四川省达州市大竹县文星中学2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

四川省达州市大竹县文星中学2015届高三上学期期末考试数学（理）试题考试时间：120分钟；满分150分第I 卷（选择题）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A ∪B=A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}2．函数y ＝sin(π2x ＋θ)·cos(π2x ＋θ)在x ＝2时取最大值，则θ的一个值是( )A ．π4B ．π2C ．2π3D ．3π43．设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i4．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( )A ．f (k )＋k －1B ．f (k )＋k ＋1C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －25．已知a >0，b >0，a 、b 的等差中项为12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b，则α＋β的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．66．若m ，n 是正整数，则m ＋n >mn 成立的充要条件是( )A ．m ，n 都等于1B ．m ，n 都不等于2C ．m ，n 都大于1D ．m ，n 至少有一个等于17.函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( )A.12 B ．－1 C ．0D ．18．某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为A.πB.πC.4πD.16π9．阅读下面的程序框图,输出的结果是A.9B.10C.11D.1210．已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.1 D.1211．如果实数x,y 满足不等式组目标函数z=kx+y 的最大值为12,最小值为3,那么实数k 的值为 A.2B.-2C.1D.-112．已知函数f(x)=2mx 2-2(4-m)x+1,g(x)=mx ,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-∞,0)第II 卷（非选择题）二、填空题：共4题 每题5分 共20分13.随机变量ξ的取值为0,1,2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.14．观察下列等式 (1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ……照此规律,第n 个等式可为 .15.下图展示了一个由区间)1,0(到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数上的点m ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点B A ,恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①方程()0f x =的解是x =12； ②114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ③()f x 是奇函数； ④()f x 在定义域上单调递增； ⑤()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称． 16．对于定义域在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1没有不动点，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：(共6题，共72分)17．(本题10分)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ )(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f (x ＋π6)的值域．18．(本题12分) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19.（本题12分）在四棱锥ABCD P -中， BC AD //，090ABC APB ∠=∠=，点M 是线段AB 上的一点，且CD PM ⊥，BM AD PB BC AB 422====．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求直线CM 与平面PCD 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T 。

21．（本题13分）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，g (x )＝(6＋a )·2x －1.(1)若f (1)＝f (3)，求实数a 的值；PA BMCD(2)在(1)的条件下，判断函数F(x)＝21＋g(x)的单调性，并给出证明；(3)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a(a∉(－4,4))恒成立，求实数a的最小值．22．（本题13分）椭圆C错误！未找到引用源。

=1（a>b>0）的离心率e=，a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．参考答案∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋a ＋b a ＋a ＋b b ＝3＋b a ＋ab ≥3＋2＝5.故选C.6.答案 D【解析】 ∵m ＋n >mn ，∴(m －1)(n －1)<1.∵m ，n ∈N *，∴(m －1)(n －1)∈Z ， ∴(m －1)(n －1)＝0. ∴m ＝1或n ＝1，故选D. 7.答案 D【解析】 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.8.D【解析】本题主要考查三视图、空间几何体的结构和球的表面积公式,意在考查考生的空间想象能力.如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD 为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO 2=AO·OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π.9.B【解析】本题主要考查算法与程序框图的相关知识,考查运算求解能力.a=95→y=a x是减函数,否→a=×(95-1)=47→y=a x是减函数,否→a=×(47-1)=23→y=a x是减函数,否→a=×(23-1)=11→y=a x是减函数,否→a=×(11-1)=5→y=a x是减函数,否→a=×(5-1)=2→y=a x是减函数,否→a=×(2-1)=→y=a x是减函数,是→x=1→a x=()1>10-3,是→x=1+1=2→a x=()2>10-3,是→x=2+1=3→a x=()3>10-3,是→…→x=8+1=9→a x=()9>10-3,是→x=9+1=10→a x=()10>10-3,否→输出x 为10. 10.D 11.A 12.B 13. 25【解析】 本题考查期望，方差的求法．设ξ＝1概率为P .则E (ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)×35＋(2－1)2×15＝25.14.(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n ×1×3×5×…×(2n -1)【解析】本题主要考查归纳推理,考查考生的观察、归纳、猜测能力. 观察规律可知,左边为n 项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n 个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n -1).15. ①④○5 16. (－1,3)【解析】 由题意，得方程x 2＋ax ＋1＝x ，即x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实根， ∴Δ＝(a －1)2－4＝a 2－2a －3＜0， ∴－1＜a ＜3.17. 解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2，从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又由－π<φ≤π，得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin (2x ＋π2)＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝(2cos 2x －1)(3cos 2x ＋2)2(2cos 2x －1)＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)． 因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2≠12.故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．18. 解：(1)设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为23，35.则P (B )＝(1－23)×(1－35)＝13×25＝215，再根据对立事件概率之间的公式可得 P (A )＝1－P (B )＝1315，所以至少一种产品研发成功的概率为1315.(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－35)＝215；P (ξ＝120)＝23×(1－35)＝415；P (ξ＝100)＝(1－23)×35＝15；P (ξ＝220)＝23×35＝25；所以ξ的分布列如下：则数学期望E (ξ)＝0×215＋120×415＋100×15＋220×25＝32＋20＋88＝140.19.解（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，又因为CD PM ⊥，且CD AB ，所以⊥PM 面ABCD ， 且⊂PM 面PAB ．所以，面⊥PAB 面ABCD 。