散小波变换（DWT）来实现。
CWT将信号与不同尺度的小波函数进行卷积，得到信号在不同频率上的能量分布。
DWT则是将信号分解为不同频率的小波系数，通过迭代地进行低通滤波和下采样操作来实现。
二、小波分析的算法介绍小波分析的算法有多种，其中最常用的是基于DWT的离散小波变换算法。
下面介绍一下DWT的基本步骤：1. 选择小波函数：根据需要选择合适的小波函数，常用的有Daubechies小波、Haar小波等。
2. 分解过程：将信号进行多层分解，每一层都包括低频和高频部分。
低频部分表示信号的整体趋势，高频部分表示信号的细节信息。
3. 低通滤波和下采样：对每一层的低频部分进行低通滤波和下采样操作，得到下一层的低频部分。
4. 高通滤波和下采样：对每一层的高频部分进行高通滤波和下采样操作，得到下一层的高频部分。
5. 重构过程：通过逆过程，将分解得到的低频和高频部分进行合成，得到原始信号的近似重构。
小波分析的算法还可以应用于信号去噪、图像压缩、特征提取等问题。
通过选择不同的小波函数和调整分解层数，可以根据具体应用的需求来进行优化。
三、小波分析的应用领域小波分析在许多领域中得到广泛应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 信号处理：小波分析可以用于信号去噪、信号压缩、信号分析等。
小波分析-基础知识
0 1
0
0.
线性空间
4．如果 0，则 0 或 0 . 证明 又
1
假设 0 , 那么
1
0 0.
1
.
1
0.
同理可证：若 0 则有 0.
线性空间
三、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间，L是 V 的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V 的子空间．
定理 线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是：L 对于 V 中的线性运算封闭．
. Q[ x]n 对运算不封闭
线性空间
例４ 正弦函数的集合
S x s Asin x B A, B R. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．
s1 s2 A1 sin x B1 A2 sin x B2 a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x
a a;
(7) a a a a a a a a;
(8) (a b) (ab ) ab a b
a b a b.
线性空间
3. 0 0;
1 ; 0 0.
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
小波分析入门PPT课件
THANKS
感谢观看
应用
在音频处理、图像处理、信号处理等领域有广泛应用 。
复数小波变换
定义
复数小波变换是指小波基函数为复数的小波变换，其变换结果也 为复数。
特点
复数小波变换具有更强的灵活性和表达能力，能够更好地描述信 号的复杂性和细节。
应用
在雷达信号处理、通信信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
04
CATALOGUE
小波变换的基本原理
小波变换的定义
小波变换是一种信号的时间-频率分析方法，通过将信号分解 成不同频率和时间的小波分量，实现对信号的时频分析和去 噪。
小波变换的原理
小波变换通过将信号与一组小波基函数进行内积运算，得到 信号在不同频率和时间上的投影，从而实现对信号的时频分 析和去噪。
小波变换的应用领域
小波变换的基本理论
一维小波变换
定义
实例
一维小波变换是一种将一维函数分解 为不同频率和时间尺度的过程，通过 小波基函数的平移和伸缩实现。
一维小波变换在图像压缩中广泛应用 ，如JPEG2000标准就采用了小波变 换技术。
作用
一维小波变换用于信号处理、图像处 理等领域，能够有效地提取信号中的 特征信息，实现信号的时频分析和去 噪等。
数值计算中的应用
数值求解偏微分方程
小波分析可以用于求解偏微分方程的数值解，通过小波变 换可以将方程转化为离散形式，便于计算。
数值积分与微分
小波分析可以用于数值积分与微分的计算，通过小波基函 数展开被积函数或被微分函数，可以快速计算积分或微分 值。
数值优化
小波分析(信号分析基础)
1.2信号的时－频联合分析
信号的幅度不但随时间变化，而且对现实物理世 界中的大部分信号，其频率也随时间变化。实际 上，在时域中愈是在较短时间内发生幅度突变的 信号，其包含的信息就愈多。但由傅立叶变换看 不出在什么时刻发生了此种类型的突变。
sin(1n), x(n) sin(2n),
sin(3n),
1.3几种常见的时频分析
1.3.2 Wigner (魏格纳）分布
exp j2 f1t 0 t T 4
x
t
exp
j2
f2t
T
4
t
T
2
exp j2 f3t T 2 t T
xt A cos0t
西南交通大学电气工程学院
1.3几种常见的时频分析
1.3.2 Wigner (魏格纳）分布
西南交通大学电气工程学院
确定性信号与非确定性信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。 不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。
信号
确定性信号
非确定性信号
西南交通大学电气工程学院
周期信号
简单周期信号 复杂周期信号
非周期信号 平稳随机信号
准周期信号 瞬态信号
非平稳随机信号
时域描述与频域描述
1.3几种常见的时频分析
1.3.1 短时傅立叶变换
Linear scale
Real part
1 0.5
0 -0.5
Signal in time
|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
0.4
Frequency [Hz]
Energy spectral density
11小波基础
H 1
1 x 1 2
0
0 其它
1
【解】
ˆ ()
(t)eitdt
1
2 eit dt
0
1 1
eit
dt
2
eit
i
1 2
eit
i
1 1
1
i
i e 2
2
1
0
2
1
i
e2
cos
2
v
3 4
1
4
8
3
3
0
2 3
8 ,
3
vt t4 35 84t 70t2 20t3 t 0,1
t
小波分析入门
多级分解和重构
小波的多级分解和重构可表示为
这一过程包括两个方面: 信号分解得到小波 系数, 由小波系数重构原信号.
前面我们已讨论过信号的小波分解和重构.
在应用中当然无需将一个信号分解后又重 构其本身. 在进行重构前通常我们要改变小波系数, 获 得我们所需要的重构信号, 进行小波分析的 目的在于获得信号的小波系数,然后进行信 号去噪和压缩等应用. 许多应用仍等待我们去发现.
不难看出滤波器形状越来越接近db2小波, 这表明小波的形状完全由重构滤波器决定.
二者的重要联系说明:
我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小 波分析. 至少当需要对信号进行精确重构时,我们 不能选择任意的小波形状. 我们必须选取由积分 镜像分解滤波器所决定的形状作为小波.
尺度函数-- Scaling Function
相比之下,傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在 无限区间内存在。
正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则 波形，且非对称。
傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦 波。 与此类似,小波分析将信号分解为不同尺度、 平移的小波。
连续小波变换--CWT
从数学的观点看傅里叶变换
与此类似，小波分析变换公式为 为母小波，C为小波系数，为尺度与位置 的函数。
上面我们看到了小波与镜像积分滤波器的 内部联系. 小波函数由高通滤波器决定, 高 通滤波器也产生小波分解的细节信号. 另一与小波函数有一些联系的函数就是所谓 的尺度函数, 尺度函数相似于小波函数,决 定于低通镜像积分滤波器, 该滤波器与小波 分解的逼近信号相关. 同样, 通过重复上采样并与高通滤波器进行 卷积可得到小波函数; 重复上采样并与低通 滤波器进行卷积可得到尺度函数的近似形状.
小波分析入门
小波分析的基本知识屠2001.8.2A.基本知识A1.小波(WAVELET)分类1.原始小波:(1).高斯gaus, (2).莫来特morlet, (3).墨西哥帽mexihat2.无限正则小波浪:(4).梅耶meyr (5).离散梅耶dmey3.正交和紧支集小波:(6).达比切斯dbN(Daubechies), (7).对称symN(symlets), (8).coifN4.双正交和紧支集小波: (9).双正交biorNr (10). 逆双正交rbioNr.Nd5.复小波: (11).复高斯cgauN (12)复莫来特 cmor Fb-Fc (13)复香农shan Fb-Fc(14).复频率B样条 fbspM Fb-Fc注1:db1小波也称哈尔Harr小波,也是原始小波注2.symlet小波是Daubechies小波的改进,由不对称改成近似对称注3.紧支集即函数在有限区域内不为零A2.小波函数和尺度(SCALE)函数1.小波函数(psi)--由高通滤波器确定,产生小波分解的细节 D(detail,)2.尺度函数(phi)--由低通正交镜象滤波器确定, 产生小波分解的逼近 A(approximation)A3.小波分解:S(SIGNAL)=A1+D1=(A2+D2)+D1=(A3+D3)+D2+D1=(A4+D4)+D3+D2+D1=...A4.小波包(WP=Wavelet Packet)分解:S=A1+D1=(AA2+DA2)+(AD2+DD2)=(AAA3+DAA3)+(ADA3+DDA3)+(ADA3+DDA3)+...A5.WAVEMENU: 开始图象用户界面GUI工具A6.WAVEDEMO: 小波工具箱演示B小波变换B1.一维连续小波变换:CWT coefs=cwt(S,scales,"wname')coefs=cwt(S,scales,'wname','plot')coefs=cwt(S,scales,'wname','plotmode')scales--正实数,如1:32,[64 32 16:-2:2],...COLORMENU,COLORBARB2.单级一维离散小波变换:DWT,UPCOEF[Ca1,Cd1]=dwt(x,'wname'), Ca1--逼近系数 Cd1--细节系数[Ca1,Cd1]=dwt(x,Lo_D,Hi_D)a1=upcoef('a',Ca1,'wname',1,L); a1--逼近 L--length(x)d1=upcoef('d',Cd1,'wname',1,L); d1--细节 L--length(x)B3.单级一维逆离散小波变换:IDWT, x=idwt(Ca1,Cd1,'wname')B4.多级一维离散小波分解:WAVEDEC,APPCOEF,DETCOEF,WRCOEF[C,L]=wavedec(x,N,'wname'),N--级(LEVEL)数 C--分解(DECOMPOSITION)矢量L--辅助操作(Bookkeeping)矢量B5.APPCOEF:提取一维小波逼近系数,A=appcoef(C,L,'wname',N)B6.DETCOEF:提取一维小波细节系数,A=detcoef(C,L,'wname',N)B7.WRCOEF:X=wrcoef('type',C,L,'wname',N).type=a,逼近;type=d,细节B8.WAVEREC(多级一维离散小波重构) 重构--RECONSTRUCTIONx=waverec(C,L,'wname')x=waverec(C,L,Lo_R,Hi_R)B9.WFILTERS--小波滤波器[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters('wname'),'wname'=db,coif,sym,bior,rbioB10.DYADDOWN:二进(Dyadic)降采样 Y=dyaddown(x,EVENODD)EVENODD--even,y(k)=x(2k), --odd,y(k)=x(2k-1)B11. DYADUP:二进增采样(填零), y=dyadup(x,EVENODD)B12. WKEEP:保留矢量或矩阵的一部分C.小波包变换C1. WPDEC一维离散小波包分解:[T,D]=wpdec(x,N,'wname',E,P), T--树结构Tree structure, D--数据结构E-熵 Entropy E='shannon','threshold','norm','log energy','user'P-附加参数'threshold' 'sure':P=threshold(0<=P)'norm':P=power,1<=P<2)C2. WPREC一维离散小波包重构x=wprec(T,D) T--小波包树(TREE) N—节点(NODE)C3. WPCOEF小波包系数x=wpcoef(S,D,N)D.MALLAT算法(FWT)E.一维试验信号(b1(t): b2(t): )oislop(ramp+color noise):1=<t<=499,(t/500)+b2(t);500=<t<=1000,1+b2(t)2.freqbrk:1=<t<=500,sin(0.03t);501=<t<=1000,sin(0.3t)3. heavysin4.nelec(2000 电力消耗)5.leleccum(4320分(72小时)电力消耗6.linchirp(线性快扫)7.mfreqbrk8.mishmash 9.nearbrk(1~499,511~1500)10.noisbloc 11.noisbump12.noischir 13.noisdopp 噪声多普勒14.noismima 15.noispol: 在[1 1000]间 t^2-t+1+b1(t) 16.noissin:sin(0.03t)+b1(t) 17.qdchirp18.quachip19.scddvbrk:二阶导数不连续,t<0,exp(-4t^2);t>=0,exp(-t^2),t=[-0.5 0.5]20.sinfract 21.sinper8 22.sumlichr23.sumsin:sin(3t)+sin(0.3t)+sin(0.03t)24.trsin:1=<t<=500,((t-1)/500)+sin(0.3t);501=<t<=1000,((1000-t)/500)+sin(0.3t)25.vonkoch:分形,科克雪花26.warma:AR(3),b2(t)=-1.5*b2(t-1)-0.75*b2(t-2)-0.125*b2(t-3)+b1(t)+0.527.wcantor:分形,康托(三分取一)曲线28.whitnois:在[-0.5 0.5]间的均匀白噪声29.wnoislop:1=<t<=499,(3t/500)+b1(t);500=<t<=1000,3+b1(t)30.wntrsin:1=<t<=500,((t-1)/500)+sin(0.3t)+b1(t);501=<t<=1000,((1000-t)/500)+sin(0.3t)+b1(t)31.wstep:1=<t<=500,s=0;501=<t<=1000,s=20.32.cuspamax(1024):x=linspace(0,1.1024);y=exp(-128*((X-0.3).^2))-3*(abs(x-0.7).^0.433.brkintri:顶端折线三角34.wcantsym(2188):对称康托集disp('******)*************MALLAT算法示例***********************************************')x=[1.8 1.0 -1.0 -1.8];[Lo_D,Hi_D]=wfilters('db1','d');tmpo1=conv(x,Lo_D); [1.8 1.0 -1.0 -1.8]*[0.7071 0.7071]tmpo2=conv(x,Hi_D);Ca1=dyaddown(tmpo1);Cd1=dyaddown(tmpo2);disp('低通分解滤波器系数Lo_D 高通分解滤波器系数Hi_D');disp( [(Lo_D)' (Hi_D)'] ),disp('卷积conv(x,Lo_D 卷积conv(x,Hi_D)');disp( [(tmpo1)’ (tmpo2)’] ),disp('一级逼近系数Ca1 一级细节系数Cd1');disp( [(Ca1)’ (Cd1)’] ),% Ca1=1.9799 -1.9799 Cd1= 0.5657 0.5657[Lo_R,Hi_R]=wfilters('db1','r');disp('低通重构滤波器系数Lo_R=');disp(Lo_R),disp('高通重构滤波器系数Hi_R=');disp(Hi_R),tmp1=dyadup(Cd1);tmpo3=conv(tmp1,Hi_R);d1=wkeep(tmpo3,4);tmp2=dyadup(Ca1);tmpo4=conv(tmp2,Lo_R);a1=wkeep(tmpo4,4);disp( '一级逼近a1 一级细节d1 ');DISP( [(a1)’ (d1)’] ),% 一级逼近a1= 1.4000 1.4000 -1.4000 -1.4000% 一级细节d1= 0.4000 -0.4000 0.4000 -0.4000figure(1),a0=a1+d1;subplot(521),bar(x,0.1),title('原始波形x=[1.8 1.0 -1.0 -1.8]'), grid,axis([0 5 -2 2]),subplot(522),bar(a0,0.1),title('分解后重构波形s=a1+d1'),grid,axis([0 5 -2 2])subplot(523),bar(Ca1,0.1),title(' 逼近系数Ca1=[1.98 -1.98]'),grid,axis([0 5 -2 2])subplot(524),bar(Cd1,0.1),title(' 细节系数Cd1=[0.566 0.566]'),grid,axis([0 5 0 1])subplot(525),bar(a1,0.1),title(' 一级逼近a1=[1.4 1.4 -1.4 -1.4]'),grid,axis([0 5 -2 2])subplot(526),bar(d1,0.1),title(' 一级细节d1=[0.4 -0.4 0.4 -0.4]'),grid,axis([0 5 -1 1])subplot(527),bar(Lo_D,0.1),title('低通分解滤波器系数Lo_D'),grid,axis([0 5 0 1])subplot(528),bar(Hi_D,0.1),title('高通分解滤波器系数Hi_D'),grid,axis([0 5 -1 1])subplot(5,2,9),bar(Lo_R,0.1), title('低通重构滤波器系数Lo_R'),grid,axis([0 5 0 1])subplot(5,2,10),bar(Hi_R,0.1),title('高通重构滤波器系数Hi_R'),grid,axis([0 5 -1 1])%******以上为MALLAT算法原理,实际上用简单命令DWT,UPCOEF计算如下************************** x=[1.8 1.0 -1.0 -1.8];length(x);[Ca1,Cd1]=dwt(x,'db1');a1=upcoef('a',Ca1,'db1',1,4);d1=upcoef('d',Cd1,'db1',1,4);x1=a1+d1;a0=idwt(Ca1,Cd1,'db1',4);------------------------------------------------------------------------------------ x=[1.8 -1.8 1.8 -1.8];x=[1.8 1.0 -1.0 -1.8];[Lo_D,Hi_D]=wfilters('db40','d');tmpo1=conv(x,Lo_D);tmpo2=conv(x,Hi_D);Ca1=dyaddown(tmpo1);Cd1=dyaddown(tmpo2);disp('低通分解滤波器系数Lo_D 高通分解滤波器系数Hi_D');disp( [(Lo_D)'(Hi_D)'] )disp('卷积conv(x,Lo_D)');disp(tmpo1),disp('卷积conv(x,Hi_D)');disp(tmpo2),disp('一级逼近系数Ca1=');disp(Ca1),disp('一级细节系数Cd1=');disp(Cd1),[Lo_R,Hi_R]=wfilters('db40','r');disp('低通重构滤波器系数Lo_R=');disp(Lo_R),disp('高通重构滤波器系数Hi_R=');disp(Hi_R),tmp1=dyadup(Cd1);tmpo3=conv(tmp1,Hi_R);d1=wkeep(tmpo3,4);tmp2=dyadup(Ca1);tmpo4=conv(tmp2,Lo_R);a1=wkeep(tmpo4,4);disp('一级逼近a1');disp(a1),disp('一级细节d1');disp(d1),figure(2),a0=a1+d1;subplot(521),bar(x,0.1),title('原始波形x=[1.8 1.0 -1.0 -1.8]'),subplot(521),bar(x,0.1),title('原始波形x=[1.8 -1.8 1.8 -1.8]'),grid,axis([0 5 -2 2]),subplot(522),bar(a0,0.1),title('分解后重构波形s=a1+d1'),grid,axis([0 5 -2 2]) subplot(523),bar(Ca1,0.1),title(' 逼近系数Ca1'),grid,axlimdlg, axis([0 5 -2 2]) subplot(524),bar(Cd1,0.1),title(' 细节系数Cd1'),grid,axlimdlg, axis([0 5 0 1])subplot(525),bar(a1,0.1),title(' 一级逼近a1=[1.296,0.911,-0.6502,-1.5585]'),subplot(525),bar(a1,0.1),title(' 一级逼近a1=[ ]'), axlimdlg,grid, axis([0 5 -2 2])subplot(526),bar(d1,0.1),title(' 一级细节d1=[0.504,0.089,-0.3498,-0.2415'), subplot(526),bar(d1,0.1),title(' 一级细节d1=[ ]'),axlimdlg,grid, axis([0 5 -1 1])subplot(527),bar(Lo_D,0.1),title('低通分解滤波器系数Lo_D'),grid, axis([0 5 0 1]) subplot(528),bar(Hi_D,0.1),title('高通分解滤波器系数Hi_D'),grid, axis([0 5 -1 1]) subplot(5,2,9),bar(Lo_R,0.1), title('低通重构滤波器系数Lo_R'),grid, axis([0 5 0 1]), axlimdlg,subplot(5,2,10),bar(Hi_R,0.1),title('高通重构滤波器系数Hi_R'),grid, axis([0 5 -1 1]) axlimdlg,k=[1.8 1.0 -1.0 -1.8];s=[1.296 0.911 -0.6502 -1.5585];t=[0.504 0.089 -0.3498 -0.2415];ss=abs(fft(s,21));tt=abs(fft(t,21));kk=abs(fft(k,21));subplot(311),plot(kk),grid,axlimdlg,subplot(312),plot(ss),grid,axlimdlg,subplot(313),plot(tt),grid,axlimdlg,k1=[1.8 1.0 -1.0 -1.8];s1=[1.4 1.4 -1.4 -1.4];t1=[0.4 -0.4 0.4 -0.4];k2=[1.8 1.0 -1.0 -1.8];s2=[1.296 0.911 -0.6502 -1.5585];t2=[0.504 0.089 -0.3498 -0.2415];S1=abs(fft(s1,21));T1=abs(fft(t1,21));K1=abs(fft(k1,21));S2=abs(fft(s2,21));T2=abs(fft(t2,21));K2=abs(fft(k2,21));subplot(321),plot(K1),grid,axis([1 11 0 6]),title('Harr')subplot(323),plot(S1),grid,axis([1 11 0 6]),title('Harr')subplot(325),plot(T1),grid,axis([1 11 0 2]),title('Harr')subplot(322),plot(K2),grid,axis([1 11 0 6]),title('db40')subplot(324),plot(S2),grid,axis([1 11 0 6]),title('db40')subplot(326),plot(T2),grid,axis([1 11 0 2]),title('db40')disp('**********MALLAT算法可用简单命令DWT,UPCOEF重算如下*******************')x=[1.8 1.0 -1.0 -1.8];length(x); =4[Ca1,Cd1]=dwt(x,'db1');a1=upcoef('a',Ca1,'db1',1,4);d1=upcoef('d',Cd1,'db1',1,4);disp('一级逼近系数Ca1=');disp(Ca1), disp('一级细节系数Cd1=');disp(Cd1),disp('一级逼近a1=');disp(a1), disp('一级细节d1=');disp(d1),x1=a1+d1;a0=idwt(Ca1,Cd1,'db1',4);figure(1),subplot(321),bar(x,0.1),title('x=a1+d1=[1.8 1.0 -1.0 -1.8]'),grid,axis([0 5 -2 2]),subplot(322),bar(a0,0.1),title('a0=idwt=x'),grid,axis([0 5 -2 2])subplot(323),bar(Ca1,0.1),title(' 逼近系数Ca1=[1.98 -1.98]'),grid,axis([0 5 -2 2])subplot(324),bar(Cd1,0.1),title(' 细节系数Cd1=[0.566 0.566]'),grid,axis([0 5 0 1]) subplot(325),bar(a1,0.1),title(' 一级逼近a1=[1.4 1.4 -1.4 -1.4]'),grid,axis([0 5 -1.5 1.5])subplot(326),bar(d1,0.1),title(' 一级细节d1=[0.4 -0.4 0.4 -0.4]'),grid,axis([0 5 -1 1])pausedisp(' *******************************************************************'), disp(' * *'), disp(' * *'), disp(' * 低通滤波器减低通滤波器等于带通滤波器 *'), disp(' * *'), disp(' *******************************************************************'), pause,f=-10:0.01:10;t=-50:1/20:50;y1=cos(2*pi*100*f);y2=cos(2*pi*100*t);y1(1:50)=zeros(1,50);y1(1952:2001)=zeros(1,50);y2(1:250)=zeros(1,250);y2(1752:2001)=zeros(1,250);yy=y1-y2;u=cos(2*pi*7*t);v=sinc(t);r=u.*v;U=fft(u);V=fft(v);R=fft(r);x1=real(ifft(y1));x2=real(ifft(y2));xx=real(ifft(yy));figure(2),subplot(331),plot(f,y1),axis([-12,12,0,1.1]),...title('低通(尺度) Y1(f),Fc=9.5Hz.'),subplot(332),plot(f,y2),axis([-12,12,0,1.1]),...title('低通(尺度) Y2(f),Fc=7.5Hz.'),subplot(333),plot(f,yy),axis([-12,12,0,1.1]),...title('带通(小波) YY(f),BW=2Hz.'),subplot(334),plot(t,ifftshift(x1)),axis([-5 5 -0.1 1.0]),...title('X1(t)=IFFT(Y1)'),xlabel('t(s)'),...subplot(335),plot(t,ifftshift(x2)),axis([-5 5 -0.3 0.8]),...title('X2(t)=IFFT(Y2)'),xlabel('t(s)'),subplot(336),plot(t,ifftshift(xx)),axis([-5 5 -0.1 0.16]),...title('X3(t)=IFFT(YY)'),xlabel('t(s)'),pausedisp(' ******************************************************************'), disp(' * *'), disp(' * 调制引起频移,低通变成带通 *'), disp(' * *'), disp(' ******************************************************************'), pause, figure(3),subplot(331),plot(t,u),axis([-2 2 -1.1 1.1]),title('u=cos(2pi*7t),t=-50~50'),subplot(332),plot(t,v),axis([-4 4 -0.3 1.1]),title('v=sinc(t),t=-50~50')subplot(333),plot(t,r),axis([-4 4 -0.9 1.1]),title('r=uv,t=-50~50')subplot(334),plot(f,abs(U)),axis([-5 5 0 900]),title('FFT(u),F=3Hz'),xlabel('Hz') subplot(335),plot(f,fftshift(abs(V))),axis([-5 5 0 23]),...title('V=FFT(v)),低通:Fc=0.5Hz'),xlabel('Hz')subplot(336),plot(f,abs(R)),axis([-5 5 0 11]),title('FFT(r),带通:BW=1Hz'),...xlabel('Hz'),pause,********************************************************************************* t1=-10:0.02:10;f1=0:0.05:50;ta=-20:0.02:20;tb=0:0.02:40;f1=0:1/40:50;x1=cos(2*pi*50*t1);x2=cos(2*pi*50*[0:0.02:20]);x3=cos(2*pi*50*[20:0.02:40]);xa=[zeros(1,500) x1 zeros(1,500)];xb=[x2 zeros(1,1000)];xc=[zeros(1,1000) x3]; fxa=fft(xa);fxb=fft(xb);fxc=fft(xc);subplot(531),plot(ta,xa),axis([-20 20 0 1.1]),title(''),subplot(532),plot(tb,xb),axis([0 40 0 1.1]),title(''),subplot(533),plot(tb,xc),axis([0 40 0 1.1]),title(''),subplot(534),plot(f1,abs(fxa)),grid,axlimdlg,title(''),subplot(535),plot(f1,abs(fxb)),grid,axlimdlg,title(''),subplot(536),plot(f1,abs(fxc)),grid,axlimdlg,title(''),subplot(537),plot(f1,angle(fxa)),grid,axlimdlg,title(''),subplot(538),plot(f1,angle(fxb)),grid,axlimdlg,title(''),subplot(539),plot(f1,angle(fxc)),grid,axlimdlg,title(''),subplot(5,3,10),plot(f1,unwrap(angle(fxa))),grid,axlimdlg,title(''),subplot(5,3,11),plot(f1,unwrap(angle(fxb))),grid,axlimdlg,title(''),subplot(5,3,12),plot(f1,unwrap(angle(fxc))),grid,axlimdlg,title(''),disp('**************************END***********************************'),。