湖南省长沙市长郡中学2020届高三上学期第5次月考数学(文)试题Word版含答案
2020届长郡中学高三第5次月考试卷-
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湖南省长沙市长郡中学2020届高三月考(一)数学(文)试题附全解全析
炎德·英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）得分：______本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.★1.复数20191i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ） A.1B.1-C.i -D.i 2.已知集合{}07Ux x =∈<<N ，{}2,5A =，{}1,3,5B =，则()U A B =（ ） A.{}1,3,5,6 B.{}1,5C.{}2,5D.{}1,3 ★3.三个数6log 7，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）A.660.70.7log 7log 6<<B.60.76log 60.7log 7<<C.60.76log 6log 70.7<<D.60.760.7log 6log 7<<4.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ） A.2214x y -= B.2214y x -= C.2214y x -= D.2214x y -= 5.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ）A.在α内存在直线与直线l 异面B.在α内存在直线与直线l 相交C.在α内存在直线与直线l 平行D.存在过直线l 的平面与α平行6.A4纸是生活中最常见的纸张规格，A 系列的纸张规格特色在于：①A0、A 1、A2、…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同.②在A 系列纸张中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A2，依次类推，这是因为A ，这一特殊比例，所以具备这种特性，已知A0纸规格为84.1厘米118.9⨯厘米.118.984.1 1.41÷≈≈，那么A4纸的长度．．为（ ） A.14.8厘米B.21.0厘米C.29.7厘米D.42.0厘米★7.函数()sin 2f x x x x =-的大致图象是（ ）A. B.C. D.8.若非零向量a ，b 满足a b =，()20a b b +⋅=，则a ，b 的夹角为（ ）A.6πB.3πC.56πD.23π 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，1132n n n S S ---=⋅（2n ≥），则5S =（ ）A.324B.93C.144D.4510.如图所示，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）A.4πB.12πC.14π-D.112π- ★11.设P ，Q 分别为圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ）A.。
炎德英才大联考2020届长郡中学高三月考文数(试题)
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长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题(原卷版)
英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A.()2,3− B.(),3−∞ C.()2,2− D.()0,2（2022.广州二模）2.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.12xy =B.2yx x =−C.1y x =− D.1y x x=−3.已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A.1086B.1229C.980D.10604.2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）A.5%B.3%C.2%D.1%（2022.苏北七市三模） 5.函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（）的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的。
湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学上学期第五次调研考试试题 文(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学上学期第五次调研考试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知实数a满足，且，则A．2＋i B．-2＋i C．2-i D ．-2-i2．设集合，，则A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]3．“函数在区间上单调递增”是“”的A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数的图象过定点P，且角的终边过点P，始边与x轴的正半轴重合，则的值为A ．B ．C ． D．5．数列满足点在直线上，则前5项和为A． B． C． D．6．设点为坐标原点，点E（1，k），点P（x，y）满足，若目标函数的最大值为10．则实数k＝A．2 B．5 C． D ．7．我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，“物不知数”问题，原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．这类问题可以用计算机解决．记N r （MOD m），即正整数N除以正整数m 的余数为r，例如102（MOD 4）．执行如图所示的程序框图，则输出的i等于A．6 B ．5 C．8 D．78．已知命题为奇函数；命题，则下面结论正确的是A．是真命题 B．是真命题C．是假命题 D．是假命题9．已知抛物线上一点M（4，y0）（y0＞0）到焦点F的距离为5，直线l 过点N（-1，0），且l⊥OM，则直线l与抛物线C的交点个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个10．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有成立，当取最小值时A．在上是增函数 B．在上是增函数C．在上是减函数 D．在上是减函数11．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则的最大值A ．B ．C ．D ．12．对于任意的，关于x的方程在上有三个根，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ． D．二、填空题13．已知三棱锥A－BCD的四个顶点都在同一个球的球面上，AB＝，BC＝3，AC＝2，若三棱锥A－BCD体积的最大值为，则此球的表面积为____．14．设是函数的一个极值点，则____．15．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线C上一点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线交于点Q，P、Q均位于第一象限，且P为QF2的中点，则双曲线C的离心率为____．16．已知直线与曲线至少有一个公共点，则的取值范围是____．三、解答题17．已知正项数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前n项和为T n，求证：．18．如图，在多面体ABCPE中，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC，2PE＝BC，M是线段AE 的中点，N 是线段PA上一点，且满足AN ＝AP（0＜＜1）．（Ⅰ）若，求证：MN⊥PC；（Ⅱ）是否存在，使得三棱锥M－ACN与三棱锥B－ACP 的体积比为1：12？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i（百万元）和相应的销售额y i（百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：，，，，，，，其中，i＝1，2，3，4，5．（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入220万元时的月销售额．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20．已知点F（2，0），动点P满足：点P到直线x＝－1的距离比其到点F的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过F作直线l垂直于x轴与曲线C交于A、B两点，Q是曲线C上异于A、B的一点，设曲线C在点A、B、Q处的切线分别为l1、l2、l3，切线l1、l2交于点R，切线l1、l3交于点S，切线l2、l3交于点T，若RST的面积为6，求Q点的横坐标．21．已知函数，其中a∈R ．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，设、为曲线上任意两点，曲线在点处的切线斜率为k，证明：．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求的最值．2020届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第五次调研考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先利用复数相等得到，再利用复数的除法得到.【详解】因为，故.又，故选C.【点睛】本题考查复数相等的条件及复数概念，属于基础题.2．A【解析】【分析】算出两个集合后可求它们的交集.【详解】，，故，故选A.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3．B【解析】【分析】考虑函数在上为单调递增时实数的取值范围后可得两者的关系.【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.4．C【解析】【分析】先求出的坐标，再求出，最后利用倍角公式求出后可得.【详解】因为的图像过定点，所以，故，，故选C.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化或者诱导公式，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.5．A【解析】【分析】根据点在直线上可以得到，从而得到，故为等比数列，根据公式可求.【详解】因为在直线上，所以，故，所以当时，有即，又，故，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，，选A.【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.6．C【解析】【分析】目标函数为，画出不等式组对应的可行域，分两种情形结合目标函数最值讨论动直线的位置可得实数的值.【详解】由题设，有，不等式组对应的可行域如图所示：其中，，，.当时，动直线过时有有最大值，且最大值为，故.当时，动直线过或时有最大值，过前者，则最大值为，不合题意；若为后者，，舍去.综上，，选C.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．7．C【解析】【分析】流程图的作用是求最小的正整数，满足除以的余数分别为．【详解】流程图是求最小的正整数，满足除以的余数分别为．除以余数为的正整数依次为，其中第一个除以余数分别为的正整数为，是第8个整数，故的输出值为，选C．【点睛】本题考查流程图，要求能从流程图中看出能其作用并给出输出值，属于基础题．8．B【解析】【分析】先判断命题都是真命题，故可得正确选项．【详解】对于，的定义域为，，进一步化简得到，故为奇函数，故为真命题．对于，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，，，因为，故，即．故为真命题，综上，为真命题，选B．【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假必假”，的真假判断是“真假相反”．9．B【解析】【分析】利用焦半径公式计算出后可得的坐标和抛物线的方程，再计算出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程利用判别式可得它们交点的个数．【详解】，所以，又，故，直线．由可得，解得，故直线与抛物线只有一个交点．选B．【点睛】一般地，抛物线上的点到焦点的距离为；抛物线上的点到焦点的距离为.直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方程和抛物线方程结合判别式来讨论.10．B【解析】【分析】根据函数的零点和对称轴得到的值，再根据恒成立可以得到的表达式，求出的最小值后再求函数的单调区间可得正确的选项.【详解】因为为函数的零点，故.因为是图像的对称轴，故，故，.因，故或者，所以或者， .因恒成立，故，若，故，所以，故；若，则，所以，故；所以，令，，故，所以在上为增函数，故选B.【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.11．D【解析】【分析】设的外接圆的圆心为，则，故，计算的最大值可求的最大值.【详解】设的外接圆的圆心为，则圆的半径为，，故.，故，当共线同向时取最大值.选D.【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外，在三角形中，如果为三角形的重心，则.12．A【解析】【分析】原方程可以化成，取，，利用导数研究两个函数的单调性、极值和最值可得实数的取值范围.【详解】原方程可以化成，取，.，当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数；当时，，故在上为增函数；，，，，故，在上为增函数.因为关于的方程在有三个不同的实数根，故，故，解答，故选A.【点睛】复杂方程的解的问题，应结合方程的特点将已知方程转化为熟悉函数对应的方程，再把方程解的特征转化为函数应该具有的特征，最后利用导数研究函数的单调性、极值等结合函数特征得到参数的取值范围，13．16【解析】【分析】为直角三角形，设球的半径为，体积最大时，到的距离为，利用体积的最大值计算出后可得球的表面积．【详解】为直角三角形，设球的半径为，球心为，的中点为，则平面，因平面，故．三棱锥的最大体积为，解得，故球的表面积为，填．【点睛】几何体的外接球的问题，关键是确定出球心的位置和球的半径，后者的计算需要把直径或半径放置在可解的三角形中．14．【解析】【分析】利用可得的值，从而得打的值．【详解】因为为的极值点，故即，所以，故，填．【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且．15．【解析】【分析】的坐标为，从而，代入双曲线方程后可得离心率．【详解】双曲线的一条渐近线的方程为，设其倾斜角为，右焦点，则，故．又，故，所以，代入双曲线方程有，从而．填．【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．16．【解析】【分析】直线过定点，曲线如图所示，计算出动直线与曲线在第二象限内的圆弧相切以及动直线与第一象限内、第四象限内的圆相切时对应的斜率可得的取值范围．【详解】直线过定点，曲线如图所示：其中，各圆弧所在圆的半径为，设过的动直线为即，考虑动直线与第二象限的曲线相切时有，解得或（舎）过曲线在第一象限内的圆弧所在的圆心作的平行线，与曲线在第一象限内的交点为，则，故直线分别与曲线在第一象限、第四象限内的圆弧相切，故当动直线与曲线至少有一个公共点时，若斜率存在（），则即，也就是；若斜率不存在，则．综上，，故填．【点睛】动直线中含有两个参数，因为两个参数是齐次的，故而可判断动直线过定点．曲线的方程具有这样的特点：若在曲线上，则也在曲线上，故曲线关于轴对称、关于轴对称、关于原点对称，故而可准确刻画曲线的形状．17．（Ⅰ）通项公式为；（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（1）用数学归纳法可求的通项．（2）由（1）可得，利用基本不等式可以证明，从而可证．【详解】（1），，，从而猜测：，下面用数学归纳法证明：当时，有；设当时，有，则当时，有，所以当时，有；由数学归纳法可知，．（2），由基本不等式有，所以，所以，故．【点睛】求数列的通项的基本方法有累加法、累乘法、配凑法等，每一种方法都有对应的递推关系，如用累加法，用累乘法．也可以利用数学归纳法求通项（先猜后证）．数列不等式的证明，可先求和再对和进行估计，如果不能求和，则需要对通项进行放缩，使得得到的新数列的前和易求且易估计．18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，；．【解析】【分析】（1）利用平面平面得到平面，从而得到，根据为中位线得到，故．（2）到平面的距离与到平面的距离之比为，因此到平面的距离与到平面的距离之比为，只需要就有，此时，故可得的值．【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，，故平面．因平面中，故．在中，由可以得到，而，所以，故．（2）当时，有．因为，所以．设到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，由为中点可得，又由可得，故，所以．【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.不同三棱锥的体积关系可考虑它们的底面面积之比和高之比，注意选择共面的几何图形计算面积之比，选择共线的点计算高之比.19．（Ⅰ）更适宜作为月销售额关于月广告投入的回归方程；（Ⅱ）月广告投入万元时的月销售额为万元．【解析】【分析】（1）根据散点图选择作为回归方程．（2）利用公式及所给数据计算回归方程后可估计月销售额．【详解】（1）根据散点图选择作为回归方程．（2）令，则，，故回归方程为，当月广告投入为万元时，月销售额为（万元）．答：选择作为回归方程，当月广告投入为万元时，月销售额约（万元）．【点睛】回归分析中，回归方程类型的确定是关键，应根据散点图的特征选择合适的拟合函数（要熟悉常见函数的图像）．20．（Ⅰ）直线的普通方程为，轨迹C的方程为；（Ⅱ）点的横坐标为．【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求出的方程．（2）求出两点的坐标后求出曲线在三点处的切线方程，求出交点的坐标后可计算面积，从而得到的坐标．【详解】（1）点到的距离与点到直线的距离相等，故的轨迹为抛物线，从而．（2）令，则，．当时，有，故抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为．同理处切线方程为．故．若，则，舎；若，可设在第一象限，则抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为．由得，同理，所以，，解得或（舎）．【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）直线与抛物线的相切问题，可借助于导数来计算切线的斜率.21．（Ⅰ）当时，的增区间为；当时，在为增函数，在为减函数．（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（1）分和两种情况分别讨论导数的符号可得函数的单调区间．（2）原不等式等价于，不妨设，则不等式又可以转化为即，利用导数可证该不等式．【详解】（1）当时，，故的增区间为．当时，若，则，故在为增函数；若，则，故在为减函数；综上，当时，的增区间为；当时，在为增函数，在为减函数．（2）当时，，．原不等式等价于，不妨设，则原不等式又等价于，该式可进一步化为：，因此原不等式等价于，下证该不等式成立．令，则，故在为增函数，所以即成立，综上，原不等式成立．【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．多元不等式的恒成立问题，可考虑对原有的不等式变形（若齐次化、换元等），使得多元不等式转化为一元不等式，从而可利用导数证明．22．（Ⅰ）直线的普通方程、曲线C的参数方程（是参数）；（Ⅱ）的最大值为6，最小值为2．【解析】【分析】（1）消去参数后可得直线的普通方程，利用两角差的余弦公式及得直角方程后可得曲线的参数方程．（2）先计算圆心到直线的距离的最大值和最小值，从而得到圆上的动点到直线的距离的最大值和最小值，所求的的最大值与最小值时前者的的倍．【详解】（1）直线的普通方程为．，故，从而，圆的标准方程为，其参数方程为（为参数）．（2）考虑点圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，因直线的倾斜角为，故是圆上的点到直线的距离的的倍，所以的最大值为，最小值为．【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．当动点在圆上变化时，我们可用圆的参数方程来表示动点坐标，这样把二元函数的最值问题转化一元函数的最值问题．。
湖南省长沙高三上学期第五次月考数学试卷(文)
湖南省长沙市长郡高三上学期第五次月考数学试卷（文）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（)U A ðB=A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．{2，3，4}2．在复平面内，复数3 -4i ，i （2+i ）对应的点分别为A 、B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为A ．- 2+21B ．2- 21C ．-l 十iD ．l-i3．“m<14”是“方程x 2+x+m=0有实数解”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 35．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =．'()f x 为()f x 的导函数，已知函数y='()f x 的图象如图所示．若两正数a ，6满足(2)1f a b +<，则22b a ++的取 值范围是A ．（11,32）B ．1,(3,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．（12，3） D ．(,3)-∞- 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数c o s (6)(1,2,3,,12)6y a A x x π⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为A ．20℃B ．20．5℃C ．21℃D ．21．5℃7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F （一c ，0）作圆222x y a +='的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2 =4cx 于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为A ．5B ．52C ．5＋1D ．512+ 8.设函数22221234()(8)(8)(8)f x x x c x x c x x c =-+-+-+-+，集合*127{|()0}{,,,}M x f x x x x N ===⊆，设c 1≥c 2≥c 3≥c 4，则c 1—c 4= A ．11 B ．13C ．7D ．9 9．在△ABC 中，已知.9,s i n c o s .s i n A B A C B A C ==S△ABC =6，P 为线段AB 上的一点，且..||||CA CB CP x y CA CB =+则11x y +的最小值为 A ．76 B ． 712 C ．73123+ D ．76+3310．已知m ∈R ，函数221,1,()1(1),1,x x f x og x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩,若函数2()21(())g x x m y f g x m =+-=-有6个零点，则实数m 的取值范围是 A ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．33,54⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．（1，3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．已知实数z ∈[0，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于47概率为 。
2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考(一)数学(文)试题及答案
炎德·英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数201911i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. 1B. -1C. iD. i -2.已知集合{}07U x N x =∈<<，{}2,5A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（ ） A .{}1,3,5,6B. {}1,5C. {}2,5D. {}1,33.三个数6log 7，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A. 60.76log 60.7log 7<< B. 660.70.7log 7log 6<< C. 60.76log 6log 70.7<<D. 60.760.7log 6log 7<<4.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A. 2214x y -=B. 2214y x -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=5.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行6.A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A 0纸对裁后可以得到2张A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A 2纸，依此类推．这是因为A 系列纸张的长宽比为2：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈2，那么A4纸的长度为（）A.14.8厘米 B. 21.0厘米 C. 29.7厘米 D. 42.0厘米7.函数()sin2f x x x x=-的大致图象是（）A. B. C. D. 8.若非零向量,a b r r满足||||,(2)0a b a b b=+⋅=r r r r r，则,a b r r的夹角为（）．A. 6π B. 3π C. 56π D. 23π9.已知数列{}n a的前n项和为n S，若13,a=()11322n n n S S n---=≥g，则5S=（）A. 324B. 93C. 144D. 4510.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）A.π14- B.π12C.π4D.π112-11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A. B.C. D. 712.已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()()f x f x -=，则()2019f =（ ） A. 1-B. 0C. 1D. 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.14.已知函数()1sin 2=-f x x x ，则()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为______. 15.4cos50tan40-=o o ______．16.已知三棱锥A BCD -，1AB =，2AC =，2AD =，当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时，三棱锥A BCD -的外接球表面积是______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.17.2022年第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看第23届平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表数据，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这8人中随机选取2人到较广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.P （20K k ≥）0.100.050.025 0.01 0.0050k2.7063.8415.0246.6357.87918.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=.（1）求ab的值； （2）若3cos 4C =，求sin B 的值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.（1）证明：PB P 平面AEC ； （2）求点D 到平面AEC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． （1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程． 21.已知函数2()22ln (0)f x ax x x a =-++>（1）若()f x 在其定义域上是单调增函数，求实数a 的取值集合； （2）当38a =时，函数()y f x =在[,)()ne n Z +∞∈有零点，求n 的最大值 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(42,)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04πρθ-+=.(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值. 23.设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.炎德·英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数201911i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. 1B. -1C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算11ii+-，再由虚数单位i 的性质求解． 【详解】Q21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， ∴20192019450431()()?1i i i i i i+===--．故答案为D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合{}07U x N x =∈<<，{}2,5A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（ ） A. {}1,3,5,6 B. {}1,5 C. {}2,5 D. {}1,3【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补的混合运算即可求解. 【详解】{}{}071,2,3,4,5,6U x x =∈<<=N ，则{}1,3,4,6U A =ð， 则(){}1,3U A B =I ð.故选：D .【点睛】本题考查了集合的交、并、补混合运算，需掌握交、并、补的概念，属于基础题. 3.三个数6log 7，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A. 60.76log 60.7log 7<< B. 660.70.7log 7log 6<< C. 60.76log 6log 70.7<<D. 60.760.7log 6log 7<<【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果．【详解】66log 7log 61>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；60.76log 60.77log ∴<<．故选A ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题. 4.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A .2214x y -=B. 2214y x -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=【答案】B 【解析】 【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(2,，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，但不过点(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.5.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行 【答案】A 【解析】 【分析】利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M 、N 是不在α内的任意两点，则直线l 与平面α平行或相交， 若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误： 若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误： 若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误； 不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.6.A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A 0纸对裁后可以得到2张A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A 2纸，依此类推．这是因为A 系列纸张的长宽比为2：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A 0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈2，那么A 4纸的长度为（ ） A. 14.8厘米 B. 21.0厘米C. 29.7厘米D. 42.0厘米【答案】C 【解析】 【分析】根据对折规律可得A 4纸的长度.【详解】由题意，A 0纸的长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，则A 1纸的长为2，A 2纸的长为222(2)=， A 3纸的长为23(2)2(2)=A 4纸的长为34(2)2(2)=（厘米）． 故选C【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键. 7.函数()sin 2f x x x x =-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性,再求()0fπ>，进行排除，可得选项．【详解】由题意得()()sin 2sin2()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，排除C 、D 选项；当πx =时，()2πππ2ππ0f sin =-=>，因此排除B ，故选A ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．8.若非零向量,a b r r 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=r r rr r ，则,a b r r 的夹角为（ ）． A.6πB.3π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得2222+=02cos ,0a b b b a b b ⋅∴<>+=r r r r r r r ，，所以12cos ,,,23a b a b π<>=-∴<>=r r r r .故选D【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13,a =()11322n n n S S n ---=≥g，则5S =（ ） A. 324B. 93C. 144D. 45【答案】B 【解析】 【分析】先由()113?22n n n S S n ---=≥求出n a ，结合等比数列的前n 项和公式，可求出结果．【详解】因为()113?22n n n S S n ---=≥，所以()13?22n n a n -=≥，又13a =满足13?2n n a -=，因此数列{}n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列. 所以()553129312S -==-.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的概念以及求和公式，熟记概念和求和公式即可，属于基础题型.10.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）A. π14-B.π12C.π4D. π112-【答案】A 【解析】【详解】由题意,正方形的面积为22=4.圆锥的底面面积为π. 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-π 4. 故选A .11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A. 52B.462C.D. 7【答案】C【解析】【分析】 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离.【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-， MQ ==[]0 ,?1,1y ∈- ∴当0y =-23时，MQ =最大PQ 的最大值为. 故选C. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.12.已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()()f x f x -=，则()2019f =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】 利用()()110f x f x ++-=可得函数周期为4，进而可得()()20191f f =，令0x =得()10f =，即可求解.【详解】由()()110f x f x ++-=，得()()11f x f x +=--.所以()()()211f x f x f x +=---=--，又()()f x f x -=. 所以()()()()24f x f x f x f x +=-⇒+=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数.所以()()()()()()20194504333411f f f f f f =⨯+==-=-=，在()()110f x f x ++-=中令0x =得()10f =.故选：B .【点睛】本题考查了函数的奇偶性与周期性求函数值，同时考查了求抽象函数的函数值，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】利用443a S S =-求解.【详解】由题得4431697a S S =-=-=.故答案为7【点睛】本题主要考查数列项和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14.已知函数()1sin 2=-f x x x ，则()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为______. 【答案】4π 【解析】【分析】求出函数的导函数()1cos 2f x x '=-，进而求出213f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由题意，函数()1sin 2=-f x x x ，则()1cos 2f x x '=-. 所以21211cos 132322f ππ⎛⎫'=-=+= ⎪⎝⎭， 则函数()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为4π.故答案为：4π 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系，解题的关键是基本初等函数的导数，属于基础题.15.4cos50tan40-=o o ______．【解析】 【详解】4sin 40cos 40sin 404cos50tan 40cos 40--=o o oo oo 2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=o o o o oo, 1sin102cos 40⎫-⎪⎝⎭=o o o==考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.16.已知三棱锥A BCD -，1AB =，2AC =，2AD =，当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时，三棱锥A BCD -的外接球表面积是______.【答案】9π【解析】【分析】由题意分析当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时AB ，AC ，AD 两两垂直，从而可得以AB ，AC ，AD 为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥A BCD -的外接球，长方体的对角线即为外接球直径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时AB ，AC ，AD 两两垂直，此时以AB ，AC ，AD 为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥A BCD -的外接球，3=，设球的半径为R ，则23R =，球的表面积为()229R ππ=.故答案为：9π【点睛】本题考查了多面题的外接球问题以及球的表面积公式，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.17.2022年第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看第23届平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表数据，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这8人中随机选取2人到较广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）有；（2）37【解析】分析】（1）根据列联表计算出2K ，结合附表即可求解.（2）根据分层抽样可得选取的8人中，男生有6人，女生有2人，再利用组合式以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收着开幕式与性别有关.（2）根据分层抽样方法得， 男生3864⨯=人，女生1824⨯=人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人， 再从这8人中，选取2人的所有情况共有2887282C ⨯==种， 其中恰有一名男生一名女生的情况共有11626212C C ⋅=⨯=种， 所以，所求概率123287P ==. 【点睛】本题考查了独立性检验、分层抽样、组合数以及古典概型的概率计算公式，属于基础题. 18.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=.（1）求a b的值； （2）若3cos 4C =，求sin B 的值.【答案】（1）2；（2）8 【解析】【分析】（1）对22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=两边同除以2sin B ，即可求得sin 2sin A B =，结合正弦定理即可得解．（2）由余弦定理及2a b =可得c =，再利用余弦定理即可求得cos 8B =，问题得解． 【详解】（1）因为22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，sin 0B ≠， 所以2sin sin 60sin sin A A B B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得sin 2sin A B =或sin 3sin A B =-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a A b B ==. （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-== ① 将2a b=，即2a b =代入①，得22253b c b -=，得2c b =， 由余弦定理得：222cos 2a c b B ac +-=，即：22252cos 222B b b==⨯⨯， 则()214sin 1cos 8B B =-=. 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题． 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.（1）证明：PB P 平面AEC ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】【分析】（1）先连接BD 交AC 于O 点，再根据线面平行的判定定理，即可证明出结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理，证明CD ⊥平面PAD ，得到CD PD ⊥，再由勾股定理得到AE CE ⊥，设点D 到平面AEC 的距离为h ，根据111332AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅，即可求出结果. 【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O 点，因为60BAC CAD ︒∠=∠=，90ABC ADC ∠=∠=o ，AC AC =，所以Rt ABC Rt ADC ≅V V ，AB AD =.又AO 为BAD ∠的平分线，所以AO BD ⊥，且O 为BD 中点.又因为E 为PD 的中点，所以OE PB P .因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB P 平面AEC .（2）解：在1C 中，4AC =，60CAD ︒∠=，所以2AD =，CD 23=由PA ⊥平面ABCD ，得PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD PD ⊥.在Rt PAD △中，2PA =，2AD =， 所以22PD =2AE ED ==在Rt CDE △中可得14EC =222AC AE EC =+，所以AE CE ⊥. 所以121472AEC S ∆==1223232ACD S ∆=⨯⨯=. 设点D 到平面AEC 的距离为h ， 则111332AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅， 解得232217h ==【点睛】本题主要考查线面平行的证明，以及点到面的距离，熟记线面平行，线面垂直的判定定理以及性质，即可求解，属于常考题型.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-；（2）)1y x =±-【解析】【分析】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y ，即可求得1121,2x x y y =-=，将它们代入24y x =即可得解．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍可得：直线AB 的斜率存在，且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍，即可整理得：122y y =-，设直线AB 的方程为：()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程可得：124y y k+=，124y y ⋅=-，结合122y y =-即可求得：k =± 【详解】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y由抛物线C 的方程24y x =可得：焦点()1,0F 由中点坐标公式可得：1110,22x y x y ++== 即：1121,2x x y y =-=又()11,A x y 在抛物线24y x =上，所以2114y x =， 将1121,2x x y y =-=代入上式可得：()()22421y x =-整理得：221y x =-所以线段AF 的中点M 的轨迹方程为：221y x =-（2）依据题意作出图形，如下：设()()1122,,,A x y B x y ，且1y 与2y 的取值一正、一负因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，所以直线AB 的斜率存在，且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍， 即：1211222OF y OF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，整理得：122y y =- 设直线AB 的方程为：()1y k x =-联立直线与抛物线方程可得：()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：204k y y k --=. 所以124y y k+=，124y y ⋅=- 由121212244y y y y y y k ⎧⎪=-⎪⋅=-⎨⎪⎪+=⎩解得：22k =±所以直线AB 的方程为：)221y x =±-【点睛】本题主要考查了利用相关动点法求点的轨迹方程，还考查了转化思想及韦达定理，考查方程思想及计算能力，属于中档题．21.已知函数2()22ln (0)f x ax x x a =-++>（1）若()f x 在其定义域上是单调增函数，求实数a 的取值集合；（2）当38a =时，函数()y f x =在[,)()n e n Z +∞∈有零点，求n 的最大值【答案】（1）12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭；（2）最大值为2- 【解析】【分析】 （1）确定函数定义域，求导，导函数大于等于0恒成立，利用参数分离得到答案.（2）当38a =时，代入函数求导得到函数的单调区间，依次判断每个区间的零点情况，综合得到答案. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()10,,'220f x ax x +∞=+-≥在()0,∞+上恒成立，即 2112a x x ≥-即12a ≥∴实数a 的取值集合是12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （2）38a =时，()()()322'4x x f x x--=，即()f x 在区间20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)2,+∞单调增，()f x 在区间2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减.()f x 在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭最小值为()2f 且()231ln 412242ln 2ln 20822f -=⨯-++=-=> ()f x ∴在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上没有零点. ∴要想函数()f x 在)(),n e n Z ⎡+∞∈⎣上有零点，并考虑到()f x 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，只须23n e <且()0n f e ≤，易检验()1213108f e e e ---=••+> ()22423122ln 8f e e e e--=•-+2213108e e ⎛⎫=•-< ⎪⎝⎭ 当2n ≤-时，且n Z ∈时均有()0n f e <，即函数()f x 在上有)()1,,n n e e e n Z -⎡⎤⎡⊂+∞∈⎣⎦⎣上有零点. n ∴的最大值为2-【点睛】本题考查了函数单调性，恒成立问题，参数分离法，零点问题，综合性强难度大，需要灵活运用导数各个知识点.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04πρθ-+=. (1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】(1)100x y --=，221(0)124x y y +=>；(2)【解析】【分析】(1) 已知直线l 的极坐标方程，运用互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可求出直角坐标方程.将曲线C 的参数方程进行消去参数α，即可得出曲线C 的普通方程.(2) 利用曲线C 的参数方程表示出Q 点坐标，再写出点P 的直角坐标，便得出中点M 坐标，利用点到直线的距离公式求出点到M 直线l 的距离的最大值.【详解】(1)∵直线的极坐标方程为sin()04πρθ-+=，即sin cos 100ρθρθ-+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为100x y --=.将曲线C的参数方程2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为221(0)124x y y +=>. (2)设,2sin )Q αα(0)απ<<.点P的极坐标)4π化为直角坐标为(4,4).则2,sin 2)M αα++.∴点M到直线的距离d==≤. 当sin()13πα-=，即56πα=时，等号成立. ∴点M到直线的距离的最大值为【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，以及点到直线距离公式的运用，还需要辅助角公式进行化简，意在考查学生的运算求解能力.23.设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析.【解析】【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++， 由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=，所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a++≥++， 所以2221a b c b c a++≥. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。
2020年湖南省长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖南省长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，集合A ={i 2,0，i 4，2}，集合B ={x ∈R|2x >1}，则A ∩B =( )A. {−1,2}B. {1,2}C. {0,1，2}D. {2}2. 若sinα=√33，0<α<π2，则cosα=( )A. −√63B. −12C. 12D. √633. 在区间[−2,2]上任取一个数a ，则函数f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是3的概率为( )A. 34B. 14C. 45D. 254. 一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图(2)放置，若其正视图为等腰直角三角形(如图(3))，则该容器的体积为( )A. 12√6cm 3B. 4√6cm 3C. 27√2cm 3D. 9√2cm 35. 若数列{a n }中，a 1=1，a n+1+3a n =0，则a 5=( )A. −27B. 27C. −81D. 816. 与圆x 2+(y −2)2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 6条7. 已知直线x −√3y =0与中心在原点的双曲线C 交于A ，B 两点，F 是C 的右焦点，若FA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为( )A. √2B. √3+1C. 2D. √3−18. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( ) A. −8 B. −6 C. −3 D. 39. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥BD 1，则点B 1和动点P 的轨迹形成的图形的周长是( )A. 3√2B. 4√2C. 3√3D. 4√310. 设函数f(x)=sin(ωx −π6)(ω∈N ∗)在[5π12,5π6]上单调递减，则ω的值是( )A. 1B. 1或2C. 3D. 211. 设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，B(0,b)，若直线FB 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为( )A. √2B. √5+12C. √5−1D. √5−1212. 已知函数f(x)=x −1x +alnx ，若存在m ，n ，使得f′(m)=f′(n)=0，且m ∈(0,1e ]，则f(m)−f(n)的最小值为( )A. 4eB. 2eC. 4e 2D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组关于(x,y)的数据具有线性相关性：(0,0.9)，(1,1.9)，(3,3.2)，(4,4.4).且y 与x 之间的回归方程为ŷ=b x ̂+1.则b =________． 14. 设x =θ是函数f(x)=3sinx −cosx 的一个极值点，则sin2θ+2cos 2θ=________．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，c =2a 且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =24，则△ABC 的面积是________．16. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA =3，△ABC 是边长为√3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村中60户农民种植苹果、40户农民种植梨、20户农民种植草莓(每户仅扶持种植一种水果)，为了更好地了解三种水果的种植与销售情况，现从该村随机选6户农民作为重点考察对象；(1)用分层抽样的方法，应选取种植苹果多少户？(2)在上述抽取的6户考察对象中随机选2户，求这2户种植水果恰好相同的概率．18.记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0，6S n=a n2+3a n−4．(I)求{a n}的通项公式；(II)设b n=a n2+a n+12，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+119.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF//BE，AB⊥BE，平面ABCD⊥平面ABEF，AB=BE=2AF=2．(1)求证：AC//平面DEF；(2)求几何体E−ACD的体积．20.已知点P是抛物线C:y=14x2−3的顶点，A，B是C上的两个动点，且PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−4．(1)判断点D(0,−1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．21.设函数f(x)=xe−x，g(x)=ax2−2ax+1．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=−12时，方程f(x)=g(x)+m有三个实数解，求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+cosα,y=2+sinα(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y=√3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={i 2,0，i 4，2}=A ={−1，0，1，2}， B ={x ∈R|2x >1}={x|x >0}， 则A ∩B ={1,2}， 故选：B根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：D解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．解：∵sinα=√33，0<α<π2，．故选D ．3.答案：A解析：本题考查几何概型中的长度模型，难点是对函数f(x)的最大值为3的分析，求得a 的条件.注意到f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是max{f(0),f(2),f(4)}，f(0)，f(4)是与x 无关的两个数，并且根据a 的范围[−2,2]可得f(0)与f(4)=3，然后可确定f(2)≤3，进而得到a 的取值范围，再根据几何概型中的长度模型计算概率，属中档题．解：由二次函数性质得f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是max{f(0),f(2),f(4)}，∵f(x)max=3，又∵a∈[−2,2]，∴3−a>0，∴f(0)=f(4)=|3−a|+a=3−a+a=3，∴f(2)≤3，即|−1−a|+a≤3，即|1+a|+a≤3，当a≥−1时，得2a≤2，a≤1；当a∈[−2,−1]时，|−1−a|+a=−1−a+a=−1≤3显然成立，∴−2≤a≤1．1−(−2)=3，2−(−2)=4，∴函数f(x)=|x2−4x+3−a|+a在x∈[0,4]上的最大值是3的概率为34，故选A．4.答案：D解析：解：如图(2)，△PMN是该四棱锥的正视图，由图(1)知：PM+PN=6，且PM=PN，由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3√2，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=12MN=3√22，∴该容器的体积为V P−ABCD=13×(3√2)2×3√22=13×18×3√22=9√2．故选：D．推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3√2，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断．5.答案：D。
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品为三级品．现用两种新配方（分别称为
A 配方和 B 配方）做实验，各生产了 100 件这种
产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
B 配方的频数分布表
(1)从 A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取 求恰好取到 l 件二级品的频率；
5 件产品，再从这 5 件产品中任取 3 件，
16．几位大学生响应国家的创业号召，开发出一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了 “解数学题获取软件激活码” 的活动． 这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列 1， 1， 2， 1，2， 4，1， 2，4，8， 1，2， 4，8.16，…，其中第一项是 20，接下来 的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数 N：
4．记 Sn 为等差数列 {a n} 的前 n 项和，若 a1+a5=24 ， S6=48，则 {a n} 的公差为
A ． 1 B． 2 C． 4 D． 8
5．两数 f(x) 在（ -∞， +∞）单调递减，且为奇函数，若 的 x 的取值范围是
f(1)=-1 ，则满足一 1≤ _f(x-2 ）≤ 1
A.[-2,2]
N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂，那么该款软件的激活码是 ____．
三、解答题：本大题共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步考生都必须作答，第
22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.（本小题满分 12 分） △ ABC 的内角 A ， B， C 的对边分别为 a， b，c，已知 2cosC(acosB+bcosA)=c. (l) 求角 C 的值；
70 周年生
日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎同庆，共建小康”知识竞赛活动．下面
的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是
A ．甲组选手得分的平均数小于乙组选手得分的平均数
B ．甲组选手得分的中位数大于乙组选手得分的中位数
C ．甲组选手得分的中位数等于乙组选手得分的中位数
D ．甲组选手得分的方差大于乙组选手得分的方差
(2)若这种新产品的利润率 y 与质量指标 M 满足如下条件： y
t , M 85, 5t 2,75 M 85 t 2,70 M 75,
A ． {0 ， 2} B． {3.4}
C．{0 ， 3， 4} D ．{ 一 2．一 1.0，l ， 2}
1
2．已知 a∈R．则“ a>1”是“ <1”的
a
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
3. 2019 年是中国成立 70 周年，也是全面建成小康社会的关键之年，为了迎祖国
A ． 0 B． l C．0 或 l D． 0 或 -l 12.已知 A ． B 是圆 C：x2+y 2-8x-2y+16=0 上两点，点 最大值时， |AB|=
P 在抛物线
x2 =2y 上，当∠ APB 取得
A． 4 5 5
B． 3 5 5
C． 2 5 5
D. 5 5
二、填空题：本大题共 13．在复平面内，复数
1
A ．1 B．2
C．3
D ．4
8．如图所示的四个正方体中． A ，B 是正方体的两个顶点，
点，能得出 AB ∥平面 MNP 的图形的序号为
M ， N， P 分别为其所在棱的中
A. ①② B ． ②③ C.③④ 9．函数 f(x) =x 3ex 的图象大致为
D. ①②③
10．将函数 f ( x) sin 2x 2sin( x) cos( x) 的图象向左平移个
长郡中学 2020 届高三月考试卷（五）
数 学（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设全集 U={x|-2 ≤ x<5 ， x∈ Z},A={0 ， 2， 3， 4}, B={ -2， -l ， 0， l， 2} ，则图中阴影部 分所表示的集合为
4
4
函数 g(x) 的图象，则下列关于 g(x) 的结论错误的是
A ．g(x) 的最小正周期为
单位长度，得到
12
B ． g(x) 的图象关于点 ( ,0) 对称 24
2
C． g(x) 的图象关于直线 x
5
对称
12
D ．g(x) 在区间 [ 0, ] 上单调递增 4
11.若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ex 的切线，则 b=
(2) 若 c= 7 ，△ ABC 的面积为 3 3 ，求△ ABC 的周长． 2
18.（本小题满分 12 分） 在 如 图 所 示 的 五 面 体 ABCDEF 中 ， 四 边 形
EA=ED=AB=2EF=2 ， EF∥ AB ， M 为 BC 的中点．
ABCD
为 菱 形 ， 且 ∠ DAB=60 ° ，
(1) 求证： FM ∥平面 BDE ；
3
(2) 若平面 ADE ⊥平面 ABCD ，求点 F 到平面 BDE 的距离． 19.（本小题满分 12 分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量， 质量指标值越大表明质量越好， 记其质量指标值为
M ，当 M ≥ 85 时，产品为一级品；当 75≤ M<85 时，产品为二级品；当 70≤ M<75 时，产
4 小题．每小题 5 分，共 20 分．
z
i(1 i )
所对应的点位于第
1 2i
象限 .
x2 14．已知双曲线 a 2
y2 b2 =1（ a>0， b>0 ）的离心率为
2 3 ，则它的一条渐近线被圆 3
(x+4) 2
+y2=8 所截得的弦长等于 15．已知等腰△ ABC 的面积为 4，AD 是底边 BC 上的高，沿 AD 将△ ABC 折成一个直二面 角，则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积的最小值为
B.[-l,1]
C.[0,i]
D.[1,3]
6．在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB =
3
1
A. AB AC
4
4
1
3
3
B. AB AC C． AB
4
4
4
7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入
1
1
3
AC D. AB AC
4
4
4
N 的值为 20，则输出 T 的值为