2020高考数学刷题首秧专题突破练4数列中的典型题型与创新题型理含解析
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】等差数列、等比数列的基本运算题组一 等差数列基本量的计算例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】解法一：由题知()21(1)21n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8.解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2−S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。
题组二 等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即4220q q --=，解得q 2=2，∴4624a a q ==.【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：(1)设基本量a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．等差数列、等比数列的判定与证明题组一 等差数列的判定与证明例1设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项． (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n =−n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值． 【答案】(1)见解析；(2) 当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6. 【解析】(1)由已知可得2S n =a 2n ＋a n ，且a n >0， 当n =1时，2a 1=a 21＋a 1，解得a 1=1； 当n ≥2时，有2S n −1=a 2n －1＋a n −1，所以2a n =2S n −2S n −1=a 2n −a 2n －1＋a n −a n −1，所以a 2n −a 2n －1=a n ＋a n −1，即(a n ＋a n −1)(a n −a n −1)=a n ＋a n −1，因为a n ＋a n −1>0， 所以a n −a n −1=1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可知a n =n ，设c n =a n ·b n ，则c n =n (−n ＋5)=−n 2＋5n =−⎝⎛⎭⎫n －522＋254， 因为n ∈N *，所以当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6.【易错点】S n 是a 2n 和a n 的等差中项，无法构建一个等式去求解出a n 。
2020年高考数学(理数)解答题强化专练——数列含答案
（理数）解答题强化专练——数列一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.已知等差数列{a n}满足a n+1+n=2a n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．2.已知{a n}是递增的等差数列，且满足a2+a4=20，a1•a5=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．3.已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+n-1．（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n．4.记S n为等差数列{a n}的前n项和，数列{b n}为正项等比数列，已知a3=5，S3=9，b1=a1，b5=S4．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）记T n为数列{a n•b n}的前n项和，求T n．5.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是公差为-1的等差数列，且a2+2是a1，a3的等差中项．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若T n是数列{}的前n项和，若T n＜M恒成立，求实数M的取值范围．6.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=且n≥2）．（Ⅰ）证明：为等差数列：（Ⅱ）求数列的前n项和T n．7.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S2=2a2-2，S5=3a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n•2n-1，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＞300．求正整数n的取值范围．8.设等差数列{a n}公差为d，等比数列{b n}公比为q，已知a1＝b1，a3＝b1＋b2＝5，q＝2d．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n·b n，求数列{c n}的前n项和S n．9.已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3+a5=42，a3+9是a1，a5的等差中项．数列{b n}的通项公式b n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：b1+b2+…+b n＜，n∈N*．10.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且a n S n+1-a n+1S n=a n+1-λa n，对一切n∈N*都成立．（1）当λ=1时；①求数列{a n}的通项公式；②若b n=（n+1）a n，求数列{b n}的前n项的和T n；（2）是否存在实数λ，使数列{a n}是等差数列如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】解：（1）由已知{a n}为等差数列，记其公差为d．①当n≥2时，，两式相减可得d+1=2d，所以d=1，②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．所以a n=1+n-1=n；（2），，所以=．【解析】本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．（1）设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式可得S n，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．2.【答案】解：（1）{a n}是递增的等差数列，设公差为d，则d＞0，a2+a4=20，a1•a5=36，可得a1+a5=20，解得a1=2，a5=18，d==4，则a n=2+4（n-1）=4n-2；（2）b n=（4n-2）-30=2n-31，可得前n项和T n=n（-29+2n-31）=n2-30n=（n-15）2-225，当n=15时，前n项和T n取得最小值-225．【解析】（1）设公差为d，则d＞0，运用等差数列的性质和通项公式，可得公差d，首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=（4n-2）-30=2n-31，运用等差数列的求和公式，配方可得所求最小值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前n项和的最值求法，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】解：（1）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+n-1．由b n=a n+n，那么b n+1=a n+1+n+1，∴===2；即公比q=2，b1=a1+1=2，∴数列{b n}是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得b n=2n，∴a n+n=2n那么数列{a n}的通项公式为：a n=2n-n数列{a n}的前n项和为S n=2-1+22-2+23-3+……+2n-n=（21+22+……2n）-（1+2+3+……+n）=2n+1-2．【解析】（1）由b n=a n+n，那么b n+1=a n+1+n+1，利用定义证明即可；（2）根据（1）求解数列{a n}的通项，即可求解S n．本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键．4.【答案】解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，设数列{b n}的首项为b1，公比为q，由a3=a1+2d=5和S3=3a1+3d=9得a1=1，d=2，a n=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．b1=a1=1，由b5=S4得，所以．所以数列{b n}的通项公式为．（2）．．．相减可得．即有．【解析】（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，设数列{b n}的首项为b1，公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．5.【答案】（1）证明：∵数列{a n}是公差为-1的等差数列，∴a n=a1-（n-1），∴=3n-1．∴n≥2时，==3，数列{a n}是以3为公比的等比数列．∴a2=3a1，a3=9a1．∵a2+2是a1，a3的等差中项，∴2（a2+2）=a1+a3，∴2（3a1+2）=a1+9a1，解得a1=1．∴数列{a n}是以3为公比，1为首项的等比数列．∴a n=3n-1．（2）解：=．∴T n==．∵T n＜M恒成立，∴．∴实数M的取值范围是．【解析】（1）数列{a n}是公差为-1的等差数列，可得a n=a1-（n-1），可得=3n-1．即可证明数列{a n}是以3为公比的等比数列．由a2+2是a1，a3的等差中项，可得2（a2+2）=a1+a3，解得a1．（2）由（1）可得：=．可得T n，进而得出M的取值范围．本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、数列的单调性、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】（Ⅰ）证明：依题意，由=2a n+1，可得a n=2a n a n+1+a n+1，即a n-a n+1=2a n a n+1．两边同时除以a n a n+1，可得-=2（n≥2）．∵-=3-1=2，也满足上式．∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，=1+2（n-1）=2n-1，则=（2n-1）•3n．∴T n=1×3+3×32+…+（2n-1）•3n，3T n=1×32+3×33+…+（2n-3）•3n+（2n-1）•3n+1，两式相减，可得-2T n=3+2×32+2×33+…+2•3n-（2n-1）•3n+1，=3+18×（1+3+32+…+3n-2）-（2n-1）•3n+1=3+18×-（2n-1）•3n+1=2（1-n）•3n+1-6．∴T n=（n-1）•3n+1+3．【解析】本题第（Ⅰ）题对题干中的递推公式进行变形转化，可得-=2．进一步计算可证得为等差数列；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前n项和T n．本题主要考查由递推公式得到通项公式，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．7.【答案】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，解得．∴a n=2+2（n-1）=2n，n∈N*．（2）由（1）知，b n=a n•2n-1=n•2n．则T n=b1+b2+b3+…+b n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1．两式相减，可得-T n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2．∴T n=（n-1）•2n+1+2．构造数列{T n}：令T n=（n-1）•2n+1+2，则T n+1-T n=n•2n+2-（n-1）•2n+1=（n+1）•2n+1＞0，故数列{T n}是单调递增数列．∵T5=4•26+2=258＜300，T6=5•27+2=642＞300，∴满足T n＞300的正整数n的取值范围为{n|n≥6，n∈N*}．【解析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，根据等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项a1和公差d的方程，解出a1和d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和T n．再根据数列{T n}的单调性可计算出满足T n＞300时正整数n的取值范围．本题主要考查等差数列的基础知识，错位相减法求前n项和，数列的单调性．考查了方程思想，转化思想，不等式的计算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．8.【答案】解：（1）∵b1＋b2＝5，∴b1（1＋q）＝5，又∵q＝2d，a1＝b1，∴a1（1＋2d）＝5，∴a3＝a1＋2d＝5，∴a1＝5-2d，∴（5-2d）（1＋2d）＝5，解得：d1＝0，d2＝2，若d＝0，q＝2d＝0（舍去）若d＝2，q＝2d＝4，∴b1＝a1＝a3-2d＝1，∴a n＝a1＋（n-1）d＝2n-1，b n＝b1q n-1＝4n-1．（2）c n＝a n·b n＝（2n-1）·4n-1，∴S n＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n-1）4n-1∴4S n＝4＋3×42＋5×43＋…＋（2n-1）4n，．【解析】本题考查等差数列、等比数列的通项公式和错位相减法求和，考查推理能力和计算能力，属于中档题.（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解；（2）由c n＝a n·b n＝（2n-1）·4n-1，利用错位相减法即可求解.9.【答案】解：（I）由a3+9是a1，a5的等差中项得a1+a5=2a3+18，所以a1+a3+a5=3a3+18=42，解得a3=8，由a1+a5=34，得，解得q2=4或，因为q＞1，所以q=2，所以；（II）证明：由（I）可得，∴==，∴=．【解析】（Ⅰ）由等差中项的性质可求得a3=8，进而得到a1+a5=34，进一步求得公比q，由此即可得解；（Ⅱ）化简数列{b n}，由此即可得证．本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查化简运算能力及逻辑推理能力，属于中档题．10.【答案】解：（1）①当λ=1时，a n S n+1-a n+1S n=a n+1-a n，则a n S n+1+a n=a n+1S n+a n+1，即（S n+1+1）a n=（S n+1）a n+1．∵数列{a n}的各项均为正数，∴=．∴•…=•…，化简，得S n+1+1=2a n+1，①∴当n≥2时，S n+1=2a n，②②-①，得a n+1=2a n，∵当n=1时，a2=2，∴n=1时上式也成立，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a n=2n-1．②由①知，b n=（n+1）a n=（n+1）•2n-1．T n=b1+b2+…+b n=2•1+3•21+…+（n+1）•2n-1，2T n=2•2+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n，两式相减，可得-T n=2+2+22+…+2n-1-（n+1）•2n=2+-（n+1）•2n=-n•2n．∴T n=n•2n．（2）由题意，令n=1，得a2=λ+1；令n=2，得a3=（λ+1）2．要使数列{a n}是等差数列，必须有2a2=a1+a3，解得λ=0．当λ=0时，S n+1a n=（S n+1）a n+1，且a2=a1=1．当n≥2时，S n+1（S n-S n-1）=（S n+1）（S n+1-S n），整理，得S n2+S n=S n+1S n-1+S n+1，即=，从而•…=•…，化简，得S n+1=S n+1，即a n+1=1．综上所述，可得a n=1，n∈N*．∴λ=0时，数列{a n}是等差数列．【解析】本题第（1）①题将λ=1代入递推式并转化递推式，然后运用累乘法可得S n+1+1=2a n+1，再类比可得S n+1=2a n，两式相减，再进行计算可发现数列{a n}是等比数列，即可得到数列{a n}的通项公式；第（1）②题先根据①的结果得到数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法求出前n项的和T n；第（2）题可先假设数列{a n}是等差数列，则根据等差中项的性质有2a2=a1+a3，计算出a2，a3关于λ的表达式并代入可解出λ的值，再代入递推式进行验证数列{a n}是等差数列，即可得到结论．本题主要考查数列的求通项公式，等差数列和等比数列的性质应用．考查了累乘法，错位相减法，转化思想的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属较难题．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》经典测试题含解析
【高中数学】数学《数列》复习知识点一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.2．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ） A ．2n B ．31n - C ．2n D ．31n -【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2213b b b =，求出q ，即求n S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，112,2n n a a q -=∴=Q ，121n n b q -∴=+，13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，{}n b Q 也是等比数列， 2213b b b ∴=，即()()2221321q q +=+解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则9S =（ ） A ．993 B ．766 C ．1013 D ．885【答案】C 【解析】 【分析】计算11a =，()1121n n a a -+=+，得到21nn a =-，代入计算得到答案.【详解】当1n =时，11a =；当2n ≥时，1121n n n n a S S a --=-=+，∴()1121n n a a -+=+，所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，即21nn a =-，∴1222n n n S a n n +=-=--，∴1092111013S =-=．故选：C . 【点睛】本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S ( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得260,0q q q --=>，解得q ，再利用求和公式即可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，Q 满足645,3,a a a -成等差数列，()2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992 B ．1022C ．1007D ．1037【答案】C 【解析】 【分析】首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>， 故1,2,n =……，135数列共有135项．因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：C ． 【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.6．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，(2)(4)(6)(2018)(1)(3)(5)(2017)f f f f f f f f ++++L 的值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2018【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合()()()f a b f a f b +=⋅求解()()()()()()()()24620181352017f f f f f f f f ++++L 的值即可.【详解】在等式()()()f a b f a f b +=⋅中，令1b =可得：()()()()112f a f a f f a +==， 则()()12f a f a +=，据此可知： ()()()()()()()()24620181352017f f f f f f f f ++++L 2222210092018=++++=⨯=L .本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．已知数列{}n a 中，732,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a 等于（ ） A ．0 B ．12C ．23D ．1-【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件得等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭公差以及通项公式，代入解得11a .【详解】 设等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭公差为d ，则731111144,112324d d d a a =-∴=-=++， 从而31115(3)11242424n n n a a =+-⋅=+++ 11111115211242432a a =+=∴=+，选B.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本求解能力，属基本题.8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（ ） A ．-3 B ．5C ．-31D ．33【答案】D 【解析】 【分析】先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解106S S 的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，可得313366316(1)1121(1)11181a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以101105105516(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.因为()2210q -≥所以不等式的解集为10a < 若210n S -<当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.10．已知数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．41n a n =+D ．41n a n =-【答案】C 【解析】 【分析】首先根据223n S n n =+求出首项1a 的值，然后利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】因为223n S n n =+，所以，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立， 所以41n a n =+， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后再判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果.11．已知{}n a 是单调递增的等比数列，满足352616,17a a a a ⋅=+=，则数列{}n a 的前n 项和n S =A ．122n+ B ．122n- C ．1122n -+D ．1122n -- 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根，解方程可得q和a 1，代入求和公式计算可得． 【详解】∵352616,17a a a a ⋅=+=，∴由等比数列的性质可得26261617a a a a ⋅=+=， ，26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根解方程可得2626116161a a a a ====，，或， ， ∵等比数列{a n }单调递增，∴26116a a ==，，∴1122q a ，＝= ，∴()1112122122nn n S ----＝＝ 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．12．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．13．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120C ．121D ．192【答案】B 【解析】 【分析】 根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】Q35227a q a ==, ∴ 3q =∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.14．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10 B ．20C ．20或-10D ．-20或10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求． 【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用15．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题设知21n a n =-，12n nb -=，由1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．【详解】{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b Q 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，()()()()1121121242211221241221n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- ()121242n n -=+++⋯+- 12212nn -=⨯-- 122n n +=--，2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n <．则当2019n T <时，n 的最大值是9． 故选A ． 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．32B ．32-C ．23D ．23-【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()183********a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ． 【点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.17．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）A．[； B．(,-∞C．)+∞D．(,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322a d a =--， 当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立； 当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d 的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.18．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．43钱B ．73钱C ．83钱D ．103钱 【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10求得a ＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ，又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10，∴a ＝2，则a ﹣2d ＝a 48333a a +==． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】A【解析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n =， 因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+ 因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >所以当1300n S =时，n 的最大值为49故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.20．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1) 【答案】D【解析】【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围.由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111*********n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.。
全国通用版高考数学总复习专题四数列4.1数列基础题精选刷题练理
4.1 数列基础题命题角度1求数列的通项公式高考真题体验·对方向1.(2016浙江·13)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=.答案1121解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由a n+1=2S n+1,a n=2S n-1+1(n≥2),得a n+1-a n=2a n,即a n+1=3a n(n≥2).又因为a2=3a1,所以数列{a n}是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5==121.2.(2015全国Ⅱ·16)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=. 答案-解析由a n+1=S n+1-S n=S n S n+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,∴=-n,∴S n=-.新题演练提能·刷高分1.(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{a n}中,a1=2,+ln1+,则a n=()A.2+n ln nB.2n+(n-1)ln nC.2n+n ln nD.1+n+n ln n答案 C解析由题意得=ln(n+1)-ln n,n分别取1,2,3,…,(n-1)代入,累加得=ln n-ln 1=ln n,=2+ln n,∴a n=2n+n ln n,故选C.2.(2018广东一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,则a5=.答案14解析由题意得a5=S5-S4=×52+-×42+2=14.3.(2018湖南、江西第二次联考)已知S n是数列{a n}的前n项和,且log3S n+1=n+1,则数列{a n}的通项公式为.答案a n=解析由log3(S n+1)=n+1,得S n+1=3n+1,当n=1时,a1=S1=8;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2×3n,所以数列{a n}的通项公式为a n=4.(2018湖南衡阳一模)已知数列{a n}前n项和为S n,若S n=2a n-2n,则S n=.答案n·2n解析∵S n=2a n-2n=2(S n-S n-1)-2n,整理得S n-2S n-1=2n,等式两边同时除以2n有=1,又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,所以数列b n=可看作以1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,所以S n=n·2n.5.(2018河南4月适应性考试)已知数列{a n}的前n项和是S n,且a n+S n=3n-1,则数列{a n}的通项公式a n=.答案3-n-2解析由题得a n+S n=3n-1①,a n-1+S n-1=3n-4②,两式相减得a n=a n-1+,∴a n-3=(a n-1-3),∴{a n-3}是一个等比数列,所以a n-3=(a1-3)n-1=(1-3)n-1,∴a n=3-n-2.故填3-n-2.命题角度2等差数列基本量的运算高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·4)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案 B解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.2.(2017全国Ⅰ·4)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8答案 C解析设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.3.(2017全国Ⅲ·9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案 A解析设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.4.(2016全国Ⅰ·3)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案 C解析(方法一)设等差数列{a n}的公差为d,则由题意得,解得a1=-1,d=1,故a100=a1+99d=-1+99=98.(方法二)因为S9==27,a1+a9=2a5,所以a5=3.又因为a10=8,所以d==1.故a100=a10+(100-10)×1=98.5.(2017全国Ⅱ·15)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=.答案解析设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知解得所以S n=na1+d=.所以=2.所以=21-++…+=2.新题演练提能·刷高分1.(2018重庆二诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=7,S3=12,则a10=()A.10B.28C.30D.145答案 B解析由题意,设等差数列的首项为a1,公差为d,则解得所以a10=a1+9d=1+9×3=28,故选B.2.(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若=2,则=()A.2B.C.4D.答案 B解析设等差数列{a n}的公差为d,=2,即a3+3d=2a3,则a3=3d,,故选B.3.(2018青海西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为()A.-n+(n∈N*,n≤5)B.n+(n∈N*,n≤5)C.n+(n∈N*,n≤5)D.-n+(n∈N*,n≤5)答案 D解析依题意甲、乙、丙、丁、戊所分得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,所以a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,所以此等差数列首项为,公差为-,故通项公式为a n=-n+(n∈N*,n≤5),故选D.4.(2018河南六市一模)在等差数列{a n}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以S n表示{a n}的前n项和,则使S n达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18答案 B解析因为a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以a3=35,a4=33,从而d=-2,a1=39,S n=39n+n(n-1)(-2)=-n2+40n,所以当n=20时,S n取最大值,故选B.5.(2018河南六市一模)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤答案 B解析用a1,a2,…,a8表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,∴8a1+×17=996,解得a1=65.∴a8=65+7×17=184.故选B.6.(2018陕西西安八校第一次联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6>S7>S5,则满足S n S n+1<0的正整数n的值为()A.10B.11C.12D.13答案 C解析∵S6>S7>S5,∴6a1+d>7a1+d>5a1+d,∴a7<0,a6+a7>0,∴S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,∴满足S n S n+1<0的正整数n的值为12,故选C.7.(2018湖南长沙雅礼中学、河南实验中学联考)设等差数列{a n}满足a2=7,a4=3,S n是数列{a n}的前n项和,则使得S n>0的最大的自然数n是()A.7B.8C.9D.10答案 C解析解得所以S n=9n+×(-2)=-n2+10n,所以-n2+10n>0,所以0<n<10,则最大的自然数是9.故选C.8.(2018北京顺义二模)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=-1,S10=35,则a20=.答案18解析∵{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=-1,S10=35,∴∴d=1,∴a20=a1+(20-1)×1=18.9.(2018东北三省三校二模)已知递增的等差数列{a n}的前三项和为-6,前三项积为10,则前10项和S10=.答案85解析∵a1+a2+a3=-6,a1a2a3=10,∴a2=-2,a1+a3=-4,a1a3=-5.∴a1=-5,a3=1,∴公差为3,S10=10×(-5)+×10×9×3=85.命题角度3等比数列基本量的运算高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案 B解析设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381,可得x=3,故选B.2.(2017全国Ⅲ·14)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.答案-8解析设{a n}的公比为q,则由题意,得解得故a4=a1q3=-8.3.(2017江苏·9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.答案32解析设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=,∴a1+a2+a3=.由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=,a1=,∴a8=a1·q7=×27=32.4.(2017北京·10)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=.答案 1解析设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.新题演练提能·刷高分1.(2018广东珠海3月检测)S n是正项等比数列{a n}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=()A.2B.3C.1D.6答案 A解析由题得∴故选A.2.(2018甘肃兰州第二次实战考试)等比数列{a n}中各项均为正数,S n是其前n项和,满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()A.9B.15C.18D.30答案 D解析设等比数列{a n}的公比为q(q>0).2S3=8a1+3a2,∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0.∴2q2-q-6=0,∴q=2或q=-(舍去).∵a4=16,∴a1==2,∴S4==30.故选D.3.(2018新疆乌鲁木齐二诊)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为()A.24里B.48里C.96里D.192里答案 C解析由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列,且前6项的和为378,求该数列的第2项.设首项为a1,则有=378,解得a1=192,则a2=192×=96(里).故选C.4.(2018山东济南一模)已知正项等比数列{a n}满足a3=1,a5与a4的等差中项为,则a1的值为()A.4B.2C.D.答案 A解析设公比为q(q>0),∵a3=1,a5与a4的等差中项为,∴即a1的值为4,故选A.5.(2018山西太原二模)已知公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S3=3a3,则S5=()A.1B.5C.D.答案 D解析由题意得=3a1q2,解得q=-,q=1(舍),所以S5=,故选D.6.(2018安徽江南十校3月联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天,长为3尺;莞生长第一天,长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”以下给出了问题的4个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)()A.1.3日B.1.5日C.2.6日D.3.0日答案 C解析由题意可知蒲的长度是首项为3,公比为的等比数列,莞的长度是首项为1,公比为2的等比数列,设n天后长度相等,由等比数列前n项和公式有:,解得n=log26=≈2.6.故选C.7.(2018河北唐山期末)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和,若{S n+λ}为等比数列,则λ=()A.-1B.1C.-2D.2答案 B解析由题意{a n}是等比数列,公比为2,∴S n=2n-1,S n+λ=2n-1+λ,{S n+λ}为等比数列,则-1+λ=0,即λ=1,故选B.8.(2018湖南长沙长郡中学模拟)已知递减的等比数列{a n},各项均为正数,且满足则数列{a n}的公比q的值为()A. B. C. D.答案 B解析因为数列是等比数列,故得到==,化简得到a1a3=,a2=.由a1+a2+a3=+a2+a2q⇒q+⇒q=.9.(2018江西教学质量监测)已知等比数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,若S5+4S3=5S4,则数列的最大项等于()A.-11B.-C.D.15答案 D解析由已知得S5-S4=4(S4-S3)⇒a5=4a4⇒q=4,a n=2×4n-1=22n-1,所以,由函数y=的图象得到,当n=4时,数列的最大项等于15.故选D.10.(2018北京石景山一模)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为.答案解析由题意,正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,现已知共得到1 023个正方形,则有1+2+…+2n-1=1 023,则n=10,故最小正方形的边长为×9=.命题角度4等差、等比数列性质的应用高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅰ·15)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.答案64解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得,解得q=,a1=8,所以a1a2…a n=8n·,抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5,又n∈N*,所以当n=3或4时,a1a2…a n取最大值为=26=64.2.(2015广东·10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案10解析根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北武汉调研)在等差数列{a n}中,前n项和S n满足S7-S2=45,则a5=()A.7B.9C.14D.18答案 B解析S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9,故选B.2.(2018山东烟台一模)已知等差数列{a n}的前项和为S n,若a3+a7=6,则S9等于()A.15B.18C.27D.39答案 C解析由等差数列的性质可知a3+a7=a1+a9=6,又S9==27,故选C.3.(2018安徽淮北二模)已知等比数列{a n}中,a5=2,a6a8=8,则=()A.2B.4C.6D.8答案 A解析∵数列{a n}是等比数列,∴a6a8==8,∴a7=2(与a5同号),∴q2=,从而=q4=()2=2.故选A.4.(2018湖南、江西第一次联考)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若S9=45,a3+a8=12,则a7等于()A.10B.9C.8D.7答案 B解析由题意可得S9=9a5=45,∴a5=5,由等差数列的性质可得a3+a8=a5+a6=5+a6=12,∴a6=7,该数列的公差d=a6-a5=2,故a7=a6+d=7+2=9.选B.5.(2018山东烟台期末)已知等比数列{a n}中,a2a10=6a6,等差数列{b n}中,b4+b6=a6,则数列{b n}的前9项和为()A.9B.27C.54D.72答案 B解析根据等比数列的基本性质有a2a10==6a6,a6=6,所以b4+b6=a6=6,所以S9==27.6.(2018山西太原一模)已知等比数列{a n}中,a2a5a8=-8,S3=a2+3a1,则a1=()A. B.-C.-D.-答案 B解析因为a2a5a8=-8,所以=-8,a5=-2,因为S3=a2+3a1,所以a1+a2+a3=a2+3a1,所以a3=2a1,所以q2=2,因此a5=a1q4=-2,a1==-.故选B.7.(2018河北唐山二模)设{a n}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案 D解析设数列前3n项的和为R,则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列,所以2(Y-X)=X+R-Y,解之得R=3Y-3X,又因为2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.8.(2018河北衡水中学模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1 016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a n},则log2(a3·a5)的值为()A.8B.10C.12D.16答案 C解析∵最下层的“浮雕像”的数量为a1,依题有:公比q=2,n=7,S7==1 016, 解得a1=8,则a n=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7,n∈N*),∴a3=25,a5=27,从而a3·a5=25×27=212,∴log2(a3·a5)=log2(212)=12,故选C.9.(2018四川成都模拟)在等差数列{a n}中,已知S8=100,S16=392,则S24=.答案876解析∵在等差数列中,S8=100,S16=392,∴S8,S16-S8,S24-S16成等差数列,即2(S16-S8)=S8+(S24-S16),∴2(392-100)=100+(S24-392),则S24=876,故答案为876.10.(2018湖南永州模拟)记S n为正项等比数列{a n}的前n项和,若S4-2S2=2,则S6-S4的最小值为.答案8解析在等比数列{a n}中,根据等比数列的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列, 所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),所以S6-S4=,因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,所以S6-S4==S2++4≥2+4=8,当且仅当S2=时,等号是成立的,所以S6-S4的最小值为8.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》经典测试题含答案解析
【高中数学】数学《数列》复习知识点(1)一、选择题1．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90C ．72D ．24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．2．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192C ．1119892D ．1120192【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.3．已知数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=-+，记12111n nA a a a =++⋯+，12111n nB a a a =⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．2019201912A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）21210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=+=，20192121116B A a a <=⋅=， 所以2019201912A B ->. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：（1）211121111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒=-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）211n n n a a a +=-+等价于21111n n na a a +=--， 所以1111n n n a a a +-=-， 故12111111n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是12121111111n n a a a a a a ⎛⎫⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.4．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6C ．10D ．11【答案】C 【解析】2525163412132323222log 62n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)011102n n n S n n +-=>⇒<⇒= ，故选C.5．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )A B C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x ym m+=,求出,a c ．再求椭圆的离心率即可. 【详解】()22n m m n n m =++⇒=,∴椭圆为2212x y m m+=,22c m m m =-=,得c =又a =2c e a ∴==.则椭圆离心率为2，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ）A ．1845a a a a >B ．1845a a a a <C ．1845a a a a +>+D ．1845a a a a =【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力.7．定义“穿杨二元函数”如：(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个.例如：()3,436122445C =+++=.若a Z +∃∈，满足(),C a n n =，则整数n 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．不存在满足条件的n【答案】B 【解析】 【分析】由(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个，得()()12,2112nn C a n a a -=⨯=--,然后根据(),C a n n =结合条件分析得出答案.【详解】由(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个，得()()12,2112nn C a n a a -=⨯=-- 由(),C a n n =，可得()21na n -=.当0n =时，对任意a Z +∈都满足条件. 当0n ≠时, 21nna =-,由a Z +∈，当1n =时，1a =满足条件. 当2n ≥且n Z ∈时，设()21xf x x =--，则()2ln 21xf x '=-在2x ≥上单调递增. 所以()()24ln 210f x f ''>=->，所以()f x 在2x ≥上单调递增. 所以()()24120f x f >=-->，即当2n ≥且n Z ∈时，恒有21n n ->.则()0,121nna =∈-这与a Z +∈不符合.所以此时不满足条件. 综上：满足条件的n 值为0或1.故选：B 【点睛】本题考查新定义，根据定义解决问题，关键是理解定义，属于中档题.8．设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取得最大值时，的值为A ．B ．C ．或D ．【答案】C 【解析】，进而得到，即，数列是公差的等差数列，所以前五项都是正数，或时，取最大值，故选C.9．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =， 所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.10．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2124n -- B ．1122n -- C ．21n - D ．122n +-【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >可得214128a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，所以数列{}n a 的前n 项和11(12)122122nn n S --==--. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]1,0- B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】B 【解析】 【分析】先求得等比数列的首项和公比，得到n S ，分析数列的单调性得到n S 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】由1220,a a += 334S =，得11211,,1232nn a q S ⎡⎤⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值12， 所以1221a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，112a -≤≤，故选B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.13．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值． 【详解】等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <， 即()()120201*********a a S a a +==+>，10110a a ∴+>，()1212111212102a a S a +==<，所以，110a <，则100a >，因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．14．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972C ．3 973D ．3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解．【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中，则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，故选：D ． 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．15．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016 B ．20162017C ．20172018D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9C ．18D ．27【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a =∴1999()272a a S ⨯+== 故选D.17．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51C ．61D ．68【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，3156a a ∴+=.()()11731517171717651222a a a a S ++⨯∴====. 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.18．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-， 现有下面四个结论①数列{}n S n +为等比数列； ②数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-；③数列{}1n a +为等比数列；④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+，可得①正确，利用等比数列求出2nn S n =-，根据前n 项和求n a ，可判断②③，计算2n S ，并分组求和可判断④. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++，又112S +=.所以数列{}n S n +为首项是2，公比是2的等比数列，所以2nn S n +=， 则2nn S n =-.当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-， 但11121a -≠-，所以①正确，②③错误，因为1222n n S n +=-，所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---， 所以④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由n S 求数列的通项公式，属于中档题.19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S >④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定． 【详解】Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，∴10a >，0d <，①正确； Q 675S S S >>，∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>， ∴③⑤正确，②错误.故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.20．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S 的值是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果． 【详解】由程序框图可知，输入，，，第一次运算：，；第二次运算：，； 第三次运算：，； 第四次运算：，；第五次运算：，； 第六次运算：，；第七次运算：，；第八次运算：，；第九次运算：，；第十次运算：，，综上所述，输出的结果为，故选B．【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．。
2020年山东新高考数列精选模拟试题(含解析)
专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。
2020年高考数学(理)【热点·重点·难点】专练 数列(解析版)
重难点 数列【高考考试趋势】高考中考查数列难度不大，知识点考查比较简单，也是高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的.本重点专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手.【高考常见题型分类总结】通项公式的求法q pa a n n +=1-的形式，主要是利用)()(1-m a p m a n n +=+的形式进行转化对于11-++=n n p pa a n ，主要采用m p a p a n n n n =1-1--的形式进行转化运算 对于11n-n n-n a =pa -a a 一般采用转化成=p a -a n-n 111的形式进行转化运算. 对于求和问题 裂项求和形如)12)(1-2(1+=n n a n 的形式一般采用裂项)121-1-21(21+=n n a n 的形式，注意前面的21此系数，是由系数只差确定与1212+n n-. 错位相减求和问题，本专题题目中有出现.分组求和问题，分为两种，一种是绝对值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）1．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．18【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒=,故 2112a a q ==,选C. 考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算. 2．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-【答案】D【解析】【分析】 由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解. 【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-. 由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====- 1107a a ∴+=-故选D.【名师点睛】。
2020版数学高考专题突破试题附解析
第 4 节二次函数性质的再研究与幂函数最新考纲 1 . 理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题； 2 . 了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝x ，y ＝的图像，了解它们的变化情况.知识梳理1. 二次函数(1) 二次函数解析式的三种形式：一般式： f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) .顶点式： f ( x ) ＝ a ( x －m ) 2 ＋n ( a ≠ 0) ，顶点坐标为( m ，n ) .零点式： f ( x ) ＝ a ( x －x 1 )( x －x 2 )( a ≠ 0) ，x 1 ，x 2 为 f ( x )的零点.(2) 二次函数的图像和性质函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a >0) y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a <0) 图像( 抛物线)定义域R值域对称轴x ＝－顶点坐标奇偶性当 b ＝0 时是偶函数，当 b≠ 0 时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数2. 幂函数(1) 幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α ，即y ＝x α ，这样的函数称为幂函数.(2) 常见的 5 种幂函数的图像(3) 幂函数的性质① 幂函数在(0 ，＋∞ ) 上都有定义；② 当α >0 时，幂函数的图像都过点(1 ，1) 和(0 ，0) ，且在(0 ，＋∞ ) 上单调递增；③ 当α <0 时，幂函数的图像都过点(1 ，1) ，且在(0 ，＋∞ ) 上单调递减.[ 微点提醒]1 . 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2 . 若 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) ，则当时恒有 f ( x )>0 ，当时，恒有 f ( x )<0.基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 函数y ＝ 2 x 是幂函数. ( )(2) 当n >0 时，幂函数y ＝x n 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数. ( )(3) 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( x ∈ R ) 不可能是偶函数. ( )(4) 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( x ∈ [ a ， b ]) 的最值一定是.( )解析(1) 由于幂函数的解析式为 f ( x ) ＝x α ，故y ＝ 2 x 不是幂函数，(1) 错.(3) 由于当 b ＝0 时，y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ＝ax 2 ＋ c 为偶函数，故(3) 错.(4) 对称轴x ＝－，当－小于 a 或大于 b 时，最值不是，故(4) 错.答案(1) × (2) √ (3) × (4) ×2 . ( 必修1P 4 9 定义改编) 已知幂函数 f ( x ) ＝k · x α 的图像过点，则k ＋α ＝( )A. B . 1 C. D . 2解析因为 f ( x ) ＝k · x α 是幂函数，所以k ＝ 1. 又 f ( x ) 的图像过点，所以＝，所以α ＝，所以k ＋α ＝ 1 ＋＝.答案 C3 . ( 必修1P 58C1 改编) 若函数 f ( x ) ＝4 x 2 －kx －8 在[ － 1 ，2] 上是单调函数，则实数k 的取值范围是________ .解析由于函数 f ( x ) 的图像开口向上，对称轴是x ＝，所以要使 f ( x ) 在[ － 1 ，2] 上是单调函数，则有≤ － 1 或≥ 2 ，即k ≤ －8 或k ≥ 16.答案( －∞ ，－8] ∪ [16 ，＋∞ )4 . (2016·全国Ⅲ卷) 已知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝25 ，则( )A . b < a < cB . a < b < cC . b < c < aD . c < a < b解析因为 a ＝ 2 ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 又y ＝x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，所以 c > a > b .答案 A5 . (2019·衡水中学月考) 若存在非零的实数 a ，使得 f ( x ) ＝ f ( a －x ) 对定义域上任意的x 恒成立，则函数 f ( x ) 可能是( )A . f ( x ) ＝x 2 － 2 x ＋ 1B . f ( x ) ＝x 2 － 1C . f ( x ) ＝ 2 xD . f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1解析由存在非零的实数 a ，使得 f ( x ) ＝ f ( a －x ) 对定义域上任意的x 恒成立，可得函数图像的对称轴为x ＝≠ 0. 只有选项 A 中， f ( x ) ＝x 2 － 2 x ＋ 1 关于x ＝ 1 对称.答案 A6 . (2018·渭南月考) 幂函数 f ( x ) ＝( m 2 － 4 m ＋4)· x m 2 － 6 m ＋8 在(0 ，＋∞ ) 上为增函数，则m 的值为________ .解析由题意知解得m ＝ 1.答案 1考点一幂函数的图像和性质【例 1 】(1) 幂函数y ＝ f ( x ) 的图像过点(4 ，2) ，则幂函数y ＝ f ( x ) 的大致图像是( )(2) 若 a ＝， b ＝， c ＝，则 a ， b ， c 的大小关系是( )A . a < b < cB . c < a < bC . b < c < aD . b < a < c解析(1) 设幂函数的解析式为y ＝x α ，因为幂函数y ＝ f ( x ) 的图像过点(4 ，2) ，所以 2 ＝ 4 α ，解得α ＝.所以y ＝，其定义域为[0 ，＋∞ ) ，且是增函数，当0< x <1 时，其图像在直线y ＝x 的上方，对照选项， C 正确.(2) 因为y ＝x 在第一象限内是增函数，所以 a ＝> b ＝，因为y ＝是减函数，所以 a ＝< c ＝，所以 b < a < c .答案(1)C (2)D规律方法 1. 对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，y ＝x 所分区域. 根据α <0 ，0< α <1 ，α ＝ 1 ，α >1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2 . 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练 1 】(1) (2018·洛阳二模) 已知点在幂函数 f ( x ) ＝( a －1) x b 的图像上，则函数 f ( x ) 是( )A . 奇函数B . 偶函数C . 定义域内的减函数D . 定义域内的增函数(2) (2018·上海卷) 已知α ∈ ，. 若幂函数 f ( x ) ＝x α 为奇函数，且在(0 ，＋∞ ) 上递减，则α ＝______ .解析(1) 由题意得 a － 1 ＝ 1 ，且＝ a b ，因此 a ＝ 2 且 b ＝－ 1. 故 f ( x ) ＝x － 1 是奇函数，但在定义域( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) 不是单调函数.(2) 由题意知α 可取－ 1 ， 1 ， 3. 又y ＝x α 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数，∴ α <0 ，取α ＝－ 1.答案(1)A (2) － 1考点二二次函数的解析式【例 2 】( 一题多解) 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2) ＝－ 1 ， f ( －1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 的最大值是8 ，试确定该二次函数的解析式.解法一( 利用“ 一般式” 解题)设 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) .由题意得解得∴ 所求二次函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.法二( 利用“ 顶点式” 解题)设 f ( x ) ＝ a ( x －m ) 2 ＋n ( a ≠ 0) .因为 f (2) ＝ f ( －1) ，所以抛物线的对称轴为x ＝＝，所以m ＝.又根据题意，函数有最大值8 ，所以n ＝8 ，所以y ＝ f ( x ) ＝ a ＋8.因为 f (2) ＝－ 1 ，所以 a ＋8 ＝－ 1 ，解得 a ＝－ 4 ，所以 f ( x ) ＝－ 4 ＋8 ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.法三( 利用“ 零点式” 解题)由已知 f ( x ) ＋ 1 ＝0 的两根为x 1 ＝ 2 ，x 2 ＝－ 1 ，故可设 f ( x ) ＋ 1 ＝ a ( x －2)( x ＋1)( a ≠ 0) ，即 f ( x ) ＝ax 2 －ax － 2 a － 1.又函数有最大值8 ，即＝8.解得 a ＝－ 4 或 a ＝0( 舍) .故所求函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋7.规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练 2 】已知二次函数 f ( x ) 的图像经过点(4 ，3) ，它在x 轴上截得的线段长为 2 ，并且对任意x ∈ R ，都有 f (2 －x ) ＝ f (2 ＋x ) ，则 f ( x ) ＝________ .解析因为 f (2 －x ) ＝ f (2 ＋x ) 对x ∈ R 恒成立，所以y ＝ f ( x ) 的图像关于x ＝ 2 对称.又y ＝ f ( x ) 的图像在x 轴上截得的线段长为 2 ，所以 f ( x ) ＝0 的两根为 2 －＝ 1 或 2 ＋＝ 3.所以二次函数 f ( x ) 与x 轴的两交点坐标为(1 ，0) 和(3 ，0) .因此设 f ( x ) ＝ a ( x －1)( x －3) .又点(4 ，3) 在y ＝ f ( x ) 的图像上，所以 3 a ＝ 3 ，则 a ＝ 1.故 f ( x ) ＝( x －1)( x －3) ＝x 2 － 4 x ＋ 3.答案x 2 － 4 x ＋ 3考点三二次函数的图像及应用【例 3 】(1) 对数函数y ＝log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 与二次函数y ＝( a －1) x 2 －x 在同一坐标系内的图像可能是( )(2) 设函数 f ( x ) ＝x 2 ＋x ＋ a ( a >0) ，已知 f ( m )<0 ，则( )A . f ( m ＋1) ≥ 0B . f ( m ＋1) ≤ 0C . f ( m ＋1)>0D . f ( m ＋1)<0解析(1) 若0< a <1 ，则y ＝log a x 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，y ＝( a －1) x 2 －x 开口向下，其图像的对称轴在y 轴左侧，排除C ， D.若 a >1 ，则y ＝log a x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，y ＝( a －1) x 2 －x 图像开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.(2) 因为 f ( x ) 的对称轴为x ＝－， f (0) ＝ a >0 ，所以 f ( x ) 的大致图像如图所示.由 f ( m )<0 ，得－1< m <0 ，所以m ＋1>0 ，所以 f ( m ＋1)> f (0)>0.答案(1)A (2)C规律方法 1. 研究二次函数图像应从“ 三点一线一开口” 进行分析，“ 三点” 中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“ 一线” 是指对称轴这条直线；“ 一开口” 是指抛物线的开口方向.2 . 求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等关系成立的条件.【训练 3 】一次函数y ＝ax ＋ b 与二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 在同一坐标系中的图像大致是( )解析 A 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a >0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向上， A 错误；B 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a >0 ， b >0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向上，对称轴x ＝－<0 ，B 错误；C 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向下，对称轴x ＝－<0 ， C 正确；D 中，由一次函数y ＝ax ＋ b 的图像可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图像应该开口向下， D 错误.答案 C考点四二次函数的性质多维探究角度 1 二次函数的单调性与最值【例 4 － 1 】已知函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 ax ＋ 3 ，x ∈ [ － 4 ，6] .(1) 当 a ＝－ 2 时，求 f ( x ) 的最值；(2) 求实数 a 的取值范围，使y ＝ f ( x ) 在区间[ － 4 ，6] 上是单调函数.解(1) 当 a ＝－ 2 时， f ( x ) ＝x 2 － 4 x ＋ 3 ＝( x －2) 2 －1 ，由于x ∈ [ － 4 ，6] ，∴ f ( x ) 在[ － 4 ，2] 上单调递减，在[2 ，6] 上单调递增，∴ f ( x ) 的最小值是 f (2) ＝－ 1 ，又 f ( －4) ＝35 ， f (6) ＝15 ，故 f ( x ) 的最大值是35.(2) 由于函数 f ( x ) 的图像开口向上，对称轴是x ＝－ a ，所以要使 f ( x ) 在[ － 4 ，6] 上是单调函数，应有－ a ≤ － 4 或－ a ≥ 6 ，即 a ≤ － 6 或 a ≥ 4 ，故 a 的取值范围是( －∞ ，－6] ∪ [4 ，＋∞ ) .角度 2 二次函数的恒成立问题【例 4 － 2 】(2019·浙江“ 超级全能生” 模拟) 已知在( －∞ ，1] 上递减的函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 tx ＋ 1 ，且对任意的x 1 ，x 2 ∈[0 ，t ＋1] ，总有| f ( x 1 ) － f ( x 2 )| ≤ 2 ，则实数t 的取值范围是( )A . [ －，]B . [1 ，]C . [2 ，3]D . [1 ，2]解析由于 f ( x ) ＝x 2 － 2 tx ＋ 1 的图像的对称轴为x ＝t ，又y ＝ f ( x ) 在( －∞ ，1] 上是减函数，所以，t ≥ 1.则在区间[0 ，t ＋1] 上， f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 1 ，f ( x ) min ＝ f ( t ) ＝t 2 － 2 t 2 ＋ 1 ＝－t 2 ＋ 1 ，要使对任意的x 1 ，x 2 ∈ [0 ，t ＋1] ，都有| f ( x 1 ) － f ( x 2 )| ≤ 2 ，只需 1 －( －t 2 ＋1) ≤ 2 ，解得－≤ t ≤ .又t ≥ 1 ，∴ 1 ≤ t ≤ .答案 B规律方法 1. 二次函数最值问题的解法：抓住“ 三点一轴” 数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2 . 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1) 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2) 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离. 这两个思路的依据是： a ≥ f ( x ) 恒成立⇔ a ≥ f ( x ) max ， a ≤ f ( x ) 恒成立⇔ a ≤ f ( x ) min .【训练 4 】已知二次函数 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋1( a ， b ∈ R 且 a ≠0) ，x ∈ R .(1) 若函数 f ( x ) 的最小值为 f ( －1) ＝0 ，求 f ( x ) 的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1) 的条件下， f ( x )> x ＋k 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，试求k 的取值范围.解(1) 由题意知解得所以 f ( x ) ＝x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ，由 f ( x ) ＝( x ＋1) 2 知，函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ － 1 ，＋∞ ) ，单调递减区间为( －∞ ，－1] .(2) 由题意知，x 2 ＋ 2 x ＋1> x ＋k 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，即k < x 2 ＋x ＋ 1 在区间[ － 3 ，－1] 上恒成立，令g ( x ) ＝x 2 ＋x ＋ 1 ，x ∈ [ － 3 ，－1] ，由g ( x ) ＝＋知g ( x ) 在区间[ － 3 ，－1] 上是减函数，则g ( x ) min ＝g ( －1) ＝ 1 ，所以k <1 ，故k 的取值范围是( －∞ ，1) .[ 思维升华]1 . 幂函数y ＝x α 的性质和图像，由于α 的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1) α 的正负：α >0 时图像经过(0 ，0) 点和(1 ，1) 点，在第一象限的部分“ 上升” ；α <0 时图像不过(0 ，0) 点，经过(1 ，1) 点，在第一象限的部分“ 下降” ；(2) 曲线在第一象限的凹凸性：α >1 时曲线下凹，0< α <1 时曲线上凸，α <0 时曲线下凹；(3) 函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2 . 求二次函数的解析式就是确定函数式 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋ c ( a ≠ 0) 中a ，b ，c 的值. 应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3 . 二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图像和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4 . 二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图像以及所给区间与对称轴的关系确定.[ 易错防范]1 . 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.2 . 对于函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠ 0 ，当题目条件中未说明 a ≠ 0 时，就要讨论 a ＝0 和 a ≠ 0 两种情况.基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . (2019·济宁联考) 下列命题正确的是( )A . y ＝x 0 的图像是一条直线B . 幂函数的图像都经过点(0 ，0) ，(1 ，1)C . 若幂函数y ＝x α 是奇函数，则y ＝x α 是增函数D . 幂函数的图像不可能出现在第四象限解析 A 中，点(0 ，1) 不在直线上， A 错； B 中，y ＝x α ，当α <0 时，图像不过原点， B 错； C 中，当α <0 时，y ＝x α 在( －∞ ，0) ，(0 ，＋∞ ) 上为减函数， C 错. 幂函数图像一定过第一象限，一定不过第四象限， D 正确.答案 D2 . 若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ b 的图像与x 轴的交点为(1 ，0) 和(3 ，0) ，则函数 f ( x )( )A . 在( －∞ ，2] 上递减，在[2 ，＋∞ ) 上递增B . 在( －∞ ，3) 上递增C . 在[1 ，3] 上递增D . 单调性不能确定解析由已知可得该函数图像的对称轴为x ＝ 2 ，又二次项系数为1>0 ，所以 f ( x ) 在( －∞ ，2] 上是递减的，在[2 ，＋∞ ) 上是递增的.答案 A3 . (2019·安阳模拟) 已知函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋4 x ＋ a ，x ∈ [0 ，1] ，若 f ( x ) 有最小值－ 2 ，则 f ( x ) 的最大值为( )A . 1B . 0C . － 1D . 2解析 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 4 x ＋ a ＝－( x －2) 2 ＋ a ＋ 4 ，∴ 函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 4 x ＋ a 在[0 ，1] 上单调递增，∴ 当x ＝0 时， f ( x ) 取得最小值，当x ＝ 1 时， f ( x ) 取得最大值，∴ f (0) ＝ a ＝－ 2 ， f (1) ＝ 3 ＋ a ＝ 3 － 2 ＝ 1.答案 A4 . (2018·岳阳一中质检) 已知函数y ＝ax 2 ＋bx － 1 在( －∞ ，0] 是单调函数，则y ＝ 2 ax ＋ b 的图像不可能是( )解析① 当 a ＝0 ， b ≠ 0 时，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是A ；② 当 a >0 时，－≥ 0 ⇒ b ≤ 0 ，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是 C ；③ 当 a <0 时，－≥ 0 ⇒ b ≥ 0 ，y ＝ 2 ax ＋ b 的图像可能是 D.答案 B5 . (2019·巢湖月考) 已知p ：| m ＋1|<1 ，q ：幂函数y ＝( m 2 －m －1) x m 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，则p 是q 的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件解析p ：由| m ＋1|<1 得－2< m <0 ，∵ 幂函数y ＝( m 2 －m －1) x m 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，∴ m 2 －m － 1 ＝ 1 ，且m <0 ，解得m ＝－ 1.∴ p 是q 的必要不充分条件.答案 B二、填空题6 . 已知函数 f ( x ) 为幂函数，且 f (4) ＝，则当 f ( a ) ＝ 4 f ( a ＋3) 时，实数 a 等于________ .解析设 f ( x ) ＝x α ，则 4 α ＝，所以α ＝－.因此 f ( x ) ＝x －，从而 a －＝4( a ＋3) －，解得 a ＝.答案7 . (2019·南昌质检) 若二次函数 f ( x ) ＝ax 2 －x ＋ b ( a ≠ 0) 的最小值为0 ，则 a ＋ 4 b 的取值范围是________ .解析依题意，知 a >0 ，且Δ ＝ 1 － 4 ab ＝0 ，∴ 4 ab ＝ 1 ，且b >0.故 a ＋ 4 b ≥ 2 ＝ 2 ，当且仅当 a ＝ 4 b ，即 a ＝ 1 ， b ＝时等号成立.所以 a ＋ 4 b 的取值范围是[2 ，＋∞ ) .答案[2 ，＋∞ )8 . 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 ＋x ) ＝ f (2 －x ) ，且 f ( x ) 在[0 ，2] 上是增函数，若 f ( a ) ≥ f (0) ，则实数 a 的取值范围是________ .解析由题意可知函数 f ( x ) 的图像开口向下，对称轴为x ＝2( 如图) ，若 f ( a ) ≥ f (0) ，从图像观察可知0 ≤ a ≤ 4.答案[0 ，4]三、解答题9 . 已知奇函数y ＝ f ( x ) 定义域是R ，当x ≥ 0 时， f ( x ) ＝x (1 －x ) .(1) 求出函数y ＝ f ( x ) 的解析式；(2) 写出函数y ＝ f ( x ) 的单调递增区间. ( 不用证明，只需直接写出递增区间即可)解(1) 当x <0 时，－x >0 ，所以 f ( －x ) ＝－x (1 ＋x ) .又因为y ＝ f ( x ) 是奇函数，所以 f ( x ) ＝－ f ( －x ) ＝x (1 ＋x ) .综上 f ( x ) ＝(2) 函数y ＝ f ( x ) 的单调递增区间是.10 . 已知幂函数 f ( x ) ＝( m －1) 2 xm 2 － 4 m ＋ 2 在(0 ，＋∞ ) 上单调递增，函数g ( x ) ＝ 2 x －k .(1) 求m 的值；(2) 当x ∈ [1 ，2) 时，记 f ( x ) ，g ( x ) 的值域分别为集合 A ， B ，设p ：x ∈ A ，q ：x ∈ B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.解(1) 依题意得：( m －1) 2 ＝ 1 ⇒ m ＝0 或m ＝ 2 ，当m ＝ 2 时， f ( x ) ＝x － 2 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴ m ＝0.(2) 由(1) 得， f ( x ) ＝x 2 ，当x ∈ [1 ，2) 时， f ( x ) ∈ [1 ，4) ，即 A ＝[1 ，4) ，当x ∈ [1 ，2) 时，g ( x ) ∈ [2 －k ， 4 －k ) ，即 B ＝[2 －k ， 4 －k ) ，因p 是q 成立的必要条件，则 B ⊆ A ，则即得0 ≤ k ≤ 1.故实数k 的取值范围是[0 ，1] .能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11. (2019·武汉模拟) 幂函数y ＝x α ，当α 取不同的正数时，在区间[0 ，1] 上它们的图像是一组美丽的曲线( 如图) ，设点 A (1 ，0) ，B (0 ，1) ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y＝x b 的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么 a －＝( )A . 0B . 1 C. D . 2解析BM ＝MN ＝NA ，点 A (1 ，0) ， B (0 ，1) ，所以M ，N ，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得 a ＝log ， b ＝log，∴ a －＝log －＝0.答案 A12 . (2017·浙江卷) 若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋ax ＋ b 在区间[0 ，1] 上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A . 与 a 有关，且与 b 有关B . 与 a 有关，但与 b 无关C . 与 a 无关，且与 b 无关D . 与 a 无关，但与 b 有关解析设x 1 ，x 2 分别是函数 f ( x ) 在[0 ，1] 上的最小值点与最大值点，则m ＝x ＋ax 1 ＋ b ，M ＝x ＋ax 2 ＋ b .∴ M －m ＝x －x ＋ a ( x 2 －x 1 ) ，显然此值与 a 有关，与 b 无关.答案 B13 . 已知函数 f ( x ) ＝mx 2 ＋(2 －m ) x ＋n ( m >0) ，当－ 1 ≤ x ≤ 1 时，| f ( x )| ≤ 1 恒成立，则 f ＝________ .解析当x ∈ [ － 1 ，1] 时，| f ( x )| ≤ 1 恒成立.∴因此n ＝－ 1 ，∴ f (0) ＝－ 1 ， f (1) ＝ 1.由 f ( x ) 的图像可知：要满足题意，则图像的对称轴为直线x ＝0 ，∴ 2 －m ＝0 ，m ＝ 2 ，∴ f ( x ) ＝ 2 x 2 － 1 ，∴ f ＝－.答案－14 . 已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋1) － f ( x ) ＝ 2 x ，且 f (0) ＝ 1.(1) 求 f ( x ) 的解析式；(2) 当x ∈ [ － 1 ，1] 时，函数y ＝ f ( x ) 的图像恒在函数y ＝ 2 x ＋m 的图像的上方，求实数m 的取值范围.解(1) 设 f ( x ) ＝ax 2 ＋bx ＋1( a ≠ 0) ，则 f ( x ＋1) － f ( x ) ＝ 2 x ，得 2 ax ＋ a ＋ b ＝ 2 x .所以， 2 a ＝ 2 且 a ＋ b ＝0 ，解得 a ＝ 1 ， b ＝－ 1 ，又 f (0) ＝ 1 ，所以 c ＝ 1.因此 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ＝x 2 －x ＋ 1.(2) 因为当x ∈ [ － 1 ，1] 时，y ＝ f ( x ) 的图像恒在y ＝ 2 x ＋m 的图像上方，所以在[ － 1 ，1] 上，x 2 －x ＋1>2 x ＋m 恒成立；即x 2 － 3 x ＋1> m 在区间[ － 1 ，1] 上恒成立.所以令g ( x ) ＝x 2 － 3 x ＋ 1 ＝－，因为g ( x ) 在[ － 1 ，1] 上的最小值为g (1) ＝－ 1 ，所以m < － 1. 故实数m 的取值范围为( －∞ ，－1) .。
2024年高考数学专项突破数列大题基础练(解析版)
数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列{}n a 的首项11a =，且满足2512a a +=，数列{}n b 满足2n a n b =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和是n T ，求n T .3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，3a 是1a ，11a 的等比中项.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列{}n a （N n +∈）满足11a =，133n n n a a n++=，且n n ab n =.(1)求数列{}n b 是通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足n nnb a=，求{}n b 的前n 项和n T .2024年高考数学专项突破数列大题基础练（解析版）7．（2023·重庆·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()115n n na n a +-+=,且15a ≠-.(1)求证:数列5n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列,并求{}n a 的通项公式;(2)若使不等式20n S >成立的最小整数为7,且1Z a ∈,求1a 和n S 的最小值.8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，12n n a n S n+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记12nn na c =-，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求12111n T T T ++⋅⋅⋅+的值．9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2S ，4S ，54S +成等差数列，2a ，4a ，8a 成等比数列．(1)求n S ；(2)记数列{}n b 的前n 项和为n T ，22n n n n b T S +-=，证明数列1n n b S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n b 的通项公式．10．（2023·山东济南·一模）已知数列{}n a 满足111,(1)1n n a na n a +=-+=．(1)若数列{}n b 满足1nn a b n+=，证明：{}n b 是常数数列；(2)若数列{}n c 满足πsin 22n an n c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n c 的前2n 项和2n S ．11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)记n P 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，n Q 是数列121n a -⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和.当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①12n a S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1221n n n a b n -+=+-，221n n n T S n -=--．(1)求11,a b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()*21N 2n n n a n k c k b n k=-⎧=∈⎨=⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和2n P ．15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1121,1nn S a a n+==-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2,,23,,n n n C n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n C 的前2n 项和2n T ．16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列{}{},n n a b 满足：111a b ==，且210n n n n a b a b ++-=.(1)若数列{}n a 为等比数列，公比为121,2q a a -=，求{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等差数列，11n n a a +-=，求{}n b 的前n 项和n T .17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a+=+，设11nnb a =-.(1)求证：数列{}n b 为等比数列；(2)若1231111140na a a a ++++> ，求满足条件的最小正整数n .18．（2022·河北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且1123n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)①3log n n nb a a =；②3321log log n n n b a a +=⋅；③3log n n n b a a =-．从上面三个条件中任选一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列{}n a ，若_________________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①2123n a a a a n ++++= ；②11a =，47a =，()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥；③11a =，点(),n A n a ，()11,n B n a ++在斜率是2的直线上．21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为，且11a =，2218n n S S n +-=，*N n ∈．(1)求n S ；(2)在数列{}n a 的每相邻两项1k k a a +，之间依次插入12k a a a ⋯，，，，得到数列{}1121231234n b a a a a a a a a a a ⋯⋯：，，，，，，，，，，，求{}n b 的前100项和.22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，且12342,18a a a a =++=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1000na nb =-，求数列{}n b 的前15项和15T （用具体数值作答）.23．（2023·安徽·模拟预测）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知{}n a 为等差数列，1154,115n n a n a a n+-==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1,414n n n n b T a a =++为{}n b 的前n 项和，求n T .25．（2023·广东广州·统考二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22*n n S a n =-∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2211log log n n n b a a +=⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①124,,S S S 成等比数列，②4222a a =+，③8472S S S =+-这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且满足__________，__________.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求12233411111n n a a a a a a a a +++++ .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列{}n a ，前n 项和为n S ，且满足112n n n a a a +-=-，2n ≥，*N n ∈，1514a a +=，770S =，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且12,6b b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n P ．28．（2023·吉林·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n nn nn a b a a +-+=，求数列{}nb 的前2n 项和2nT .29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a >，22112n n n n a a a a ++=+，且13a ，23a +，3a 成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12,log ,n n na nb a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列{}n a 满足：15a =，134n n a a +=-，设2n n b a =-，*N n ∈．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设3132312log log log n n nb b b T b b b =++⋅⋅⋅+，()*N n ∈，求证：34n T <．数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .【答案】(1)21n a =-；(2)11a =.【分析】（1）利用累加法求2n a 即可；（2）根据()121nn n a a +=+⋅-得到212a a =-，322a a =+，联立得到1q =-，然后代入求1a 即可.【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+ 211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121nn n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =.2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列{}n a 的首项11a =，且满足2512a a +=，数列{}n b 满足2n a n b =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和是n T ，求n T .【答案】(1)21n a n =-；3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，3a 是1a ，11a 的等比中项.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设3n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列{}n a （N n +∈）满足11a =，133n n n a a n++=，且n n ab n =.(1)求数列{}n b 是通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)13n n b -=6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足n nb a =，求{}n b 的前n 项和n T .7．（2023·重庆·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()115n n na n a +-+=,且15a ≠-.(1)求证:数列5n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列,并求{}n a 的通项公式;(2)若使不等式20n S >成立的最小整数为7,且1Z a ∈,求1a 和n S 的最小值.8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，2n n S n=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记12nn na c =-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求111T T T ++⋅⋅⋅+的值．9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2S ，4S ，54S +成等差数列，2a ，4a ，8a 成等比数列．(1)求n S ；(2)记数列{}n b 的前n 项和为n T ，22n n n n b T S +-=，证明数列1n n b S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n b 的通项公式．10．（2023·山东济南·一模）已知数列{}n a 满足111,(1)1n n a na n a +=-+=．(1)若数列{}n b 满足1nn a b n+=，证明：{}n b 是常数数列；(2)若数列{}n c 满足πsin 22n an n c a ⎛⎫=+ ⎪，求{}n c 的前2n 项和2n S ．11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列{}n a 满足首项为333log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)记n P 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，n Q 是数列121n a -⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和.当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.【答案】(1)n a n =(2)n nP Q <13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①12n S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1221n n n a b n -+=+-，221n n n T S n -=--．(1)求11,a b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()*21N 2n n n a n k c k b n k=-⎧=∈⎨=⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和2n P ．15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,1nn a a n+==-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2,,23,,n n n C n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n C 的前2n 项和2n T ．16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列{}{},n n a b 满足：111a b ==，且210n n n n a b a b ++-=.(1)若数列{}n a 为等比数列，公比为121,2q a a -=，求{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等差数列，11n n a a +-=，求{}n b 的前n 项和n T .17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列{}n a 的首项15a =，且满足13n n n a a +=+，设1n nb a =-.(1)求证：数列{}n b 为等比数列；(2)若1111140a a a a ++++> ，求满足条件的最小正整数n .18．（2022·河北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且1123n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)①3log n n n b a a =；②3321log log n n n b a a +=⋅；③3log n n n b a a =-．从上面三个条件中任选一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列{}n a ，若_________________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①2123n a a a a n ++++= ；②11a =，47a =，()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥；③11a =，点(),n A n a ，()11,n B n a ++在斜率是2的直线上．21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为，且11a =，2218n n S S n +-=，*N n ∈．(1)求n S ；(2)在数列{}n a 的每相邻两项1k k a a +，之间依次插入12k a a a ⋯，，，，得到数列{}1121231234n b a a a a a a a a a a ⋯⋯：，，，，，，，，，，，求{}n b 的前100项和.22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，且12342,18a a a a =++=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1000na nb =-，求数列{}n b 的前15项和15T （用具体数值作答）.()()1061022166490300022-==--+23．（2023·安徽·模拟预测）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知{}n a 为等差数列，11,115n n a a n+==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1,414n n b T a a =++为{}n b 的前n 项和，求n T .25．（2023·广东广州·统考二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22*n n S a n =-∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1log log n b a a =⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①124,,S S S 成等比数列，②4222a a =+，③8472S S S =+-这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且满足__________，__________.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求12233411111n n a a a a a a a a +++++ .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列{}n a ，前n 项和为n S ，且满足112n n n a a a +-=-，2n ≥，*N n∈，1514a a +=，770S =，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且12,6b b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n P ．28．（2023·吉林·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，数列n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n n n n n a b a a +-+=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a >，22112n n n n a a a a ++=+，且13a ，23a +，3a 成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列{}n a 满足：15a =，134n n a a +=-，设2n n b a =-，*N n ∈．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设31323log log log n n b b b T b b b =++⋅⋅⋅+，()*N n ∈，求证：34n T <．。
统编教材部编版人教版高考数学复习专题04 数 列(新高考地区专用)(原卷版附解析答案)
专题04 数 列一．等比数列前n 项和规律n n n n 11111n n a (1q )a a q a a S q S =A-Aq 1q 1q 1q 1q --===-⇔----简记：，指数次数只能为n 次方常数与指数函数的系数成相反数二．单一条件口算结果-----实质考查等比或等差中项1.无论是等差还是等比数列，如果只知道一个条件是取法确定具体的数列，那么可以处理为非0的常数数列，因为非0的常数数列即是等差也是等比数列。
（常数数列：每一项都是相同的）{}{}n n n n 12n 12n-1n n n n 12n 12n-1n n n m n n n n-12.a n S ,b n ,(a a )(2n 1)S 2a a S An B a A(2n 1)B 2(1)=(2)(b b )(2n 1)T 2b b T Cn D b C(2m 1)D2S An B An B kn=n T Cn D Cn D knS An B kn S [A --+-+-+====+-+-+++=⇒++=+=等差数列的前项和等差数列的前项和T 则（）推导：等差数列的前项和为无常数的二次函数（）（）n n m m a k[A(2n 1)B](n 1)B]kn a A(2n 1)Bb k[A(2m 1)B]b C(2m 1)D⎧⎪−−−→=-+⎨-+⎪⎩-+=-+∴=-+相减同理可得 三．公式法口算通项----a n =S n -S n-1(n ≥2)21122n-11n -n n n 2(1)(2)n 1⇔⇔⎧⎪≥⎨⎪⎩-≥=∴n n n 模型1:无常数项的二次函数S =An +Bn a =2An+(B-A)系数2倍，常数后前推导过程：=1时，S =A+B 即a =A+BS =An +Bn(1)时，S =A(n-1)+B(n-1)(2)得a =2An+(B-A)（n 2)令时，a =A+B a =2An+(B-A)21122n-11+ n=1n +n +n +n 2+(1)(2)n 1+ n=1⎧⎪⇔⇔⎨≥⎪⎩⎧⎪≥⎨⎪⎩-≥=∴n n n A+B C 模型2:有常数项的二次函数S =An +Bn C a =2An+(B-A) n 2推导过程：=1时，S =A+B+C 即a =A+B CS =An +Bn C(1)时，S =A(n-1)+B(n-1)C(2)得a =2An+(B-A)（n 2)令时，a =A+B A+B C a =2An+(⎧⎪⎨≥⎪⎩B-A) n 2nn n 111nn 1n-1n 11n 1n=1A B A n n A Bn 2A B(1)(2)A 1n 1 n=1A ----⎧⎪⇔+⇔⎨≥⎪⎩⎧+⎪≥⎨+⎪⎩-≥⇒=∴n n n k(A-1)模型3:指数型函数S =k a =k(A-1) n 2推导过程：=1时，S =A+B 即a =A+BS =k (1)时，S =k (2)得a =k(A-1)（n 2)指数函数的次数减令时，a =k(A-1)k(A-1)a =k(A-1) ⎧⎪⇒⎨≥⎪⎩当分段两者n=1结果相同时，合并为一式n 2{}n 1n n 111n n n-1n 1n n n 1n+1n 1n 1n 11k a B ()1k k 1n a B 1ka Bn 2a Ba k (1)(2)a a =a k+1a k 1=a kka k 1=a q 1k -----⇔+⇔⋅--+-+⎧⎪≥⎨+⎪⎩⎧⎪-⇔⎨-⎪⎩∴-∴⋅=-n n n n B 模型4:指数型函数S =k a =推导过程：B=1时，S =k 即a =S =k (1)时，S =k (2)不是固定的，右边的k 与下标同步得a =k -k 即a 是以首项，公比为的等比数列B a n 1k ()k 1-⋅-记得检验首项四．口算错位相减法的结果nn n 1n (1)a (dn t)q 2n d A 1q S Bq (An B)q A t B 1q +⎧⎪=+⇒⎨⎪⎩⎧=⎪-⎪∴=-+⇔⎨+⎪=⎪-⎩乘法模型，除的话改成乘法通项公式：（）指数函数的指数为，非n 变成n五．斐波那数列---黄金分割数列---nn 1a 0.618a +≈n n-1n-2n n n n n 21. a =a +a 112.a [((]5223.:S a 1+≥≥+-=-=-特征：F(n)=F(n-1)+F(n-2) n 3或n 3通项：规律4. 数列特点：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34...三个数据为一组，第一数据为偶数，第二、三个数据为奇数技巧1 等比数列前n 项和规律【例1】（2020·福建省厦门第六中学）已知等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【举一反三】1．（2020·安徽含山（理））已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +2+3t ，则t ＝（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．﹣3 D ．﹣92．（2020·安徽屯溪一中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为1136n n S x -=⋅-，则x 的值为( ) A ．13B ．13-C ．12D ．12-技巧2 单一条件口算结果【例2-1】（1）（2020·宁夏高三其他（文））n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若150S =，则8a =（ ）. A ．-1B ．0C ．1D ．2（2）（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =﹐则3334353637log log log log log a a a a a ++++的值为（ ） A ．73B ．83C ．3D ．103【例2-2】（2020·河南）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825D ．1621【举一反三】1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5 B ．7C ．9D ．112．（2020·广东云浮·）在正项等比数列{}n a 中，若63a =，则313233311log log log log a a a a ++++=（ ）．A ．5B ．6C ．10D ．113．（2020·浙江宁波）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若26102a a a π++=，2588b b b =，则4837sina ab b +的值是（ ） A ．12B ．12-CD．4．（2020·全国高三其他（理））已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，422n n S n T n +=+，则59a b =（ ） A ．3811B ．109C ．1110D ．2技巧3 公式法口算通项【例3】（2020·南京市秦淮中学高三其他）已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为______．【举一反三】1．（2020·湖南湘潭·高考模拟（文））已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若111,23+==+n n a a S ，则数列{}n a 的通项公式为___________.技巧4 错位相减法口算结果【例4】（2020·江西东湖·南昌二中高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2y x 的图象上，数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【举一反三】1．（2020·河南高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)2n n n n S a --=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）如果数列12n n b -=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．2．（2019·甘肃天水·高考模拟（文））在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列.（1）求数列的通项公式； （2）若数列{n b }满足n nnb a =，求数列{n b }的前n 项和n S ．技巧5 斐波那数列【例5】（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学）“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2020a m =，则2018S =（ ） A ．2mB ．212m - C ．1m - D ．1m +【举一反三】1．（2020·河北高三月考）数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A ．505 B ．673C ．674D ．10102．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”.如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90︒的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．8πB ．4π C ．14D ．341．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21 C ．7D ．32．（2020·甘肃高三其他（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为2n n S a =+，则a=（ ）A ．0B ．2-C ．1-D ．13．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90︒的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．191160π+ B ．192160π+ C ．19180π+ D ．19280π+4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21++=+n n n a a a ，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．235．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是12(3,Ν)n n n a a a n n *--=+≥∈，其中11a =，21a =.若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．33100C ．12D ．671008．（2020·江西高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是()*123,n n n a a a n n N--=+≥∈，其中11a =，21a =.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（ ）A ．13B ．23C ．12D ．347．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若2334n n S n T n -=+，则55a b =（ ） A ．719 B ．1531C ．1734D ．19378．（2020·合肥一六八中学高三其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．559．（2019·河南高二月考）两等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且12n n S n T n+=，则85(a b = ) A ．45B ．67C ．89D ．210．(多选）（2020·福建省永泰县第一中学高三月考）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n nF n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛⎫⎥=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦12．（2020·福建漳州·高三其他（文））若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，则5a =__________.13．（2020·陕西渭南·（理））已知数列{a n }的前n 项和S n =n (n +1)+2,其中*n N ∈,则a n =_____.14．（2020·湖北高三月考（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若257n n S a =-，则n a =____15．（2020·浙江高三其他）已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N=+-∈，则1a=____________；数列{}n a 的通项公式为n a =____________．16．（2020·浙江高三月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{}n a 满足以下关系：11a =，21a =，()123--=+≥∈*n n n a a a n ,n N ，记其前n 项和为n S ，设2020a m =(m 为常数)，则20182020S a -=______；1352019+++⋅⋅⋅+=a a a a ______.17．（2020·陕西西安中学）斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：a 1=1，a 2=1，n n 1n 2a a a --=+(n ≥3，n ∈N *)，记其前n 项和为S n ，设a 2019=t (t 为常数)，则2017201620152014S S S S +--＝________(用t 表示)，20172019S a -=________(用常数表示).18．（2020·全国高三其他（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（2020·河南高二其他（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()214n n na b -=， 求数列{}n b 的前n 项和n R .专题04 数 列二．等比数列前n 项和规律n n n n 11111n n a (1q )a a q a a S q S =A-Aq 1q 1q 1q 1q --===-⇔----简记：，指数次数只能为n 次方常数与指数函数的系数成相反数二．单一条件口算结果-----实质考查等比或等差中项1.无论是等差还是等比数列，如果只知道一个条件是取法确定具体的数列，那么可以处理为非0的常数数列，因为非0的常数数列即是等差也是等比数列。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》经典测试题附答案
【最新】数学高考《数列》专题解析一、选择题1．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2124n -- B ．1122n -- C ．21n - D ．122n +-【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >可得214128a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，所以数列{}n a 的前n 项和11(12)122122nn n S --==--. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.2．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ） AB．C．3 D．【答案】B 【解析】 【分析】由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】∵()11111611221123a a S a π+===，∴623a π=，()62tan tan 3a π⎛⎫== ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.3．数列{}n a 满足12a =，对于任意的*n N ∈，111n na a +=-，则2018a =（ ） A ．-1 B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先通过递推公式111n na a +=-，找出此周期数列的周期，再计算2018a 的值. 【详解】111n na a +=-Q ，2111111111n n n na a a a ++∴===----， 32111111n nn n a a a a ++∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故有3n n a a +=，则20183672221111a a a a ⨯+====-- 故选：A 【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列各项的值，属于中档题.4．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9C ．8或9D ．8.5【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=． ∴a n ＝25611()2n -⨯=29﹣n ．T n ＝28•27•……•29﹣n＝28+7+…+9﹣n()217289[)89242222n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝⎦==．∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .101010,70a S ==Q ，1191010910702a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得23d =. 故选：A . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.6．设函数()mf x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．1nn + B ．21nn + C ．21nn - D ．()21n n+【答案】B 【解析】 【分析】函数()mf x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和即可．【详解】Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，112()()(1)221f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，故选：B ． 【点睛】本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．7．设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取得最大值时，的值为A ．B ．C ．或D ．【答案】C 【解析】，进而得到，即，数列是公差的等差数列，所以前五项都是正数，或时，取最大值，故选C.8．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <>【答案】B 【解析】 ∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q =，又由()5151131621a q Saq-===-，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q=，则2q =，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1【答案】A 【解析】 【分析】根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =，1534S x =，从而得到155:S S 的值． 【详解】解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =， 1051122S S x x x ∴-=-=-，151014S S x ∴-=，15113244S x x x ∴=+=，故155334:4xS S x ==， 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]1,0- B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】B 【解析】 【分析】先求得等比数列的首项和公比，得到n S ，分析数列的单调性得到n S 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】由1220,a a += 334S =，得11211,,1232nn a q S ⎡⎤⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值12， 所以1221a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，112a -≤≤，故选B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.12．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.13．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值． 【详解】等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <， 即()()120201*********a a S a a +==+>，10110a a ∴+>，()1212111212102a a S a +==<，所以，110a <，则100a >，因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．14．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972C ．3 973D ．3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解．【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中，则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜，解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．15．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】B 【解析】 【分析】找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ， 即()1231153i +++⋯+-=，所以()11532i i -=，解得18i =，故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.16．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ）A ．48B ．90C ．105D ．106【答案】C 【解析】 【分析】根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S . 【详解】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列， 所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A ．23岁 B ．32岁C ．35岁D ．38岁【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案． 【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-，又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选C ．本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则122016111a a a +++=L （ ） A ．20152016 B ．40322017C ．40342017D ．20162017【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211na n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由此就可求得122016111a a a +++L 的值. 【详解】因为111n n n a a a n a n +=++=++， 所以11n n a a n +-=+， 用累加法求数列{}n a 的通项得：()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-()1122n n n +=++⋯+=， 所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 于是1232016111111111212222320162017a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +++⋯+=-+-+⋯+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121201*********⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.19．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为 33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．20．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.。
2020高考数学刷题专题突破练4数列中的典型题型与创新题型文含解析2019050645
专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4．∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28．故选C ．2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1．若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝a 23·a 23·a 3＝a 53＝a 51·q 10．因为a 1＝1，|q |≠1，所以a m ＝a 51·q 10＝a 1q 10，所以m ＝11．故选C ．3．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝0，则S n 取最大值时n 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或3 答案 D解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝0，∴a 3＝0．∵d <0，∴{a n }的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故S n 取最大值时n 等于2或3．故选D ．4．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 10＋a 11＋…＋a 100，则k ＝( ) A ．496 B ．469 C ．4914 D ．4915 答案 D解析 因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －1)d ，因为a k ＝a 10＋a 11＋…＋a 100，所以a k ＝100a 1＋100×992d －9a 1＋9×82d ＝4914d ，又a k ＝(k －1)d ，所以(k －1)d ＝4914d ，所以k ＝4915．故选D ．5．已知数列{a n }的通项为a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n为整数的n 叫做“优数”，则在(0，2018]内的所有“优数”的和为( )A ．1024B ．2012C ．2026D ．2036 答案 C解析 设a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log n ＋1(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，则0<n ＝2k －2≤2018，2<2k ≤2020，1<k ≤10，∴所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22(1－29)1－2－18＝211－22＝2026．故选C ．6．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1，3，5，7，…．当n ＝65时，剩余的一个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析 将1，2，3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为1，3，5，7，…，65(删除33个，剩余32个)；然后循环，删除的数的个数分别为16，8，4，2，1，最后剩余2．故选B ．7．已知数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ，则下列关于{a n }的说法正确的是( ) A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列 答案 C解析 若数列{a n }中所有的项都为0，则满足a n ＋1＝3S n ，所以数列{a n }可能为等差数列，故B ，D 不正确；由a n ＋1＝3S n ，得a n ＋2＝3S n ＋1，则a n ＋2－a n ＋1＝3(S n ＋1－S n )＝3a n ＋1，所以a n ＋2＝4a n ＋1，当a 1≠0时，易知a n ＋1≠0，所以a n ＋2a n ＋1＝4，由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3a 1，即a 2a 1＝3，此时数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列，故A 不正确，C 正确．故选C ．8．(2018·江西南昌测试二)已知各项均为正数的递增数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n ＝a n ＋1，b n ＝a na n ＋t，若b 1，b 2，b m 成等差数列，则tm的最大值为( )A ．27B ．35C ．38D ．54 答案 D解析 由题2S n ＝a n ＋1，则4S n ＝(a n ＋1)2，4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，作差得a n ＋1－a n ＝2，2S 1＝a 1＋1⇒a 1＝1，a n ＝2n －1，由b 1，b 2，b m 成等差数列，可得b m ＝2b 2－b 1，2m －12m －1＋t ＝63＋t －11＋t ，分离m 化简得m ＝3＋4t －1，故(t ，m )＝(2，7)，(3，5)，(5，4)，t m max ＝54．故选D ． 9．(2018·河南信阳高级中学模拟)给定函数y ＝f (x )的图象在下列四个选项中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1<a n ．则该函数的图象可能是( )答案 A解析 由题对于给定函数y ＝f (x )的图象在下列四个选项中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1<a n ．则可得到f (a n )＜a n ，所以f (a 1)＜a 1在∀a 1∈(0，1)上都成立，即∀x ∈(0，1)，f (x )＜x ，所以函数图象都在y ＝x 的下方．故选A ．10．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡(1623～1662)是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列前16项和为( )A ．120B ．163C ．164D ．165 答案 C解析 考查每行第二个数组成的数列：2，3，4，5，…，归纳推理可知其通项公式为b n ＝n ＋1，其前8项和S 8＝8×2＋8×72×1＝44；每行第三个数组成的数列：1，3，6，10，…，归纳推理可知其通项公式为c n ＝n (n ＋1)2＝12(n 2＋n )，其前8项和T 8＝12×8×(8＋1)×(2×8＋1)6＋(8＋1)×82＝120，据此可得题中数列前16项和为120＋44＝164．故选C ．11．(2018·河南林州调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( ) A ．S 7a 7 B ．S 8a 8 C ．S 9a 9 D ．S 10a 10答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S 17>0，且S 18<0，即S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 9＋a 10)<0，∴a 9＋a 10<0，a 9>0，∴a 10<0，∴等差数列{a n }为递减数列，故可知a 1，a 2，…，a 9为正，a 10，a 11，…为负；∴S 1，S 2，…，S 17为正，S 18，S 19，…为负，则S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 9a 9>0，S 10a 10<0，S 11a 11<0，…，S 15a 15<0，又∵S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 9，则S 9a 9最大．故选C ． 12．已知数列{a n }为等比数列，a 1∈(0，1)，a 2∈(1，2)，a 3∈(2，3)，则a 4的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(22，4)C ．(2，9)D ．(22，9) 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0<a 1<1， ①1<a 1q <2， ②2<a 1q 2<3. ③由①②得q ＝a 1q a 1>11＝1；由①③得q 2＝a 1q 2a 1>21＝2；由②③得q ＝a 1q 2a 1q >1且q ＝a 1q 2a 1q<3，故2<q <3．因为a 4＝a 1q 3＝(a 1q 2)·q ，所以22<a 4<9．故选D ．二、填空题13．(2018·湖南张家界模拟)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列且a 1＝2，公积为10，则a 2018＝________．答案 5解析 已知数列{a n }是等积数列且a 1＝2，公积为10，可得a 2＝5，a 3＝2，a 4＝5，a 5＝2，…，由此奇数项为2，偶数项为5，所以a 2018＝5．14．设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量P n P n ＋1＝(1，2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．答案 n 2解析 ∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，∴a n ＋1－a n＝2，∴{a n }是公差d 为2的等差数列．又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2．15．(2018·湖北荆州中学模拟一)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n }为“斐波那契”数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 2020＝M ，则S 2018＝________．(用M 表示)答案 M －1解析 ∵数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，∴a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＝a n ＋a n －1＋a n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －1＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －2＝…＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋…＋a 2＋a 1＋1，则S 2018＝a 2020－1＝M －1．16．(2018·衡水金卷压轴卷二)已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1，过平面上一点P 1作C 1的两条切线，切点分别为A 1，B 1，且满足∠A 1P 1B 1＝π3．记P 1的轨迹为C 2，过平面上一点P 2作C 2的两条切线，切点分别为A 2，B 2，且满足∠A 2P 2B 2＝π3．记P 2的轨迹为C 3，按上述规律一直进行下去，…，记a n ＝|A n A n ＋1|min ，且S n 为数列{a n }的前n 项和，则满足S n －5n >0的最小正整数n 为________．答案 5解析 由题设可知轨迹C 1，C 2，C 3，...，C n 分别是半径为1，2，4，8，16，32， (2)的圆．因为a n ＝|A n A n ＋1|min ，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，…，a n ＝2n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋2＋4＋…＋2n －1＝2n－12－1＝2n －1．由S n －5n >0，得2n －1－5n >0⇒2n >5n ＋1，故最小的正整数n 为5．三、解答题17．(2018·山西考前适应训练)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n∈N *．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ． 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1qn ＋1，因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *．(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2，设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n·(c n )2．T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝－c 21＋c 22＋(－c 23)＋c 24＋…＋(－c 22n －1)＋c 22n＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n )＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n ．18．(2018·山东青岛统测)已知等差数列{a n }的公差为2，等比数列{b n }的公比为2，且a nb n ＝n ·2n ．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝1a n ·log 2b n ＋3，记数列{c n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与38的大小．解 (1)∵a n b n ＝n ·2n，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1b 1＝2，a 2b 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1b 1＝2，(a 1＋2)·2b 1＝8，解得a 1＝2，b 1＝1， ∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，b n ＝2n －1．(2)∵a n ＝2n ，b n ＝2n －1，∴c n ＝1a n ·log 2b n ＋3＝12n (n ＋2)＝141n －1n ＋2，∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n －1＋c n＝141－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2 ＝141＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝38－141n ＋1＋1n ＋2<38， ∴T n <38．19．(2018·广东三校联考二)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )(n ∈N *)在直线2x －y －2＝0上．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)设直线x ＝a n 与函数f (x )＝x 2的图象交于点A n ，与函数g (x )＝log 2x 的图象交于点B n ，记b n ＝OA n →·OB n →(其中O 为坐标原点)，求数列{b n }的前n 项和T n ．解 (1)证明：∵点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上， ∴2a n －S n －2＝0．①当n ＝1时，2a 1－a 1－2＝0，∴a 1＝2． 当n ≥2时，2a n －1－S n －1－2＝0，②①－②，得a n ＝2a n －1．∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 则a n ＝2n．(2)由(1)及已知易得A n (2n ，4n )，B n (2n，n )， ∴b n ＝OA n →·OB n →，∴b n ＝(n ＋1)·4n．则T n ＝2×41＋3×42＋4×43＋…＋(n ＋1)·4n，③ 4T n ＝2×42＋3×43＋4×44＋…＋(n ＋1)·4n ＋1，④③－④，得－3T n ＝8＋42＋43＋…＋4n －(n ＋1)·4n ＋1＝8＋16(1－4n －1)1－4－(n ＋1)·4n ＋1，∴T n ＝n 3＋29·4n ＋1－89．20．(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，且x ∈－12，0时，f (x )的最大值为－14，数列{a n }的首项a 1＝32，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )的图象上，其中n ≥1，n∈Z ．(1)证明：数列lg a n ＋12是等比数列；(2)记R n ＝a 1＋12·a 2＋12·…·a n ＋12，求R n ．解 (1)证明：依题意，f (x )＝x 2＋x ＋c ，c 为常数， 当x ∈－12，0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，所以f (x )max ＝f (0)＝c ＝－14，所以f (x )＝x 2＋x －14．又点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )的图象上， 所以a n ＋1＝a 2n ＋a n －14，即a n ＋1＋12＝a n ＋122，由于a 1＝32，易知a n ＋12>0，所以lg a n ＋1＋12＝2lg a n ＋12，又lg a 1＋12＝lg 2≠0，所以数列lg a n ＋12是首项为lg 2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg a n ＋12＝2n －1·lg 2＝lg 22n －1，所以a n ＋12＝22n －1，所以R n ＝220·221·222·…·22n －1＝220＋21＋22＋…＋2n －1 ＝22n －1．21．(2019·宁夏六盘山高级中学模拟)已知函数y ＝f (x )．对任意x ∈R ，都有f (x )＋f (1－x )＝2．(1)求f 12和f 1n ＋f n －1n(n ∈N *)的值；(2)数列{a n }满足a n ＝f (0)＋f 1n ＋f 2n ＋…＋f n －1n＋f (1)(n ∈N *)，求证：数列{a n }是等差数列．解 (1)由题设条件知f 12＋f 12＝2，故f 12＝1．而1n ＋n －1n ＝1，故f 1n ＋f n －1n ＝2．(2)证明：依题有a n ＝f (0)＋f 1n ＋…＋f n －1n＋f (1)，n ∈N *，同理有a n ＝f (1)＋fn －1n ＋…＋f 1n＋f (0)，n ∈N *， 上述两式对应相加得2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋f 1n＋f n －1n＋…＋f 1n＋f n －1n＋[f (0)＋f (1)]＝2(n ＋1)，从而a n ＝n ＋1，n ∈N *，而a n ＋1－a n ＝1，故{a n }为等差数列．。
2020年高考数学专项突破50题(3)--数列【含答案解析】
2020年高考数学专项突破50题（3）--数列学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.用数学归纳法证明“633123,*2n n n n N ++++⋅⋅⋅+=∈ ”，则当 1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（ ）A. ()()33312(1)k k k ++++++LB.()()()333121k k kk +++++++LC. 3(1)k + D. 63(1)(1)2k k +++2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。
这个问题中，甲所得为（ ） A. 54钱 B.43钱 C.23钱 D.35钱 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项10a >，公差0d <，10210a S ⋅<，则S n 最大时，n 的值为( ) A. 11 B. 10C. 9D. 84.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若243,15S S ==，则56a a +=( ) A. 16 B. 17C. 48D. 495.设正项等比数列{a n }的前项和为S n ，若32=S ，154=S ，则公比q =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 56.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D.4109900- 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1785S =，则7911a a a ++的值为 A. 10 B. 15C. 25D. 308.已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 79.等差数列{a n }中，若243,7a a ==，则6a =( ) A. 11 B. 7C. 3D. 210.设等差数列{a n }前n 项和为S n ，等差数列{b n }前n 项和为T n ，若2018134n n S n T n -=+，则33a b =（ ） A. 528 B. 529C. 530D. 53111.设等差数列{a n }的前n 项和为S n 若39S =,627S =，则9S =( ) A. 45 B. 54C. 72D. 8112.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足56S S <且678S S S =>，则下列结论错误的是（ ） A. 6S 和7S 均为S n 的最大值 B. 70a = C. 公差0d < D. 95S S > 13.用数学归纳法证明：“()221*111,1n nn a a a a a n N a++-++++=≠∈-L ”，在验证1n =成立时，左边计算所得结果是（ ） A. 1B. 1a +C. 21a a ++D.231a a a +++14.等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log 3515.在等差数列{a n }中，64=a ，3510a a a +=，则=12a （ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 1616.已知数列{a n }的前n 项和S 满足*1(1)26()2nn n n S a n n N --=-+∈，则100S =（ ） A. 196 B. 200C. 10011942+ D. 10211982+17.若点(),n n a 都在函数324y x =-图象上，则数列{a n }的前n 项和最小时的n 等于( ) A. 7或8 B. 7C. 8D. 8或918.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且8,45241=+=+a a a a ，则20192019S = ( ) A. 2016 B. 2017C. 2018D. 201919.已知数列{a n }满足：112a =，*11()2n n n a a n N +=+∈，则2019a =（）A. 2018112-B. 2019112-C.20183122- D.20193122- 20.已知数列{a n }満足: 11a =,132n n a a +=-，则6a =( ) A. 0 B. 1C. 2D. 621.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为（ ） A. 1008 B. 1009C. 1010D. 101122.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 11023.在等差数列{a n }中，其前132<<m 项和为S n ，且满足若3512a S +=，4724a S +=，则59a S +=（ ）A. 24B. 32C. 40D. 7224.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ）A. 3B.C.3D. 33-25.若a ，b 是方程20(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A.－4 B. －3C. －2D. －126.已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，1a 1=，23a a 8=-，则6S (= ) A.1283B. －24C. －21D. 1127.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线32=AD ，2AB =,则△ABC 的面积S 为（ ）A. 3B.C.D. 28.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且181212a a a ++=，则13S =（ ） A. 104 B. 78C. 52D. 3929.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 11030.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 6031.已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }分别满足下列各式，其中数列{b n }必为等差数列的是（ ） A. ||n n b a =B. 2n n b a =C. 1n nb a =D.2nn a b =-32.已知数列{a n }是一个递增数列，满足*n a N ∈，21n a a n =+，*n N ∈，则4a =（ ）A. 4B. 6C. 7D. 833.11的等比中项是（ ） A. 1 B. －1C. ±1D.1234.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立35.在数列{a n }中，231518n a n n =+-，则a n 的最大值为（ ）A. 0B. 4C.313 D.213 36.在等差数列{a n }中，已知1a 与11a 的等差中项是15，9321=++a a a ，则9a =（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 637.已知等差数列{a n }的公差0≠d ，前n 项和为S n ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（ ）． A. 0≥n aB. 0109<⋅a aC. 172S S <D. 019≤S38.已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为n A 和n B ，且6302n n A n B n +=+，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 539.设数列{a n }满足31=a ，且对任意整数n ，总有1(1)(1)2n n n a a a +--=成立，则数列{a n }的前2018项的和为（ ） A. 588 B. 589C. 2018D. 201940.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏B. 2盏C. 3盏D. 4盏第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、（本题共10道小题，每小题7分，共70分）41.已知数列{ a n }的首项1133,()521n n n a a a n N a *+==∈+. (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111...n nS a a a =+++，若<100n S ，求最大正整数n . 42.已知在等比数列{a n }中，23411,92187a a a ==. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{b n }的前n 项和T n . 43.若{c n }是递增数列，数列{a n }满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +--…，则称{a n }是{c n }的“分隔数列”.（1）设2,1n n c n a n ==+，证明：数列{a n }是{c n }的分隔数列；（2）设4,n n c n S =-是{c n }的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{S n }是否是数列{d n }的分隔数列，并说明理由；（3）设1,n n n c aq T -=是{c n }的前n 项和，若数列{T n }是{c n }的分隔数列，求实数a ，q 的取值范围． 44..在等比数列{a n }与等差数列{b n }中，11a =，12b =-，223a b +=-，334a b +=-. （1）求数列{a n }与数列{b n }的通项公式； （2）若n n n c a b =+，求数列{c n }的前n 项和S n . 45.已知数列{a n }各项均为正数，满足2333(1)122n n a n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 46.已知数列{a n }满足： 12n n n a a ++=，且111,23nn n a b a ==-⨯.（1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若10n n n a a tS +->对任意*n N ∈都成立．试求t 的取值范围． 47.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(,)n n a S 在直线22y x =-上. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设()23log 2n n nS b a -+=，求数列{b n }的前n 项和T n .48.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足55a =，410S =，0n b >，24b a =，416b a =.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令()()1211na n n n cb b +=--，求数列{c n }的前n 项和T n .49.已知数列{a n }满足11a =，11+=+n nn a a a （n N *∈）． （1）求2a ，3a ，4a 的值； （2）证明：数列{1na }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． 50.定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”．已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为1n． （1）求数列{a n }的通项公式． （2）设数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为T n ，若4n T <244m m --对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．（3）令9()10nn nb a=⋅，问：是否存在正整数k使得k nb b≥对一切*n N∈恒成立，如存在,求出k值；如不存在，说明理由．试卷答案1.A 【分析】写成n k =的式子和1n k =+的式子，两式相减可得. 【详解】当n k =时，左端式子为3123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左端式子为3333(1)(12312())k k k k ++++++++⋅⋅⋅+++L ， 两式比较可知增加的式子为()()33312(1)k k k ++++++L .故选A.【点睛】本题主要考查数学归纳法，从n k =到1n k =+过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养. 2.B设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B. 3.B 【分析】由等差数列前n 项和公式得出21S 1121a =，结合数列{}n a 为递减数列确定10110,0a a ><，从而得到n S 最大时，n 的值为10.【详解】由题意可得()2111112120212110212S a d a d a ´=+=+= 10210a S ⋅<Q 10110a a ∴⋅<等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d < 则数列{}n a 为递减数列10110,0a a ∴><即当10n =时，n S 最大 故选B 。
2020最新题库大全2020年高考数学 试题分项 专题专题04 数列 理
2020最新题库大全2020年数学（理）高考试题分项专题04 数列一、选择题1、（全国1理15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______。
解．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，11n n a a q -=，又21343S S S =+，即21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，解得{}n a 的公比13q =。
2、（广东理5）已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k= （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 答案：B ；解析：此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k-10<8得到k=8。
3、（天津文理8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )A.2B.4C.6D.86、（福建理2）数列{}的前n 项和为，若)1(1+=n n a n ，则5s 等于A 1B 65C 61D 301 解析：)1(1+=n n a n =111+-n n ，所以656151514141313121211543215=-+-+-+-+-=++++=a a a a a S ，选B 9、（湖北理5）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0 B ．1 C ．pqD ．11p q --10、（湖北理8）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ， 且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5答案：选D解析：由等差数列的前n 项和及等差中项，可得()()()()()()121121121121112122112122n n n nn n a a n a a a b b b n b b ----+-+==+-+ ()()21217214514387191272132211n n n A n n B n n n n ---+++=====+-++++()n N *∈， 故1,2,3,5,11n =时，nna b 为整数。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》经典测试题及答案解析
高考数学《数列》课后练习一、选择题1．已知{}n a 是单调递增的等比数列，满足352616,17a a a a ⋅=+=，则数列{}n a 的前n项和n S = A ．122n+ B ．122n- C ．1122n -+D ．1122n -- 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根，解方程可得q和a 1，代入求和公式计算可得． 【详解】∵352616,17a a a a ⋅=+=，∴由等比数列的性质可得26261617a a a a ⋅=+=， ，26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根解方程可得2626116161a a a a ====，，或， ， ∵等比数列{a n }单调递增，∴26116a a ==，，∴1122q a ，＝= ，∴()1112122122nn n S ----＝＝ 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.3．已知数列{}n a 中，12a =，211n nn a a a +=-+，记12111n nA a a a =++⋯+，12111n nB a a a =⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．2019201912A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）21210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=+=，20192121116B A a a <=⋅=， 所以2019201912A B ->. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：（1）211121111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒=-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）211n n n a a a +=-+等价于21111n n na a a +=--， 所以1111n n n a a a +-=-，故12111111n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是12121111111n n a a a a a a ⎛⎫⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.4．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ） AB．C．3 D．3-【答案】B 【解析】 【分析】由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】 ∵()11111611221123a a S a π+=== ，∴623a π=，()62tan tan 3a π⎛⎫== ⎪⎝⎭故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.5．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2124n -- B ．1122n -- C ．21n - D ．122n +-【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >可得214128a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，所以数列{}n a 的前n 项和11(12)122122nn n S --==--. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.6．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.7．在数列{}n a 中，()111,1nn n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）A ．2017⨯1008B ．2017⨯1009C ．2018⨯1008D ．2018⨯1009【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件()nn 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】()nn 1n a a n 1+-=+-,()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,-=+--=+-=+--=+⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2，即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)201710092+=⨯，故选：B. 【点睛】本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972C ．3 973D ．3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解．【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中，则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜，解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．9．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ） A ．20152016 B ．20162017C ．20172018D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．10．在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，则2016a 的值为A ．-2B ．13 C ．12 D ．32【答案】B 【解析】由111n na a +=-，得2111111111n n n na a a a ++=-=-=--. 所以32111111n n n na a a a ++=-=-=-. 即数列{}n a 以3为周期的周期数列.所以2016311113a a a ===-. 故选B.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭代得到了数列的周期性．11．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51C ．61D ．68【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，3156a a ∴+=.()()11731517171717651222a a a a S ++⨯∴====. 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.12．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>【答案】B 【解析】 ∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念13．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120C ．121D ．192【答案】B 【解析】 【分析】根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】Q35227a q a ==, ∴ 3q =∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.14．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.因为()2210q -≥所以不等式的解集为10a < 若210n S -<当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.15．已知数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．41n a n =+D ．41n a n =-【答案】C 【解析】 【分析】首先根据223n S n n =+求出首项1a 的值，然后利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】因为223n S n n =+，所以，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立， 所以41n a n =+， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后再判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果.16．等差数列{}n a 中，1599a a a ++=，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( ) A ．11a B ．12aC ．13aD ．14a【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知5113,15a a ==，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为15，故可确定抽走的是哪一项. 【详解】因为1952a a a +=，所以539a =即53a =. 有211521S =得1115a =，设抽去一项后余下的项的和为S ，则2015300S =⨯=，故抽取的一项的大小为11， 所以抽走的项为11a ，故选A. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.17．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．1007B ．1009C ．0D ．-1【答案】A 【解析】 【分析】按照程序框图模拟运行即可得解. 【详解】1i =，1112x ==--，0(1)1S =+-=-；2i =，111(1)2x ==--， 11122S =-+=-；3i =，12112x ==-，13222S =-+=；4i =，1112x ==--，31(1)22S =+-=，…，由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3， 所以输出112672110072S ⎛⎫=-++⨯-= ⎪⎝⎭. 故选A【点睛】本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d <②110S <③120S >④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定．【详解】 Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，∴10a >，0d <，①正确；Q 675S S S >>，∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大，∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>，∴③⑤正确，②错误.故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】A【解析】【分析】 对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n =， 因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+ 因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >所以当1300n S =时，n 的最大值为49故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.20．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1) 【答案】D【解析】【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围.【详解】 由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111*********n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<-⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.。
2020高考数学刷题首秧单元测试四数列文含解析
单元质量测试(四) 时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d ＝( )A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2答案 D解析 由S 3＝6，知a 1＋d ＝2；由a 3＝0，知a 1＋2d ＝0，联立Error!解得d ＝－2．故选D ．2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18 B ．99 C ．198 D ．297答案 B解析 由等差数列的性质得2a 6＝27－a 6，所以a 6＝9，又S 11＝11a 6＝99．故选B ．3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝，若a k ＝2－5，则k ＝( )12A ．5 B ．6 C ．9 D ．10答案 D解析 设该数列的公比为q ，则由等比数列的通项公式可得，q 3＝＝，∴q ＝2－，∴a k a 4a 11423＝a 1q k －1＝2·q k －1＝2－5，∴q k －1＝2－6，∴＝6，∴k ＝10．2(k －1)34．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝－1，则x 2018＝( )1x n ＋1A ．－1B ．－C ．D ．11212答案 B解析 将x 1＝1代入x n ＋1＝－1，得x 2＝－，再将x 2代入x n ＋1＝－1，得x 3＝1，1x n ＋1121x n ＋1所以数列{x n }的周期为2，故x 2018＝x 2＝－．故选B ．125．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10＝S 4，则＝( )S 8a9A ．4 B ．5 C ．8 D ．10答案 A解析 由a 10＝S 4得a 1＋9d ＝4a 1＋d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0．所以S 8＝8a 1＋4×328×72d ＝8a 1＋28d ＝36d ，所以＝＝＝4．故选A ．S 8a 936d a 1＋8d 36d9d6．(2018·甘肃天水检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B ．12n －1C ．n －1 D ．n －12332答案 D解析 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以＝，所以数列{S n }S n ＋1S n 32是以S 1＝a 1＝1为首项，为公比的等比数列，所以S n ＝n －1．故选D ．32327．数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝( )A ．－495 B ．765 C ．1080 D ．3105答案 B解析 由a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3可得a n ＝3n －63，则a 21＝0，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝765．故选B ．8．(2018·安徽淮南模拟)已知{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．[－3，＋∞)答案 C解析 ∵{a n }是递增数列，∴∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，化简得λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3．故选C ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( )A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0 D ．S 15>0答案 C解析 因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大，即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见A 错误；易知a 16<a 15<0，S 16＝S 15＋a 16<S 15，B 错误；S 15＝(a 1＋a 15)＝15a 8<0，D 错误；S 13＝(a 1＋a 13)＝13a 7>0．故C152132正确．10．(2018·福建漳州调研)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )A ．一鹿、三分鹿之一B ．一鹿C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一答案 B解析 由题意可知，五人按等差数列分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且a 1＝1＋＝23，公差为d ，则5a 1＋d ＝5，解得d ＝－，所以a 3＝a 1＋2d ＝＋2×－＝1，所以簪535×42135313裹得一鹿，故选B ．11．(2018·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，，，，…，；①1213141n(2)将数列①的各项乘以，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ．n2则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( )A ． B ．n 24(n －1)24C ．D ．n (n －1)4n (n ＋1)4答案 C解析 依题意可得新数列为，，，…，×，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 2n 4n 61n n 2n 2411×2＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝·＝．故选C ．12×31(n －1)n n 241212131n －11n n 24n －1n n (n －1)412．(2018·河南六市第一次联考)若正项递增等比数列{a n }满足1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0(λ∈R )，则a 6＋λa 7的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．2D ．4答案 D解析 ∵{a n }是正项递增的等比数列，∴a 1>0，q >1，由1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0，得1＋(a 2－a 4)＋λq (a 2－a 4)＝0，∴1＋λq ＝，∴a 6＋λa 7＝a 6(1＋λq )＝＝1a 4－a 2a 6a 4－a 2＝＝(q 2－1)＋2＋≥2＋2＝4(q 2－1>0)，当且仅当q q 4q 2－1[(q 2－1)＋1]2q 2－11q 2－1(q 2－1)·1q 2－1＝时取等号，∴a 6＋λa 7的最小值为4．故选D ．2第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则＝________．S 4a2答案 152解析 ＝＝＝＝．S 4a2a 1·1－q 41－qa 1q1－q 4q (1－q )1－242×(1－2)15214．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝12________．答案 6解析 由a n ＋a n ＋1＝＝a n ＋1＋a n ＋2，得a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 612＝…＝a 20，所以S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×＝6．1215．(2018·江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考)若{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前2018项和为________．答案 10092020解析 ∵a n b n ＝1，且a n＝n 2＋3n ＋2，∴bn ＝＝＝－，∴1n 2＋3n ＋21(n ＋2)(n ＋1)1n ＋11n ＋2{b n }的前2018项和为－＋－＋－＋…＋－＝－＝＝．121313141415120191202012120201010－120201009202016．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________．答案 2n ＋2＋n (n ＋1)－4解析 由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1－2，又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(2018·云南统测)(本小题满分10分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：S －S n S n ＋2＝4×3n ．2n ＋1解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3，∴q ≠1．由已知得Error!解得Error!∴a n ＝2×3n －1．(2)证明：由(1)可得S n ＝＝3n －1．2×(1－3n )1－3∴S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1．∴S －S n S n ＋2＝(3n ＋1－1)2－(3n －1)(3n ＋2－1)＝4×3n ．2n ＋118．(2018·南昌一模)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log ，求b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值．216S n ＋1解 (1)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4，得2a 4－2a 3＝a 4，所以＝2，所以q ＝2．a 4a3又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1．所以a n ＝2n －1．(2)由(1)知，S n ＝＝2n －1，1－2n1－2所以b n ＝log＝2log 224－n ＝8－2n ，b n ＋1－b n ＝－2，b 1＝8－2＝6，所以数列216S n ＋1{b n }是首项为6，公差为－2的等差数列，所以b 2＝4，b 3＝2，b 4＝0，当n >5时b n <0，所以当n ＝3或n ＝4时，b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值为12．19．(2018·湖南长沙模拟)(本小题满分12分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，S n ＝2－2a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n＝(－1)n loga n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．12解 (1)∵S n ＝2－2a n ＋1，a 1＝1，∴当n ＝1时，S 1＝2－2a 2，得a 2＝1－＝1－＝；S 12a 1212当n ≥2时，S n －1＝2－2a n ，∴当n ≥2时，a n ＝2a n －2a n ＋1，即a n ＋1＝a n ，12又a 2＝a 1，12∴{a n }是以1为首项，为公比的等比数列．12∴数列{a n }的通项公式为a n ＝．12n －1(2)由(1)知b n ＝(－1)n (n －1)，∴T n ＝0＋1－2＋3－…＋(－1)n (n －1)，当n 为偶数时，T n ＝(－0＋1)＋(－2＋3)＋…＋[－(n －2)＋n －1]＝；n2当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝－n ＝，n ＋121－n2∴T n ＝Error!20．(2018·太原三模)(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝，a n ＋1＝．12a n2a n ＋1(1)求证：数列是等差数列，并求{a n }的通项公式；1an (2)若数列{b n }满足b n ＝，求数列{b n }的前n 项和S n ．12n a n解 (1)证明：因为a n ＋1＝，a n2a n ＋1且可知a n ≠0，所以－＝2，1an ＋11an所以数列是等差数列．1an 所以＝＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝．1a n 1a 112n (2)因为b n ＝＝，2n 2n n2n －1所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋＋＋…＋，22322n2n －1则S n ＝＋＋＋…＋，两式相减得1212222323n2n S n ＝1＋＋＋＋…＋－121212212312n －1n 2n ＝21－－，12n n 2n 所以S n ＝4－．n ＋22n －121．(2018·东北三校联考)(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5．(2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1．当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2；当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2．由λa n>2n ＋n ＋2λ，得λ>＝＋．2n ＋n 2n ＋112n 2n ＋1又－＝≤0，所以当n ＝1,2时，取得最大值，故λ的取值范围为n ＋12n ＋2n2n ＋11－n 2n ＋22n ＋n 2n ＋134．(34，＋∞)22．(2018·河北唐山一模)(本小题满分12分)已知数列{a n }为单调递增数列，S n 为其前n 项和，2S n ＝a ＋n ．2n (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝，T n 为数列{b n }的前n 项和，证明：T n <．a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋112解 (1)当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a ＋1，21所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．由2S n ＝a ＋n 得2S n ＋1＝a＋n ＋1，2n 2n ＋1所以2S n ＋1－2S n ＝a －a ＋1，2n ＋12n 则2a n ＋1＝a －a ＋1，所以a ＝(a n ＋1－1)2．2n ＋12n 2n 所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．(2)证明：b n ＝＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝－，1n ·2n 1(n ＋1)·2n ＋1所以T n ＝－＋－＋…＋－＝－11×2112×2212×2213×231n ·2n 1(n ＋1)·2n ＋112<．1(n ＋1)·2n ＋112。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》技巧及练习题含答案
【高中数学】数学《数列》复习知识点一、选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]1,0- B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】B 【解析】 【分析】先求得等比数列的首项和公比，得到n S ，分析数列的单调性得到n S 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】由1220,a a += 334S =，得11211,,1232nn a q S ⎡⎤⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值12， 所以1221a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，112a -≤≤，故选B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到121n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=. ∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，∴2n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()22110n n nn λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，∴121n λ<-+对*n N ∈恒成立， ∴13λ<-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.4．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0B ．55C ．66D ．78【答案】D 【解析】 【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122⨯=（）78= 故选：D 【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.5．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6C ．10D ．11【答案】C 【解析】2525163412132323222log 62n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)011102n n n S n n +-=>⇒<⇒= ，故选C.6．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )A ．2B ．2C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x ym m+=,求出,a c ．再求椭圆的离心率即可. 【详解】()22n m m n n m =++⇒=,∴椭圆为2212x y m m+=,22c m m m =-=,得c =又a =c e a ∴==.则椭圆离心率为2，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21C ．63-D ．21【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得21112163S a ==-.【详解】∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ．【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.8．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.9．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1 C ．3 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==，335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-，13235439a a d =-=+=，20139391921a a d ∴=+=-⨯=．故选：B 【点睛】本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．10．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D .【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972C ．3 973D ．3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解．【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中，则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．12．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016 B ．20162017C ．20172018D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9C ．18D ．27【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()272a a S ⨯+== 故选D.14．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-， 现有下面四个结论①数列{}n S n +为等比数列；②数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-；③数列{}1n a +为等比数列；④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+，可得①正确，利用等比数列求出2nn S n =-，根据前n 项和求n a ，可判断②③，计算2n S ，并分组求和可判断④. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++， 又112S +=.所以数列{}n S n +为首项是2，公比是2的等比数列，所以2nn S n +=， 则2nn S n =-.当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，所以①正确，②③错误，因为1222n n S n +=-，所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---， 所以④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由n S 求数列的通项公式，属于中档题.15．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120C ．121D ．192【答案】B 【解析】 【分析】根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】Q35227a q a ==, ∴ 3q =∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.16．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题设知21n a n =-，12n nb -=，由1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．【详解】{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b Q 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，()()()()1121121242211221241221n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- ()121242n n -=+++⋯+- 12212nn -=⨯-- 122n n +=--，2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n <．则当2019n T <时，n 的最大值是9． 故选A ． 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.17．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ）A ．1(1)n n a a n n --=>B ．20210a =C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】 ∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确； 将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确.故选C【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．等差数列{}n a 中，1599a a a ++=，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( )A ．11aB ．12aC ．13aD ．14a 【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知5113,15a a ==，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为15，故可确定抽走的是哪一项.【详解】因为1952a a a +=，所以539a =即53a =. 有211521S =得1115a =， 设抽去一项后余下的项的和为S ，则2015300S =⨯=，故抽取的一项的大小为11， 所以抽走的项为11a ，故选A.【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ； （3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.19．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-， 又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C ．【点睛】 本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．1007B ．1009C ．0D ．-1【答案】A【解析】【分析】 按照程序框图模拟运行即可得解.【详解】1i =，1112x ==--，0(1)1S =+-=-；2i =，111(1)2x ==--， 11122S =-+=-；3i =，12112x ==-， 13222S =-+=；4i =，1112x ==--， 31(1)22S =+-=，…， 由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3， 所以输出112672110072S ⎛⎫=-++⨯-= ⎪⎝⎭. 故选A【点睛】本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
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2
Sn＝an＋1，bn＝ana＋n t，若
b1，b2，bm
t 成等差数列，则m的最大值为(
)
2335 A．7 B．5 C．8 D．4
答案 D
解析 由题 2 Sn＝an＋1，则 4Sn＝(an＋1)2，4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，作差得 an＋1－an＝2，2 S1 ＝a1＋1⇒a1＝1，an＝2n－1，由 b1，b2，bm 成等差数列，可得 bm＝2b2－b1，2m2－m－1＋1 t＝3＋6 t－
＝4an＋1，当 a1≠0 时，易知 an＋1≠0，所以aann＋＋21＝4，由 an＋1＝3Sn，得 a2＝3a1，即aa12＝3，此时
数列{an}既不是等比数列又不是等差数列，故 A 不正确，C 正确．故选 C．
8．(2018·江西南昌测试二)已知各项均为正数的递增数列{an }的前 n 项和为 Sn 满足
A．120 B．163 C．164 D．165 答案 C 解析 考查每行第二个数组成的数列：2，3，4，5，…，归纳推理可知其通项公式为 bn＝n＋1，其前 8 项和 S8＝8×2＋8×2 7×1＝44；每行第三个数组成的数列：1，3，6，10，…， 归纳推理可知其通项公式为 cn＝nn2＋1＝21(n2＋n)，其前 8 项和 T8＝21×8×8＋1×6 2×8＋1＋8＋21×8＝120，据此可得题中数列前 16 项和为 120＋ 44＝164．故选 C． 11．(2018·河南林州调研)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S17>0，S18<0，则Sa11，
2
答案 A 解析 由题对于给定函数 y＝f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意 a1∈(0，1)， 由关系式 an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足 an＋1<an．则可得到 f(an)＜an，所以 f(a1)＜a1 在 ∀a1∈(0，1)上都成立，即∀x∈(0，1)，f(x)＜x，所以函数图象都在 y＝x 的下方．故选 A．
专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型
一、选择题 1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么 a1＋a2＋…＋a7 等于( ) A．14 B．21 C．28 D．35 答案 C 解析 ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4．∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋ (a3＋a5)＋a4＝7a4＝28．故选 C． 2．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1．若 am＝a1a2a3a4a5，则 m 等于( ) A．9 B．10 C．11 D．12 答案 C 解析 am＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝a23· a23·a3＝a53＝a51·q10．因为 a1＝1，|q|≠1， 所以 am＝a51·q10＝a1q10，所以 m＝11．故选 C． 3．在递减等差数列{an}中，若 a1＋a5＝0，则 Sn 取最大值时 n 等于( ) A．2 B．3 C．4 D．2 或 3 答案 D 解析 ∵a1＋a5＝2a3＝0，∴a3＝0． ∵d<0，∴{an}的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故 Sn 取最大值时 n 等 于 2 或 3．故选 D． 4．在等差数列{an}中，首项 a1＝0，公差 d≠0，若 ak＝a10＋a11＋…＋a100，则 k＝( ) A．496 B．469 C．4914 D．4915 答案 D 解析 因为数列{an}是等差数列，所以 an＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d，因为 ak＝a10＋a11＋… ＋a100，所以 ak＝100a1＋100×2 99d－9a1＋9×2 8d＝4914d，又 ak＝(k－1)d，所以(k－1)d＝ 4914d，所以 k＝4915．故选 D． 5．已知数列{an}的通项为 an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积 a1·a2·a3·…·an 为整数的 n 叫做“优数”，则在(0，2018]内的所有“优数”的和为( ) A．1024 B．2012 C．2026 D．2036 答案 C 解析 设 a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·logn＋1(n＋2)＝log2(n＋2)＝k， k∈Z，则 0<n＝2k－2≤2018，2<2k≤2020，1<k≤10，∴所有“优数”之和为(22－2)＋(23 －2)＋…＋(210－2)＝2211－－229－18＝211－22＝2026．故选 C．
C．可能为等差数列，但不会为等比数列
D．可能为等比数列，但不会为等差数列
答案 C
解析 若数列{an}中所有的项都为 0，则满足 an＋1＝3Sn，所以数列{an}可能为等差数列，
故 B，D 不正确；由 an＋1＝3Sn，得 an＋2＝3Sn＋1，则 an＋2－an＋1＝3(Sn＋1－Sn)＝3an＋1，所以 an＋2
1 1＋t，分离
m
化简得
m＝3＋t－4 1，故(t，m)＝(2，7)，(3，5)，(5，4)，tmmax＝54．故选
D．
9．(2018·河南信阳高级中学模拟)给定函数 y＝f(x)的图象在下列四个选项中，并且
对任意 a1∈(0，1)，由关系式 an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足 an＋1<an．则该函数的图象可能 是( )
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6．约瑟夫规则：将 1，2，3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从 1
开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为 1，
3，5，7，…．当 n＝65 时，剩余的一个数为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 B
解析 将 1，2，3，…，65 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从 1 开始，按
10．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡 三角形．帕斯卡(1623～1662)是在 1654 年发现这一规律的，比杨辉要迟 393 年，比贾宪迟 600 年．右图的表在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就出现了， 这又是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的 数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列前 16 项和为( )
逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为 1，3，5，7，…，65(删除 33 个，
剩余 32 个)；然后循环，删除的数的个数分别为 16，8，4，2，1，最后剩余 2．故选 B．
7．已知数列{an}中，an＋1＝3Sn，则下列关于{an}的说法正确的是( ) A．一定为等差数列
B．一定为等比数列