正方体截面

过三个点的截面与正方体的六个面的交线（作图步骤）：情形一：有两点共面①找共面的两点P 、R ，作直线PR ；②延长B¹A¹，直线B¹A¹与直线PR 交于点M ，则M 在面A¹B¹C¹D¹上； ③连结MQ ，直线MQ 与A¹D¹交于点N ； ④连结NP ；⑤在面ABCD 上作直线RF//NQ ，RF 交BC 于点F ；（两个平行平面同时与第三个平面相交，它们的交线平线.）⑥延长，直线B¹B 与直线PR 交于点G ，则G 在面BB¹C¹C 上； ⑦连结GF ，直线GF 与CC¹交于点H ，连结QH.CCC'CD'C'CD'C情形二：任两点不共面CCCC①作直线PQ，则PQ为底面ABCD的斜线；②过点Q做QQ¹垂直CD于点Q¹，则点Q在面ABCD上的射影为点Q¹，易知点P在面ABCD上的射影为点A；③连结Q¹A, 直线Q¹A与直线QP交于点M，则M为截面PQR上的一点。

由观察可得，M 、Q 和R 三点中有M 、R 共面，后面的步骤归结为情形一（连结MR ，……）.注意：斜线在平面上的射影的确定方法有： 连结斜足和垂足，如图一；连结两个垂足，图二.图一«Сечение куба, призмы, параллелепипеда»1.М ∈ C1 D1; P ∈ AA1; N ∈ (ABC). C1D1 и AA1 скрещивающиеся прямые и (ABC) не содержит в себе ни C1D1 ни AA11)ММ1 II DD12) М ∈ (AA1ММ1); P ∈ (AA1ММ1)；MP ∈ (AA1ММ1)3) AM1 ∈(AA1ММ1 ) MP Ո AM1 = E4) E∈(ABCD); N∈(ABCD) EN∈(ABCD)5) EN Ո AB = K, EN Ո BC = L；К L –следв (ABCD)6) ENՈDC=T, М(DD1C1С), T(DD1C1С) MT –следв(DD1C1C) иMTՈCC1 = F7) F и L ∈ ( BB1C1C) FL –след в (BB1C1C), а PK –след в (AA1B1B)8) DD1 Ո TM = S9) S ∈(AA1D1D), P ∈(AA1D1D) SP ∈(AA1D1D); SP –след в (AA1D1D) и SP Ո A1D1= Q и МQ –след в (A1В1С1D1)10) (MFLKPQ) –искомое сечение.2. Точки М, N, Р различным граням, М (DD1C1С), N (A1B1C1D1) и P (AA1B1В)1) MM1 II DD1 и M1 D1C12) PP1 II AA1 и P1 A1B13) (EP1M1K) секущая плоскость4) MP Ո M1P1 = F；MP Ո (A1B1C1D1) = F5) FN –след в (A1B1C1D1)6) FN Ո A1B1 = L и FN Ո C1D1 = T7) TM –след в (DD1C1C) и TM Ո DC = Q8) LP –след в (AA1B1B) и LP Ո AB = S9) SQ –след в (ABCD) (SLTQ) –искомое сечение.3.Точки М, N, Р попарно скрещивающимся ребрам, МDС, N АА1и P В1С1.1) РP1 || ВВ12) АА1РР1–плоскость проходящая через АА1и PP13) Прямая PN ∈ (АА1PP1)4) PN Ո AP1 = E, и E ∈ (ABCD), такжеЕ ∈(АА1РР1)5) Прямая ЕМ ∈(ABCD) EM ՈAD=F и EM является следом в (ABCD)6) EМ Ո BС = K7) К ∈ ( BB1C1C ) и Р ∈ (BB1C1C ) PK ∈ (BB1C1C) и РK является следом в (BB1C1C)8) PK Ո CC1 = T и PK Ո BB1 = S.9) S ∈(BB1A1A), N ∈(BB1A1A) SN ∈(BB1A1A) и SN является следом в ( BB1A1A )10) SN Ո A1B1 = L11) LP –следв (A1B1C1D1), NF –след в (AA1D1D), МТ –след в (DD1C1C)(MFNLPT) –искомоесечение.4.Построим сечение куба при различном расположении заданных точек. P ∈ CD; Q ∈ AD; B2 ∈ BB1, так что B1 лежит между точкамиB и B2, причем BB2 :BB1=3 : 2. Построим = (B2PQ)1) QP –след в (ABCD )2) QP Ո AB = S2; QP Ո BC = S13) S2 ∈ (AA1B1B) S2B2 ∈ (AA1B1B)4) S2B2 –след в (AA1B1B)5) S2B2 Ո AA1 = F; S2B2 ՈA1B1= К6) S1 ∈ (BB1C1C) S1B2 ∈ (BB1C1C )7) S1B2 –след в (BB1C1C )8) S1B2 Ո CC1 = E, S1B2 Ո B1C1= N9) (KFQPEN) –искомое сечение5.Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертежеПостроим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.PQRTU –искомое сечение6. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертежеТочки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1в некоторой точке Х.Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В1С1в точке Y.Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.7.Построить сечение (PQR) параллелепипеда. Все точки лежат на ребрах двух смежных граней.Построение:1) Строим PQ и QR; 2) PQ ∩ BA = F, PQ ∩ BB' = G;3) GR ∩ CC' = H, GR ∩ BC = M; 4) FM ∩ AD = N, FM ∩ DC = K;5) PQRHKN —искомое сечение.8.Построить сечение параллелепипеда (MLK). Точки K и L лежат на ребрах нижнего основания AB и CB соответственно, аточкаМпринадлежит боковому ребру DD'.Построение:1) KL ∩ DC = X1;2) MX1 ∩ CC' = Y; 3) LK ∩ AD = X2;4) MX2 ∩ AA' = P; 5) LYMPK —искомое сечение.9.Построить сечение параллелепипеда (XYZ) методом следов, если точки X, Y, Z лежат на трех смежных гранях.Построение: 1) ZZ1 || YY1 || XX1; 2) XY ∩ X1Y1 = Q; 3) YZ ∩Y1Z1 = S; 4) QS —след; 5) DA ∩ QS = T; 6) XT ∩ AA' = U, XT ∩ A'D' = N; 7) CB ∩ QS = V; 8) ZV ∩ BB' = W, ZV ∩ C'B' = H; 9) HNUW —искомое сечение.10.Построить сечение (M, d) призмы. ТочкаМпринадлежит верхнему основанию, прямая d лежит в плоскости нижнего основания.Построение: 1) Через точкуМпроведем прямую n || d; 2) n ∩ B'C' = S, n ∩ E'D' = Q; 3) CB ∩ d = X, BA ∩ d = Y, DE ∩ d = Z; 4) SX ∩ BB' = N; 5) QZ ∩ EE' = T; 6) NY ∩ AA' = P; 7) SNPTQ —искомое сечение.11.Построить (M, d) сечение призмы. ТочкаМпринадлежит боковому ребру, прямая d лежит в плоскости нижнего основания.Построение:1) CB ∩ d = X, EA ∩ d = Y, DE ∩ d = Z, BA ∩ d = H; 2) MZ ∩ EE' = N, MZ ∩ DD' = T; 3) NY ∩ AA' = G; 4) GH ∩ BB' = P;5) PX ∩ CC' = S; 6) PSTNG —искомое сечение.12. Построить сечение (MNK), еслиМпринадлежит граниВВ'С'С, а N и K лежат на ребрах A'D' и AB соответственно.Построение: 1) N' —проекция N, M' —проекция M; 2) NM ∩ N'M' = X; 3) KX ∩ BC = T, KX ∩ DA = Y; 4) TM ∩ CC' = H, TM ∩ B'C' = Z; 5) ZN ∩ C'D' = P; 6) NY ∩ AA' = F; 7) THPNFK —искомое сечение.13.Ребро куба равно a. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через середины реберАА1, AD и A1B1.Решение: Обозначим названные в условии середины ребер соответственно через M, P, K.Продолжим отрезок MK до его пересечения в точках T и E с продолжениями ребер BB1 и BA. Через точки E и P проведем прямую до ее пересечения в точке S с продолжением ребра BC. Наконец, проведем прямую через точки S и T. В итоге получается сечение куба в виде многоугольника с вершинами в точках K, M, P, L, F, H. Заметим, что противоположные стороны этого многоугольника параллельны, так как лежат на пересечении параллельных граней плоскостью сечения.Из равенства треугольников KB1T, KA1M и MAE следует, что AE=B1T=a/2, а из равенства треугольников AEP и PDL можно заключить, чтоDL-LC=CS= a/2 . Поэтому BT = BS и∠THB1=∠FSC =45º. Отсюда следует, что точки H и F —середины ребер куба, из чего в свою очередь следует, что каждая из сторон многоугольника в сечении куба равнаa/√2 . Так как AM = AP = AE, то треугольник равносторонний, и∠MPE=60º. Поэтому∠MPL=120º. По тем же причинам каждый из остальных углов сечения равен 120°.Итак, сечение куба представляет правильный шестиугольник со стороной, равнойa/√2. По формуле площади правильного шестиугольника (S=3b²√3/2, где b —длина стороны) находим, что искомая площадьравна: S=[3( a/√2)²√3]/2=2a²√3/4 (кв. ед.) Ответ: 2a²√3/4 (кв. ед.)14.Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 сребромаплоскостью, проходящей через вершину D и точки Е и F на ребрах А1D1 и C1D1 соответственно, если A1E = k · D1E и C1F = k · D1F.Решение:Построение сечения:Поскольку точки Е и F принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A1B1C1D1, а две плоскости пересекаются по прямой, то прямая EF будет являться следом секущей плоскости на плоскость грани A1B1C1D1 (рис.8).Аналогично получаются прямые ED и FD.EDF –искомое сечение.15.ABCD –правильная треугольная пирамида со стороной основания AB равнойаи высотой DH равной h. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М –середина стороны АВ, и найдите его площадь.Решение: Сечением пирамиды является треугольник MCD. Найдем его площадь.Так как основание пирамиды –равносторонний треугольник и точка М –середина стороны, то СМ является высотой и тогда, СМ =√(3a /2) .Площадь треугольника можно найти:S = 1/2 · DH · CM = 1/2*√(3ah /2)= √(3ah /4).16.Найти площадь сечения прямоугольного параллелепипедаА (1)проходящего через середины M, N, L ребер AD, DC, CC1соответственно, еслиАА1= 1, АВ = 2, AD = 3.Решение: Построение сечения:1) MN ∩ BC = T, MN ∩ AB = S; 2) TL ∩ B1C1 = M1, TL ∩ BB1 = Q;3) SQ ∩ AA1 = L1, SQ ∩ A1B1 = N1; MNLM1N1L1 искомоесечение.Площадьсечения Sсеч = Sпр / cosα, гдеα—угол между плоскостью сечения и ABCD. При этом в силу симметрии сечения, будем искать только половину площади проекции. Т.е.АСMN —проекция MNLL1 1/2Sпр = S(ACMN) =S(ADC) —S(MDN) =0,75*S(ADC)= 3/4 · 1/2AD*DC= 3/4 · 1/2 · 6 =2,25.Тогда вся проекция имеет площадь Sпр=4,5. При определении углаαошибочно считают, что это угол∠OPK . Проведем KH⊥MN, тогда∠OHK=α. Имеем KP= 1/4BD= √13/4, KH= KP sin(∠KPH) = KP sin(2∠BDA)= √13/4*2*2/√13*3/√13 =3/√13, tgα= OK/KH= √13/6Тогдаcosα=1/√(1+tg²α)=6/7. Теперь окончательно находимSсеч = Sпр / cosα = 4,5÷6/7 = 63/12 = 21/4 = 5,25. Ответ: 5,25.译文：Sсеч = Sпр / cosα（其中Sсеч为截面面积，Sпр为投影面积，α为截平面与底面ABCD之间的角）借助于横截面的对称性，我们所求的投影只有一半的面积。