广东省惠州市2016届高三第一次调研考试 数学理试题 扫描版含答案

惠州市2016届高三第一次调研考试理科数学参考答案与评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

（1）【解析】{}40，=A C U ，又{}42，=B ，故选C ． （2）【解析】i i+=-+3251，故模为10，故选A ． （3）【解析】对选项D ，由于当0=x 时，02=x ，故选D ．（4）【解析】因为//m n，所以2)1(-=-a a ，解得022=--a a ，故21=-=a a 或，故选B ．（5）【解析】由余弦定理2229471cos 22322b c a A bc +-+-===⋅⋅，又由(0,180)A ∈︒︒，得60A =︒，故选C ．（6）【解析】291log )91(3-==f ，412)2(2==--f ，所以41))91((=f f ，故选B ． （7）【解析】该几何体为直三棱柱，故体为1111122V Sh ==⨯⨯⨯=，故选C ．（8）【解析】由于可行域为三角形，且三角形的三个顶点分别为(0,1)-，(1,0)，(0,1)，所以最优解为(0,1) 时可使目标函数取得最大值为2，故选B ．（9）【解析】222()sincos 3334f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期23T ππω==，相邻的两条对称轴间距离为12T ，所以距离为32π，故选C ．（10）【解析】对于选项A ，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m ⊂α，故不正确；对于选项B ，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m 与β不一定垂直，故不正确； 对于选项C ，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m 与β不一定垂直，故不正确； 对于选项D ，由n ⊥α，n ⊥β，可得α∥β，而m ⊥α，则m ⊥β，故正确，故选D ． （11）【解析】分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为90241513=C C C ，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为60223513=A C C ，故不同保送的方法数为150种，故选A ．（12）【解析】抛物线22188y x x y =⇔=，焦点F 为(0,2)，则双曲线2221y x a-=的2c =，则23a =，即双曲线方程为2213y x -=，设(,)P m n，(n ≥，则2233n m -=22113m n ⇒=-， 则(,)(,2)OP FP m n m n ⋅=⋅- 222212123m n n n n n =+-=-+-2437()344n =--，因为n ≥n =323-，故选A ． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）725-（14）23（15）2π+ （16）4 （13）【解析】33sin()cos 255παα+=⇒=，则cos 2α=272cos 125α-=-．（14）【解析】4)31(x x -的展开式的通项为r rr r r r r r x C x x C T )31()31(244441-=-=---+， 故常数项为32)31(2243=-=C T （15）【解析】22221cos (sin )2x dx x x πππππ--+=+=+⎰（）（16）【解析】可由待定系数法求得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++13395241c b a c b a c b a ，解得1,2,2=-==c b a ，所以43=+b a三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………2分解得12,2a d ==…………………………………………………………4分 所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=,得2n a n =…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21()(22)(1)22n n a a n n nS n n n n ++===+=+ ……………8分 ∴3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，2k S k k =+因 31,,k k a a S + 成等比数列，所以213k k a a S +=，从而22(22)6()k k k +=+，………10分即 220k k --=，*k N ∈,解得2k = 或1k =-（舍去）∴ 2k = ……………………………………………………………………12分（18）（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=，解得0.03a =；………………………1分又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），………2分而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克） 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；…………………………4分（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，………………………………5分则1(3,)5X B ~.X的可能取值为、1、2、3，…………………………………………………6分()03031464055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2131448155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033141355125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ………………10分CC 1B 1AA 1BDH第18题第18题X ∴的分布列为：.（或者12分（19）（本小题满分12分）【解】(Ⅰ)依题意,侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点,因为1B A B C =,所以1B D A C ⊥,……2分又平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC ,平面1ABC 平面111AAC C AC =所以BD ⊥平面11AAC C .…………………………………………5分(Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知BD ⊥平面11AAC C ,CD ⊂面11AAC C ,所以CD BD ⊥, 又1CD AC ⊥,1AC BD D = ,所以CD ⊥平面1ABC , 过D 作DH AB ⊥,垂足为H ,连结CH ,则CH AB⊥, 所以DHC ∠为二面角1C AB C --的平面角. …………8分 在RtDAB ∆中,1,2ADBD AB ==,所以AD DB DH AB ⋅==CH ==……10分所以cos DH DHC CH ∠==,即二面角1C AB C --……………12分 [向量法]以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示, …………………………………6分由已知可得112,1,AC AD BDAD DC BC =====故()()(()()10,0,0,1,0,0,,1,0,0,D A B C C -,则((,AB BC =-=,………………8分设平面ABC 的一个法向量是(),,x y z =n,则00AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即0x ⎧-+=⎪=,解得x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =,得)=n ………………………………………9分显然()DC =是平面1ABC 的一个法向量, ……………10分所以cos ,DC DC DC⋅<>===n n n ,即二面角1C A B C --的余弦值是………12分 （20）（本小题满分12分）【解】(Ⅰ)因为抛物线21y x =-+与x 轴交于点(1,0),(1,0)-，所以1b =…………………………1分由因为242e a ==⇒=，所以椭圆方程为2214y x +=………………………3分 (Ⅱ)因为(1,0)B ，若过点B 的直线l 斜率不存在时，不满足题意，所以直线l 斜率存在，……………4分 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为(1)y k x =-，设112(,),(,)P x y Q x y ，………………………5分 联立22(114y ky x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2(4k ⇒+22(4)(4)(1)0k x k x ⎡⎤⇒+---=⎣⎦……………7分21244k x k -⇒=+，所以21112248(1)(1)44k ky k x k y k k --=-=-⇒=++，所以22248,44k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭………8分 联立2(11y k y x =-⎧⎨=-+⎩210x kx k ⇒+--=(x ⇒21x k ⇒=--………………………9分 所以2221(1)(2)2y kxk k yk =-=--⇒=-，所以2(1,2)Q k k k ----…………………………10分 由AP AQ ⊥0AP AQ ⇒⋅= 222481,44k k k k ⎛⎫--⇒+ ⎪++⎝⎭2(,2)0k k k ⋅---=…………………………11分化简得380k +=，所以83k =-，所以直线l 的方程为8(1)3y x =--即8380x y +-=……12分（21）（本小题满分12分）【解】(Ⅰ)()()23222f x x x a x ax a x =-=-+,则()()()22343f x x ax a x a x a '=-+=--, …………………………………………1分令()0f x '=,得x a =或3a ,而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值, 所以12a a -=或123a a-=,解得1a =-或3a =； …………………………………………3分当3a =时,()f x 的递增区间为(),1-∞,()3,+∞,递减区间为()1,3.………………………4分当1a =-时,()f x 的递增区间为()1,1,,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,递减区间为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……………5分(Ⅱ)()()()()221f x g x x x a x a x a ⎡⎤-=---+-+⎣⎦()()()21x x a x a x =-+-+()()211x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦,…………………………………………………6分令()()211h x x a x =+-+,()()()21413a a a ∆=--=+-,1 当0∆<即13a -<<时，()0h x =无实根，故()y F x =的零点为[]1,3x a =∈-，满足题意， 即函数()y F x =有唯一零点[]1,3x a =∈-；………………………………………………………7分2 当0∆=即1a =-或3a =时,若1a =-，则()0h x =的实数解为1x =-，故()y F x =在区间[]1,3-上有唯一零点1x =-；若3a =，则()0h x =的实数解为1x =，故()y F x =在区间[]1,3-上有两零点，1x =或3；……8分3 当0∆>即1a <-或3a >时，若1a <-，由于()()()110,01,31330h a h h a -=+<==->，此时()0h x =在区间[]1,3-上有一实数解，故()y F x =在区间[]1,3-上有唯一零点； ……9分若3a >时，由于()()()114,010,3133h a h h a -=+>=>=-， 当1330a -≤即133a ≥时，数形结合可知()0h x =在区间[]1,3-上有唯一实数解， 故()y F x =在区间[]1,3-上有唯一零点；……………………………………………………10分若1330a ->即3133<<a 时，由于)(x h y =的对称轴为21-=a x ，故35211<-<a ， 又,0313)3(,01)1(>-=>=a h h 且0>∆，所以)(x h 在区间[]3,1-上有两个不等零点. ………………………………………………11分综上，当3<a 或313≥a 时，函数()y F x =有唯一零点； 当3133<≤a 时，函数()y F x =有两不相等的零点。