2011数学卷(全国新课标.文)含详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖南.理)含详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：正视图侧视图俯视图图12()P K k ≥ 0.0500.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.文)含详解
绝密★启用前 试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ， ay bx =- ， 样本数据12,,,n x x x 的标准差，222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ， 其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B ⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=A ．14 B ．12C ．1D ．2 4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-⋃+∞ D ．(,)-∞+∞5．不等式2210x x -->的解集是A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z OM OA=⋅的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．4223正视图 图1侧视图 图22 俯视图 2图37．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A ．20B ．15C ．12D ．10 8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4 C ．23 D ．210．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ，()f g ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ，则下列等式恒成立的是A ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xB ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xC ．(()f g h )()x =(()f g ()g h )()xD ．(()f g h )()x =(()f g()g h )()x二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9 ~ 13题）11．已知{}n a 是递增的等比数列，若22a =，434a a -=，则此数列的公比q = ．12．设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -= ．13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：图4BAC DEF时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =， EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n = 的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5水平平移后得到的．,,,A A B B ''分别为 CD , C D '', DE , D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '', DE ,D E ''的中点．（1）证明：12,,,O A O B ''四点共面；（2）设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：2BO '⊥平面H B G ''．19．（本小题满分14分）设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，111n n n nba a a n --=+-(n ≥2)．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，2n a ≤11n b ++．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，直线l ：2x =-交x 轴于点A ．设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足MPO AOP ∠=∠．（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知(1,1)T -，设H 是E 上动点，求HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标； （3）过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．1．（A ）．1()iz i i i i -===-⨯- 2．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数，显然有2个交点 3．（B ）．(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（C ）．10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5．（D ）．21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．（B ）．2z x y =+，即2y x z =-+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时，z 取得最大值，max 2224z =⨯+=7．（D ）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8．（A ）．依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线 9．（C ）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积1223232S =⨯⨯=，四棱锥的高为3，则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯= 10．（B ）．11．2． 2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =12．9-3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=- 13．0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii ni i x x y y bx x ==--++++-===-+-+++-∑∑ ， 0.47a y bx =-=∴线性回归方程 0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.5314．25(1,)5．5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(5501)x y -<≤≤≤且，254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =,22221(5501)5450145x y x y x x x y x ⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)515．75如图，延长,AD BC ，AD BC P =∵23CD EF =，∴49PCD PEF S S ∆∆= ∵24CD AB =，∴416PCD PEF S S ∆∆= ∴75ABEF EFCDS S =梯形梯形16．解：（1）(0)2sin()16f π=-=-（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17．解：（1）61(7076727072)756x +++++=，解得690x = PBAC DEFxy O2x =-AP l MM标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= （2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种 这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中” 则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105P A == 18．证明：（1）连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径∵,,A B B ''分别为 C D '', DE , D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠=∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O '，四边形22O O B B ''是平行四边形∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO ∴12,,,O A O B ''四点共面（2）延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''= ∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠==''∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ，四边形12O O BH ''是平行四边形∴2BO '∥1HO '∴2BO H G ''⊥，H G H B H ''''= ∴2BO '⊥平面H B G ''21．解：（1）如图所示，连接OM ，则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠，∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上，设(,)M x yxy O 2x =-TN l HNH∙H xy O TA 1l 1l1l① 当MP l ⊥时，2MP x =+，22OM x y =+222x x y +=+，化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时，0y =(1)x <-综上所述，点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-（2）由（1）知M 的轨迹是顶点为(1,0)-，焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <- ① 若H 是抛物线上的动点，过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时，HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3HO HT +>综上所述，HO HT +的最小值为3，此时点H 的坐标为3(,1)4-- （3）如图，设抛物线顶点(1,0)A -，则直线AT 的斜率12AT k =-∵点(1,1)T -在抛物线内部，∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点 则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当12k ≤-时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 ② 当102k -<<时，直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点 ③ 当0k =时，直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 综上所述，直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。
2011年高考全国数学试卷(新课标)-文科(含详解答案)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011数学卷(全国新课标[1].理)含答案
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2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212i i +-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）13（B）12（C）2 3（D）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2y x=上，则cos2θ= （A）45-（B）35-（C）3 5（D）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B （C ）2 （D ）3 （8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y 直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103（B ）4 （C ）163（D ）6（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增(12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2011年新课标高考数学文科试卷带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题1.设集合U ={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（）I ðM N ( )A.{}12，B.{}23，C.{}2，4D.{}1，4【测量目标】集合的基本运算（交集、并集）.【考查方式】已知全集和两个集合，求两个集合交集的补集.【参考答案】D【试题解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I2.函数0)y x =…的反函数为 （ ） A.2()4x y x =∈R B.2(0)4x y x =… C.24y x =()x ∈R D.24(0)y x x =…【测量目标】反函数.【考查方式】给出函数解析式，求其反函数.【参考答案】B【试题解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y …,所以函数0)y x =…的反函数为2(0)4x y x =…. 3.设向量a ，b 满足||||1==a b ,12=-a b g ,则2+=a b （ ）【测量目标】向量的模，向量的数量积.【考查方式】已知两向量的模及其数量积，求模.【参考答案】B【试题解析】2221|2|||4414()432+=++=+⨯-+=a b a a b b g ,所以2+=a b4.若变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩………，则=23z x y +的最小值为 ( )A.17B.14C.5D.3【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，求出目标函数在此区域的最小值.【参考答案】C【试题解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线1x =与332y -=-的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.5.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 （ ）A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】结合不等式的性质考查充分、必要条件.【参考答案】A【试题解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ）A.8B.7C.6D.5【测量目标】等差数列的前n 项和.【考查方式】已知等差数列的首项、公差和关于前k 项和与前k +2项和的关系，求出k 值.【参考答案】D 【试题解析】解法一：2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =. 7.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ( ) A.13B.3C.6D.9 【测量目标】三角函数图象变换.【考查方式】根据三角函数图象平移后的特点求参数值.【参考答案】C【试题解析】由题意将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了π3是此函数周期的整数倍,得2ππ()3k k ω⨯=∈Z ,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.8.已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =( )【测量目标】二面角.【考查方式】通过给出二面角，相关线段的长度，利用线面垂直的性质，求出CD 的长度.【参考答案】C【试题解析】因为l αβ--是直二面角,AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=9. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A. 12种B. 24种C. 30种D.36种【测量目标】乘法原理，组合数的应用.【考查方式】根据题目的要求，利用排列与组合，求出其中的不同选法.【参考答案】A【试题解析】解本题分两步进行：第一步选出2人选修课程甲有24C 6=种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22A 2=种选法，根据分步计数原理，有6212⨯=种选法.10. 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x 剟时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= ( )A.12-B.14- C .14 D.12【测量目标】函数的奇偶性，周期性.【考查方式】已知函数的周期、奇偶性及在某区间的解析式，求另一区间内的函数值.【参考答案】A【试题解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1).2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-11.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = ( )A.4B.【测量目标】圆的方程与两点间的距离公式.【考查方式】给出两圆的位置关系和通过相同的点，计算圆心的距离.【参考答案】C【试题解析】由题意知：圆心在直线y x =上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.12.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 （ ）A.7πB.9πC.11πD.13π【测量目标】二面角的概念与球的性质.【考查方式】给出平面与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，求出圆的面积.【参考答案】D【试题解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =在Rt OMN △中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==,故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为2π13πS r ==.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.(注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．) 13.10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出二项式，利用二项式展开式的通项公式，求出系数的差.【参考答案】0【试题解析】由11010C ()(1)C r r r r r r T x x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为910C 10-=-,所以x 的系数与9x 的系数之差为0.14.已知3π(π,)2α∈,tan 2α=,则cos α= . 【测量目标】同角三角函数的基本关系式.【考查方式】已知正切值，在α角范围的条件下，求出余弦值.【参考答案】【试题解析】3π(π,)2α∈,sin tan =2cos ααα==,因为3π(π,)2α∈时，cos α小于零，所以cos α=15.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .【测量目标】异面直线所成角.【考查方式】给出正方体，求出在正方体中异面直线所成角的余弦值. 【参考答案】23【试题解析】取11A B 的中点M 连接EM ，AM ，AE ，则AEM ∠就是异面直线AE 与BC所成的角.设正方形的边长为x ，在△AEM 中，222(2)(3)52cos 2233x x x AEM x x +-∠==⨯ . 16.已知1F 、2F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的方程、点的坐标和角的平分线，通过双曲线的第一定义，求出2||AF 的值.【参考答案】6【试题解析】Q AM 为12F AF ∠的平分线，∴2211||||41||||82AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF = 又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .【测量目标】等比数列的通项和前n 项的和.【考查方式】直接给出2a 的大小和13a a 和的关系，求出n a 和n s .【试题解析】设{}n a 的公比为q ,由题设得12116630a q a a q =⎧⎨+=⎩解得132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩，（步骤1） 当13,2a q ==时，132,3(21)n n n n a S -=⨯=⨯-；(步骤2)当12,3a q ==时，123,31n n n n a S -=⨯=-.（步骤3）18.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、.已知s i n s 2s i n s i na A c a Cb B +=. (Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若75,2,A b ︒==a c 求，.【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】通过给出三角形的边、关于边与角的正弦余弦的等式，求出未知量.【试题解析】(I)由正弦定理得222a c b += （步骤1）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =，因此45B = （步骤2） （II ）sin sin(3045)A =+sin 30cos 45cos30sin 45=+= （步骤3） 故sin 1sin A a b B =⨯==sin sin 602sin sin 45C c b B =⨯=⨯=（步骤4） 19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【测量目标】独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k 次的概率.【考查方式】考查了独立事件、对立事件、互斥事件的的相互关系，以及独立重复试验发生k 次的概率的应用.【试题解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险;B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.(I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+（步骤1）()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= （步骤2）(II)D =C ,P (D )=1-P (C )=1-0.8=0.2, （步骤3）P (E )=123C 0.20.80.384⨯⨯=. （步骤4）20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥S ABCD -中，AB P CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形.2,1AB BC CD SD ====.(I)证明：SD ⊥平面SAB . (II) 求AB 与平面SBC 所成角的大小.【测量目标】线面垂直的判定和线面角的计算、空间直角坐标系.【考查方式】通过给出四棱锥，利用等边三角形SAB 这个条件，作出有关辅助线.【试题解析】解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =又1SD =,故222ED SE SD =+,所以DSE ∠为直角.（步骤1）由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,得AB ⊥平面SDE ,所以AB SD ⊥.SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.所以SD ⊥平面SAB .（步骤2）解法二：由已知易求得，1,SD AD =2,SA =于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB .（步骤3） (Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD ,SD SE SF DE ⨯==. 作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==.连结SG ,则SG BC ⊥.又,BC FG SG FG G ⊥=I ,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .（步骤4） 作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC .SF FG FH SG ⨯==,即F 到平面SBC 的距离为7.由于ED BC P ,所以ED P 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也为7.设AB 与平面SBC 所成的角为α,则sin 7d EB α==,arcsin 7α=.（步骤5） 解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r ,由||||AS BS =u u r u u r 得=故1x =.（步骤1）由||1DS =u u u r 得221y z +=,又由||2BS =u u r 得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故1,2y z ==（步骤2）于是1331(1,(1,(1,(0,2222S AS BS DS =--=-=uu r uu r uu u r , 0,0DS AS DS BS ==u u u r u u r u u u r u u r g g .故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS BS S =I ,所以SD ⊥平面SAB . （步骤3）(Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)m n p =a ,则,,0,0BS CB BS CB ⊥⊥==a a a a u u r u u r u u r u u r g g .又3(1,(0,2,0)2BS CB =-=uu r uu r ,故30,2220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩（步骤4） 取2p =得(=a ,又(2,0,0),AB =-u u u r所以，cos ,||||AB AB AB <>==a a a uu u r uu u r g uu u r g 故AB 与平面SBC所成的角为arcsin 7. （步骤5） 21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．). 已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a =++--∈R(Ⅰ)证明：曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2)；（Ⅱ）若()f x 在0x x =处取得最小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围.【测量目标】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围.【考查方式】直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.第（II ）问是含参问题，对方程()0f x '=的判别式进行分类讨论.【试题解析】解：（I ）2()3636f x x ax a '=++-（步骤1）由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(36)124y a x a =-+-，由此知曲线()y f x =在0x =处的切线过点（2，2）（步骤2）（II ）由()0f x '=得22120x ax a ++-=.（i ）当11a剟时，()f x 没有极小值；（步骤3）(ii)当1a >或1a <时，由()0f x '=得12x a x a =-=-+故02x x =,由题设知13a <-，（步骤4）当1a >时，不等式13a <-<无解；当1a <时，解不等式13a <-<得512a -<<综合(i)(ii)得a 的取值范围是5(,1)2-.（步骤5） 22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．).已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=u u r u u u r u u u r r .(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【测量目标】椭圆的简单几何性质、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件.【考查方式】根据给出的椭圆方程与直线方程的关系，平面向量的坐标运算，求出曲线交点坐标和四点共圆的条件.【试题解析】(I)(0,1)F ,l 的方程为1y =+,代入2212y x +=并化简得2410x --=. （步骤1）设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则12x x ==121212)21,x x y y x x +=+=++=(步骤2)由题意得312312()()1,x x x y y y =-+==-+=-所以点P 的坐标为(1)2--.经验证点P 的坐标(1)2--满足方程2212y x +=,故点P 在椭圆C 上（步骤3）(II)由P (1)2--和题设知，Q (2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为y x =. ①设AB 的中点为M ,则1)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为124y x =+. ②由①、②得1l 、2l 的交点为1()88N -.（步骤4）||NP ==21||||2AB x x=-=||4AM=,||MN==,||NA==（步骤5）故||||NP NA=,又||||NP NQ=, ||||NA NB=,所以||||||||NA NP NB NQ===,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.（步骤6）（II）法二：22tan11PA PBPA PBk kAPBk k-∠==+214()3x x-==(步骤1)同理22tan11QB QAQA QBk kAQBk k-∠==++214()3x x-==-（步骤2）所以,APB AQB ∠∠互补，因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（步骤3）。
2011年高考新课标全国I卷数学(理)试题精解精析(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析1.解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C 2.解析:由图像知选B3.解析：框图表示1n n a n a -=⋅,且11a =所求6a =720选B4.解析;每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=3193=选A 5.解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B6.解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的.故选D7.解析：通径|AB|=224b a a=得2222222b a a c a =⇒-=,选B 8.解析:1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x+-. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项51552155(2)()(1)2r r r r r r rr T C x x C x ----+=-=-,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40 ,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ,从余下的括号中选2个提出1x,选3个提出x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 9.解析;用定积分求解43242002116(2)(2)|323s x x dx x x x =-+=-+=⎰,选C10.解析：222cos 22cos 1a b a b a b θθ+=++=+>得, 1cos 2θ>-,20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭.由222cos 22cos 1a b a b a b θθ-=++=->得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦. 选A11.解析：()2sin()4f x x πωϕ=++,所以2ω=,又f （x ）为偶函数,,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈,()2sin(2)2cos22f x x x π∴=+=,选A12.解析：图像法求解.11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心,24x -≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x , 则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=,所以选D 13.解析：画出区域图知, 当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点（4,-5）时,min 6z =-（14.解析：由22416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=22,从而b=8,221168x y ∴+=为所求. （15.解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则AM=221(23)6232+=, OM=224(23)2-=,16232833O ABCD V -=⨯⨯⨯=. 16.解析：00120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,22sin sin sin BC AC BC A A B==⇒= 022sin 2sin(120)3cos sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+； 2AB BC ∴+=3cos 5sin 28sin()27sin()A A A A ϕϕ+=+=+,故最大值是2717.解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23269a a a =得32349a a =所以219q =. 由条件可知a>0,故13q =. 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =. 故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+ 18.解析1：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD =从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD;又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则()1,0,0A ,()03,0B ，,()1,3,0C -,()0,0,1P .(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v设平面PAB 的法向量为n =（x,y,z ）,则0n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即 3030x y y z -+=-=因此可取n =(3,1,3)设平面PBC 的法向量为m ,则 0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取m=（0,-1,3-） 427cos ,727m n -==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 277-（19.解析：（Ⅰ）由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+,所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=,所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的z xPCBA Dy频率分别为0.04,,054,0.42,因此X 的可能值为-2,2,4P （X=-2）=0.04, P （X=2）=0.54, P （X=4）=0.42, 即X 的分布列为X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.6820.解析; （Ⅰ）设M （x,y ）,由已知得B （x,-3）,A （0,-1）.所以MA uuu r=（-x,-1-y ）, MB uuu r =（0,-3-y ）, AB uu u r =（x,-2）.再由题意可知（MA uuu r +MB uuur ）• AB uu u r =0, 即（-x,-4-2y ）• （x,-2）=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. （Ⅱ）设P （x 0,y 0）为曲线C ：y=14x 2-2上一点,因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-,即2000220x x y y x -+-=. 则o 点到l 的距离20020|2|4y x d x -=+.又200124y x =-,所以 2020220014142(4)2,244x d x x x +==++≥++当20x =0时取等号,所以o 点到l 距离的最小值为2.21.解析：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =,1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++,所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--.X -2 2 4P 0.04 0.54 0.42考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >,则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=.（i ）设0k ≤,由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h （x ）递减.而(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得21()01h x x>-； 当x ∈（1,+∞）时,h （x ）<0,可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时,f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0,即f （x ）>1ln -x x +xk.（ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴x=111k >-.当x ∈（1,k -11）时,（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h（x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,k -11）时,h （x ）>0,可得211x -h （x ）<0,与题设矛盾.（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥,2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0,故当x ∈（1,+∞）时,h （x ）>0,可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为（-∞,0]点评;求参数的范围一般用离参法,然后用导数求出最值进行求解.若求导后不易得到极值点,可二次求导,还不行时,就要使用参数讨论法了.即以参数为分类标准,看是否符合题意.求的答案.此题用的便是后者. 22.解析：（I ）连接DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD AB mn AE AC ⨯==⨯ 即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆.（Ⅱ）m=4, n=6时,方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故 AD=2,AB=12.取CE 的中点G,DB 的中点F,分别过G,F 作AC,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C,B,D,E 四点共圆,所以C,B,D,E 四点所在圆的圆心为H,半径为DH. 由于∠A=900,故GH ∥AB, HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 21（12-2）=5. 故C,B,D,E 四点所在圆的半径为52 23.解析：（I ）设P （x,y ）,则由条件知M （,22x y）.由于M 点在C 1上,所以2cos ,222sin 2x y αα⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪=+⎪⎪⎩⎭即 4c o s 44s i n x y αα=⎧⎫⎨⎬=+⎩⎭从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=, 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||23AB ρρ-==.24.解析：（Ⅰ）当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. （ Ⅱ） 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-由题设可得2a-= 1-,故2a =2019高中教师读书心得体会作为教师，在教授知识的提示，也应该利用空暇时刻渐渐品读一些好书，吸收书中的精华。
2011年全国统一考试数学(文)全解全析版
(山东卷)2011年全国统一考试数学（文）全解全析版江苏省东海高级中学 夏正伟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则N M ⋂= （A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 【答案】A【解析】因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A. 考查集合的概念和运算，容易题。
2.复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】D【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D.考查复数的运算及几何意义，容易题。
3.若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）0 (B) 3【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tan tan tan 663a πππ===故选D.考查函数的概念，三角函数的计算，容易题。
4.曲线113+=x y 在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 【答案】C【解析】因为23x y ='，切点为P(1,2),所以切线的斜率为3，故切线的方程为093=+-y x ，令0=x 得9=y ，故选C 。
考查函数的导数的几何意义，切线的求法，容易题。
5.已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 (A)若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 (B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3 (C)若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3 (D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3 【答案】A【解析】命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ⌝,则q ⌝”,故选A.考查四种命题的结构关系，容易题。
2011年安徽高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,复数a 1+2-ii为纯虚数,则实数a 为 ( )A.2B.-2C.1-2D.12【测量目标】复数的基本概念及代数形式的四则运算.【考查方式】给出一个含未知数的复数,令其为纯虚数,运用公式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】 法一：()()()()()a a a a 1+2+1+2-+2+1==2-2-2+5i i i ii i i 为纯虚数,所以,a a 2-=0=2； 法二：设a b 1+=2-ii i得a b b 1+=+2i i ,所以,b a =1=2； 法三：()a a -1+=2-2-i i i i i为纯虚数,所以a =2； 2.双曲线x y 222-=8的实轴长是( )A.2B.C. 4 【测量目标】双曲线的标准方程.【考查方式】给出一个双曲线方程,求出实轴长. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】双曲线方程可变为x y 22-=148,所以,a a 2=4=2,实轴长a 2=4. 3.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x 0…时,()f x x x 2=2-,则()f 1=( )A.-3B.-1C.1D.3 【测量目标】函数的奇偶性的综合运用.【考查方式】给出在某一区间上一个函数方程，已知函数是奇函数,求解函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,且x 0…时, ()f x x x 2=2-()()()()2112113f f ∴=--=--+-=-,故选A.法二:设0x >,则0x -<,()f x 是定义在R 上的奇函数,且x 0…时,()f x x x 2=2-,()()()2222f x x x x x ∴-=---=+,(步骤1)又()()f x f x -=-,()22f x x x ∴=--,()212113f ∴=-⨯-=-,故选A. (步骤2) ４.设变量,x y 满足1,x y +…则2x y +的最大值和最小值分别为( )Ａ.1，－1 Ｂ.2，－2 Ｃ.1，－2 Ｄ.2，－1 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出一个二元不等式，求目标函数的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】 法一：特值验证：当0,1x y ==时，22x y +=,故排除A ，C ；当0,1x y ==-时，22x y +=-,故排除D ，答案为B.法二:画出不等式1,x y +…表示的平面区域，平移目标函数线，易知当直线2x y u +=经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以max min 2,2u u ==-.第4题图法三：已知条件是含绝对值的不等式，所以目标函数的最大值和最小值一定互为相反数，易知0,1x y ==时，22x y +=，故选B法四：绝对值不等式表示的区域是以(0,1),(1,0),(0,1),(1,0)--为顶点的正方形，线性规划一定在顶点处取得最优解，带入目标函数计算可得最大值、最小值分别为2,2-. 5.在极坐标系中，点(,)π23到圆2cos ρθ=的圆心的距离为( )A.2 【测量目标】极坐标与参数方程及点到圆心的距离.【考查方式】给出一个点坐标和参数方程，求出点到圆心之间的距离. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】 极坐标(,)π23化为直角坐标：cos cos sin sin x y ρθρθπ⎧==2=1⎪⎪3⎨π⎪==2=⎪3⎩，即圆2cos ρθ=的方程为222x y x +=即22(1)0x y -+=，圆心到点(1故选D. 6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）第6题图A.48B.32+C.48+D.80 【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出三视图及其各边边长，求出其表面积. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】几何体是以侧视图等腰梯形为底面的直四棱柱,所以该几何体的表面积为12(24)44421642S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯487=+故选C. 7命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 ( )A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数都是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数 【测量目标】含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出含有一个量词的命题，求出其特称命题. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】全称命题的否定是特称命题，“所有”对于“存在一个”，同时否定结论，答案为D. 8.设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,8,B =则满足S A ⊆且S B ≠∅ 的集合S 的个数为( ) A.57 B.56 C.49 D.8 【测量目标】集合间的关系及基本运算.【考查方式】给出两个集合与他们之间的集合关系，求出其中一个集合的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】 法一：集合A 的子集有6264=个，满足S B =∅ 的子集就是集合{1,2,3}的所有子集，一共有328=个，所以集合S 的个数为632264856-=-=.法二：集合S 是集合A 的子集且至少含有集合{4,5,6}的一个元素，所以将S 看作集合{4,5,6}的非空子集与集合{1,2,3}的子集的并集，因此一共有33(21)256-⨯=个.9.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若π()()6f x f …对x ∈R 恒成立，且π()(π)2f f >，则()f x 的单调递增区间是( )A.ππ[π,π]()36k k k -+∈Z B.π[π,π]()2k k k +∈Z C.π2π[π,π]()63k k k ++∈Z D.π[π,π]()2k k k -∈Z 【测量目标】三角函数的单调性、最值.【考查方式】给出一个三角函数及其最值，求出其单调递增区间. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】对x ∈R 时，π()()6f x f …恒成立，所以ππ()sin()163f ϕ=+=±， 可得π5π2π2π66k k ϕϕ=+=-或，（步骤1） 因为π()sin(π)sin (π)sin(2π)sin 2f f ϕϕϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<， 所以5π2π6k ϕ=-，所以5π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤2） 函数单调递增区间为π5ππ2π22π262k x k -+-+剟， 所以π2π[π,π]()63x k k k ∈++∈Z ,答案为C. （步骤3） 10.函数()(1)mnf x ax x =-在区间[0,1]上的图象如图所示，则,m n 的值可能是 ( ) A.1,1m n == B.1,2m n == C.2,1m n == D.3,1m n ==第10题图【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出一个含未知量的复合函数在某一区间的图象，求出未知量. 【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】由图得，原函数的极大值点小于0.5， 当1,1m n ==时,()21(1)(),24a f x ax x a x =-=--+在12x =处有最值,所以A 不可能；(步骤1) 当1,2m n ==时,232()(1)(2),f x ax x a x x x =-=-+()(31)(1)f x a x x '∴=--， 令()100,,3f x x x '=⇒==即函数在13x =处有最值所以B 可能；(步骤2) 当2,1m n ==时,223()(1)(),f x ax x a x x =-=-有2()(32)(23),f x a x x ax x '=-+=- 令()200,,3f x x x '=⇒==即函数在23x =处有最值,所以C 不可能；(步骤3) 当3,1m n ==时，343()(1)()f x ax x a x x =-=-+,有2()(43)f x ax x '=-+， 令()300,,4f x x x '=⇒==即函数在34x =处有最值,所以D 不可能. (步骤4) 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .第11题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序，得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】15【试题解析】 第1次进入循环体有：00T =+， 第2次有：01T =+，第3次有：012T =++，……第n 次有：012(1)T n =++++- ,（步骤1） 令(1)1052n n T -=>，解得15n >（负值舍去），（步骤2） 故16,n =此时输出15k =.（步骤3） 12.设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则a a 1011+= .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出一个二项式，通过公式展开二项式，求出其中两项系数的和. 【难易程度】容易 【参考答案】0【试题解析】,a a 1011分别是含x 10和x 11项的系数，所以C ,a 111021=-C a 101121=，所以a a 1011+=C C 10112121-=0.13.已知向量,a b 满足()()+2-=-6g a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为 . 【测量目标】平面向量的夹角问题.【考查方式】给出两个向量之间的关系等式及各自的模长，求出它们之间的夹角. 【难易程度】中等 【参考答案】π3【试题解析】设a 与b 的夹角为θ，依题意有：22(2)()272cos 6θ+-=+-=-+=- a b a b a a b b ，（步骤1） 所以1cos =2θ，（步骤2）因为0πθ剟，故π=3θ.（步骤3） 14.已知ABC △的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC △的面积为 .【测量目标】余弦定理及三角形面积.【考查方式】给出一个三角形的内角度数及三边关系，求出三角形的面积. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】不妨设角120,A c b =<，则4,4a b c b =+=-，于是222(4)(4)1cos1202(4)2b b b b b +--+==--，解得=10b ，所以1=sin1202S bc = .15.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【测量目标】新定义，直线的性质，命题的判定.【考查方式】给出一个新定义，根据新定义判断给出五个命题的正确性. 【难易程度】较难 【参考答案】①③⑤【试题解析】①正确，如直线12y =+，不经过任何整点（10,2x y ==；0x ≠，y 是无理数）(步骤1)②错误，直线y =k 与b 都是无理数，但直线经过整点（1,0）；(步骤2) ③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；(步骤3) ④错误，当10,2k b ==时，直线12y =不通过任何整点；(步骤4)⑤正确，比如直线y =只经过一个整点(0,0).(步骤5)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.16.（本小题满分12分）设2e ()1xf x ax =+，其中a 为正实数.（Ⅰ）当34=a 时，求)(x f 的极值点； （Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围【测量目标】导数的运算,利用导数求函数的极值，利用函数的单调性求参数范围. 【考查方式】给出一个含参数函数，（Ⅰ）给出参数的值求极值点，（Ⅱ）给出其单调性，求参数的取值范围.【难易程度】中等【试题解析】对)(x f 求导得22212()e (1)xax axf x ax +-'=+①（步骤1）（Ⅰ）当34=a 时，若0)(='x f ，则03842=+-x x ，解得21,2321==x x （步骤2） 结合①，可知所以，21=x 是极小值点，22=x 是极大值点. （步骤3） （Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件0a >，知2210ax ax -+…（步骤4）在R 上恒成立，因此2444(1)0a a a a ∆=-=-…，由此并结合0a >，知01a <….（步骤5） 17.（本小题满分12分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2OA OD ==，,,,OAB OAC ODE ODF △△△△都是正三角形.（Ⅰ）证明直线BC EF ; （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积.第17题图【测量目标】线线平行的判定，棱锥的体积，空间向量及其运算.【考查方式】给出一个多面体，其中两个面互相垂直，有4个正三角形，证明两条直线平行和求解棱锥的体积.【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于OAB △与ODE△都是正三角形，所以1,2OB DE=2OG OD =，（步骤1） 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有2OG OD '==，又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合. （步骤2）在GED △和GFD △中，由12OB DE 和12OC DF , 12OC DF =,12OB DE =可知,B C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF △的中位线，故BC EF .（步骤3）（向量法）过点F 作FQ AD ⊥,交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ,以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知E )，F （，B （3,022-），C （30,,22-）. （步骤1） 则有)23,0,23(-=，)3,0,3(-=EF .（步骤2） 所以2=，即得BC EF .（步骤3）第17题（Ⅰ）图（Ⅱ）由1,2,60OB OE EOB ==∠= ，知EOB S =（步骤4）而ODE △是边长为2的正三角形，故OED S =所以OBED EOB ODE S S S =+=233.（步骤5） 过点F 作FQ AD ⊥，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F OBED -的高，且FQ =，所以13.32F OBED OBED V FQ S -== （步骤6） 18.（本小题满分13分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，1n …. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【测量目标】对数和指数的运算，两角差的正切公式，等比和等差数列及其前n 项和. 【考查方式】考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则1212n n n T t t t t ++=①（步骤1）2121n n n T t t t t +⋅+= ②（步骤2）①×②并利用231210,(12)i n i n t t t t in +-+==+ 剟，得)2(2210+=n n T ，lg 2, 1.n n a T n n ∴==+…（步骤3） （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知tan(2)tan(3),1n b n n n =++ …（步骤4） 另一方面，利用tan(1)tan tan1tan((1))1tan(1)tan k kk k k k+-=+-=-+得tan(1)tan tan(1)tan 1tan1k kk k +-+=- （步骤5）所以22133tan(1)tan tan(3)tan 3tan(1)tan (1)tan1tan1nn n n i i i i k k n S b k k n ++===+-+-==+=-=-∑∑∑ （步骤6）19.（本小题满分12分） （Ⅰ）设1,1,x y厖证明111x y xy xy x y++++…； （Ⅱ）设1,a bc <剟证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++++….【测量目标】基本不等式证明不等式.【考查方式】考查对数函数的性质和对数换底公式, 不等式的性质等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力. 【难易程度】中等【试题解析】证明：（Ⅰ）由于1,1,x y 厖所以111x y xy xy x y++++…（步骤1） 2()1()xy x y y x xy ⇔++++…（步骤2）将上式中的右式减左式，得22(())(()1)(()1)(()())y x xy xy x y xy xy x y x y ++-++=--+-+(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)xy xy x y xy xy xy x y xy x y =+--+-=---+=--- 既然1,1,x y 厖所以(1)(1)(1)0xy x y ---…，从而所要证明的不等式成立. （步骤3）（Ⅱ）设y c x b b a ==log ,log ，由对数的换底公式得xy c yb x a xy a ac b c ====log ,1log ,1log ,1log （步骤4） 于是，所要证明的不等式即为111x y xy xy x y++++…（步骤5） 其中log 1,log 1a b x b y c==厖，故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立. （步骤6）20.（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为123,,P P P ，假设123,,P P P 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为321,,q q q ，其中321,,q q q 是123,,P P P 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数学期望）EX ；（Ⅲ）假定1231P P P >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.【测量目标】随机事件与概率，离散型随机变量的期望.【考查方式】考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是123(1)(1)(1)P P P ---，（步骤1）所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1231231213231231(1)(1)(1)P P P P P P PP PP P P PP P ----=++---+（步骤2）（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时，随机变量X 的分布列为所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是EX =1q +21)1(q q -+)1)(1(21q q --=212123q q q q +--（步骤3）（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX =212123q q q q +--根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于123,,P P P 的任意排列321,,q q q ，都有121212123232q q q q P P PP --+--+…（＊）（步骤4）事实上， 12121212(32)(32)q q q q P P PP ∆=--+---+（步骤5）112212122()()P q P q PP q q =-+--+1122112122211122112122()()()()(2)()(1)()(1)[()()]0P q P q P q P q P q P P q q P q q P P q q =-+-----=--+---+-+……即（＊）成立. （步骤6）（方法二）（ⅰ）可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为12121)(3q q q q q -++-，若交换前两人的派出顺序，则变为22121)(3q q q q q -++-.由此可见，当12q q >时，交换前两人的派出顺序可减少均值. （步骤4）（ⅱ）也可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为211)1(23q q q ---，若交换后两人的派出顺序，则变为111)1(23q q q ---.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当12q q <时，交换后两人的派出顺序也可减少均值. （步骤5）综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当123(,,)P P P =),,(321q q q 时，EX 达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. （步骤6）21.（本小题满分13分）设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q 满足λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足λ=，求点P 的轨迹方程.第21题图【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力.【难易程度】较难【试题解析】由λ=知,,Q M P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(),,P x y ()0,,Q x y （步骤1）()2,,M x x 则)(202x y y x -=-λ,即y x y λλ-+=20)1( ①（步骤2）再设),(11y x B ，由QA BQ λ=，即)1,1(),(0101y x y y x x --=--λ，解得110(1),(1)x x y y λλλλ=+-⎧⎨=+-⎩ ②（步骤3）将①式代入②式，消去0y ，得1221(1),(1)(1)x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎨=+-+-⎩ ③（步骤4） 又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得,))1(()1()1(222λλλλλλ-+=-+-+x y x （步骤5） 整理得0)1()1()1(2=+-+-+λλλλλλy x 因0>λ，两边同除以)1(λλ+，得 012=--y x故所求点P 的轨迹方程为12-=x y .（步骤6）。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷山东.理含详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]（2）复数z=22ii-+(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为： （A ）0 （B ）（C ）1 （D(4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f （x ）是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元（8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -=（C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-=（9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是（10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 （A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2（C ）1 （D ）0（12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ= (μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是（A ）C 可能是线段AB 的中点 （B ）D 可能是线段AB 的中点（C ）C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，则输出的y 的值是 .(14)若62x x ⎛- ⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .（15）设函数()2xf x x =+（x ＞0），观察：()()12xf x f x x ==+ f 2 (x)=f(f 1（x ）)= 34xx +f 3 (x)=f(f 2（x ）)= 78xx +f 4 (x)=f(f 3（x ）)= 1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m （x ）=f （f m-1（x ））= . （16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
2011年高考全国卷文科数学解析版
2011年高考(全国卷)文科数学解析版第Ⅰ卷一、选择题（1）设集合{}1,2,3,4U =，{}1,2,3M =，{}2,3,4N =。
则()=U C M N（A ）{}1,2 （B ）{}2,3 （C ）{}2,4 （D ）{}1,4 [答案]（D ）[解析]依题意知答集中的元素不在集合M N 中，2M N ∈ ，∴排出（A ）、（B ）、（C ），故选（D ）。
（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2()4x y x =≥0 （C ）()24y x x R =∈ （D ）24()y x x =≥0[答案]（B ）[解析]依题意知原函数的值域不会是负数，即反函数的定义域是x ≥0，∴排出（A ）、（C ），又点()1,2在原函数上，∴点()2,1必在反函数上，再排出（D ），故选（B ）（3）设向量a 、b 满足1a b == ，12a b ⋅=- ,则2a b +=（A（B（C（D[答案]（B ）[解析]运用公式得：()22222222()(2)2244a b a ba b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅1423=+-=2a b ∴+=，故选（B ）（4）若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3[答案]（C ）[解析]（如图）显然当目标函数23z x y =+过直线1x =与32x y -=-的交点(1，1) 时取得最小值5，故选（C ）（5）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b >+ （B ）1a b >- （C ）22a b > （D ）33a b >[答案]（A ）[解析] 1a b b a b >+>⇒> ，而反之不成立，故选（A ）（6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5[答案]（D ）[解析] 21211242422241112115k k k k k k S S a a a a k k +++++-=⇒+=⇒+=⇒=⇒+=⇒=故选（D ）（7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 [答案]（C ）[解析]因为，()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合 所以，函数()cos (0)f x x ωω=>的周期的整数倍是3π即，2()63k k Z k ππωω⋅=∈⇒=，又0ω>，1k ∴=时，ω取得最小值6。
高考数学10年真题专题解析—常用逻辑用语
常用逻辑用语年份题号考点考查内容2011课标卷理10命题及其关系平面向量模与夹角、命题真假判断2012新课标理2命题及其关系复数的概念与运算、命题真假的判定2014卷1理9全称量词与特称量词二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题真假的判定卷2文3充分条件与必要条件导数与极值的关系、充要条件的判定2015卷1理3全称量词与特称量词特称命题的否定2017卷1理2命题及其关系复数的有关概念与运算2019卷2理7充分条件与必要条件面面平行的判定与性质、充要条件判定卷3文111.全称量词与特称量词2.简单逻辑联结词二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题真假判断、含逻辑联结词命题的判定2020卷2文理16简单逻辑联结词含逻辑联结词命题真假的判断卷3理16命题及其关系命题真假的判断，三角函数图象及其性质考点出现频率2021年预测考点5命题及其关系4/102021年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻辑连接词的敏体真假判断、特称命题与全称命题真假判断及其否定的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点.考点6简单逻辑联结词2/10考点7全称量词与特称量词3/10考点8充分条件与必要条件2/10考点5命题及其关系1．(2020新课标III 理16)关于函数()1sin sin f x x x=+．①()f x 的图像关于y 轴对称；②()f x 的图像关于原点对称；③()f x 的图像关于2x π=对称；④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误．综合可得出结论．【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误，故答案为：②③．2.(2017新课标Ⅰ)设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为A ．1p ，3p B ．1p ，4p C ．2p ，3p D ．2p ，4p 【答案】B 【解析】设i z a b =+(,a b ∈R )，则2211i (i)a b z a b a b-==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．3.(2011新课标)已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,3p πθ+>⇔∈a b 2:p ||1+>a b ⇔2(,]3πθπ∈3:||1[0,3p πθ->⇔∈a b 4:p ||1->a b ⇔(,]3πθπ∈其中真命题是A ．14,p p B ．13,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】A 【解析】由1a b +==>得，1cos 2θ>-，20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭。
2011年广东省高考数学试卷(理科)含详解
xy 12-112-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12O A B C试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。
满分40分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=A ．1+iB ．1-iC ．2+2iD ．2-2i .,1)1()1()12(12z :B i i i i i 故选解析-=-+-=+=2．已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且122=+y x }，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}， 则A ∩ B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3C.,O(0,0),,x y ;1A :22故选故直线与圆有两个交点由于直线经过圆内的点组成的集体上的所有点表示直线集合上的所有点组成的集合表示由圆集合解析==+B y x3．若向量=+⋅⊥)2(,c ,b //,,b a c a a c b a 则且满足 A ．4 B ．3 C ．2 D ．0.,00022)2(:D b c a c b c a c b a c 故选解析=+=⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅4．设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数解析:因为 g(x )是R 上的奇函数,所以|g(x)|是R 上的偶函数,从而()f x +|g(x)|是偶函数,故选A.5.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为(2，1)．则z OM OA =⋅的最大值为A.42B.32C.4D.3 解:如图,区域D 为四边形OABC 及其内部区域,.,42)2(z ,z ,)2,2(2y ,2y z ,2)1,2(),(2max C B z x zx y x y x z 故选从而取到最大值时经过点显然当直线的纵截距为直线则即=+=+-=+-=+=⋅=6甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A.12 B.35 C.23 D.34.,43212121)()A ()(,A B ,B ;i ,1,2)i (A :211211i D A A P P B P A A 故选则事件表示甲队获得冠军局获胜甲在第表示继续比赛时设解析=⨯+=+=∴+==7如图l —3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.63B.93C.123D.183解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高.,3933,31222B 故选该几何体的体积为=⨯∴=-闭中每一个关于乘法是封法是封闭中有且只有一个关于乘是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中至少有一个关于乘法则下列结论恒成立的是有有且集的两个不相交的非空子是若关于数的乘法是封闭的则称有如果的非空子集是整数集设V D.T , V T , C.V B.T , V T , A.:.,,,,,,,.,,.,,,,.8V xyz V z y x T abc T c b a Z V T Z V T S S ab S b a Z S ∈∈∀∈∈∀=∈∈∀A..C B,,V T ,,}{V },{T ;D ,V ,T ,}{V },{T ,;T ,,1,1,,,,T ,1,V T ,1Z,V T :从而本题就选不对故的显然关于乘法都是封闭时偶数奇数当不对故关于乘法不封闭关于乘法封闭时负整数非负整数当另一方面对乘法封闭从而即则由于则不妨设两个集合中的一个中一定在故整数由于解析====∈∈⋅⋅∈∈∀∈=T ab T b a T b a T b a 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每小题5分．满分30分.(一)必做题(9—13题)9.不等式130x x +--≥的解集是______.22:130(1)(3),[1,).x x x x +--≥⇔+≥-∴+∞解析原不等式的解集为10.72()x x x-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).47377172422177722:()()(2)(2),7232,(2)84.r r r r r r r x x x x x xT C x x C x r r x C ---+--=-=--==∴-=解析所求的系数即展开式中项的系数,展开式的通项为由得的系数是 11.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = ..10,02,0,0,:10.k :0)61(31)1(611,61d 3d),2(24d)9(1),(29,24)(29)(,:710479876549415419149=∴==+=∴=++++∴===-⋅++---=∴+=++=∴+=+=k a a a a a a a a a S S k a a a a a a a S S 从而解法二得由即即解法一12.函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值..2)(),2,0(),,2(),0,(:)(),2(363x (x)':2处取得极小值在递减区间为的单调递增区间为解析=∴+∞-∞∴-=-=x x f x f x x x f13.某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. :,:数据可列表如下可知父亲与儿子的对应根据题中所提供的信息解析185(cm).31823,y ,1173176,13)3(63)())((,176,1732231231=++=∴=-=-==+-⨯=---=∴==∑∑==身高为从而可预测也他孙子的所以回归直线方程为x x b y a x xy y x xb y x i ii i i（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x tt R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为. 2224222(0):1(01,5sin 554,10,,0),41655541,445x x y y x y x t y t t t t t y t x t θθπθ⎧=⎪+=≤≤≠⎨=⎪⎩==+-==∴==≥==⋅=∴解析:将≤＜化为普通方程得将代入得:解得交点坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆 的切线和割线交圆于,A B ,且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，则AB = .2:,,,,,7535,35.PA BAP BCA BAC APB AB PBBAP BCA CB ABAB PB CB AB ∴∠=∠∠=∠∴∆∆=∴=⋅=⨯=∴=解析是圆的切线又与相似从而三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）1()2sin(),36f x x x R π=-∈已知函数5(1)()4f π求的值;106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ⎡⎤∈+=+=+⎢⎥⎣⎦设求的值..651654135531312sin sin cos cos )cos(.54sin ],2[0,,53cos ,56cos 2)2sin(2)23(;1312cos ],2[0,,135sin ,1310sin 2)23()2(.24sin 2)6125sin(2)45()1(:=⋅-⋅=-=+∴=∴∈=∴==+=+=∴∈=∴==+==-=βαβαβαβπβββπβπβαπαααπαππππ f f f 解17.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81H:,101)2P(,106)1P(,103)0P(, 0,1,2:)3(;143552:,2,5,5)2(;3551498:)1(:25222513122523其分布列为故可以取值优等品的数量为故可估计出乙厂生产的的产品是优等品编号为件产品中从乙厂抽取的乙厂的产品数量为解ξξξξξ==========⨯=⨯C C C C C C C ξ0 1 2P103 106 101.54101210611030)E(=⨯+⨯+⨯=∴ξξ的数学期望为18. （本小题满分13分）如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长 为1的棱形，且060DAB ∠=,2PA PD =2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，（1）证明：AD DEF ⊥平面; （2）求二面角P AD B --的余弦值..,,//,,,,//,//,//,//,,,,,,,,23,60,1,21,,,,,:)1(:2220DEF AD PHB AD PHB DEF E EF DE DEF EF DE PHB DE DE BH PHB EF PB EF BC BC F E PHB AD HB AD HB AH AB BH AH BH DAB AB AH AD PH PD PA BH PH H AD 平面平面平面平面平面又平面又显然平面的中点分别是又平面即从而可得出连接中点为设证明解⊥∴⊥∴=⊂∴∴∴⊥∴⊥⊥∴=+==∠==⊥∴=.721,7212132212323272443472cos ,2,23,27)21()2(,,,,,,)1()2(22222----=-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠∴===-=--∠∴⊂⊂⊥⊥的余弦值为即二面角的平面角就是二面角面面且知由B AD P BH PH PB BH PH PHB PB BH PH B AD P PHB BAD BH PAD PH AD BH AD PH 注: 本题也可以5,,,=PC AP AB AD 先算出为一组向量,继而可证明第(1)问,并可进一步得到AD,DE,DF 两两垂直,从而建立空间直角坐标系,再解决第(2)问.总的说来,本题用传统方法,还更简单.19. （本小题满分14分）设圆C 与两圆222254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）已知点3545(5M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及 此时点P 的坐标..14x :1,b ,5,2,,',524,4|)2()2(|||||'||r,),0,5(),0,5(')1(:22=-∴===∴<=--+=--y L C c a F F C r r CF CF C F F 的方程为的圆心轨迹从而且为焦点的双曲线的圆心轨迹是以又则的半径为并设圆设解).556,552(2,||||||,,552,55656,5314531856,5314,0)65145(3 :,052y 2x :MF ,MF P ,2|||||||,)2(21---=∴>====--=-+=≤-的坐标为此时点的最大值为综上所述代入得其纵坐标为点的横坐标应取方程中并整理得将直线方程代入双曲线的方程为直线处取得的延长线上的那个交点位于线段与双曲线的为直线等号当且仅当如图P FP MP P x x x x MF MF FP MPxy 1234-1-2-3-4-512345-1-2-3-4-5-6-7-8-9O MF PP20.（本小题满分12分）设0,b >数列{}n a 满足111=,(2)22n n n nba a b a n a n --=≥+-, (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+.1111111211,22111112,,{},,, 2.222212112(),2211122{},,22(2)12n n n n n n n n n n n n n n nba n n a a n a b a bn n n n n b a a a a a a n n b a b b a bn a b a b b b bn a b ------==⋅++--==+=∴==-≠+=+--++=---∴+-解:(1)由可得当时则数列是以为首项为公差的等差数列从而 当时,则数列是以为首项为公比的等比数列12212(2)()(),,(2)222,(2).(2)(0,2)2n n n n n n n n n n nb b a b b b b b b b a nb b b b b--=⋅=⋅∴=---=⎧⎪=⎨->≠⎪-⎩ 综上1111111111232211123122,2,22(2)(2),,22222,22222222n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn nn n n n n n b b a a b nbb b n b b a b b bn b b b b b b b b b +++++++++-----+-----==∴=--≠≤≤≤--≤+++++≤++++(2)当b=2时,+1+1,从而原不等式成立;1当b 2时,要证+1,只需证+1即证+1即证+即证n 212231121211232221,22222221)()()()222222,,.n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b bb b b b nb -+---+-++++++++++++++≥+⋅∴≠而上式左边=(当b 2时原不等式也成立从而原不等式成立;2||),(),,Q(AB :B.y )0)(41,()1(|}.||,max{|),(,0,0,4,.41:L ,)14.(21002002122122p q p q p L p p p A x x q p q px x x x q p q p x y xOy =≠==+-≥-=ϕϕ有上的作一点对线段证明轴于点的切线交作过点记的两根是方程满足实数给定抛物线上在平面直角坐标系分本小题满分（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b a -＞0，≠.过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E p p E P P ，12,l l 与y 分别交于,'F F .线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：112||(,)(,)2P M a b X P P a b φ∈⇔>⇔=； 2min max 15(,)1,(1),,44,).D x y y x y x p q p q ϕϕϕ⎧⎫=≤-≥+-⎨⎬⎩⎭(3)设当点（）取遍D 时，求（）的最小值(记为)和最大值(记为 ;2||22|}||,max{|q)(p,,p 0,0,2||,)(4,4121q ,AB q)Q(p,,240,04).0(4121y AB ,0);0(4121y AB ,0,4121y ),(2141:,21,21y',)41,()1(:000210002,1202200222020000200020000200200p p p p p x x p p p p p x p p q p p p p qp p q px x q p x p p x p p p x p x p p p x p p x p p y L A p x L p p A ==-+==≤≤>-±=∴-=--=-±=+-≥-≤≤-=<≤≤-=>-=-=-∴=ϕ则时当从而则上在线段若的两根为则方程又若的方程为则线段若的方程为则线段若即的切线方程为的抛物线过点故切线斜率为上在抛物线显然解.2|||}||,max{|q)(p,q),p,(.2||2|)(|2|||||}||,max{|q)(p,,0p ,00210002100p x x Q AB p p p p p p p x x p p ===--=--==≤≤<ϕϕ上的任一点故对线段则时当（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴21,24p a a b =- ① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔214p a a b =+-224p a a b =--⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔214p a a b =--224p a a b =+-⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ， 点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ= ∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ= ③由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a - 若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥ ∴12p p >∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N 2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H 由（2）知200240x px q -+=，解得204x p p q =-，① 若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=，∴0m min in )12(x ϕ==． 由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =+≤t =，则2122p t =-+，02t ≤≤ ∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤ ∴0max max 5)24(x ϕ==② 若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为012p p x x --=，022p p x x +-=即01,22x x =或02x p - ∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x xp q x x p p ϕ==-=-p ==51(,)4p q ϕ≤≤ 综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(陕西.文)含详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(文科)全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设a ，b 是向量，命题“若a b =- ，则||||a b =”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠- ，则||||a b ≠ （B ）若a b =- ，则||||a b ≠（C ）若||||a b ≠ ，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D 原命题的条件是a b =- ，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =- ”，故选D ．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ）（A ）28y x =- （B ）24y x =- （C ）28y x = （D ）24y x = 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选 C 由准线方程2x =-得22p -=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），所以228y p x x ==．3.设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ） 2a b a b +<<<（B ）2a b a b +<<<（c ）2a b a b +<<<2a b a b +<<<【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．【解】选 B （方法一）已知a b <和2a b +<，比较a 与，因为22()0a a ab -=-<，所以a <，同理由22()0b b b a -=->得b <；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a b a b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4=，52a b +=，所以2a b a b +<<<．4. 函数13y x =的图像是 （ ）【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 【解】选B 取18x =，18-，则12y =，12-，选项B ，D 符合；取1x =，则1y =，选项B 符合题意．5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） (A)283π-(B)83π-(C)8-2π (D)23π【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算． 【解】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6.方程co s x x =在(),-∞+∞内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．【解】选C 构造两个函数||y x =和cos y x =，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．7.如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ） (A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）11【分析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算． 【解】选B ∵126,9,x x ==∴3|9|3x ->； 又8.5p =，127.52x x +=，显然3|9|3x ->不成立，即为“否”，∴有3|9|3x -…，即3612x 剟，此时有398.52x +=，解得38x =，符合题意，故选B ．8.设集合22{||c o s s in |,}M y y x x x R ==-∈，{|||1x N x i=<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]【分析】确定出集合的元素是关键。
2011年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)
22．（ 10 分）如图， D，E 分别为△ ABC的边 AB，AC 上的点，且不与△ ABC 的顶点重合．已知 AE
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的长为 m， AC的长为 n， AD， AB的长是关于 x 的方程 x2﹣ 14x+mn=0 的两个根． （Ⅰ）证明： C，B，D，E 四点共圆； （Ⅱ）若∠ A=90°，且 m=4， n=6，求 C， B， D， E 所在圆的半径．
A．120
B．720
C．1440
D．5040
6．（5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可
能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知角 θ的顶点与原点重合， 始边与 x 轴的正半轴重合， 终边在直线 y=2x上，则 cos2 θ＝ （）
【考点】 K4：椭圆的性质． 【专题】 11：计算题． 【分析】 根据椭圆的方程，可得 a、b 的值，结合椭圆的性质，可得 c 的值，有椭圆的离心率公式，
计算可得答案．
【解答】 解：根据椭圆的方程
=1，可得 a=4，b=2 ，
则 c=
=2 ；
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则椭圆的离心率为 e= = ， 故选： D． 【点评】 本题考查椭圆的基本性质： a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质
A．18
B．24
C． 36
D． 48
10．（ 5 分）在下列区间中，函数 f（x）=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为（
）
A．（ ， ）
B．（﹣ ，0）
C．（0， ）
2011年新课标文科数学解析
2011年新课标全国卷解析【名师简评】本套试卷知识考查全面，选择题和填空题中多数为基础题，中档题和难题数量不多.解答题相对平和，最后两题难度不大。
三选一的题目中22题难度略大于后两题，选4-1的可能吃亏.由于本卷为全国卷的文科卷，题目设置上较为简单，且简单问题中不设置陷阱，送分到位，较难问题的设置也采取了宽进的方式，在题意的理解上没有设置障碍.本卷也给高三数学的复习指明了方向即巩固基础知识和基本技能，再通过实战训练巩固即可. 一、选择题1、B 【命题意图】本题考查集合的基本运算以及集合子集的个数求解. 【解析】因为{}1,3P M N ==I ，所以P 的子集个数为4，故答案选B.2、C 【命题意图】本题考查复数的基本运算. 【解析】()51252125i i i i i +==-+-，故答案选C. 3、B 【命题意图】本题考查函数的单调性和奇偶性【解析】A 不是偶函数，故去掉；C ，D 中的函数在()0,+∞上是减函数，故去掉，所以答案选B.4、D 【命题意图】本题考查椭圆的离心率求解.【解析】因为2216,8a b ==，所以28c =，故22212c e a ==，即e =，故答案选D.5、B 【命题意图】本题考查算法流程图的含义。
【解析】当1k =时，1p =；当2k =时，12p =⨯，…，当6k =，123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=。
此时满足循环条件退出，输出720p =，故答案选B. 6、A 【命题意图】本题考查古典概型.【解析】由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故基本事件为33n =⨯ 只有三个小组可选，故两个同学在同一组的有3种情况，所以3193p ==，故答案选A. 7、B 【命题意图】本题考查三角函数定义以及二倍角公式的运用.【解析】设直线2y x =上任意一点为()00,2P x x ，0r =，故cos θ=， 所以23cos 22cos 15θθ=-=-，故答案选B. 8、【命题意图】本题考查空间几何体的三视图以及空间想象能力.【解析】由主视图和俯视图可得该几何体为三棱锥和圆锥的组合体，如图所示所以该几何体的测试图为两个三角形，且都是实线，故答案选D.9、C 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系. 【解析】不妨设抛物线方程为()220y px p =>，如图所示由题意可得：2212A AB y p ===，又直线l 与渐近线平行，故不论P 点在何处，点P 到直线l 的距离都等于p ，故212362ABP S p p p =⨯⨯==V ，故答案选C. 10、C 【命题意图】本题考查函数零点判断以及数形结合的思想 【解析】令,43xy e y x ==-，所以由图像可得原函数零点分布在区间()0,1上， 因为11221333222f e e ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，94e >又14133044f e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，所以零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭上，故答案选C.11、D 【命题意图】本题考查三角函数的化归以及三角函数的性质. 【解析】F()sin 2cos 22)244442f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，对称轴方程为2k x π=，故答案选D. 12、A 【命题意图】本题考查函数周期性以及函数图像的画法. 【解析】在同一直角坐标系画出它们的图像当x=9时，lg91<，所以两个函数共有10个交点，故答案选A.二、填空题13.1【命题意图】本题考查平面向量的基本概念及其运算. 【解析】因为a +b 与k a -b ，所以（a +b ）·（k a -b ）=0，即k-1+（k-1）a ·b =0 （k-1）(1+cos θ)=0,所以1k =或cos 1θ=-，又两个向量不共线，故答案填1k =. 14. 6-【命题意图】本题考查线性规划的问题 【解析】画出可行域如下图所示由于z 与动直线2y x z =-+的截距成正比，故当动直线经过点B 时，截距最小，即z 最小为-6，故答案填6-.15.. 【解析】因为2222cos120AC AB BC AB BC =+-o g ，所以25240BC BC +-=即3BC =，所以三角形面积为1sin 2S AB BC B ==g g g . 16.13【命题意图】本题考查球的基本性质以及圆锥的性质和表面积、体积的计算 【解析】如图所示因为224163R r ππ=，所以2r R =，因为球是圆锥的外接球，所以2BH OB =，即12OH R =所以两个圆锥高之比为132112R R AH CH R R +==-，故答案填写13. 三、解答题 17、【命题意图】本题考查数列的基本量的求解以及用公式法求解数列的前n 项的和.【参考答案】：本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N === ，P M N =⋂则P 的子集共有（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个 （2）复数512ii=- （A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+ （3）下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=（4）椭圆221168x y +=的离心率为（A ）13 (B) 12 （C（5）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（9）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直。
l 与C 交于A,B 两点，AB =12，P 为C 的准线上一点，则∆ABP 的面积为（A ）18 （B ）24 （C ）36 （D ）48 （10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（11）设函数（A ）y= f (x)在（0，2π）单调递增，其图像关于直线x = 4π对称 （B ）y= f (x)在（0，2π）单调递增，其图像关于直线x = 2π对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称(12) 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x ∈[]11，-时 f (x) =x 2,那么函数y = f (x) 的图像与函数y =x lg 的图像的交点共有（A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。
第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k= 。
（14）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。
（15）△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 。
（16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分） 已知等比数列{}a 中，，公比13q =。
（I ）n S 为{}a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列n b 的通项公式。
（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形。
60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ 底面ABCD 。
（I ）证明：PA BD ⊥（II ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高。
（19）（本小题12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润。
（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值。
（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合。
已知AE 的长为m ，AC的长为n ，AD,AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根。
（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（Ⅱ）若90A ∠=︒，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径。
(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程;(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N === 则P 的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。
显然P={}3,1，子集数为22=4故选B（2）复数512ii=- （A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+ 解析：本题考查复数的运算，属容易题。
解法一：直接法512i i =-()()()i i i i i +-=+-+22121215，故选C 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案。
（3）下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是 A. 3y x = B. 1y x =+ C. 21y x =-+ D. 2x y -= 解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是()0,+∞的增函数，故选B 。
(4).椭圆221168x y +=的离心率为A. 13B. 12C. 3D. 2解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=22422==a c ,故选D 。
也可以用公式22.2116811222=∴=-=-=e ab e 故选D 。
（5）执行右面得程序框图，如果输入的N 是6， 那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：本题考查程序框图，属于容易题。
可设11=P ,21=K 则322,2==K P ，463,3==K P ， 5244,4==K P ， 61205,5==K P ， 677206,6==K P，输出720.故选B（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 (B) 12 (C) 23 (D)34解析：本题考查古典概型，属于容易题。
设三个兴趣小组分别为A,B,C.他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共3中，故概率为.3193=故选A 。
（7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- (C) 35 (D) 45解析：本题考查三角公式，属于容易题。
易知tan θ=2，cos θ=51±.由cos2θ=2θcos 2-1=35-故选B（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。
属于难题。
由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D（9）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直。
l 与C 交于A,B 两点，AB =12，P 为C 的准线上一点，则∆ABP 的面积为 （A ）18 （B ）24 （C ）36 （D ）48解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。
易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C 。
（10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。
只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。
故选C 。
（11）设函数，则（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称解析：本题考查三角函数的性质。