用平面向量坐标表示向量共线的条件
高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件
[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2
第二章 平面向量共线的坐标表示
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规 律 归 纳 涉及本节知识点的试题基本上以共线向量的坐标运算为 主， 另外还会与解析几何知识相结合， 以综合题的形式出现．
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4 (2010· 陕西高考)已知向量 a＝(2， －1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
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三点共线问题 → → → 【例 2】 向量PA＝(k,12)，PB＝(4,5)，PC＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
→ → 思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有BA∥CA.
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→ → → 解：BA＝PA－PB＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)． → → → CA＝PA－PC＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴BA∥CA， 即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0， 整理得 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 11， ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
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自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( A．共线且方向相同 C．是相反向量 B．共线且方向相反 D．不共线 )
2 2 解析：a＝－ b 且－ <0，∴a 和 b 共线且方向相反． 3 3
答案：B
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→ → → 2 已知向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
平面向量共线的坐标表示解析
由平面几何知A识G得 2：AD
B
3
2(x1 x3 2x1 , y1 y3 2y1)
3
2
2
OGOA AG
D
A
G
(x1,
y1)
(
x2
x3 3
2x1
,
y2
y3 3
2y1
)
C
(x2 x3 x1 , y2 y3 y1 )
O
X
3
3
G (x1x2x3,y1y2y3)
3
3
rr a 2b
1.已知a (2,4),b (1,2),则a与b的关系是（.D...）.
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
法二：设Px, y
y P2
x P1 Px1,y 12 Py P1 2,1 2x2x,y2y
P1
P
有
x y
x1 y1
1 2 1 2
x2 y2
x y
O
解P 有 点坐 2x1标 x2,2y1y2
A.30...............B.60............C.45..............D.75
4.设向量a32、b不13平行s，in求证co：s向量a b和向量a b不平行。
4.向量a，b不平行，求证：向量 a – b 与a + b不平行。
证明：设向量 a – b 与a + b平行。
rr rr
设 ab r( ab )r r
( 1 ) a ( 1 ) b 0
1 1
0 0
显然，上述方程没有实数解。
∴ 向量 a – b 与a + b平行。
平面向量共线的坐标表示
解：∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由两向量平行得 3(k－2)－7×(－1)＝0. 1 ∴k＝－3.
7 此时，ka－b＝－ ，－1 3
1 1 ＝－3(7,3)＝－3(a＋3b)． ∴它们是反向的．
• 2．3.4 平面向量共线的坐标表示
• 1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量，以及两直 线平行和两向量共线的判定的区别．(易混点) • 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ，并能会应 用．(重点) • 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(难点)
• 两向量平行的条件
•
如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ • 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当 两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向． • 例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； • 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
→ → → 【典例】 已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2， → → －3)，当BC∥DA时，求实数 x，y 应满足的关系．
→ → → → → 【错误解答】DA＝－AD＝－(AB＋BC＋CD) ＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]＝(－x－4，－y＋2)． → → → BC＝(x，y)，当BC∥DA时，x(－x－4)－y(－y＋2)＝0 即 x2－y2＋4x＋2y＝0.
→ BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． → → 而AB、BC共线，∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2，∴当 m＝－2 时， A、B、C 三点共线．
平面向量共线的坐标表示
向量共线的应用
向量共线可以用于解决一些实际问题，例如物理 学中的力合成、物理学中的速度合成等。
向量共线也可以用于解析几何中的图形变换、线 性变换等。
在向量研究中，向量共线还可以用于证明一些定 理和推导一些公式。
向量共线的坐标表示
向量共线定理
如果两个向量$\overrightarrow{AB}$和 $\overrightarrow{CD}$共线，那么存在实数 $\lambda$使得 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$。
坐标表示
设$\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)$， $\overrightarrow{CD}=(x_2,y_2)$，如果 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$，则有$\left\{\begin{matrix} x_1=\lambda x_2 \\ y_1=\lambda y_2 \end{matrix}\right.$。
向量共线的代数表示
总结词
如果两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$共线，那么存在一个 非零实数$\lambda$，使得 $\overset{\longrightarrow}{b} = \lambda\overset{\longrightarrow}{a}$。
向量共线的性质
要点一
向量共线的性质包括
交换律、结合律、分配律等。这些性质可以用来简化向 量的运算，并用于解决实际问题。
2.3.4平面向量共线的坐标表示
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：课本P101习题2.3.4：6、7 B组1~4
《聚焦课堂》
再见!
聚焦作业手册P80: 8T
已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB＋λAC (λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内? 解:设P(x,y). AP =(x－2,y－3), AB =(3, 1), x－2=3＋5λ y－3=1＋7λ AC =(5, 7), (x－2, y－3) =(3, 1)＋λ(5, 7) =(3＋5λ, 1＋7λ) x=5＋5λ <0 y=4＋7λ <0
∴只能有:
(1)k 1 : ke1 e2 e 1 ke2 ,同向共线. (2)k 1 : ke1 e2 (e 1 ke2 ) ,反向共线.
{ k 1 0
k 0
λ 1 k 1.
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ).
B( x 2 , y 2 )
x1=x2,且y1=y2
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
探究：
向量平行的坐标表示
向量平行的向量表示
设a=(x1,y1), b=(x2,y2), 其中a≠0, b // a b = λa (x2,y2) =λ(x1,y1) = (λx1,λy1)
(x , y ) λa 3.两个结论 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) a b x1=x2,且y1=y2 4.共线向量的充要条件:(a≠0) x1y2-x2y1=0 向量a与b共线 b=λa
a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ), a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ),
平面向量共线的坐标表示
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的坐标是$(x_2 - x_1,y_2 - y_1)$，其中 $(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别是点A和点B的坐标。
坐标表示法的应用
向量加法
向量数乘
对于两个向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$和 $\overset{\longrightarrow}{CD}$
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的长度称为向量的模，用符号 $|\overset{\longrightarrow}{AB}|$表示，其大小是线段$MN$的长度。
向量的方向
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的方向是从点A指向点B，与线段AB的方向一致。
详细描述
设$\overset{\longrightarrow}{a} = (x_1, y_1)$和 $\overset{\longrightarrow}{b} = (x_2, y_2)$是同一 直线上的两个向量。$t$为任意实数
向量的分解与合成
总结词
平面向量的分解与合成是指将一个向量分解为若干个 向量的和，或将若干个向量的和合成一个向量。
03
向量共线定理的证明
向量共线的定义
两个向量共线
两个向量共线是指它们的方向相同或相反，即它们的角度为0 度或180度。
坐标表示
平面向量的坐标表示是利用两个实数来表示向量的起点和终 点，即$(x_{1}, y_{1})$和$(x_{2}, y_{2})$。
向量共线定理的证明方法
方法一
利用向量的坐标表示证明
对于一个实数$\lambda$和一个向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
张喜林制2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件考点知识清单1．设),,(),,(2121b b b a a a ==其中.0=/b 那么当且仅当 时，向量)0(,=/b b a 共线．由于规定零向量与任何向量平行，则上述0=/b 的条件可去掉，当021=/⋅b b 时，向量a ，b 共线的条件也可以写 作2．设),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A 只要证明____，便可证A 、B 、C 三点共线． 3．P 是直线21p p 上的点，且P 点不与21P P 、重合，则=P 1,2pp λ设1p 坐标为211),,(P y x 坐标为P y x ),,(22点的坐标为（x ，y ），则根据向量共线条件有要点核心解读1．两向量平行的条件(1)设),,(),,(2121b b b a a a ==则.0//1221=-⇔b a b a b a(2)设b b b b a a a ),,(),,(2121==不平行于坐标轴，即=/1b ,0,02=/b 则⋅=⇔2211//b a b a b a 用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例． 2．两个向量平行的条件的推导我们知道，如果),0(//=/b b a 则存在唯一实数A 使;b a λ= 反之，如果存在一个实数A ，使),0(=/=b b a λ则.//b a选择基底},,{21e e 如果),,(),,(2121b b b a a a ==则条件b a λ=可化为),,(),(),(212121b b b b a a λλλ==即 ,11b a λ= ①⋅=22b a λ ②①②两式的两边分别乘以,12b b 、得,2121b b b a λ= ③ ,1212b b b a λ= ④:④③-得.01221=-b a b a ⑤⑤式就是两个向量平行的条件：⑤式成立，可判断两个向量平行；反之两个向量平行，它们的坐标满足⑤式．⑤式表示的条件，是在假设0=/b 的条件下推出的．事实上，如果在讨论平行问题时，规定零向量可以与任一向量平行，在⑤式中可以去掉0=/b 的假设。
平面向量共线的坐标表示 课件
(1)
uuur AB
2,1
2①,3
4, 4
,
uuur CD
7,
4
1,①4
……8,…8… …, …………2分
∵4×(-8)-4×(-8)=0②,
∴
uuur AB
P
CuuDur，即AuuBur与CuuD…ur共…线…. ……………4分
(2)∵a∥b,∴6(x2-2x)-3m×2=0②, ……………………6分
由向量共线求参数的值
【技法点拨】
由向量共线求参数的值的方法
求
根据题意求出有关向量的坐标.
利用向量共线的坐标表示得到有 列
关参数的方程（组）.
解
解得参数的值.
【典例训练】
1.(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，
c＝(3,4)．若λ为实数，(a+λb)∥c，则λ＝( )
(A)
【典例训练】 1.(2012·汕头高一检测)若A(-1，-2)，B(4，8)，C(5,x) 且A,B,C三点共线，则x=________. 2.若三点A(-2，-2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则 1 ＋1 的值为__________．
mn
3.已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，求证: A，B，C三点 共线．
所以e1=(0,0)与e2=(1,-2)不能作为平面内所有向量的基底.
对于B，因为(-1)×7-5×2=-17≠0，所以e1与e2不共线，
所以e1=(-1,2)与e2=(5,7)能作为平面内所有向量的基底.
对于C，因为3×10-6×5=0，所以e1∥e2,
所以e1=(3,5)与e2=(6,10)不能作为平面内所有向量的基底.
第二章23234平面向量共线的坐标表示
[活学活用] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，(ka＋b)∥(a－ 3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？ 解：∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)， ∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)． 由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
A．3
B．－3
1 C.3 解析：选 C
D．－13 ∵a∥b，∴(－1)×(－1)＝3x，∴x＝13.
返回
2．已知 A(2，－1)，B(3,1)，则与 AB平行且方向相反的向量 a
是
()
A．(2,1) C．(－1,2)
B．(－6，－3) D．(－4，－8)
解析：选 D AB＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2) 与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
返回
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若 λa＋μb 与 a＋b 共线，则 λ 与 μ 的关系是________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa＋μb)∥(a＋b)， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ
返回
∴yx＝＝－2＋11＋231＋×＋2323×23－31，，
即xy＝＝3545.，
故 P 点坐标为54，35.
(2)当 P1P 与 PP2 反向时，则有 P1P ＝－23 PP2 ，设 P 点坐
_平面向量共线的坐标表示
k 1 3
这两个向量是反向.
4. 若三点P(1, 1)，A(2, －4)，B(x, －9)共线，
则 （B）
A．x =－1
B．x=3
C．x = 9
2
D．x=51
5.设a=( 3 , sinα)，b=(cosα, 1 )，且a// b，则
2 锐角α为 ( C )
3
A．30o
B．60o
C．45o
uuuur 设 P1( x1, y1 ) ，P2 ( x2 , y2 )，P分P1P2 所成的
比为 ，如何求P点的坐标呢？
分析：Q
uuur P1P
(
x
x1,
y
y1)
uuur
uuur uuur
PP2 (x2 x, y2 y) P1P PP2
( x x1, y y1 ) ( x2 x, y2 y)
uuur OP1
1 3
uuuur P1P2
P P1
uuur OP1
1 3
uuur (OP2
uuur OP1 )
2 3
uuur OP1
1 uuur 3 OP2
O
x
2x1 3
x2
,
2
y1 3
y2
即点P的坐标是（2x1 x2 ，2 y1 y2 ）
3
3
直线l上两点 P1 、 P2，在l上取不同于P1 、P 2
又2 6 3 4 0，
AB // AC. 直线AB、直线AC有公共点 A， A、B、C三点共线.
练习：
1.已知av=
4,
2，bv
6,
y
,
且av
/
v /b,
求y的值.
第二章 2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件
本 课 时 栏 目 开 关
→ 即AB＝(4,6)．∴点 B 的坐标为(5,4).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.3
本 课 时 栏 目 开 关
1． 下列各组的两个向量共线的是 A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14) C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2) D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
本 课 时 栏 目 开 关
点之间的位置关系． → → → 解 ∵AB＝OB－OA＝(1,3)－(－1，－1)＝(2,4)， → → → AC＝OC－OA＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， → → 又 2×6－3×4＝0，∴AB∥AC. ∵直线 AB、AC 有公共点 A，
∴A、B、C 三点共线．
本 课 时 栏 目 开 关
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b 与 a－3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－ . 3
此时
1 2 1 ka＋b＝－3－3，－3＋2＝－3(a－3b)，
1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向． 小结 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条
解
本 课 时 栏 目 开 关
设 P 点坐标为(x，y)． → → → → → → ∵|AP|＝2|PB|，∴AP＝2PB或AP＝－2PB. → → 当AP＝2PB时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
x－3＝－2－2x ∴ y＋4＝4－2y
1 x＝ 3 ，∴P 点坐标为1，0. ，解得 3 y＝0
2.2.3用平面向量坐标表示共线条件
>>
ka 2b与2a 4b平行 （ 4 k 6） 14(2k 4) 0 解得k 1.
5、已知A（2，3），B（4，3），a ( x 3, x 3 x 4), -1 与AB相等, 则x ____
2
△ABC的三条边的中点分别为(2, 1)和(－3, 2 4 ( , ) 4),(－1,－1)，则△ABC的重心坐标为 _______ 3 3
用平面向量坐标
表示向量共线条件
学习目标研读
1．课堂目标
理解并掌握用坐标表示平面向量共线的条件． 2．重点难点 重点：用坐标表示平面向量共线的条件． 难点：向量共线的坐标表示的应用．
创设情境
1.
向量的坐标表示,并且向量之间可以进行的坐标
B x 2 , y2
运算
y
A x1 , y1
例3、 在 直 角 坐 标 系 xoy中, 已 知A 2,3, B0,1
解题思路： （思想）
证点共线
向量共线
有公共端点
（几何）
（向量）
点共线 （几何）
变式1：已知OA k ,12 , OB 4,5 , OC 10, k O为坐标原点,问k为何值时, A, B, C三点共线 ? 2或11
存在 R，使得ka 2b （2a 4b） ka 2b k (1, 2) 2(3, 2) (k 6, 2k 4). 即 k-2 a 4 2 b 2a 4b 2(1, 2) 4(3, 2) (14, 4). a与b不共线 k 2 0 4 2 0 k -1
C 2,5, 求 证 : A, B, C三 点 共 线 .
证明 :由已知条件得 AB 0,1 2, 3 2, 4 AC 2,5 2, 3 4,8 28 4 4 0 AB // AC 又因为有公共端点A. 因此A,B,C三点共线.
平面向量共线
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4．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b， 如果 c∥d，那么( )
A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向
解析：∵c∥d，∴存在实数 λ，使 c＝λd，即 ka＋b＝λ(a －b)，
答案：C
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3．已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，x)，若 a＋b 与 4b－2a 平
行，则实数 x 的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以 a＋b＝(3，x＋1)， 4b－2a＝(6,4x－2)，因为 a＋b 与 4b－2a 平行，所以 3(4x－ 2)－6(x＋1)＝0，解得 x＝2.故选 D.
2．证明三点共线的方法 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)， 只要证明 向量共线 ，便可证得 A、B、C 三点 共线．
3．线段的中点坐标 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1P2 的中点 P 的坐标为 x1＋2 x2，y1＋2 y2.
想一想
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解：∵a＝(1,1)，b＝(x,1)， ∴u＝(1,1)＋2(x,1)＝(1,1)＋(2x,2)＝(2x＋1,3)； v＝2(1,1)－(x,1)＝(2－x,1)． (1)u＝3v⇔(2x＋1,3)＝3(2－x,1)⇔(2x＋1,3)＝(6－3x,3) ⇔2x＋1＝6－3x. 解之，得 x＝1.
A．x＝－1 C．x＝92
B．x＝3 D．x＝51
平面向量的坐标表示运算共线
03 平面向量的共线
共线的定义与性质
共线的定义
如果存在一个非零实数$k$，使得向量$overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{b}$，则向量 $overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$共线。
数乘
实数$k$与向量$overset{longrightarrow}{AB}$的数乘 $koverset{longrightarrow}{AB} = (kx_1, ky_1)$。
02 平面向量的基本定理
线性无量$vec{a}$和$vec{b}$不共线，则它们是线性无关的 。这意味着它们不能被对方线性表示。
唯一性
向量在基底下的坐标是唯一的，即如果存在另外一组基底$vec{a'}$和$vec{b'}$，使得$vec{v} = x'vec{a'} + y'vec{b'}$，则$x = x'$和$y = y'$。
向量坐标的运算性质
• 运算性质：向量的加法、数乘和向量的数量积运算不会改变其 在基底下的坐标。即如果$\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$， $\vec{w} = m\vec{a} + n\vec{b}$，则$\vec{v} + \vec{w} = (x+m)\vec{a} + (y+n)\vec{b}$，$k\vec{v} = kx\vec{a} + ky\vec{b}$，$(\vec{v} \cdot \vec{w}) = (x,y) \cdot (m,n) = xm + yn$。
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型二 利用向量共线求参数 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件 列方程组求k. 解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线 或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助 共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究 探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1， －2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等． 探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？ 提示 不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或 零向量，则不能写成比例式.
6.2平面向量共线定理的坐标表示
授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。
2022届高三数学第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示[考试要求]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a≠0，b≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P 为线段AB 的中点，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P 点坐标为.3．已知△ABC 的重心为G ，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则G .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC.( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，∴12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.] 2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1) D [由题意可知P 1P 2→＝(3，－3)． 若P 1P →＝13P 1P 2→，则P 点坐标为(2,2)；若P 1P →＝23P 1P 2→，则P 点坐标为(3,1)，故选D.]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝________.－12[由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)， 得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)，a －2b ＝(4，－1)．由ma ＋nb 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.]4．已知▱ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D(x ，y)，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.]考点一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．是将OB →[典例1] 如图，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB→＝b.(1)用a 和b 表示向量OC→，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b)－23b ＝2a －53b.(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b)－λa＝(2－λ)a－b ，DC →＝2a －53b.所以(2－λ)a－b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b .因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.点评：本例(2)在求解中，以D ，E ，C 三点共线为切入点，借助EC →∥DC →及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设OE →＝xOD →＋(1－x)OC →，利用OA →＝12OB →＋12OC →及同基底下向量表示的唯一性求得λ.[跟进训练]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．(2020·三明模拟)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④B [由向量共线的充要条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA→＋vOB →成立，且u ＋v ＝1.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是：满足OP →＝uOA →＋vOB →，且u ＞0，v＞0，u ＋v ＞1.∵1＋2＞1，∴点P 位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]考点二 平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．[典例2] (1)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，①求3a ＋b －3c ；②求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标． (1)D [以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．∵c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.] (2)[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ②设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴MN →＝(9，－18)．点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．[跟进训练]1．在平行四边形ABCD 中，A(1,2)，B(－2,0)，AC →＝(2，－3)，则点D 的坐标为( ) A ．(6,1) B ．(－6，－1) C ．(0，－3)D ．(0,3)A [AB →＝(－3，－2)＝DC →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →－AB →＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A.]若AC→2.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________.85[法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC→＝(1,1)，∵AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.∴λ＋μ＝85.]考点三 向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．利用向量共线求参数[典例3－1] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m ＋1，m)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.点评：熟记两向量a ，b 共线的条件是求解此类问题的关键所在．利用向量共线求向量或点的坐标[典例3－2] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) [法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA→＝(－2,6)， 由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．法二：设点P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y.又AP →＝(x －4，y)，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．]点评：本例中“AC 与OB 的交点为P”，实际上变相告知“A，P ，C 三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P 的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．[跟进训练]1．已知向量a ＝(1,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，若c 为单位向量，且c ∥(a －2b)，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22B [由题意可知a －2b ＝(－3,4)，又c ∥(a －2b)，∴c ＝λ(－3,4)，即c ＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±15，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，故选B.]2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a ＝(1,1)，点A(3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．(－3，－6) [设B(x,2x)，则AB →＝(x －3,2x)． ∵AB →∥a ，∴x －3＝2x ，即x ＝－3. ∴B(－3，－6)．]备考技法3 共线定理的推广及应用 平面向量的等和线由平面向量基本定理，OP →＝λOA →＋μOB →，当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP →＝xOM→＋yON →，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：OM →＝kOA →，ON →＝kOB→⎝ ⎛⎭⎪⎫其中k ＝|OM||OA|， 则OP →＝xOM →＋yON →＝kxOA →＋kyOB →，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k(x ＋y)＝k.把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线． 等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点O 对称，则定值k 互为相反数.[技法展示] (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2A [如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3ABAB＝3，故选A.][评析] 应用等和线解题的步骤 (1)求k ＝1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值． [技法应用]1.如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．[3,4] [当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3,4]．]2.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC→＝xOA→＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．[1,3] [OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1,3]．]3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP →＝mAB→＋nAF →(m ，n 为实数)，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5] C [随着动点圆心Q 在线段CD(含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G(P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H(P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2. 此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5. 此为m ＋n 的最大值．综上可知，m ＋n ∈[2,5]．]。
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2.2.3《用平面向量坐标表示向量共线条件》
命制 王晓萍 审核 李淼、赵爱梅 时间 2014-3-14 学案编号 22 学习目标：会用坐标表示平面向量共线的条件
一、复习引入：
1、平面向量的坐标表示:分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量1e 、2e 作为基底。
任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
= ，把),(y x 叫做向量的（直角）
坐标，记作=
2、平面向量的坐标运算 若),(21a a =，),(21b b =， 则b a += ，b a - = ，=a λ
3、平行向量基本定理：如果λ=，则 ，反之，如果∥ (b ≠0)，则一定存在 一个实数λ，使 。
二、 概念形成： 已知∥ (≠)，且),(21a a a =，),(21b b b =，由a =λb 得， ),(21a a =),(21b b λ ⎩⎨⎧==⇒21a a ，消去λ得到 * 注：（1）因为规定零向量可以与任一向量平行，所以*式可以去掉≠的假设。
（2）特别地，只有当向量*不平行于坐标轴，即0,021≠≠b b ，*式才可化为 ，语言表述为：两个向量平行的条件是， 。
小结：向量共线有两种形式：a ∥b (b ≠)⇔ 。
班级：高一（ ）班 小组 姓名：
若),(21a a a =，),(21b b b =， a ∥b ⇔ 。
三、 典型例题
例1：已知=(2，5)和向量=(1， y)，并且∥，求的纵坐标y 。
变式：已知)2,1(=a ，)1,(x b =，若2+与-2平行，求x 的值。
例2：在直角坐标系xoy 内，已知A(-2， -3)， B(0，1)， C(2，5)，
求证：A 、B 、C 三点共线。
小结：判断三点共线的方法：
例3：已知)2,3(=，)2,1(-=)1,4(=， (1)求23-+ ；
(2)求满足a mb nc =+ 的实数n m ,；(3)若)(k +//)2(-,求实数k 。
四、归纳总结：1、知识： 2、题型与方法： 3、注意问题：
五、达标检测
1、若A(x ，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为（ ）
A.-3 B .-1 C.1 D.3
2、若AB =i +2j ， =(3-x ) i +(4-y ) j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）
A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，4
3、已知向量)10,(),5,4(),12,(k k -===，且A 、B 、C 三点共线，则k= 。
4、若向量a =(-1，x )与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x 。
5、已知A(-1，-3)，B(0，-1)，C(1，1)，求证：A ，B ，C 三点共线。
6、已知)2,4(=，),6(y =，且)2(+∥)22(-，求y 。
7、已知□ABCD 四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x )，C(2，3)，D(4，x )
则x = .
8、已知点A(-1,1)
，B(0，-2)，C(3,0)，D(2,3)，求证四边形ABCD 是平行四边形。
9、已知)2,1(=a 和点A(0，-3)，直线L 通过点A ，且平行于向量a 。
求证：若动点),(y x P 在L 上，则它的坐标y x ,满足方程032=--y x 。