低温固态物理第四章

可以看到上述三种不同的 判断在量级上是一致的
莫特判据有一个重要的推论，即：绝缘体 和金属态之间在特定条件下可以相互转换
4.3 导体电阻率随温度的变化 导体电阻率随温度的变化 4.3
电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、 库仑作用等，往往存在着多种散射机制
在多种散射机制存在下，总的散射几率是：
磁性杂质对传导电子的散射
实验现象 现，电阻率随温度降低而变小，在
某一温度附近达到最小，然后随温 度进一步降低而增加 金属中掺有少量磁性杂质，实验发
这些反常现象实验上早已观察，多年 来一直是金属研究中的一个疑难问 题，直到1964年，近藤（ J. Kondo） 提出理论对电阻极小现象以解释。
近 藤 效 应
P = ∑ Pi
i
Pi代表第i 种机制单位时间内的散射几率 单位时间内 k 1 意味着总电阻率是不同散 总散射驰豫时间 = 1 / P = ∑ 1
τ
i =1
τi
射机制引起的电阻率之和
ne 2τ 由于σ = ∗ m
m ∗ 1 m∗ 故有ρ = 2 = 2 ne τ ne
∑τ
i =1
k
1
i
马西森(Matthiessen)定则
σ
3D min
1 ⎡ e 2 ⎤ ⎡ 1 ⎤ 利用 e2 ≈ 4.1kΩ ≈ 2 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 3π ⎣ ⎦ ⎣ a ⎦ 以及a ~ 0.1nm
ρ max ~ 200 μΩcm
大量的实验数据分析表明，对 电阻率大于80-100μΩcm时，
d ρ / dT > 0 不再保持，这和上面根据阻温系数给
出的经验判断在量级上是相一致的
Rn
对理想完整的晶体，绝对零度时离 子实处在严格周期排列的位置
Rn = n1a1 + n2 a2 + n3a3
在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定 波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。 当温度不为零时，离子实会在平衡 位置附加发生小的振动，使得电子 势变成 VL ' (r ) = ∑ VL (r − Rn − u( Rn ))
ni－杂质浓度，J－交换积分，D－导带半宽度
当J < 0时， ρ m ag 随温度降低按- ln T 规律增加
Resistivity
而声子散射有关的电阻率随T降低而减少
0
Temperature
两者的竞争必然在某一温度达到极小
对实验结果的讨论
ρ＝ρ 0＋ρ ph + ρ ee + ρ mag
= ρ 0＋AT 5 + BT 2 + ρ mag
k0−1称为屏蔽长度
然而，电子的运动是关联的，关联的后果是使得 φ (r ) = − e e − k0 r 点电荷产生的库仑势受到屏蔽，成为屏蔽库仑势 4πε 0 r
屏蔽效应在电子－电子碰撞过程中所起的作用是降低碰撞截面 Q0， 使之小于未屏蔽库仑势的卢瑟福碰撞方程所估计的碰撞截面
因此，考虑电子－电 子相互作用后，有效 碰撞截面近似为 泡利因子
§4 电子输运性质
4.1 能带理论对固体导电性的理解 4.1 能带理论对固体导电性的理解
固体按导电性能的高低可以分为 导电性能的不同 源于不同的能带结构
导体 半导体 绝缘体
最纯 金属
固体电阻率变化范围
10 Ωcm
−9
导电性最差 的绝缘体
1022 Ωcm
导体
具有下列三种情况的能带 结构的固体均为导体
剩余电阻率ρ0 是一个与温度无关的常数 通过将实验数据外推到T=0即可得到
AT 5 低温下声子散射引起的电阻率 ρ ph (T ) ≈ 124.4 M Θ6 D
通过将低温 ρ (T)数据按 ρ -T5 关系重新显示，若在某一段温区曲线为直 线，则表示在该温区观察到的电阻率是由声子散射机制主宰，并通过对曲 线的拟合可估计出德拜温度
晶格运动对电子的散射过程相当于 因此晶格振动对电子的散射实 际上就是声子对电子的散射。 量子力学语言 电子通过吸收或发射声子，从一个 稳定态跃迁到另一稳定态的过程。
电子受声子的散射引起的电阻率记为： 相应的电阻率随温度的 变化可由下列关系描述
ρ ph
AT 5 ρ ph (T ) = M Θ6 D
∫
空带
hν
满带
4.2 如何判断某一固体为金属或绝缘体？ 如何判断某一固体为金属或绝缘体？ 4.2
经验上的判断
ρ = ρ (T )
金属
dρ >0 dT
dρ 还是 < 0? dT
绝缘体或 半导体
金属
Resistivity
绝缘体
0
Temperature
根据电阻率判据
最纯 金属
Mooij判据
导电性最差 的绝缘体
E (k )
空带
没有禁带存在，即空带底 和满带顶紧靠在一起，如 自由电子的情况
有禁带存在，但 禁带下的能带未 被电子完全占据
ΔEg 禁带
E (k )
空带
电子占据的能带和 能量较高的空带间 虽有禁带，但它们 之间有重迭
k
E (k )
空带
k
k
绝缘体
E (k )
空带 禁带
价电子正好把价带填满，而上面的许可 带没有电子占据，在满带和空带之间存 在一禁带。 禁带宽度称为带隙，绝缘体的带隙通常 在几 eV 以上。在一般的温度下，电子不 可能获得足够的能量而从满带跃迁到空 带中，因此不具有导电性 。
E1 EF
因此，泡利不相容原 理使得电子－电子碰 撞几率相对于经典值 降低了一个因子
用热能kBT代替E1， 则降低因子可近似为
能量 守恒
动量 守恒
(
k BT 2 ) EF
两电子之间库仑相互作用的屏蔽
在卢瑟福碰撞截面计算中，电子被看成是 一个未屏蔽的点电荷，相应的库仑势为：
φ (r ) = −
e 4πε 0 r
导体
杂质、缺陷等散射 电子－声子相互作用 电子－电子相互作用 磁散射
剩余电阻率
导体电阻率至少包含四个部分
ρ＝ρ 0＋ρ ph + ρ ee + ρ mag
磁散射有关 的电阻率 声子散射有 关的电阻率 电子－电子相互作 用有关的电阻率
剩余电阻率
起因
ρ0
导体中或多或少存在缺陷或结构不完整或含有杂质离子，这些缺 陷、结构不完整性和杂质将对传导电子产生散射，引起电阻。 与此相对应的电阻率称为剩余电阻率，记为ρ0 剩余电阻率与样品质量有关，是一个与温度无关的常数。 通过低温下电阻率随温度关系的 测量并外推到绝对零度，即可得 到剩余电阻率。
k1 k4
k2 k3
考虑二体碰撞发生在激 发轨道1中的一个电子 与费米海里填满的轨道 2中的一个电子之间
1 根据泡利不相容原理，只允许这 样的碰撞发生，即其终态k3和k4在 碰撞以前是未被电子占据的态。
ky
μ =0
为方便起见，将费米 能级取为能量零点
这样，电子1的能量 E1 为正， 电子2的能量E2为负。
Resistivity
很明显，样品质量越好，也就 是说，尽可能少的 缺陷、结构
尽可能完整、没有杂质的存在，
ρ 0则Байду номын сангаас小。如果是理想导体，
0
则剩余电阻率趋向于零。
Temperature
声子散射有关的电阻率
ρ ph
晶体中共有化运动的电子是在和晶 格具有相同周期的势场中运动： V (r ) = ∑ VL (r − Rn )
假定局域自旋间没有短 程相互作用且忽略晶体 场效应
ρ mag
若计入晶体场效应， 这项将变得十分复杂
低温
3π Nm* = | J ex |2 ( g − 1) 2 J ( J + 1) 2 2 e εF
de Gennes 因子
自旋波对传导电子的散射 引起的电阻率随温度按T2 关系变化，即：
ρ mag ∝ T 2
T < 0.1Θ D
AT 5 ρ ph (T ) ≈ 124.4 M Θ6 D
电子－电子相互作用有关的电阻率
ρ ee
金属中的传导电子虽拥在一起，彼此仅相距～0.2nm， 但在两次相互碰撞之间却运动了相当长的距离。
注意到：正是因为如此长的平均自 由程，才使得自由电子模型在很多 方面给金属性质以令人满意的描述
ΘD / T
0
x 5 dx (e x − 1)(1 − e − x )
高温
T > 0.5Θ D
A为材料有关的常数，M原 子质量，ΘD为德拜温度
A T ρ ph (T ) ≈ 4 M Θ2 D
低温
意味着高温时，因电－ 声子相互作用引起的电 阻率随温度降低而线性 减小 意味着低温时，因电－ 声子相互作用引起的电 阻率按T5关系随温度降 低而减少
E1 因此，处在充满轨道中的电子，仅仅部分电子才可能成为电 EF 子1的碰撞靶体，这部分作为靶体的电子占总数的比例约为 即使处在上述能壳中的电子可作为电子1的碰撞靶体，但碰撞过 动量守恒 程还要求满足动量守恒，因此，处在上述能壳中的电子也只有 部分参与了和电子1的碰撞，这部分电子所占的比例近似为 E1 E1 × EF EF
k
半导体
E (k )
空带 禁带
半导体的能带和绝缘体相似，只是带隙 要小得多，通常在 1eV 左右。由于较小 的带隙，当有光照或升高温度时，价带 中的电子将被激发到空带中，使导带底 附 近 有 少 量 电 子 ， 这 些 电 子将 参与导 电；同时价带中出现的空穴也将参与导 电。
k
利用半导体在温度升高、受光 照射等条件下的导电性能大大 增强的特性，可研制出诸如热 敏电阻、光敏电阻等器件。
Rn
明显地，周期势场因晶格运动而被破 坏，附加的偏离周期性势场