2019春九年级数学下册 第24章 圆章末小结与提升课时作业 (新版)沪科版

圆

章末小结与提升

类型1旋转的性质及应用

1.

如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是

(C)

A.线段AB与线段CD互相垂直

B.线段AC与线段CE互相垂直

C.点A与点E是两个三角形的对应点

D.线段BC与线段DE互相垂直

2.如图所示,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.

(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;

(2)将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN为等腰直角三角形;

(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,那么(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

解:(1)∵M为DE的中点,∴DM=EM.

∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,

又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,

∴AM=MN,即M为AN的中点.

(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN,

又∵DA=AB,∴AB=NE.

∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC,

∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,

∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,

∴∠BCN+∠ACB=90°,

∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形.

(3)成立.

证明:由(2)可知AB=NE,BC=CE,

∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE.

∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,

又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+(180°-∠DBE)=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC.

∴△ABC≌△NEC,再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形,

∴(2)中的结论仍然成立.

类型2垂径定理及推论

1.

如图所示,在☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为(D)

A.2

B.8

C.2

D.2

2.人工浮床又称人工浮岛,自20年前人类开发出第一个人工浮床之后,就将人工浮床应用于地表水体的污染治理和生态修复.近年来,我国的人工浮床技术开发及应用正好处于快速发展时期.如图所示,是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图,其中圆和三块边长为16米的正方形是浮岛框架部分,被分割成的7

部分将运用无土技术分别栽培7种不同的水生植物,正方形的顶点A,B,C,D都在圆上,且整个浮床成轴对称图形,求这个圆形人工浮床的半径.

解:设过点D的垂线与HF的交点为Q,连接BD交EF于点P,过点P作PO⊥BD交HG于点O,连接OB.在△BEP与△DQP中,

∴△BEP≌△DQP,

∴PB=PD,∴点O为圆心,∵BD==40,∴PB=20,∴PE==12,∴PH=4,∵∠E=∠BPO=90°,∴∠EBP+∠EPB=∠EPB+∠HPO=90°,∴∠EBP=∠HPO,

∴△PBE∽△OPH,∴,∴HO=3,

∴OG=13,

∴OB==5,

∴这个圆形人工浮床的半径为5米.

类型3圆周角定理及推论

典例1

如图,A,B,C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF 等于()

A.12.5°

B.15°

C.20°

D.22.5°

【解析】连接OB.∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC AB,又∵OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=AB,∴△AOB为等边三角形,∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠

BAF=∠BOF=15°.

【答案】 B

【针对训练】

1.

(贺州中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,AB=10,,点E是点D关于AB的对称

点,M是AB上的一动点,下列结论:①∠BOE=60°;②∠CED=∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10.上述结论中正确的个数是(C)

A.1

B.2

C.3

D.4

2.

(永州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,D是的中点,E是上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC=100°.

类型4切线的性质与判定

典例2如图,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,

PB是☉O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交☉O于点D,连接BD.

(1)求证:BD平分∠PBC;

(2)若☉O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.

【解析】(1)连接OB.∵PB是☉O的切线,

∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,

∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,

∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,

∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,

∴BD平分∠PBC.

(2)作DK⊥PB于点K.

∵,

又∵BD平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,

∴DK=DE,∴,

∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°,

∴∠OBE=∠P,

∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB,

∴,∴,

∵BO=1,∴OE=,