第三章刚体力学

2 m V
J 的单位：kg· m2。 它与刚体对给定转轴的质量分布有关。 特别要注意： 转动惯量与转轴的位置有关。 转动惯量具有可相加性。
例2 计算质量为m，长为l的细棒绕通过其端点 的垂直轴的转动惯量。
解
z
J r dm
2
m dm dx dx l
l 2
o x
dm
dx
x
m 1m 3l J x dx x 0 0 l 3 l 1 2 J ml 3
2
������������ d������ = d������������
������1
������������ ������������ = ������������2 − ������������1
解
1 m 1 2 1 2m 2l 1 2 J ( l) ml 33 3 3 3 3 9
2
（1）水平
o 0
3g 2l
A
c
o
B
l 1 2 mg ml 6 9
（2） 垂直位置 重力矩为零，所以角加速度β=0 A 根据机械能守恒定律： 1 2 ������ 3������ ������������ = ������������ ������ = 2 6 ������ （3）任意位置
刚体(rigid body)：在运动过程中形状和大小都不变的物体。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
转动(rotation)：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。 这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转动又分 定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动
刚体的一般运动：
质心的平动
+
绕质心的转动
解
关键是求出摩擦力矩 d������ = ������d������ = ������������������d������ = ������������������������2������������d������
������
������ = ∫ ������������ = 2������������������������ ������ = 2������������������������
第三章 刚体力学 Chap.3 Rigid Body Mechanics
1
刚体运动的描述 定轴转动定律 转动动能 力矩的功
2
3 4
角动量守恒定律
第一节 刚体运动的描述
研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，任意两 质点之间的相对位置保持不变的质点系。 1.平动和转动 平动(translation)： 刚体在运动过程中，其上 任意两点的连线始终保持 平行。
v r 235.6(m/s)
该点的切向加速度和法向加速度
at r 15.7(m/s )
2
an r 5.55 10 ( m / s )
2 4 2
a a a 5.55 10 (m/s )
2 t 2 n 4 2
第二节 刚体定轴转动定律
要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、 方向和作用点都有关。 ������ 1. 力矩(moment of force): m ������ = ������ × ������ 单位：N· 对Z轴的力矩 ������������ = ������������ ������������ − ������������ ������������ ������ = ������ × ������ ������������ = ������������ sin ������ = ������������ ������ d
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。 关于保守力、势能、机械能等的分析，同样适用于刚体。
例5 一质量为m、长为l的均质细杆，转轴在O 点，距A端 l/3 。杆从静止开始由水平位置绕 O点转动。求：（1）水平位置的角速度和角加 速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。 （3）任意位置时的角速度和角加速度。
例3 一质量为m，半径为R，厚度极薄的均匀圆环，（1） 求通过环中心并与环面垂直的轴的转动惯量（2）若将圆 环改为匀质圆盘，转轴位置不变，求其转动惯量。
解
d������ = ������ 2 d������
������
������
������ = ∫ ������������ =
0
������ 2 d������ ������ d������
第三节 定轴转动的动能定理
1. 力矩的功
dA F dl F cos dl F cos rd Frsin d Md
A Md
1 2
d
dl

F

r
dA d M M 功率为： P dt dt
2.转动动能 刚体中任一质元 mi 动能：
v r
an r 2
刚体作匀变速转动时， 0 t 有以下的运动方程： 1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 0
例1 某发动机飞轮半径为1m，在10s内由1500r/min增加到 3000r/min。假设转动是匀加速转动，求（1）角加速度大 小。（2）在此时间内，飞轮转了多少转。（3） t = 5s时， 飞轮边缘上一点的速度与加速度。
2
质点mi的外力矩
质点mi的内力矩
对所有质点求和，可以得到：
r F sin r f sin m r
2 i 1 i i i i 1 i i i i 1 i
i
合内力矩∑ri fi sinθi 为零，则：
r F sin m r
2 i 1 i i i i 1 i
0
������ 2 d������
有刚体定轴转动的动能定理
1 2 −������Δ������ = 0 − ������������0 2
第四节 角动量守恒定律
1.刚体对定轴的角动量 对刚体中质元mi对转轴的角动量：
Lzi mi vi ri mi ri
2
L
因此整个刚体对转轴的角动量：
Fi fi mi ai
其分量为：切线方向
o
fi
Fisini
ri
i
P
i
Fi
fisini
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同时乘以ri：
ri Fi sin i ri fi sin i mi ri
2
ri Fi sin i ri fi sin i mi ri
1 1 2 2 2 mi vi
1 1 2 2 2 2 Ek mi ri mi ri 2 2
1 Ek J 2 2
3.刚体做定轴转动时的动能定理
d dA Md J d J d d t 2 1 1 2 2 A dA J d J 2 J 1 1 2 2 1 1 2 2 A J 2 J 1 2 2
2.描述定轴转动的物理量 定轴(fixed-axis)转动：转轴固定不动的转动 用角量来描写转动： 定轴处O点与刚体上任一点 P之间的位置矢量������������处于 处，经过t时间后，该矢径 转过 角度： z

角坐标
角位移
Q
O

P
x
• 角速度(Angular Velocity)
d 角速度的大小： lim t 0 t dt
角速度的方向： 由右手螺旋法则 确定。右手弯曲的四指沿转动方 向，伸直的大拇指即为角速度的 方向。 z k,

P
d k dt

O

x
d 角速度的大小： k dt
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。 对于定轴转动任意一点线速度与角速度、线加速度与角加 速度的关系： at r
P
φ
������
注意：
1、力F 的方向不在转动平面内，可以沿两个方向分解： Mz z
r
d
F/ /
F F

力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。 2、一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。 3、几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力 的力矩的矢量和。
2. 定轴转动定律 把刚体看作一个质点系，对其上P处 的第 i 个质点mi，分析其受力：
Lz mi ri J
2
r
vi mi
2. 角动量定理 定轴转动定律的另一形式 d ������������ d������������ d������������ ������������ = ������������ = = ������������ = d������ d������ d������ 定轴转动角动量定理：作定轴转动的刚体所受的对轴的合 外力矩等于刚体的角动量随时间的变化率。 ——适用范 围更广！ ������
滑轮和物体的运动学关系为： ������ = ������������ 联立上述方程可得： ������1 ������ − ������������2 ������ ������ = ������1 + ������2 + ������ ������ 2 ������2 + ������������2 + ������ ������ 2 ������1 = ������1 ������ ������1 + ������2 + ������ ������ 2 ������1 + ������������1 + ������ ������ 2 ������2 = ������2 ������ ������1 + ������2 + ������ ������ 2