顶角为20度的等腰三角形难题
中考数学真题分类汇编及解析(二十四)等腰三角形
（2022•桂林中考）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）A．3+√22B．1+√2C．2√2D．2+√2【解析】选D．如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，因为∠C＝45°，所以△ADC是等腰直角三角形，所以AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=√2AC＝2√2，因为∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，所以∠DAB＝22.5°，所以∠B＝∠DAB，所以AD＝BD＝2，因为AD＝AC，AE⊥CD，所以DE＝CE，所以AE=12CD=√2，所以△ABC的面积为12•BC•AE=12×√2×（2+2√2）＝2+√2．（2022·安徽中考）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA（2022•泰安中考）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【解析】选A．如图，因为AB＝BC，∠C＝25°，所以∠C＝∠BAC＝25°，因为l1∥l2，∠1＝60°，所以∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，因为∠BEA＝∠C+∠2，所以∠2＝95°﹣25°＝70°（2022•宜宾中考）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则CFAF =45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+√3．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【解析】选B．如图1中，因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAD＝∠CAE，因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△DAE（SAS），所以BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，因为∠ADB+∠ADC＝180°，所以∠AEC+∠ADC＝180°，所以∠DAE+∠DCE＝180°，所以∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，所以A，D，C，E四点共圆，所以∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE=√5m，OA=√52m，过点C作CJ⊥DF于点J，因为tan∠CDF=CJDJ =CECD=2，所以CJ=2√55m，因为AO⊥DE，CJ⊥DE，所以AO∥CJ，所以CFAF =CJAO=2√55m√52m=45，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，所以BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，所以△BPN是等边三角形，所以BP＝PN，所以PA+PB+PC＝AP+PN+MN，所以当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，所以∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD=√3t，所以2+t=√3t，所以t=√3+1，所以CE＝BD=√3t＝3+√3，故④错误，故正确的结论是①②③.（2022•福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【解析】选B．因为AB＝AC，BC＝44cm，所以BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，因为∠ABC＝27°，所以tan∠ABC=ADBD≈0.51，所以AD≈0.51×22＝11.22cm．（2022•永州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【解析】选C．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，所以AC＝2BD＝4，因为∠C＝60°，所以∠A＝30°，所以BC=12AC＝2.（2022•鄂州中考）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【解析】选B．由题意可得AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA，因为∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，所以∠CAB＝∠CBA＝15°，因为l1∥l2，所以∠1＝∠CBA＝15°．（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADC ＝90°B ．DE ＝DFC ．AD ＝BC D ．BD ＝CD【解析】选C ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∠B ＝∠C ，所以∠ADC ＝90°，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠C ∠BED =∠CFD BD =CD，所以△BDE ≌△CDF （AAS ），所以DE ＝DF .（2022•龙东中考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若△ABC 的面积是24，PD ＝1.5，则PE 的长是（ ）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．3【解析】选A ．如图，过点E 作EG ⊥AD 于G ，因为AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，所以∠PDF ＝∠EGP ＝90°，EG ∥BC ， 因为点E 是AB 的中点，所以G 是AD 的中点，所以EG =12BD ，因为F 是CD 的中点，所以DF =12CD ，所以EG ＝DF ，因为∠EPG ＝∠DPF ，所以△EGP ≌△FDP （AAS ），所以PG ＝PD ＝1.5，所以AD ＝2DG ＝6，因为△ABC 的面积是24，所以12•BC •AD ＝24，所以BC ＝48÷6＝8， 所以DF =14BC ＝2，所以EG ＝DF ＝2，由勾股定理得：PE =√22+1．52=2.5．A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°【解析】选A ．由题意可得BP 为∠ABC 的角平分线，所以∠ABD ＝∠CBD ，因为AD ＝BD ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，所以∠ABC ＝2∠A ，因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝2∠A ，所以∠A +∠ABC +∠C ＝∠A +2∠A +2∠A ＝180°，解得∠A ＝36°．（2022•滨州中考）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB ＝AC ，立柱AD ⊥BC ，且顶角∠BAC ＝120°，则∠C 的大小为 30° ．【解析】因为AB ＝AC 且∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）=12×60°＝30°．答案：30°．（2022•绍兴中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠BAC ＝80°，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连结CD ，则∠BCD 的度数是 10°或100° ．【解析】如图，点D 即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，所以∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣80°）＝50°，所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD′，所以∠ACD′＝∠AD′C，因为∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，所以∠AD′C＝40°，所以∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．答案：10°或100°．（2022•娄底中考）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【解析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，所以△ACD≌△ABD′，故①正确；因为AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，所以ACAD =ABAD′，所以△ACB∽△ADD′，故②正确；因为△ACB∽△ADD′，所以S△ADD′S△ACB=（ADAC）2，因为当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，所以BD＝CD，所以当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；（2022•岳阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．【解析】因为AB＝AC，AD⊥BC，所以CD＝BD，因为BC＝6，所以CD＝3.答案：3（2022•德阳中考）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝√3．【解析】如图，设CE交AB于点O．因为∠ACB＝90°，AD＝DB，所以CD＝AD＝DB，所以∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，因为CE⊥AB，所以∠BCE+∠B＝90°，因为∠A+∠B＝90°，所以∠BCE＝∠A，所以∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，，所以CO＝CB•cos30°=√32因为DA＝DE，DA＝DC，所以DC＝DE，，所以CE=√3．因为DO⊥CE，所以CO＝OE=√32答案：√3．（2022•嘉兴中考）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°．【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，答案：∠B＝60°（2022•无锡中考）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE 交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝80°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是4−√3．【解析】因为△ACB，△DEC都是等边三角形，所以AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，所以∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，{CB=CA∠BCD=∠ACE CD=CE，所以△BCD≌△ACE（SAS），所以∠DBC＝∠EAC＝20°，因为∠BAC＝60°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BE交AC于点T．同法可证△BCD ≌△ACE ，所以∠CBD ＝∠CAF ，因为∠BTC ＝∠ATF ，所以∠BCT ＝∠AFT ＝60°，所以点F 在△ABC 的外接圆上运动，当∠ABF 最小时，AF 的值最小，此时CD ⊥BD ，所以BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4，所以AE ＝BD ＝4，∠BDC ＝∠AEC ＝90°，因为CD ＝CE ，CF ＝CF ，所以Rt △CFD ≌Rt △CFE （HL ），所以∠DCF ＝∠ECF ＝30°，所以EF ＝CE •tan30°=√3，所以AF 的最小值为AE ﹣EF ＝4−√3.答案：80，4−√3（2022•鄂州中考）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为 42+18√77 ．【解析】因为△ABC 是等边三角形，所以AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC∠ABD =∠C BD =CE所以△ABD ≌△BCE （SAS ），所以∠BAD ＝∠CBE ，所以∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，所以∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，所以∠C ＝60°，所以△CEF 是等边三角形，所以∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，所以△APB ∽△BFE ，所以AP BP =BF EF =42=2， 设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，因为∠BPD ＝∠APE ＝60°，所以∠PBH ＝30°，所以PH =x 2，BH =√32x ，所以AH ＝AP +PH ＝2x +x 2=52x ，在Rt △ABH 中，AH 2+BH 2＝AB 2，即（52x ）2+（√32x ）2＝62， 解得x =6√77或−6√77（舍去），所以AP =12√77，BP =6√77， 所以△ABP 的周长为AB +AP +BP ＝6+12√77+6√77=6+18√77=42+18√77， 答案：42+18√77． （2022•泰州中考）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB边相交于点D 、E ．若DE ＝CD +BE ，则线段CD 的长为 2或12 ．【解析】如图，过点O 的直线分别与AC 、AB 边相交于点D 、E ，连接BO ，CO ，因为O 为△ABC 的内心，所以CO 平分∠ACB ，BO 平分∠ABC ，所以∠BCO ＝∠ACO ，∠CBO ＝∠ABO ，当CD ＝OD 时，则∠OCD ＝∠COD ，所以∠BCO ＝∠COD ，所以BC ∥DE ，所以∠CBO ＝∠BOE ，所以BE ＝OE ，则DE ＝CD +BE ，设CD ＝OD ＝x ，BE ＝OE ＝y ，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=10，所以{AD AC =DE BC AE AB =DE BC ，即{8−x 8=x+y 610−y 10=8−x 8，解得{x =2y =52，所以CD ＝2，过点O 作D ′E ′⊥AB ，作DE ∥BC ，因为点O 为△ABC 的内心，所以OD ＝OE ′，在Rt △ODD ′和Rt △OE ′E 中，{∠OE′E =∠ODD′OE′=OD ∠EOE′=∠D′OD，所以△ODD ′≌△OE ′E （ASA ），所以OE ＝OD ′，所以D ′E ′＝DE ＝CD +BE ＝CD ′+BE ′＝2+52=92，在△AD ′E ′和△ABC 中，{∠A =∠A ∠D′E′A =∠BCA，所以△AD ′E ′∽△ABC ， 所以AD′AB =D′E′BC ，所以AD′10=926，解得：AD ′=152，所以CD ′＝AC ﹣AD ′=12. 答案：2或12． （2022•包头中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为AB 边上一点，且BD ＝BC ，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE 的长为 3√2−3 ．【解析】因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，所以AB =√2AC ＝3√2，∠A ＝∠B ＝45°，因为BD ＝BC ＝3，AC ＝BC ，所以BD ＝AC ，AD ＝3√2−3．因为DC ＝DE ，所以∠DCE ＝∠DEC ．因为BD ＝BC ，所以∠DCE ＝∠CDB ，所以∠CED ＝∠CDB ，因为∠CDB ＝∠CDE +∠EDB ，∠CED ＝∠B +∠EDB ，所以∠CDE ＝∠B ＝45°．所以∠ADC +∠EDB ＝180°﹣∠CDE ＝135°．因为∠ADC +∠ACD ＝180°﹣∠A ＝135°，所以∠ACD ＝∠EDB ．在△ADC 和△BED 中，{AC =BD ∠ACD =∠EDB CD =DE，所以△ADC ≌△BED （SAS ）．所以BE ＝AD ＝3√2−3．答案：3√2−3．【解析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．因为AB＝AC=√2，∠BAC＝90°，所以BC=√(√2)2+(√2)2=2，因为AH⊥BC，所以BH＝AH＝1，所以AH＝BH＝CH＝1，所以AM+BN=√12+(1−x)2+√(√2)2+x2，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，√2）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（√2+1）x−√2，当y＝0时，x＝2−√2，所以AM+BN的值最小时，CM的值为2−√2.答案：2−√2（2022•自贡中考）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．【证明】因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，所以∠ABD＝∠ACE＝120°，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠ABD=∠ACE BD=CE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠D＝∠E.（2022•怀化中考）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【解析】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，因为MQ∥BC，所以∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，所以△AMQ是等边三角形，所以AM＝QM，因为AM＝CN，所以QM＝CN，在△QMP和△CNP中，{∠QPM=∠CPN ∠QMP=∠N QM=CN，所以△QMP≌△CNP（AAS），所以MP＝NP；（2）因为△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，所以AH＝HQ，因为△QMP≌△CNP，所以QP＝CP，所以PH＝HQ+QP=12 AC，因为AB＝a，AB＝AC，所以PH=1 2 a（2022•杭州中考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC 于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．（2022•绥化中考）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC 边上有一点D ，过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．利用面积证明：DE +DF ＝CG ．（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B '处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM ⊥FC 于M ，GN ⊥BC 于N ．若BC ＝8，BE ＝3，求GM +GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA ⊥AB ，ED ⊥CD ，连接BD ，且AB CD =AE DE ，BC =√51，CD ＝3，BD ＝6，求ED +EA 的长．【解析】（1）连接AD ，因为S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×CG =12×AB ×DE +12×AC ×DF ，因为AB ＝AC ，所以DE +DF ＝CG ；（2）因为将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，所以∠AFE ＝∠EFC ，AE ＝CE ，因为AD ∥BC ，所以∠AFE ＝∠CEF ，所以∠CEF ＝∠CFE ，所以CE ＝CF ，因为BC ＝8，BE ＝3，所以CE ＝AE ＝5，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB ＝4，所以等腰△CEF 中，CE 边上的高为4， 由（1）知，GM +GN ＝4；（3）延长BA 、CD 交于G ，作BH ⊥CD 于H ，因为ABCD =AEDE ，∠BAE ＝∠EDC ＝90°，所以△BAE ∽△CDE ，所以∠ABE ＝∠C ，所以BG ＝CG ，所以ED +EA ＝BH ，设DH ＝x ，由勾股定理得，62﹣x 2＝（√51）2﹣（x +3）2，解得x ＝1，所以DH ＝1， 所以BH =√BD 2−DH 2=√62−12=√35，所以ED +EA =√35．。
顶角是20度的等腰三角形问题
顶角是20度的等腰三角形问题问题A：△ABC中，D在AB上，∠A=20度，AB=AC,AD=BC,求∠BDC的度数解1：以AB为一边，在AB内侧做正三角形ABF，连结CF。
得∠FBC=80°-60°=20°后，用两边夹角可证明△ADC≌△BCF，得∠CFB=∠DCA。
由CAF=40°得∠AFC=70°，而∠AFB=60°，故∠CFB=10°。
所以∠BDC=20°+10°＝30°。
解2：用正弦定理：如图，在AB上取一点E使BE＝BC，连结CE，∠A＝20°，∠B＝80°，∠BCE＝50°，∠ACE＝30°设∠BDC＝α则∠BCD＝100°－α在△ACE中，CE/AE＝sin20°/sin30°(1)在△BCD中，BD/BC＝sin(100°－α)/sinα（2）在△BCE中，BC/CE＝sin50°/sin80°（3）注意到AE＝BD有(1)×(2)×(3)得：左＝1∴右＝1即得，sin20°sin(100°-α)sin50°＝sin30°sin80°sinα由sin30°=1/2, sin80°=2 sin40°cos40°及正余弦转化公式化为：sin20°cos(10°－α)cos40°＝sin40°cos40°sinα再用半角公式得∴cos(10°－α)＝2cos20°sinα得锐角α＝30°问题B：△ABC中，E在AB上，D在AC上，AB=AC，AE=ED=DB=BC,求∠A的度数。
此题为证明角A等于20度较好。
专题10 多个等腰三角形求角度(解析版)
专题10 多个等腰三角形求角度1．如图，在第一个△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，得到第二个△A 1A 2C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．175°D ．170°【答案】A【解析】【分析】 根据第一个△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，可得∠BA 1A =80°，依次得∠CA 2A 1=40°…即可得到规律，从而求得以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数．【详解】解：1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，1180802B BA A ︒-∠∴∠==︒， 121A A AC =，1BA A ∠是△12A A C 的外角， 121402BA A CA A ∠∴∠==︒ 同理可得：3220DA A ∠=︒，4310EA A ∠=︒，1802n n A -︒∴∠=， ∴以点4A 为顶点的等腰三角形的底角的度数为：548052A ︒∠==︒． 故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据等腰三角形的性质求出底角的度数然后发现规律．2．如图，8∠=︒BOC ，点A 在OB 上，且1OA =．按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质依次可得∠A 1AA 2的度数，∠A 3A 1A 2的度数，∠A 3A 2A 4的度数，∠A 4A 3C 的度数，…依次得到规律，再根据三角形外角小于90°，即弧线与角的另一边无交点，即可求解.【详解】由题意可知：AO =A 1A ,A 1A =A 2A 1，…则∠AOA 1=∠OA 1A ,∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…∵∠BOC =8°，∴∠A 1AA 2=16°，∠A 3A 1A 2=24°，∠A 3A 2A 4=32°，∠A 4A 3C =40°，…∴8°n ＜90°，解得n ＜1114， ∵n 为整数，故n =11.故选C.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠BAD ＝19°，∠EDC ＝11°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．59°B ．57°C ．61°D ．60° 【答案】C【解析】【分析】设DAE x ∠=，则由等腰三角形的性质可得，180192x C ︒-︒-∠=，AED x ∠=，利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，由此解方程求出x ，即DAE ∠的度数．【详解】解：设DAE x ∠=，AB AC =，∴1801801922BAC x C ︒-∠︒-︒-∠==， AD DE =，∴AED DAE x ∠=∠=，AED C EDC ∠=∠+∠，∴18019112x x ︒-︒-=+︒， 解得61x =︒，∴61DAE ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．4．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 8B 8A 9的边长（ ）A ．16B ．64C ．128D ．256【答案】C【解析】【分析】据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△AnBnAn+1的边长为2n-1，∴△A8B8A9的边长为28-1=27=128．故选C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动，点C 固定，点D ，E 可在槽中滑动，OC CD DE ==．若81BDE ∠=︒，则AOB ∠的度数是（ ）A ．24°B ．27°C ．30°D ．33°【答案】B【解析】【分析】 设∠O =x ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设∠O =x ，∵OC =CD ，∴∠O =∠CDO =x ，∴∠DCE =2x ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC =2x ，∴∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，∴x =27°，∴∠AOB =27°．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．6．某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设()090BAC θθ∠=︒<<︒，现把长度相等．．．．的小棒依次摆放在射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A 1开始，依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1．若只能摆放5根小棒，则θ的范围是（ ）．A ．15°＜θ＜18°B ．15°＜θ≤18°C ．15°≤θ＜18°D ．15°≤θ≤18°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴12AA A 为等腰三角形，再根据三角形外交的性质，得212A A C A ∠=∠，又∵小棒长度都相等，∴123A A A △为等腰三角形，∴231212A A A A AC A ∠=∠=∠， ∴232313BA A A A A A A ∠=∠+∠=∠，同理可得到434534A A C A A A A ∠=∠=∠，64546555A A A A A A A θ∠=∠=∠=，654656A A C A A A A θ∠=∠+∠=，又∵只能摆放五根小棒，∴690590θθ≥︒⎧⎨<︒⎩， 解得1518θ︒≤<︒，故选：C ．【点睛】本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．7．如图，点B ，C 在射线AN 上，点D ，E 在射线AM 上，且AB BE CE CD AD ====，则A ∠的度数是（ ）A ．28︒B ．30C ．34︒D ．36︒【答案】D【解析】【分析】设A x ∠=，根据等边对等角可得ACD AEB x ∠=∠=，由外角的性质2CBE CDE x ∠=∠=，根据三角形内角和定理5180A BCE CED x ∠+∠+∠==︒即可．【详解】解：设A x ∠=， AB BE CE CD AD ====∴ACD AEB x ∠=∠=，由三角形的外角的性质得；2CBE CDE x ∠=∠=，根据等边对等角得，2BCE CED x ∠=∠=，根据三角形内角和定理，5180A BCE CED x ∴∠+∠+∠==︒，36x ∴=︒，36A ∴∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、三角形内角和，解题的关键是找到角与角之间的关系，通过三角形内角和定理建立等式求解．8．如图，在第1个1ABA △中，30B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…按此作法进行下去，第n 个三角形的以n A 为顶点的内角的度数为（ ）A ．1302n +︒B ．1752nC ．1752n +︒D ．1302n -︒ 【答案】B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝180°−∠B 2＝75°，∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1＝∠BA 1A 2＝75°÷2＝37.5°；同理可得∠DA 3A 2＝18.75°，∠EA 4A 3＝9.375°，∴第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数为1752n ， 故选：B ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．9．如图，ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上两点，且BD ＝BE ＝BC ，连接DE ，则∠BDE ＝_________【答案】67.5°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C =∠ABC =75°，再由BD =BC ，得到75BDC C ∠=∠=︒，则45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，由BD =BE ，则18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒． 【详解】解：∵∠A =30°，AB =AC ， ∴180===752A C ABC ︒-︒∠∠∠， ∵BD =BC ，∴75BDC C ∠=∠=︒，∴18030DBC C BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，∵BD =BE ， ∴18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒， 故答案为：67.5°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键．10．某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC =α（0°＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两条射线上，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1，若只能摆放5根相同的小棒，则α的取值范围是__________．【答案】15°≤α＜18°【解析】【分析】本题需先根据已知条件，列出不等式，解出α的取值范围，即可得出正确答案．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴∠A =∠A 1A 2A =α，∵A 1A 2=A 2A 3，∴∠A 2A 1A 3=∠A 2A 3A 1=2α，∵A 3A 2=A 3A 4，∴∠A 3A 4A 2=∠A 3A 2A 4=α+2α=3α，∵A 4A 3=A 4A 5，∴∠A 4A 3A 5=∠A 4A 5A 3=α+3α=4α，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，∴6α≥90°，5α＜90°，∴15°≤α＜18°．故答案为：15°≤α＜18°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．11．如图，D ，E 为ABC 的边BC 上两点，80AEC ∠=︒，BD AD =，DE AE CE ==，则BAC ∠的度数为______．【答案】110°##110度 【解析】【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠CAD ＝90°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解∠BAD 的度数，进而可求解．【详解】解：∵DE ＝AE ＝CE ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∠C ＝∠CAE ，∵∠ADE ＋∠DAE ＋∠C ＋∠CAE ＝180°，∴∠DAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＝90，∵∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＋∠DAE ＝∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＝∠EAD ＝40°，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠BAD ，∴∠BAD ＝20°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ＝20°＋90°＝110°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠CAD 的度数是解题的关键．12．如图，在ABC 中，已知AB AC BD ==，215∠=︒，那么1∠的度数为________．【答案】65︒【解析】【分析】根据AB AC BD ==，可得C B ∠=∠,13∠=∠，根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质列出方程组解方程组即可求解．【详解】解：如图，∵AB AC BD ==∴C B ∠=∠,13∠=∠，23180B C ∠+∠+∠+∠=︒1318022C ∴∠=∠=︒-∠-∠又12C ∠=∠+∠218022C C ∴∠+∠=︒-∠-∠318022C ∴∠=︒-∠18030503C ︒-︒∴∠==︒ 12155065C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：65︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，等边对等角求角度，二元一次方程组的应用，掌握以上知识是解题的关键．13．小丽从一张等腰三角形纸片ABC （AB ＝AC ）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC ＝BD ，EC ＝EF ＝FG ＝DG ＝DA ，则∠B ＝_________°．【答案】67.5【解析】【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求解即可．【详解】解：设∠ECF ＝x ，∵EC ＝EF ，∴∠EFC ＝∠ECF ＝x ，∴∠GEF ＝2x ，∵EF ＝GF ，∴∠FGE ＝∠GEF ＝2x ，∴∠DFG ＝∠FGE +∠ECF ＝3x ，∵DG＝GF，∴∠GDF＝∠DFG＝3x，∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，∵DG＝DA，∴∠A＝4x，∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝5x，∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝6x，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝454︒，∴∠B＝4564︒⨯＝67.5°．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角是解答本题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，则∠A的大小是_________．【答案】180 7︒【解析】【分析】由AD＝BD，BC＝DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A＝∠ABD＝x，则∠CDB ＝∠CBD＝2x，又由AB＝AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC 中，用内角和定理列方程求解．【详解】解：∵AD ＝BD ，BC ＝DC ，∴△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠CDB ＝∠CBD ＝2x ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝3x ，在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180°，解得x ＝1807︒， 即∠A ＝1807︒． 故答案为：1807︒． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．15．如图，在钢架AB 、AC 中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条12PP 、23P P 、34P P …来加固钢架，且112AP PP =，则BAC ∠的最大值为______°．（结果保留整数）【答案】12【解析】【分析】设∠BAC =x ，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP 6P 7，∠AP 7P 6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设∠BAC =x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 6P 7，∴∠A =∠AP 2P 1=x ，∴∠P 2P 1P 3=2x ，∴∠P 3P 2P 4=3x ，…，∠P 7P 8P 6=7x ，∴7x ＜90°且8x ＞90°，则11.25°＜∠BAC ＜（907）°， 故∠BAC 的最大值约为12°．故答案为：12．【点睛】考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．16．如图，在ABC 中，,,AB AC BD BC AD DE EB ====，则A ∠=________．【答案】45︒【解析】【分析】设∠A =x °根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析得出∠ABC =∠C =∠BDC902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=，，2x EBD ︒∠=，再利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数．【详解】解：设∠A =x °∵AB =AC ，BD =BC∴∠ABC =∠C =∠BDC 902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=， ∵AD =DE =BE∴∠A =∠AED =2∠EBD =2∠EDB ∴2x EBD ︒∠= ∵∠ABC =∠C ∴9022x x x ︒︒︒︒-=+ ∴x =45即∠A 等于45°．故答案为：45︒【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用．17．如图，在ABC 中，AB AC CD ==，点D 在BC 上，且AD BD =，求BAC ∠的度数．【答案】∠BAC ＝108°．【解析】【分析】利用AB ＝AC ，可得∠B 和∠C 的关系，利用AD ＝BD ，可求得∠CAD ＝∠CDA 及其与∠B 的关系，在△ABC 中利用内角和定理可求得∠B ，进一步求得∠ABC ，得到结果．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AC ＝DC ，∴∠DAC ＝∠ADC ＝2∠B ，∴∠BAC ＝∠BAD +∠DAC ＝∠B +2∠B ＝3∠B ，又∠B +∠C +∠BAC ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∠C ＝36°，∠BAC ＝108°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．18．已知：如图，A 1，A 2，A 3是∠MON 的ON 边上顺次三个不同的点，B 1，B 2，B 3是∠MON 的OM 边上顺次三个不同的点，且有OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3(1)当∠MB 1A 2＝45°时，∠MON ＝_______；(2)若OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则∠MON 的最小值是_______．【答案】(1)15°(2)18°【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可； （2）由OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，则32390180A B B ︒≤∠<︒，再由323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠求解即可．(1)解：∵OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3∴1111AOB A B O =∠∠，112121B A A B A A =∠∠，∵1121111112B A A AOB A B O AOB ∠=∠+∠=∠，1212MB A MON B A O =+∠∠∠， ∴1212=3=45MB A MON B A O MON =+︒∠∠∠∠，∴∠MON =15°；故答案为：15°；(2)解：∵OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，∴OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，∴32390180A B B ︒≤∠<︒ ，同理可求出223224B A A MON OB A MON =+=∠∠∠∠ ，∴323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠，∴905180MON ︒≤<︒∠，∴1836MON ︒≤<︒∠，故答案为：18°．。
各种等腰三角形难题
各种等腰三角形难题例1.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D在AB上，AD=BC，连接CD，求∠XXX的度数。
解析：利用全等三角形的性质，构造全等三角形⊿DAE≌⊿CBA，得到DE=CE，∠DEC=40°，∠ADE=80°。
因此，∠ADC=150°，∠BDC=30°。
例2.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别在AB和AC上，且∠BCD=50°，∠CBE=60°，求∠DEB的度数。
解析：通过连线，构造等边三角形⊿GEF和⊿GBC。
得到∠XXX∠EFG=60°，∠AFG=140°，∠DFG=40°，∠XXX∠BCD，BD=BC=BG，∠BGD=80°，∠DGF=40°。
因此，通过全等三角形的性质得到∠DEG=∠DEF=30°。
因此，∠DEB=30°。
例3.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别为AB和AC上的点，且∠ABE=10°，∠ACD=20°，求∠DEB的度数。
解析：通过连线，构造等边三角形⊿BCF和⊿DGF，得到CM=CB=CF，∠CMF=∠CFM=80°，∠GMF=100°，∠XXX∠FGM=40°，FM=GM。
因此，通过全等三角形的性质得到∠DMG=∠DMF=50°。
因此，∠DEB=30°。
根据已知条件，可以得到∠DMC=130°=∠EMB，且∠DCM=∠EBM=20°。
因此，可以得到⊿DMC∽⊿EMB，进而得到DM/MC=EM/MB。
同时，由于∠DME=∠BMC=50°，可以得到⊿DME∽⊿CMB，且∠DEM=∠XXX°。
又因为∠BEC=∠ABE+∠A=30°，因此可以得到∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°。
等腰三角形的性质习题附答案
等腰三角形的性质5. 等腰三角形的底角一定是锐角．( )6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝AC()7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ()9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10c13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长于F, 则AD ＝AF.17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. (18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD()19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝AB( )20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.( )21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.( )22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ()24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. (25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( )27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝()28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.( )29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A( )32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ()33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( ) 34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ( )35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延BF ⊥AD37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC.38.已知, 如图AD＝DC, DE平分∠ADB, F是AC中点, 则DE⊥DF. () 39.已知如图: △ABC和△ADE都是等腰三角形且顶角∠BAC＝∠DAE, 则BD＝CE ()40.如图, 已知: △ABC中, ∠ABC＝2∠C, AH⊥BC, 垂足为H延长AB至D, 使BD＝BH,DH的延长线交AC于点M, 则MA＝MC()二.单选题 (本大题共 60 分)1.在△ABC中, AB=AC, ∠A=40°, 点O在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则∠BOC的度数是[ ]A.110°B.35°C.140°D.55°2.如图在△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, P为△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 则∠BPC的度数是A.115°B.110°C.120°D.130°3.等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ]A.11cmB.13cmC.11cm或13cmD.以上都不对4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ]A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°5.已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为[ ]A.17B.17或22C.22D.13 6. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为[ ] A.55° B.55°或70° C.20° D.20°或35°7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是 [ ]A.120°B.30°C.60°D.90° 8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°9. 等腰三角形周长12厘M ，其中一边长2厘M ，其他两边分别长 [ ] A ．2厘M ，8厘M B ．5厘M ，5厘M C ．5厘M ，5厘M 或2厘M ，8厘M D ．无法确定10. 等腰三角形两边分别为35厘M 和22厘M, 则它的第三边长为 [ ]A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm 11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [ ]A.90°B.36°C.36°或90°D.120° 12. 等腰三角形两边长是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm13. 等边三角形ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, 过D 作BC 的平行线交AC 于E, 若△ABC 的边长 是a, 则△ADE 的周长是 [ ]A.2aB. aC. aD. a14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ A.11 B.5 C.5或11 D.815. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [A.25°B.40°C.25°或40°D.以上答案都不对16. 在等腰△ABC 中, AB 的长是AC 的二倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长等于. [A.20B.16C.20或16D.1017. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ]A.aB.C. aD.2a 18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ] A.16 B.16或17 C.17 D.1119. 等腰三角形底边长为5厘M ，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘它的腰长为 A ．8厘M B ．5厘MC ．2厘M 或8厘MD ．2厘M20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 形 C.钝角三角形 D.不唯一确定21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数为[ ]A.70°B.110°C.55°D.60°22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为[ ]A.20°,140°B.80°,80°C.20°,140°或80°,80°D.20°,80° 23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于[ ]A.45°B.60°C.90°D.120°24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=[ ]A.26°B.32 °C.64°D.52°25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有A ．3条B ．5条C ．7条D ．9条26. 至少有两边相等的三角形是 [ ]A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [A.20B.16C.20或16D.无28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数A.45°B.55°C.65°D.75°29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于90°30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]A.9B.7C.6D.331. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．C ．D ．32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为[ ] A.25cm B.12cm C.25cm 或12cm D.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝，那么∠A 等于 [ ] A ． B ． C ．D ．34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]A.15cmB.12cmC.12cm 或15cmD.18cm35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形B ．是钝角三角形C ．是直角三角形D ．形状不确定36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ] A.24cm B.33cm C.39cm D.33cm 或39cm 37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 A.30° B.60° C.120° D.150°38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [A.20B.16C.20或16D.无法确定 39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 [A.边,边,边B.边,角,边C.角,边,角D.角,角,边 40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于941. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝[ ]A.10°B.12.5°C.15°D.20°44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是[ ]A ．9B ．12C ．15D ．12或1546. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm, 则腰的长y 可为 [ ]A.5cmB.5cm 或4cmC.4cmD.-5cm47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分,其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]A.6cmB.10cmC.6cm 或10cmD.以上都不对48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ]A.6B.7C.8D.949. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是A.30°B.36°C.35°50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]A.120°B.20°C.120°或20°D.51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足A.∠1＝2∠2B.2∠1+∠2＝180°C.∠1+3∠2＝180°D.3∠1-∠2＝180°52.若等腰三角形的两边a 、b 满足，则此等腰三角形的周长为[ ]A ．7B ．5C ．8D ．7或553.等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是[ ]A ．△ADC ≌△AEB B ．△DBC ≌△ECBC ．△ABE ≌△BCDD ． △BOD ≌△COE54.从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰三角形的[ ]A ．周长B ．周长一半C ．一腰长D ．两腰长的和55.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]A ．顶角B ．顶角的一半C ．顶角的2倍D ．底角的一半56.如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，若∠A=，则∠EDF=A ．B ．C ．D ．57. 等腰三角形底边长为5厘M, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘它的腰长为 [ ]A.2厘MB.8厘MC.2厘M 或8厘MD.9厘M58. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝50°, P 是△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA, 则的度数为A.115°B.100°C.130°59. 如图, △ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB, 则关于∠A 正确的等式是[ ]A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACBC.∠A ＝2∠ACBD.∠A ＝2∠DCB60. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, BC ＝BD, AD ＝DE ＝EB, 则∠A 的度数是[ ]A.30°B.36°C.45°D.54°三.填空题 (本大题共 30 分)1. 周长为20cm 的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm ．2. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, ∠AED ＝∠F, 则∠F ＝___________度.3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm 和7cm, 那么这个三角形的周长等于_______4. 已知如图, A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°, 则∠ABD ＝______度.5. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为___6. 等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm7. 已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度8. 等腰三角形底边中线与________和________重合．9. 已知:如图: △ABC 中, AB ＝BC, ∠B ＝90°, AD ∥BC, ∠D ＝70°, 则∠EFA ＝10. 已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．11.△ABC 中，如果AB=AC ，点M 是BC 边中点，那么M 到______两边的距离相等，A _两点的距离相等。
专题三：等腰三角形多解问题
专题三：等腰三角形多解问题1、已知一个等腰三角形两内角的度数比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为。
2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是。
3、已知等腰三角形的一个内角为75°，则它的顶角是。
4、若等腰三角形的一个内角是72°。
,则它的底角度数是。
5、若等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°。
,则三内角度数分别为。
6、等腰三角形两边长分别为5和7,则此等腰三角形的周长为。
7、等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么它的底边为。
8、等腰三角形周长为20cm,—腰上的中线将其周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm,则腰长为。
9、若等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角度数为。
10、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°。
,则这个等腰三角形的顶角度数为。
11、等腰三角形的腰长为2,面积为1,则顶角度数为。
12、在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角为。
13、在等腰三角形ABC中，AB=BC，∠BAC=20°，点D在直线BC上，且CD=AC，则∠ADC的度数为。
14、在等腰∆ABC中，AB=BC，点B与点B’关于AC所在直线对称，且∠BAB’=100°，则∠ABC=。
15、已知AD和BE是∆ABC的高，H是直线AD与直线BE的交点，BH=AC，则∠ABC=。
16、过等腰三角形ABC顶角的顶点A的一条直线，把等腰三角形ABC分成两个等腰三角形,则∠ABC=。
17、在∆ABC中，∠B=30°，∠C=50°，点D是BC边上一点，点F是射线BA上一点,DF与射线CA相交于点E,点G是EF的中点，若∠DEC=∠C,则∠CAG= 。
18、在∆ABC中, ∠ACB=90° ,AC=BC,以AC为一边，在同一平面内作等边∆ACD,连接BD,则∠ADB=。
角为20度的等腰三角形常见结论
角为20度的等腰三角形常见结论给一种相对完整统一的共圆证明供参考。
题1 △ABC中，AB=AC,∠A=20∘，D,E分别在AB,AC上，∠DCB=50∘,∠EBC=60∘。
求∠BED 的度数。
题2 △ABC中，AB=AC,∠A=20∘，D,E分别在AB,AC上，∠DCB=60∘,∠EBC=70∘。
求∠BED 的度数。
题3 △ABC中，AB=AC,∠A=20∘，D,E分别在AB,AC上，∠DCB=50∘,∠EBC=70∘。
求∠BED 的度数。
题1解答题2解答及题3解答如上图，若记圆EDC与AE的交点为F，则∠ADF=10∘⇒DF⊥BC！这便是1998年加拿大数学奥林匹克，第4题，总共5题：在△ABC中,∠BAC=40∘,∠ABC=60∘。
D和E分别是边AC和AB上的点，使得∠CBD=40∘,∠BCE=70∘。
F是直线BD和CE的交点。
证明直线AF和直线BC垂直。
最后，指出再上面的证明过程中，已经证明了第3题。
必须说明的是：这些玩意，中高考不考，竞赛考，也是翻新加花的。
茶余饭后八封八封还是有意思的，介绍性的，给大家，个个经典，非常的难。
所以，第一次见，不会，特别的正常；真的会解后，有无数后不同的解法。
这些解法，为个人随笔，如果与xx相同，纯是偶然，故绝对不是最简的解法，只是，将这些结论串在一起，方便些。
2014年5月5日，海淀上午数学一模已经考完，来看看第8题，先。
圆实际上没有用的，连接，PA，PB即为最常见的45度角旋转模型了。
如果不用旋转+勾股定理计算外，可以用相似：△DAP∽△DPC，及△CPB∽△CBP，由这两组相似，可得x/sqrt(2)=PD/PC;y/sqrt(2)=PC/PD,这两式一乘便有xy＝2.故结果是C，这个在模拟试卷中的确有好几年没见了，估计好多人都忘记了吧。
第12题？玩递推式？先不管。
看后面，先。
——回头看了，原来只是循环，难怪后面大题难的。
呵，第21题还是等腰三角形以一腰为直径作圆类；第22题也是折叠啊，与西城同类型。
人教版 八年级数学讲义 等腰三角形“三线合一”的性质 (含解析)
第5讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。
我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB．【答案】CE=AB【解析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE=∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E=∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE=∠CAE．∵CE∥AB，∴∠E=∠BAE．∴∠E=∠CAE．∴CE=AC．∵AB=AC，∴CE=AB．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质以及平行线的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．【答案】115°【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等腰对等角的性质以及三角形的内角和定理. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度．【答案】10cm，10cm，1cm【解析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验．解：①如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，∵AD=DC，AB=AC，∴2AD+AD=6cm，∴AD=2cm，∴AB=4cm，BC=13cm，∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故舍去；②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，同理得：AB=10cm，BC=1cm，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，∴腰长为10cm，底边为1cm．故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．求证：∠DAB=∠ACE．【答案】∠DAB=∠ACE【解析】根据等腰三角形的性质证明即可．证明：∵AC=BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB=∠B，CE⊥AB，∴∠CAB+∠ACE=90°，∵AD为△ACB的高线，∴∠D=90°．∴∠DAB+∠B=90°，∴∠DAB=∠ACE.讲解用时：3分钟解题思路：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【答案】15°【解析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，求∠CDE的度数．【答案】20°【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=40°，由于AD=AE，于是得到∠ADE==70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=90°﹣70°=20°．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°，又∵AD=AE，∴∠ADE==70°，∴∠CDE=90°﹣70°=20°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．【答案】（1）△ACD为等腰三角形；（2）60°或30°【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．教学建议：学会通过等角对等边证明三角形是全等三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．【答案】△DBE是等腰三角形【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．证明：在△ABC中，BA=BC，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D，∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【答案】M是BE的中点【解析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边三角形的性质. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC 于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．【答案】（1）CD=BE；（2）4【解析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF ≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM=BE，∴CD=BE；（2）∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，∴BE=BF，DM=FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF=BF，∴CM=MF=BF，又∵AB=BC=12，∴CM=MF=BF=4．解题思路：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．教学建议：熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB=12，AC=8，求△AEF的周长．【答案】20【解析】根据角平分线的定义可得∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，然后求出∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C=12+8=20．△AEF解题思路：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．【答案】28【解析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC．把求△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．解：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵DE∥BC，∴∠CBM=∠DMB，∴∠ABM=∠DMB，∴DB=DM．同理可证EM=CE∴AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DE+AE∵△ADE的周长为20∴AB+AC=20∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+8=28．答：△ABC的周长为28．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定．本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．教学建议：熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．【答案】△CDE是等边三角形【解析】因为△ABC为等边三角形，所以△BDC绕着点C旋转60°成△AEC，则∠DCE=60°，DC=EC，故可判定△CDE是等边三角形．解：△CDE是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°∴将△BDC绕着点C旋转成△AEC，旋转角为60°∴∠DCE=60°∴DC=EC∴△CDE是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题．考查学生综合运用数学知识的能力．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质，了解“手拉手”模型.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．【答案】△DEF是正三角形【解析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，在图中找出一条与BE相等的线段，并说明理由．【答案】BE=CD【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据AAS可判定△ABE ≌△ACD，由全等三角形的性质即可证得BE=CD．解：BE=CD．理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．故答案为CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，已知∠BAC=60°，D是BC边上一点，AD=CD，∠ADB=80°，求∠B的度数．【答案】80°【解析】先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．解：∵∠ADB=80°又∵AD=CD∴∠DAC=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】已知：如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．【答案】AD=CD【解析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC=∠BCA，因为∠A=∠C，则可以得到∠CAD=∠ACD，根据等角对等边可得到AD=DC．证明：连接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CAD=∠ACD．∴AD=CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？【答案】成立【解析】根据BF和CF分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DF，FE=EC．然后即可得出答案．解：DE=DB+EC成立．理由如下：∵在△ABC中，FB和FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠DBF，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DB=DF，FE=EC，∵DE=DF+FE，∴DE=BD+EC．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．【答案】△ADE是等边三角形【解析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
北师大八年级下《1.1等腰三角形》课时练习含答案解析
北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20° 答案：B解析：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10或12D ．11或13答案：D解析：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC 中，AB =AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10答案：C解析：解答：设AB =AC =x BC =y则有12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩或者12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩ 所以x =8， y =11或者x =10，y =7.即三角形AB =AC =8，BC =11.或AB =AC =10，BC =7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°答案：D解析：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°答案：B解析：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°答案：A解析：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴12C DAC ADB∠=∠=∠=35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2答案：C解析：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm 答案：B解析：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm答案：C解析：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∴点B到直线y=x的距离为6×32=33，∵33＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒答案：D解析：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9答案：C解析：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定答案：A解析：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm答案：B解析：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.答案：70°或55°解析：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线解析：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．答案：72°/3解析：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）12⨯=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.答案：80°或50°或20°解析：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=(180°−80°)12⨯=50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.答案：5解析：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答案：27°/2 解答：∵AB =AC ，∠C =63°，∴∠B =∠C =63°，∴∠BAC =180°-63°-63°=54°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC 的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 22.在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC答案：证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .又∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC =∠CDB =90°. 在△BCE 和△CBD 中，∠ABC =∠ACB ，∠BEC =∠CDB ，BC =BC.∴△BCE ≌△CBD （AAS ）.∴BE =CD.∵AB =AC ，BE =CD ，∴AB -BE =AC -CD ，∴AE =AD.∴在△AEF 和△ADF 中，AE =AD , AF =AF.△AEF ≌△ADF （HL ）.∴∠EAF =∠DAF ，AF 平分∠BAC.解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，求证：（1）△BCE ≌△ACD ； 答案：证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴∠BCA =∠DCE =60°，BC =AC =AB ，EC =CD =ED ，∴∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （S A S ）；（2）CF =CH ； 答案：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF =∠CAH ．∵∠ACB =∠DCE =60°，在△BCF 和△ACH 中，∴∠ACH =60°，∴∠BCF =∠ACH ，,,,CBF CAH BC AC BCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （A S A ），∴CF =CH ；（3）△FCH 是等边三角形；答案：∵CF =CH ，∠ACH =60°，∴△CFH 是等边三角形．（4）FH ∥BD.答案：证明：∵△CHF 为等边三角形∴∠FHC =60°，∵∠HCD =60°，∴FH ∥BD解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE ≌△ACD ；由△BCE ≌△ACD 得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF ≌△ACH ，能得出CF =CH ；两边等，加上一个角60°推出△CFH 是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH ∥BD .24. 如图，已知AB =AC =AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C =2∠D答案：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．。
等腰三角形的性质习题附答案
等腰三角形的性质一.判断题 (本大题共 40 分)1. 等腰三角形内一点到底边两端点距离相等, 则这点和这个等腰三角形的顶点及底边 中点在同一直线上. ( )2. 已知如图AB ＝AC, OB ＝OC, 则∠ABO ＝∠ACO()3. 如图已知△ABC 中AB ＝AC, AD 平分△ABC 的外角∠EAC, 则AD ∥BC. ()4.()5. 等腰三角形的底角一定是锐角．( )6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝AC( )7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ()9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10cm 、10cm 、1cm( )13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长线交CA 的 延长线于F, 则AD ＝AF. ( )17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. ()18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD()19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝AB( )20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.( )21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.()22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ()24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. ()25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( ) 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( ) 27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝(∠ABC-∠C)( )28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.( )29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A( )32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ()33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( )34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ()35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.()36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延长线交AD 于F, 则BF ⊥AD()37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC. ()38. 已知, 如图 AD ＝DC, DE 平分∠ADB, F 是AC 中点, 则DE ⊥DF. ()39. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )40. 如图, 已知: △ABC 中, ∠ABC ＝2∠C, AH ⊥BC, 垂足为H 延长AB 至D, 使 BD ＝BH,DH 的延长线交AC 于点M, 则MA ＝MC( )二.单选题 (本大题共 60 分)1. 在△ABC 中, AB=AC, ∠A=40°, 点O 在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则 ∠BOC 的度数是 [ ]A.110°B.35°C.140°D.55°2. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, P 为△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA,则∠BPC 的度数是[ ]A.115°B.110°C.120°D.130°3. 等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ] A.11cm B.13cm C.11cm 或13cm D.以上都不对4. 等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ] A.20°、140° B.20°、140°或80°、80° C.80°、80° D.20°、80°5. 已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为[ ]A.17B.17或22C.22D.136. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为[ ]A.55°B.55°或70°C.20°D.20°或35°7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是[ ]A.120°B.30°C.60°D.90°8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°9. 等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长 [ ] A ．2厘米，8厘米 B ．5厘米，5厘米 C ．5厘米，5厘米或2厘米，8厘米 D ．无法确定10. 等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为 [ ]A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm 11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [ ]A.90°B.36°C.36°或90°D.120° 12. 等腰三角形两边长是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm13. 等边三角形ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, 过D 作BC 的平行线交AC 于E, 若△ABC 的边长 是a, 则△ADE 的周长是 [ ]A.2aB. aC. aD. a14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ ] A.11 B.5 C.5或11 D.815. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [ ] A.25° B.40° C.25°或40° D.以上答案都不对16. 在等腰△ABC 中, AB 的长是AC 的二倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长等于. [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.1017. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ] A.a B. C. a D.2a 18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ]A.16B.16或17C.17D.1119. 等腰三角形底边长为5厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘米，则 它的腰长为[ ]A ．8厘米B ．5厘米C ．2厘米或8厘米D ．2厘米20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不唯一确定21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数为 [ ]A.70°B.110°C.55°D.60°22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为[ ]A.20°,140°B.80°,80°C.20°,140°或80°,80°D.20°,80°23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于[ ]A.45°B.60°C.90°D.120°24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=[ ]A.26°B.32 °C.64°D.52° 25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有 [ ]A ．3条B ．5条C ．7条D ．9条26. 至少有两边相等的三角形是 [ ] A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定 28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数是[ ]A.45°B.55°C.65°D.75°29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ] A.小于60° B.等于60° C.等于90° D.大于90°30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]A.9B.7C.6D.3 31. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．C ．D ．32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为[ ]A.25cmB.12cmC.25cm 或12cmD.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝，那么∠A 等于[ ]A ．B ．C ．D ．34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]A.15cmB.12cmC.12cm 或15cmD.18cm35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形D ．形状不确定36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 [ ] A.30° B.60° C.120° D.150°38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 []A.边,边,边B.边,角,边C.角,边,角D.角,角,边40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于90° 41. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是 [ ]A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝[ ]A.10°B.12.5°C.15°D.20° 44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是[ ] A ．9 B ．12 C ．15D ．12或1546. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm, 则腰的长y 可为 [ ]A.5cmB.5cm 或4cmC.4cmD.-5cm47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分, 其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]A.6cmB.10cmC.6cm 或10cmD.以上都不对48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ] A.6 B.7 C.8 D.949. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是[ ]A.30°B.36°C.35°D.54°50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]A.120°B.20°C.120°或20°D.150°51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足[ ]A.∠1＝2∠2B.2∠1+∠2＝180°C.∠1+3∠2＝180°D.3∠1-∠2＝180°52. 若等腰三角形的两边a 、b 满足，则此等腰三角形的周长为[ ]A ．7B ．5C ．8D ．7或553. 等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是[ ]A ．△ADC ≌△AEB B ．△DBC ≌△ECB C ．△ABE ≌△BCDD ． △BOD ≌△COE54. 从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰三角形的[ ]A ．周长B ．周长一半C ．一腰长D ．两腰长的和 55. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]A ．顶角B ．顶角的一半C ．顶角的2倍D ．底角的一半56. 如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，若∠A=，则∠EDF=[ ]A ．B ．C ．D ．57.等腰三角形底边长为5厘米, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘米, 则它的腰长为 [ ]A.2厘米B.8厘米C.2厘米或8厘米D.9厘米58.如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝50°, P是△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 则∠BPC的度数为[ ] A.115° B.100° C.130° D.140°59.如图, △ABC中, AB＝AC, CD⊥AB, 则关于∠A正确的等式是[ ] A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACB C.∠A＝2∠ACB D.∠A＝2∠DCB60.如图在△ABC中, AB＝AC, BC＝BD, AD＝DE＝EB, 则∠A的度数是[ ]A.30°B.36°C.45°D.54°三.填空题 (本大题共 30 分)1.周长为20cm的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm．2.如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, ∠AED＝∠F, 则∠F＝___________度.3.已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm和7cm, 那么这个三角形的周长等于__________cm4.已知如图, A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD, ∠C＝40°, 则∠ABD＝______度.5.等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为________．6.等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm7.已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度.8.等腰三角形底边中线与________和________重合．9.已知: 如图: △ABC中, AB＝BC, ∠B＝90°, AD∥BC, ∠D＝70°, 则∠EFA＝____度10.已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．11.△ABC中，如果AB=AC，点M是BC边中点，那么M到______两边的距离相等，AM上的点到_____ _两点的距离相等。
初一数学等腰三角形试题答案及解析
初一数学等腰三角形试题答案及解析1.如图，在边长为20cm的等边三角形ABC纸片中，以顶点C为圆心，以此三角形的高为半径画弧分别交AC、BC于点D、E，则扇形CDE所围的圆锥（不计接缝）的底圆半径为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据等边三角形的性质，利用弧长的计算方法，采用排除法求解即可．扇形CDE的圆心角是60°，半径是20•sin60°=10，则弧长是=cm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是cm，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=，解得：r=故选A．2.下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30B．40C．50D．60【答案】D【解析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）="7" x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）="7" x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D3.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=．故选B．4.如图，点D是等边△ABC内一点，将△DBC绕点B旋转到△EBA的位置，则∠EBD的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】由将△DBC绕点B旋转到△EBA的位置，即可得△DBC≌△EBA，根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBD，又由△ABC是等边三角形，可得∠ABC=60°，继而由∠EBD=∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC，求得∠EBD的度数．解：∵将△DBC绕点B旋转到△EBA的位置，∴△DBC≌△EBA，∴∠ABE=∠CBD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠EBD=∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°．故选B．5.如图△ABC为等边三角形，⊙O的周长与等边三角形一边长相等，⊙O在△ABC的边上作无滑动滚动，从P点出发沿顺时针方向滚动，又回到P点，共滚动的圈数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转三圈，这样得到它回到原出发位置点P时共转了4圈．圆在AB、BC、CA三边作无滑动滚动时，∵等边三角形的边长与和圆的周长相等，∴圆转了3圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了4圈．故选D．6.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．【答案】【解析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，∵BD为中线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠ACB，∴∠E=30°=∠DBC，∴BD=DE，∵BD是AC中线，CD=1，∴AD=DC=1，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD==，即DE=BD=，故答案为：．7.已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为．【答案】（）n【解析】由AB1为边长为2等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积．解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n个等边三角形ABn Cn的面积为（）n．故答案为：（）n8.如图，等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是cm．【答案】【解析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE（等角对等边）．∵等边三角形ABC的边长是6cm，∴DE=BD=．故答案为．9.下列说法错误的是（）A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等【答案】D【解析】此题考查等腰三角形的性质及概念．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．解：A选项中，两边夹一角，可证明其全等； B中两角夹一边，也全等； C中斜边对应相等的两个等腰直角三角形利用两角夹一边，亦全等； D中两个等边三角形，虽然角相等，但边长不确定，所以不能确定其全等，所以D错误．故选D．10.如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】分为两种情况：①以AB为腰时，符合条件的有点C D E F G H；②以AB为底时，符合条件的有点I J；相加即可得出答案．①以AB为腰时，符合条件的有点C D E F G H；②以AB为底时，符合条件的有点I J；共6+2=8，故选C．11.小明用19根火柴首尾顺次相接，恰好摆成一个三角形，若要求这个三角形是等腰三角形，则不同的摆法有（）A．1种B．4种C．5种D．9种【答案】C【解析】根据等腰三角形的两腰相等的性质可知两腰的和为偶数，再根据三角形的任意两边之和大于第三边可知底边的长小于19根的一半，然后列举出所有的可能情况即可得解．解：根据三角形的任意两边之和大于第三边，设底边长为x（x为整数），则x＜，∴x的值可以是9，7，5，3，1，∴不同的摆法有5种．故选C．12.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是格点，若C也是格点，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．故选C．13.下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】认真阅读各小问题提供的已知条件，根据等腰三角形的性质，和两三角形全等是所需要的条件逐一进行验证，找出正误的具体原因，其中（3）错误．解：（1）正确，等腰三角形腰长相等，有一腰相等，另一角也相等，又因为顶角相等，两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以两个等腰三角形全等；（2）正确，等腰三角形中，周长为二倍的腰长+底边长，所以可以知道三边对应相等，三条边对应相等的两个三角形全等；（3）错误，腰长相等，有一角是50°，并非是顶角，如果一个是顶角，一个是底角则两个三角形是不全等的；（4）正确，两条直角边对应相等的两个直角三角形，是两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形，所以全等．故选A．14.如图1，已知线段AB和直线m，点A在直线m上，以AB为一边画等腰△ABC，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】根据当AB为等腰三角形的腰时有三个；当AB为等腰三角形的底边时，有一个，那么可作出等腰三角形共4个，即可得出答案．解：如图以A为圆心，AB为半径画弧，即可得出C1、C3两点，此时：AC1=AB，AC3=AB，同理当AB为底边时，作AB的垂直平分线，AC2=BC2，以B为圆心，AB为半径画弧，即可得出C4点，∴AB=BC4，所以题中共有4个点使其为等腰三角形．故选：A．15.如图，△ABC中，BA=BC，∠C=72°，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，则图中的等腰三角形共有（）个．A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC及∠BAC的度数，再根据等腰三角形的判定定理即可得出结论．解：∵△ABC中，BA=BC，∴△ABC是等腰三角形；∵∠C=72°，∴∠ABC=36°，∠BAC=72°，∵AF是△ABC的角平分线，∴∠BAF=∠CAF=∠BAC=36°，∴△ABF是等腰三角形；∵∠CAF=∠BAC=36°，∠C=72°，∴∠AFC=72°，∴△AFC是等腰三角形；∵AF平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD=∠BAD，∴AE=ED，∵∠EDB+∠ADE=90°，∴∠BDE+∠BAD=90°，∵∠EBD+∠BAD=90°，∴∠BDE=∠EBD，∴BE=ED，∴AE=BE，∴AE=BE=ED，∴△AED，△BED是等腰三角形；∵∠BAF=36°，AE=ED，∴∠ADE=36°，∴∠BED=72°，∵∠ABC=36°，∴∠BGE=∠BED=72°，∴△BEG是等腰三角形；∵∠DGF=∠BGE=72°，∠AFC=∠DFG=72°，∴△DGF是等腰三角形．综上所述，等腰三角形有：△ABC，△ABF，△AFC，△AED，△BED，△BEG，△DGF共7个．故选C．16.如图所示，共有等腰三角形（）A．4个B．5个C．3个D．2个【答案】B【解析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO=∠DCO=36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB=∠COD=72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选B．17.已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是．【答案】4【解析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC 的长度，再分：①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．解：y=k（x+1）（x﹣）=（x+1）（kx﹣3），所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），AC==，点B坐标为（，0），①k＞0时，点B在x正半轴上，若AC=BC，则=，解得k=3，若AC=AB，则+1=，解得k==，若AB=BC，则+1=，解得k=；②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k==，所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．故答案是：4．18.如图，∠A=20°，∠C=40°，∠ADB=80°，则图中共有等腰三角形个．【答案】2【解析】根据三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，得∠ADB=∠ABD，∠DBC=∠C，再根据等角对等边得出图中等腰三角形的个数．解：∵∠ABD=180°﹣20°﹣80°=80°，∠DBC=∠ADB﹣∠C=40°．∴∠ADB=∠ABD=80°，∠DBC=∠C=40°，故△ABD和△BCD是等腰三角形．故填2．19.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．18【答案】B【解析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B．20.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°【答案】A【解析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故选A．21.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【答案】B【解析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．22.如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或12【答案】C【解析】根据三角形三边关系推出腰长为5，底边长为2，即可推出周长为12．解：∵2+5＞5，∴等腰三角形的腰长为5，底边长为2，∴周长=5+5+2=12．故选C．23.等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°【答案】B【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．解：∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．故选B．24.如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（）A．40°B．35°C．25°D．20°【答案】C【解析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．解：∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，∴∠ADC==50°，∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，∴∠B=∠BAD=（）°=25°．故选C．25.如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）A．30°B．40°C．50°D．70°【答案】B【解析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠BFC，根据AE=AF可得出∠E=∠EFA，根据三角形的内角和为180°可求∠A．解：∵AB∥CD，∴∠DCF+∠BFC=180°，∴∠BFC=70°，∴∠EFA=70°，又∵△AEF中，AE=AF，∴∠E=∠EFA=70°，∴∠A=180°﹣∠BFC﹣∠EFA=40°．故选B．26.如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【解析】根据已知及等腰三角形的性质可求得两底角的度数，再根据∠ABD：∠DBC=3：4，列方程求解即可求出∠BDE的度数．解：∵AB=AC，CD=DE∴∠C=∠DEC=∠ABC∴AB∥DE∵∠A=40°∴∠C=∠DEC=∠ABC==70°∵∠ABD：∠DBC=3：4∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x∴3x+4x=70°∴x=10°∵AB∥DE∴∠BDE=∠ABD=30°故选B．27.如图，△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=50°，且D、E两点分别在BC，AB上．若AD为∠BAC的角平分线，AD=AE，则∠AED=（）A．50° B．60° C．65° D．80°【答案】C【解析】根据三角形的内角和公式可求得∠BAC的度数，再根据角平分线的性质及等腰三角形的性质即可求得∠AED的度数．解：∵∠ABC=30°，∠ACB=50°∴BAC=100°∵AD为∠BAC的角平分线∴∠EAD=50°∵AD=AE∴∠AED=65°故选C．28.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=．【答案】70°【解析】由已知条件，利用等边三角形三线合一的性质进行求解．解：∵AB=CA，∴△ABC是等腰三角形，∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，∵∠BAD=20°．∴∠C=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．29.如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO=PO，若∠C=50°，则∠A=度．【答案】25【解析】根据AB∥CD，CP交AB于O，可得∠POB=∠C，再利用AO=PO，可得∠A=∠P，然后即可求得∠A的度数．解：∵AB∥CD，CP交AB于O，∴∠POB=∠C，∵∠C=50°，∴∠POB=50°，∵AO=PO，∴∠A=∠P，∴∠A=25°故答案为25．30.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=度．【答案】50【解析】根据在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，利用三角形内角和定理求出∠B=∠C=50°，再利用BE=BP，求出∠B，然后即可求得∠EPF，即可解题．解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，∴∠B=∠C=50°，∵BE=BP，∴∠BEP=∠EPB=65°，同理，∠FPC=65°，∠EPF=180°﹣65°﹣65°=50°．故答案为：50．。
顶角20度等腰三角形几何题
顶角20度等腰三角形几何题题目描述已知一个等腰三角形的顶角为20度，且该三角形的底边等于斜边的一半长度，求该等腰三角形的底边长度和周长。
解题思路设等腰三角形的顶角为20度，底边长度为x，斜边长度为2x（根据题目要求底边等于斜边的一半长度）。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的三个内角之和为180度，所以等腰三角形的底角也为80度（180度 - 20度 - 80度 = 80度）。
由于等腰三角形的两腰边长度相等，我们可以将该等腰三角形的两腰边分别记为a和b。
根据正弦定理，我们知道三角形中的任意一条边的长度与该边对应的角的正弦值成比例。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sin(20度)/底边长度 = sin(80度)/斜边长度 = sin(8 0度)/(2x)sin(80度)/底边长度 = sin(20度)/腰边长度 = sin(20度)/(a或者b)我们可以利用这两个等式来解题。
解题步骤步骤一：求底边长度利用正弦定理的第一个等式：sin(20度)/底边长度 = sin(80度)/(2x)可以推导出：底边长度 = (sin(20度) * 2x) / sin(80度)将sin(20度)和sin(80度)的值代入，可以求得底边长度。
步骤二：求周长根据题目要求，底边等于斜边的一半长度，所以斜边的长度为2x。
等腰三角形的周长等于底边长度加上两腰边长度的和，即：周长 = 底边长度 + 2 * 腰边长度将底边长度和腰边长度的值代入，可以求得周长。
解题过程步骤一：求底边长度根据步骤一的公式，带入数值计算：底边长度 = (sin(20度) * 2x) / sin(80度)将sin(20度)和sin(80度)的值代入，可以得到：底边长度 = (0.3420 * 2x) / 0.9848化简上述表达式：底边长度 = 0.6934x步骤二：求周长根据步骤二的公式，带入数值计算：周长 = 底边长度 + 2 * 腰边长度将底边长度的值代入，得到周长为：周长 = 0.6934x + 2 * 腰边长度答案验证我们可以通过代入具体数值进行验证，假设底边长度x = 10，则斜边长度为2x = 20。
《等腰三角形的判定》练习
《等腰三角形的判定》练习第一篇范文：等腰三角形经典练习题等腰三角形练习知识梳理说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。
知识点4：等腰三角形的推论1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
知识点5：等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
一、知识点回顾等腰三角形的性质：△ABC中，AB=AC．点D在BC边上（1）∵AB=AC，∴∠_____=∠______；（即性质1）（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）（3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）（4）∵AB=A C，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2）等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C ∴_____=_____．二、基础题第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．第2题. 在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．5第3题. 如图1，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）B知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
部编数学八年级上册专题19多个等腰三角形求角度(解析版)含答案
专题19 多个等腰三角形求角度1．如图，在第1个1ABA △中，120,B AB A B Ð==o，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A A C =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；……，按此做法进行下去，第2013个三角形中以2013A 为顶点的内角的度数为（ ）A ．2012802o B ．2012202oC ．2013802oD ．2013202o【答案】A 【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n 的度数，从而求出结果．【详解】解：Q 在1ABA D 中，20B Ð=°，1AB A B =，1180180208022B BA A °-а-°\Ð===°，121A A A C =Q ，1BA A Ð是△12A A C 的外角，121804022BA A CA A а\Ð===°；同理可得，3220DA A Ð=°，4310EA A Ð=°，11()802n n A -\Ð=°g ．∴第2013个三角形中以2013A 为顶点的内角的度数为2012802°，故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．2．如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 为AB 边上一点，且AD CD BC ==，则A Ð的度数为（ ）A ．38oB ．36oC ．32°D ．30o【答案】B 【解析】【分析】先设A a Ð=，根据AD CD BC ==，AB AC =，得出A ACD a Ð=Ð=，2CBD CDB a Ð=Ð=，2ABC ACB a Ð=Ð=，最后根据三角形内角和即可得出答案．【详解】设A a Ð=，AD CD BC ==Q ，A ACD a \Ð=Ð=，2CBD CDB a Ð=Ð=，AB AC =Q ，2ABC ACB a \Ð=Ð=，180A ABC ACB Ð+Ð+Ð=°Q ，22180a a a \++=°，即36A a Ð==°．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用．3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕点O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝81°，则∠CDE 的度数是（ ）A ．72°B ．75°C ．80°D ．60°【答案】A 【解析】【分析】由等腰三角形性质得∠O =∠ODC ，∠DCE =∠DEC ，设∠O =∠ODC =x ，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE =∠DEC =2x ，∠CDE =180°-4x ，根据平角性质列出方程，解之即可求得x 值，再由∠CDE =180°-4x 即可求得答案．【详解】解：∵OC =CD =DE ，∴∠O =∠ODC ，∠DCE =∠DEC ，设∠O =∠ODC =x ，∴∠DCE =∠DEC =2x ，∠CDE =180°-∠DCE -∠DEC =180°-4x ，∵∠BDE ＝81°，∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，∴180481180x x +°-+°=°，解得：27x =°，180472CDE x Ð=°-=°，故A 正确．故选：A ．【点睛】此题主要考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．4．如图，12PA A △为等边三角形，在12A A 的延长线上取点3A ，使232A A PA =，得等腰23V PA A ；在23A A 的延长线上取点4A ，使343A A PA =，得等腰34;PA A ¼V ，按此做法继续下去，则等腰1n n PA A -V 的顶角的度数为（ ）A ．31602n -æö´°ç÷èøB ．2160n x -æö´°ç÷èøC ．31180602n -æö°-´°ç÷èøD ．21180602n -æö°-´°ç÷èø【答案】C 【解析】【分析】利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】∵△PA 1A 2是等边三角形，∴∠PA 2A 1=60°，∵A 2P =A 2A 3，∴∠PA 3A 2=∠A 2PA 3，∵∠PA 2A 1=∠PA 3A 2+∠A 2PA 3，∴∠PA 3A 2=30°=12×60°，同法可得，∠PA 4A 3=12∠PA 3A 2=（12）2×60°，∠PAnAn -1=（12）n -2×60°，∴∠PAn -1An =180°-2×（12）n -2×60°=180°-（12）n -3×60°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．5．如图，在第1个1A BC V 中，30B Ð=°，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D V ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以2021A 为顶点的底角度数是（ ）A ．20201752æö×°ç÷èøB ．20201652æö×ç÷èø°C ．20211752æö×°ç÷èøD ．20211652æö×ç÷èø°【答案】A 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B =30°，A 1B =CB ，得∠BA 1C =75°．由A 1A 2=A 1D ，得∠DA 2A 1=∠A 1DA 2．根据三角形外角的性质，得∠BA 1C =∠DA 2A 1+∠A 2DA 1=2∠DA 2A 1，得∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题即可．【详解】∵∠B =30°，A 1B =CB ，∴∠BA 1C =12×150°=75°．∵A 1A 2=A 1D ，∴∠DA 2A 1=∠A 1DA 2．∴∠BA 1C =∠DA 2A 1+∠A 2DA 1=2∠DA 2A 1．∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°．同理可得：∠EA 3A 2=12∠DA 2A 1=12×12×75°．…以此类推，以An 为顶点的内角度数是1()1752n n A -Ð=´° ．∴以A 2021为顶点的内角度数是2021120201175()()=7522-´°´°．故选 A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．6．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，若∠A ＝50°，则∠An ﹣1AnBn ﹣1的度数为（ ）A ．502n°B ．1502n -°C ．1502n +°D ．2502n +°【答案】B 【解析】【分析】由题意易得112111223222350,,AA B A A A B A B A A A B A B A Ð=Ð=°Ð=ÐÐ=Ð，343334A A B A B A Ð=Ð，…..；然后根据三角形外角的性质可得12123234323505050,,222A AB A A B A A B °°°Ð=Ð=Ð=…..，由此可得规律．【详解】解：∵AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，∠A ＝50°，∴112111223222350,,AA B A A A B A B A A A B A B A Ð=Ð=°Ð=ÐÐ=Ð，343334A A B A B A Ð=Ð，…..；∵11212AA B A A B Ð=Ð，∴121502A AB °Ð=，同理可得232343235050,22A A B A A B °°Ð=Ð=，……；∴111502n n n n A A B ---°Ð=；故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键．7．在△ABC 中，AB =AC ， 若过△ABC 的一个顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，则∠BAC 的度数为（ ）A ．90°或108°或36°或1807°B ．90°或108°或36°C ．90°或54°或36°或5407°D ．90°或54°或36°【答案】A 【解析】【分析】分别以点A 、点B 、点C 为顶点做直线将△ABC 分成两个等腰三角形，由于AB =AC ，故以点B 和以点C 为顶点作的等腰三角形结果是一样的，所以讨论点A 、点B 为顶点的情况，根据等腰三角形的性质找出角的关系，由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】如图1，当过点A 的直线交BC 于点D ，将△ABC 分成两个等腰三角形，使AD BD CD ==，设B x Ð=，AB AC =Q ，C B x \Ð=Ð=，AD BD CD ==Q ，BAD B x \Ð=Ð=，CAD C x Ð=Ð=，2BAC x \Ð=，在ABC V 中，180B BAC C Ð+Ð+Ð=°，2180x x x \++=°，解得：45x =°，90BAC \Ð=°；如图2，当过点A 的直线交BC 于点D ，将△ABC 分成两个等腰三角形，使AD BD =，AC CD =，设B x Ð=，AB AC =Q ，C B x \Ð=Ð=，AD BD =Q ，BAD B x \Ð=Ð=，2ADB B BAD x \Ð=Ð+Ð=，AC CD =Q ，2DAC ADB x \Ð=Ð=，23BAC x x x \Ð=+=，在ABC V 中，180B BAC C Ð+Ð+Ð=°，3180x x x \++=°，解得：36x =°，108BAC \Ð=°；如图3，当过点B 的直线交AC 于点D ，将△ABC 分成两个等腰三角形，使AD BD BC ==，设BAC x Ð=， AD BD =Q ，ABD BAC x \Ð=Ð=，2BDC ABD BAD x \Ð=Ð+Ð=，BD BC =Q ，2C BDC x \Ð=Ð=，AB AC =Q ，2ABC C x \Ð=Ð=，在ABC V 中，180ABC BAC C Ð+Ð+Ð=°，22180x x x \++=°，解得：36x =°，36BAC \Ð=°；如图4，当过点B 的直线交AC 于点D ，将△ABC 分成两个等腰三角形，使AD BD =，BC CD =，设BAC x Ð=， AD BD =Q ，ABD BAC x \Ð=Ð=，2BDC ABD BAD x \Ð=Ð+Ð=，BC CD =Q ，2CBD BDC x \Ð=Ð=，23ABC x x x \Ð=+=，AB AC =Q ，3C ABC x \Ð=Ð=，在ABC V 中，180ABC BAC C Ð+Ð+Ð=°，33180x x x \++=°，解得：180()7x =°，180()7BAC \Ð=°，综上，BAC Ð可为90°或108°或36°或1807°．故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理，画出符合条件的图形，根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．8．如图在第一个△A 1BC 中，∠B ＝40°，A 1B ＝BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ．……如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为（ ）A ．1()402°g n B ．11(402-°×n C ．11()702-°×n D ．1()702°×n 【答案】C 【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数．【详解】解：在△CBA 1中，∠B ＝40°，A 1B ＝CB ，∴∠BA 1C ＝1802B°-Ð＝70°，∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角，∴∠DA 2A 1＝12∠BA 1C ＝12×70°，同理可得∠EA 3A 2＝（12）2×70°，∠FA 4A 3＝（12）3×70°，∴第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数是11(702n -×°．故选：C ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．如图在第二个△A 1BC 中，∠B =40°，A 1B =BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到第3个△A 2A 3E …如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为 ______．【答案】11702n -°´【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数．【详解】解：在△CBA 1中，∠B =40°，A 1B =CB ，∴∠BA 1C =12（180°-∠B ）=70°，∵A 1A 2=A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角，∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×70°，同理可得∠EA 3A 2=（12）2×70°，∠FA 4A 3=（12）3×70°，∴第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数是（12）n -1×70°．故答案为：70°×112n -．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．10．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B =30°，A 1B =CB ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ⋯⋯按此做法继续下去，则第2022个三角形中，以A 2022为顶点的底角的度数是 ____________．【答案】2021752°【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B =30°，A 1B =CB ，得∠BA 1C =∠C ，30°+∠BA 1C +∠C =180°，那么∠BA 1C =12×150°=75°．由A 1A 2=A 1D ，得∠DA 2A 1=∠A 1DA 2．根据三角形外角的性质，由∠BA 1C =∠DA 2A 1+∠A 2DA 1=2∠DA 2A 1，得∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×12×150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．【详解】解：∵∠B =30°，A 1B =CB ，∴∠BA 1C =∠C ，30°+∠BA 1C +∠C =180°．∴2∠BA 1C =150°．∴∠BA 1C =12×150°=75°．∵A 1A 2=A 1D ，∴∠DA 2A 1=∠A 1DA 2．∴∠BA 1C =∠DA 2A 1+∠A 2DA 1=2∠DA 2A 1．∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×12×150°．同理可得：∠EA 3A 2=12∠DA 2A 1=12×12×150°．…，以此类推，以An 为顶点的内角度数是∠An =（12）n ×150°=（12）n -1×75°．∴以A 2022为顶点的内角度数是（12）2021×75°=2021752°．故答案为：2021752°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．11．如图，在△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，依此进行下去，∠A 1A 2C 的度数为______；以An 为顶点的锐角的度数为______．【答案】 40° 11802n -æöç÷´°ç÷èø【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠A 1A 2C ，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出以An 为顶点的锐角的度数．【详解】解：在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ， ∴11801802080,22B BA A °-а-°Ð===° ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角， ∴12111804022A A C BA A Ð=Ð=´°=°； 同理可得， ∠DA 3A 2=2180=202æöç÷´°°ç÷èø，∠EA 4A 3=3180=102æöç÷´°°ç÷èø， ∴以An 为顶点的锐角的度数为11802n -æöç÷´°ç÷èø．故答案为：40°，11802n-æöç÷´°ç÷èø．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠A1A2C，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．12．如图，AOBÐ是一角度为a的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件EF、FG、GH…，且OE EF FG GH===…，在OA、OB足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角a的范围为_________．【答案】0°＜α＜90 7æö°ç÷èø【解析】【分析】由等腰三角形的性质和外角性质可得，∠GEF=2α，∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可列不等式，即可求解．【详解】解：∵OE=EF，∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加这样的钢管6根，∴7α＜90°，∴0°＜α＜907æö°ç÷èø，故答案为：0°＜α＜907æö°ç÷èø．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．13．如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝________°；第n 个三角形的内角∠ABnCn ＝________°．【答案】 401802n -【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠C 1B 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律即可得出∠ABnCn 的度数．【详解】解：△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，∴∠C 1B 1A ＝180180208022C °-а-°==° ，∵B 1B 2＝B 1C 2，，∠C 1B 1A 是△B 1B 2C 2的外角，∴∠B 1B 2C 2＝11804022C B A а==° ；同理可得，∠C 3B 3B 2＝20°，∠C 4B 3B 2＝10°，∴∠ABnCn ＝1802n -°．故答案为：40，1802n -．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律是解答此题的关键．14．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，AC AD =，BC BE =，则DCE Ð=________（度）．【答案】45【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理用∠A 表示ACD Ð和BCE Ð，再根据BC D E CE ACD ACB Ð+Ð-ÐÐ=即可得解．【详解】解：∵Rt ABC △中，90C Ð=°，∴∠B =90°-∠A ，∵AC =AD ，∴1809022A A ACD ADC °-ÐÐÐ=Ð==°-，∵BC BE =，∴1801809045222B A A BCE BEC °-а-°+ÐÐÐ=Ð===°+,∴9045904522A A BCE ACD AC DCE B ÐÐÐ+Ð-Ð=°-+°+-°=Ð=°．故答案为：45．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理．能利用相关性质正确表示角是解题关键．15．已知一张三角形纸片ABC （如图甲），其中∠B ＝∠C ．将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为BD （如图乙）．再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为EF （如图丙）．原三角形纸片ABC 中，则∠DEB ＝___∠A ，∠ABC 的大小为___°．【答案】 2 72°【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，折叠的性质解答即可．【详解】解：∵纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，∴A ADE Ð=Ð，∴2DEB A ADE A Ð=Ð+Ð=Ð，设A x Ð=°，∵纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，∴2DEB DCB x Ð=Ð=°，2ABC x Ð=°，则22180x x x °+°+°=°，解得：36x °=°，∴272ABC x Ð=°=°，故答案为：2，72°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，熟知等腰三角形等腰对等角，折叠后的图形对应角相等是解本题的关键．16．如图，若B 、D 、F 在AN 上，C 、E 在AM 上，且AB BC CD ED EF ====，20A Ð=°，则FEB Ð=______．【答案】70°【解析】据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得△DCE 是等边三角形，结合∠FEB ＝∠CED ＋∠DEF −∠CEB ，即可求解．【详解】解：∵AB ＝BC ＝CD ＝ED ＝EF ，∠A ＝20°，∴∠BCA ＝20°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝40°，∴∠DCE ＝∠CED ＝60°，∴∠EDF ＝∠DFE ＝80°，∴∠DEF ＝180°-80°-80°=20°，∵△DCE 中，∠DCE ＝∠CED ＝60°，∴△DCE 是等边三角形，∴DC ＝CE ，∴BC ＝CE ，则∠CBE ＝∠CEB ，又∠BCA ＝20°，∴∠CEB ＝10°，∴∠FEB ＝∠CED ＋∠DEF −∠CEB ＝60°＋20°−10°＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题．三、解答题17．如图，已知111222333420,,,,AB A B AC A A A D A A A E A A B ====Ð=°，求4A Ð的度数．【答案】410A Ð=°【分析】由∠B =20°，根据三角形内角和公式可求得∠BA 1A 的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠BA 1A 与∠A 4的关系即可解答．【详解】解：∵AB =A 1B ，∠B =20°，∴∠A =∠BA 1A =12（180°-∠B ）=12（180°-20°）=80°，∵A 1C =A 1A 2，A 2D =A 2A 3，A 3E =A 3A 4，∴∠A 1CD =∠A 1A 2C ，∵∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠BA 1A =2∠CA 2A 1=4∠DA 3A 2=8∠A 4，∴∠A 4=10°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分利用外角的性质确定∠BA 1A 与∠A 4的关系是解答本题的关键．18．如图，已知等边三角形A 1BC ，在边A 1C 上任取一点D ，延长BA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ，在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去．（1）第4个三角形中的底角度数；（2）第n （n ≥1）个三角形中的底角度数；【答案】（1）7.5°；（2）11602n -æö´°ç÷èø【解析】【分析】（1）根据等腰边角形的性质，得160BA C Ð=°；根据等腰三角形和三角形外角的性质，依次得：12112A A D BAC Ð=Ð、231212A A E A A D Ð=Ð、342312A A F A A F Ð=Ð，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，根据数字规律、乘方的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵等边三角形A 1BC ，∴160BA C Ð=°∵A 1A 2＝A 1D ，∴第2个三角形中的底角1211302A A D BA C Ð=Ð=° ∵A 2A 3＝A 2E ，∴第3个三角形中的底角2312111115222A A E A A D BA C Ð=Ð=´Ð=°∵A 3A 4＝A 3F ，∴第4个三角形中的底角3423111117.52222A A F A A F BA C Ð=Ð=´´Ð=°；（2）根据（1）的结论，得：第n 个三角形中的底角度数为111116022n n BA C --æöæöÐ=´°ç÷ç÷èøèø．【点睛】本题考查了三角形、数字规律、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、等边三角形、等腰三角形、数字规律的性质，从而完成求解．。
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顶角为20度得等腰三角形难题
例1、在⊿ABC中,AＢ=AＣ,且∠Ａ＝２0°,在为AB上
一点,ＡD=BC,连接CD、
试求:∠ＢDC得度数、
分析:题中出现相等得线段,以此为突破口,构造
全等三角形、
解:作∠DAE＝∠Ｂ=80°,使AE=BA,（点D,E在AC两
侧）连接DＥ,ＣE、
∵AE=BA;ＡＤ=BC;∠DAE=∠B、
∴⊿ＤＡＥ≌⊿CＢA(ＳAＳ),DE=ＡE;∠DＥA＝∠BA
Ｃ=20°、
∠CAＥ＝∠BＡE-∠BＡＣ=60°,又AE=AB=ＡC、
∴⊿AEＣ为等边三角形,DE=ＣE;∠DEＣ=∠ＡEＣ-∠DＥA=4０°、
则：∠ＣＤE=7０°；又∠ADE=8０°、故∠ＡＤC=1５0°,∠ＢＤC=３０°、例2、已知,如图：⊿ABC中,AB＝AC,∠BAC=20°、
点D与Ｅ分别在ＡB,ＡC上,且∠BCＤ=5０°,∠CBＥ=6
０°、
试求∠DEB得度数、
本题貌似简单,其实不然、
解:过点Ｅ作BC得平行线，交AB于F，连接CF交BＥ于
点G,连接DG、易知⊿GEＦ,⊿GBC均为等边三角形、
∴∠ＦEＧ=∠EFG=60°；∠AFＧ=1４０°,∠DFG＝40°;
∵∠BCG=5０°；∠CBD＝60°、
∴∠ＢDC＝50°=∠BCD,则BD=BＣ=BＧ;又∠ＡBＥ＝20°、
故∠BＧD＝８0°,∠DGＦ=180°-∠BＧＤ-∠FＧE=４0°、
即∠DＧF=∠ＤＦG，ＤＦ=DＧ；又EG＝EF;DE=DE、
∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得：∠DＥG=∠DEF＝30°、
所以,∠DＥB=30°、
例3、已知,等腰⊿AＢC中,ＡＢ=ＡC，∠BＡC=20°，D与E
分别为
AB与AＣ上得点,且∠ABE＝1０°，∠ＡCD=20°、
试求：∠DＥB得度数、
本题相对于上面两道来说，难度又增加了许多、且瞧我下
面得解答、
解：在CA上截取ＣM=CＢ,连接BM，DM，则∠CMB=∠CBM＝50°、
作ＤＧ∥BC，交AC于G,连接BG，交CＤ于F,连接FM、
易知⊿BCF与⊿DGＦ为等边三角形,CM=CＢ=CF、
∴∠CMF＝∠CFM=80°,∠GMＦ=１00°、
∠ＧＦM=∠GFＣ-∠CFM=40°;∠FGＭ=∠Ａ+∠AＢG＝4０°、
即∠ＧＦM＝∠FGM;FM=GM;又∠DF＝ＤG,ＤM＝DM、
则⊿DMF≌⊿DMＧ,∠ＤMG=∠DMF=５0°、
故∠DMC＝13０°=∠EＭB;又∠ＤCＭ=∠EBM=20°、
∴⊿DMＣ∽⊿ＥMB,DＭ/MＣ=ＥM／MB;又∠DMＥ=∠BMＣ=50°、
∴⊿DME∽⊿CMB，∠DEM=∠CBM＝５0°、
又∠BEＣ=∠ABE+∠A=30°、
所以,∠DＥB=∠DEG-∠ＢEC＝５０°-３０°=2０°、。