2019年秋季泸科版七年级数学上册 1.类比归纳专题:有理数加、减、乘、除中的简便运算
沪科版七年级数学上最全的知识点和方法总结
七年级数学(上)最全的知识点第1章有理数一、知识框架二、知识概念1、有理数:2、数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线(三者缺一不可);注意:①在数轴上到定点距离等于定长的点有两个。
(例如到原点距离等于2的点有两个:±2)②在数轴上,右边的表示的数大于左边的点表示的数;③原点左侧的为负数,原点右侧的为正数;④在数轴上的距离:右边的点表示的数-左边的点表示的数;或者两点表示的数差的绝对值.3、相反数:(1)只有符号不同的两个数互为相反数;0的相反数还是0;(2)相反数的和为0 ↔ a+b=0 ↔ a、b互为相反数.4、绝对值:(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:在数轴上表示数a的点到原点的距离,叫做a的绝对值.(2) 绝对值可表示为:绝对值的问题经常分类讨论;5、有理数比大小:(1)数轴上不同的两个点表示的数,右边点表示的数总比左边点表示的数大;(2)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;(3)两个负数比较大小,绝对值大的反而小;(4)大数-小数>0,小数-大数<0;(5)正数大于一切负数.6、互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若a≠0,那么a的倒数是;若ab=1 a、b互为倒数.7、有理数加法法则:(1)同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加,仍得这个数.8、有理数加法的运算律:(1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).9、有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).10、有理数乘法法则:(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘,有一个因数为0,积为0;几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。
沪科版七年级上册数学第1章 有理数 加减混合运算——加、减法统一成加法
感悟新知
知2-练
例计4算: (1)2.7+(-8.5)-(+3.4)-(-1.2);
(2)-0.6-0.08+--0.922+. 5 2
5 2
5 11
11
导引:(1)利用有理数的加法运算律把正数、负数分别结
合在一起进行运算;(2)先把互为相反数的两个分
数结合在一起,再计算.
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解:(1) 2.7+(-8.5)-(+3.4)-(-1.2) =2.7-8.5-3.4+1.2 =(2.7+1.2)+(-8.5-3.4) =3.9-11.9 =-8.
课堂小结
有理数
读法:如果把-2+3-5中的“+”号和“-”号看成 性质符号,可读作“负2、正3、负5的和”;如果把“+” 号和“-”号看成运算符号,可读作“负2加3减5”.
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
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知1-讲
3.易错警示:(1)在省略符号和括号的过程中,若括 号前是“+”号,则省略后,括号内各项不变; 若括号前是“-”号,则省略后,括号内各项变 为原来的相反数.(2)写成省略形式以后,为避免 出错,可将每个数前面的符号看成这个数的性质 符号.
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知1-讲
方法点拨 1. 有理数加减混合运算关键有两步: 第1步统一为加法; 第2步运用加法运算律. 2. 改写算式时,运算符号中的加号可以省略,但必 须保留性质符号.
知2-练
2 计算:(1)14-(-12)+(-25)-17;
(2)
-
2 3
+-
1 6
--
1 4
-+
1 2
.
感悟新知
知识点 3 计算器的使用
知3-讲
2019年沪科版七年级数学上册第1章 有理数、数轴、相反数、绝对值讲义
2019年沪科版7(上)有理数——数轴、相反数、绝对值【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数,叫做正数;像-3、-1.5、12-、-584等在正数前面加“-”号的数,叫做负数.要点诠释:(1)一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号,“+”常省略,但“-”不能省略. (2)用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种为正可任意选择,但习惯把“前进、上升”等规定为正,而把“后退、下降”等规定为负.(3)0既不是正数也不是负数,它是正数和负数的“分水岭”.要点二、有理数的分类(1)按定义分类:(2)按性质符号分类:要点诠释:(1)有理数都可以写成分数的形式,整数也可以看作是分母为1的数.(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化,所以有限小数和无限循环小数可看作分数,但无限不循环小数不是分数,例如π.(3)正数和零统称为非负数;负数和零统称为非正数;正整数、0、负整数统称整数.【典型例题】1.下面说法中正确的是( ).A.非负数一定是正数.B.有最小的正整数,有最小的正有理数.C.a-一定是负数. D .正整数和正分数统称正有理数.2.请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723-,.正整数集合:{ …},负整数集合:{ …},整数集合:{ …},正分数集合:{ …},负分数集合:{ …},分数集合:{ …},非负数集合:{ …},非正数集合:{ …}.【要点梳理】要点一、数轴1.定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释:(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可.(2)长度单位与单位长度是不同的,单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段,而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定,但一经选定就不能改动.2. 数轴与有理数的关系:任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不都表示有理数,还可以表示其他数,比如 .要点诠释:(1)一般地,数轴上原点右边的点表示正数,左边的点表示负数;反过来也对,即正数用数轴上原点右边的点表示,负数用原点左边的点表示,零用原点表示.(2)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0.要点诠释:(1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同;(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉;(3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数;(4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质:(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).(2)互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4 ;若有奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4 .要点诠释:(1)在一个数的前面添上一个“+”,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5. (2)在一个数的前面添上一个“-”,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3.【典型例题】1.数轴上点A、B的位置如图所示,若点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数为2.(1)如果a=-13,那么-a=______;(2) 如果-a=-5.4,那么a =______;(3) 如果-x=-6,那么x=______;(4) -x=9,那么x=______.3. -4的倒数的相反数是( )A .-4B .4C .-D . 4.填空:(1) -(-2.5)的相反数是 ;(2) 是-100的相反数;(3) 155-是 的相反数; (4) 的相反数是-1.1;(5)8.2和 互为相反数;(6)a 和 互为相反数.(7)______的相反数比它本身大, ______的相反数等于它本身.5. 已知21m -与172m -互为相反数,求m 的值.6.化简:(1)﹣{+[﹣(+3)]}; (2)﹣{﹣[﹣(﹣|﹣3|)}.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|. 要点诠释:(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a 都有:(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小.(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点二、有理数的大小比较1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a <b .41412.法则比较法:要点诠释:利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2) 比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小.3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a-b >0,则a >b ;若a-b =0,则a =b ;若a-b <0,a <b ;反之成立.4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a b<,则a b <;反之也成立. 若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反.5. 倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.【典型例题】1.计算:(1)145-- (2)|-4|+|3|+|0| (3)-|+(-8)|2.若|a ﹣1|=1﹣a ,则a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a ≤1C. a <1D. a >13. 若a >3,则|6﹣2a|= (用含a 的代数式表示).4. 如果数轴上的点A 到原点的距离是6,则点A 表示的数为 .如果|x -2|=1,那么x = ;如果|x |>3,那么x 的范围是 .5.化简||||x x x +的结果是 . 6. 比大小: (1) -0.3 31-(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--.7. 若m >0,n <0,且|m|>|n|,用“>”把m ,-m ,n ,-n 连接起来.8. 已知有理数a ,b ,c 在数轴上对应的点的位置如图所示:化简:.9. 已知|a -2|+|b -3|=0,求a -b 的值.10. 已知b 为正整数,且a 、b 满足,求的值.【练习】1、下列说法中,错误的个数有( ).①绝对值是它本身的数有两个:0和1②一个有理数的绝对值必为正数③0.5的倒数的相反数的绝对值是2④任何有理数的绝对值都不是负数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、在-(-2.5),3,0,-5,-0.25,中正整数有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个3、在数轴上表示-2的点离开原点的距离等于( ).A .2B .-2C .±2D .44、有理数a 在数轴上的位置如图所示:化简1+a 的结果是( )A 、b a +B 、1+-aC 、1-aD 、1--a5、若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示,则下列各式中正确的是().12-A .a >bB .|a |>|b |C .-a <-bD .-a <|b |6、若a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,x 的绝对值等于2,则x 2+5(a +b )-8c d =______. 7、若实数a ,b 满足|3a -1|+(b -2)2=0,则a b =______.8、(1)当x =______时,|x -3|+1有最小值为_______;(2)当x =______时,2-|x -1|有最大值为________.9、已知|a|=4,|b|=2,且ab <0,则a +b =_________.10、若|m -n|=n -m ,且|m|=4,|n|=3,则m +n =_________.11、若x =8-,则=x ;若8-=-x ,则x = .12、若a a -=-,则=a .13、13=-x ,则=x .14、如果a <0,b >0且|a|<|b|,则a +b 0.15、已知|x +2|+(2y -3)²=0,求x +2y 的值.【思考题】求的最小值.。
001.1.类比归纳专题:有理数加、减、乘、除中的简便运算
类比归纳专题:有理数加、减、乘、除中的简便运算——灵活变形,举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧一、相反数相结合或同号结合1.计算:【方法2】(1)114-(+6)-358+(-1.25)-⎝⎛⎭⎫-358;(2)2.3+(-1.7)+6.2+(-2.2)-1.1.二、同分母或凑整结合2.计算:【方法2】(1)(-6.82)+3.78+(-3.18)-3.78;(2)1918+⎝⎛⎭⎫-534+⎝⎛⎭⎫-918-1.25.*三、计算结果成规律的数相结合3.计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2013+2014-2015-2016的结果是( )A .0B .-1C .2016D .-20164.★阅读:因为一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以,当a ≥0时,|a|=a ;当a<0时,|a|=-a.根据以上阅读完成下列问题:(1)|3.14-π|=________;(2)计算:⎪⎪⎪⎪12-1+⎪⎪⎪⎪13-12+⎪⎪⎪⎪14-13+…+⎪⎪⎪⎪19-18+⎪⎪⎪⎪110-19.◆类型二 运用分配律解题的技巧一、正用分配律5.计算.(1)⎝⎛⎭⎫12-34+18×(-24);(2)391314×(-14).二、逆用分配律6.计算:4×⎝⎛⎭⎫-367-3×⎝⎛⎭⎫-367-6×367.三、除法变乘法,再利用分配律7.计算:⎝⎛⎭⎫16-27+23÷⎝⎛⎭⎫-542.参考答案与解析1.解:(1)原式=114+(-1.25)-6+⎝⎛⎭⎫358-358=-6. (2)原式=2.3+6.2-(1.7+2.2+1.1)=8.5-5=3.5.2.解:(1)原式=[(-6.82)+(-3.18)]+(3.78-3.78)=-10.(2)原式=1918+⎝⎛⎭⎫-918+⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-534-1.25=10-7=3. 3.D4.解:(1)π-3.14(2)原式=1-12+12-13+13-14+…+18-19+19-110=1-110=910. 5.解:(1)原式=-12+18-3=3.(2)原式=⎝⎛⎭⎫40-114×(-14)=40×(-14)-114×(-14)=-560+1=-559. 6.解:原式=-367×(4-3+6)=-27. 7.解:原式=⎝⎛⎭⎫16-27+23×⎝⎛⎭⎫-425=-75+125-285=-235.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12 两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半,即S= (a×b )÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
沪科版数学七年级上册1-4 有理数的加减
加数中是否有 0。 根据加法的类型确定用加法法则中的哪一
条。
(2)确定和的符号 。
(3)确定和的绝对值 。
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例1 计算下列各题 。 (1) (+20) + (+12) ; (2) (-2) + (-1) ;
(3)
(-30)
+6;
(4)
(
-12
)
+
1 2
;
(5) ( -23 ) +34 ; (6) 0+ ( -45 )。
知1-练
感悟新知
知1-练
方法点拨 同号相加一边倒: 异号相加“大”减“小”,符号跟着大的跑,绝对值
相等“0”正好。
感悟新知
解题秘方:先确定两个数相加的类型,然后根据 法则计算 。
知1-练
解: (1)原式 =+ (20+12) =+32. (2)原式 = - (2+1) = - 3. (3)原式 = - (30 - 6) = - 24. (4)原式 =0。
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知3-练
同号结合法 在有理数的加法运算中,先将所有的正数结合
在一起,所有的负数结合在一起,分别相加,符号 再求和的计算方法,简称“同号结合法”。
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例6
计算:
(-3
14)+323
+2
1 4
+
(-1
23)
。
知3-练
解题秘方:观察将同分母的分数通过交换结合在 一起计算。
解:原式 = [(- 3 14+2 14] + [(323 + (- 1 23) ] = (- 1) +2=1.
沪科版七年级数学上第一章《有理数》第4节《有理数的加减》例题与讲解(课后辅导)
1.4 有理数的加减1.有理数的加法(1)有理数的加法法则①同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加.②异号两数相加,绝对值相等时和为零;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数与零相加,仍得这个数.(2)两个有理数相加的步骤第一步:有理数的加法法则分三种情况,进行有理数加法时,要先区别是哪种情况;第二步:确定和的符号;第三步:求每个加数的绝对值;第四步:根据具体的法则计算两个数的绝对值的和或差;第五步:写出最后的计算结果.析规律有理数的加法运算规律(1)有理数的加法法则是进行有理数运算的依据,进行加法运算时要先确定用哪条法则.(2)小学学过的加法中,和一定大于每一个加数,在数的范围扩大到有理数以后,这个结论就不成立了,只有两个正数的和必定大于每一个加数,而两个负数的和要小于每一个加数,一个非零数与零相加,得到的和等于非零加数.(3)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数.即:如果a+b=0,那么a=-b.例如:(-3)+a=0,则a=3.(4)进行有理数的加法运算要遵循“一定二求三和差”的步骤,即第一步先确定和的符号,第二步再求加数的绝对值,第三步要分析确定是绝对值相加还是相减.【例1】计算:(1)(+8)+(+5);(2)(+2.5)+(-2.5);(3)(-17)+(+9);(4)(-4)+0.分析:根据有理数的加法法则,两数相加,只要确定它适合有理数加法法则的哪一种情况,再根据法则确定和的符号,然后根据法则求出和的绝对值.解:(1)(+8)+(+5)(同号两数相加)=+(8+5)(取与加数相同的符号,并把绝对值相加)=13.(2)(+2.5)+(-2.5)(异号两数相加,绝对值相等)=0(和为0).(3)(-17)+(+9)(异号两数相加,绝对值不等)=-(17-9)(取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值)=-8.(4)(-4)+0(一个数与零相加)=-4(仍得这个数).2.有理数的减法(1)有理数的减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数.用字母表示为a-b=a+(-b).(2)有理数减法运算的基本步骤①将减法转化为加法;②按有理数的加法法则运算.(3)法则理解①有理数的减法,不像小学里的那样直接减,而是把它转化为加法,借助于加法进行计算.其关键是正确地将减法转化为加法,再按有理数的加法法则计算.②学习有理数减法运算,关键在于处理好法则中两个“变”字,即注意两个符号的变化:一是运算符号——减号变为加号,二是性质符号——减数变成它的相反数.③其含义可以从以下两方面理解:(a)(b)④并不是所有的减法运算都要转化为加法运算.一般来说,当减数或被减数为负数,或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算. 解技巧 有理数的减法运算技巧(1)可用口诀记忆法则:“减正变加负,减负变加正.”(2)带分数减法运算,可把带分数拆成整数和分数和的形式后再进行计算.(3)特别注意减法没有交换律.【例2】 计算:(1)3-(-5);(2)(-3)-(-7);(3)⎝⎛⎭⎫-213-516; (4)5.2-(+3.6).分析:有理数减法运算,按照减法法则,将减法转化为加法,然后按有理数加法进行计算.在做减法转换为加法时,一定要注意符号的变换.解:(1)3-(-5)=3+(+5)=8;(2)(-3)-(-7)=(-3)+(+7)=4;(3)⎝⎛⎭⎫-213-516=⎝⎛⎭⎫-213+⎝⎛⎭⎫-516=-712; (4)5.2-(+3.6)=5.2+(-3.6)=1.6.3.有理数加法的运算律(1)加法交换律:两数相加,交换加数的位置,和不变.用字母表示为:a +b =b +a .(2)加法结合律:三数相加,先把前两个数相加或先把后两个数相加,和不变.用字母表示为:(a +b )+c =a +(b +c ).【例3】 计算:(1)(-8)+⎝⎛⎭⎫-212+2+⎝⎛⎭⎫-12+12; (2)⎝⎛⎭⎫-13+⎝⎛⎭⎫+12+⎝⎛⎭⎫-23+⎝⎛⎭⎫+45+⎝⎛⎭⎫-12. 分析:进行三个以上的有理数加法运算时,常常运用加法的交换律和结合律,把同号的数相结合,把互为相反数的两个数相结合,把同号的数中的同分母的分数相结合,以达到计算简便、迅速的目的. 解:(1)原式=(2+12)+⎣⎡⎦⎤(-8)+⎝⎛⎭⎫-212+⎝⎛⎭⎫-12=14+(-11)=3; (2)原式=⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-13+⎝⎛⎭⎫-23+⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫+12+⎝⎛⎭⎫-12+45=-1+0+45=-15. 4.有理数的加、减混合运算(1)加减法统一成加法①有理数加减混合运算,可以通过有理数减法法则将减法转化为加法,统一成只有加法运算的和式.如:(-12)-(+8)+(-6)-(-5)=(-12)+(-8)+(-6)+(+5).②在和式里,通常把各个加数的括号省略不写,写成省略加号的和的形式.如:(-12)+(-8)+(-6)+(+5)=-12-8-6+5.③和式的读法:一是按这个式子表示的意义,读作“负12,负8,负6,正5的和”,即把各个数中间的符号作为后面的这个数的性质符号来读;二是按运算意义读作“负12减8减6加5”,即把各个数中间的符号作为运算符号来读.(2)有理数加、减混合运算的方法和步骤由于减法可以转化为加法,所以在进行有理数的加减混合运算时,首先要将混合运算的式子写成省略括号的和式的形式,然后按加法法则和运算律进行简便运算.第一步:用减法法则将减法转化为加法;第二步:运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算.(3)进行有理数的加减混合运算的注意事项①交换加数的位置时,一定要连同加数前的符号一起移动;②如果需要添括号,一定要连同加数前的符号一起括进括号内,并将原来已省略的括号写出来; ③省略加号和括号的“和”与小学里的“和”是有区别的,小学里的“和”是一个具体的数,并且和一定不小于任何一个加数,而这里的“和”则是表示的是有理数的加法运算,也表示相加的结果.有理数的“和”可以大于任何一个加数,也可以小于任何一个加数,和可能是正数、负数或零.【例4-1】 把下列各式写成省略加号的和的形式:(1)(-26)-(-7)+(-10)-(-3);(2)(-30)-(-8)+(-12)-(-5).分析:先统一成加法,再省略括号和加号.在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时,符号容易变错,做这样的题目时,一定要注意符号的变化.解:(1)(-26)-(-7)+(-10)-(-3)=-26+(+7)+(-10)+(+3)=-26+7-10+3.(2)(-30)-(-8)+(-12)-(-5)=(-30)+(+8)+(-12)+(+5)=-30+8-12+5.【例4-2】 计算:(1)0-327-6+1167-537; (2)⎝⎛⎭⎫-12-⎝⎛⎭⎫-16+⎝⎛⎭⎫-23+⎝⎛⎭⎫-45; (3)(-5)-(-21)+(-12)+8-(-4)-18;(4)(+10.4)-7.5+12.7-(-3.6)+(-1.7)-2.5.分析:(1)本题是省略括号和加号后的和的形式,在五个加数中,考虑到-327,1167,-537三个加数分母都是7,便于运算,所以把这三个加数放在一起;(2)把加减混合运算统一成加法运算后结果为⎝⎛⎭⎫-12+⎝⎛⎭⎫+16+⎝⎛⎭⎫-23+⎝⎛⎭⎫-45,考虑到⎝⎛⎭⎫-12,⎝⎛⎭⎫-23,⎝⎛⎭⎫+16便于通分,把它们结合起来,可使计算较为简便;(3)统一成加法后,可采用同号结合法,即把正数与正数、负数与负数分别相加;(4)统一成加法后,可采用凑整结合法,即把相加得整数的加数先结合.解:(1)0-327-6+1167-537=(0-6)+⎝⎛⎭⎫-327+1167-537 =-6+⎝⎛⎭⎫+317=-267. (2)⎝⎛⎭⎫-12-⎝⎛⎭⎫-16+⎝⎛⎭⎫-23+⎝⎛⎭⎫-45 =⎝⎛⎭⎫-12+⎝⎛⎭⎫+16+⎝⎛⎭⎫-23+⎝⎛⎭⎫-45 =⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-12+⎝⎛⎭⎫+16+⎝⎛⎭⎫-23+⎝⎛⎭⎫-45 =(-1)+⎝⎛⎭⎫-45=-145. (3)(-5)-(-21)+(-12)+8-(-4)-18=-5+21-12+8+4-18=(21+8+4)+(-5-12-18)=33-35=-2.(4)(+10.4)-7.5+12.7-(-3.6)+(-1.7)-2.5=10.4-7.5+12.7+3.6-1.7-2.5=(10.4+3.6)+(12.7-1.7)+(-7.5-2.5)=14+11-10=15.5.含有字母的有理数加法的运算我们可以用字母表示有理数加法的运算法则:①同号两数相加:若a >0,b >0,则a +b =+(|a |+|b |);若a <0,b <0,则a +b =-(|a |+|b |).②异号两数相加:若a >0,b <0,且|a |=|b |,则a +b =0;若a >0,b <0,且|a |>|b |,则a +b =+(|a |-|b |);若a >0,b <0,且|a |<|b |,则a +b =-(|b |-|a |).③一个数与0相加:a +0=a .【例5-1】 根据加法法则填空:(1)如果a >0,b >0,那么a +b __________0;(2)如果a <0,b <0,那么a +b __________0;(3)如果a >0,b <0,|a |>|b |,那么a +b ________0;(4)如果a <0,b >0,|a |>|b |,那么a +b ________0.答案:(1)> (2)< (3)> (4)<【例5-2】 已知有理数a ,b ,c 在数轴上的对应点如图所示,且|a |>|b |>|c |,则(1)|a +(-b )|=__________;(2)|a +b |=__________;(3)|a +c |=__________;(4)|b +(-c )|=__________;(5)|b +c |=__________.答案:(1)|a |+|b | (2)|a |-|b | (3)|a |+|c | (4)|b |+|c | (5)|b |-|c |6.有理数加减混合运算的注意事项(1)运用加法交换律,在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换,千万不要把符号漏掉.(2)应用加法结合律时,应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形,从而选择适当的方法,使运算简便.(3)若分数、小数混在一块运算时,可以把它们统一成分数或小数再运算.(4)如果有大括号和小括号应当先进行小括号里的运算,再进行大括号里的运算.反之,进行有理数的加减混合运算,有时候需要添加括号,此时一定要连同加数的符号一起括进括号内,并将原来已省略的加号写进来.辨误区 拆分负的带分数负的带分数拆分为整数与分数的和时,易将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和.【例6】 计算:(1)(-837)+(-7.5)+(-2147)+(+312);(2)⎪⎪⎪⎪5111-3417+4417-111. 分析:把分母不同的分数的加减混合运算统一成加法之后,应用运算律使同分母分数相加可以简化运算.解:(1)(-837)+(-7.5)+(-2147)+(+312) =-837-7.5-2147+312=-837-2147-7.5+312=(-837-2147)-(7.5-312) =-30-4=-34.(2)⎪⎪⎪⎪5111-3417+4417-111=5111-3417+4417-111=5111-111-3417+4417=(5111-111)-(3417-4417) =5+1=6.7.有理数加减法的运用学习有理数的加减法后,可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题,把有理数的知识融合得更紧密,理解得更深刻.(1)有理数的加法与绝对值在有些计算中,含有绝对值符号,这就要用绝对值的概念,先去掉绝对值符号,再按有理数混合运算法则进行计算.几个非负数的和等于0,则每个加数必等于0.(2)有理数的加法与有理数的大小比较学习加法后,在比较大小的数中,出现了和的形式或差的形式(差可以化成和).特别是以字母表示的数.这就需要用加法法则来判断数的正负,或判断数对应的点在数轴上的位置关系,从而确定两个数的大小关系.(3)有理数加法在实际问题中的应用在实际问题中,要应用有理数的加法法则求解问题,注意运算技巧的使用.【例7-1】 若|x -3|与|y +3|互为相反数,求x +y 的值.解:根据题意得|x -3|+|y +3|=0.则x -3=0,y +3=0,所以x =3,y =-3.所以x +y =3+(-3)=0.【例7-2】 一小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈利为正):128.3元,-25.6元,-15元,-7元,36.5元,98元,27元,这一周总的盈亏情况如何?分析:正数表示盈利,负数表示亏损,这些数的代数和就是总的盈亏情况,如果代数和为正,则总的情况是盈利,否则是亏损.解:128.3+(-25.6)+(-15)+(-7)+36.5+98+27=(128.3+36.5+98+27)+(-25.6-15-7)=289.8-47.6=242.2.答:一周总的盈亏情况是盈利242.2元.【例7-3】 一农业银行某天上午9:00~12:00办理了7笔储蓄业务;取出9.5万元,存入5万元,取出8万元,存入12万元,存入25万元,取出10.25万元,取出2万元.这天上午该银行的现金增减情况怎样?分析:可以设存入为正,取出为负,用正、负数分别表示这7笔业务,求它们的和即可判断现金的增减情况.若结果为正数,则表明现金增加了;若结果为负数,则表明现金减少了.解:(-9.5)+(+5)+(-8)+(+12)+(+25)+(-10.25)+(-2)=[(-9.5)+(-8)+(-10.25)+(-2)]+[5+(+12)+(+25)]=-29.75+42=12.25(万元).答:这天上午该银行的现金增加了12.25万元.8.有理数减法的应用(1)有理数减法的应用比较常见的题型有:计算高度,计算温差,计算销售利润,计算距离,计算时差等.有理数减法的应用题虽然比较简单,但却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略,充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”.因此,我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练,提高自己的能力.(2)利用有理数减法求数轴上两点间的距离求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一,数轴上任意两点之间的距离,都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示.【例8-1】如图所示的数轴上,表示-2和5的两点之间的距离是______,数轴上表示2和-5的两点之间的距离是______,数轴上表示-1和-3的两点之间的距离是______.解析:数轴上表示-2和5两点之间的距离是|-2-5|或|5-(-2)|;数轴上表示2和-5两点之间的距离是|2-(-5)|或|-5-2|;数轴上表示-1和-3的两点之间的距离是|-1-(-3)|或|-3-(-1)|.答案:77 2【例8-2】以地面为基准,A处高为+2.5米,B处高为-17.8米,C处高为-32.4米,问:(1)A处比B处高多少米?(2)B处与C处哪个地方高?高多少米?解:(1)+2.5-(-17.8)=2.5+17.8=20.3(米),所以A处比B处高20.3米.(2)-17.8-(-32.4)=-17.8+32.4=14.6(米),所以B处比C处高,高了14.6米.。
沪科版数学七年级上册第一章 有理数 知识总结
第一章知识归纳一、有理数基本概念1.正数与负数我们把以前学过的数大于零叫做正数。
有时在正数前面也加上“+”(正)号。
如+0.5、+3、+1/2……“+”号可以省略。
我们把在以前学过的数(0除外)前面加上负号“-”的数叫做负数。
如-3、-0.5、-2/3……0既不是正数也不是负数,0是正负数的分界。
正数与负数可以用来表示具有相反意义的量。
相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义要相反;二是它们都具有数量。
与一个量成相反意义的量不止一个。
2.有理数正整数、0统称自然数;正整数、0、负整数统称整数;正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数整数可以看做分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式。
可以这样说:有理数都能写成分数的形式;能写成分数(分子分母互质)形式的数是有理数.有理数的分类(两种)正整数整数零有理数负整数分数正分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负有理数负整数负分数3. 数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素:原点、正方向、单位长度任何有理数都可以用数轴上的点表示,有理数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数,原点右边的数是正数.4.相反数一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,他们分别在原点的左右,表示-a和a,我们说这两点关于原点对称.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(绝对值相等,符号不同的两个数叫做互为相反数)正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0.在一个数前面添上“-”号,表示这个数的相反数.5.绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
对任意有理数a ,总有0a ≥。
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
(互为相反数的两个数的绝对值相等。
)6.比较大小(1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。
沪科版七年级数学上册1.4.3有理数的加减混合运算
例1 把( +-23)+( --45)-(+-51 ) -的( 形- 式-,13 )并-把它(读+出1来)写成省略加号的和
解:原式
=(
+-2 )+( 3
--4 ) 5
+
(--51 )
+ ( + -13 ) + ( - 1)
=
-23 -
-4 - 5
-51
+
-13 -
1
结果读作:-23
、-
2)(
1) 6
5 6
(
1) 2
4) 1 15.5 ( 2)
3
3
5) 4.7 - 3.4 - ( - 8. 5)
例1填空:
(-8)+ =-5; (-8)+ =-3;
8+ =-7;
(-8)+ =4
(-8)- =-5; (-8)- =-3;
8- =-7;
(-8)- =4
解:(-8)+ 3 =-5; (-8)+ 5 =-3;
8+ (-15 ) =-7;
(-8)+ 12 =4
(-8)- (-3) =-5; (-8)- (-5) =-3;
8- 15 =-7;
(-8)- (-12) =4
例2.计算( 32 3)10 3
44
例3下列变形中,正确的是
(1) 1-4+5-4=1-4+4-5; (2) 1-2+3-4=2-1+4-3; (3) 2-3-4+5=2-3+5-4; (4) 2-3-4+5=2-(3-4)+5; (5) 2-3-4+5=2-3-(4+5)
例4计算
(1)-5.4+0.2-0.6+0.8;
(2)-
2
2 5
-(-4.7)-(+0.5)+2.4+ (-3.2)
2019秋七年级数学上册类比归纳专题有理数加、减、乘、除中的简便运算(新版)北师大版
类比归纳专题:有理数加、减、乘、除中的简便运算 ——灵活变形,举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧一、相反数相结合或同号结合1.计算:【方法2】(1)114-(+6)-358+(-1.25)-⎝ ⎛⎭⎪⎫-358;(2)2.3+(-1.7)+6.2+(-2.2)-1.1.二、同分母或凑整结合2.计算:【方法2】(1)(-6.82)+3.78+(-3.18)-3.78;(2)1918+⎝ ⎛⎭⎪⎫-534+⎝⎛⎭⎪⎫-918-1.25.*三、计算结果成规律的数相结合3.计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2013+2014-2015-2016的结果是( ) A .0 B .-1 C .2016 D .-20164.★阅读:因为一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以,当a≥0时,|a|=a ;当a<0时,|a|=-a.根据以上阅读完成下列问题:(1)|3.14-π|=________;(2)计算:⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-1+⎪⎪⎪⎪⎪⎪13-12+⎪⎪⎪⎪⎪⎪14-13+…+⎪⎪⎪⎪⎪⎪19-18+⎪⎪⎪⎪⎪⎪110-19.◆类型二 运用分配律解题的技巧一、正用分配律5.计算.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12-34+18×(-24);(2)391314×(-14).二、逆用分配律6.计算:4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-367-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-367-6×367.三、除法变乘法,再利用分配律7.计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫16-27+23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫-542.参考答案与解析1.解:(1)原式=114+(-1.25)-6+⎝ ⎛⎭⎪⎫358-358=-6. (2)原式=2.3+6.2-(1.7+2.2+1.1)=8.5-5=3.5.2.解:(1)原式=[(-6.82)+(-3.18)]+(3.78-3.78)=-10.(2)原式=1918+⎝ ⎛⎭⎪⎫-918+⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫-534-1.25=10-7=3. 3.D4.解:(1)π-3.14(2)原式=1-12+12-13+13-14+…+18-19+19-110=1-110=910. 5.解:(1)原式=-12+18-3=3.(2)原式=⎝⎛⎭⎪⎫40-114×(-14)=40×(-14)-114×(-14)=-560+1=-559. 6.解:原式=-367×(4-3+6)=-27. 7.解:原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫16-27+23×⎝ ⎛⎭⎪⎫-425=-75+125-285=-235.。
湘教版 初一七年级数学 上册第一学期(期末考试总复习)1.类比归纳专题:有理数加、减、乘、除中的简便运算
类比归纳专题:有理数加、减、乘、除中的简便运算——灵活变形,举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧一、相反数相结合或同号结合1.计算:【方法2】(1)114-(+6)-358+(-1.25)-⎝⎛⎭⎫-358;(2)2.3+(-1.7)+6.2+(-2.2)-1.1.二、同分母或凑整结合2.计算:【方法2】(1)(-6.82)+3.78+(-3.18)-3.78;(2)1918+⎝⎛⎭⎫-534+⎝⎛⎭⎫-918-1.25.*三、计算结果成规律的数相结合3.计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2013+2014-2015-2016的结果是( )A .0B .-1C .2016D .-20164.★阅读:因为一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以,当a ≥0时,|a|=a ;当a<0时,|a|=-a.根据以上阅读完成下列问题:(1)|3.14-π|=________;(2)计算:⎪⎪⎪⎪12-1+⎪⎪⎪⎪13-12+⎪⎪⎪⎪14-13+…+⎪⎪⎪⎪19-18+⎪⎪⎪⎪110-19.◆类型二 运用分配律解题的技巧一、正用分配律5.计算.(1)⎝⎛⎭⎫12-34+18×(-24);(2)391314×(-14).二、逆用分配律6.计算:4×⎝⎛⎭⎫-367-3×⎝⎛⎭⎫-367-6×367.三、除法变乘法,再利用分配律7.计算:⎝⎛⎭⎫16-27+23÷⎝⎛⎭⎫-542.参考答案与解析1.解:(1)原式=114+(-1.25)-6+⎝⎛⎭⎫358-358=-6.(2)原式=2.3+6.2-(1.7+2.2+1.1)=8.5-5=3.5.2.解:(1)原式=[(-6.82)+(-3.18)]+(3.78-3.78)=-10.(2)原式=1918+⎝⎛⎭⎫-918+⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-534-1.25=10-7=3. 3.D4.解:(1)π-3.14(2)原式=1-12+12-13+13-14+…+18-19+19-110=1-110=910. 5.解:(1)原式=-12+18-3=3.(2)原式=⎝⎛⎭⎫40-114×(-14)=40×(-14)-114×(-14)=-560+1=-559. 6.解:原式=-367×(4-3+6)=-27. 7.解:原式=⎝⎛⎭⎫16-27+23×⎝⎛⎭⎫-425=-75+125-285=-235.。
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类比归纳专题:有理数加、减、乘、除中的简便运算
——灵活变形,举一反三
◆类型一 加减混合运算的技巧
一、相反数相结合
1.计算:
(1)10-24-28+18+24;
(2)134-(+6)-358
+(-1.75)-⎝⎛⎭⎫-358.
二、同分母或凑整结合
2.计算:
(1)(-6.82)+3.78+(-3.18)-3.78;
(2)1918+⎝⎛⎭⎫-534+⎝⎛⎭
⎫-918-1.25;
(3)0-2123+⎝⎛⎭⎫+314-⎝⎛⎭
⎫-23-(+0.25).
三、同号相结合
3.计算:2.3+(-1.7)+6.2+(-2.2)-1.1.
*四、计算结果成规律的数相结合
4.计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-2019-2020的结果为( )
A .0
B .-1
C .2020
D .-2020
5.阅读:因为一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以,当a ≥0时,|a |=a ;当a <0时,|a |=-a .根据以上阅读完成:
(1)|3.14-π|=________;
(2)计算:⎪⎪⎪⎪12-1+⎪⎪⎪⎪13-12+⎪⎪⎪⎪14-13+…+⎪⎪⎪⎪19-18+⎪⎪⎪
⎪110-19.
◆类型二 分配律的解题技巧
一、正用分配律
6.计算⎝⎛⎭
⎫-56-14×(-12)的结果为( ) A .-7 B .7
C .-13
D .13
7.利用分配律计算⎝
⎛⎭⎫-1009899×99时,较简便的方法是( ) A .-⎝
⎛⎭⎫100+9899×99 B .-⎝
⎛⎭⎫100-9899×99 C.⎝
⎛⎭⎫100-9899×99 D.⎝
⎛⎭⎫-101-199×99 8.计算:
(1)⎝⎛⎭⎫12-34+18×(-24);
(2)-45×⎝⎛⎭
⎫19+113-0.4;
(3)391314
×(-14).
二、逆用分配律
9.计算:-1317×19-1317
×15=________. 10.计算:
(1)25×34-(-25)×12+25×14
;
(2)4×⎝⎛⎭⎫-367-3×⎝⎛⎭⎫-367-6×367
.
三、除法变乘法,再利用分配律
11.计算:⎝⎛⎭⎫16-27+23÷⎝⎛⎭⎫-542.
12.利用原式的倒数进行简便运算:
⎝⎛⎭⎫-130÷⎝⎛⎭
⎫23-110+16-25.
参考答案与解析
1.解:(1)原式=[(-24)+24]+(18+10-28)=0.
(2)原式=134
+(-1.75)-6+⎝⎛⎭⎫358-358=-6. 2.解:(1)原式=[(-6.82)+(-3.18)]+(3.78-3.78)=-10.
(2)原式=1918+⎝
⎛⎭⎫-918+⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-534-1.25=10-7=3. (3)原式=⎝⎛⎭⎫-2123+23+⎝⎛⎭
⎫314-0.25=-21+3=-18. 3.解:原式=2.3+6.2-(1.7+2.2+1.1)=8.5-5=3.5.
4.D
5.解:(1)π-3.14
(2)原式=1-12+12-13+13-14+…+18-19+19-110=1-110=910
. 6.D 7.A
8.解:(1)原式=-12+18-3=3.
(2)原式=-5-60+18=-47.
(3)原式=⎝
⎛⎭⎫40-114×(-14)=-560+1=-559. 9.-26
10.解:(1)原式=25×⎝⎛⎭⎫34+12+14=25×32=752
. (2)原式=-367×(4-3+6)=-277
×7=-27. 11.解:原式=⎝⎛⎭⎫16-27+23×⎝⎛⎭⎫-425=-75+125-285=-235
. 12.解:原式的倒数为(23-110+16-25)÷(-130)=⎝⎛⎭
⎫23-110+16-25×(-30)=-20+3-5+12=-10.故原式=-
110.。