概率论与数理统计教学指南第3章
概率论与数理统计第三章
二维离散型随机变量的边缘分布密度
设（X,Y）为离散型随机变量，
P( X ai , Y b j ) pij ,
条件分布是一种概率分布，它具有概率 分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率， 具有概率的一切性质.
例如：P ( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P( X x
i 1
i
|Y yj) 1
例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在 X=1和X=0条件下，Y的分布密度。 Y 1 0 X
若对于不同的(ai,bj)，Z ( X , Y ) 有相同的值，则应取这些相同值对应的概率之和。
例1：设（X,Y）联合概率分布为： X Y -1 2
-1
0
1
2
1/5 3/20 1/10 3/10 1/10 0 1/10 1/20
求X+Y,XY的概率分布。
例2：设（X,Y）相互独立，其分布密度为
常见的二维随机变量的分布
◆均匀分布 设G为平面区域， G的面积为A(0 A ), 若( X , Y )的分布密度为
1 ( x, y ) G A f ( x, y ) 其它 0 则称( X , Y )在G上服从均匀分布。
例2：设（X,Y）在区域G（0≤y≤2x,0 ≤x ≤2)上 服从均匀分布，求 (1)（X,Y）的分布密度、分布函数。 (2)概率P(Y>X2)
一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随 机向量.
概率论与数理统计(第3章)
F(x ，y) P{(X 剟x) I (Y y)} P{X 剟x ，Y y}
（3-1）
为二维随机变量 (X ，Y) 的联合分布函数，简称分布函数．
如果将二维随机变量 (X ，Y) 视为 xOy 平面上随机点的坐标，那
么分布函数 F(x ，y) 在点 (x ，y) 处的函数值 二维随机变量函数的分布
第3章 多维随机变量及其分布
在第2章，我们主要讨论了一维随机 变量及其分布问题．但在实际问题中，有 许多随机试验的结果，仅用一个随机变量 是无法表示出来的．研究这些随机试验， 需要引入多维随机变量的概念．因此，本 章将重点讨论二维随机变量及其分布，对 于三维及更多维的随机变量可依此类推．
arctan
y
．
因此，两个边缘分布函数分别为
FX
(x)
F(x
，
)
lim
y
F(x
，y)
1 π
π 2
arctan
x
，
FY
( y)
F( ，y)
lim
x
F(x ，y)
1 π
π 2
arctan
y
．
第3章 多维随机变量及其分布
3.2 二维离散型随机变量
3.2.1 二维离散型随机变量的概念与分布律
定义 1 若二维随机变量 (X ，Y) 所有可能取的值为有限对或可列无限 多对，则称 (X ，Y) 为二维离散型随机 变量．
解 由二维随机变量的分布函数的性质得
lim
x
y
F(x
，y)
lim
x y
A(B
arctan
x)(C
arctan
y)
A
B
π 2
概率论与数理统计3章
VS
概率密度函数
描述连续随机变量在任意一点处的概率的 函数。
随机变量的期望与方差
期望
方差
数学期望或均值，是随机变量取值的平均数， 反映了随机变量的中心趋势。对于离散随机 变量，期望是所有可能取值的概率与其对应 的值的乘积之和；对于连续随机变量，期望 是积分概率密度函数在定义域内的值。
度量随机变量取值与其期望之间的偏离程度， 即各取值偏离其均值的大小。方差越小，各 取值越接近均值；方差越大，各取值越分散。
03
统计推断
参数估计
01
02
03
04
参数估计方法
根据样本数据，通过适当的方 法估计总体参数的过程。
点估计
用单一数值表示总体参数的估 计值，如算术平均数、中位数
等。
区间估计
给出总体参数的可能取值范围 ，如置信区间。
估计量的评选标准
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
根据样本数据对总体参数作出推断，通过检验假设是 否成立来作出决策。
离散随机变量及其分布
离散概率分布
描述离散随机变量取各个可能值的概率的分布。常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等。
概率质量函数
描述离散随机变量取每一个可能值的概率的函数。
连续随机变量及其分布
连续概率分布
描述连续随机变量在某个区间内取值的 概率的分布。常见的连续概率分布有正 态分布、均匀分布、指数分布等。
定义
指数平滑法是一种时间序列预测方法，通过计算 时间序列的加权平均值来预测未来的值。
计算公式
指数平滑法的计算公式为`预测值 = α*当前值 + (1-α)*上期预测值`，其中α是平滑系数，取值范 围为0到1。
概率论与数理统计 第3章
下的定义。
定义 1 设随机试验的样本空间为 Ω ， X 、 Y 是定义在 Ω 上的随机变量，则称由 X 、 Y构成的向量(X ， Y )为二
维随机变量。
类似地，有 n 维随机变量的定义，因为 n 维随机变量和 二维随机变量没有本质的区别，所以以下仅讨论二变量的情况。在定
图 3－1
定理 设二维随机变量( X ， Y )的联合分布函数为 F ( x ， y )，则 ∀ x 1 < x 2 ， y 1 < y 2 ，有P ( x 1 < X ≤ x 2 ， y 1<Y≤y2)=F(x2，y2)-F(x1，y2)-F(x2，y1) +F(x1，y1) 证明 由联合分布函数的定义，得
性质 4 设 x 1 < x 2 ， y 1 < y 2 ，则 F ( x 2 ， y 2 ) - F ( x
1
， y 2 ) - F ( x 2 ， y 1 ) + F ( x 1 ， y 1 )≥0 。
证明 由( 3.1. 2 )式及概率的非负性可直接推得。 需要指出的是，如果函数 F ( x ， y )满足上述性质 1 、
图 3－2
二维随机变量的联合分布函数具有以下的性质。 性质 1 0≤ F (x ， y ) ≤1 ， x 、 y ∈R ，且 F ( -∞ ， y ) = F ( x ， -∞ ) = F ( -∞ ， -∞ )=0 ， F ( +∞ ， +∞ ) =1 。 证明 由于 ∀ x 、 y ∈R ， 0≤ P ( X ≤ x ， Y ≤ y ) ≤1 ，因 此 0≤ F ( x ， y )≤1 且对于任意固定的 对于任意固定的 x ，
义了多维随机变量后，我们也称单个随机变量为一维随机变 量。
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计第三章_多维随机变量及其分布精品教案
第三章 多维随机变量及其分布第二章所讨论的随机变量是一维的，但在实际问题中，某些随机试验的结果需要同时用至少两个随机变量来描述．例如，研究一个国家的经济发展程度，至少要考虑国民生产总值（GNP ）和人均国民生产总值这两个指标。
又如，遗传学家在研究儿子的身高和父亲身高、母亲身高之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量．因此，有必要将同一问题中的若干个随机变量视为一个整体，引入多维随机变量的概念。
定义在样本空间Ω上的多个随机变量组成的向量，称为多维随机变量．若12,,,n X X X K 是定义在样本空间Ω上的n 个随机变量，则称向量（12,,,n X X X K ）为n 维随机变量或n 维随机向量．由于二维随机变量和更高维的随机变量没有本质的差异，故本章主要讨论二维随机变量及其分布．二维随机变量的所有结果，都可以平行地推广到)2(>n n 维随机变量的情形．3.1 二维随机变量的联合分布3.1.1 二维随机变量的概率分布定义1 设(,)X Y 是二维随机变量，对于任意实数x y ,，二元函数{}{{}}{}(,)F x y P X x Y y P X x Y y =I @，≤≤≤≤ (3.1)称为二维随机变量（X ,Y ）的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数．若将二维随机变量(,)X Y 看成是平面上随机点(,)X Y 的坐标，那么分布函数(,)F x y 就表示随机点(,)X Y 落在以点(,)x y 为顶点的左下方的无限矩形区域内的概率（如图3-1阴影部分所示）．分布函数(,)F x y 具有以下基本性质：（1）0(,)1F x y ≤≤；且对于任意固定的y ，()0F y -∞=，，对于任意固定的x ，()0F x -∞=，；同时 1)(0)(=∞++∞=∞--∞，；，F F . （2）)(y x F ，分别是变量x 和y 的单调不减函数；（3）(0,)(,),(,0)(,),F x y F x y F x y F x y +=+=即(,)F x y 关于变量x 或y 右连续；图3-1 图3-2（4）对于任意2121y y x x <<，，有1212{}P x X x y Y y <<=，≤≤)()(1222y x F y x F ，，-1211()()0F x y F x y -+，，≥， (3.2)如图3-2所示．3.1.2 二维离散型随机变量及其分布定义2 如果二维随机变量()X Y ,的所有可能取值为有限个或者无限可列个数对，则称()X Y ,为二维离散型随机变量．显然，()X Y ,为二维离散型随机变量的充要条件是X 和Y 均为离散型随机变量．设二维离散型随机变量()X Y ,的所有可能取值为()i j x y ,，12,i j =L ，，，则称概率函数(}12,i j i j p P X x Y y i j ====L ,,,,． (3.3)为二维随机变量()X Y ,的概率分布（分布律），或称为X 和Y 的联合概率分布（联合分布律）．容易看出，其中ij p 满足如下条件：（1）0ij p ≥；（2）∑∑+∞=+∞==111i j ij p ．二维离散型随机变量()X Y ,的分布律可用如下表格表示，并称之为X 和Y 的联合分布表．YX1y2y… j y …1x 11p 12p…j p 1 …2x 21p 22p…j p 2 …M M M…M…i x 1i p2i p… ij p …M M M…M…它们的联合分布函数则由如下式子求出：(){,}i j i jx x y yF x y P X x Y y p≤≤==∑∑，≤≤， (3.4)其中和式是对一切满足,i j x x y y ≤≤的,i j 求和．例1 将两封信随机投入3个空邮筒，设X 、Y 分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求X 和Y 的联合概率分布，并求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率．解 X 、Y 各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，)(Y X ，取（1，2）、（2，1）、（2，2）均不可能. 取其他值的概率可由古典概率计算：221122{00}{01}{10}3939P X Y P X Y P X Y ===========，，，，，21{11},{20}{02},99P X Y P X Y P X Y =========，，，于是，X 和Y 的联合概率分布表为YX1291 92 91 192 92 0291 0 0P {第三个邮筒里至少有一封信}=P {第一、第二个邮筒里最多只有一封信}=}1{≤+Y X P ，由于事件}1{≤+Y X 包含三个基本事件，所以{1}{00}{01}{10}1225,9999P X Y P X y P X Y P X Y +===+==+===++=，，，≤即第三个邮筒里至少有一封信的概率为95.3.1.3 二维连续型随机变量及其分布定义3 设二维随机变量()X Y ,的分布函数为()F x y ,，如果存在非负可积的二元函数(,)f x y ，使得对任意实数y x 、，有()()d d y x F x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰,,， (3.5)则称()X Y ,为二维连续型随机变量，函数()f x y ,称为二维随机变量()X Y ,的概率密度函数，简称概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度函数，简称联合密度.由定义，联合密度()f x y ,具有以下性质：（1）()0(,)f x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞,≥；（2）()d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,；（3）若()f x y ,在点()x y ,处连续，则有2()()F x y f x y x y∂=∂∂,,； （4）设D 是xoy 平面上任一区域，则随机点(,)X Y 落在D 内的概率为{()}()d d DP X Y D f x y x y ∈=⎰⎰,,. (3.6)可以证明，如果一个二元函数()f x y ,同时满足性质（1）和（2），则它一定是某个二维连续型随机变量的概率密度.从几何的角度来看，概率{()}P X Y D ∈,等于以D 为底，以曲面()Z f x y =,为顶的曲顶柱体的体积.例2 设二维随机变量(X , Y )的概率密度函数为(23),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他求（1）常数k ；(2)分布函数F (x ,y )；(3){}P Y X ≤.解 （1）由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得 230d d /61x y ke x e y k ∞∞--==⎰⎰,所以 6k =.(2) (23)006d d ,0,0(,)(,)d d 0,x yu v xyeu v x y F x y f u v u v -+-∞-∞⎧>>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其他230,0=0,x y x y --⎧>>⎨⎩（1-e ）(1-e ),其他(3) (23)03{}6d d 5x y yP Y X e x y ∞∞-+≤==⎰⎰.例3 设二维随机变量(X , Y )的密度函数为40101,()0xy x y f x y ⎧=⎨⎩，,,，其它.≤≤≤≤ D 为xoy 平面上由x 轴、y 轴和不等式1<+y x 所确定的区域，求{})P X Y D ∈,.解 如图3-3所示,{}(,)()d d DP X Y D f x y x y ∈=⎰⎰，110d 4d x x xy y -=⎰⎰61=图 3-3定义4 二维均匀分布 设D 为平面上面积为A 的有界区域，若(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1,(,)0,x y DA ⎧∈⎪⎨⎪⎩其他 称(,)X Y 在区域D 上服从二维均匀分布，记(,)X Y ～D U .不难证明，若(,)X Y ～D U ，则其取值落在D 内面积相等的任意区域中的概率相等.定义5 二维正态分布 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为2211222222112212()()1(,)exp 22(1)21x x y y f x y μμμμρρσσσσπσσρ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=-⋅-⋅+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪-⎣⎦⎩⎭, +∞<<∞-+∞<<-∞y x ,, 其中参数ρσσμμ，，，，2121均为常数，且10021<>>ρσσ，，，则称()X Y ,服从参数为2121σσμμ，，，及ρ的二维正态分布，记作221212()~(X Y N μμσσρ,,,,,）.图 3-4 二维正态分如图3-4所示，二维正态分布以12μμ（,）为中心，在中心附近具有较高的密度，离中心越远，密度越小，这与实际中很多现象相吻合.3.2 边缘分布3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度对于二维随机变量()X Y ,，其分量X 和Y 都是随机变量，也有它们各自的概率分布. 记X 和Y 的分布函数为)(x F X 和)(y F Y ，分别称它们为二维随机变量()X Y ,关于X 和关于Y 的边缘分布函数. 边缘分布函数可以由()X Y ,的联合分布函数)(y x F ，来确定：{}{}()()X F x P X x P X x Y F x ==<+∞=+∞，，≤≤ (3.7) {}{}(),(,)Y F y P Y y P X Y y F y ==<+∞=+∞≤≤ (3.8) 对于二维离散型随机变量()X Y ,，设其概率分布为{}.21Λ，，，，，====j i p y Y x X P ij j i 则X 的边缘分布律为{}{}{}{}12,,,i i i i j P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==++==+L L.1,12.ij i j p p i ∞===∑@L ，， (3.9)且满足.1i ip =∑. 同理，Y 的边缘分布律为：{}{}{}{}12j j j i j P Y y P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==++==+L L ,,,.1,12.ij j i p p j ∞===∑@L ，， (3.10)且满足.1j jp =∑.例1 设)(Y X ，的概率分布由下表给出，求X 和Y 的边缘分布律.YX -120. 10. 21 0. 3 0. 05 0. 12 0. 15 0 0. 1解 {}{}100-====Y X P X P ，+{}00==Y X P ，+{}20==Y X P ，0.10.200.3=++=．同理可求得：45.01.005.03.0}1{=++==X P ，25.01.0015.0}2{=++==X P ，55.0}1{=-=Y P ， 25.0}0{==Y P ， }2{=Y P =0. 2．将X 和Y 的边缘分布律列入),(Y X 的联合分布表中，得到下面的表格：Y X -1 0 2.i p1 2 0. 10. 3 0. 15 0. 20. 05 0 00. 1 0. 10. 30.450. 25j p •0. 55 0. 25 0. 2.i p 和.j p 分别是联合分布表中第i 行和第j 列各联合概率之和．对于连续型随机变量()X Y ,，设它的概率密度为),(y x f ，则X 的边缘分布函数为()()()d d x X F x F x f x y y x +∞-∞-∞⎡⎤=+∞=⎢⎥⎦⎣⎰⎰，，，其密度函数为()()()()d X X f x F x F x f x y y +∞-∞''==+∞=⎰，，． (3.11)同理，Y 的密度函数为()()()d Y Y f y F y f x y x +∞-∞'==⎰，． (3.12)通常， )(x f X 和)(y f Y 分别称为()X Y ,关于X 和Y 的边缘密度函数，简称边缘密度①.例2 设随机变量(),X Y 的密度函数为()2,02,01,0,Axy x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其他试求参数A 的值和X 和Y 的边缘密度.解 根据联合密度函数的性质，有()21202,d d d d 13f x y x y Axy x y A +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰, 所以32A =. X 的边缘密度函数()(),d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 当02x ≤≤时，()12031d 22X f x xy y x ==⎰；当0x >或2x >时，()0X f x =；故()1,0220,X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他①也称为边缘分布密度函数或边缘分布密度；还称为边缘概率密度函数或边缘概率密度.“边缘”有时也称为“边沿”或“边际”，即为marginal 的中译名.同理可得 ()23,010,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其他例3 设二维随机变量(),X Y 在区域()}{,|01,0D X Y x y x =≤≤≤≤服从均匀分布，求X 和Y 的边缘概率密度。
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
概率论与数理统计教程(答案及课件)chapter3
,
则有
1 PZ x 2
e
x
du x
故
于是
Z
X
~ N 0 , 1 .
X ~ N , 2
X x FX x P X x P x
根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制 成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
2
设 X~ N ( , 2 ) ,
X 的分布函数是
2σ 2
F x
x 1 e 2πσ
( t μ )2
dt , x
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和
σ不同时，是不同的正态分布。 下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
3
标准正态分布
7 （3）求P 1 X 2
解
kx , x f ( x ) 2 , 2 0,
0 x3 3 x4 其它
(1) 由
0
1 f ( x )dx 1得k 6
3
4
x
F x
x
f t dt , x
x2 x1
f ( x )dx
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
4
若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
5. 对连续型 r.v X , 有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 0 x < 1 时， 1 F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3
概率论与数理统计第3章课后题答案
概率论与数理统计第3章课后题答案第三章连续型随机变量3.1 设随机变数 的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：（1）P( a)；（2）P( a)；（3）P( a)；（4）P( a) 解：（1）P( a) F(a 0) F(a)；（2）P( a) F(a 0)；（3）P( a)=1-F(a)；（4）P( a) 1 F(a 0)。
3.2 函数F(x) 11 x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1） x（2）0 x ，在其它场合适当定义；（3）- x 0，在其它场合适当定义。
解：（1）F(x)在（- , ）设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x) p( x),证明：对任意的a 0,有（1）F( a) 1 F(a)12ap(x)dx；（2）P（ a) 2F(a) 1；（3）P( a) 2 1 F(a) 。
证：（1）F( a)ap(x)dx 1ap(x)dx=1ap( x)dx 1ap(x)dx=1 F(a) 1 （2）P( ap(x)dxap(x)dxa12a0ap(x)dx；ap(x)dx 2 p(x)dx，由（1）知1-F(a)故上式右端=2F(a) 1；12ap(x)dx。
（3）P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a 0,b 0是两个常数，且a b 1。
证明F(x) aF1(x) b F2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为F1(x)与F2(x1) F2(x2)，于是F(x1) aF1(x1) b F2(x1) aF1(x2) b F2(x2) F(x2)F2(x都是分布函数，当x1 x2时，F1(x1) F1(x2)，又xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] 0xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] a b 1xxF(x 0) aF1(x 0) b F2(x 0) aF1(x) b F2(x) F(x)所以，F(x)也是分布函数。
概率论与数理统计第三章
研究方法与一维类似，用分布函数、分布律、 或概率密度来描述其统计规律
二. 联合分布函数
X和Y的联合分布函数
F(x, y) P{(X x) (Y y)}
P{X x,Y y}
dx
6e(2 x3 y)dy
0
0
1 7e6
（III）两个常用的二维连续型分布
(1)二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
f
(
x,
y)
1 SD
，
(x, y) D R2
0, 其它
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布.
易见,若(X, Y)在区域D 上(内) 服从均匀分布, 对
则称(X,Y)服从参数为1, 2 ,1, 2 , 的二维正态分布.
记作(
X,Y
)～N(
1 ,
2
,
2 1
,
2
2
,
)
五. 分布函数的概念推广到n维随机变量的情形
事实上, 对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P{X1 x1, X2 x2, … , Xn xn} 称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数, 或随机变量X1, X2, … , Xn的联合分布函数.
...
xi pi1 pi2 ... pij ... pi .
...
p .j p .1 p .2 ... p .j
例1. 已知(X,Y)的分布律为右图 X Y 1 0
概率论与数理统计第三章
称为二维随机变量(X，Y)的联合分布函数， 简称为(X，Y)的分布函数。
几何意义：F(x,y)表示随机点 落入以(x,y)为顶点而位于 该点左下方的无穷矩形区 域D内的概率。（如图阴 影部分）
随机点(X,Y) 落在矩形区域：x1 x x2, y1 y y2 内的概率为
设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，分别记关 于 X 和 Y 的边缘分布函数为 Fx(x)和 Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数 F(x,y) 来确定。
y)
1/ 0
A ,
,
(x, y)G 其他
则称( X, Y )服从区域G上的均匀分布
与第2章中服从区间[a, b]上的均匀分布类似，服从区域 G 上的均 匀分布 (X, Y) 落在 G 中任一区域 D的概率只与的 D 面积成正比，
而与 D 的位置和形状无关。 P(X ,Y ) D m(D)
m(G)
第三章 多维随机变量及其分布
我们开始学习——多维随机变量 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但 有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需 要用几个随机变量来描述.
y
.
（1）求(X, Y)的分布函数 F(x, y)； （2）求 P(0<X≤3，0<Y≤4)。
解 （1）F (x, y)
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量及其分布、随机变量的离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容。
以下是本章的总结:
1. 随机变量及其分布
第三章第一小节介绍了随机变量的定义和性质,并介绍了离散型和连续型随机变量的区别。
然后,章节第二小节介绍了随机变量的分布,其中包括概率分布、密度函数、期望和方差的计算方法。
这些内容对于理解随机变量的分布非常重要。
2. 随机变量的离散概率和连续概率
第三章第三小节介绍了随机变量的离散概率和连续概率。
离散概率讨论的是离散型随机变量在某一范围内的取值概率,而连续概率讨论的是连续型随机变量在某一区间内的概率。
这些概念对于理解随机变量的性质和分布非常重要。
3. 期望和方差的计算
第三章第四小节介绍了期望和方差的计算方法。
期望是指一个随机变量的平均值,可以通过计算各个取值的概率和总和来实现。
方差是指一个随机变量在各个取值之间的差异,可以通过计算各个取值的差值和总和来实现。
这些内容对于计算随机变量的期望和方差非常重要。
4. 贝叶斯统计学
第三章第五小节介绍了贝叶斯统计学的原理和应用。
贝叶斯统计
学可以用来预测未来事件的概率,也可以用于概率模型的建模和优化。
这些内容对于实际应用非常有帮助。
综上所述,概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量的分布、离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容,是学习概率论和统计学的重要基础。
《概率论与数理统计》第三章
§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
概率论与数理统计第3章
i
31
二维离散型随机变量的边缘分布
关于X的边缘分布列
X
x1
x2
x3
…
概率 P1.
P2.
P3.
…
pi P{X xi} pij
关于Y的边缘分布列
j
Y
y1
y2
y3
…
概率 P.1
P.2
P.3
…
p j P{Y y j} pij
32
i
16
2019-9-16
例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
30
15
2019-9-16
二维离散型随机变量的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
关于X的边缘分布律 关于Y的边缘分布律
pi P{X xi} pij
j
p j P{Y y j} pij
22
11
2019-9-16
第4节 常见多维随机变量
23
1. 多项分布
在独立重复试验中，设每次实验必有A1, A2 , , Ar 之一发生，且事件Ai在每次实验中发生的概率为pi， 记Xi为Ai出现的次数，则 X1, X 2 , , X r 的分布律为
P{X1 n1, X 2 n2 , , X r nr}
20
10
2019-9-16
(4) P{X Y} f (x, y)dxdy y x 0, y 0
概率论与数理统计3章
（２）由三个人共同负责维修８０台设备时，
设备发生故障而不能及时维修的概率。
解： (1)设表示同一时刻发生故障的设备台数。
在同一时刻至少有２台设备发生故障，便
不能及时处理。
P 2 C p 1 p
k 2 k 20 k 0 20 0
lim lim npn k
n k n k n
n lim 1 n n
故得
nk
n lim 1 n n
n
n
n
n 1 n
k
e 1 e
k k lim C n p n 1 p n n
由此解得 N=4050（条）
泊松分布
若离散型随机变量ξ的分布律为
P k
k
k!
e
k 0, 1, 2,
其中λ>0是常数，则称ξ服从泊松分布。 记 为ξ～P(λ) ，λ称为参数。
因为λ>0 ，故有P(ξ=k)>0 。(k=0,1,2, …)
xk x 又e k 0 k!
20
0.2
k!
k
e
0.2
0.0176
（2）设η表示同一时刻发生故障的设备数，则
η～B(80,0.01)。
当同一时刻至少有４台设备发生故障时，
就不能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，
得
P 4
k 4
80
k
k!
e
k 4
80
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率论与数理统计教学指南
第3章多维随机向量及其分布
一、教学目标
通过本章的学习，学生应达到如下基本要求：
1、理解多维随机向量的分布函数的概念及性质.
2、理解二维离散型随机向量的概率分布和二维连续型随机向量的概率密度，掌握二维随机向量的边缘分布和条件分布.
3、理解随机变量相互独立的概念.
4、掌握二维均匀分布和二维正态分布.
5、会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布.
二、知识点
1、二维随机向量的联合分布函数页码：P59；教学目标序号：1
2、二维随机向量的边缘分布函数页码：P59；教学目标序号：1
3、二维离散型随机向量的联合分布律页码：P60；教学目标序号：2
4、二维离散型随机向量的边缘分布律页码：P61；教学目标序号：2
5、二维连续型随机向量的联合概率密度页码：P63；教学目标序号：2
6、二维均匀分布页码：P65；教学目标序号：4
7、二维连续型随机向量的边缘概率密度页码：P66；教学目标序号：2
8、随机变量的独立性页码：P67；教学目标序号：3
9、离散型随机变量的条件分布页码：P70；教学目标序号：2
10、连续型随机变量的条件分布页码：P72；教学目标序号：2
11、二维正态分布页码：P74；教学目标序号：4
12、离散型随机变量函数的分布页码：P76；教学目标序号：5
13、连续型随机变量函数的分布页码：P78；教学目标序号：5
三、本章提要
1、多维随机向量的分布函数的概念及性质.
2、二维离散型随机向量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律.
3、二维连续型随机向量的联合概率密度、边缘概率密度和条件概率密度.
4、随机变量相互独立性.
5、连续型随机变量的常见分布：二维均匀分布和二维正态分布
6、随机变量函数的分布.
四、本章重点难点
1、重点：二维随机向量及其分布.
2、难点：二维连续型随机向量的条件概率密度，二维连续型随机向量的函数的分布.
*五、教学过程（可选）
1、授课.
2、课堂练习.
3、本章小结.
4、留作业，布置预习内容.
六、教学参考内容
1、《概率论与数理统计》第3章内容.
2、课后练习：《概率论与数理统计》第3章习题.
3、《概率论与数理统计学习辅导》第3章内容.。