2019春九年级数学下册 第24章 圆章末小结与提升课时作业 (新版)沪科版
2019春九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质课时作业新版沪科版

24.2圆的基本性质第1课时圆的有关概念及点与圆的位置关系知识要点基础练知识点1圆的定义1.战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径.2.以2 cm的长为半径作圆,能作无数个圆.知识点2点与圆的位置关系3.(教材改编)如图,已知矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,若以A为圆心、AC长为半径画☉A,则点D与☉A的位置关系为(C)A.点D在☉A上B.点D在☉A外C.点D在☉A内D.无法判断4.☉O的直径为10 cm,当OP=5 cm时,点P在圆上;当OP<5 cm时,点P在圆内;当OP=7 cm 时,点P在圆外.【变式拓展】如图,数轴上有A,B,C三点,点A,C关于点B对称,以原点O为圆心作圆,若点A,B,C分别在☉O外、☉O内、☉O上,则原点O的位置应该在(C)A.点A与点B之间靠近A点B.点A与点B之间靠近B点C.点B与点C之间靠近B点D.点B与点C之间靠近C点知识点3圆的有关概念5.如图所示圆规,点A是铁尖的端点,点B是铅笔芯尖的端点,已知点A与点B的距离是2 cm,若铁尖的端点A固定,铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周,则作出的圆的直径是(C)A.1 cmB.2 cmC.4 cmD.π cm6.下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③过圆内一点有无数多条弦,这些弦都相等;④直径是圆中最长的弦.其中正确的有(C)A.4个B.3个C.2个D.1个7.如图所示,下列说法:①是优弧;②是优弧;③由A,O,C,B四点所围成的图形是弓形;④弦AB 所对的弧是劣弧.其中正确的有(A)A.0个B.1个C.2个D.3个综合能力提升练8.下列说法正确的是(C)A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径9.圆内最长的弦的长为30 cm,则圆的半径为15cm.10.一个点到圆的最大距离是12 cm,到圆的最小距离是4 cm,则该圆的半径是4 cm或8 cm.11.如图,AB=3 cm,用图形表示到点A的距离小于2 cm,且到点B的距离不小于2 cm的所有点的集合.(用阴影表示,注意边界上的点是否在集合中,如果在,用实线表示;如果不在,则用虚线表示)解:到点A的距离小于2 cm,且到点B的距离不小于2 cm的所有点的集合如图所示.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,以点A为圆心,以r为半径画☉A,根据下列条件求r.(1)若点D在☉A上,求r的值;(2)若点B在☉A内,点C在☉A外,求r的取值范围;(3)若点B,C,D都在☉A内,求r的取值范围.解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=12,∵点D在☉A上,∴r=12.(2)连接AC.由勾股定理得AC=13,根据题意,得5<r<13.(3)根据题意,得r>13.13.如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作☉C,半径为r.(1)当r取何值时,点A,B在☉C外;(2)当r在什么范围时,点A在☉C内,点B在☉C外.解:(1)当0<r<3时,点A,B在☉C外.(2)当3<r<4时,点A在☉C内,点B在☉C外.14.如图,AB是圆O的直径,D是圆上的一点,∠DOB=75°,DC交BA的延长线于点E,交圆于点C,且CE=AO,求∠E的度数.解:连接OC,∵CE=AO,而OA=OC,∴OC=EC,∴∠E=∠AOC,∴∠DCO=∠E+∠AOC=2∠E,∵OC=OD,∴∠D=∠DCO=2∠E,∵∠BOD=∠E+∠D,∴∠E+2∠E=75°,∴∠E=25°.15.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=5,BC=8,CD=6,AD=5.试判断点A,B,C,D是否在同一个圆上,并证明你的结论.解:点A,B,C,D在同一个圆上.理由:连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC.∵∠BAD=90°,AB=5,AD=5,∴BD2=AB2+AD2=(5)2+52=100,又∵BC=8,CD=6,∴BC2+CD2=BD2,∴∠BCD=90°.∵点O是BD的中点,∴OA=OB=OD=OC,∴点A,B,C,D在同一个圆上.拓展探究突破练16.如图,有两条公路OM,ON相交成30°,沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A 处有一所希望小学,当拖拉机沿ON方向行驶时,路两旁50米内会受到噪音影响,已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶,它们的速度均为5米/秒,问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少?解:如图,过点A作AC⊥ON,因为∠MON=30°,OA=80,所以AC=40,当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响,此时AB=50,由勾股定理,得BC=30,第一台拖拉机到D点时噪音消失,所以CD=30.由于两台拖拉机相距30米,则第一台到D点时第二台在C点,还需前行30米才对学校没有噪音影响.所以影响时间应是90÷5=18.答:这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒.第2课时垂径分弦知识要点基础练知识点1圆的对称性1.圆是轴对称图形,它有无数条对称轴,圆还是中心对称图形,它的对称中心是圆心.2.如图,CD是☉O的一条弦,作直径AB,使CD⊥AB,垂足为E.它是轴对称图形,它的对称轴是直线AB.知识点2垂径定理及其推论3.(教材改编)如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是(B)A.CE=DEB.AE=OEC. D.△OCE≌△ODE4.(教材改编)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点,AB=10 cm,CD=6 cm,则AC长为2 cm.知识点3垂径定理的实际应用5.(教材改编)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300 m,CD=50 m,则这段弯路的半径是250 m.综合能力提升练6.如图,☉O的直径CD过弦AB的中点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为(B)A.9B.8C.6D.47.如图,☉O的弦AB,AC的夹角为50°,M,N分别是的中点,则∠MON的度数是(D)A.100°B.110°C.120°D.130°【变式拓展】如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6 cm,则直径AB的长是(D)A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.4 cm8.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为(C)A. B.2C.2D.89.(乐山中考)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(B)A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,则蔬菜大棚的高度CD=4m.11.(烟台中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-1,-2).12.如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24 cm,CD=8 cm.(1)求作此残片所在的圆心;(不写作法,保留作图痕迹)(2)求(1)中所作圆的半径.解:(1)如图,作弦BC的垂直平分线与弦AC的垂直平分线交于O点,则O点即为此残片所在的圆心.(2)连接OA,设OA=x,AD=12 cm,OD=(x-8) cm,由勾股定理,得x2=122+(x-8)2,解得x=13,即圆的半径为13 cm.13.如图,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.解:连接OA,作直径MN⊥弦AB,交AB于点D,由垂径定理,得AD=DB=AB=4.又∵☉O的直径为10,∴OA=5.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD==3.∵垂线段最短,半径最长,∴OP的长度范围是3≤OP≤5.拓展探究突破练14.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.6 m.(1)求排水管内水的深度;(2)当水面的宽MN为0.8 m时,此时水面上升了多少米?解:(1)作半径OC⊥AB,垂足为D,交弧AB于点C,连接OA,则CD即为弓形高,∵OC⊥AB,∴AD=AB,∵AO=0.5,AB=0.6,∴AD=AB=0.3,∴OD==0.4,∴CD=OC-OD=0.5-0.4=0.1,即排水管内水的深度为0.1米.(2)当水位上升到水面宽MN为0.8米时,直线OC与MN相交于点P,同理可得OP=0.3,当MN与AB在圆心同侧时,水面上升的高度为0.1米;当MN与AB在圆心异侧时,水面上升的高度为0.7米.第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识要点基础练知识点1圆心角1.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,若∠C=55°,则圆心角∠COB的度数是(C) A.55° B.100° C.110° D.130°2.圆的一条弦分圆周为3∶6两部分,则其中劣弧所对的圆心角度数为120°.【变式拓展】已知AB是☉O的弦,若AB与☉O的半径相等,则圆心角∠AOB=60°.知识点2圆心角、弧、弦、弦心距间的关系3.(教材改编)若正方形ABCD四个顶点都在☉O上,则边AB所对的圆心角的度数是(B)A.45°B.90°C.120°D.135°【变式拓展】如图,点A,B,C都在☉O上,∠AOB=∠BOC=∠COA,则△ABC的形状是(D)A.不等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4.如图,在☉O中,弦AB=CD,请写出图中两组相等的角:本题答案不唯一,如:∠AOB=∠COD,∠A=∠B=∠C=∠D,∠AOC=∠BOD等.5.(教材改编)如图,AB是☉O的直径,若OD∥AC,求证:D是的中点.解:连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠OAC,∠COD=∠OCA,∴∠BOD=∠COD,∴,即D是的中点.综合能力提升练6.已知☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对圆心角的度数是(B)A.60°B.120°C.90°D.60°或120°7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于(A)A.5B.5C.5D.68.如图,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别为∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的弦心距为(A)A.3B.6C.8D.59.(毕节中考)如图,AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,∠ACE的度数为30°.10.在△ABC中,∠A=70°,☉O截△ABC的三边,所截得的弦相等,则∠BOC=125°.11.如图,点P在☉O上,PA,PB是☉O的弦,连接OP.若OP平分∠APB,求证:PA=PB.证明:过点O作OM⊥PA于点M,ON⊥PB于点N,∵OP平分∠APB,∴OM=ON,∴PA=PB.12.如图所示,M,N分别是☉O的弦AB,CD的中点,AB=CD.求证:∠AMN=∠CNM.证明:连接OM,ON,∵O为圆心,M,N分别为弦AB,CD的中点,∴OM⊥AB,ON⊥CD,∵AB=CD,∴OM=ON,∴∠OMN=∠ONM,∵∠AMN=90°-∠OMN,∠CNM=90°-∠ONM,∴∠AMN=∠CNM.13.(1)如图,A,B,C,D,E都在☉O上,且AB=BC=CD=DE=AE.求∠AOB的度数.(2)受(1)的启发,你能将一个圆四等分,六等分吗?解:(1)连接OC,OD,OE,∵AB=BC=CD=DE=AE,∴.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA,∴∠AOB==72°.(2)四等分时,作90°的圆心角;六等分时,作60°的圆心角.14.如图,AB是☉O的直径,C,D是AB上的两个动点(不与点A,B重合),过点C,D分别作与AB 垂直的弦EF,MN.(1)若AC=BD,求证:EF=MN.(2)若C,D分别是OA,OB的中点,则是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说出之间的关系.解:连接OE,OM.(1)∵OA=OB,AC=BD,∴OC=OD,∵EF⊥AB,MN⊥AB,∴EF=MN.(2).理由:在Rt△OEC中,∵C是OA的中点,∴cos∠AOE=,∴∠AOE=60°,同理∠MOB=60°,∴∠EOM=180°-∠AOE-∠MOB=180°-60°-60°=60°,∴∠AOE=∠EOM=∠MOB,∴.拓展探究突破练15.如图1,PC是☉O的直径,PA与PB是弦,且∠APC=∠BPC.(1)求证:PA=PB.(2)如果点P由圆上运动到圆外,PC过圆心.如图2,是否仍有PA=PB?为什么?(3)如图3,如果点P由圆上运动到圆内,PC过圆心,如图3,是否仍有PA=PB?(直接写出结论,不必说明理由)解:(1)作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F,∴∠OEP=∠OFP=90°.在△POE和△POF中,∴△POE≌△POF,∴PE=PF.又∵PE=PA,PF=PB,∴PA=PB.(2)作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F,∴∠OEP=∠OFP=90°,在△POE和△POF中,∴△POE≌△POF,∴OE=OF,PE=PF,∴AE=BF,∴PA=PB.(3)仍有PA=PB.第4课时圆的确定知识要点基础练知识点1确定圆的条件1.过两点画圆,可以画(D)A.0个B.1个C.2个D.无数个2.下列条件,可以画出圆的是(C)A.已知圆心B.已知半径C.已知不在同一直线上的三点D.已知直径知识点2三角形的外接圆及有关概念3.如图,☉O是△ABC的外接圆,则点O是△ABC的(B)A.三条高线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三角形三内角角平分线的交点4.如图,将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是(A)A. B. C.2 D.5.直角三角形的斜边为l,则它的外接圆面积是πl2.知识点3反证法6.用反证法证明命题:如果AB⊥CD,AB⊥EF,那么CD∥EF,证明的第一个步骤是(C)A.假设CD∥EFB.假设AB∥EFC.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行【变式拓展】用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是(D)A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆心上D.点在圆上或圆内综合能力提升练7.下列说法正确的是(D)A.半圆是弧,弧也是半圆B.三点确定一个圆C.平分弦的直径垂直于弦D.直径是同一圆中最长的弦8.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是(A)A.①B.②C.③D.④9.如图,已知平面直角坐标系内三点A(3,0),B(5,0),C(0,4),☉P经过点A,B,C,则点P的坐标为(C)A.(6,8)B.(4,5)C.(4,)D.(4,)10.如图,等边△ABC的外接圆的半径为2,则图中阴影部分的面积是4π-3.(结果用含π的式子表示)11.用反证法证明“三角形三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°”.已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个内角小于或等于60°.证明:假设求证的结论不成立,那么三角形中所有角都大于60°.∴∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形内角和为180°相矛盾.∴假设不成立.∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60°.12.如图,为丰富A,B,C三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院M,使它到三个小区的距离相等,试确定M的位置.(用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹)答案图解:如图.13.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.解:(1)∵AD为直径,AD⊥BC,∴,∴BD=CD.(2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.理由:由(1)知,∴∠BAD=∠CBD,又∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE.∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE.由(1)知BD=CD,∴DB=DE=DC.∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.14.下面的解题过程对不对?如果不对,如何改正?题目:△ABC内接于圆,且AB=AC=5,圆心到BC的距离为1,求☉O的半径.解答:如图,过点A作AD⊥BC于点D,AD过圆心O,连接OB.设OB=OA=r.在Rt△ABD中,有BD2+AD2=AB2,即BD2+(r+1)2=52,①在Rt△BOD中,有BD2+OD2=OB2,即BD2+12=r2,②由①②可得r=.解:错误.有两种情况,①当△ABC为锐角三角形时,如文中解题过程,得r=.②当△ABC为钝角三角形时,圆心O不在△ABC内,则有BD2+(r-1)2=52,BD2+12=r2,得r=,故☉O的半径为.拓展探究突破练15.某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象(如图所示△ABC即是),公司领导让工人师傅做一个圆形广告牌,将破损面全部覆盖住,工人师傅量得∠B=45°,∠C=30°,BC=4 m.为使所做广告牌最小,工人师傅给出两种方案:(1)作△ABC的外接圆;(2)以BC为直径作圆.问:哪个方案中的圆面积最小?是多少?解:作△ABC的外接圆☉O和以BC为直径的☉P.方案(2)中圆的面积较小,理由:∵∠ABC=45°,∠ACB=30°,∴∠BAC=180°-(45°+30°)=105°.∵∠BAC≠90°,∴△ABC的外接圆☉O的直径大于BC的长.∵☉P的直径为BC,☉O的直径大于BC的长,∴☉P的面积小于☉O的面积.∵☉P的半径为BP,∴S=BP2π.∵BC=4,∴BP=2,∴S=4π.∴圆的最小面积是4π m2.。
沪科版数学九年级下册课时练 第24章 圆 本章小结

沪科版数学九年级下册第24章圆旋转变换及其性质1.(2018·安徽芜湖期末)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B )2.(2019·安徽芜湖“万友”名校二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是AB上一动点,以点C为旋转中心,将△ACP顺时针旋转到△BCQ的位置,则PQ的最小值为( B )A. 2 B.2C.2 2 D.3 2第2题图第3题图3.(2018·安徽合肥庐阳区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,P是△ABC 的高CD上的一个动点,以点B为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′,连接DP′,则DP′的最小值是( A )A.22-2 B.4-2 2C.2- 2 D.2-14.(2019·安徽铜陵义安区期末)如图,四边形ABCD是正方形,点P在边CD上,△ADP旋转后能够与△ABP′重合.若AB=3,DP=1,则PP′=__25__.与圆有关的性质的运用5.(2018·重庆九龙坡区模拟)下列语句中,正确的是( D )A.长度相等的弧是等弧B.在同一平面上的三点确定一个圆C.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等6.(2018·湖北襄阳中考)如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为( D )A.4 B.2 2C. 3 D.2 3第6题图第7题图7.(2019·江苏泰州中考)如图,⊙O的半径为5,点P在⊙O上,点A在⊙O内,且AP=3,过点A作AP的垂线交⊙O于点B,C.设PB=x,PC=y,则y与x的函数表达式为__y=30 x__.与圆有关的位置关系8.已知点P是线段OA的中点,P在半径为r的⊙O外,点A与点O的距离为8,则r的取值范围是( C )A.r>4 B.r>8C.r<4 D.r<89.已知⊙O 和直线l 相交,圆心到直线l 的距离为 10 cm ,则⊙O 的半径可能为( A ) A .11 cm B .10 cm C .9 cmD .8 cm10.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 cm ,AB =10 cm ,以C 为圆心,以9 cm 长为直径的⊙C 与直线AB 的位置关系为( B ) A .相交 B .相离 C .相切D .相离或相交11.已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心O 的距离为d ,若关于x 的方程x 2-2x +d =0有实根,则点P 与⊙O 的位置关系是__点P 在⊙O 内或在⊙O 上__.12.在数轴上,点A 所表示的实数为3,点B 所表示的实数为a ,⊙A 的半径为2,若点B 在⊙A 内,则a 的取值范围是__1<a <5__.13.⊙O 的半径为R ,点O 到直线l 的距离为d ,R ,d 是方程x 2-4x +m =0的两根,当直线l 与⊙O 相切时,m 的值为__4__.切线的判定和性质14.(2019·云南中考)如图,△ABC 的内切圆⊙O 与BC ,CA ,AB 分别相切于点D ,E ,F ,且AB =5,BC =13,CA =12,则阴影部分(即四边形AEOF )的面积是( A ) A .4 B .6.25 C .7.5D .9第14题图 第15题图15.(2019·江苏泰州兴化二模)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =3,AC =4,D 为斜边AB 的中点,点E 在AC 上,以AE 为直径作⊙O ,若⊙O 与CD 相切时,则⊙O 的半径为__32__.16.(2019·内蒙古鄂尔多斯中考)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为H ,连接AC .过BD ︵上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ,连接AE 交CD 于点F ,且EG =FG .(1)求证:EG是⊙O的切线;(2)延长AB交GE的延长线于点M,若AH=2,CH=22,求OM的长.解:(1)证明:连接OE,如图.∵GE=GF,∴∠GEF=∠GFE.又∠GFE=∠AFH,∴∠GEF=∠AFH.∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAF,∵AB⊥CD,∴∠OAF+∠AFH=90°,∴∠GEA+∠OEA=90°,即∠GEO=90°,∴OE⊥GE,∴EG是⊙O的切线.(2)连接OC,如图.设⊙O的半径为r,则OC=r,OH=r-2,在Rt△OCH中,(r-2)2+(22)2=r2,解得r=3.在Rt△ACH中,AC=(22)2+22=2 3.∵AC∥GE,∴∠M=∠CAH.又∠AHC=∠OEM=90°,∴Rt△OEM∽Rt△CHA,∴OMAC=OECH,即OM23=322,∴OM=362.与圆有关的计算17.(2019·辽宁大连西岗区期末)已知扇形的弧长为3π cm,半径为6 cm,则此扇形的圆心角为( D )A.30°B.45°C.60°D.90°18.(2019·宁夏中考)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,分别以点A,D为圆心,以AB,DC为半径作扇形ABF,扇形DCE,则图中阴影部分的面积是( B )A .63-43π B .63-83π C .123-43πD .123-83π19.(2018·山东潍坊中考)如图,点A 1的坐标为(2,0),过点A 1作x 轴的垂线交直线l :y =3x 于点B 1,以原点O 为圆心,OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2;再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2,以原点O 为圆心,以OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3;….按此作法进行下去,则A 2 019B 2 018⌒的长是__22 019π3__.20.(2019·福建福州台江区模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,OE ⊥BC ,垂足为E ,AB ⊥CD ,垂足为F .(1)求证:AD =2OE ;(2)若∠ABC =30°,⊙O 的半径为2,求两阴影部分面积的和.解:(1)证明:如图,连接AC ,则∠ACB =90°,即AC ⊥BC .∵AB ⊥CD ,∴AC ︵=AD ︵,∴AC =AD .∵OE ⊥BC ,∴OE ∥AC .∵O 为AB 的中点,∴OE 为△ABC 的中位线,∴OE =12AC ,∴OE =12AD ,即AD =2OE .(2)S半圆=12π·OB 2=12π×22=2π.∵∠ABC =30°,AB =4,∴AC =12AB =12×4=2,BC =AB ·cos ∠ABC =23,∴S △ABC =12AC ·BC =12×2×23=2 3.∵AB ⊥CD ,∴弓形AD 的面积等于弓形AC 的面积,∴S 阴影=S 半圆-S △ABC =2π-2 3.圆的综合应用21.(2019·江苏无锡模拟)如图,半径为R 的⊙O 的弦AC =BD ,AC 与BD 交于点E ,F 为BC ︵上一点,连接AF ,BF ,AB ,AD ,下列结论:①AE =BE ;②若AC ⊥BD ,则AD =2R ;③在②的条件下,若CF ︵=CD ︵,AB =2,则BF +CE =1.其中正确的是( D )A .①②B .①③C .②③D .①②③22.(2019·天津和平区期中)(1)圆中最长的弦是__直径__;(2)如图1,AB 是⊙O 的弦,AB =8,点C 是⊙O 上的一个动点,且∠ACB =45°,若点M ,N 分别是AB ,AC 的中点,则MN 长度的最大值是__42__;(3)如图2,在△ABC 中,∠BAC =60°,∠ABC =45°,AB =4,D 是边BC 上的一个动点,以AD 为直径画⊙O ,分别交AB ,AC 于点E ,F ,连接EF ,则线段EF 长度的最小值为__6__.23.(2019·湖北荆州中考)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点,点P 是半径OB 上一动点(不与O ,B 重合),过点P 作射线l ⊥AB ,分别交弦BC ,BC ︵于D ,E 两点,在射线l 上取点F ,使FC =FD .(1)求证:FC 是⊙O 的切线; (2)当点E 是BC ︵的中点时,①若∠BAC =60°,判断以O ,B ,E ,C 为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由; ②若tan ∠ABC =34,且AB =20,求DE 的长. 解:(1)证明:如图1,连接OC .∵OB =OC .∴∠OBC =∠OCB . ∵PF ⊥AB ,∴∠BPD =90°. ∴∠OBC +∠BDP =90°. ∵FC =FD ,∴∠FCD =∠FDC . ∵∠FDC =∠BDP , ∴∠OCB +∠FCD =90°, ∴OC ⊥FC ,∴FC 是⊙O 的切线. (2)如图2,连接OE ,BE ,CE .①以O ,B ,E ,C 为顶点的四边形是菱形.理由如下:∵AB 是直径,∴∠ACB =90°. ∵∠BAC =60°,∴∠BOC =120°. ∵点E 是BC ︵的中点, ∴∠BOE =∠COE =60°. ∵OB =OE =OC ,∴△BOE ,△OCE 均为等边三角形,∴OB =BE =CE =OC ,∴四边形BOCE 是菱形. ②∵tan ∠ABC =AC BC =34,∴设AC =3k ,BC =4k (k >0),由勾股定理得AC 2+BC 2=AB 2,即(3k )2+(4k )2=202,解得k =4,∴AC =12,BC =16. ∵点E 是BC ︵的中点,∴OE ⊥BC ,BH =CH =8, ∴OE ×BH =OB ×PE ,即10×8=10PE ,解得PE =8. 由勾股定理得OP =OE 2-PE 2=102-82=6, ∴BP =OB -OP =10-6=4.∵tan ∠ABC =DP BP =34,即DP =34BP =34×4=3, ∴DE =PE -DP =8-3=5.24.(2019·广西梧州中考节选)如图,已知⊙A 的圆心为点(3,0),抛物线y =ax 2-376x +c 过点A ,与⊙A 交于B ,C 两点,连接AB ,AC ,且AB ⊥AC ,B ,C 两点的纵坐标分别是2,1. (1)请直接写出点B 的坐标,并求a ,c 的值;(2)直线y =kx +1经过点B ,与x 轴交于点D .点E (与点D 不重合)在该直线上,且AD =AE ,请判断点E 是否在此抛物线上,并说明理由;解:(1)如图,过点B ,C 分别作x 轴的垂线交x 轴于点R ,S . ∵∠RBA +∠RAB =90°,∠RAB +∠CAS =90°, ∴∠RBA =∠CAS .又AB =AC ,∴Rt △BRA ≌Rt △ASC (AAS ),∴AS =BR =2,AR =CS =1,故点B ,C 的坐标分别为(2,2),(5,1). 将点B ,C 坐标代入y =ax 2-376x +c 中, 解得a =56,c =11.(2)由(1)可知抛物线的表达式为y =56x 2-376x +11.将点B 的坐标代入y =kx +1,解得k =12,则y =12x +1,得点D (-2,0),则AB =5,AD =5.已知点E 在直线BD 上,则设点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ,12x +1.∵AD =AE ,则52=(3-x )2+⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +12,解得x =6或x =-2(舍去),故点E (6,4). 把x =6代入y =56x 2-376x +11中,得y =4, 故点E 在抛物线上.。
2019春九年级数学下册第24章圆24.1旋转课时作业新版沪科版129

第24章圆24.1旋转第1课时旋转的概念与性质知识要点基础练知识点1旋转的相关概念1.下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是(B)2.下列现象属于旋转的是(C)A.摩托车在急刹车时向前滑动B.飞机起飞后冲向空中的过程C.幸运大转盘转动的过程D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车知识点2旋转的性质3.一个图形经过旋转变换后,有以下结论:①对应线段的长度不变;②对应角的大小不变;③位置不变;④各点旋转的角度相同.其中正确的结论有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个4.(宜宾中考)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是60°.知识点3旋转对称图形5.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合,那么n的值可能是(D)A.45B.60C.90D.120知识点4简单的旋转作图6.如图,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.在图中画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的△ECD.并指出点A的对应点,∠A的对应角,旋转中心及旋转角.答案图解:如图所示,△ECD即为所求.其中点A的对应点为点E,∠A的对应角为∠E,点C为旋转中心,∠ACE,∠DCB均为旋转角.综合能力提升练7.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是(B)A.10°B.20°C.50°D.70°8.(天津中考)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接A D.下列结论一定正确的是(C)A.∠ABD=∠EB.∠CBE=∠CC.AD∥BCD.AD=BC9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(D)A.12B.6C.6√2D.6√310.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为(D)A.5B.√23C.7D.√2911.如图,O为正方形的旋转中心,正方形的边长是6 cm,一个足够大的直角∠AOB的顶点与点O重合,直角的两边与正方形的边分别交于点A,B,则图中阴影部分的面积为9 cm2.12.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为15°.13.如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=FF,则AB的长为3√2.14.(宁波中考)在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;(画出一个即可)(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°,画出旋转后的三角形.解:(1)如图所示.(答案不唯一,画出一个即可)(2)△A'CB'如图所示.15.已知在△ABC中,AB=10,DE∥AC交AB于点D,交BC于点E.(1)将△BDE 顺时针旋转到△BD'E'的位置,连接DD'和EE',如图1,试探究∠BDD'与∠BEE'之间的数量关系,并说明理由;(2)将△BDE 顺时针继续旋转,点D 的对应点D'落在边BC 上,如图2,若BE'=8,D'C=6,求BC 的长.解:(1)∠BDD'=∠BEE'.理由:由旋转知△BDE ≌△BD'E',∴BD=BD',BE=BE',∠DBE=∠D'BE',∴∠DBD'=∠EBE',又∵∠BDD'=180°-∠DDD '2,∠BEE'=180°-∠DDD '2,∴∠BDD'=∠BEE'.(2)∵DE ∥AC ,∴△BDE ∽△BAC ,∴DD DD =DDDD .由题意可得BE=BE'=8,BD=BD'=BC-D'C=BC-6,AB=10.设BC=x ,则D -610=8D,解得x 1=3+√89,x 2=3-√89(不合题意,舍去),故BC 的长为3+√89.拓展探究突破练16.【问题解决】数学课上,老师提出了一个这样问题:如图1,P 是正方形ABCD 内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB 的度数吗? 小明他通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△P'BA ,连接PP',求出∠APB 的度数; 思路二:将△APB 绕点B 顺时针旋转90°,得到△CP'B ,连接PP',求出∠APB 的度数. 请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图2,若P 是正方形ABCD 外一点,PA=3,PB=1,PC=√11,求∠APB 的度数.解:【问题解决】如答图1,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.∵PB=P'B=2,∠P'BP=90°,∴PP'=2√2,∠BPP'=45°.又∵AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.【类比探究】如答图2,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.∵PB=P'B=1,∠P'BP=90°,∴PP'=√2,∠BPP'=45°.又∵AP'=CP=√11,AP=3,∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.第2课时中心对称与中心对称图形知识要点基础练知识点1中心对称概念及性质1.下列说法正确的是(C)A.全等的两个图形成中心对称B.能够完全重合的两个图形成中心对称C.旋转180°后能够完全重合的两个图形成中心对称D.旋转后能够重合的两个图形成中心对称2.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,下列结论中不成立的是(D)A.OC=OC'B.OA=OA'C.BC=B'C'D.∠ABC=∠A'C'B'知识点2中心对称图形3.下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(B)【变式拓展】在等边三角形、等腰梯形、平行四边形和正五边形中,是中心对称图形的是(C) A.等边三角形 B.等腰梯形C.平行四边形D.正五边形4.如图,已知图形是中心对称图形,则对称中心是(D)A.点CB.点DC.线段BC的中点D.线段FC的中点知识点3中心对称(图形)的画法5.如图1,在10×10网格中,四边形ABCD是格点四边形(顶点在网格线的交点上).(1)以点A为对称中心,画出四边形ABCD关于点A成中心对称的四边形AB1C1D1;(2)点N是四边形ABCD内一格点,如图2,以点N为对称中心,画出四边形ABCD关于点N成中心对称的四边形A2B2C2D2.(3)若格点四边形ABCD与格点四边形EFGH关于点O成中心对称,点A的对称点是点E,如图3,请在网格中标出点O的位置.解:(1)如图1,四边形AB1C1D1即为所求.(2)如图2,四边形A2B2C2D2即为所求.(3)如图3,点O即为所求.图1图2图3综合能力提升练6.(长沙中考)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)7.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标,其中属于中心对称图形的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个8.(呼和浩特中考改编)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC进行了一次变换之后得到的,其中是通过中心对称得到的是(C)A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)9.如图所示,已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称,则点B的对称点是(D)A.点EB.点FC.点GD.点H10.(乐山中考)如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为6.11.(安徽中考)如图,已知A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-2)是直角坐标平面上的三点.(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标,若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1内部,指出h的取值范围.解:(1)△A1B1C1如图所示.(2)点B2的坐标为(2,-1).观察可知,h的取值范围为2<h<3.5.12.如图,在▱ABCD中,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以B,F为圆心,大于12BF 的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF 是菱形.(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是中心对称图形;(2)若四边形ABEF的周长为16,AE=4√3,求∠C的大小.解:连接BF,设BF与AE交于点O.(1)由作图过程可知,AB=AF,AE平分∠BAD.∴∠BAE=∠EAF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴∠AEB=∠EAF,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=AF.∵∠BOE=∠FOA,∴△BOE≌△FOA,∴OB=OF,OE=OA,即点B与点F,点E与点A都关于点O对称,∴四边形ABEF为中心对称图形.(2)由(1)得OB=OF,OE=OA,∴四边形ABEF为平行四边形,又∵AB=AF,∴四边形ABEF为菱形,∴BF与AE互相垂直平分,∠BAE=∠FAE,∴OA=12AE=2√3.∵菱形ABEF的周长为16,∴AF=4,∴cos∠OAF=DDDD =√32,∴∠OAF=30°,∴∠BAF=60°.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠C=∠BAD=60°.拓展探究突破练13.如图,中心对称图形圆(图1)和平行四边形(图2),图1中过圆心的一条直线将圆分成A,B 两部分,图2中过平行四边形的中心(对角线的交点)任作两条直线形成A,B两部分.(1)图1、图2中的A,B两部分的面积相等吗?(2)利用(1)中的结论,工人师傅需把图3所示的一块木板分成面积相等的两部分,你认为应该怎样分?请画出示意图,并做简要说明.解:(1)图1、图2中的A,B两部分的面积都相等.(2)如图,先将木板分成两个矩形,过这两个矩形的对角线的交点作直线即可.(答案不唯一)第3课时平面直角坐标系下的旋转变换知识要点基础练知识点1用坐标表示旋转1.(绵阳中考)在平面直角坐标系中,以原点为对称中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为(B)A.(4,-3)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-3,-4)【变式拓展】在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,√3),以原点O为中心,将点A顺时针旋转150°得到点A',则点A'的坐标为(D)A.(0,-2)B.(1,-√3)C.(2,0)D.(√3,-1)知识点2图案设计2.如图,按要求涂阴影:(1)将图形①平移到图形②;(2)将图形②沿图中虚线翻折到图形③;(3)将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④.解:(1)如图②所示.(2)如图③所示.(3)如图④所示.3.如图是一个4×4的正方形网格,每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形,通过平移、对称或旋转变换,设计一个精美图案,使其满足:①既是轴对称图形,又是以点O为对称中心的中心对称图形;②所作图案用阴影标识,且阴影部分的面积为4.答案图解:如图所示.(答案不唯一)综合能力提升练4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4),把线段AB绕点A旋转后得到线段AB',使点B的对应点B'落在x轴的正半轴上,则点B'的坐标是(B)A.(5,0)B.(8,0)C.(0,5)D.(0,8)5.(宜昌中考)如图,在平面直角坐标系中,把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA,点A,B,C 的坐标分别为(-5,2),(-2,-2),(5,-2),则点D的坐标为(A)A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,5)D.(-2,5)6.(聊城中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的点A1处,则点C 的对应点C1的坐标为(A)A.(-95,125) B.(-125,95)C.(-165,125) D.(-125,165)7.如图,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为(D)A.(-a,-b)B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b+2)8.如图,把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转θ(0°<θ<90°)角得到另一条数轴y,x 轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定:过点P作y轴的平行线,交x轴于点A,过点P作x轴的平行线,交y轴于点B,若点A在x轴上对应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b,则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标,在某平面斜坐标系中,已知θ=60°,点M的斜坐标为(3,2),点N与点M关于y轴对称,则点N的斜坐标为(-3,5).9.如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴,y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是(-2,0)或(2,10).10.(温州中考)如图,P,Q是方格纸中的两格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.(1)在图1中画出一个面积最小的▱PAQB.(2)在图2中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.解:(1)画法不唯一,如图①,②等.(2)画法不唯一,如图③,④等.11.如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动:第一步:点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;第二步:点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;第三步:点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;(2)所画图形是轴对称图形.解:(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示.12.(黑龙江龙东地区中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,2).请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标;(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3,并写出点A3的坐标.答案图解:(1)△A1B1C1如图所示,此时点A1的坐标为(-2,2).(2)△A2B2C2如图所示,此时点A2的坐标为(4,0).(3)△A3B3C3如图所示,此时点A3的坐标为(-4,0).拓展探究突破练13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后的△A1B1C;(2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),画出平移后的△A2B2C2;(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标.解:(1)△A1B1C如图所示.(2)△A2B2C2如图所示.(3)如图所示,旋转中心的坐标为(-1,0).。
沪科版九年级下册数学第24章 圆含答案

沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上的点,弧AD=弧CD,若∠CAB=40°,则∠CAD=()A.30°B.40°C.50°D.25°2、现有两个圆,⊙O1的半径等于篮球的半径,⊙O2的半径等于一个乒乓球的半径,现将两个圆的周长都增加1米,则面积增加较多的圆是()A.⊙O1B.⊙O2C.两圆增加的面积是相同的D.无法确定3、如图,将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE=12,∠B=60°,则点E与点C之间的距离为()A.12B.6C.6D.64、如图,⊙O的半径为2,圆心O在坐标原点,正方形ABCD的边长为2,点A、B在第二象限,点C、D在⊙O上,且点D的坐标为(0,2),现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°,点B运动到了⊙O上点B1处,点A、D分别运动到了点A1、D1处,即得到正方形A1B1C1D1(点C1与C重合);再将正方形A 1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°,点A1运动到了⊙O上点A2处,点D1、C 1分别运动到了点D2、C2处,即得到正方形A2B2C2D2(点B2与B1重合),…,按上述方法旋转2020次后,点A2020的坐标为()A.(0,2)B.(2+ ,﹣1)C.(﹣1﹣,﹣1﹣) D.(1,﹣2﹣)5、若圆的一条弦把圆分成度数比为1:2的两条弧,则优弧所对的圆周角为()A.30°B.60°C.90°D.120°6、在“线段、等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、正方形、平行四边形、圆、等腰梯形”中既是中心对称,又是轴对称的图形有()A.6个B.5个C.4个D.3个7、下列图形中是中心对称图形的是()A. B. C.D.8、如图,一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上,两边分别交⊙O于A,B两点,若⊙O的直径为4,则弦AB长为()A.2B.3C.D.9、如图,将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°,那么图中阴影部分的面积为()A.3B.C.3﹣D.3﹣10、如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠A=70°,则∠C的度数是()A.100°B.110°C.120°D.130°11、某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在五边形各顶点为圆心,2m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是()A.6πm 2B.5πm 2C.4πm 2D.3πm 212、一个钟表的分针长10厘米,某日从14:35到14:55,分针走过了()厘米。
2019春九年级数学下册 第24章 圆章末小结与提升课时作业 (新版)沪科版

圆章末小结与提升{旋转{ 定义性质{ 对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角相等,都等于 旋转角 旋转前、后的图形全等圆{相关概念{弦与直径弧、半圆、优弧、劣弧等圆与等弧基本性质{垂径定理及推论(轴对称性)弧、弦、圆心角之间的关系(旋转不变性)圆周角定理及推论圆内接四边形的性质与圆有关的位置关系{ 点与圆的位置关系{点在圆外点在圆上点在圆内直线和圆的位置关系{相离相切相交(切线的性质与判定)正多边形和圆{相关概念正多边形的计算正多边形的画法弧长和扇形面积{弧长公式、扇形面积公式圆柱和圆锥的侧面积、全面积类型1 旋转的性质及应用1.如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是(C)A.线段AB与线段CD互相垂直B.线段AC与线段CE互相垂直C.点A与点E是两个三角形的对应点D.线段BC与线段DE互相垂直2.如图所示,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;(2)将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN为等腰直角三角形;(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,那么(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.解:(1)∵M为DE的中点,∴DM=EM.∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,∴AM=MN,即M为AN的中点.(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN,又∵DA=AB,∴AB=NE.∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC,∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,∴∠BCN+∠ACB=90°,∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形.(3)成立.证明:由(2)可知AB=NE,BC=CE,∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE.∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+(180°-∠DBE)=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC.∴△ABC≌△NEC,再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形,∴(2)中的结论仍然成立.类型2垂径定理及推论1.如图所示,在☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为(D)A.2√5B.8C.2√10D.2√132.人工浮床又称人工浮岛,自20年前人类开发出第一个人工浮床之后,就将人工浮床应用于地表水体的污染治理和生态修复.近年来,我国的人工浮床技术开发及应用正好处于快速发展时期.如图所示,是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图,其中圆和三块边长为16米的正方形是浮岛框架部分,被分割成的7部分将运用无土技术分别栽培7种不同的水生植物,正方形的顶点A,B,C,D都在圆上,且整个浮床成轴对称图形,求这个圆形人工浮床的半径.解:设过点D的垂线与HF的交点为Q,连接BD交EF于点P,过点P作PO⊥BD交HG于点O,连接OB.在△BEP与△DQP中,{∠E=∠EEE,∠EEE=∠EEE,EE=EE,∴△BEP≌△DQP,∴PB=PD,∴点O为圆心,∵BD=√322+242=40,∴PB=20,∴PE=√20-16=12,∴PH=4,∵∠E=∠BPO=90°,∴∠EBP+∠EPB=∠EPB+∠HPO=90°,∴∠EBP=∠HPO,∴△PBE∽△OPH,∴EEEE =EEEE,∴HO=3,∴OG=13,∴OB=√162+132=5√17,∴这个圆形人工浮床的半径为5√17米.类型3圆周角定理及推论典例1如图,A,B,C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF等于()A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°【解析】连接OB.∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC E AB,又∵OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=AB,∴△AOB为等边三角形,∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠BAF=1∠BOF=15°.2【答案】 B【针对训练】1.⏜,点E是点D关于AB⏜=EE⏜=EE(贺州中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,AB=10,EE∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM 的对称点,M是AB上的一动点,下列结论:①∠BOE=60°;②∠CED=12的最小值是10.上述结论中正确的个数是(C) A.1 B.2 C.3 D.42.⏜的中点,E是EE⏜上的一点,若∠(永州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,D是EECED=40°,则∠ADC=100°.类型4切线的性质与判定典例2如图,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,PB 是☉O 的切线,B 为切点,OP ⊥BC ,垂足为E ,交☉O 于点D ,连接BD.(1)求证:BD 平分∠PBC ;(2)若☉O 的半径为1,PD=3DE ,求OE 及AB 的长. 【解析】(1)连接OB.∵PB 是☉O 的切线,∴OB ⊥PB ,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°, ∵OB=OD ,∴∠OBD=∠ODB , ∵OP ⊥BC ,∴∠BED=90°,∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD , ∴BD 平分∠PBC.(2)作DK ⊥PB 于点K.∵E △EEEE△EEE=12EE ·EE 12EE ·EE =EEEE ,又∵BD 平分∠PBE ,DE ⊥BE ,DK ⊥PB ,∴DK=DE ,∴EE EE =EE EE =13,∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°, ∴∠OBE=∠P ,∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO ∽△PEB , ∴EE EE =EE EE ,∴EE EE =EE EE =13, ∵BO=1,∴OE=13, ∵OE ⊥BC ,∴BE=EC ,∵AO=OC,∴AB=2OE=23.【针对训练】1.(日照中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是(A)A.5√3B.5√2C.5D.522.(永州中考)如图,线段AB为☉O的直径,点C,E在☉O上,EE⏜=EE⏜,CD⊥AB,垂足为D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证:CF=BF;(2)若cos∠ABE=45,在AB的延长线上取一点M,使BM=4,☉O的半径为6.求证:直线CM是☉O 的切线.解:(1)延长CD交☉O于点G.∵CD⊥AB,∴EE⏜=EE⏜,∵EE⏜=EE⏜,∴EE⏜=EE⏜,∴∠CBE=∠GCB,∴CF=BF.(2)连接OC交BE于点H.∵EE⏜=EE⏜,∴OC⊥BE,在Rt△OBH中,cos∠OBH=EEEE =45,∴BH=45×6=245,∴OH=√EE 2-EE =√62-(245)2=185,∵EE EE=1856=35,EE EE=66+4=35,∴EE EE=EEEE, ∵∠HOB=∠COM ,∴△OHB ∽△OCM ,∴∠OCM=∠OHB=90°, ∴OC ⊥CM ,∴直线CM 是☉O 的切线.类型5 正多边形与圆的有关计算1.如图,将正六边形ABCDEF 放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A 的坐标为(-1,0),则点C 的坐标为 (12,-√32) .2.如图,O 是正六边形ABCDEF 的中心,连接BD ,DF ,FB.(1)设△BDF 的面积为S 1,正六边形ABCDEF 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是 S 2=2S 1 ; (2)△ABF 通过旋转可与△CDB 重合,请指出旋转中心和最小旋转角的度数. 解:(1)S 2=2S 1.提示:连接OD,OF,OB.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴△BDF是正三角形,易知△ABF,△BDC,△DEF,△DOF,△BOF,△BOD都是全等的,∴S2=2S1.(2)旋转中心是O,最小旋转角是120°.类型6弧长、扇形面积及圆锥侧面积典例3如图,AB是☉O的直径,E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为()A.√3B.2√3D.1C.√32【解析】如图,连接AE,OD,OE,∵AB是直径,∴∠AEB=90°,又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°,∴∠AOD=2∠AED=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠OAD=60°,∵E为BC的中点,∠AEB=90°,∴AB=AC,∴△ABC是等边三角形,边长是4,△EDC是等边三角形,边长是2,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴EE⏜和弦DE围成部分的面积,∴阴影部⏜和弦BE围成部分的面积等于EE×22=√3.分的面积=S△EDC=√34【答案】 A【针对训练】1.如图,半径为1的圆O 与正五边形ABCDE 相切于点A ,C ,则劣弧AC 的长度为 (B )A.35πB.45πC.34πD.23π2.(长春中考)如图,在△ABC 中,∠BAC=100°,AB=AC=4,以点B 为圆心,BA 长为半径作圆弧,交BC 于点D ,则EE ⏜的长为8π9.(结果保留π)。
[k12精品]2019春九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质课时作业新版沪科版
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24.2圆的基本性质第1课时圆的有关概念及点与圆的位置关系知识要点基础练知识点1圆的定义1.战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径.2.以2 cm的长为半径作圆,能作无数个圆.知识点2点与圆的位置关系3.(教材改编)如图,已知矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,若以A为圆心、AC长为半径画☉A,则点D与☉A的位置关系为(C)A.点D在☉A上B.点D在☉A外C.点D在☉A内D.无法判断4.☉O的直径为10 cm,当OP= 5 cm时,点P在圆上;当OP<5 cm时,点P在圆内;当OP=7 cm时,点P在圆外.【变式拓展】如图,数轴上有A,B,C三点,点A,C关于点B对称,以原点O为圆心作圆,若点A,B,C分别在☉O外、☉O内、☉O上,则原点O的位置应该在(C)A.点A与点B之间靠近A点B.点A与点B之间靠近B点C.点B与点C之间靠近B点D.点B与点C之间靠近C点知识点3圆的有关概念5.如图所示圆规,点A是铁尖的端点,点B是铅笔芯尖的端点,已知点A与点B的距离是2 cm,若铁尖的端点A固定,铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周,则作出的圆的直径是(C)A.1 cmB.2 cmC.4 cmD.π cm6.下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③过圆内一点有无数多条弦,这些弦都相等;④直径是圆中最长的弦.其中正确的有(C)A.4个B.3个C.2个D.1个7.如图所示,下列说法:①是优弧;②是优弧;③由A,O,C,B四点所围成的图形是弓形;④弦AB所对的弧是劣弧.其中正确的有(A)A.0个B.1个C.2个D.3个综合能力提升练8.下列说法正确的是(C)A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径9.圆内最长的弦的长为30 cm,则圆的半径为15cm.10.一个点到圆的最大距离是12 cm,到圆的最小距离是4 cm,则该圆的半径是 4 cm或8 cm.11.如图,AB=3 cm,用图形表示到点A的距离小于2 cm,且到点B的距离不小于2 cm的所有点的集合.(用阴影表示,注意边界上的点是否在集合中,如果在,用实线表示;如果不在,则用虚线表示)解:到点A的距离小于2 cm,且到点B的距离不小于2 cm的所有点的集合如图所示.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,以点A为圆心,以r为半径画☉A,根据下列条件求r.(1)若点D在☉A上,求r的值;(2)若点B在☉A内,点C在☉A外,求r的取值范围;(3)若点B,C,D都在☉A内,求r的取值范围.解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=12,∵点D在☉A上,∴r=12.(2)连接AC.由勾股定理得AC=13,根据题意,得5<r<13.(3)根据题意,得r>13.13.如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作☉C,半径为r.(1)当r取何值时,点A,B在☉C外;(2)当r在什么范围时,点A在☉C内,点B在☉C外.解:(1)当0<r<3时,点A,B在☉C外.(2)当3<r<4时,点A在☉C内,点B在☉C外.14.如图,AB是圆O的直径,D是圆上的一点,∠DOB=75°,DC交BA的延长线于点E,交圆于点C,且CE=AO,求∠E的度数.解:连接OC,∵CE=AO,而OA=OC,∴OC=EC,∴∠E=∠AOC,∴∠DCO=∠E+∠AOC=2∠E,∵OC=OD,∴∠D=∠DCO=2∠E,∵∠BOD=∠E+∠D,∴∠E+2∠E=75°,∴∠E=25°.15.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=5,BC=8,CD=6,AD=5.试判断点A,B,C,D是否在同一个圆上,并证明你的结论.解:点A,B,C,D在同一个圆上.理由:连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC.∵∠BAD=90°,AB=5,AD=5,∴BD2=AB2+AD2=(5)2+52=100,又∵BC=8,CD=6,∴BC2+CD2=BD2,∴∠BCD=90°.∵点O是BD的中点,∴OA=OB=OD=OC,∴点A,B,C,D在同一个圆上.拓展探究突破练16.如图,有两条公路OM,ON相交成30°,沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A 处有一所希望小学,当拖拉机沿ON方向行驶时,路两旁50米内会受到噪音影响,已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶,它们的速度均为5米/秒,问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少?解:如图,过点A作AC⊥ON,因为∠MON=30°,OA=80,所以AC=40,当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响,此时AB=50,由勾股定理,得BC=30,第一台拖拉机到D点时噪音消失,所以CD=30.由于两台拖拉机相距30米,则第一台到D点时第二台在C点,还需前行30米才对学校没有噪音影响.所以影响时间应是90÷5=18.答:这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒.第2课时垂径分弦知识要点基础练知识点1圆的对称性1.圆是轴对称图形,它有无数条对称轴,圆还是中心对称图形,它的对称中心是圆心.2.如图,CD是☉O的一条弦,作直径AB,使CD⊥AB,垂足为E.它是轴对称图形,它的对称轴是直线AB.知识点2垂径定理及其推论3.(教材改编)如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是(B)A.CE=DEB.AE=OEC. D.△OCE≌△ODE4.(教材改编)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点,AB=10 cm,CD=6 cm,则AC长为2 cm.知识点3垂径定理的实际应用5.(教材改编)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300 m,CD=50 m,则这段弯路的半径是250 m.综合能力提升练6.如图,☉O的直径CD过弦AB的中点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为(B)A.9B.8C.6D.47.如图,☉O的弦AB,AC的夹角为50°,M,N分别是的中点,则∠MON的度数是(D)A.100°B.110°C.120°D.130°【变式拓展】如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6 cm,则直径AB的长是(D)A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.4 cm8.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为(C)A. B.2C.2D.89.(乐山中考)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(B)A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,则蔬菜大棚的高度CD=4m.11.(烟台中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-1,-2).12.如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24 cm,CD=8 cm.(1)求作此残片所在的圆心;(不写作法,保留作图痕迹)(2)求(1)中所作圆的半径.解:(1)如图,作弦BC的垂直平分线与弦AC的垂直平分线交于O点,则O点即为此残片所在的圆心.(2)连接OA,设OA=x,AD=12 cm,OD=(x-8) cm,由勾股定理,得x2=122+(x-8)2,解得x=13,即圆的半径为13 cm.13.如图,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.解:连接OA,作直径MN⊥弦AB,交AB于点D,由垂径定理,得AD=DB=AB=4.又∵☉O的直径为10,∴OA=5.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD==3.∵垂线段最短,半径最长,∴OP的长度范围是3≤OP≤5.拓展探究突破练14.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.6 m.(1)求排水管内水的深度;(2)当水面的宽MN为0.8 m时,此时水面上升了多少米?解:(1)作半径OC⊥AB,垂足为D,交弧AB于点C,连接OA,则CD即为弓形高,∵OC⊥AB,∴AD=AB,∵AO=0.5,AB=0.6,∴AD=AB=0.3,∴OD==0.4,∴CD=OC-OD=0.5-0.4=0.1,即排水管内水的深度为0.1米.(2)当水位上升到水面宽MN为0.8米时,直线OC与MN相交于点P,同理可得OP=0.3,当MN与AB在圆心同侧时,水面上升的高度为0.1米;当MN与AB在圆心异侧时,水面上升的高度为0.7米.第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识要点基础练知识点1圆心角1.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,若∠C=55°,则圆心角∠COB的度数是(C)A.55°B.100°C.110°D.130°2.圆的一条弦分圆周为3∶6两部分,则其中劣弧所对的圆心角度数为120°.【变式拓展】已知AB是☉O的弦,若AB与☉O的半径相等,则圆心角∠AOB= 60°.知识点2圆心角、弧、弦、弦心距间的关系3.(教材改编)若正方形ABCD四个顶点都在☉O上,则边AB所对的圆心角的度数是(B)A.45°B.90°C.120°D.135°【变式拓展】如图,点A,B,C都在☉O上,∠AOB=∠BOC=∠COA,则△ABC的形状是(D)A.不等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4.如图,在☉O中,弦AB=CD,请写出图中两组相等的角:本题答案不唯一,如:∠AOB=∠COD,∠A=∠B=∠C=∠D,∠AOC=∠BOD等.5.(教材改编)如图,AB是☉O的直径,若OD∥AC,求证:D是的中点.解:连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠OAC,∠COD=∠OCA,∴∠BOD=∠COD,∴,即D是的中点.综合能力提升练6.已知☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对圆心角的度数是(B)A.60°B.120°C.90°D.60°或120°7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于(A)A.5B.5C.5D.68.如图,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别为∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD 互补,弦CD=6,则弦AB的弦心距为(A)A.3B.6C.8D.59.(毕节中考)如图,AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,∠ACE的度数为30°.10.在△ABC中,∠A=70°,☉O截△ABC的三边,所截得的弦相等,则∠BOC=125°.11.如图,点P在☉O上,PA,PB是☉O的弦,连接OP.若OP平分∠APB,求证:PA=PB.证明:过点O作OM⊥PA于点M,ON⊥PB于点N,∵OP平分∠APB,∴OM=ON,∴PA=PB.12.如图所示,M,N分别是☉O的弦AB,CD的中点,AB=CD.求证:∠AMN=∠CNM.证明:连接OM,ON,∵O为圆心,M,N分别为弦AB,CD的中点,∴OM⊥AB,ON⊥CD,∵AB=CD,∴OM=ON,∴∠OMN=∠ONM,∵∠AMN=90°-∠OMN,∠CNM=90°-∠ONM,∴∠AMN=∠CNM.13.(1)如图,A,B,C,D,E都在☉O上,且AB=BC=CD=DE=AE.求∠AOB的度数.(2)受(1)的启发,你能将一个圆四等分,六等分吗?解:(1)连接OC,OD,OE,∵AB=BC=CD=DE=AE,∴.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA,∴∠AOB==72°.(2)四等分时,作90°的圆心角;六等分时,作60°的圆心角.14.如图,AB是☉O的直径,C,D是AB上的两个动点(不与点A,B重合),过点C,D分别作与AB 垂直的弦EF,MN.(1)若AC=BD,求证:EF=MN.(2)若C,D分别是OA,OB的中点,则是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说出之间的关系.解:连接OE,OM.(1)∵OA=OB,AC=BD,∴OC=OD,∵EF⊥AB,MN⊥AB,∴EF=MN.(2).理由:在Rt△OEC中,∵C是OA的中点,∴cos∠AOE=,∴∠AOE=60°,同理∠MOB=60°,∴∠EOM=180°-∠AOE-∠MOB=180°-60°-60°=60°,∴∠AOE=∠EOM=∠MOB,∴.拓展探究突破练15.如图1,PC是☉O的直径,PA与PB是弦,且∠APC=∠BPC.(1)求证:PA=PB.(2)如果点P由圆上运动到圆外,PC过圆心.如图2,是否仍有PA=PB?为什么?(3)如图3,如果点P由圆上运动到圆内,PC过圆心,如图3,是否仍有PA=PB?(直接写出结论,不必说明理由)解:(1)作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F,∴∠OEP=∠OFP=90°.在△POE和△POF中,∴△POE≌△POF,∴PE=PF.又∵PE=PA,PF=PB,∴PA=PB.(2)作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F,∴∠OEP=∠OFP=90°,在△POE和△POF中,∴△POE≌△POF,∴OE=OF,PE=PF,∴AE=BF,∴PA=PB.(3)仍有PA=PB.第4课时圆的确定知识要点基础练知识点1确定圆的条件1.过两点画圆,可以画(D)A.0个B.1个C.2个D.无数个2.下列条件,可以画出圆的是(C)A.已知圆心B.已知半径C.已知不在同一直线上的三点D.已知直径知识点2三角形的外接圆及有关概念3.如图,☉O是△ABC的外接圆,则点O是△ABC的(B)A.三条高线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三角形三内角角平分线的交点4.如图,将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是(A)A. B. C.2 D.5.直角三角形的斜边为l,则它的外接圆面积是πl2.知识点3反证法6.用反证法证明命题:如果AB⊥CD,AB⊥EF,那么CD∥EF,证明的第一个步骤是(C)A.假设CD∥EFB.假设AB∥EFC.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行【变式拓展】用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是(D)A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆心上D.点在圆上或圆内综合能力提升练7.下列说法正确的是(D)A.半圆是弧,弧也是半圆B.三点确定一个圆C.平分弦的直径垂直于弦D.直径是同一圆中最长的弦8.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是(A)A.①B.②C.③D.④9.如图,已知平面直角坐标系内三点A(3,0),B(5,0),C(0,4),☉P经过点A,B,C,则点P的坐标为(C)A.(6,8)B.(4,5)C.(4,)D.(4,)10.如图,等边△ABC的外接圆的半径为2,则图中阴影部分的面积是4π-3.(结果用含π的式子表示)11.用反证法证明“三角形三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°”.已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个内角小于或等于60°.证明:假设求证的结论不成立,那么三角形中所有角都大于60°.∴∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形内角和为180°相矛盾.∴假设不成立.∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60°.12.如图,为丰富A,B,C三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院M,使它到三个小区的距离相等,试确定M的位置.(用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹)答案图解:如图.13.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.解:(1)∵AD为直径,AD⊥BC,∴,∴BD=CD.(2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.理由:由(1)知,∴∠BAD=∠CBD,又∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE.∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE.由(1)知BD=CD,∴DB=DE=DC.∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.14.下面的解题过程对不对?如果不对,如何改正?题目:△ABC内接于圆,且AB=AC=5,圆心到BC的距离为1,求☉O的半径.解答:如图,过点A作AD⊥BC于点D,AD过圆心O,连接OB.设OB=OA=r.在Rt△ABD中,有BD2+AD2=AB2,即BD2+(r+1)2=52,①在Rt△BOD中,有BD2+OD2=OB2,即BD2+12=r2,②由①②可得r=.解:错误.有两种情况,①当△ABC为锐角三角形时,如文中解题过程,得r=.②当△ABC为钝角三角形时,圆心O不在△ABC内,则有BD2+(r-1)2=52,BD2+12=r2,得r=,故☉O的半径为.拓展探究突破练15.某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象(如图所示△ABC即是),公司领导让工人师傅做一个圆形广告牌,将破损面全部覆盖住,工人师傅量得∠B=45°,∠C=30°,BC=4 m.为使所做广告牌最小,工人师傅给出两种方案:(1)作△ABC的外接圆;(2)以BC为直径作圆.问:哪个方案中的圆面积最小?是多少?解:作△ABC的外接圆☉O和以BC为直径的☉P.k12精品K12精品文档学习用方案(2)中圆的面积较小,理由:∵∠ABC=45°,∠ACB=30°,∴∠BAC=180°-(45°+30°)=105°.∵∠BAC≠90°,∴△ABC的外接圆☉O的直径大于BC的长.∵☉P的直径为BC,☉O的直径大于BC的长,∴☉P的面积小于☉O的面积.∵☉P的半径为BP,∴S=BP2π.∵BC=4,∴BP=2,∴S=4π.∴圆的最小面积是4π m2.。
沪教课标版九年级下册数学:本章小结

注意:矩形、菱形、正方形都是中心对称图形, 这些图形同时还是轴对称图形,他们的对称轴 的交点就是对称中心,注意:平行四边形是中 心对称图形,但是它不是轴对称图形。
二.圆的概念及基本性质:
1.圆的定义:在平面内,线段OP绕着它固定的一 个端点O旋转一周,则另一个端点P所形成的封闭 曲线叫做圆
2.圆也可以看作是到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形。
∵直线a是⊙O的切线,
O.
切点为A
A
∟
a ∴ OA⊥a
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切 线长相等;这点与圆心的连线平分这两条切 线的夹角。
.A
.O
.
B
∵PA、PB为⊙O的切线
P ∴PA=PB, ∠APO= ∠BPO
三角形的外接圆与内切圆:
A A
O
B
O
CB
C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点. 不在同一直线上的三点确定一个圆.
1、在平面内,一个图形△ABC 绕着一个定点O,旋转一定的 角度θ,得到另一个图形 △A'B'C'的变换,叫着旋转。 定点O叫着旋转中心,θ叫着 旋转角,原图形上的一点A旋 转后成为点A',这样的两个点叫 着对应点。
2、在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定
的角度θ(0︒< θ <360︒)后,能够与原图
P
D
︵ 径,CD⊥AB于P ︵ ︵ ︵ B ∴AP=BP, AD = BD
AC = BC
4.圆周角:
定义:顶点在圆周上,两边和圆相交的 角,叫做圆周角. 性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆 周角等于它所对的圆心角的一半.
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圆
章末小结与提升
类型1旋转的性质及应用
1.
如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是
(C)
A.线段AB与线段CD互相垂直
B.线段AC与线段CE互相垂直
C.点A与点E是两个三角形的对应点
D.线段BC与线段DE互相垂直
2.如图所示,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;
(2)将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,那么(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
解:(1)∵M为DE的中点,∴DM=EM.
∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,
又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,
∴AM=MN,即M为AN的中点.
(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN,
又∵DA=AB,∴AB=NE.
∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC,
∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,
∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,
∴∠BCN+∠ACB=90°,
∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形.
(3)成立.
证明:由(2)可知AB=NE,BC=CE,
∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE.
∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,
又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+(180°-∠DBE)=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC.
∴△ABC≌△NEC,再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形,
∴(2)中的结论仍然成立.
类型2垂径定理及推论
1.
如图所示,在☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为(D)
A.2
B.8
C.2
D.2
2.人工浮床又称人工浮岛,自20年前人类开发出第一个人工浮床之后,就将人工浮床应用于地表水体的污染治理和生态修复.近年来,我国的人工浮床技术开发及应用正好处于快速发展时期.如图所示,是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图,其中圆和三块边长为16米的正方形是浮岛框架部分,被分割成的7
部分将运用无土技术分别栽培7种不同的水生植物,正方形的顶点A,B,C,D都在圆上,且整个浮床成轴对称图形,求这个圆形人工浮床的半径.
解:设过点D的垂线与HF的交点为Q,连接BD交EF于点P,过点P作PO⊥BD交HG于点O,连接OB.在△BEP与△DQP中,
∴△BEP≌△DQP,
∴PB=PD,∴点O为圆心,∵BD==40,∴PB=20,∴PE==12,∴PH=4,∵∠E=∠BPO=90°,∴∠EBP+∠EPB=∠EPB+∠HPO=90°,∴∠EBP=∠HPO,
∴△PBE∽△OPH,∴,∴HO=3,
∴OG=13,
∴OB==5,
∴这个圆形人工浮床的半径为5米.
类型3圆周角定理及推论
典例1
如图,A,B,C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF 等于()
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
【解析】连接OB.∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC AB,又∵OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=AB,∴△AOB为等边三角形,∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠
BAF=∠BOF=15°.
【答案】 B
【针对训练】
1.
(贺州中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,AB=10,,点E是点D关于AB的对称
点,M是AB上的一动点,下列结论:①∠BOE=60°;②∠CED=∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10.上述结论中正确的个数是(C)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.
(永州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,D是的中点,E是上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC=100°.
类型4切线的性质与判定
典例2如图,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,
PB是☉O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交☉O于点D,连接BD.
(1)求证:BD平分∠PBC;
(2)若☉O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.
【解析】(1)连接OB.∵PB是☉O的切线,
∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,
∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,
∴BD平分∠PBC.
(2)作DK⊥PB于点K.
∵,
又∵BD平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,
∴DK=DE,∴,
∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°,
∴∠OBE=∠P,
∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB,
∴,∴,
∵BO=1,∴OE=,
∵OE⊥BC,∴BE=EC,
∵AO=OC,∴AB=2OE=.
【针对训练】
1.(日照中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是(A)
A.5
B.5
C.5
D.
2.(永州中考)如图,线段AB为☉O的直径,点C,E在☉O上,,CD⊥AB,垂足为D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若cos∠ABE=,在AB的延长线上取一点M,使BM=4,☉O的半径为6.求证:直线CM是☉O 的切线.
解:(1)延长CD交☉O于点G.
∵CD⊥AB,∴,
∵,∴,
∴∠CBE=∠GCB,
∴CF=BF.
(2)连接OC交BE于点H.
∵,∴OC⊥BE,
在Rt△OBH中,cos∠OBH=,
∴BH=×6=,
∴OH=,
∵,∴,
∵∠HOB=∠COM,
∴△OHB∽△OCM,∴∠OCM=∠OHB=90°,
∴OC⊥CM,
∴直线CM是☉O的切线.
类型5正多边形与圆的有关计算
1.如图,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐标为(-1,0),则点C的坐标为.
2.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,连接BD,DF,FB.
(1)设△BDF的面积为S1,正六边形ABCDEF的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S2=2S1;
(2)△ABF通过旋转可与△CDB重合,请指出旋转中心和最小旋转角的度数.
解:(1)S2=2S1.
提示:连接OD,OF,OB.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴△BDF是正三角形,
易知△ABF,△BDC,△DEF,△DOF,△BOF,△BOD都是全等的,∴S2=2S1.
(2)旋转中心是O,最小旋转角是120°.
类型6弧长、扇形面积及圆锥侧面积
典例3
如图,AB是☉O的直径,E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为()
A. B.2
C. D.1
【解析】如图,连接AE,OD,OE,∵AB是直径,∴∠AEB=90°,又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°,∴∠AOD=2∠AED=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠OAD=60°,∵E为BC的中点,∠AEB=90°,∴AB=AC,∴△ABC是等边三角形,边长是4,△EDC是等边三角形,边长是2,
∴∠BOE=∠EOD=60°,∴和弦BE围成部分的面积等于和弦DE围成部分的面积,∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=.
【答案】 A
【针对训练】
1.
如图,半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A,C,则劣弧AC的长度为(B)
A.π
B.π
C.π
D.π
2.(长春中考)如图,在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC=4,以点B为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D,则的长为.(结果保留π)
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