广西玉林市2021届11月高三教学质量监测理科数学试题 含答案
广西壮族自治区玉林市福绵镇第一中学2021年高三数学理模拟试卷含解析
广西壮族自治区玉林市福绵镇第一中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件；B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点不是点，是方程的根；C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，；D，命题的否命题既要否定条件，又要否定结论；【解答】解：对于A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故错；对于B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是3，﹣2，故错；对于C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，正确；对于D，命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0，则x≠3，故错；故选：C2. 已知正项等比数列满足.若存在两项使得，的最小值为（）A. B. C.D.参考答案：C3. 函数y＝的导数是A． B．C． D．参考答案：By′＝＝.4. 已知则（）A.10B.5C.1D.0参考答案：D看似二项式展开，实则是导数题目求导得令x=0得令x=1得5. 如果命题“”为假命题，则（）A、中至多有一个为假命题B、均为假命题C、均为真命题D、中恰有一个为真命题参考答案：B6. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论①②CF与EN所成的角为60°③BD//MN④二面角的大小为45°其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C7. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A．B．C．D．参考答案：C8. 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则＝() A．－B．－C.D．参考答案：A9. 在（+）12的展开式中，x项的系数为( )A．C B．C C．C D．C参考答案：A考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．解答：解：（+）12的展开式的通项公式为T r+1=，令6﹣r=1，求得 r=6，故x的系数为，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=S18，则S22=（）A．0 B．12 C．﹣1 D．﹣12参考答案：A考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S4=S18，可得且S18﹣S4=0，结合等差数列的性质可得（a5+a18）=0，代入等差数列的求和公式S22==11（a5+a18）即可求解解答：解：由S4=S18，可得且S18﹣S4=a5+a6+…+a17+a18由等差数列的性质可得，7（a5+a18）=0∴（a5+a18）=0则S22==11（a5+a18）=0故选A点评：本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和公式的灵活应用，属于基础试题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为,渐近线方程为.参考答案：12. 运行如图语句，则输出的结果T= ．参考答案：625考点：伪代码．专题：计算题；图表型．分析：本题所给的是一个循环结构的算法语句，由图可以看出，此是一个求等差数列和的算法语句，由公式计算出T的值，即可得到答案．解答：解：T=1，I=3，第1次循环，T=1+3，I=5＜50，符合循环条件，第2次循环，T=1+3+5，I=7＜50，符合循环条件，…，第23次循环，T=1+3+…+47，I=49＜50，符合循环条件，第24次循环，T=1+3+…+49，I=51＞50，不符合循环条件，输出T，∴T=1+3+…+49==625，∴输出的结果T=625．故答案为：625．点评：本题考查了伪代码，即循环结构的算法语句，解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题．13. 已知函数，．若不等式的解集为R，则的取值范围是．参考答案：14. 中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥为鳖臑，若三棱锥P-ABC 为鳖臑，且PA⊥平面ABC，，又该鳖臑的外接球的表面积为34π，则该鳖臑的体积为．参考答案：615. 已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S3=8，S6=9，则公比q=．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列前n项和公式直接求解．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n，且S3=8，S6=9，∴依题意，==1+q3=，解得q=．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．16. 设.若f(x)在上存在单调递增区间，则a的取值范围为__________.参考答案：略17. 已知双曲线C：的一条渐近线l 的倾斜角为，且C 的一个焦点到l 的距离为，则C 的方程为_______．参考答案：2，【知识点】双曲线【试题解析】由题知：所以，所以因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=2，所以所以的方程为：故答案为： 2，三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年高三普通高考教学质量检测(二)数学理试题 含答案
2021年高三普通高考教学质量检测（二）数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：xx.4.181．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}{}24,Z,13M x x x N x x=-≤≤∈=-<<，则A．B．C．D．2．已知复数的实部为，且，则复数的虚部是A．B．C．D．3．已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于A．1 B．3 C．5 D．64.为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是A．30 B．60 C．70 D．80 5．函数，,则A．为偶函数，且在上单调递减；B．为偶函数，且在上单调递增；C．为奇函数，且在上单调递增；90110周长(cm) 100120第4题图D ．为奇函数，且在上单调递减. 6．下列命题中假．命题．．是 A ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；C ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．7．直线与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A ． 个B . 个C .个D .无数个8．将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为； ②是周期函数； ③； ④.其中正确的说法个数为:A.0B.C.D.二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．命题“R ，0”的否定是 . 10. 已知向量满足, , 向量与的夹角为 .11．若二项式展开式中的系数等于的系数的倍，则等于 . 12．已知圆经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为 . 13．将集合{|且}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第列 的数记为（）,则= .(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)O xPA 第8题图35691012第13题图14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与 的交点分别为，则线段的垂直平分线的 极坐标方程为 ．15．（几何证明选讲）如图，圆的直径，直线与圆O相切于点， 于，若，设， 则______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限， 已知.（1）若,求的值； （2）若点横坐标为,求.17．（本题满分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路、、上下班时间往返出现拥堵的概率都是,道路、上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.（1）求李生小孩按时到校的概率； （2）李生是否有七成把握能够按时上班？ （3）设表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数，求的均值.18．（本题满分14分）如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上． （1）证明：平面；DC第15题图乙甲丙第17题图（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19．（本题满分14分）在平面直角坐标系内，动圆过定点,且与定直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上，且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.20．（本题满分14分）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？（2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．）21．（本题满分14分）设函数，记的导函数，的导函数，图甲图乙第18题图的导函数，…，的导函数，. （1）求； （2）用n 表示；（3）设，是否存在使最大？证明你的结论.xx 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数 学（理科） 评分参考一、填空题 CDBCABBC二、填空题9．R ，0 10． 11． 12． 13． 14．（或） 15．三、解答题16．⑴解法1、由题可知：，， ……1分 ， ……2分，得 ……3分 ∴， ……4分 解法2、 由题可知：， ……1分 ， ……2分 ∵，∴ ……3分 ， 得 ……4分 解法3、 设，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、 由⑴， 记， ∴，（每式1分） ……6分 ∵ ，得（列式计算各1分） ……8分43sin sin()55AOB βα∠=-=+=（列式计算各1分） ……10分∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯（列式计算各1分） ……12分解法2、由题意得：的直线方程为 ……6分 则 即（列式计算各1分） ……8分 则点到直线的距离为（列式计算各1分） ……10分 又，∴（每式1分）…12分 解法3、即 （每式1分） …6分 即：， ， ……7分，，4313cos 10OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠===……9分 （模长、角的余弦各1分）∴ ……10分则113sin 122102AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯=（列式计算各1分） ……12分 解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B 点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴因为道路D 、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是（列式计算各1分） ……2分所以李生小孩能够按时到校的概率是； ……3分⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是， ……4分 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是， …5分 甲到乙遇到拥堵的概率是， ……6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）……8分⑶依题意可以取. ……9分 =,=,=,…11分 分布列是：22185170+1+2=30030030030060E ξ=⨯⨯⨯=. ……12分18．⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有， ……1分因为平面，平面，所以平面（条件2分）……4分 ⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， ……5分 所以平面，则， ……6分 所以平面与平面所成二面角的平面角， ……8分 图甲中有，又，则三点共线， ……9分 设的中点为，则，易证，所以，，；……11分（三角形全等1分） 又由，得， ……12分 于是，， ……13分图甲图乙在中，，即所求二面角的余弦值为．……14分解法2、 如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， ……5分所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线， ……6分设的中点为，则，易证，所以，则； 又由，得，……7分于是，，在中，1A G ===……8分作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则（坐标系、坐标、向量各1分） ……11分显然，是平面的一个法向量， ……12分设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则， ……13分设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，1212cos 3||||23(1)GA n GA n θ===+-，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为． ……14分19．⑴由题可知，圆心到定点的距离与到定直线的距离相等 ……2分由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线 ……4分 （确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）所以动圆圆心的轨迹的方程为.……5分 ⑵解法1、设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得（中点1分，方程组2分，化简1分） ……8分将其代入抛物线方程，得：，所以. ……9分 联立 ，消去，得： ……11分 由，得， ……12分注意到，即，所以，即， ……13分因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为. ……14分 解法2、设 ，因为两点关于直线对称，则， ……6分 即，解之得 ……7分图丙即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为（斜率1分，方程1分）……9分联立，消去，得：……11分由，得，……12分注意到，即，所以，即，……13分因此，椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为. ……14分20．⑴由题意知或……2分解得或，即……3分能够维持有效的抑制作用的时间：小时. ……4分⑵由⑴知，时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为……5分当时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故=+=; ……6分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故当时， =; ……7分当时， ; ……8分所以1164633186()67361571036xxxxg x xxxx⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩……9分当时， ==;当且仅当时取“=”,即（函数值与自变量值各1分）……11分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当时，，所以为增函数;当时，为减函数;故 =，……12分又10117(=03266---=>,所以当时，水中碱浓度的最大值为. ……13分答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放小时后, 水中碱浓度的达到最大值为. ……14分21．⑴易得,, ……1分……2分,所以……3分⑵不失一般性，设函数的导函数为，其中，常数，.对求导得：2111111()[(2)()]xn n n n n nf x a x a b x b c eλλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅……4分故由得：①，②，……5分③由①得：，……6分代入②得：，即，其中故得：. ……7分代入③得：，即，其中.故得：， ……8分 因此.将代入得：，其中. ……9分 （2）由（1）知，当时，21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<，，故当最大时，为奇数. ……10分 当时， ……11分 又，221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-，，因此数列是递减数列 ……12分 又，， ……13分故当或时，取最大值. ……14分21139 5293 劓]30962 78F2 磲 26497 6781 极32132 7D84 綄'34811 87FB 蟻31855 7C6F 籯23202 5AA2 媢26328 66D8 曘33556 8314 茔2 39361 99C1 駁。
2020年11月份广西玉林市高三教学质量监测试题数学(理科)
2020年11月份广西玉林市高三教学质量监测试题数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合U={0,1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则A∪(∁U B)=A.{1}B.{0,2,4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,4}2.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i3.已知函数f(x)=(x+1)e x,则f(x)图象在点(1,f(1))处的切线斜率为A.1B.2C.3+eD.3e4.若等差数列{a n}满足a2=20,a5=8,则a1=A.24B.23C.17D.165.已知单位向量e1与e2的夹角为2π,则向量e1在向量e2方向上的投影为A.-√32B.12C.-12D.√326.设x∈R,则“x>12”是“2x2+x-1>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 为A .-1B .0C .√22D .-1-√228.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是棱AD ,CC 1的中点,则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为A .π6 B .π4 C .π3D .π2 9.函数f (x )=cosx x (-π2≤x ≤π2且x ≠0)的图象可能是10.小王、小张、小赵三个人是好朋友,其中一个人下海经商,一个人考上了重点大学,一个人参军了.此外还知道以下条件:小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张的小;小王的年龄和大学生的年龄不一样.请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是A .士兵、商人、大学生B .士兵、大学生、商人C .商人、士兵、大学生D .商人、大学生、士兵11.点P 为椭圆x 216+y215=1上任意一点,EF 为圆N :(x-1)2+y 2=1的任意一条直径,则PE⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是A .(8,24)B .[8,24]C .[5,21]D .(5,21)12.已知函数f (x )={x 2+2x +a,x <0-e x +2ax -e 2,x ≥0在R 上恰有两个零点,则实数a 的取值范围是A .(0,1)B .(e,+∞)C .(0,1)∪(e 22,+∞)D .(0,1)∪(e2,+∞)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.已知直线l 1:2x-y+1=0与直线l 2:x+by+2=0互相垂直,那么b= ▲ . 14.若双曲线x 2-y 2=1的焦距为6,则该双曲线的虚轴长为 ▲ .15.若将函数f (x )=|sin(ωx+π6)|(ω>0)的图象向左平移π9个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则实数ω的最小值是 ▲ .16.在三棱锥P-ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=120°,PB=PC=4√3,平面PBC ⊥平面ABC ,则三棱锥P-ABC 外接球的表面积为 ▲ .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }是递增数列,且a 1a 5=9,a 2+a 4=10. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =1a n ·a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .18.(本小题满分12分)已知在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,PD ⊥平面ABCD ,且AB ∥CD ,CD=2AB=2AD ,AD ⊥CD. (1)证明:平面PBC ⊥平面PBD.(2)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°,求二面角B-PC-D 的余弦值.19.(本小题满分12分)某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次性消费达到400元,则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.方案一:一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球,其中5个红球,10个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得80元的返金券,若抽到白球则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案二:一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球,其中5个红球,10个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得100元的返金券,若抽到白球则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得240元返金券的概率.(2)若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望;②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券?20.(本小题满分12分)已知圆(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)经过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线E的准线l相切.(1)求抛物线E的标准方程及r的值;(2)设经过点F的直线m交抛物线E于A,B两点,点B关于x轴的对称点为点C,若△ACF的面积为6,求直线m的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x e x-1-a(x+ln x),a∈R.(1)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围;(2)设x0是f(x)的极小值点,且f(x0)≥0,证明:f(x0)≥2(x02-x03).(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)(t为参数),以原点O为极点,x轴正在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=2-√2t,y=-1+√2t半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π).4(1)判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系;(2)设点M (x ,y )为曲线C 2上任意一点,求2x+y 的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=|2x-a|.(1)当a=2时,求不等式f (x )+|x|≤6的解集;(2)设f (x )+|x-1|+3x ≤0对x ∈[-2,-1]恒成立,求a 的取值范围.2020年11月份广西玉林市高三教学质量监测试题数学参考答案(理科)1.D2.B3.D4.A5.C6.A7.C8.D9.B 10.A 11.B 12.C 13.2 14.2√5 15.3 16.80π1.解:∵∁U B={0,1,4},∴A ∪(∁U B )={0,1,2,4}.故选D .2.解:z=i(3-2i)=3i -2i 2=2+3i .故选B .3.解:由已知得f'(x )=(x+2)e x ,所以f'(1)=3e .故选D .4.解:根据题意,d=a 5-a 2=-4,则a 1=a 2-d=20-(-4)=24,故选A . 5.解:向量e 1在向量e 2方向上的投影为|e 1|cos2π3=-12.故选C . 6.解:∵不等式2x 2+x-1>0的解集为x>12或x<-1,∴“x>12”是“2x 2+x-1>0”的充分不必要条件.故选A . 7.解:由已知的程序语句可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S. 当n=10时,满足退出循环的条件,S=0+cos π4+cos 2π4++cos 3π4+cos 4π4+cos 5π4+cos 6π4+cos 7π4+cos 8π4+cos 9π4+cos 10π4=0+√22+0+(-√22)+(-1)+(-√22)+0+√22+1+√22+0=√22.故选C .8.解:作FG ∥DC 交DD 1于G ,连接AG ,如图所示,则AG ∥BF ,异面直线A 1E 与BF 所成的角,即AG 与A 1E 所成的角,显然Rt △A 1AE ≌Rt △ADG ,故∠GAD=∠AA 1E ,故∠GAD+∠A 1EA=90°,即AG ⊥A 1E.故选D . 9.解:因为f (-x )=cos(-x)-x =-cosxx=-f (x ),所以f (x )为奇函数,故排除选项A,C .又f'(x )=-sinx ·x -cosx x 2,当x ∈(0,π2)时,f'(x )<0恒成立,故函数f (x )在(0,π2)上单调递减,排除选项D .故选B . 10.解:由“小赵的年龄比士兵的大,大学生的年龄比小张的小”,可知年龄处在中间位置的是“大学生”小赵.而小张的年龄最大,士兵的年龄最小,则小张是“商人”,小王是“士兵”.故选A . 11.解:P 为椭圆x 216+y 215=1上任意一点,EF 为圆N :(x-1)2+y 2=1的任意一条直径,PE⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1. ∵a -c ≤|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ,即3≤|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5,∴PE⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[8,24],故选B . 12.解:当x=0时,f (0)=-1-e 2≠0,故0不是函数f (x )的零点; 当x ∈(0,+∞)时,f (x )=0等价于2a=e x +e 2x. 令g (x )=e x +e 2x ,则g'(x )=xe x -e x -e 2x 2. 当x<2时,g'(x )<0;当x=2时,g'(x )=0;当x>2时,g'(x )>0. 所以g (x )≥e 2,即2a ≥e 2,a ≥e 2.①当0<a<1时,f (x )在(-∞,0)上有两个零点,则f (x )在(0,+∞)上无零点,则a<e 22,所以0<a<1; ②当a ≤0或a=1时,f (x )在(-∞,0)上有一个零点,故f (x )在(0,+∞)上需要有一个零点,此时不合题意;③当a>1时,f (x )在(-∞,0)上无零点,故f (x )在(0,+∞)上需要有两个零点,则a>e 22. 综上,实数a 的取值范围是(0,1)∪(e 22,+∞).故选C . 13.解:由2×1+(-1)·b=0,解得b=2.故答案为2.14.解:由√4+m =3,解得m=5.所以双曲线的虚轴长为2√5.故答案为2√5. 15.解:∵g (x )=|sin[ω(x+π9)+π6]|=|sin[ωx+(πω9+π6)]|为偶函数, ∴πω9+π6=kπ2(k ∈Z),即ω=9k 2-32(k ∈Z), 又ω>0,∴当k=1时,ω取得最小值3.故答案为3. 16.解:如图,设△ABC 外接圆的圆心为O 1,连接O 1C ,O 1A ,BC ∩O 1A=H ,连接PH. 由题意可得AH ⊥BC ,且AH=12O 1A=2,BH=12BC=2√3. 因为平面PBC ⊥平面ABC ,且PB=PC ,所以PH ⊥平面ABC , 且PH=√(4√3)2-(2√3)2=6.设O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心,连接OO 1,OP ,OC ,过O 作OD ⊥PH ,垂足为D ,则外接球的半径R 满足R 2=O O 12+42=(6-OO 1)2+O 1H 2,即O O 12+16=(6-OO 1)2+4,解得OO 1=2,从而R 2=20,故三棱锥P-ABC 外接球的表面积为4πR 2=80π.故答案为80π.17.解:(1)设{a n }的公差为d ,因为a 1a 5=9,a 2+a 4=10, 所以{a 1(a 1+4d)=9,a 1+d +a 1+3d =10,.................................................................................................................................. 2分解得a 1=1或9,a 5=9或1, ............................................................................................................................................ 3分 由于数列为递增数列,则a 1=1,a 5=9. ........................................................................................................................... 4分 故d=2,从而a n =1+2(n-1)=2n-1. .............................................................................................................................. 6分 (2)由于a n =2n-1,则b n =1a n ·a n+1=1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1)............................................................................... 9分 所以S n =b 1+b 2+…+b n =12(1-13+13-15+…+12n -1-12n+1)=12(1-12n+1)=n 2n+1. .......................................................... 12分 18.(1)证明:取CD 的中点E ,连接AE ,BE.∵CD=2AB ,∴AB=DE.又∵AB=AD ,AD ⊥DC ,∴四边形ABED 为正方形,则AE ⊥BD , ................................................................................ 1分 ∵PD ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥AE. ........................................................................................................ 2分 ∵PD ∩BD=D ,∴AE ⊥平面PBD. .................................................................................................................................... 3分 ∵AB=EC ,AB ∥EC ,∴四边形ABCE 为平行四边形,∴BC ∥AE , .................................................................................... 4分 ∴BC ⊥平面PBD.又BC ⊂平面PBC , ∴平面PBC ⊥平面PBD. ................................................................................................................................................. 5分 (2)解:∵PD ⊥平面ABCD ,∴∠PBD 为PB 与平面ABCD 所成的角, 即∠PBD=45°,则PD=BD. ............................................................................................................................................. 6分 设AD=1,则AB=1,CD=2,PD=BD=√2.以点D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DP 所在直线为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz , 则D (0,0,0),A (1,0,0),P (0,0,√2),B (1,1,0),C (0,2,0)..................................................................................................... 7分∵DA ⊥平面PDC ,∴平面PDC 的一个法向量为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0). .................................................................................. 8分设平面PBC 的法向量m=(x ,y ,z ),∵PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-√2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), ∴{PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =x +y -√2z =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-x +y =0,取x=1,∴m=(1,1,√2). ........................................................................................... 10分设二面角B-PC-D 的平面角为θ,则|cosθ|=|m ·DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2+1+1=12, ....................................................................... 11分由图可知二面角B-PC-D 为锐角,故二面角B-PC-D 的余弦值为12. ..................................................................... 12分 19.解:(1)选择方案一,则每一次摸到红球的概率P=515=13. ....................................................................................... 1分设“每位顾客获得240元返金券”为事件A ,则P (A )=C 33(13)3=127, ...................................................................... 2分所以两位顾客均获得240元返金券的概率P=P (A )·P (A )=1729. ............................................................................. 3分 (2)①若选择抽奖方案一,则每一次摸到红球的概率为1,每一次摸到白球的概率为2.设获得返金券的金额为X 元,则X 可能的取值为60,120,180,240, .......................................................................................................................... 4分则P (X=60)=C 30(23)3=827, ................................................................................................................................................ 5分 P (X=120)=C 31(1)1(2)2=4, .............................................................................................................................................. 6分 P (X=180)=C 32(13)2×23=29, ............................................................................................................................................... 7分 P (X=240)=C 33(13)3=127,................................................................................................................................................... 8分所以若选择抽奖方案一,该顾客获得返金券金额的数学期望为E (X )=60×827+120×49+180×29+240×127=120(元). .................................................................................................. 9分若选择抽奖方案二,设在三次摸球的过程中,摸到红球的次数为Y ,最终获得返金券的金额为Z 元,则Y~B (3,13),故E (Y )=3×13=1, ..................................................................................................................................... 10分所以若选择抽奖方案二,该顾客获得返金券金额的数学期望为E (Z )=E (100Y )=100(元). ............................... 11分 ②因为E (X )>E (Z ),所以应选择第一种抽奖方案. ..................................................................................................... 12分 20.解:(1)由已知可得,圆心(4,4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等,即点(4,4)在抛物线E 上,则16=8p ,解得p=2.故抛物线E 的标准方程为y 2=4x. .......................................................................................... 3分 由r=4+p 2,得r=4+22=5. ................................................................................................................................................. 4分 (2)由已知可得,直线m 的斜率存在,否则点C 与点A 重合. ..................................................................................... 5分 设直线m 的斜率为k (k ≠0),则直线AB 的方程为y=k (x-1).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{y 2=4x,y =k(x -1),消去y 得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0, ................................................................................................ 6分则x 1+x 2=2+4k 2,x 1x 2=1. ................................................................................................................................................. 7分由对称性可知,C (x 2,-y 2),所以|AF|=x 1+1,|CF|=x 2+1. ............................................................................................... 8分 设直线m 的倾斜角为α,则tan α=k ,所以sin ∠AFC=|sin(π-2α)|=|sin 2α|=|2sin αcosα|=|2sinαcosα|sin 2α+cos 2α=2|tanα|tan 2α+1=2|k|k 2+1, 所以S △AFC =12(x 1+1)(x 2+1)|sin 2α|=[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]·|k|k 2+1=4|k|, ...................................................................... 10分由已知可得4|k|=6,解得k=±23. ..................................................................................................................................... 11分 故直线m 的方程为y=±23(x-1),即2x ±3y-2=0. ..................................................................................................... 12分 21.(1)解:f'(x )=x+1x(x e x-1-a )(x>0), ............................................................................................................................... 1分 令g (x )=x e x-1-a ,则g'(x )=(x+1)e x-1>0, 所以g (x )在(0,+∞)上是增函数.又因为当x →0时,g (x )→-a ;当x →+∞时,g (x )→+∞. ............................................................................................... 2分 所以,当a ≤0时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,不存在极值点. .......................................... 3分 当a>0时,g (x )的值域为(-a ,+∞),必存在x 0>0,使得g (x 0)=0, 所以当x ∈(0,x 0)时,g (x )<0,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,f (x )单调递增. ......................................................................................................... 4分 所以f (x )存在极小值点.综上可知,实数a 的取值范围是(0,+∞). ............................................................................. 5分 (2)证明:由(1)知x 0e x 0-1-a=0,即a=x 0e x 0-1.所以ln a=ln x 0+x 0-1, ..................................................................... 6分f (x 0)=x 0e x 0-1(1-x 0-ln x 0).由f (x 0)≥0,得1-x 0-ln x 0≥0.令φ(x )=1-x-ln x ,显然φ(x )在区间(0,+∞)上单调递减. 又φ(1)=0,所以由f (x 0)≥0,得0<x 0≤1. ....................................................................................................................... 7分 令H (x )=x-ln x-1(x>0),则H'(x )=1-1x =x -1x, 当x>1时,H'(x )>0,函数H (x )单调递增;当0<x<1时,H'(x )<0,函数H (x )单调递减. 所以,当x=1时,函数H (x )取得最小值H (1)=0, 所以H (x )=x-ln x-1≥0, .................................................................................................................................................. 9分 即x-1≥ln x ,即e x-1≥x ,所以e x 0-1≥x 0>0, .................................................................................................................. 10分 1-x 0-ln x 0≥1-x 0-(x 0-1)=2(1-x 0)≥0, ......................................................................................................................... 11分所以f (x 0)=x 0e x 0-1(1-x 0-ln x 0)≥x 02·2(1-x 0)=2(x 02-x 03),即f (x 0)≥2(x 02-x 03). ....................................................................................................................................................... 12分22.解:(1)消去t 得C 1的普通方程为x+y-1=0. ......................................................................................................... 1分 由ρ=2cos(θ+π4),得ρ=√2cos θ-√2sin θ,ρ2=√2ρcos θ-√2ρsin θ,即x 2-√2x+y 2+√2y=0, 化为标准方程为(x-√22)2+(y+√22)2=1, .......................................................................................................................... 2分即曲线C 2是以(√22,-√22)为圆心,半径为1的圆,圆心到直线x+y-1=0的距离d=|√22-√22-1|2=√22<1,故曲线C 1与曲线C 2相交. ........................................................................................................................................................................ 5分(2)由M (x ,y )为曲线C 2上任意一点,可设{x =√22+cosθ,y =-√22+sinθ,.................................................................................. 6分则2x+y=√22+2cos θ+sin θ=√22+√5sin(θ+φ),其中tan φ=2, ........................................................................... 8分故2x+y 的最大值是√22+√5. ....................................................................................................................................... 10分23.解:(1)当a=2时,f (x )+|x |≤6,即|2x -2|+|x |≤6, .................................................................................................. 1分 当x ≤0时,原不等式化为2-2x-x ≤6,解得x ≥-4,即-4≤x ≤0; .................................................................................... 2分 当0<x ≤1时,原不等式化为2-2x+x ≤6,解得x ≥-4,即0<x ≤1; ............................................................................. 3分 当x>1时,原不等式化为2x-2+x ≤6,解得x ≤83,即1<x ≤83. ...................................................................................... 4分 综上,原不等式的解集为{x|-43≤x ≤83}. ............................................................................................................................ 5分 (2)因为x ∈[-2,-1],所以f (x )+|x -1|+3x ≤0可化为|2x -a |≤-2x-1, ....................................................................... 6分 所以2x+1≤2x-a ≤-2x-1, .............................................................................................................................................. 7分即4x+1≤a ≤-1对x ∈[-2,-1]恒成立,.......................................................................................................................... 9分 则-3≤a ≤-1,所以a 的取值范围是[-3,-1]. ................................................................................................................. 10分。
高三数学11月教学质量测评试题 理含解析 试题
2021届高三数学11月教学质量测评试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，1〕C．〔﹣2，1〕D．〔﹣1，2〕2．复平面内表示复数z＝的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设两个单位向量的夹角为，那么＝〔〕A．1 B．C．D．74．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．其中正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔〕A．甲不是人B．人比甲年龄小C．人比人年龄大D．人年龄最小7．数列{a n}对于任意正整数m，n，有a m+n＝a m+a n，假设a20＝1，那么a2021＝〔〕A．101 B．1 C．20 D．20218．函数的图象大致是〔〕A．B．C．D．9．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，那么C的离心率为〔〕A．B．C．D．10．函数f〔x〕的定义域为R，假设f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，那么〔〕A．f〔x〕是偶函数B．f〔x〕是奇函数C．f〔x+3〕是偶函数D．f〔x〕＝f〔x+2〕11．将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种12．函数f〔x〕＝sin x•sin2x，以下结论中错误的选项是〔〕A．y＝f〔x〕的图象关于点对称B．y＝f〔x〕的图象关于直线x＝π对称C．f〔x〕的最大值为D．f〔x〕是周期函数二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，那么该球的体积为．14．F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，假设线段PF1的中点Q在C的渐近线上，那么C的两条渐近线方程为．15．假设直线y＝kx+b是曲线y＝e x﹣2的切线，也是曲线y＝e x﹣1的切线，那么b＝．16．设等比数列{a n}满足a3＝2，a10＝256，那么数列{4n2a n}的前n项和为．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．〔1〕求tan B及边长a的值；〔2〕假设△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．18．?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．〔1〕证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．19．一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F〔1，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是1．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．20．函数f〔x〕＝sin2x﹣|ln〔x+1〕|，g〔x〕＝sin2x﹣x．〔1〕求证：g〔x〕在区间上无零点；〔2〕求证：f〔x〕有且仅有两个零点．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出奇数点，那么棋子向前跳动一站；假设掷出偶数点，那么向前跳动两站，直到棋子跳到第99站〔获胜〕或者100站〔失败〕时，游戏完毕〔骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6〕．〔1〕求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；〔2〕求证：{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是等比数列；〔3〕求玩该游戏获胜的概率．请考生在第22、23两题中任选一题答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；〔2〕求C上的点，到l间隔的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．a，b为正数，且满足a+b＝1．〔1〕求证：；〔2〕求证：．2021-2021学年华大新高考联盟高三〔上〕11月质检数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，1〕C．〔﹣2，1〕D．〔﹣1，2〕【解答】解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝〔﹣1，2〕．应选：D．2．复平面内表示复数z＝的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝＝＝，∴复平面内表示复数z＝的点的坐标为〔〕，位于第三象限．应选：C．3．设两个单位向量的夹角为，那么＝〔〕A．1 B．C．D．7【解答】解：两个单位向量的夹角为，那么＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cos+16×12＝13，所以＝．应选：B．4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．其中正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，假设a∥α，b∥α，那么直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；对于②，假设a∥α，a∥β，那么平面a和平面β可以相交，故②错误；对于③，假设a⊥α，b⊥α，那么根据线面垂直出性质定理，a∥b，故③正确；对于④，假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β成立；应选：B．5．如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【解答】解：由图可知，空气质量指数小于100表示空气质量优良，有7天，A正确，空气质量指数从小到大为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，3月1日至14日空气质量指数的中位数为：，B不成立，C，正确，D，正确，偏向最大，应选：B．6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔〕A．甲不是人B．人比甲年龄小C．人比人年龄大D．人年龄最小【解答】解：由于甲和人不同岁，人比乙年龄小，可知人不是甲乙，故丙是人；由于丙比人年龄大，人比乙年龄小，可知甲是人；故：乙〔人〕的年龄＞丙〔人〕的年龄＞甲〔人〕的年龄；所以ABC错，D对．应选：D．7．数列{a n}对于任意正整数m，n，有a m+n＝a m+a n，假设a20＝1，那么a2021＝〔〕A．101 B．1 C．20 D．2021【解答】解：∵a mn＝a m+a n对于任意正整数m，n都成立，当m＝1，n＝1时，a2＝a1+a1＝2a1，当m＝2，n＝1时，a3＝a2+a1＝3a1，…∴a n＝na1，∴a20＝20a1＝1，∴a2021＝2021a1＝2021×＝101．应选：A．8．函数的图象大致是〔〕A．B．C．D．【解答】解：函数f〔x〕是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x＞0，x→0，f〔x〕＞0，且f〔x〕→0，排除A，函数的导数f′〔x〕＝x2+cos x，那么f′〔x〕为偶函数，当x＞0时，设h〔x〕＝x2+cos x，那么h′〔x〕＝2x﹣sin x＞0恒成立，即h〔x〕≥h 〔0〕＝1＞0，即f′〔x〕＞0恒成立，那么f〔x〕在R上为增函数，应选：D．9．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，那么C的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：如下图，∵PF2⊥F1F2，∴P〔c，〕．∵，∴＝，∴＝+＝〔﹣c，0〕+〔2c，〕＝〔，〕，∵，∴〔2c，〕•〔﹣，〕＝﹣+＝0，又b2＝a2﹣c2．化为：e4﹣4e2+1＝0，e∈〔0，1〕．解得e2＝2﹣，∴e＝．应选：A．10．函数f〔x〕的定义域为R，假设f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，那么〔〕A．f〔x〕是偶函数B．f〔x〕是奇函数C．f〔x+3〕是偶函数D．f〔x〕＝f〔x+2〕【解答】解：f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f〔x〕的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，可得f〔x〕＝f〔2﹣x〕＝f〔﹣4+x〕，即有f〔x+4〕＝f〔x〕，∴函数的周期T＝4，∴f〔﹣x+3〕＝f〔﹣x﹣1〕＝f〔x+3〕，那么f〔x+3〕为偶函数，应选：C．11．将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种【解答】解：依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3，1，1，1或者2，2，1，1两种，分为3，1，1，1四组时，有＝480种，分为2，2，1，1四组时，有＝1080种，故一共有480+1080＝1560种，应选：C．12．函数f〔x〕＝sin x•sin2x，以下结论中错误的选项是〔〕A．y＝f〔x〕的图象关于点对称B．y＝f〔x〕的图象关于直线x＝π对称C．f〔x〕的最大值为D．f〔x〕是周期函数【解答】解：对于A，因为f〔π﹣x〕+f〔x〕＝sin〔π﹣x〕sin〔2π﹣2x〕+sin x sin2x ＝0，所以A正确；对于B，f〔2π﹣x〕＝sin〔2π﹣x〕sin〔4π﹣2x〕＝sin x sin2x＝f〔x〕，所以B正确；对于C，f〔x〕＝sin x•sin2x＝2sin2x cos x＝2〔1﹣cos2x〕cos x＝2cos x﹣2cos3x，令t ＝cos x，那么t∈[﹣1，1]，f〔x〕＝g〔t〕＝2t﹣2t3，令g′〔t〕＝2﹣6t2＝0，得，t＝，当t＝时，g〔t〕有最大值2〔1﹣〕＝，故C错误；对于D，f〔2π+x〕＝f〔x〕，故2π为函数f〔x〕的一个周期，故D正确；应选：C．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，那么该球的体积为4π．【解答】解：假设棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么球的直径等于正方体的对角线长即2R＝2∴R＝那么球的体积V＝＝4π．故答案为：4π．14．F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，假设线段PF1的中点Q在C的渐近线上，那么C的两条渐近线方程为y＝±2x．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，可得F1〔﹣c，0〕到OQ的间隔为＝b，即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，即b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．故答案为：y＝±2x．15．假设直线y＝kx+b是曲线y＝e x﹣2的切线，也是曲线y＝e x﹣1的切线，那么b＝．【解答】解：设直线y＝kx+b与y＝e x﹣2和y＝e x﹣1的切点分别为〔〕和〔〕，那么切线分别为，，化简得：，，依题意有：，∴x1﹣2＝x2，x2＝﹣ln2，那么b＝＝．故答案为：．16．设等比数列{a n}满足a3＝2，a10＝256，那么数列{4n2a n}的前n项和为S n＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6 ．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，a3＝2，a10＝256，可得q7＝＝128，解得q＝2，那么a n＝a3q n﹣3＝2n﹣2，可得4n2a n＝n22n，设数列{4n2a n}的前n项和为S n，那么S n＝1•2+22•22+32•23+…+n22n，2S n＝1•22+22•23+32•24+…+n22n+1，相减可得﹣S n＝1•2+3•22+5•23+…+〔2n﹣1〕•2n﹣n22n+1，﹣2S n＝1•22+3•23+5•24+…+〔2n﹣1〕•2n+1﹣n22n+2，相减可得S n＝1•2+2〔22+23+…+2n〕+n22n+1﹣〔2n﹣1〕•2n+1＝2+2•+〔n2﹣2n+1〕•2n+1＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6．故答案为：S n＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．〔1〕求tan B及边长a的值；〔2〕假设△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕在△ABC中，由a cos B＝4，b sin A＝3，两式相除，有＝＝•＝•＝，所以tan B＝，又a cos B＝4，故cos B＞0，那么cos B＝，所以a＝5．…〔2〕由〔1〕知sin B＝，由S＝ac sin B，得到c＝6．由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b＝，故l＝5+6+＝11+即△ABC的周长为11+．…18．?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．〔1〕证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．【解答】解：〔1〕证明：∵AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°，即3＝1+BC2﹣BC，解得BC＝2，∴BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，那么△ABC为直角三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕如图，作AD⊥A1C交A1C于点D，连接BD，由三垂线定理可知，BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△AA1C中，，在Rt△BAD中，，∴，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．19．一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F〔1，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是1．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．【解答】解：〔1〕依题意，设曲线C上的的坐标为〔x，y〕，那么x＞0，所以﹣x＝1，化简得：y2＝4x，〔x＞0〕；〔2〕根据题意，直线l的方程为y＝k〔x﹣1〕，联立直线l和曲线C的方程得，k2x2﹣〔2k2+4〕x+k2＝0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕所以，所以|AB|＝8＝x1+x2+2，即＝6，解得k＝±1，所以直线l方程为：x+y﹣1＝0或者者x﹣y﹣1＝0．20．函数f〔x〕＝sin2x﹣|ln〔x+1〕|，g〔x〕＝sin2x﹣x．〔1〕求证：g〔x〕在区间上无零点；〔2〕求证：f〔x〕有且仅有两个零点．【解答】证明：〔1〕g′〔x〕＝2cos2x﹣1，当时，，此时函数g 〔x〕单调递增，当时，，此时函数g〔x〕单调递减，又，，∴函数g〔x〕在区间上无零点；〔2〕要证函数f〔x〕有且仅有两个零点，只需证明方程sin2x﹣|ln〔x+1〕|＝0有且仅有两个解，设m〔x〕＝sin2x，n〔x〕＝|ln〔x+1〕|，那么只需证明函数m〔x〕与函数n〔x〕的图象有且仅有两个交点，在同一坐标系中作出两函数图象如下，由图象可知，函数m〔x〕与函数n〔x〕的图象有且仅有两个交点，故原命题得证．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出奇数点，那么棋子向前跳动一站；假设掷出偶数点，那么向前跳动两站，直到棋子跳到第99站〔获胜〕或者100站〔失败〕时，游戏完毕〔骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6〕．〔1〕求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；〔2〕求证：{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是等比数列；〔3〕求玩该游戏获胜的概率．【解答】解：〔1〕根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，那么p0即棋子跳到第0站的概率，那么p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，那么，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或者1次偶数，那么；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以；〔2〕证明：∵，∴，又∵；∴数列{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是以为首项，﹣为公比的等比数列．〔3〕玩游戏获胜即跳到第99站，由〔2〕可得〔1≤n≤100〕，∴，，，⋮，∴，∴．请考生在第22、23两题中任选一题答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；〔2〕求C上的点，到l间隔的最大值．【解答】解：〔1〕由〔t为参数〕，两式平方相加，得x2+y2＝1〔x≠﹣1〕；由ρcosθ+ρsinθ+4＝0，得x+y+4＝0．即直线l的直角坐标方程为得x+y+4＝0；〔2〕设C上的点P〔cosθ，sinθ〕〔θ≠π〕，那么P到直线得x+y+4＝0的间隔为：d＝＝．∴当sin〔θ+φ〕＝1时，d有最大值为3．[选修4-5：不等式选讲]23．a，b为正数，且满足a+b＝1．〔1〕求证：；〔2〕求证：．【解答】证明：a，b为正数，且满足a+b＝1〔1〕〔1+〕〔1+〕＝1+＝1+，〔〕〔a+b〕≥〔〕2＝8，故；〔2〕∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴根据根本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab≤，〔a+〕〔b+〕＝＝≥ab+，令t＝ab∈〔0，]，y＝t+递减，所以，故〔a+〕〔b+〕≥2+＝．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
高三数学11月质量检测试题理含解析试题
九师联盟2021届高三数学11月质量检测试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.以下集合中不同于另外三个集合的是〔 〕 A. {}3|1x x =B. {}4|1x x =C. {1}D.1|1x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】计算每个集合中的元素再判断即可.【详解】{}4|1{1,1}x x ==-,另外三个集合都是{1}, 应选：B ．【点睛】此题主要考察集合中元素的求解,属于根底题型. 2.以下说法正确的选项是〔 〕 A. 假设a b >，那么44ac bc > B. 假设a b <，那么2211a b > C. 假设a b c >>，那么222a b c >>D. 假设a b >，c d >，那么a cb d +>+【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质或者者举反例逐个选项判断即可. 【详解】对于A 选项,假设0c,那么命题错误．故A 选项错误；对于B 选项,取2a =-,1b =-,那么满足a b <,但2211a b<,故B 选项错误； 对于C 选项,取1a =,2b =-,3c =-,那么满足a b c >>,但222a b c <<,故C 选项错误； 对于D 选项,由不等式的性质可知该选项正确． 应选：D ．【点睛】此题主要考察了不等式的性质,属于根底题型.(,3)a x =，(2,7)b =-，假设()a b b -⊥，那么实数x 的值是〔 〕A. -16B. 67-C.67D. 16【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算与垂直的数量积为0求解即可.【详解】因为(,3)(2,7)(2,4)a b x x -=--=+-,且()a b b -⊥,所以()(2,4)(2,7)a b b x -⋅=+-⋅-=2(2)(4)70x -++-⨯=,解得16x =-． 应选：A ．【点睛】此题主要考察了向量的坐标运算与向量垂直那么数量积为0,属于根底题型.21()x f x e+=，那么曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为〔 〕 A. 220x y ++=B. 220x y -+=C. 220x y +-=D.220x y --=【答案】B 【解析】【分析】 先求出12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再求导代入12x =-求得在切点出的切线斜率,再根据点斜式求解方程即可.【详解】依题意,得0112f e ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,21()2x f x e '+=,那么切线的斜率为122f '⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以切线方程为1122y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即220x y -+=．应选：B ．【点睛】此题主要考察了导数的几何意义,属于根底题型. 5.以下命题中正确的选项是〔 〕A. 假设三个平面两两相交，那么它们的交线互相平行B. 假设三条直线两两相交，那么它们最多确定一个平面C. 假设不同的两条直线均垂直于同一个平面，那么这两条直线平行D. 不一共线的四点可以确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的断定与性质,或者举出反例逐个判断即可.【详解】在A 中,从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交,但他们的交线互相垂直,故A 错误；在B 中,从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面,故B 错误；在C 中,不同的两条直线均垂直于同一个平面,那么由线面垂直的性质定理得这两条直线平行,故C 正确；在D 中,假设四点连线构成两条异面直线,这时四点不能确定一个平面,故D 错误． 应选：C ．【点睛】此题主要考察了线面垂直与平行的性质与断定,属于根底题型.x 的不等式20x ax b +-<〔a ，b 为常数〕的解集为(2,1)-，那么不等式230bx ax +->的解集是〔 〕 A. 3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式20x ax b +-<〔a ,b 为常数〕的解集为(2,1)-可知2,1x =-为方程20x ax b +-=的两根即可求得,a b ,再求解230bx ax +->即可.【详解】由20x ax b +-<解集为(2,1)-,可得211(2)12a b -=-+=-⎧⎨-=-⨯=-⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩．∴所求不等式230bx ax +->即为2230x x +->,解得32x <-或者1x >． 即不等式230bx ax +->的解集是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 应选：A ．【点睛】此题主要考察了二次不等式的解集的性质,属于根底题型.()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴之间的间隔 为2π，那么将()f x 的图象向右平移4π个单位长度，所得函数图象的一个对称中心是〔 〕A. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,04π⎛⎫-⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由相邻两条对称轴之间的间隔 为2π即可得()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期,再求得平移后的函数表达式,再求解对称中心即可.【详解】由题意．函数()f x 的最小正周期为π,那么2ππω=,解得2ω=,所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度．所得函数3sin 246y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．令2()3x k k ππ-=∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 所以所得函数图象的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭． 应选：D ．【点睛】此题主要考察了三角函数图像的平移与根本性质,属于中等题型.a ，b 满足0b >，||1a b +=，那么120192019||a a b++的最小值为〔 〕A. 2021B. 2021C. 2021D. 2021【答案】D【解析】 【分析】将12019||a a +拆成12019||2019||a a a +,再根据||1ab +=构造12019(||)2019||a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的构造,利用根本不等式从而求得最小值.【详解】因为0b >,||1a b +=,所以12019120192019||2019||2019||2019||a a a ab a a b a ++=++=+1201912019||(||)20192019||2019||20192019||a b a a b a b a a b ⎛⎫+⋅+=++++ ⎪⎝⎭1120192019≥-++20192021+=, 当且仅当0a <,2019||2019||b a a b =,即12020a =-,20192020b =时等号成立．应选：D ．【点睛】此题主要考察了根本不等式的运用与构造,属于中等题型.{}n a 中，3a ，5a 为一元二次方程2204081729x x -+=的两个根，那么其前n 项和为〔 〕 A. 31729n -B. 131243n +-C. 1313n n --D.1313n n+- 【答案】C 【解析】 【分析】由3a ,5a 为一元二次方程2204081729x x -+=与单调递减的等比数列{}n a 可求得35,a a 进而求得13q =.再利用求和公式求前n 项和即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,由得352081a a +=,35354,729a a a a =>, 所以329a =,5281a =,2532918129a q a ==⨯=,又数列{}n a 单调递减,所以13q =,3122929a a q ==⨯=, 所以其前n 项和为11213311313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-．应选：C ．【点睛】此题主要考察了等比数列的性质与求和,属于根底题型.()ln 2(1)2(1)x x f x x x ⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦的图象大致是〔 〕A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先求得()ln 2(1)2(1)x x f x x x ⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦求得定义域,排除A,D,再分析当1x >时的单调性即可.【详解】22(1)(1)11()ln ln ln ln ln 2(1)2(1)2(1)(1)1x x x x x x x x f x x x x x x x x x ⎡⎤+---⎛⎫=--=-=-==- ⎪⎢⎥-+-+-⎝⎭⎣⎦, 由10x x->得10x -<<或者1x >,即函数()f x 的定义域为(1,0)(1,),故A,D 错误；当1x >时,1y x x =-为增函数,所以1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数,所以排除C ．应选：B ．【点睛】此题主要考察了函数图像的断定,属于根底题型.A BCD -中，BCD 3BAC π∠=，二面角A BC D --的大小为θ，且1cos 3θ=-，那么三棱锥A BCD -体积的最大值为〔 〕A.4B.4C.2【答案】B 【解析】 【分析】画图分析,设AB x =,AC y =,在BCD 中利用BAC ∠对应的余弦定理求得,x y 的关系式,再表达出三棱锥A BCD -体积关于,x y 的关系式利用根本不等式求解即可. 【详解】设AB x =,AC y =,因为3BAC π∠=,所以2223BC x y xy =+-=,所以223x y xy =+-2xy xy xy ≥-=,即3xy ≤,当且仅当x y ==过A 作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,作AE BC ⊥垂足为E ,连接OE ,那么AEO πθ∠=-,所以sin()sin AO AE AE πθθ=-=AE ==,又11sin 223BC AE xy π⋅=,所以12AE xy =,所以3AO xy =≤所以113633344A BCD BCDV SAO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤．应选：B ．【点睛】此题主要考察了根本不等式在立体几何中的运用,需要根据题意建立未知量的关系,再根据关系选用适宜的根本不等式求解.属于中等题型.R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，假设关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，那么()123f x x x b c ++++=〔 〕A. 2log 5B. 2log 6C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x =-,再根据只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞,可分析得()1,2f x =为2()()0f x bf x c --=的根,进而求得3b =,2c =-．再求()123f x x x b c ++++即可.【详解】当1x >-时．函数()f x 单调递增,那么关于x 的方程2()()0f x bf x c --=在(1,)-+∞内至多只有两个解,所以1x =-必为其中一解,即11x =-．故当1x =-时,2()()0f x bf x c --=,此时由函数()1f x =,得10b c --=；①假设关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解,那么当1x <-时, ()2f x =也一定满足2()()0f x bf x c --=,代入得420b c --=．②联立①②,解得3b =,2c =-．当1x >-时,2()log (1)=+f x x ,由2()()0f x bf x c --=即2()3()20f x f x -+=,得22log 2(1)3log (1)20x x +-++=,解得2log (1)1x +=或者2log (1)2x +=,解得21x =或者33x =．所以()1232(11332)(4)log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==． 应选：A ．【点睛】此题主要考察了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与详细值等.属于难题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，那么33a b +=________．【答案】293【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可.【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,那么331729433a b +=+=． 故答案为：293【点睛】此题主要考察了等差等比数列的根本性质与运用,属于根底题型.14.假设命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立〞是假命题，那么实数k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立〞,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+成立〞是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立〞是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立〞,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞【点睛】此题主要考察了特称命题的否认与恒成立问题,属于简单题型.x ，y 满足约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，那么目的函数3z x y =+的最小值为________．【答案】-7 【解析】 【分析】画出可行域,再判断3z x y =+取最小值时的点即可.【详解】画出约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩,表示的平面区域〔阴影局部〕如下图：平移直线30x y +=,由图形知,当目的函数3z x y =+过点M 时获得最小值,由2201x y y -+=⎧⎨=-⎩,解得(4,1)M --．代入得min (4)3(1)7z =-+⨯-=-．所以3z x y =+的最小值为―7． 故答案为：-7【点睛】此题主要考察了线性规划的不等式问题,属于根底题型.111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .假设AB BC ⊥,3AB =，4BC =,那么球2Q 的外表积为______. 【答案】29π 【解析】 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的外表积. 【详解】由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.所以球2Q 的外表积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π【点睛】此题主要考察几何体的内切球和外接球问题，考察球的外表积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．ABC 中. ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,假设2228a b c ，ABC 的面积为(1)求角C 的大小;(2)假设c =,求 sin A sin B +的值. 【答案】〔1〕3π；〔2〕32【解析】 【分析】(1)由三角形的面积为23得到1232absinC =，由余弦定理以及2228a b c +-=得到28abcos C =，进而可求出tan C ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据23c =，即可求出a b +，再由正弦定理可得sin sin sin sin a C b CA B c c+=+，即可求出结果. 【详解】〔1〕由ABC ∆的面积为23可得 1232absinC =，由2228a b c +-=及余弦定理可得28abcos C =， 故tan 3,3C C π==;(2)∵,2cos 8,83C ab C ab π==∴=又2228,23a b c c +-==，可得6a b += 由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==,得()sin sin sin 3sin sin 2a Cb C C A B a bc c c +=+=+= 【点睛】此题主要考察解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于根底题型. 18.城中大量公园的兴建意味着建筑让位，还地于民，城公一共空间被越来越充分地翻开．这种翻开不只是物理意义上的空间开放，而是使城公园不仅供民众用来休憩、娱乐、锻炼，还用于互相交往、传播文化、锤炼公民意识，让城与人建立更好的连接，推动城回归人本．某城方案在靠近环城公路Ax ，Ay 的P 处建一所职业技校，且配套修建一条道路BC ，并把三条路围成的三角形区域开拓为休闲公园〔如图〕．经测量P 到Ax ，Ay 的间隔 PE ，PF 分别为4 km ，3 km ，假设,2BAC πθθπ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 4θ=，km AB x =，km AC y =．〔1〕试建立x ，y 间的等量关系；〔2〕为尽量减少土地占用，试问如何确定B 点的位置，才能使得该公园的面积最小？并求最小面积．【答案】〔1〕3434x y xy +=；〔2〕当8km AB =时，最小面积为232km 【解析】 【分析】 (1)根据ABCABPAPCSSS=+建立等量关系即可.(2)由(1)有3434x y xy +=,表达出公园的面积38ABCS xy =,再利用根本不等式求解即可. 【详解】〔1〕因为Р到Ax ．Ay 的间隔 分别为4,3．所以4PE =,3PF =．因为11143(43)222ABC ABP APCSSSx y x y =+=⋅⋅+⋅⋅=+,① 又1324ABC S xy =⨯,②,所以3434x y xy +=．〔2〕因为43x y +≥所以34xy ≥解得2563xy ≥．当且仅当43x y =时,取“＝〞,即8x =,323y =．所以38ABCS xy =有最小值32． 所以当8km AB =时,该公园的面积最小,最小面积为232km ．【点睛】此题主要考察了根本不等式的实际运用,需要根据题目条件列出对应的表达式,再根据变量间的关系选用适宜的根本不等式即可.属于中等题型.()4(sin cos )cos 2(0)f x x x x ωωωω=-+>图象的一个对称中心为,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的最小正周期为T ． 〔1〕求T 的最大值；〔2〕当T 取最大值时，假设82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，04πα<<，求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】〔1〕π；〔2〕14+【解析】 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式求得()24f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,再根据一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭求得41()k k ω=+∈Z ,再求T 的最大值即可.(2)由(1)有()24π⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x ,利用82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求得sin 2α=,再求得cos2α,利用降幂公式求解sin ,cos αα与sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可. 【详解】〔1〕由题意得()4(sin cos )cos 2f x x x x ωωω=-+24sin cos 4cos 2x x x ωωω=-+2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭,所以2()84k k ππωπ⋅-=∈Z ,得41()k k ω=+∈Z ．又0>ω,所以ω的最小值为1．所以T 的最大值为22ππ=．〔2〕由〔1〕知,()24π⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x ,假设82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,那么22842ππαα⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即sin 24α=．因为04a π<<,所以022πα<<．所以3cos24α==．所以sin 44αα====．所以1sin sin cos cos sin 44442424πππααα+⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭．【点睛】此题主要考察了三角恒等变换中的公式,包括降幂公式、辅助角公式等.需要根据题目中角度的关系选用适宜的公式,属于中等题型.{}n a 的前n 项和n S 满足126n n a S +=+，且16a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：23123111133333n nT T T T ++++<⋅⋅⋅⋅. 【答案】(Ⅰ) 16323n nn a -=⋅=⋅；(Ⅱ)【解析】试题分析：〔Ⅰ〕根据1n n n a S S -=-得出{}n a 是等比数列，从而可得{}n a 的通项；〔Ⅱ〕求出n T ，利用裂项法计算2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅得出结论. 试题解析：(Ⅰ)由得当2n ≥时，()1122n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=， 又2112626183n a S a a =+=+==.所以{}n a 是以16a =为首项，3为公比的等比数列，所以16323n nn a -=⋅=⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1123n n a =⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1111163114313n n nT ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭-. 所以()()()()111111431431146331313131313131n n n n n n n n n n n T +++++-⋅⎛⎫==⋅<=- ⎪⋅-------⎝⎭. 所以2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅ 122311111116313131313131n n +⎛⎫<-+-+⋯⋯+- ⎪------⎝⎭ 11163231n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.得证点睛：此题主要考察了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，SAB 是等边三角形．SAB ⊥底面ABCD ，23AB =，3BC =，1AD =，点M 是棱SB 上靠近点S 的一个三等分点．〔1〕求证：AM平面SCD ；〔2〕求二面角S CD B --的大小． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕60︒ 【解析】 【分析】(1) 取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,再证明AM ND ∥即可.(2) 作SO AB ⊥,垂足为点O .再建立空间直角坐标系,分别求平面SCD 的一个法向量与平面BCD 一个法向量,利用法向量夹角的余弦值求二面角S CD B --的大小即可.【详解】〔1〕证明：取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,连接MN ,DN , 因为13SM SN SB SC ==,所以MN BC 且13MN BC =．因为AD BC ∥,所以MN AD ．又因为3BC =,1AD =,所以13AD BC MN ==．所以四边形MNDA 是平行四边形． 所以AM ND ∥．又因为AM ⊄平面SCD ,ND ⊂平面SCD ,所以//AM 平面SCD ．〔2〕作SO AB ⊥,垂足为点O ．如下图．因为SAB 是等边三角形,所以点O 是线段AB 的中点．因为侧面SAB ⊥底面ABCD , 侧面SAB底面ABCD AB =,SO AB ⊥,SO ⊂二侧面SAB ,所以SO ⊥底面ABCD ．所以以点O 为原点,OA 为x 轴,过点O 且平行于EC 的射线为y 轴,OS 为z 轴,建立如上图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为23AB =3BC =,1AD =,SAB 是等边三角形, 所以132AO BO AB ===3sin 60233SO AS ︒=⋅==． 所以点(0,0,0)O ,3,0,0)A ,3,1,0)D ,(3,3,0)C -,(0,0,3)S ,所以(3,1,3)SD =-,(3,3,3)SC =--．设平面SCD 的一个法向量为(,,)x y z =m ,那么由00m SD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得3303330x y z x y z +-=-+-=⎪⎩,解得3232x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 令2z =,得平面SCD 的一个法向量为3,3,2)m =．易知平面BCD 一个法向量为(0,0,1)n =．设二面角S CD B --的大小是θ,易知θ是锐角,那么||1cos ||||2m n m n θ⋅===．又0180θ︒︒≤≤,所以60θ︒=．所以二面角S CD B --的大小是60︒．【点睛】此题主要考察了空间中平行垂直的证明与性质等,同时也考察了建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型.1()2(2)x f x e a x -=-+，()(1ln )()g x a x a R =-+∈．〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，务实数a 的取值范围． 【答案】〔1〕当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；〔2〕(,2]-∞ 【解析】 【分析】(1)求导得1()2(2)x f x ea '-=-+,再分(2)0a -+≥与(2)0a -+<两种情况讨论即可.(2)将()()f x g x ≥中()g x 移至左边,再构造新函数1()ln 2(2)x h x a x e a x a -=+-++,根据第(1)问的结论,分2a ≤与2a >两种情况讨论()h x 的最小值即可. 【详解】〔1〕1()2(2)x f x ea x -=-+的定义域是R ,那么1()2(2)x f x e a '-=-+．当(2)0a -+≥,即2a ≤-时,()0f x '>对任意x ∈R 恒成立,故函数()f x 在R 上单调递增 当(2)0a -+<,即2a >-时,令()0f x '<,得2ln12a x +<+；令()0f x '>,得2ln12a x +>+, 故函数()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上,当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 〔2〕()()f x g x ≥,即12(2)(1ln )x e a x a x --+≥-+,得1ln 2(2)0x a x e a x a -+-++≥．令1()ln 2(2)x h x a x ea x a -=+-++,那么112(2)()2(2)x x a xe a x a h x e a x x-'--++=+-+=． 由〔1〕知,函数122x y ex -=-在区间(1,)+∞上单调递增,所以当1x >时,1022220x e x e -->-=,即在(1,)+∞上,恒有1x e x ->．所以在(1,)+∞上22(2)(2)(1)()x a x a x a x h x x x'-++-->=． ①当2a ≤时,()0h x '≥在区间[1,)+∞上恒成立,即()h x 在[1,)+∞上单调递增,所以()(1)0h x h ≥=〔符合题意〕；②当2a >时,由12(2)()x xe a x a h x x-'-++=,得12()2x a h x e x ''-=-+,且()h x ''在[1,)+∞上单调递增,又(1)20h a ''=-<,1210h ''=->,故()h x ''在上存在唯一的零点0x ,当[)01,x x ∈时,()0h x ''<,即()h x '在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h ''≤=,知()h x 在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h <=与矛盾〔不合题意〕． 综上,a 的取值范围是(,2]-∞．【点睛】此题主要考察了利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考察了利用导数解决恒成立问题与最值问题等,需要求导分情况进展最值的讨论,属于难题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
广西玉林市数学高三上学期理数11月月考试卷
广西玉林市数学高三上学期理数11月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·泉州模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·吉林月考) 已知复数 ( ,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,且 ,则复数z等于（）A .B .C . 或D .3. （2分） (2016高二下·宝坻期末) 下列四种说法正确的是（）①函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的充要条件②命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是“∀x∈R，（）x≤0”③命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数．则p∧q为真命题．A . ①②③④B . ①③C . ①③④D . ③4. （2分）下列不等式成立的是（）A .B .C .D .5. （2分）在中，，，，则的大小为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·綦江期末) 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足. 当点在圆上运动时，满足的动点的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（）A .B .C .D .7. （2分）若数列{an}的通项公式为an=2n+5，则此数列是（）A . 公差为2的等差数列B . 公差为5的等差数列C . 首项为5的等差数列D . 公差为n的等差数列8. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A . 2B . 4C . 5D . 69. （2分）(2018·商丘模拟) 已知正方形如图所示，其中，相交于点，，，，，，分别为，，，，，的中点，阴影部分中的两个圆分别为与的内切圆，若往正方形中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，其一条渐近线方程为y=x ，点P（ ,y0）在该双曲线上，则 =（）A . -12B . -2C . 0D . 411. （2分）为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥其中正确的命题是（）A . ①②③B . ①④⑤C . ①④D . ①③④12. （2分）,则下列关于的零点个数判断正确的是（）A . 当k=0时，有无数个零点B . 当k＜0时，有3个零点C . 当k＞0时，有3个零点D . 无论k取何值，都有4个零点二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·石嘴山月考) 已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 ________.14. （1分）(2020·九江模拟) 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为________.15. （1分） (2019高二下·上海期末) 在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率为________16. （1分） (2019高三上·浙江月考) 设函数，若方程在区间内有个不同的实数解，则实数的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2020高一下·湖州期末) 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角A的大小；（2）若，且，求的面积．18. （10分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．19. （10分）(2017·滨州模拟) 如图，已知DP⊥y轴，点D为垂足，点M在线段DP的延长线上，且满足|DP|=|PM|，当点P在圆x2+y2=3上运动时（1）求点M的轨迹C的方程；（2）直线l：x=my+3（m≠0）交曲线C于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B1（点B1与点A不重合），且直线B1A与x轴交于点E．①证明：点E是定点；②△EAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．20. （10分）已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．21. （10分）(2019·浙江模拟) 已知函数f(x）=ex-ax-b(a，b∈R其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若f(x）≥0恒成立，求ab的最大值．（Ⅱ)设F(x)=lnx+1-f(x)，若函数y=F(x)存在唯一零点，且对满足条件的a，b，不等式m(a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．22. （10分） (2020高三上·贵阳期末) 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）判断直线与曲线C的位置关系；（2）设点为曲线C上任意一点，求的取值范围．23. （10分） (2016高一下·义乌期末) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
广西壮族自治区玉林市2021年高三上学期11月月考数学(理)试题
广西壮族自治区玉林市2021年高三上学期11月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在复平面内，复数z 满足(1)2z i -=，则z 的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y xB x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知()1cos 2απ-=，0πα-<<，则tan α=（ ）.A B ．3 C ．D ．3-4．给出下列两个命题：命题p ：“0a =，0b ≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的必要不充分条件；命题q ：函数1ln1x y x -=+是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∨D ．p q ⌝∨ 5．设3log 18a =，4log 24b =，342c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a << 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )A ．215πB ．320πC ．2115π-D ．3120π- 7．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A ．6B C D ．3 8．函数()·ln x f x e x =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为（ ）A ．-2或-1或3B ．2或-2C ．3或-1D ．3或-210．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12e <≤B ．2≥eC ．1e <≤D ．e ≥11．已如三棱锥D-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若1AB AC BC DB DC =====，当三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）.A ．53πB ．2πC ．5πD ．203π 12．已知(){}αα0P f ==，(){}ββ0Q g ==，若存在α∈P ，β∈Q ，使得αβn -<，则称函教()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”，若()221x f x -=-与()2x g x x ae =-（e 为自然对数的底数）互为“1度零点函数，则实数a 的取值范围为（ ）.A ．3294,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．342,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 14．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2a =，则cos cos b C c B ⋅+⋅的值为______.15．设抛物线2 : 4C y x =的焦点为F ，点A 的坐标为()2,0-，直线()20x ky k +=>与C 交于M ，N 两点，2AN AM =，则FM FN ⋅=______.16．已知A ，B 是函数2,()()(2),()x a e x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最大值为__________．三、解答题17．某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试，若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．18．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且33a =，39S =（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2233log n n b a +=且{}n b 为递增数列，若14n n n c b b +=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：1n T <.19．如图，ABCD 是平行四边形，EA ⊥平面ABCD ，PD EA ∥， 24BD PD EA ===，3AD =，5AB =，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点.（1）求证：DB GH ⊥；（2）求平面FGH 与平面EBC 所成锐二面角的余弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围.21．已知函数()ln()1(0)f x x x a a =++<(1)若函数()f x 在定义域上为增函数，求a 的取值范围;(2)证明:()xf x e cosx +< 22．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若点(),P x y 在圆Cy -的取值范围.23．已知函数()22f x x a x a=-++ ⑴当2a =时，解不等式()1f x ≥；⑵求函数()()()g x f x f x =+-的最小值．参考答案1．D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z （1﹣i ）=2，得z=()()()2121111i i i i i +==+--+， ∴1z i =-．则z 的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．B【解析】【分析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】 本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．3．A【分析】由三角函数的诱导公式求得1cos 2α=-，再由三角函数的基本关系式求得sin α=，即可得到tan α的值，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得()1cos cos 2απα-=-=，即1cos 2α=-，又由0πα-<<，所以sin α==所以sin tan cos ααα==故选A.【点睛】 本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C【分析】先判断出简单命题p 、q 的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假.【详解】对于命题p ，若函数2y x ax b =++为偶函数，则其对称轴为02a x =-=，得0a =， 则“0a =，0b ≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的充分不必要条件，命题p 为假命题；对于命题q ，令101x x->+，即101x x -<+，得11x -<<，则函数1ln 1x y x -=+的定义域为()1,1-， 关于原点对称，且()()11111ln ln ln ln 1111x x x x x x x x ----++⎛⎫===- ⎪+-+--⎝⎭， 所以，函数1ln 1x y x-=+为奇函数，命题q 为真命题， 因此，p q ∧、p q ⌝∧、p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题，故选C. 【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.5．D【分析】由对数函数的性质，可得18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+，得到2a b >>，再由指数函数的性质，求得2c <，即可求解，得到答案.【详解】由对数函数的性质，可得18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+，又由6643log log <，所以a b >，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>=， 根据指数函数的性质，可得314222c =<=，所以c b a <<.故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数和对数函数的单调性，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．C【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】13=，设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．7．C【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，AG ＝(a ，a,0)，AC ＝(0,2a,2a)，BG ＝(a ，－a ，0)，BC ＝(0,0,2a)，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，由110{0AG n AC n ⋅=⋅=⇒⇒111{1x y ==-⇒n 1＝(1，－1,1)． sinθ＝11BG n BG n ⋅⋅＝. 8．A 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键 9．D 【解析】 【分析】根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可． 【详解】 因为1y =所以231x --= ，解得2x =- ，因为22-> 不成立，所以-2是输入的x 的值；()23log 21x x -= ，即223x x -= ，解得x=3或x=-1，因为只有32> 成立，所以x 的值为3.综上，x 的值为2- 或3 所以选D 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题． 10．B 【解析】因为OP 为12PF F ∆的边12F F 的中线，可知121()2PO PF PF =+，双曲线上存在点P 满足 12122PF PF F F +≤，则42PO c ≤，由PO a ≥，可知42a c ≤，则2≥e ，选B.11．A 【分析】根据当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，分别过,E F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，得到球O 的球心，再由求得截面的性质，求得球的半径R ，即可求得球的表面积.【详解】如图所示，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直， 取BC 的中点G ，连接,AG DG ，则,AG BC DG BC ⊥⊥，分别取ABC ∆与ΔDBC 的外心,E F ，分别过,E F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，可得正方形OEGF 6OG =所以四面体A BCD -的外接球的半径R ===所以球O 的表面积为2543S ππ=⨯=.故选A.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 12．B 【分析】令()0f x =，解得2x =，由()0g x =，解得2x x ae =，设解为0x ，有()221x f x -=-，求得013x <<，设()2x x h x e =，则()()21,32,xx x h x ex ∈-'=，求得函数的单调性，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意，令()2210x f x -=-=，解得2x =，由()20x g x x ae =-=，解得2x x ae =，设其解为0x ，因为()221x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数“，所以021x -＜，解得013x <<，又由0x 20e x a =，所以020x x e a =， 设()2x x h x e =，则()22xx x h x e-'=，()1,3x ∈， 当12x <<时，()0h x '>，()h x 是增函数，当23x <<时，()0h x '<，()h x 是减函数，所以()()2max 42h x h e ==，()11h e =，()393h e =， 所以实数a 的取值范围为214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦. 故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数定义问题的求解，以及导数在函数中的综合应用，其中解答正确理解题意，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，结合新定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 13．7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1项，再根据项的次数为零解得r ，代入即得结果.详解：二项式81)2x的展开式的通项公式为848318811C ()C 22rr r r r r r T xx --+==⋅⋅,令8403r-=得2r ，故所求的常数项为2821C =7.2⋅点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出特定项的系数. 14．2 【分析】根据余弦定理的边角互化，化简得cos cos b C c B a +=，即可求解. 【详解】由根据余弦定理，可得222222cos cos 222a b c a c b b C c B b c a ab ac+-+-+=⨯+⨯==.故答案为2. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟练应用余弦定理的边角互化，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15．8 【分析】 联立224x ky y x+=⎧⎨=⎩，得2480y ky -+=，得到124y y k +=，128y y =，再由2AN AM =，求得12y =，24y =，进而求得,M N 的坐标，再利用向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由题意，抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，联立方程组224x ky y x+=⎧⎨=⎩，整理得2480y ky -+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124y y k +=，128y y =， 因为2AN AM =，则()()22112,22,x y x y +=+， 所以212y y =，解得12y =，24y =， 所以32k，则直线方程为2340x y -+=，可得()1,2M ，()4,4N ， 所以()()0,23,48FM FN ⋅=⋅=. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立直线与抛物线的方程组，结合根与系数的关系和向量的坐标运算求得点,M N 的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16．1e- 【分析】先推出f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称，然后得出直线P A ，PB 分别与函数图象相切时，PA •PB 的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a ＝1，结合图象可得x ＝1时，f （x ）的最大值为1e-． 【详解】解：A ，B 是函数f （x ）()22x ae x af a x x a -⎧-≥⎪=⎨-⎪⎩，，＜（其中a ＞0）图象上的两个动点，当x ＜a 时，f （x ）＝f （2a ﹣x ）＝﹣e （2a ﹣x ）﹣2a ＝﹣e ﹣x ， ∴函数f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称． 当点A ，B 分别位于分段函数的两支上，且直线P A ，PB 分别与函数图象相切时，PA •PB 的最小值为0， 设P A 与f （x ）＝﹣e ﹣x 相切于点A （x 0，y 0），∴f ′（x ）＝e ﹣x，∴k AP ＝f ′（x 0）＝e0x x e x a---=-，解得x 0＝a ﹣1， ∵PA •PB 的最小值为0，∴PA ⊥PB ， ∴k P A ＝tan45°＝1，∴e 0x -=1，∴x 0＝0， ∴a ＝1，∴f （x ）max 1e=-． 故答案为1e-【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题． 17．（1）80X =；（2）815P =. 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求平均值，取各组的中间值，乘以各组的频率再相加即得，即112233n n x p x p x p x p x =++++，其中i p 为第i 组数据的频率，i x 是第i 组数据的中间值.（2）该校学生的选拔测试分数在[110,130)有4人，分别记为A ，B ，C ，D ，分数在[130,150)有2人，分别记为a ，b ，将从这6人中随机选取2人的所有可能结果一一列举出来：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，a ），（A ，b ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，D ），（C ，a ），（C ，b ），（D ，a ），（D ，b ），（a ，b ），共15个基本事件，找出其中符合题设条件的基本事件的个数，二者相除即得所求概率． （1）设平均成绩的估计值为X ，则：(200.001400.004600.009800.0201000.0131200.0021400.001)20X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯80． 4分（2）该校学生的选拔测试分数在[110,130)有4人，分别记为A ，B ，C ，D ，分数在[130,150)有2人，分别记为a ，b ，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，a ），（A ，b ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，D ），（C ，a ），（C ，b ），（D ，a ），（D ，b ），（a ，b ）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个． 故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为815P =． ..12分 考点：1、频率分布直方图；2、古典概型.18．（1）13111212n n q a q -=⎧⎪=⎨⎛⎫⨯-≠ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）证明见解析； 【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，分1q =和1q ≠，两种情况讨论，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）求得22n 33log 2a n b n +==，得到14111n n n c b b n n +==-+，利用“裂项法”求得数列的前n 项和，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设数列{}n a 的公比为q ，①当1q =时，313339S a a ===，可得133a a ==，所以3n a =；②当1q ≠时，可得()21313191a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2121319a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，解得112a =，12q =-， 所以数列的通项公式为11122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭.综上所述：数列{}n a 的通项公式为13111212n n q a q -=⎧⎪=⎨⎛⎫⨯-≠ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）由（1）知，当3n a =，可得2log 10n b ==，与题意不符； 当1q ≠时，2223113322n nn a +⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22n 33log 2a n b n +==， 可得14111(1)1n n n c b b n n n n +===-++， 所以11111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-<++. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，合理“裂项”，准确计算是关键，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力，属于基础题. 19．（1）证明见解析； （2； 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证得BD ⊥面GFH ，即可得到BD GH ⊥；（2）建立空间直角坐标系，结合（1）和平面法向量的求法，得到平面FGH 和EBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为EA ⊥平面ABCD ，EA BD ∴⊥，3AD =，4BD =，5AB =，AD BD ∴⊥，而AD AE A ⋂=，BD ∴⊥面ADPE ，BD PE ∴⊥，∵在PEB ∆中,G F 分别为,P E 的中点，PE GF ∴∥，BD GF ∴⊥，同理BD HF ⊥， 而GFFH F =，BD ∴⊥面GFH ，BD GH ∴⊥（2）因为EA ⊥平面ABCD ，BC PD ∥，所PD AD ⊥，PD DB ⊥，又因为3AD =，4BD =，5AB =，所以AD BD ⊥，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0D ，()4,0,0B ，()0,3,2E -，()4,3,0C ， 所以()4,0,0DB =，()0,3,0BC =，()4,3,2BE =--， 由（1）知，平面FGH 的一个法向量为()4,0,0DB =， 设平面EBC 的一个法向量为(),,n x y z =，由00BC n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得304320y x y z =⎧⎨--+=⎩，令1z =，可得12x =，0y =，所以1,0,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以cos ,4BD n BD n BDn⋅===⨯，即平面FGH 与平面EBC .【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于空间角的计算，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．(1) 22143x y +=(2) 55k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a 、b 的值，代入椭圆方程即可； （2）联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围． 【详解】 解（1）由12c e a ==可得2243a b =，又224,3b a b ====. 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）由题意知直线l 方程为(4)y k x =-.联立()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222433264120k x k x k +-+-=.由()()()22223244364120kk k ∆=--+->，得214k <.① 设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++. ()()()222121212124?4416y y k x k x k x x k x x k ∴=--=-++.Q 原点O 在以线段AB 为直径的圆外，()()22212121212•1416OA OB x x y y k x x k x x k ∴=+=+-++ ()222222264123214?164343k k kk kk k -=+-+++ 28725043k =-<+，②由①②，解得k <<∴当原点O 在以线段AB 为直径的圆外时，直线l 的斜率,55k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21．(1)(2a e ∈-⎤-∞⎦，；(2)见证明【分析】（1）对函数()f x 进行求导，设()()m x f x '=，求出()m x '，判断()m x 的单调性，求出()()min 2m x m a =-，由题意得()min 0m x ≥，即可解得结果；（2）()ln 1f x x x <+，故只需证明ln cos 1x x x e x <+-即可，当01x <≤时，通过ln 0cos 1x x x e x ≤<+-，当1x >时，设()cos ln 1xg x e x x x +--=，通过导数判断函数的单调性，求其最小值.【详解】(1)()f x 的定义域为()a -+∞，，且()ln()x f x x a x a'=+++ 设()()ln()xm x f x x a x a'==+++，则2212()()()a x a m x x a x a x a +'=+=+++ ∵0a <，∴2a a ->-令()02m x x a '=⇒=-，则当)2(x a a ∈--，时，()0m x '<； 当2()x a ∈-+∞，时，()0m x '>. ()m x 在(2)a a --，上单调递减，在()2a -+∞，上单调递增， 由已知函数()f x 在定义域上是增函数，得()()()min 2ln 20m x m a a =--+≥=，解得2a e ≤-∴a 的取值范围是2(]a e -∞∈-，(2)∵0,a x a <>-，∴0,()ln()1ln 1x f x x x a x x >=++<+要证明()cos x f x e x <+只需证明ln cos 1x x x e x <+-(i)当01x <≤时，∵cos 10x e x +->，ln 0x x ≤.所以ln cos 1x x x e x <+-成立(ii)当1x >时，设()cos ln 1xg x e x x x +--=，则()ln sin 1x g x e x x '=--- 设()()h x g x '=，则1()cos x h x e x x'=-- ∵1x >∴()110h x e '>-->即()h x 在(1)+∞，上单调递增 ∴()()1sin110h x h e >-->=，即()0g x '>∴()g x 在(1)+∞，上单调递增， ()()1cos110g x g e >+->=，即ln cos 1x x x e x <+-综上可知，0a <时，()cos xf x e x <+. 【点睛】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，导数在证明不等式中的应用，属于难题.22．（1）直线l 的直角坐标方程为20x +-=；圆C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=；（2）[]4,4-；【分析】（1）由直线l 的参数方程，消去参数t ，即可得到直线l 的直角坐标方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆C 的直角坐标方程；（2）设()12cos 2sin P θθ+24sin 3y πθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t ，得直线l的直角坐标方程为20x +-=，又由圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ=+， 又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ，可得圆C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=.（2）因为点(),P x y 在圆C上，可设()12cos 2sin P θθ+，22sin 4sin 3y πθθθ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭， 因为2sin [1,1]3πθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭y -的取值范围是[]4,4-. 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及合理应用圆的参数方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．（1）不等式()1f x ≥的解集为R （2）【分析】（1）利用零点分段法将不等式分为三段，然后分别求解，最后取它们的并集即可； （2）根据绝对值三角不等式和均值不等式逐步推理，可以得到最小值．【详解】解：()1当2a =时，2211x x -++≥，当1x ≤-时，2211x x ---≥，得0x ≤，即有1x ≤-，当11x -<<时，2211x x -++≥，得2x ≤，即有11x -<<，当1≥x 时，2211x x -++≥，得23x ≥，即有1≥x ， 综上，不等式()1f x ≥的解集为R ．()()()()22222g x f x f x x a x x a x a a =+-=-+++--+-+ 2222x a x a x x a a=-+++++- ()()224222x a x a x x a a a a ⎛⎫⎛⎫≥--+++--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥= 当且仅当()()220x a x a -+≤，220x x a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭且42a a =时取“=”函数()g x 的最小值为【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和均值不等式的应用．考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力．。
广西省玉林市田家炳中学2021届高三上学期教学质量检测数学(理科)试卷 Word版含答案
高三教学质量监测试题数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题★答案★填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合U={0,1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则A∪(∁U B)=A.{1}B.{0,2,4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,4}2.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i3.已知函数f(x)=(x+1)e x,则f(x)图象在点(1,f(1))处的切线斜率为A.1B.2C.3+eD.3e4.若等差数列{a n}满足a2=20,a5=8,则a1=A.24B.23C.17D.165.已知单位向量e1与e2的夹角为2π3,则向量e1在向量e2方向上的投影为A.-√32B.12C.-12D.√326.设x∈R,则“x>12”是“2x2+x-1>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 为A .-1B .0C .√22 D .-1-√228.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是棱AD ,CC 1的中点,则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为A .π6 B .π4 C .π3D .π29.函数f (x )=cosx x (-π2≤x ≤π2且x ≠0)的图象可能是10.小王、小张、小赵三个人是好朋友,其中一个人下海经商,一个人考上了重点大学,一个人参军了.此外还知道以下条件:小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张的小;小王的年龄和大学生的年龄不一样.请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是A .士兵、商人、大学生B .士兵、大学生、商人C .商人、士兵、大学生D .商人、大学生、士兵 11.点P为椭圆x 216+y 215=1上任意一点,EF 为圆N :(x-1)2+y 2=1的任意一条直径,则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 A .(8,24) B .[8,24] C .[5,21] D .(5,21)12.已知函数f (x )={x 2+2x +a,x <0-e x +2ax -e 2,x ≥0在R 上恰有两个零点,则实数a 的取值范围是A .(0,1)B .(e ,+∞)C .(0,1)∪(e 22,+∞)D .(0,1)∪(e 2,+∞)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把★答案★填在答题卡上. 13.已知直线l 1:2x-y+1=0与直线l 2:x+by+2=0互相垂直,那么b= ▲ .14.若双曲线x 24-y 2m =1的焦距为6,则该双曲线的虚轴长为 ▲ .15.若将函数f (x )=|sin (ωx+π6)|(ω>0)的图象向左平移π9个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则实数ω的最小值是 ▲ .16.在三棱锥P-ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=120°,PB=PC=4√3,平面PBC ⊥平面ABC ,则三棱锥P-ABC 外接球的表面积为 ▲ .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }是递增数列,且a 1a 5=9,a 2+a 4=10. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =1a n ·a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .18.(本小题满分12分)已知在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,PD ⊥平面ABCD ,且AB ∥CD ,CD=2AB=2AD ,AD ⊥CD. (1)证明:平面PBC ⊥平面PBD.(2)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角B-PC-D的余弦值.19.(本小题满分12分)某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次性消费达到400元,则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.方案一:一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球,其中5个红球,10个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得80元的返金券,若抽到白球则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案二:一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球,其中5个红球,10个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得100元的返金券,若抽到白球则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得240元返金券的概率.(2)若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望;②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券?20.(本小题满分12分)已知圆(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)经过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线E的准线l相切.(1)求抛物线E的标准方程及r的值;(2)设经过点F的直线m交抛物线E于A,B两点,点B关于x轴的对称点为点C,若△ACF的面积为6,求直线m的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x e x-1-a(x+ln x),a∈R.(1)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围;(2)设x0是f(x)的极小值点,且f(x0)≥0,证明:f(x0)≥2(x02-x03).(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=2-√2t,(t为参数),以原点O为y=-1+√2t).极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4(1)判断曲线C1与曲线C2的位置关系;(2)设点M(x,y)为曲线C2上任意一点,求2x+y的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|2x-a|.(1)当a=2时,求不等式f(x)+|x|≤6的解集;(2)设f(x)+|x-1|+3x≤0对x∈[-2,-1]恒成立,求a的取值范围.高三教学质量监测试题数学参考★答案★(理科)1.D2.B3.D4.A5.C6.A7.C8.D9.B 10.A 11.B 12.C 13.2 14.2√5 15.3 16.80π1.解:∵∁U B={0,1,4},∴A ∪(∁U B )={0,1,2,4}.故选D .2.解:z=i (3-2i )=3i -2i 2=2+3i .故选B .3.解:由已知得f'(x )=(x+2)e x ,所以f'(1)=3e .故选D .4.解:根据题意,d=a 5-a 25-2=-4,则a 1=a 2-d=20-(-4)=24,故选A . 5.解:向量e 1在向量e 2方向上的投影为|e 1|cos2π3=-12.故选C . 6.解:∵不等式2x 2+x-1>0的解集为x>12或x<-1,∴“x>12”是“2x 2+x-1>0”的充分不必要条件.故选A . 7.解:由已知的程序语句可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S. 当n=10时,满足退出循环的条件,S=0+cos π4+cos2π4++cos 3π4+cos 4π4+cos 5π4+cos 6π4+cos 7π4+cos 8π4+cos 9π4+cos 10π4=0+√22+0+(-√22)+(-1)+(-√22)+0+√22+1+√22+0=√22.故选C .8.解:作FG ∥DC 交DD 1于G ,连接AG ,如图所示,则AG ∥BF ,异面直线A 1E 与BF 所成的角,即AG 与A 1E 所成的角,显然Rt △A 1AE ≌Rt △ADG ,故∠GAD=∠AA 1E ,故∠GAD+∠A 1EA=90°,即AG ⊥A 1E.故选D . 9.解:因为f (-x )=cos(-x)-x =-cosxx=-f (x ),所以f (x )为奇函数,故排除选项A ,C .又f'(x )=-sinx ·x -cosx x 2,当x ∈(0,π2)时,f'(x )<0恒成立,故函数f (x )在(0,π2)上单调递减,排除选项D .故选B .10.解:由“小赵的年龄比士兵的大,大学生的年龄比小张的小”,可知年龄处在中间位置的是“大学生”小赵.而小张的年龄最大,士兵的年龄最小,则小张是“商人”,小王是“士兵”.故选A .11.解:P 为椭圆x 216+y 215=1上任意一点,EF 为圆N :(x-1)2+y 2=1的任意一条直径,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.∵a -c ≤|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ,即3≤|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5,∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[8,24],故选B . 12.解:当x=0时,f (0)=-1-e 2≠0,故0不是函数f (x )的零点;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=0等价于2a=e x +e 2x .令g (x )=e x +e 2x ,则g'(x )=xe x -e x -e 2x 2.当x<2时,g'(x )<0;当x=2时,g'(x )=0;当x>2时,g'(x )>0. 所以g (x )≥e 2,即2a ≥e 2,a ≥e 22. ①当0<a<1时,f (x )在(-∞,0)上有两个零点,则f (x )在(0,+∞)上无零点,则a<e 22,所以0<a<1;②当a ≤0或a=1时,f (x )在(-∞,0)上有一个零点,故f (x )在(0,+∞)上需要有一个零点,此时不合题意;③当a>1时,f (x )在(-∞,0)上无零点,故f (x )在(0,+∞)上需要有两个零点,则a>e 2.综上,实数a 的取值范围是(0,1)∪(e 22,+∞).故选C .13.解:由2×1+(-1)·b=0,解得b=2.故★答案★为2.14.解:由√4+m 3,解得m=5.所以双曲线的虚轴长为2√5.故★答案★为2√5. 15.解:∵g (x )=|sin [ω(x+π)+π]|=|sin [ωx+(πω+π)]|为偶函数, ∴πω9+π6=kπ2(k ∈Z ),即ω=9k 2-32(k ∈Z ), 又ω>0,∴当k=1时,ω取得最小值3.故★答案★为3. 16.解:如图,设△ABC 外接圆的圆心为O 1,连接O 1C ,O 1A ,BC ∩O 1A=H ,连接PH. 由题意可得AH ⊥BC ,且AH=12O 1A=2,BH=12BC=2√3. 因为平面PBC ⊥平面ABC ,且PB=PC ,所以PH ⊥平面ABC , 且PH=√(4√3)2-(2√3)2=6.设O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心,连接OO1,OP,OC,过O作OD⊥PH,垂足为D,则外接球的半径R满足R2=O O12+42=(6-OO1)2+O1H2,即O O12+16=(6-OO1)2+4,解得OO1=2,从而R2=20,故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=80π.故★答案★为80π.17.解:(1)设{a n}的公差为d,因为a1a5=9,a2+a4=10,所以{a1(a1+4d)=9,a1+d+a1+3d=10, .......................................................................................... 2分解得a1=1或9,a5=9或1, .................................................................................................... 3分由于数列为递增数列,则a1=1,a5=9...................................................................................... 4分故d=2,从而a n=1+2(n-1)=2n-1............................................................................................ 6分(2)由于a n=2n-1,则b n=1a n·a n+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)........................................... 9分所以S n=b1+b2+…+b n=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1................................ 12分18.(1)证明:取CD的中点E,连接AE,BE.∵CD=2AB,∴AB=DE.又∵AB=AD,AD⊥DC,∴四边形ABED为正方形,则AE⊥BD,................................................... 1分∵PD⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,∴PD⊥AE. ...................................................................... 2分∵PD∩BD=D,∴AE⊥平面PBD................................................................................................ 3分∵AB=EC,AB∥EC,∴四边形ABCE为平行四边形,∴BC∥AE,................................................... 4分∴BC⊥平面PBD.又BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBD......................................................................................................... 5分(2)解:∵PD⊥平面ABCD,∴∠PBD为PB与平面ABCD所成的角,即∠PBD=45°,则PD=BD...................................................................................................... 6分设AD=1,则AB=1,CD=2,PD=BD=√2.以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,√2),B(1,1,0),C(0,2,0). ................................................................ 7分∵DA⊥平面PDC,∴平面PDC的一个法向量为DA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).................................................... 8分设平面PBC的法向量m=(x,y,z),∵PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-√2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),∴{PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =x +y -√2z =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-x +y =0,取x=1,∴m =(1,1,√2). ......................................................... 10分 设二面角B-PC-D 的平面角为θ,则|cosθ|=|m ·DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ||DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2+1+1=12, ..................................... 11分 由图可知二面角B-PC-D 为锐角,故二面角B-PC-D 的余弦值为12. .................................... 12分 19.解:(1)选择方案一,则每一次摸到红球的概率P=515=13. ..................................................... 1分 设“每位顾客获得240元返金券”为事件A ,则P (A )=C 33(13)3=127, ............................................ 2分 所以两位顾客均获得240元返金券的概率P=P (A )·P (A )=1729. ............................................ 3分 (2)①若选择抽奖方案一,则每一次摸到红球的概率为13,每一次摸到白球的概率为23.设获得返金券的金额为X 元,则X 可能的取值为60,120,180,240, ......................................................... 4分则P (X=60)=C 30(23)3=827, ....................................................................................................... 5分 P (X=120)=C 31(13)1(23)2=49, ...................................................................................................... 6分 P (X=180)=C 32(13)2×23=29, ........................................................................................................ 7分 P (X=240)=C 33(13)3=127, .......................................................................................................... 8分所以若选择抽奖方案一,该顾客获得返金券金额的数学期望为E (X )=60×827+120×49+180×29+240×127=120(元). ................................................................... 9分若选择抽奖方案二,设在三次摸球的过程中,摸到红球的次数为Y ,最终获得返金券的金额为Z 元,则Y~B (3,13),故E (Y )=3×13=1, ............................................................................................. 10分 所以若选择抽奖方案二,该顾客获得返金券金额的数学期望为E (Z )=E (100Y )=100(元). .... 11分 ②因为E (X )>E (Z ),所以应选择第一种抽奖方案. ............................................................... 12分 20.解:(1)由已知可得,圆心(4,4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等,即点(4,4)在抛物线E 上, 则16=8p ,解得p=2.故抛物线E 的标准方程为y 2=4x. ......................................................... 3分 由r=4+p 2,得r=4+22=5. .......................................................................................................... 4分 (2)由已知可得,直线m 的斜率存在,否则点C 与点A 重合. .................................................. 5分 设直线m 的斜率为k (k ≠0),则直线AB 的方程为y=k (x-1).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{y 2=4x,y =k(x -1),消去y 得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0, ................................................................ 6分则x 1+x 2=2+4k 2,x 1x 2=1. ......................................................................................................... 7分由对称性可知,C (x 2,-y 2),所以|AF|=x 1+1,|CF|=x 2+1. .............................................................. 8分 设直线m 的倾斜角为α,则tan α=k ,所以sin ∠AFC=|sin (π-2α)|=|sin 2α|=|2sin αcosα|=|2sinαcosα|sin 2α+cos 2α=2|tanα|tan 2α+1=2|k|k 2+1,所以S △AFC =12(x 1+1)(x 2+1)|sin 2α|=[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]·|k|k 2+1=4|k|, .......................................... 10分 由已知可得4|k|=6,解得k=±23. .............................................................................................. 11分 故直线m 的方程为y=±23(x-1),即2x±3y-2=0. .................................................................... 12分 21.(1)解:f'(x )=x+1x(x e x-1-a )(x>0), .......................................................................................... 1分 令g (x )=x e x-1-a ,则g'(x )=(x+1)e x-1>0, 所以g (x )在(0,+∞)上是增函数.又因为当x →0时,g (x )→-a ;当x →+∞时,g (x )→+∞. .................................................................... 2分 所以,当a ≤0时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,不存在极值点. .................. 3分 当a>0时,g (x )的值域为(-a ,+∞),必存在x 0>0,使得g (x 0)=0, 所以当x ∈(0,x 0)时,g (x )<0,f'(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,f (x )单调递增........................................................................... 4分 所以f (x )存在极小值点.综上可知,实数a 的取值范围是(0,+∞). ............................................. 5分 (2)证明:由(1)知x 0e x 0-1-a=0,即a=x 0e x 0-1.所以ln a=ln x 0+x 0-1, ......................................... 6分f (x 0)=x 0e x 0-1(1-x 0-ln x 0).由f (x 0)≥0,得1-x 0-ln x 0≥0.令φ(x )=1-x-ln x ,显然φ(x )在区间(0,+∞)上单调递减.又φ(1)=0,所以由f (x 0)≥0,得0<x 0≤1. ................................................................................... 7分 令H (x )=x-ln x-1(x>0),则H'(x )=1-1x =x -1x, 当x>1时,H'(x )>0,函数H (x )单调递增;当0<x<1时,H'(x )<0,函数H (x )单调递减. 所以,当x=1时,函数H (x )取得最小值H (1)=0,所以H (x )=x-ln x-1≥0, .......................................................................................................... 9分 即x-1≥ln x ,即e x-1≥x ,所以e x 0-1≥x 0>0, ............................................................................... 10分 1-x 0-ln x 0≥1-x 0-(x 0-1)=2(1-x 0)≥0, ....................................................................................... 11分所以f (x 0)=x 0e x 0-1(1-x 0-ln x 0)≥x 02·2(1-x 0)=2(x 02-x 03),不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。
2021年高三下学期学生学业质量检测数学理试题 含解析
2021年高三下学期学生学业质量检测数学理试题含解析【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷，注重基础知识考查与基本技能训练，考查考纲要求的知识与能力，覆盖全面，难度适中，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，对数量关系，空间形式，数形结合，特殊化等都有涉及，注重通性通法，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等，能很好的考查学生的实际能力. 纵观全卷，整卷难度比高考略低，试题体现了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的数学考试原则和全面检测数学素养的考试思想。
注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．已知集合 A={0,1, 2,3} ，集合，则=A．{ 3 } B．{0，1，2} C．{ 1，2} D．{0，1，2，3}【知识点】集合的表示方法；交集.【答案解析】B解析：解：【思路点拨】可以把B集合中描述法表示了元素用列举法表示出来，然后按交集的定义进行求解即可.2．设复数z1=1+i，z2=2+xi（），若，则x =A．－2 B．－1 C．1 D．2【知识点】复数代数形式的运算【答案解析】A 解析：解：因为,所以即.故选A.【思路点拨】把复数乘积展开，化简为a+bi （a 、b ∈R ）的形式，可以判断所在象限． 3．某校高考数学成绩近似地服从正态分布N （100,5 2） ，且p （110）=0．98 ，则的值为 A ．0．49 B ．0．52 C ．0．51 D ．0．48 【知识点】正态分布的概念与性质.【答案解析】D 解析：解：根据正态分布的对称性可知对称轴为，关于对称()()190100901100.482p p ξξ∴<<=<<= 【思路点拨】根据正态分布的对称性可以知道的值.4．通过随机询问100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由算得参照右上附表，得到的正确结论A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【知识点】独立性检验的应用，【答案解析】A 解析 ：解：：∵K 2= 100(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762＞3.841，P （K 2＞3.841）=0.05∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．故选：A ． 【思路点拨】根据P （K 2＞3.841）=0.05，即可得出结论．【典型总结】本题考查独立性检验的应用，考查学生分析解决问题的能力. 5．右上图是一个几何体的三视图，由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是 A ．6 B ．2 C ．5 D ． 【知识点】三视图；三视图与原图的关系.【答案解析】解：由三视图知：几何体为三棱锥，如图：SBAC其中SA⊥平面ABC，AC⊥平面SAB，SA=2，AB=4，AC=3，∴BC=5，,∴最长棱为故选：C．【思路点拨】可根据三视图找到原图的线面关系，根据图中所给数据进行计算.6．执行如右图所示的程序框图，则输出的y =A．B．1 C．－1D．2【知识点】循环结构的程序框图【答案解析】D 解析：解：第1次循环，y=2,i=1第2次循环，y= y=2,i=1,i=2第3次循环，y=-1,i=3第4次循环，y=2,i=4...........框图的作用是求周期为3的数列，输出y的值，满足xx，退出循环，循环次数是xx次，即输出的结果为2，故答案为：2．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算循环变量y，i的值，并输出满足i xx的值．7．变量x y 、满足线性约束条件，则目标函数z =k x－y，仅在点（0 , 2）取得最小值，则k 的取值范围是A．k<－3B．k>1C．－3<k<1 D．—1<k<1【知识点】线性规划；不等式表示平面区域.【答案解析】C解析：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx-y得y=kx-z，要使目标函数y=kx-z仅在点A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx-z的下方，∴目标函数的斜率k满足-3＜k＜1，故选：C．【思路点拨】可由数形结合的方法找出目标函数取最小值的位置，进而求出k的值.8．设函数在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数，则称函数为的“P界函数”．若给定函数，则下列结论不成立的是A．B．C．D．【知识点】新定义函数；分段函数求值.【答案解析】B 解析：解：因为，所以，.故A正确.，故B不正确.，故C正确.故D正确.综上：选项B不正确.【思路点拨】结合“P界函数”的定义计算即可.二、填空题：本大题共7 小题，考生做答 6 小题，每小题 5 分，满分30 分．其中第14～15 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．9．已知数列是等差数列，且a2=3，a6=11，则的公差d 为．【知识点】等差数列的定义.【答案解析】2解析：解：由等差数列的定义可知【思路点拨】依据等差数列的公式可求出公差的值.10．曲线在点（0,1）处的切线方程为．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案解析】B 解析：解：∵，∴，∴曲线在点P（0，1）处的切线的斜率为：k=3e0=3，∴曲线在点P（0，1）处的切线的方程为：y=3x+1，故答案为：y=3x+1．【思路点拨】欲求在点P（0，1）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【典型总结】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．11．在区间上的余弦曲线y= cos x 与坐标轴围成的面积为 ．【知识点】根据图形的对称性，可得曲线y=cosx ，,与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx ，与坐标轴围成的面积的3倍.【答案解析】3解析 ：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx ，，与坐标轴围成的面各积的3倍，【思路点拨】本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性.12．已知菱形 ABCD 的边长为a ， ∠DAB=60°，，则 的值为 ．【知识点】平面向量数量积的运算． 【答案解析】 解析 ：解：如图所示 因为菱形 ABCD 的边长为a, ∠DAB=60°21,cos1202DA DC a DA DC DA DC a ∴==⋅==-,1()()()()3AD DE DA DC AD DC DA DC ++=++.【思路点拨】利用菱形的性质、向量的三角形法则及其平行四边形法则、数量积运算、向量共线定理即可得出．13．有一个半径为4的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落入圆内的概率为 ． 【知识点】几何概型．【答案解析】 解析 ：解：记“硬币完全落入小圆内”为事件A ，事件A 对应的图形是硬币圆心与纸板的圆心距离小于3的圆内，其面积为9π而所有的基本事件对应的图形是硬币圆心与纸板的圆心距离小于5的圆内，其面积为25π ∴硬币完全落入小圆内的概率为P （A ）=． 故答案为：．【思路点拨】根据题意，算出硬币完全落入小圆内的事件对应的图形面积，以及所有基本事件对应图形的面积，结合几何概型计算公式即可算出所求的概率．【典型总结】本题给出硬币落入圆开纸板内的事件，求硬币完全落入小圆内的概率．着重考查了圆的面积公式和几何概型计算公式等知识. 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为（2,），半径为 2，直线 被圆C 截得的弦长为2 ，则的值等于 ． 【知识点】极坐标方程的意义.【答案解析】 解析 ：解：圆C 的普通方程为：，直线的方程为：.圆心C （0,2）到直线的距离为1得：，所以因为所以所以.【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程求解. 15．（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点 B 在圆O上，BC=2∠BCD=60°，则圆O 的面积为________．【知识点】弦切角.【答案解析】 解析 ： 解：因为弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，所以∠A=60°，则∠BOC=120°， 因为BC=2,所以圆的半径为2,所以圆的面积为：4π【思路点拨】通过弦切角转化为，圆周角，然后求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．三、解答题:本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2021年高三教学质量统一检测(一)数学理试题 Word版含答案
正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图绝密★启用前2021年高三教学质量统一检测（一）数学理试题 Word 版含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．张耀华（株洲市二中） 向为民（九方中学） 颜伟（南方中学）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．设集合，，则（ B ）A ． B. C. D.2．复数（其中为虚数单位）的虚部等于( B ) A ． B ． C ． D ． 3．已知样本数据的平均数是5，标准差是， 则（ A ）A ．B ．C ．D ．4、阅读下面程序框图，则输出结果的值为( D )A ．B ．C ．D ．05．已知非零向量，，则=( C )A ． B. C. D.6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ C ）•O C DBAA ． B. C. D.7．函数的部分图象如图所示，若，则等于( A ) A ． B ． C ． D ．8. 给出下列两个命题：命题：“，”是“函数为偶函数”的必要不充分条件；命题：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（C ）A ．B ．C ．D ．9．若双曲线的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是第一象限内双曲线上的点。
若直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，且，那么α的值是（ D ）A ．B ．C ．D ．10．已知关于的方程在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( A )A. B. C. D.二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，11，12,13为选做题，14,15,16为必做题，共25分．请将答案填在答题卷上）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 11．如图,在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝720，⊙O 过A 、B 两点且 与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连结BD ，若BC ＝, 则AC ＝ 2 .12．关于x 的不等式有解时，d 的取值范围是 .13．已知直角坐标系中，直线l 的参数方程：（t 为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则以极点为圆心与直线l 相切的圆的极坐标方程为 。
2021年高三教学质量检测试题数学理缺答案
2021年高三教学质量检测试题数学理缺答案xx.01本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，将第I卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应的位置上，考试结束，将答题卡上交.考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂在其他答案标号.答案不能答在试题卷上.3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）1.集合则等于A. B.C. D.＜2.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为3.若则的值等于A.2B.—3C.4D.64.曲线在点（2，—3）处的切线方程为A. B.C. D.5.“＜0”是“—3＜＜0”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件6.设函数，则下列结论正确的是①的图象关于直线对称②的图象关于点对称③的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④的最小正周期为，且在上为增函数A.①③B.②④C.①③④D.③④7.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A.5B.6C.2D.38.若抛物线的焦点是F，准线是，则经过点F、M且与相切的圆共有A.0个B.1个C.2个D.4个9.已知，函数与函数的图象可能是10.在△ABC中，∠ABC=120°,则等于A. B. C. D.11.是定义在R上的以3为周期的偶函数，＜2，则的取值范围是A.a＞0或a＜—1B.a＞—1C.a＞2或a＜0D.a＜012.设双曲线的离心率为e＝2，右焦点为F（c，0）关于x的方程的两个实根分别为x1和x2，则点的位置是A.必在圆内B.必在圆上C.必在圆外D.以上三种情形都有可能第II卷（非选择题，共90分）二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.若，则x取值范围是_________.14.△ABC中，＞，则A的取值范围是_______.15.设集合D＝,定义在D上的映射，满足对任意，均有平面向量且.若且不共线，则＝_____.若，且，则_______.16.函数的定义域为A,若且时总有，则称为单函数.例如，函数是函数.下列命题：①函数是单函数②若为单函数，且则③若：A→B为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数⑤若在R恒成立，则一定是单函数37216 9160 酠29095 71A7 熧32751 7FEF 翯9v 32582 7F46 罆9 {+9。
2021年11月份玉林市高三教学质量监测文科数学试题
2021年11月份玉林市高三教学质量监测文科数学试题选择题：1. 下列函数中，哪个是奇函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = cos(x)D. y = e^x2. 以下几何体的表面积与体积比，哪个最大？A. 正方体B. 球C. 圆柱体D. 正方锥3. 下列哪个不可能是方程x^2 + px + q = 0的一个根？A. 2B. -3C. 5D. 04. 如果一个正六边形的每条边的长度为a，那么它的面积是多少？A. a^2B. 2.6a^2C. 3a^2D. 2.6a^25. 一个锥体的底面半径是4厘米，高是6厘米，其体积是多少？A. 32πB. 48πC. 64πD. 96π填空题：6. 三次函数y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2的二次项系数是__________。
7. 如果一条直线的斜率为2，那么它在x轴上的截距是__________。
8. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的零点是__________。
9. 正弦函数y = a*sin(bx + c)的振幅是__________。
10. 一个立方体的体对角线长是__________。
应用题：11. 一个正方形花园的面积是100平方米，把它改建成等距离周围修建的边长是5米的小方块花园，求总共能建多少小方块花园？12. 已知二次函数y = -2x^2 + 5x - 3的顶点坐标为（1，0），求这个二次函数的对称轴方程。
13. 一条铁丝长120米，剪断成两段，一段用来做成一个正方形，另一端用来做成一个圆形，求这两个图形组合在一起时的最大面积。
14. 定义函数f(x) = |x-3|+2，求f(1)的值。
15. 根据直角三角形的特性，求出一条直角边长为4，斜边长为8的直角三角形的另一条直角边长。
2021年广西高考理科数学真题及答案
2021年广西高考理科数学真题及答案1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝,N=｛x|≤x≤5｝,则M∩N=A. ｛x|0＜x≤｝B. ｛x|≤x＜4｝C. ｛x|4≤x＜5｝D. ｛x|0＜x≤5｝2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入得调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确得昰A.该地农户家庭年收入低于4.5万元得农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元得农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入得平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上得农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知,则z=A.-1-iB. -1+iC. -+iD. --i4.青少年视力昰社会普遍关注得问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法得数据L和小数记数法得数据V满足L=5+lgV。
已知某同学视力得五分记录法得数据为4.9,则其视力得小数记数法得数据约为(≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.65.已知F1,F2昰双曲线C得两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C得离心率为A.B.C.D.6.在一个正方体中,过顶点A得三条棱得中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体得三视图中,正试图如右图所示,则相应得侧视图昰A.B.C.D.7.等比数列｛a n｝得公比为q,前n项和为S n,设甲:q>0,乙:｛S n｝昰递増数列,则A.甲昰乙得充分条件但不昰必要条件B.甲昰乙得必要条件但不昰充分条件C.甲昰乙得充要条件D.甲既不昰乙得充分条件也不昰乙得必要条件8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法昰珠峰高程测量方法之一.右图昰三角高程测量法得一个示意图,现有以A,B, C 三点,且A,B,C在同一水平而上得投影A’,B’,C'满足.由c点测得B点得仰角为15°,曲,与得差为100 :由B点测得A点得仰角为45°,则A,C两点到水平面得高度差约为A.346B.373C. 446D.4739.若,,则A. B. C. D.10.将4个1和2个0随机排成一行,则2个0 不相邻得概率为A. B. C. D.11.已知A,B,C昰半径为1得求O得球面上得三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC得体积为A. B. C. D.12.设函数f(x)得定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当時,.若,则A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
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21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=xex-1-a(x+ln x),a∈R.
(1)若 f(x)存在极小值,求实数 a 的取值范围;
(2)设 x0 是 f(x)的极小值点,且 f(x0)≥0,证明:f(x0)≥2(02 -03 ).
4
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
A.士兵、商人、大学生
B.士兵、大学生、商人
C.商人、士兵、大学生
D.商人、大学生、士兵
2
2
⃗⃗⃗⃗⃗ ·
⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范
11.点 P 为椭圆16+15=1 上任意一点,EF 为圆 N:(x-1)2+y2=1 的任意一条直径,则
围是
A.(8,24)
B.[8,24] C.[5,21] D.(5,21)
▲
.
16.在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=120°,PB=PC=4√3,平面 PBC⊥平面 ABC,则三棱锥
P-ABC 外接球的表面积为
▲
.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试
题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
广西玉林市 2021 届 11 月高三教学质量监测
数学(理科)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项
方案一:一个不透明的盒子中装有 15 个质地均匀且大小相同的小球,其中 5 个红球,10 个白球,
搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得 80 元的返金券,若抽到白球则获
得 20 元的返金券,且顾客有放回地抽取 3 次.
方案二:一个不透明的盒子中装有 15 个质地均匀且大小相同的小球,其中 5 个红球,10 个白球,
②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券?
20.(本小题满分 12 分)
已知圆(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)经过抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线 E 的准线 l 相切.
(1)求抛物线 E 的标准方程及 r 的值;
(2)设经过点 F 的直线 m 交抛物线 E 于 A,B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为点 C,若△ACF 的面
搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得 100 元的返金券,若抽到白球则
未中奖,且顾客有放回地抽取 3 次.
(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得 240 元返金券的
概率.
(2)若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望;
▲
13.已知直线 l1:2x-y+1=0 与直线 l2:x+by+2=0 互相垂直,那么 b=
2 2
14.若双曲线 4 - =1 的焦距为 6,则该双曲线的虚轴长为
π
▲
.
.
π
15.若将函数 f(x)=|sin(ωx+6)|(ω>0)的图象向左平移9个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函
数,则实数 ω 的最小值是
A.1
B.2
C.3+e D.3e
4.若等差数列{an}满足 a2=20,a5=8,则 a1=
A.24
B.23
C.17
D.16
2π
3
5.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ,则向量 e1 在向量 e2 方向上的投影为
√3
A.- 2
1
B.2
1
C.-2
√3
D. 2
1
6.设 x∈R,则“x>2”是“2x2+x-1>0”的
是符合题目ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求的.
1.已知集合 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则 A∪(∁UB)=
A.{1}
B.{0,2,4}
C.{1,2,3}
D.{0,1,2,4}
2.若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z=
A.2-3i
B.2+3i C.3+2i D.3-2i
3.已知函数 f(x)=(x+1)ex,则 f(x)图象在点(1,f(1))处的切线斜率为
2 + 2x + a,x < 0
12.已知函数 f(x)={
在 R 上恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是
-e + 2ax-e2 ,x ≥ 0
A.(0,1)
B.(e,+∞)
e2
C.(0,1)∪( 2 ,+∞)
e
D.(0,1)∪(2,+∞)
第Ⅱ卷
2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
1
7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为
A.-1
√2
B.0
√2
C. 2
D.-1- 2
8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AD,CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 BF 所
成角的大小为
A.
π
6
π
4
B.
π
π
C.3
D.2
cos π
π
(- ≤x≤ 且
2
2
9.函数 f(x)=
x≠0)的图象可能是
10.小王、小张、小赵三个人是好朋友,其中一个人下海经商,一个人考上了重点大学,一个人参
军了.此外还知道以下条件:小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张的小;小王的年龄和大
学生的年龄不一样.请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是
CD,CD=2AB=2AD,AD⊥CD.
(1)证明:平面 PBC⊥平面 PBD.
(2)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 B-PC-D 的余弦值.
3
19.(本小题满分 12 分)
某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次性消费达到 400 元,则可参加一次抽奖活动,超
市设计了两种抽奖方案.
(一)必考题:共 60 分.
17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}是递增数列,且 a1a5=9,a2+a4=10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 bn=
1
·+1
(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
18.(本小题满分 12 分)
已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,PD⊥平面 ABCD,且 AB∥