同济大学断裂力学第四章

E
KI2
+
1−υ2
E
KII 2
+
1+υ
E
K2 III
当G = GIC时，失稳扩展。
对于Ι型情况，已有GIC
=
1−υ2
E
K IC 2
故得复合型断裂判据
KI2
+
KII 2
+
1
1−υ
K2 III
=
KIC 2
(B)
对于纯II型裂纹，G
=
1
−υ
E
2
K II
2
当K II
=
K IIC时，G
= GC，GC
= 1−υ2
⎞2 ⎟ ⎠
⎛ +⎜
⎝
K II K IIC
⎞2 ⎟ ⎠
⎛ +⎜
⎝
K III K IIIC
⎞2 ⎟ ⎠
=1
(E)
由于在复合条件下，裂纹不一定沿原来方向扩展（特别 在II型情况下），式(E)与实际有差距。若只有Ι型、III型 复合，则有
⎛ ⎜ ⎝
KI K IC
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
K III K IIIC
θ
cos 2 [KI
sinθ
+
K II
(3cosθ
− 1)]
由 dσθ dθ
= 0求σθ的极值，可得
cos
θ
2
[
K
I
sin
θ
+ KII (3cosθ
−1)] = 0
θ
cos
=
0 的解对应θ
=
±π，与实验不符。故由方程
2
KI sinθ + KII (3cosθ −1) = 0
(A)
确定开裂角θ0.
上式(A)成立即保证了τ rθ |θ =θ0 = 0，即开裂方向就是剪切力为零的方向。
∂S = σ 2a sin2 β {2(1− 2ν ) sin (θ − 2β ) − 2sin[2(θ − β )] − sin 2θ}
∂θ 16G
令 ∂S
∂θ
=
0，得开裂角θ0满足方程
E
K2 IIC
= 1−υ2
E
K IC 2，故
KIIC = KIC
(C)
对纯III型裂纹，G
= 1+υ
E
KIII 2，当KIII
=
K IIIC时，G
=
GC
故GC
=
1+υ
E
K2 III
= 1−υ2
E
KIC 2，即
KIIIC = 1 − υ
(D)
K IC
将式(C)(D)代入式(B)中可得
⎛ ⎜ ⎝
KI K IC
σ x = 0,σ y = σ ,τ xy = 0 ⇒ σ 2 = σ r = m2σ y = σ cos2 β σ1 = σθ = l2σ y = σ sin2 β τ1 = τrθ = lmσ = σ sin β cos β
KI = σ1 π a = σ π a sin2 β KII = τ1 π a = σ π a sin β cos β
16G
∂S = σ 2a sinθ (cosθ −1+ 2ν ) ∂θ 8G
∂2S
∂θ 2
= σ 2a [cos 2θ
8G
− (1− 2ν ) cosθ ]
由 ∂S
∂θ
=
0
得θ0
= 0或 cosθ0
= 1− 2ν
(1) θ0
=
0,
∂2S
∂θ 2
= ν KΙ2 4π G
> 0,
S
=
Smin
=
(1− 2ν )σ 2a
− cosθ )(1 + cosθ )] +
1
4π G
K2 III
∂S = 0得θ = 0或cosθ = 1− 2ν
∂θ
θ
= 0时,S
|θ =0 = Smin
= 1− 2ν 4π G
KI2
+
1
4π G
K2 III
= SC
而SC
= 1− 2ν 4π G
KIC 2，故I − III复合型裂纹断裂判据为
KI2
由 ∂S
∂θ
=
∂2S 0,
∂θ 2
> 0可得 cosθ0
= 1− 2ν
3
(θ0
= 0舍去)
θ0
=
− arccos 1− 2ν
3
, Smin
=
2(1−ν ) −ν
12G
2
τ 2a
取ν = 0.3，θ0 = −82o21'. 与(σθ )max理论的结果θ0 = −70o32 '不同
SC
=
2(1−ν ) −ν 12π G
(1 奇异性) r
S = a11K Ι2 + 2a12 K Ι K II + a22 K II 2 + a33 K III 2
式中,
a11
=
1
16π
G
(χ
−
cosθ
)(1
+
cosθ
)
a12
=
1
16π G
sinθ [2 cosθ
−
(χ
− 1)]
S :应变能密度因子， 其 量 纲 : [力][密 度]−1 Nm −1
4G
(2) cosθ0
= 1− 2ν ,∂2S ∂θ 2
= − KΙ2 sin2 θ 8π G
< 0,
S
= Smax
=
(1−ν )2 σ 2a
4G
用θ0 = 0即裂纹沿此方向扩展
临界应力为σC =
4GSC
(1− 2ν ) a
Smin
=
(1− 2ν )σC2a
4G
=
SC
因KIC = σ C π a
故SC
σ y = σ yΙ + σ yII = τ xy = τ xyΙ + τ xyII =
KI
cos θ (1 + sin θ sin 3θ ) +
K II
θ θ 3θ
sin cos cos
2π r 2
2 2 2π r 2 2 2
KΙ
θ
sin
θ
cos
cos
3θ
+
K II
cos θ (1 − sin θ sin 3θ )
临界情况
SC
=
1
4π G
K2 IIIC
(=
1 − 2ν 4π G
K IC 2
=
2(1 −ν ) −ν 2 12π G
K IIC 2 )
K IIIC = 1 − 2ν ,
K IC
K IIIC =
2(1 −ν ) −ν 2
.
K IIC
3
(4)对于Ι − III复合型裂纹
K II
= 0，S
= KΙ2 [(3 − 4ν 16π G
β
−
3 sin θ 0
sin
β
cos β
]
β =0
（2）对于纯II型裂纹，KI = 0,
由式(
A) 可得 cosθ0
=
1 3
θ0 = −70032′
此外，如果将K I
=
0, cosθ0
=
1 3
及
sin
θ0
=
−2 2 3
,cos θ0
2
=
6 3
代入K *
=
K IC中，取K II
=
K
，则有
IIC
KIIC = 3 = 0.866. KIC 2
由此，
( ) ( ) σθ
=
max
σθ
= 2 θ =θ0
1
2π
r
cos
θ0
2
[KI
(1
+
cosθ0
)
−
3K II
sinθ0
]
( ) 令 K * = σθ max 2π r
则
K*
=
1 2
cos θ0
2
[KI
(1 +
cosθ0 )
−
3K II
sinθ0
]
=
cos θ0
2
⎛ ⎜⎝
K
I
cos2
θ0
2
−
3 2
⎞2 ⎟ ⎠
=1
或
⎛ ⎜ ⎝
KI K IC
⎞2 ⎟ ⎠
+1
1−υ
⎛ ⎜ ⎝
K III K IC
⎞2 ⎟ ⎠
=1
(可用)
为了找到开裂角θ
，即判断扩展方向，需要计算扩展方向
0
上的G，数学困难较大。
4-3 应变能密度因子理论（S判据）
（一）应变能密度因子理论（S判据） 1967年G.C. Sih提出S判据，它是以裂纹尖端为圆心的同心
代入式( A)K I sin θ + K II (3 cosθ − 1) = 0中得
tgβ = 1 − 3cosθ0 . sin θ 0
断裂角θ0与材料常数无关
当0
<
β
<
π
2
时，θ0
<
0.
将KI
,
K II 代入开裂条件K
*
=
K
中
IC
可
得