通信原理第2章

2
=E[ A ] {cos E[cos (t )]} sin E[cos(t ) sin(t )]
2 2
1 1 E[ A ] {cos E[ (1 cos 2(t ))] sin E[ sin 2(t )]} 2 2 E[ A2 ] cos 2 20
第3章 随机信号分析


本章教学目的：了解随机过程的基本知 识（因为它是分析和设计通信系统的重 要工具）。 说明：随机过程属于数学学科的内容。 为了使大家迅速掌握有关知识，本章不 准备从严格的数学角度介绍随机过程的 完整内容，而将结合本课程的特点从工 程的角度介绍基本概念和公式。
1
第3章的主要内容
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3.2平稳随机过程及其数字特征 （续4）


［例3-1］讨论随机过程X(t)=Acos(t+) 的各态历经性。式中振幅A和初相均为 随机变量，两者统计独立，在（0，2） 之间均匀分布。 因为
E[ X (t )] E[ A cos(t )] 0
E[ A ] R(t , t ) cos 2
aa R ( ) 征 （续6）

1.相关函数的性质 （1）(t)的平均功率 2 R(0) E[ (t )] S
R(0)为ξ (t)的均方值(平均功率)。
自相关函数在τ =0处的数值等于该过程的平均功率 ( 包括直流功率和交流功率)。

（2）R()是偶函数
R( ) R( )
22
3.2平稳随机过程及其数字特征 （续7）

（3）R()的上界
R( ) R(0)

（4）(t)的直流功率
R() E [ (t )]
2
23
3.2平稳随机过程及其数字特征 （续8）

（5）方差，(t)的交流功率
R(0) R()

图2-2功率信号f(t)及其截短函数fT(t)
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3.2平稳随机过程及其数字特征 （续11）

随机过程(t)的功率谱密度为
E FT ( ) P ( ) E[ Ps ( )] lim T T
2

(t)的平均功率
1 P ( )d 2

1 S 2
E FT ( ) lim T T
f ( x) 1 ( x a) exp[ ] 2 2 2
2
式中a及是两个常量（均值及方差）。
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3.3.1高斯随机过程（续2）

f(x)的特性：高斯随机过程中的一维概率密 度函数的特性理解比较容易，
f ( x)
1 2
f a x f a x



f ( x)dx 1
数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。

随机过程的方差：
D[ (t )] E{ (t ) E[ (t )]}
2
方差的物理意义：信号或噪声交流功率。
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3.1随机过程的一般表述（续5）

随机过程(t)的协方差函数：
B(t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}
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3.2平稳随机过程及其数字特征 （续2）

各态历经性：平稳随机过程一般具有一 个有趣的又非常有用的特性，这个特性 称为“各态历经性”。即随机过程的数 学期望（统计平均值），可以由任一实 现的时间平均值来代替；随机过程的自 相关函数，也可以由对应的“时间平均” 来代替“统计平均”。
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3.2平稳随机过程及其数字特征 （续3）
2
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求解
E[ X (t )] E[ Acos(t )] E[ A] E[cos t cos sin t sin ] E[ A] {cos t E[cos ] sin t E[sin ]} E[ A] {cos t 0
2 0 2 1 1 cos d sin t sin d } 0 2 2
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R (t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t2 )] E[ A cos(t1 ) A cos(t2 )]
令t1 t , t2 t R(t , t ) E[ A cos(t ) A cos(t )] E[ A ] E{cos(t )[cos(t ) cos sin(t ) sin ]}
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3.2平稳随机过程及其数字特征

平稳随机过程的数学表述：如果对于任 意的正整数n和任意实数t1，t2，，tn，， 随机过程(t)的n维概率密度函数满足
f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn )
f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
1 exp[ 2 B
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn )
1 (2 )
n 2
1 2 n B
12

j 1 k 1
B
jk
(
xj aj
j
)(
xk ak
k
)]
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3.3.1高斯随机过程（续1）

特例：高斯随机过程中的一维分布。一 维概率密度函数

若令时间均值和时间相关函数
1 T 2 lim T x (t ) dt a T T 2 1 T lim 2 x(t ) x (t ) dt R ( ) T T T 2

平稳随机过程的各态历经性表现为
aa R ( ) R ( )
2
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3.2平稳随机过程及其数字特征 （续9）

2.频谱特性 确定（知）功率信号f(t)，它的功率谱 密度PS()可表示成
FT ( ) Ps ( ) lim T T
2
式中：FT()是f(t)的截短函数fT(t)（如 图2-2所示）的频谱函数。
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3.2平稳随机过程及其数字特征 （续10）

设ξ(t)与η(t)分别表示两个随机过程 互协方差函数： B (t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a (t1 )][(t2 ) a (t2 )]} 互相关函数：

R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
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3.1随机过程的一般表述（续7）
小结： 从以上对随机过程的一般表述看到,随机过 程的统计特性，原则上都与时刻t1，t2…有关。 就相关函数而言，它的相关程度与选择时刻t1， t2有关。如果t2> t1，并令t2= t1+τ，即τ是t2与t1 之间的时间间隔，则相关函数R（t1，t2）可表 示为R（t1，t1+τ）。这说明，相关函数依赖于 起始时刻（或时间起点）t1及时间间隔τ，即相 关函数是t1和τ的函数。

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定义

随机过程(t)的一维分布函数：
F ( x1 , t1 ) P{ (t1 ) x1} 1

(t)的一维概率密度函数：
F ( x1 , t1 ) 1 f1 ( x1 , t1 ) x1
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3.1随机过程的一般表述（续3）

(t)的n维分布函数：
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) P{ (t1 ) x1 , (t2 ) x2 ,, (tn ) xn }



x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
衡量随即过程任意两个时刻上获得的随即变量之间 的关联程度 用途：a 用来判断广义平稳； b用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。
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3.1随机过程的一般表述（续6）
协方差函数和相关函数的概念也可引入到 两个或更多个随机过程中去，从而获得互协方 差及互相关函数。


3.1随机过程的一般表述 3.2平稳随机过程及其数字特征 3.3高斯噪声 3.4正弦波加窄带高斯噪声 3.5随机信号通过线性系统 3.6周期平稳随机过程
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2.1随机过程的一般表述



3.1.1随机过程的概念 通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖 于时间参数t的随机过程。 这种过程的基本特征是，它是时间t的函数， 但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一 个随机变量。 或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的 总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而 随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。。

(t)的n维概率密度函数：
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) x1 , x2 ,, xn
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3.1随机过程的一般表述（续4）
3.数字特征 随机过程(t)的数学期望： E[ (t )] xf1 ( x, t )dx a(t )
o a x
a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将 随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为标准化 的正态分布： 2
x 1 f ( x) exp 2 2
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3.3.2窄带高斯噪声、白噪声、 带限白噪声
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3.1随机过程的一般表述（续1）

随机过程的定义：随机过程是依赖于时间参
量t变化的随机变量的总体或集合；也可以叫做 样本函数的总体或集合。习惯用ξ(t)表示。
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3.1随机过程的一般表述（续2）
3.1.2随机过程的统计特征 1.统计描述 随机过程的统计特征是通过它的概率分布 或数字特征加以表述的。 设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时 刻t1上，ξ(t1)是一个随机变量。显然，这 个随机变量的统计特性，可以用分布函 数或概率密度函数去描述