第二课：初高中衔接教材3-4

初高中数学衔接教学讲义2---因式分解与方程
一.因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和与差公式、和（差）的立方公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法、待定系数法等等． 1．十字相乘法
【例1】 分解因式：（1）22(33)(31)5x x x x +-++-（2）22568x xy y +-
2：公式法
【例2】 分解因式： 6476a ab -
3．分组分解法
【例3】 （1）22(1)(1)4a b ab --- （2）22
2456x xy y x y +--+-．
4．配方法或求根法.
【例4】 在实数范围内分解因式：
（1）2
237x x --； （2）223410x xy y -++．
二.一元二次方程的根.
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 1.一元二次方程的根的判断式
一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2
22
4()4b b ac x a -+=
(1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x
(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a
=-；
(3) 当2
40b ac -<时，方程没有实数根．
由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2
4b ac -叫做一元二次方程
20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：24b ac ∆=-.
2.一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：12x x =
∴12b
x x a +-，12244ac c x x a
a ⋅=. 韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,
b
c x x x x a
a
+=-=.（前提是0∆≥）
【例5】讨论关于x 的方程22(1)(1)10m x m x -+++=的根的情况
【例6】当m 为何值时，关于x 的方程2220x mx m +++=，（1）方程的两根异号? （2）方程的两根都是正数?；（3））方程的两根一根大于1，另一根小于1？
【例7】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使1
2123(2)(2)2
x
x x x --=-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．
【例8】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．
【例9】 (1)若211160a a ++=，2
11160b b ++=
课堂练习与平时作业2-----因式分解与方程 姓名___________
1．分解因式：
（1）5431016ax ax ax -+(2) 424139x x -+
(3) 2282615x xy y +-（4）(5)(6)2a b a b -+-+-
（5）2
3x --；（6）2222()()ab c d cd a b -+-；
2.如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是．
3.若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝．
4．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有（1）两个不相等的实数根？（2）没有
实数根（3）两根同号？
6．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，
请您求出p ，q 的值．
7.已知一元二次方程20ax c +=的两根满足12||x x -且,,a b c 分别是ABC ∆的,,A B C ∠∠∠的对边，（1）求证：方程的两根都是正根 （2）若a=c,求B ∠的度数。

8.已知,x y 是正整数，并且23,xy x y ++=22120,x y xy +=求22
x y +的值。