高考数学大一轮复习第九章解析几何9.2点与直线、两条直线的位置关系课件文新人教A版
【新人教A版】2024版高考数学一轮总复习第9章解析几何第2节点与直线两条直线的位置关系课件
垂直
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1 = k 2
b1 ≠ b2
重合
k1 = k 2
b1 = b2
A1 B2 -A2 B1 = 0,
A1 B2 -A2 B1 = 0,
或
B1 C2 -B2 C1 ≠ 0
A1 C2 -A2 C1 ≠ 0
A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1=0
微点拨解析几何中的两条直线的位置关系含有重合,而立体几何中空间两
第九章
第二节 点与直线、两条直线的位置关系
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.能根据斜率判定两条直线平行
或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直
线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距
离、点到直线的距离公式,会求两
条平行直线间的距离.
衍生考点
核心素养
1.两直线的位置关系
程为
.
答案:4x+3y-36=0
27
解析:设切点坐标为(x0,y0)(x0>0),y'=- 2 ,
27
所以切线 l1 的斜率为- 2 .
0
3
又直线 l2 的斜率为4,
27
所以由- 2 ×
0
3
2
=-1,得
0
4
所以切点坐标为
=
81
4
9
9
,又 x0>0,所以 x0=2,所以 y0=6,
4
9
,
6
的对称曲线方程为f(2a-x,2b-y)=0.
新课标高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系课件理
组有唯一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解， 则两条直线____________，此时两条直线____________．
第二页，共35页。
3．距离公式 (1)点到直线的距离：点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C ＝0 的距离 d＝____________． (2)两条平行直线间的距离：两条平行直线 l1：Ax＋By＋ C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离 d＝____________________． 4．过两直线交点的直线系方程 若已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝
第十七页，共35页。
类型三 对称问题
已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)．求： (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标； (2)直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程； (3)直线 l 关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程．
第十八页，共35页。
对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．
(2)关于轴对称问题的处理方法：
①点关于直线的对称．若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，
则线段 P1P2 的中点在 l 上，且连接 P1P2 的直线垂直于 l，由方程组
Ax1＋2 x2＋By1＋2 y2＋C＝0，
yx22－ －yx11·－AB＝－1，
可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其中
B≠0，x1≠x2)． ②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种
高考数学一轮复习第九章解析几何9.2两直线的位置关系课件理新人教A版
3．常见的三大直线系方程 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． (3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交 点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但 不包括 l2.
考点 2 距离公式的应用
三种距离
点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间 的距离
点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋ By＋C＝0 的距离
两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离
|P1P2|＝ x2－x12＋y 2－y1 2 d＝|Ax0＋By0＋C|
解析：由 k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，得 k＝1 或 k＝－3.
[典题 1] (1)[2017·重庆巴蜀中学模拟]若直线 ax＋2y＋1 ＝0 与直线 x＋y－2＝0 互相垂直，那么 a 的值等于( D )
A．1 B．－13 C．－23 D．－2
[解析] 由 a·1＋2·1＝0，得 a＝－2，故选 D.
[点石成金]
直线方程
l1 与 l2 垂直 的充要条件 l1 与 l2 平行 的充分条件 l1 与 l2 相交 的充分条件 l1 与 l2 重合 的充分条件
1.由一般式确定两直线位置关系的方法
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0) A1A2＋B1B2＝0
由题意知，|2k－3＋k＋2|＝|－4k－5＋k＋2|，
k2＋1
k2＋1
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13，
高考数学一轮复习第九章解析几何2两条直线的位置关系课件新人教A版理
行的直线方程为
.
-25考点1
考点2
考点3
考点4
2 + 3 + 8 = 0,
= -1,
得
= -2,
--1 = 0,
则三条直线交于点(-1,-2).
解析:(1)解方程组
1
即-1-2b=0,解得 b=-2.
(2)设所求直线为 2x-y-5+λ(x+y+2)=0,λ∈R,
整理得(2+λ)x+(λ-1)y+2λ-5=0.
l1⊥l2⇔
.
-4知识梳理
双基自测
1
2
3
2.两条直线的交点
唯一解
无解
无穷多解
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
3.三种距离
两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|= (x2 -x1 )2 + (y2 -y1 )2
点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0
的距离
d=
两条平行线 Ax+By+C1=0 与
又所求直线与 3x+y-1=0 平行,
2+
所以
3
=
-1
1
≠
2-5
-1
5
,解得 λ= .
2
5
所以所求直线为 2x-y-5+ (x+y+2)=0,
2
即 3x+y=0.
-26考点1
考点2
考点3
考点4
考点 3 距离公式的应用
例3(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,
高考数学一轮复习第9章平面解析几何第2讲两直线的位置关系课件文
1．(必修 2 P87 例 3 改编)已知 A(2，3)，B(－4，0)，P(－3， 1)，Q(－m，m＋1)，若直线 AB⊥PQ，则 m 的值为( )
A．－1
B．－6
C．6
D．2
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第十八页，共四十二页。
解析：选 C．因为 AB⊥PQ， kAB＝－0－4－32＝12，所以 kPQ 存在且 kPQ＝－mm－＋（1－－13）＝3－mm， kAB·kPQ＝－1 即12×3－mm＝－1 解得 m＝6，故选 C．
|Ax0＋By0＋C| d＝________A__2＋__B__2 ________．
(3)两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0
|C1－C2| (其中 C1≠C__2_____．
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(必修 2 P109A 组 T2 改编)直线 ax－2y－1＝0 与直线 6x＋4y ＋1＝0 平行，则 a 的值为( )
解得x＝13．即 y＝43
P
点的坐标为(13，43)．
此时|PA|＋|PB|＝|PQ|＋|BP|
＝|BQ|＝ （－1－3）2＋（2－0）2＝2 5．
即当 P 的坐标为(13，43)时，|PA|＋|PB|的最小值为 2 5．
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(1)关于中心对称问题的处理方法 ①若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标 公式得xy＝＝22ba－－yx11.， ②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知
第九章 平面(píngmiàn)解析几何
第 2 讲 两直线的位置关系
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高考数学大一轮复习第九章解析几何9.2点与直线、两条直线的位置关系课件文新人教A版
双基自测(zì
cè)
自测(zì cè)点评
1.对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围.
2.求解点到直线的距离和两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式.
第十一页，共46页。
-12-12
考点(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
考点4
2
= 2,
联立(ⅰ)(ⅱ),解得
或 = 3,
= -2
= 2.
∴a=2,b=-2 或
2
a= ,b=2.
3
第二十页，共46页。
-21-21
考点(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
考点4
考点 2
直线的交点问题
例2求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂
(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.
(
)
(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.(
|1 +|
(3)点 P(x1,y1)到直线 y=kx+b 的距离为
2
.(
)
)
1+
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(
)
(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直
D.x-y+3=0
2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系教师用书文新人教版
2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系教师用书 文 新人教版1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【知识拓展】 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 5．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )1．(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析 直线x －2y －2＝0可化为y ＝12x －1，所以过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为y ＝12x ＋b ，将点(1,0)代入得b ＝－12.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知p ：直线x －y －1＝0与直线x －my ＋2＝0平行，q ：m ＝1，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由于两直线平行的充要条件是11＝－1－m ≠－12，即m ＝1.4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________________．答案 x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0解析 设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋1|2＝ 2.∴|c ＋1|＝2，即c ＝1或c ＝－3.∴直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.5．(教材改编)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当m ＝2时，代入两直线方程中， 易知两直线平行，即充分性成立． 当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求， 故必要性成立，故选C.(2)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. ①试判断l 1与l 2是否平行； ②当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 ①方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－a ＋，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －－1×2＝0，a a 2－－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.②方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α. 要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0， 所以sin α＝±22，所以α＝k π±π4，k ∈Z . 又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二 两条直线的交点与距离问题例2 (1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________________．(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．答案 (1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1， 即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0.设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.(2)正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三条边所在直线的方程．解 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一条边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是 3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．2 5 答案 C解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)．则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例5 (2016·泰安模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)， ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，∴x′＋02＝1，x′＝2，y′＋32＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.18．妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．思想方法指导因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．规范解答解依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．典例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规范解答解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y ＋5＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3， 所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2， 即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 (1)充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；(2)必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1. 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·合肥模拟)已知两条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：3x ＋ay ＋2＝0且l 1⊥l 2，则a 等于( )A ．－13 B.13C ．－3D ．3 答案 C解析 由l 1⊥l 2，可得1×3＋1×a ＝0，3．(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2017·兰州月考)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝＋2＋－2＝2.故选B.5．(2016·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|PQ |的最小值为2910，故选C. 6．(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323答案 A 解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345，故选A. 7．(2016·忻州训练)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.答案 0或83解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b a －＝0，4a 2＋－b2＝|b |a －2＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83. 8．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－1＋1＝2 2.9．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示，由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝－2＋＋2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.10．点P 为x 轴上的一点，A (1,1)，B (3,4)，则|PA |＋|PB |的最小值是________． 答案 29 解析 点A (1,1)关于x 轴的对称点A ′(1，－1)，则|PA |＋|PB |的最小值是线段A ′B 的长为29.11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 12．(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程． 解 依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)． 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.*13.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上， 且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116， 所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0； 由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝12(舍去)；联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 点与直线、两条直线的位置关系 ppt
(方法二)由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0,故 a=23.
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一
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起
考点1
考点2
考点3
考点4
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解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的 斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在 的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
解得m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.
B
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一 起
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解析 答答案案9
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知识梳理 双基自测 自测点评
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5.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则
a=
.
因为两条直线垂直,所以(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,
若k2=0,则1-a=0,即a=1.
∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.
又l1过点(-3,-1),
∴-3a+4=0,即 a=43(矛盾), ∴此种情况不存在,∴k2≠0,
即k1,k2都存在.
∵k2=1-a,k1=������������,l1⊥l2, ∴k1k2=-1,即������������(1-a)=-1.(*)
2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系 数之间的关系得出结论.
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一
16
起
考点1
考点2
考点3
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.2点与直线、两条直线的位置关系课件
时,l1⊥l2.
2.两直线的交点
设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方
1 + 1 + 1 = 0,
程联立,得方程组
若方程组有唯一解,则 l1 与 l2
2 + 2 + 2 = 0,
9.2
点与直线、两条直线的
位置关系
-2-
2017 2016 2015 2014
2018
年份
21(2),8 分(理)
两直线
的位置
17,4 分(文)
关系
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
考查要
2.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间
求
的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.
相交 ,此解就是两直线交点的坐标;若方程组无解,则 l1 与 l2 平行 ;
若方程组有无数个解,则 l1 与 l2 重合 .
-5知识梳理
双击自测
3.有关距离
(1)两点间的距离
2
2
(
-
)
+
(
-
)
2
1
2
1
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
.
(2)点到直线的距离
,即 a+2 =2,又 a>0,解得 a=3.
2
=
7 5
10
,
-23-
考点一
考点二
考点三
考点四
(2)假设存在点P,设点P的坐标为(x0,y0).
高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 9.2 两直线的位
课前自助餐
判定两条直线的位置关系 (1)两条直线的平行． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1∥l2
k1＝k2 且
b1≠b2，l1 与 l2 重合 k1＝k2 且 b1＝b2．
②当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，则有 l1∥l2． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2 A1B2＝A2B1 且 B1C2≠B2C1，l1 与 l2 重合 A1＝λA2，B1＝λB2，
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1＝k2 l1∥l2.
(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，那么它们的斜率之积一定等于 －1.
(3)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1， B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，若直线 l1⊥l2，则 A1A2＋B1B2＝0.
3．若直线 ax＋y＋5＝0 与 x－2y＋7＝0 垂直，则实数 a 的值
为( )
A．2
1 B.2
C．－2
D．－12
答案 A
4．已知点 P 在直线 x＋2y＝5 上，且点 Q(1，1)，则|PQ|的最 小值为( )
5 A. 5
35 C. 5
85 B. 5
25 D. 5
答案 D
5．直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线方程是 ________．
两平行线间的距离 两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠ C2)间的距离为 d＝ |CA1－2＋CB2|2．
直线系问题 与 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程(包括原直线)：Ax＋By＋ λ＝0(λ 为待定系数)． 若所求直线过 P(x0，y0)点，且与 Ax＋By＋C＝0 平行，则方 程为：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 与 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程为：Bx－Ay＋λ＝0(λ 为 待定系数)．
高考数学一轮总复习 9.2 点与直线、直线与直线的位置关系精品课件 理 新人教版
-2
解析
答案
解析
答案
(jiě xī) (dá àn)
考点二
考点三
第十五页，共27页。
考点四
探究
(tànjiū)突
破
考点二
两直线的垂直
【例 2】 若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=
.
关闭
(方法一)当 m=0 时,l1:x-2y+5=0,l2:2x-6=0 不垂直;当 m≠0 时,因为 l1⊥l2,
|0 +B0+C|
2 +2
.
(3)两平行线间的距离
已知 l1,l2 是平行线,求 l1,l2 间距离的方法:
①求一条直线上一点到另一条直线的距离;
②设 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则 l1 与 l2 之间的距离 d=
第六页，共27页。
|1 -2 |
2
2
+
第二十一页，共27页。
探究
(tànjiū)突
破
考点四
距离公式的应用
【例 4】 点 P 到点 A'(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且 P 到直线 y=x 的距离
2
2
等于 ,这样的点 P 共有(
A.1 个
)
B.2 个
C.3 个
D.4 个
关闭
设 P(x,y),由题意知 (-1)2 + 2 =|x+1|且
1
2
则 × 1
2
=-1,则 m=1.
关闭
(方法二)若 l1⊥l2,则 1×2+(-2)×m=0.所以 m=1.