课题：二次函数的图象与性质2
2 二次函数的图象与性质(2)
倍 速 2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). 课 (2)最值不同:分别是c和0. 时 3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象沿y轴整体平移 学 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移). 练
习题
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需
二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
y 3x 2
y 3x 2 1
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
y 3x 2 1
y 3x2
倍 速 课 时 学 练
位置不同; 最大值不同 分别是1和0
二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和 y=-3x2的图象,会是什么样?
…
18
8
2
0
2
8
18
…
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象 是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
y x2
y 2x2
只是开口 大小不同.
的性质
数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计
北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。
本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。
该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。
二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。
对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。
从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。
因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。
学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。
该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。
初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的图象和性质》教学设计执教者学情分析一、学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.二、学生已具备的基本知识与技能学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.效果分析这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。
通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数图像的性质。
真正的形成往往来源于真实的自主探究。
只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。
在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
首先，要设计适合学生探究的素材。
教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。
当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。
但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。
如果牵强的引出来，不一定是好事。
其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。
探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。
只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。
要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。
结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。
关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)
关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
二次函数及其图象和性质
二次函数及其图象和性质（二）一、内容提要（一）二次函数的解析式：1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0, a, b, c 为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1．对称轴，顶点坐标：2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。
a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大当x>时，y随x增大而减小4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，（Ⅱ）a<0时，当x= 时，5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
6．抛物线与x轴的位置关系：（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、典型例题：例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
解：由题意得解得 m=-1∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。
说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4a c的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。
【冀教数学学九年级(河北)302 二次函数的图像和性质 第2课时
y=2x2+1
8
6
y=2x2
4
y=2x2-1
2
－4 －2
24
二次函数的图像
根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 抛物线 . (2)三条抛物线的开口方向__向__上___; (3)对称轴都是___y_轴______
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _(_0_，__1_)__( _0_,0_)__(_0_,-_1_)____
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质
第二课时
1.会画二次函数y=ax2+k的图象. 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用. 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.
二次函数的图像
探究：画出二次函数 y=2x², y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开 口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k__=_2_；若顶点位于x 轴上方，则k__>_2_；若顶点位于x轴下方，则k <2 .
6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. 向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；当x_=_0__时，
例1. 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相
等，则当x＝x1+x2时，其函数值为____c____.
8 6 4 2
－4 －2
24
【分析】由二次函数y＝ax2+c图象 的性质可知，x1，x2关于y轴对称， 即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数 表达式求出纵坐标为c.
《二次函数的图像和性质》教学设计与反思
《二次函数的图像和性质》教学设计与反思课题：二次函数的图像和性质科目：数学提供者：XXX教学对象：九年级单位：XXX课时：第一课时一、教学内容分析（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中研究一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
在历届淮安市中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。
（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。
（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会二、教学目标一、知识技能目标1.学生会用描点法画出y ax2的图象；2.掌握二次函数y ax2的性质。
二、过程方法目标1.学生类比前面所学的函数图像的画法，用描点法画二次函数y ax2的图像；2.学生经历观察、考虑、探索二次函数y ax2图象性质的过程，结合解析式特性、图像特性，感知二次函数y ax2的性质。
三、情感立场方针使学生体会数形结合思想，培养学生观察、思考、归纳的良好思维惯三、研究者特性分析我本期才接手的两个班级，大部分学生数学基础不够扎实，理解能力，运算能力，思维能力等方面都还有所欠缺；研究积极性不高。
针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和研究积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的研究惯。
并逐步学会独立提出问题、解决问题。
引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。
四、讲授策略挑选与设计1.探究引导策略：商量式研究；教师开导引导。
2.自主合作探究式研究策略：相互讨论、交流、合作的课堂氛围。
五、教学重点及难点讲授重点:会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，探索二次函数性质教学难点:探索二次函数性质学生活动设计意图教师引导学生回顾：先画出一次函数的图象，然后创设问题情观察、分析、归纳得到一境，让学生通过一、情境引入可以用研类比学过的知识一次函数的性质是如何研究的?我们能否类次函数的性质。
2.2.二次函数的图象和性质(2)
3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移|c|个单位 得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
独立
知识的升华
作业
P36 习题2.3 1,2题.
祝你成功
3.实验探究系数与图象间的关系
a与图象的关系
a决定 图象的 形状
开口方向 开口大小
当a > 0 时 开口向上 当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
c与图象的关系
当c＝0时图象过原点 C 确定图 象与y轴 当 c > 0时图象与y轴正半轴相交 的交点
当c < 0时图象与y轴负半轴相交
第二章《二次函数》
在同一坐标系中作出二 次函数y=2x²+1的图象与二 次函数y=2x²的图象
y
9 8
y=2x2
函数y=2x2+1的图象是什
6
么形状?
5
它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
它与y=2x2的图象有什么 相同和不同?
-4 -3
4
3
2
1
x -2 -1 o 1 2 3 4
y=2x2+1
4、将抛物线y=x2+1的图像向下平移一个单位，
将得到 y=x2 的图像；如果向上平移 一个单位，将得到 y=x2+2 的图像.
5、若抛物线y=-3x2+c的顶点坐标为（0，-5），
则ｃ＝＿-＿5＿，二次函数关系式为＿y=＿-３＿＿x2＿-５，
那么它的图像是由y=-3x2怎样移动得来的？
二次函数y=ax2的图象和性质教案的示范课讲解与点评
二次函数y=ax2的图象和性质教案的示范课讲解与点评的图象和性质教案的示范课讲解与点评一、教案设计主题：二次函数y=ax^2的图象和性质适用对象：高中一年级数学课程中学生授课时间：1学时（45分钟）教学内容：1.二次函数y=ax^2的基本概念2.二次函数y=ax^2的图象特征3.二次函数y=ax^2的性质：开口方向、顶点、对称轴以及相关图象变换教学目标：1.理解二次函数y=ax^2的基本概念2.熟练掌握二次函数y=ax^2的图象特征3.掌握二次函数y=ax^2的性质，包括开口方向、顶点、对称轴以及相关图象变换教学方法：讲授结合演示教学重点：1.二次函数y=ax^2的基本概念2.二次函数y=ax^2的图象特征教学难点：1.二次函数y=ax^2的性质2.图象变换的理解和应用二、课堂讲解1.二次函数y=ax^2的基本概念二次函数是指函数的自变量的二次项系数不为零的函数，其一般式为： y=ax^2 + bx + c（a≠0）。
其中，a为常数项，可以为正数、负数或零。
当a>0时，二次函数的图象开口向上；当a<0时，二次函数的图象开口向下。
2.二次函数y=ax^2的图象特征二次函数y=ax^2的图象具有以下特征：a.二次函数的图象是对称轴在坐标系的x轴上的一条对称U形曲线。
b.二次函数的图象的顶点坐标为（-b/（2a），-△/（4a）），其中△=b^2-4ac（△大于零时，函数有两个实数根；当△等于零时，函数有一个实数根；当△小于零时，函数无实数根）。
c.当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。
3. 二次函数y=ax^2的性质a.开口方向：当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。
b.顶点：二次函数的图象的顶点坐标为（-b/（2a），-△/（4a））。
c.对称轴：二次函数的对称轴在坐标系的x轴上。
d.相关图象变换：1.沿x轴平移a个单位：y=a(x + b)^2+c。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、教学目标1、会确定二次函数)0(2≠=a ax y 图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.2、了解抛物线)0(2≠=a ax y 沿两个坐标轴进行适当平移可得到抛物线k h x a y +-=2)(，掌握平移规律，并能说出抛物线平移后的顶点坐标、开口方向及对称轴.会由特殊二次函数分析和推导一般二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像的性质.3、会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.二、知识点梳理1、二次函数的概念一般的，如果两个变量x 和y 之间的函数关系可以表示成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ），那么称为y 是x 二次函数. 2、二次函数的一般形式任何一个二次函数的表达式都可以化成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）的形式，因此，把c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）叫做二次函数的一般形式，其中c bx ax ,,2分别是二次项、一次项和常数项，而b a 和分别是二次项系数和一次项系数.3、二次函数)0(2≠=a ax y 的图像和性质（1）二次函数)0(2≠=a ax y 的图像是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.（2）一般地，抛物线)0(2≠=a ax y 的性质主要是从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性以及函数的最值等几个方面来研究，其性质归纳如下表：拓展：（1）抛物线是轴对称图形，开口方向、顶点、对称轴通常称为抛物线的三要素.（2）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口方向由a 的正负决定，当0 a 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0 a 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点.（3）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口的大小，由a 的绝对值决定，a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.（4）抛物线的对称轴是一条直线，抛物线)0(2≠=a ax y 的对称轴是y 轴，也可以说是直线0=x ，顶点坐标为（0，0）.4、抛物线)0()(2≠-=a h x a y 与)0(2≠=a ax y 的位置关系及平移规律二次函数2)(h x a y -=的图像可由抛物线2ax y =向左（右）平移而得到.当0 h 时，抛物线2ax y =向右平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.当0 h 时，抛物线2ax y =向左平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.5、二次函数k h x a y +-=2)(的图像的平移二次函数k h x a y +-=2)(的图像可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移个h个单位长度，再向上（或向下）平移k 个单位长度而得到. 平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既先可以左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时主要抓住顶点的位置变化就可以了；抛物线k h x a y +-=2)(经过反向平移也可以得到抛物线2ax y =.6、二次函数k h x a y +-=2)(的图像和性质拓展：（1）由于从k h x a y +-=2)(中可直接看出抛物线的顶点坐标),(k h ，所以通常把k h x a y +-=2)(叫做二次函数的顶点式.（2）a 决定抛物线的形状、大小；k h ,决定抛物线的位置.7、利用配方法将二次函数c bx ax y ++=2转化为k h x a y +-=2)(的形式（1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2与顶点式k h x a y +-=2)(可以互相转化通过去括号、合并同类项可将顶点式转化为一般式. 例如：1)12(211)1(2122-++-=-+-=x x x y 2321-2--=x x ， 即1)1(212-+-=x y 可化为2321-2--=x x y 利用配方法可将一般式c bx ax y ++=2转化为顶点式k h x a y +-=2)(例如：c bx ax y ++=2a ac x a b x a 提取←++=)(2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+•+=a c a b a b x a b x a 222)2()2(22←配成完全平方式a b ac a b x a 44)2(22-++=因此抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- （2）二次函数c bx ax y ++=2的图像是一条抛物线，它与抛物线2ax y =的形状相同，只是位置不同，它的对称轴是直线ab x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- 8、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与性质三、典型例题（一）二次函数的图像例1 已知函数()()()n m n x m x y ＜其中---=的图像如图所示，则一次函数n mx y +=与反比例函数xn m y +=的图像可能是（ ）例 2 下列三个函数：①1+=x y ；②x y 1=；③12+-=x x y 。
九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案标题：九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
一、教学目标
1. 知识目标：理解并掌握二次函数的概念、图像及其性质。
2. 技能目标：能够通过描点法绘制二次函数图像，通过观察图像判断函数的性质。
3. 情感态度价值观目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣。
二、教学重难点
1. 教学重点：理解和掌握二次函数的图像和性质。
2. 教学难点：通过图像理解和应用二次函数的性质。
三、教学方法
采用启发式教学法、讲授法和实践操作法相结合的方式进行教学。
四、教学过程
1. 导入新课：通过复习一次函数的知识，引导学生思考如何将一次函数推广到二次函数，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：
(1) 二次函数的概念和表达式；
(2) 二次函数的图像：a>0, a=0, a<0三种情况下的图像特征；
(3) 二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向等。
3. 实践操作：让学生分组合作，通过描点法绘制不同类型的二次函数图像，并讨论其性质。
4. 总结反馈：教师总结本节课的主要内容，对学生的表现进行反馈。
五、作业布置
设计一些习题，包括画图题和计算题，以帮助学生巩固所学知识。
六、教学反思
在教学结束后，反思本节课的教学效果，找出存在的问题，以便改进。
2.2二次函数的图像和性质
<列表>
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
做一做
描点,连线
y
10 8 6 4
2 y=x
?
-4 -3 -2 -1
2 0 -2 1 2 3 4 x
议一议
观察图象,回答问题串
y
10
2 y=x
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流 . 8 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 6 几对对称点,并与同伴交流. 4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 1 的值如何变化？当x>0呢？
开口方向
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函 数y=x2和y=-x2的图象
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的
增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增
大而减小,当x=0时,函数y的值最大
想一想
二次函数y=ax²+bx+c的图象
驶向胜利 的彼岸
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系? 你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
2二次函数的图像及其性质(二)教案
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数 的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－ 、(－ ， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，
江苏省句容市九年级数学下册 第5章 二次函数 5.2 二次函数的图象和性质(2)学案(新版)苏科版
5.2 二次函数的图像和性质（2）【学习目标】基本目标：会用描点法画二次函数k ax y +=2的图象，掌握它的性质. 提升目标：探究并理解二次函数k ax y +=2图像性质以及与2ax y =的关系 【重点难点】重 点:二次函数k ax y +=2的图象及性质难 点: 二次函数k ax y +=2图象及性质的探究和运用. 【预习导航】1．一次函数2y x =+的图像可以由一次函数y x =的图像经过怎样的变化得到？ 2．你能想象二次函数21y x =+的图像可以由二次函数2y x =的图像经过怎样变化得到？ 设计意图:新旧知识比较，猜想激发学生学习新知识的欲望． 【新知导学】 活动一：1、画出二次函数2x y =和22+=x y 的图象： ⑴列表：x… -2 -1 0 1 2 … 2x y =… 4 1 0 1 4 … 22+=x y……观察表中所填数据，你发现什么？⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： 2、观察左图: ⑴函数22+=x y 与2x y =的图象的 相同， 相同， 相同， 不同；⑵函数22+=x y 可以看成2x y =的图象向平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .xyy=x 2O 1123456-1-22-1-2⑶猜想函数22-=x y 的与性质：22-=x y 与2x y =的图象的 相同， 相同， 相同， 不同；函数22-=x y 可以看成2x y =的图象向平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .设计意图:学生经历列表、描点、作图、观察、比较、思考的过程，引导学生观察表中数据的变化与点在平面内位置的变化的关系，进而得到函数图像位置的变化规律，初步感受点坐标的变化带来图形位置的变化，丰富了学生对上下平移的认识．总结归纳：1、二次函数k ax y +=2的图象是一条 ，它对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x = 时，y 有最值是 . 2、当0>k 时，k ax y +=2的图象可以看成是2ax y =的图象向 平移 个单位得到； 当0<k 时，k ax y +=2的图象可以看成是2ax y =的图象向 平移 个单位得到. 3、当0>a时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；当0<a 时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .设计意图:通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y ＝ax 2＋k 的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a ＞0和a ＜0来讨论．【典型例题】例1：二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.⑴点A 的对称点的坐标是 ，点B 的对称点的坐标是 ； ⑵求该函数的表达式；⑶若点C (-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值； ⑷点E （2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？例2：已知一个二次函数的图象是由抛物线y =232x 上、下平移得到的，且当x =-1时，y =52； （1）求此二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标； （2）当x 满足什么条件时，y 随着x 的增大而减小．（3）若点1(,)A x m 和点2(,)B x m 是此二次函数图像上的两个点，当12x x x =+时，求y 的值；设计意图:通过例题，培养学生运用知识的能力，加深对知识的理解，体会对“变化与对应”和“数形结合”等数学思想的理解．【课堂检测】1、抛物线y=-x 2+3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的 左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当x = 时，y 取得最 值，这个值等于 .2、抛物线y =2x 2-1的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称 轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ； 当x = 时，y 取得最 值，这个值等于 .3、函数y =4x 2+5的可由y =4x 2的向 平移 个单位得到；y =4x 2-11的【课后巩固】 一、基础检测1、抛物线y =7x 2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当x = 时，y 取得最值，这个值等于 .2、抛物线9412-=x y 是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的． 3、当m = 时，抛物线y =（m ＋1）x mm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而4、将函数y =-3x 2+4的图象向 平移 个单位可得y =-3x 2的图象；将y =2x 2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y =2x 2的图象；将y =x 2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x 2+2的图象.5、在直角坐标系中，函数x y 3-=与12-=x y 的图像大致是_________（1） （2） （3） （4） 6、在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象的草图：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．7、已知3)1(2--=-kkx k y 是二次函数.⑴当0<x 时，y 随x 的增大而减少，求k 的值. ⑵若y 有最大值，求该函数的表达式.二、拓展延伸8、（1）已知二次函数y =3x 2+4，点A(x 1，y 1), B(x 2，y 2), C(x 3，y 3)，D(x 4,y 4)在其图象上，且x 2< x 4<0,0<x 3< x 1， |x 2|>|x 1|， |x 3|>|x 4|， 则 ( )A. y1>y2>y3>y4B. y2>y1>y3>y4C. y3>y2>y4>y1D. y4>y2>y3>y1（2）已知二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2，x1，x2分别是A,B两点的横坐标）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A. a+cB. a-cC. –cD. c（3）函数y=ax2-a与y=)0(axa在同一直角坐标系中的图象可能是（）9.如图，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（-1，0）和点B（1，0），直线y=2x-1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离;教师评价家长签字。
2 二次函数的图象与性质(第2课时)
的图象和性质吗？
将二次函数y=2x2的图象 向下平移1个单位，就得 到函数y=2x2-1的图象.
1.顶点坐标与对称轴. 2.位置与开口方向.
抛物线 顶点坐标 对称轴 y=2x2 （0，0） y轴(直线x=0) 在x轴上方 y=2x2+1 （0，1） y轴(直线x=0) y=2x2-1 （0，-1） y轴(直线x=0)
检测反馈
1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( B )
A.y=-x+1 1 C.y= x B.y=x2-1 D.y=-x2+1
解析:A,y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错
误;B,y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增 大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正
向上 (0 ,0) y轴 (直线x=0) 在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大。
对称轴
增 减 性
最值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
观察思考 观察下面的二次函数表达式:
学习新知
1 2 x. 2
(1)y=x2 ；(2)y=-x2 ；(3)y=2x2 ；(4)y=3x2 ；(5)y=
y=2x2 y=x2
描点、连线
6 4 2
图 2-4
-4 -2
0
2
4
x
（3）二次函数y=2x2的图象 是什么形 状 ？它与 二次 函数y=x2的图象有什么相 同和 不 同 ？ 它的开 口方 向、 对称 轴和顶点 坐标 分别是什么?
二次函数y=2x2 的图象是一条 抛物线.
开口都是向上
《二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2的图象与性质【教学目标】(一)教学知识点能够利用描点法作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质；比较两者的异同.(二)能力训练要求：经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.〔三〕情感态度与价值观：通过学生自己的探索活动，到达对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.【重、难点】重点：会画y=ax2的图象，理解其性质。
难点：描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系。
【导学流程】一、自主预习〔用时15分钟〕我们在教学了正比例函数、一次函数、反比例函数的定义后，都借助图像研究了它们的性质.而上节课我们所学的二次函数的图象是什么呢？本节课我们将从最简单的二次函数y=x2入手去研究3.学生自主教学，完成预习题1.作函数y=x2的图象回忆作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：〔图象是未知的，所以应根据自变量的取值，x为任何实数，选取一些有代表性、方便计算的x值，如：几个负整数、0、几个正整数〕(2)在直角坐标系中描点．〔按x的值从小到大，从左到右描点〕(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．〔能用直线连接吗？〕二、展示交流〔用时15分钟〕对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．6.教师精讲点拨：二次函数y=x2的图象是抛物线.〔1〕抛物线的开口向上；〔2〕它的图象有最低点，最低点的坐标是〔0，0〕；〔3〕它是轴对称图形，对称轴是y轴。