二次函数的图像和性质(四)一般式学案
九年级数学下册第六章：二次函数的图像与性质(4) 导学案
6.2.1二次函数的图像与性质⑸班级 姓名【学习目标】1.会用描点法画二次函数c bx ax y ++=2的图像，掌握它的性质.2.渗透数形结合思想.【课前自习】1. 根据()k h x a y ++=2的图像和性质填表：2.抛物线()1222++=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线()1322---=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 .4.抛物线()31212-+-=x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称；抛物线()31212-+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称. 5.()k h x a y ++=2被我们称为二次函数的 式.【课堂助学】一、探索归纳：1.问题：你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？2.你有办法解决问题①吗？222++=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 .3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质. 练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②232++=x x y ③c bx ax y ++=24.归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以被整理成顶点式： ，说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①4322+-=x x y ②232++-=x x y ③x x y 22--=二、典型例题： 例1、用描点法画出12212-+=x x y 的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑵列表：顶点坐标填在⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点.例2、已知抛物线c x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上 ，求抛物线的顶点坐标.【课堂检测】1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①232+-=x x y ②242++=x x y2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①4322-+-=x x y ②2212+-=x x y3.用描点法画出322-+=x x y 的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察左图：①抛物线与y 轴交点坐标是 ；②抛物线与x 轴交点坐标是 ；③当=x 时，0=y ；④它的对称轴是 ；⑤当x 时，y 随x 的增大而减小.【课外作业】1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①252+-=x x y ②322-+=x x y2.用公式法把下列二次函数化成顶点式： ①322-+-=x x y ②x x y -=2213.抛物线y= 3x 2+2x 的图像开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x= 时， y 有最 值是 .4.函数y=-2x 2+8x+8的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.5.用描点法画出23212+--=x x y 的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察上图：①抛物线与y 轴交点坐标是 ；抛物线与x 轴交点坐标是 ； ②当=x 时，0=y ； ③它的对称轴是 ； ④当x 时，y 随x 的增大而减小.。
苏科版数学九年级下册5.2《二次函数的图象和性质》(第4课时)讲教学设计
苏科版数学九年级下册5.2《二次函数的图象和性质》（第4课时）讲教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册5.2《二次函数的图象和性质》（第4课时）的内容主要包括：二次函数的图象特点、二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系。
通过本节课的学习，使学生掌握二次函数的图象和性质，能够熟练运用二次函数的图象和性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的定义、标准式以及顶点式，对二次函数的基本概念有了初步的了解。
但学生对二次函数的图象和性质的认识尚浅，需要通过本节课的学习，进一步深化对二次函数的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的图象特点、二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的图象和性质，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象特点、二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系。
2.难点：二次函数图象与系数的关系的推导和理解。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体课件，直观展示二次函数的图象，增强学生的直观感受。
3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中，共同探讨二次函数的图象和性质。
4.运用归纳总结法，引导学生发现二次函数的图象和性质的规律。
六. 教学准备1.多媒体课件：制作二次函数的图象和性质的课件，包括图片、动画等。
2.教学素材：准备一些关于二次函数的图象和性质的例题和练习题。
3.学生活动材料：准备一些卡片，用于小组讨论和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些二次函数的图象，如y=x²、y=x²-1、y=2x²-3x+1等，引导学生观察这些图象的特点，激发学生的学习兴趣。
北师大版九年级数学2.2 二次函数的图象与性质(4)教案
“二次函数的图象与性质（4）”教学设计一、教学目标1.掌握用配方法把二次函数的一般式)0(2≠++=a c bx ax y 变形为顶点式a b ac a b x a y 44)2(22-++=. 2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决实际生后中的问题.二、教学过程1.复习回顾：我们已经认识了形如k h x a y +-=2)(的二次函数的图象和性质，你能试着说一说吗？y x (h ,k )x=h O y x (h ,k )x=hO小结：通过复习,帮助学生回忆二次函数的顶点式、形如顶点式的二次函数的图象和性质,为将一般式转化为顶点式这一类方法打下基础.2.导入新课问题1:根据前面所学知识，你能研究二次函数5422+-=x x y 的图象和性质吗？3)1(252)12(25)112(25)2(254222222+-=+-+-=+-+-=+-=+-=x x x x x x x x x y因此,二次函数5422+-=x x y 图象的对称轴是直线x =1,顶点坐标为(1,3). 点评：配方过程中要注意以下几点：（1）二次项系数化为1时不能在等号两边同时除以二次项系数，而是要提出公因数，将剩余的部分放在括号内;（2）配方法要配上的常数项依据为222)2()2(p x p px x +=++; （3）去括号时不要漏乘括号前的系数;（4）最终要化为顶点式k h x a y +-=2)(.练习1:求二次函数7822+-=x x y 图象的对称轴和顶点坐标.1)2(278)2(27)444(27)4(278222222--=+--=+-+-=+-=+-=x x x x x x x x y因此，二次函数7822+-=x x y 图象的对称轴是直线x =2,顶点坐标为(2,-1). 小结：通过以上两道例题，熟练掌握将二次函数的一般式通过配方法化为顶点式,并找出图象的对称轴和顶点坐标.3.释疑深化问题2：求二次函数c bx ax y ++=2图象的对称轴和顶点坐标.思路:尽管没有具体给出a 、b 、c 的值,但是配方的步骤不变,可以利用配方法将一般式化为顶点式. a b ac a b x a c a b a b x a c a b a a b x a b x a c a b a b x a b x a c x ab x ac bx ax y 44)2(4)2()2()2()2()2()(:222222222222-++=+-+=+⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++=++=解 由顶点式可得：对称轴是直线ab x 2-=,顶点坐标是)44,2(2a b ac a b --. 4.小结二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线.化为顶点式:ab ac a b x a y 44)2(22-++= 对称轴:直线ab x 2-=,顶点坐标:)44,2(2a b ac a b --.（顶点坐标公式）如果a ＞0 如果a ＜0当x ＜a b 2-时,y 随x 的增大而减小； 当x ＜ab 2-时,y 随x 的增大而增大； 当x ＞a b 2-时,y 随x 的增大而增大. 当x ＞ab 2-时,y 随x 的增大而减小.5.练习巩固练习2：确定二次函数216212+-=x x y 的对称轴和顶点坐标. 法一:配方法3)6(2121)363612(2121)12(21216212222+-=+-+-=+-=+-=x x x x x x x y法二:顶点坐标公式32362124462126221,6,212=-⨯=-=⨯--=-∴=-==a b ac a b c b a ； 因此，二次函数216212+-=x x y 图象的对称轴是直线x =6,顶点坐标为(6,3).练习3：桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用1010940092++=x x y 表示．（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？分析:这道题的关键在求出左右两条抛物线的顶点坐标,而题中只给出了左边的抛物线关系式,可以先求出左边抛物线的顶点坐标,再根据两条抛物线关于y 轴对称求出另一个顶点坐标.方法一:将函数配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离.1)20(400910)40(4009101094009:222++=++=++=x x x x x y 解 ∴这条抛物线的顶点坐标是(-20,1)∴右边抛物线的顶点坐标是(20,1)（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.（2）两条钢缆最低点之间的距离是40m.方法二:用顶点坐标公式直接求出顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离.解:左边抛物线的表达式1010940092++=x x y 由顶点坐标公式)44,2(2a b ac a b --得:144,2022=--=-ab ac a b ∴这条抛物线的顶点坐标是(-20,1)∴右边抛物线的顶点坐标是(20,1)（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.（2）两条钢缆最低点之间的距离是40m.6.课堂小结7.反馈练习画出下列二次函数图象的草图。
二次函数的图像与性质》参考教案
二次函数的图象与性质(4)知识技能目标1．使学生会用描点法画出二次函数c bx ax y ++=2的图象．2．使学生会用公式法和配方法求抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标和对称轴． 3.让学生自主发现函数k h x a y +-=2)(与函数c bx ax y ++=2的联系过程性目标1. 使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念，培养学生由具体到抽象的能力．学会发现数学规律的方法. 教学过程 一、创设情景 引例 画出函数25212-+-=x x y 的图象，并说明图象之间的关系.试一试： 1.填写下表：2.从上表中，分别找出函数1)1(22+-=x y 与函数2)1(2-=x y 、22x y =的图象的关系？ 3.进一步，发现函数1)1(22+-=x y 函数有那些性质？ 二、探索归纳函数1)1(22+-=x y 的图象与函数2)1(2-=x y 、22x y =的图象形状相同（即开口方向，开口大小相同）,但位置不同.归纳: 函数22x y =的图象向右平移一个单位得到函数2)1(2-=x y 的图象.函数2)1(2-=x y 的图象向上平移一个单位得到函数1)1(22+-=x y 的图象.三、实践应用做一做例1 画出函数2)1(22--=x y 的图象，并将它与函数2)1(2-=x y 的图象作比较.解 函数2)1(2-=x y 的图象向上平移2个单位得到函数2)1(22--=x y 的图象，对称轴都是直线1=x ，顶点坐标由（1，0）变为（1，2）. 例2 试说出函数2)1(312+--=x y 的图象与函数231x y -=的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解 开口方向(向下; 向下; 向下) 对称轴(y 轴或直线0=x ;直线1=x ;直线1=x ) 顶点坐标（0，0）; （1，0）; （1，2） 四、交流反思在上述例题的基础上，提出：若函数解析式变化为更一般的k h x a y +-=2)(，那么根据前面例题中函数的变化规律，试着归纳出函数k h x a y +-=2)(的特点： 1. a >0时,开口向上;a <0时,开口向下 2. 对称轴是直线h x=3. 顶点坐标是),(k h回顾函数2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=的解析式及它们的图象特征，结合函数k h x a y +-=2)(的性质以及它的图象特征归纳总结:五、检测反馈1．已知函数221x y =、2)2(212++=x y 和3)2(212-+=x y (1)在同一直角坐标系中画出这三个函数的图象;(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)试讨论函数3)2(212-+=x y 的性质. 2.试说明: 分别通过怎样的平移,可以由抛物线221x y =得到抛物线2)2(212++=x y 和抛物线3)2(212-+=x y ?如果要得到抛物线6)2(212-+=x y ,那么应该将抛物线221x y =作怎样的平移?。
6.2二次函数的图像和性质(4)教学案+课堂作业
南沙初中初三数学教学案教学内容：6.2二次函数的图像和性质（4）课 型：新授课 主 备 人：王 猛 审 核：王银龙 学生姓名：______ 学习目标：1、经历把函数y=ax 2的图象沿x 轴、y 轴平移后得到y=a(x-h)2+k 的图象的探究过程，进一步了解上述图象变换的实质是：图像形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化；2、能通过对函数y=ax 2的图象进行平移的方法，画出函数y=a(x-h)2+k 的图象；教学过程：一、情境：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象也是抛物线吗？它与二次函数y=ax 2的图象有什么关系？它有什么性质？二、思考探索：二次函数y=(x+1)2+2的图象是抛物线吗？观察右图，把函数y=x 2的图象沿x 轴向平移 个单位长度，可得y=(x+1)2的图象；再把函数y=(x+1)2的图象沿y 轴方向向平移 个单位长度就可以得到函数y=(x+1)2+2的图象。
你能解释函数y=(x+1)2与y=(x+1)2+2之间的数量关系吗?由此可见,函数y=(x+1)2+2的图象是抛物线。
2、练习一：（1）函数y=-2(x-2)2、y=-2(x-2)2+3的图象与函数y=-2x 2的图象 都相同，只是发生了改变，把函数y=-2x 2的图象沿 轴向 平移 个单位长度，即可得到函数y=-2(x-2)2的图象；再将所得图象沿 轴向 平移 个单位长度，即可得到函数y=-2(x-2)2+3的图象。
（2）函数y=a(x+m)2+k 的图象是由函数y=231x 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则a= ；m ；k= 。
三、请你说说函数y=(x+1)2+2具有的性质：四、归纳：请小结二次函数y=a(x-h)2+k （a ≠0）的性质：（介绍顶点式）五、练习二：1、一个二次函数的图象与抛物线2=的形状相同，且顶点为（1，4），求这个函数的解y x3析式。
2、已知，抛物线2y x=--。
2.2《二次函数的图像与性质》（4课时教案）
《二次函数的图象与性质》教案教学目标知识与技能1.能正确画出二次函数y=x2和y=-x2的图象，探究出二次函数的图象的形状；2.理解二次函数y=x2和y=-x2中y随x的变化规律及二次函数图象的对称性；3.掌握二次函数y=x2和y=-x2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和应用能力.过程与方法1.通过动手操作画二次函数y=x2和y=-x2的图象，发展几何直观，培养学生的动手能力，掌握其操作方法和技巧；2．通过对二次函数y=x2和y=-x2图象的探究，理解这种形式的二次函数的特征，掌握解题的方法和技巧.情感、态度与价值观经过操作、探究、总结和应用等数学活动，让学生感受数学中数形变化美，让学生感受到数学的严谨性和科学性，让学生感受到数学的应用在生活中无处不在.教学重点与难点重点：使学生会画二次函数y=x2和y=-x2的图象，能概括它们的性质.难点：理解并把握二次函数y=x2和y=-x2的图象的形状和性质特征.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：什么叫做二次函数？生：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.问题2：画函数图象的主要步骤是什么？生：（1）列表，（2）描点，（3）连线问题3：你能说说我们已经学习过的一次函数有哪些性质吗？生：一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小.思考：在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？二、探究交流，获取新知操作：请你画出二次函数y=x2的图象.（1）观察y=x²的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：x …-3-2-10 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 9 …（2）在直角坐标系中描点：（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x²的图象.议一议：对于二次函数y=x2的图象.（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.生：抛物线（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？生：图象与x轴有交点.交点坐标是 (0，0).（3）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？生：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？生：当x=0时，y的值最小，最小值是0.因为抛物线上的最低点坐标是 ( 0，0 ) .（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.生：图象是轴对称图形. 它的对称轴是y轴.对称点：(-3，9)与(3，9)关于y轴对称；(-2，4)与(2，4)关于y轴对称……师生共同总结：1.函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.做一做：二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.（1）列表：x …-3-2-10 1 2 3 …y …-9-4-1-1-4-9…（2）在直角坐标系中描点：（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=-x²的图象.议一议：说说二次函数y=-x²的图象有哪些性质,与同伴交流.（1）图象与x轴交于原点（0，0）.（2）y≤0.（3）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. （4）当x=0时，y最大值=0.（5）图象关于y轴对称.读一读：让同学们自主学习课本第33页至34页“二次函数的广泛应用”.让学生感悟到数学知识与实际问题的联系，用函数知识能解决实际生活中的很多问题.三、知识拓展1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象回答下列问题：（1）抛物线y=2x2的开口方向是怎样的？（2）抛物线 y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？（3）当x为何值时, y随着x的增大而增大；当x为何值时, y随着x的增大而减小.（4）函数y有最大值还是最小值？为什么？，当x＜0时，y随x的2.给出下列四个函数：○1y=x，○2y=-x，○3y=x2，○4y=1x增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个四、自我小结，获取感悟1.二次函数y=±x2的图象是什么形状？2.二次函数y=±x2有哪些性质？（1）位置与开口方向；（2）顶点坐标与对称轴；（3）增减性与最值.五、布置作业课本第34～35页：习题2.2的第1、2题.《二次函数的图象与性质》教案（2）教学目标知识与技能1.能正确画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会比较这两种二次函数的图象的不同点；2.把握系数a、c对二次函数图象的影响，理解二次函数y=ax2和y=ax2+c中y随x的变化规律及抛物线的平移规律；3.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；4.通过操作、探究的过程，提高学生对基础知识的理解和运用能力.过程与方法1.通过动手操作画二次函数y=ax2和y=y=ax2+c的图象，培养学生的比较、鉴别能力；2．通过对二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的探究，理解这两种形式的二次函数的性质特征.情感、态度与价值观经过操作、探究、总结和应用等数学活动，有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.教学重点与难点重点：使学生会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会进行比较异同，能根据图象概括出它们的性质特征.难点：正确理解二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与系数的关系，能灵活运用其性质解决相关函数问题.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课1.如图是二次函数y=x2和y=-x2的图象，填写下表：函数图象开口对称顶点形状方向轴坐标y=x2抛物线向上y轴（0，0）y=-x2抛物线向下y轴（0，0）2.画一画在同一坐标系中，画出二次函数y=x2和y=2x2，x …-3-2-10 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …y=2x2…188 2 0 2 818…二、探究交流，获取新知思考：二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y=2x2抛物线向上y轴（0，0）y=2x2抛物线向上y轴（0，0）画一画：在刚才的坐标系中再画出二次函数y=12x2的图象.探索交流：二次函数y=x²的图象与y=2x²、y=12x²的图象有什么相同和不同？相同点：函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y=x²抛物线向上y轴（0，0）y=2x²抛物线向上y轴（0，0）y=12x²抛物线向上y轴（0，0）不同点：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.做一做：在下列平面直角坐标系中，作出y=-x²和y=-2x²的图象.生：动手操作画图，思考：它们与二次函数y=x²和y=2x²的图象又有什么异同？生：它们形状、对称轴和顶点坐标都是相同的，只是y=-x²和y=-2x²的图象开口向下.探究：函数y=3x²及y=-3x²的图象会有哪些特点？点拨：从二次函数的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标几个方面回答.师生共同总结：y=ax2(a≠0)的图象与性质特征，探究：二次函数y=2x2+2、y=2x2-2与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？你是怎样想的，动手验证你的想法.生：学生动手操作，老师巡视,结论：1.二次函数y =2x 2+2由二次函数y =2x 2的图象向上平移2个单位； 2.二次函数y =2x 2-2由二次函数y =2x 2的图象向下平移2个单位. 共同交流：二次函数y =-3x 2+12, y =-3x 2-12的图象与二次函数y =-3x 2 的图象有什么关系？生：让学生总结出它们之间的关系.思考：二次函数y =ax 2 (a ≠0) 的图象与y =ax 2+c (a ≠0) 的图象有什么异同？老师点拨：y =ax 2及y =ax 2+c (a ≠0) 的图象和性质： y =ax 2+c 的图象是由y =ax 2的图象上下平移得到的， 当c ＞0 时，向上平移c 个单位； 当c ＜0 时，向下平移︱c ︱个单位.函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y =ax 2抛物线a ＞0向上a ＜0向下y 轴（0，0）y =ax 2+c 抛物线a ＞0向上a ＜0向下y 轴 （0，c ）四、随堂练习1.将抛物线y =-x 2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）. A . y =-(x +2)2 B .y =-x 2+2 C .y =-x 2+2 D . y =-(x -2)22.在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2-1 与x 轴的交点的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03.坐标平面上有一函数y =24x 2-48的图象，其顶点坐标为（ ） A. （0，-2） B . （1，-24） C .（0，-48） D .（2，48） 4．将抛物线y =x 2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________． 5．小汽车刹车距离s （m ）与速度v （km/h ）之间的函数关系式为21100S v，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车__________有危险（填“会”或“不会”）.五、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？六、布置作业P：习题2.3 .课本36《二次函数的图象与性质》教案（3）教学目标知识与技能1.能正确画出形如y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的二次函数的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响；2.能正确地说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；3.能灵活运用二次函数的图象和性质解决相关问题；4.通过对知识点的探究以达到灵活运动知识解答相关问题的技能.过程与方法1.通过对二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的画法的操作，性质的探究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.情感、态度与价值观1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力，能在条理地、清晰地阐述自己的观点；2.让学生学会与人合作，并能与他人进行交流思维的过程和结果.教学重点与难点重点：使学生能准确地作出这两种形式的二次函数图象，理解它们与y=ax2的图象关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点.难点：理解并把握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的性质特征，并会运用性质解决相关问题.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：根据你所学知识回答下列各问题，1.函数y=12x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最__值是________.2.函数y=-2x2+3的图象可由函数_____________的图象向____平移_________个单位得到.3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_________________的图象.问题2：你会用类比法画二次函数y=2(x-1)2的图象吗？它与y=2x2有什么异同吗？它有哪些性质呢？二、探究交流，获取新知请你在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）y=2x2（2）y=2(x-1)2完成下表：x …-4-3-2-10 1 2 3 4 …2x2……2(x-1)2……观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？生：在同一坐标系中画出这两个函数图象，议一议：（1）二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.（2）二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？生：开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，0）（3）二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？生：当x ＜1时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小. （4）你能发现二次函数y =2(x -1)2的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系吗？ 生：二次函数y =2(x -1)2的图象是由二次函数y =2x 2的图象向左平移1个单位得到的. 结论：二次函数y =2x 2，y =2(x -1)2，y =2(x +1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y =2x 2的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y =2(x -1)2的图像；将函数y =2x 2的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y =2(x +1)2的图像.想一想：由二次函数y =2x 2的图象，你能得二次函数y =2x 2-12，y =2(x +3)2，y =2(x +3)2-12的图象吗？生：由二次函数y =2x 2的图象向下平移12个单位长度可得二次函数y =2x 2-12的图象；由二次函数y =2x 2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y =2(x +3)2的图象；由二次函数y =2x 2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移12个单位长度，能得二次函数y =2(x -3)2-12的图象. 归纳总结：二次函数y =a (x -h )2+k 与二次函数y =ax 2的图象有什么关系？二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是由二次函数y =ax 2的图象先向左(或向右)平移|h |个单位长度，再向上(或向下)平移|k |个单位长度得到的.H ＜0时，图象向左平移；h ＞0时，图象向右平移. k ＜0时，图象向下平移；k ＞0时，图象向上平移.一般地，平移二次函数y =ax 2的图象便可得到二次函数y =a (x -h )2+k 的图象. 因此，二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：开口方向 对称轴 顶点坐标y =a (x -h )2+k向上（a ＞0）直线x =h （0，0）向下（a ＜0）三、随堂练习 1.回答下列问题：图 象特征二 次函 数（1）二次函数y=3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？（2）对于二次函数y=-3(x+2)2.当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A. y=(x-2)2+1B. y=(x+2)2+1C. y=(x-2)2-3D. y=(x+2)2-33.将抛物线y=2(x-1)2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为_____________.4.将抛物线y=-12x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．5.若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…，则E（x，x2-2x+1）可以由E（x，x2）怎样平移得到（）A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位六、自我小结，获取感悟1.y=a(x-h)2+k的图象特征.2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.七、布置作业课本第39页：习题2.4.《二次函数的图象与性质》教案（4）教学目标知识与技能1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k形式，体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性；2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决有关函数问题；3.掌握系数a、b、c对二次函数图象的影响和作用；4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和把握能力.过程与方法1.通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究，培养学生的概括能力，解决实际问题的能力；2．通过学生的合作交流来解决函数问题，培养学生的合作交流能力.情感、态度与价值观1.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；2.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.教学重点与难点重点：使学生会运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.难点：理解并把握数学问题与实际问题相联系的过程.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：二次函数y=-2 (x-3)2+5的开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是____.当x=_________时，y有最_______值，是__________；当x___________时，y随x的增大而增大；当x___________时，y随x的增大而减小. 它是由二次函数y=-2x2先向_____平移____个单位长度，再向_____平移____个单位长度得到的.问题2：对于二次函数y=a(x-h)2+k（1）当a＞0时，它的开口______，对称轴是___________，顶点坐标是__________________.当x=_________时，y有最_____值是_______；当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小.（2）当a＜0时，它的开口________，对称轴是____________，顶点坐标是_________________.当x=_________时，y有最_______值是______；当x_______时，y随x 的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小.问题3：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？二、探究交流，获取新知请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.解：y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1-1)+5=2(x-1)2-2+5=2(x-1)2+3三、例题讲解例1：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析：要求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 只需将它化为y=a(x-h)2+k 的形式.解：y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）.做一做：确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1）y =3x 2-6x +7 （2）y =2x 2-12x +8生：学生解答，教师巡视，发现问题即时解答. 例2:求二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴和顶点坐标. 生：指点一名学生上黑板解答，教师点拨. 解：把二次函数y =ax 2+bx +c 的右边配方，得：y =ax 2+bx +c=a (x 2+bax)+c =a [x 2+2·ba x+(2b a )2-(2b a )2]+c=a (x +2b a)2+244ac b a -因此，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴是直线 x =-2b a ，顶点坐标为（-2ba，244ac b a -）.点拨：由此我们把此称之为求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式 四、随堂练习1.如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y =9400x 2+910x +10表示，而左、右两条抛物线关于y 轴对称. （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标（1）y =2x 2-12x +3； （2）y =-5x 2+80x -319； （3）y =2(x -12)(x -2)； （4）y =3(2x +1)(2-x ). 合作交流：二次函数图象与系数a 、b 、c 之间有何关系？ a 决定抛物线的形状、开口方向当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下，a 越大抛物线的开口越小.b影响对称轴的位置当ab＞0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，当ab＜0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧.c确定抛物线与y轴的交点位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，当c=0时，抛物线经过坐标原点，当c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上五、挑战自我：1.对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法正确的是（）A.图象的开口向下B.当x＞1时，y随x的增大而减小C.当x＞1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-12.（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A.B.C.D.3.若一次函数y=x2-2x+c的图象与y轴的交为(0，-3)，则此二次函数有( )A.最小值-2B.最小值-3C.最小值-4D.最大值-44.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A(-1，0)，B，顶点为P，求△P AB的面积.六、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？七、布置作业课本第41页：习题2.5。
2.2.4二次函数的图像与性质4(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a≠0。它在数学、物理等学科中具有重要应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析抛物线的开口方向、对称轴、顶点等性质，了解二次函数在实际问题中的应用。
其次，在课堂教学中，我要更加注重与学生的互动。通过提问、让学生举例等方式，激发学生的思考，引导他们主动参与课堂讨论。这样既能帮助学生巩固知识点，也能培养他们的表达能力和团队合作精神。
此外，实践活动的设计也非常重要。在本节课的实践活动中，我发现有些同学对二次函数在实际生活中的应用还不够了解。在今后的教学中，我应多设计一些贴近生活的实例，让学生亲身体验二次函数在现实中的应用，提高他们对知识点的兴趣和认识。
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，通过二次函数图像与性质的学习，使学生能够分析并解决与之相关的实际问题。
2.培养学生的逻辑思维与推理能力，让学生通过观察、分析、归纳二次函数图像与性质，形成对二次函数的深刻理解。
3.培养学生的空间想象能力，通过绘制和分析二次函数图像，提高学生对抛物线形状及其变换的认识。
-结合生活实例，分析二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点
（1）理解a、b、c对二次函数图像的影响。
- a的取值对抛物线开口方向的影响。
- b、c的取值对抛物线位置及与y轴交点的影响。
（2）抛物线的对实际问题中的应用。
（3）二次函数图像变换的规律。
-抛物线的平移、伸缩、翻转对函数表达式的影响。
-举例解释图像变换的规律。
（4）将实际问题抽象为二次函数模型。
-分析实际问题的数量关系，建立二次函数模型。
初中数学苏科版九年级下册《52二次函数的图象与性质4》学案
5.2二次函数的图象及其性质（4）教学目标：1、经历探索二次函数y=a（x－h）2(a≠0)的图象作法和性质的过程.，理解二次函数y=a（x－h）2(a≠0)与y=ax2的图象的关系。
2、掌握二次函数y=a（x－h）2 的图象的性质教学重难点：二次函数y=a（x－h）2的图象及其性质教学过程：一、复习：1、说说函数y=ax2的图象的性质2、说说函数y=ax2＋k的图象的性质二、探索研究：1在同一坐标系中画出下列函数的图象（1）、y=x2 (2)y=(x＋1)2 (3)y=(x－1)2（1）▲学生尝试画图▲投影学生的画图，讨论y=(x＋1)2、y=(x－1)2的图象是否为抛物线▲引导学生画出正确的图象（2）学生根据图象说出y=(x＋1)2、y=(x－1)2yO x的图象的性质（3）比较y=(x ＋1)2 、y=(x －1)2与y=x 2的图象，说出它们之间的关系（4）猜想函数y=－(x ＋1)2的图象的性质，以及与抛物线y= x 2的关系，并画图验证（5）归纳函数y= a （x －h ）2的图象的性质练习：1、抛物线y=－3(x ＋2)2开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x ＜ 时，y 随x 的增大而 ，当x ＞ 时，y 随x 的增大而 。
当x= 时，y 有最 为 。
它是由抛物线y=－3x 2向 平移 个单位得到的。
2、函数y=2)3(41-x 的图像开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x ＜ 时，y 随x 的增大而 ，当x ＞ 时，y 随x 的增大而 。
当x= 时，y 有最 为 。
将它向 平移 个单位得到函数y=241x 的图像。
3、抛物线y=－4(x －3)2开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ，当x ＜ 时，y 随x 的增大而 ，当x ＞ 时，y 随x 的增大而 。
当x= 时，y 有最 为 。
它是由抛物线y=－4x 2向 平移 个单位得到的。
4、已知函数：（1）y=2322--x (2)y=2122-x (3)y=-2x 2＋2 (4)y=2)23(2--x (5)y=22)21(-x (6)y=－2(x ＋2)2 其中图像开口向上的函数是 ，图像开口向下的函数是 图像对称轴是y 轴所在直线的函数是 ，图像对称轴与y 轴平行的函数是5、将抛物线y=4（x—1）2 向___ 平移____ 个单位得到抛物线y=4（x+3）2将抛物线y=4(x-2)2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。
《二次函数的图象和性质(4)》导学案2
5.4 二次函数的图象和性质第4课时【学习目标】1. 能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从 而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2. 会利用对称性画出二次函数的图象．【重点】能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从 而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；【难点】能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从 而确定开口方向、对称轴和顶点坐标.课前预习1、填空(1)x 2＋6x ＋______=(x ＋______)2 (2)x 2－92 x ＋____＝(x －_____)2(3)x 2＋4x ＋9＝(x ＋2)2＋______ (4)x 2－5x ＋8＝(x －52 )2＋________2、填表【探究问题】 活动一：探索二次函数y ＝a(x-h)2+k 的图象与性质活动二：探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质由配方得y=ax 2＋bx ＋c ＝由此可知，二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象是抛物线，它的顶点坐标是( )，对称轴是过顶点且与y 轴平行的直线(当b=0时，对称轴是y 轴)[讨论归纳]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向，顶点坐标，对称轴及增减性。
[例题学习]例1． 通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点 坐标，再描点画图．回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对 称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．。
《二次函数的图像和性质》第四课时教案
《二次函数的图像和性质》第四课时教案5.4二次函数的图像和性质(4)教材分析：本节课是研究二次函数性质的最后一课时，本节主要是对前面知识的综合应用，通过配方法把二次函数y=ax 2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式来确定开口方向、对称轴和顶点坐标．教学设想：本节主要采用对旧知识的回顾来导入问题，然后通过学生的自主探究、合作交流发现问题，解决问题．在对二次函数y=ax 2+bx+c 配方时，适时点拨，让学生完成相应的配方，在练习过程中巩固思路．教学目标：知识与技能：1．能通过配方把二次函数y=ax 2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式来确定开口方向、对称轴和顶点坐标．2．会利用对称轴画出二次函数的图象．过程与方法：经历探索利用配方法把二次函数y=ax 2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式的过程，发展学生利用数学知识解决相关问题的能力.情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．教学重难点：重点：能通过配方把二次函数y =ax 2+bx +c 化成y =a (x -h )2+k 的形式来确定开口方向、对称轴和顶点坐标等相关性质.难点：将y =ax 2+bx +c 化成y =a (x -h )2+k 的形式.课前准备教具准备教师准备PPT 课件教学过程：课时安排：4课时导入新课：1.你能说出抛物线的性质吗？2.你能把它转化成的y =a (x -h )2+k 形式吗？【设计意图】：通过对二次函数的转化来导入新课，使学生合作探究. 合作探究: 问题：函数y =ax 2+bx +c 的顶点是什么？求二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴和顶点坐标．216212y x x =-+-216212y x x =-+-224.24b ac b y a x a a -??=++ 2y ax bx c=++2b c a x x a c ??=++ 22222b b b c a x x a a a a =++-+ ? ? ? ?合作探究：函数y =ax 2+bx +c 的对称轴、顶点坐标是什么？【设计意图】：通过用配方法把二次函数y=ax 2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式来确定开口方向、对称轴和顶点坐标，来使学生对这部分知识又有了深入的了解，为今后的应用打下基础．当堂检测：1．说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：(1)y =3x 2+4x -1 (2)y =-2x 2+x +32．抛物线y =2x 2+bx +c 的顶点坐标为(-1,2),则b=________,c=_________.3．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，判断 a 0 b o c o归纳：抛物线位置与系数a ，b ，c 的关系⑴ a 决定抛物线的开口方向：a ＞0 开口向上,a ＜0 开口向下⑵a ，b 决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x = －— )①a ，b 同号＜＝＞对称轴在y 轴左侧；②b=0 ＜＝＞对称轴是y 轴；⑶a ，b 异号＜＝＞对称轴在y 轴右侧c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c ＞0 ＜＝＞图象与y 轴交点在x 轴上方；c=0 ＜＝＞图象过原点；c ＜0 ＜＝＞图象与y 轴交点在x 轴下方’⑷顶点坐标是（，）(5)二次函数有最大或最小值由a 决定.222424b ac b a x a a ??-??=++?? ???????224.24b ac b a x a a -??=++22:24:(,)24b y ax bx c x ab ac b a a=++=---的对称轴是顶点坐标是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质1．顶点坐标与对称轴2．位置与开口方向3．增减性与最值当堂检测：1．抛物线y =2x 2+8x -11的顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．不论k 取任何实数，抛物线y =a (x +k )2+k (a ≠0)的顶点都在（）A ．直线y = x 上B ．直线y = - x 上C ．x 轴上D ．y 轴上3．若二次函数y =ax 2 + 4x +a -1的最小值是2,则a 的值是（）A ．4B ．-1C ．3D ．4或-1课堂小结:本节课学习了用配方把法二次函数y =ax 2+bx +c 化成y =a (x -h )2+k 的形式来确定开口方向、对称轴和顶点坐标.作业:课本 P.38第1,2题板书设计: 5.4二次函数的图像和性质(4)导入新课：合作探究: 合作探究：函数y=ax 2+bx+c 的对称轴、顶点坐标是什么？归纳：抛物线位置与系数a ，b ，c 的关系二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质 224.24b ac b y a x a a -??=++。
九年级数学下册 26.2《二次函数的图象与性质(4)》教案 (新版)华东师大版
二次函数的图象与性质（4）y=a(x－h)2＋k的图象与性质【教学目标】1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系；2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
【重点难点】重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。
【教学过程】一、提出问题1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的)3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?二、试一试你能填写下表吗?问题1：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?问题2：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?（函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
)三、做一做问题3：你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗? 问题4：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)四、课堂练习P16练习1、2、3、4（对于练习第4题，教师必须提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式，即y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8 =－3(x2＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)2＋11）五、小结1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?2．谈谈你的学习体会。
2023年北师大版九年级数学下册《二次函数的图像与性质4》导学案
新北师大版九年级数学下册《二次函数的图像与性质4》导学案环节一 知识连接（本节课关联知识点复习巩固）1.抛物线22(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝时，y 有最 值为 .当x 时，y 随x 的增大而增大.2. 抛物线22(+1)3y x =--是由22y x =-如何平移得到的？答： 环节二 教材精读（归纳出本节课需要掌握的知识点）222y ax bx c y=ax +bx+cb =a x +x +c a==利用配方法求二次函数图像的对称轴和顶点坐标解：（）归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： 因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；对称轴是环节三 实践练习（对新知识的应用）用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①4322+-=x x y ②222++-=x x y ③x x y 42--=环节四 分层作业A 类题 评改人：1、 对于抛物线 3)5(312++-=x y ，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标 (5，3) B ．开口向上，顶点坐标 (5，－3)C ．开口向下，顶点坐标 (－5，3)D ．开口向上，顶点坐标 (－5，－3)2、二次函数 3422--=x x y ，当 x = 时，函数 y 有最 值是 . B 类题 评改人：3、二次函数y ＝2x2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1,－2),则b ＝________,c ＝_________.4、已知二次函数 52++-=bx x y ，它的图象经过点（2，－3）.（1）求这个函数关系式及它的图象的顶点坐标.（2）当 x 为何值时，函数 y 随着 x 的增大而增大？当为 x 何值时，函数 y 随着 x 的增大而减小？5、求抛物线y ＝2x 2－7x －15与坐标轴的交点坐标C 类题6、抛物线y ＝4x 2－2x ＋m 的顶点在x 轴上,则m ＝__________.7、已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）A ．a + b + c > 0B ．b ＜ −2aC ．a − b + c > 0D ．c < 08、抛物线 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 过第二、三、四象限， 则a 0，b 0，c 0环节五 小结反思一、本课知识：），，顶点坐标为（的图象的对称轴是直线二次函数a 4b -ac 4a 2b -2a b -x c bx ax y 22=++= 二、小小错题本教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。
【赛教教案】新北师版九年级数学下册课题：二次函数的图象与性质(四)教学设计
课题：二次函数的图象与性质(四)形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象与性质【学习目标】1．利用配方法将二次函数一般形式化为顶点式，进而求出对称轴和顶点坐标．2．经历二次函数一般形式转化为顶点式的过程，明确配方法的重要性．熟练转化并准确求出二次函数的对称轴和顶点坐标．【学习重点】利用配方法将二次函数一般形式化为顶点式，进而求出对称轴和顶点坐标．【学习难点】二次函数一般形式转化为顶点式在实际问题中的应用．情景导入生成问题旧知回顾：y＝a(x－h)2＋k的图象性质是怎样的？答：抛物线y＝a(x－h)2＋k可以看成由抛物线y＝ax2向上(下)和向右(左)平移得到的，平移的方向和距离由h，k的值决定，抛物线y＝a(x－h)2＋k的对称轴为直线x ＝h，顶点坐标为(h，k)，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．自学互研生成能力知识模块二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质阅读教材P39～P41，完成下面的内容：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)如何化为顶点式，其图象性质是怎样的？答：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为y＝a x＋b2a2＋4ac－b24a的形式，它的对称轴为直线x＝－b2a，顶点坐标为－b2a，4ac－b24a，当a>0时，开口向上，y有最小值，即当x＝－b2a时，y最小值＝4ac－b24a，且当x>－b2a时，y随x的增大而增大；当x<－b2a时，y随x的增大而减小．当a<0时，开口向下，y有最大值，即当x＝－b2a时，y最大值＝4ac－b24a，且当x>－b2a时，y随x的增大而减小，当x<－b2a时，y随x的增大而增大．范例1：把函数y＝－x2－4x－5配方得y＝－(x＋2)2－1，它的开口向下，顶点坐标是(－2，－1)，对称轴是直线x＝－2，最高点是(－2，－1)，当x＝－2，y有最大值是－1．仿例1：抛物线y＝3x2＋bx＋c的顶点坐标为23，0，则b＝－4，c＝43．仿例2：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( A )A．0 B．－1 C．1 D．2仿例3：如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；(2)请你设计一种平移方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．解：(1)将C(5，4)代入y＝ax2－5ax＋4a，得a＝1，∴y＝x2－5x＋4，P 52，－94；(2)∵y＝x2－5x＋4＝x－522－94，将其向左平移3个单位，再向上平移3个单位可得y＝x＋122＋34，顶点为－12，34.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
《二次函数的图象和性质(4)》导学案1
《二次函数的图象和性质（4）》导学案1第4课时 二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象和性质初三（ ）班 第组 姓名学习目标：1．配方法求二次函数一般式2y ax bx c =++的顶点坐标、对称轴； 2. 熟记二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标公式； 3. 会画二次函数一般式2y ax bx c =++的图象. 学习过程： 一、预习导入1. 二次函数()21532y x =--图象的顶点坐标是，对称轴是.2. 抛物线()2725y x =--+可以由抛物线27y x =-向平移个单位，再向平移个单位而得到.3.你会画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象吗？你知道它的开口方向、顶点坐标和对称轴吗？二、自主学习例1. 画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象，并指出它的开口方向、顶点坐标和对称轴.解： 列表：x… 3 4 5 6 7 8 9 … y ＝12x 2－6x ＋21……由上可知，它的图象是开口、顶点坐标为，对称轴是直线的抛物线.新知：3)6(212+-=x y 叫做二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的顶点式.因此，二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象可看作是将抛物线221x y =先向平移个单位，再先向平移个单位得到.(1)y＝x2－2x；(2)y＝－x2－2x(3)y＝－2x2＋8x－8 (4)y＝12x2－4x＋3B组3．若函数y=2x2+2bx+4的图象顶点在x轴上，则b的值为（）A．－2B．－1 C．2D．－224．关于函数y=2x2－8x，下列叙述错误的是（）A．函数图象过原点B．函数图象的最低点为（2，－8）C．函数图象与x轴的交点为（0，0），（4，0）D．将函数y=2x2－8x的图象向下平移8个单位，再向左平移两个单位就得y=2x2的图象5．抛物线y=x2+2mx+（m2－m+1）的顶点在第三象限，则m的范围是（）A．m<0 B．m>0 C．0<m<1 D．m>16．已知抛物线y=x2－2x－3，若点P（－2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是_______．7．二次函数y=x2－2x－5的图象是由y=x2的图象先向_____平移_____个单位，再向______平移_____个单位得到的．8．函数y=x2－2x－1配方成khxay+-=2)(的形式是______，它的顶点是_____，对称轴是______，开口向______．当x______时，y随x的增大而减小，当x______时，y随x的增大而增大；当x=_____时，y有最_____值，其值是_______．9．已知抛物线y=4x2－mx+2，当x>－2时，y随x的增大而增大；当x<－2时，y随x 的增大而减小．则当x=－1时，函数值为______．10．二次函数y=ax2+4x+a有最大值3，求实数a的值.。
初中数学学案全集之二次函数的图象和性质第4课时学案
21.2 二次函数的图象和性质(第4课时)-学案【学习目标】1.能用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x+h)2+k的形式；2.会画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，并根据图象描述出二次函数的性质；3.会求出二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标，函数y的最值；4.掌握二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象判断a、b、c的符号；5.掌握二次函数的几何变换规律；6.通过从特殊到一般、转化、数形结合等思想的学习提高解题技能。
【学习重难点】重点：用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a(x+h)2+k形式，能自主归纳出配方法的规律，会用顶点式公式求二次函数的顶点坐标、对称轴。
难点：二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数之间的关系。
【学习过程】一、知识点链接(课前练习)1.把二次函数y=-2x2的图象向左平移2单位后得到的二次函数的解析式为_________________，再向上平移1个单位所得到的二次函数的解析式为____________________________________。
2.在右图方格子中画出二次函数y=-2(x+2)2+1的图象，3.如图是二次函数y=(x+1)2-4的图象，请根据图象回答下列问题：①抛物线y=(x+1)2-4的开口方向标是___________，②抛物线y=(x+1)2-4与x轴的交点坐标是__________与y轴的交点坐标是是__________________；③当x______时，函数y随x 的增大而增大，当x______时，函数y 随x 的增大而减小。
④当x_______时，函数y 有最_______值，最大值是_____________。
4.运用完全平方公式a 2±2ab+b 2=(a ±b)2将下列各式化成完全平方式： ①x 2-2x+1=__________________,②x 2+4xy+4y 2=_____________________ ③x 2+3x+9=____________________,④m 2-10mn+25n 2=___________________二、自主探究，合作交流(一)用配方法将y=ax 2+bx+c 化成y=a(x+h)2+k 的形式，y=ax 2+bx+c=a(x 2+________)+c=a(x+______)2+c+________=a(x+_____)2+_________.用含a 、b 、c 表示出抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴_________,顶点坐标_________________。
二次函数的图像与性质4(教案)
二次函数y=a(x+h)2（a≠0）的图像与性质扬中市外国语学校潘金城一、教学目标1．会用描点法画二次函数y=a(x+h)2（a≠0）的图像，体会与二次函数y=ax2（a≠0）图像的联系；2．能类比二次函数y=ax2（a≠0）的性质探索二次函数y=a(x+h)2（a≠0）的性质，并能结合其图像理解此函数的相关性质，在经历操作、类比、归纳、概括等数学活动的过程中，渗透数形结合与特殊到一般的数学思想方法；3．在运用新知解决问题的过程中，通过自我尝试、小组编题、延伸拓展等活动，加深二次函数y=a(x+h)2（a≠0）图像与性质的理解，培养学生的创新意识，提高学生的分析、解决与提出问题的能力。
二、教学重点与难点重点：二次函数y=a(x+h)2（a≠0）的性质探究及运用；难点：二次函数y=a(x+h)2（a≠0）图像的画法与性质的探究。
三、教学过程（一）观察与猜想1．观察一次函数y=2x，y=2x-1，y=2(x+2)的图像，说明函数y=2x-1，y=2(x-1)的图像可由函数y=2x的图像经过怎样的变换而得到？2．观察二次函数y=x2，y=x2-1的图像，说明函数y=x2-1的图像可由函数y=x2的图像经过怎样的变换而得到？3．猜想：二次函数y=(x+2)2的图像可由函数y=x2图像经过怎样的变换而得到？二次函数y=-2(x-2)2的图像可由函数y=-2x2图像经过怎样的变换而得到？（二）操作与归纳1．操作：画二次函数y=(x+2)2与y=-2(x-2)2的图像；2．验证猜想；（数形结合）3．一般化：二次函数y=a(x+h)2（a≠0）的图像可由y=ax2（a≠0）的图像经过怎样的变换而得到？（学生思考、交流，几何画板演示；概括图像平移规律。
）（三）探究与发现1．观察：根据二次函数y=(x+2)2与y=-2(x-2)2的图像写出开口方向，对称轴，顶点坐标，y 随x 的变化情况；2．归纳：根据以上结论归纳二次函数y=a(x+h)2（a ≠0）的图像与性质；（小组合作）3．辨析：二次函数y=a(x+h)2（a ≠0）的图像与性质与二次函数y=ax 2的图像与性质的异同点。
苏科版九年级数学下册《二次函数的图像和性质(4)》教案-新版
2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数 y＝x2、 y＝(x＋3)2 和 y＝(x＋3)2＋2 的图像； 3．观察： （1）你能说出函数 y＝(x＋3)2＋2 的图像的形状吗？ （2）函数 y＝(x＋3)2＋2 的图像与函数 y＝(x＋3)2 和 y＝x2 的 图像有什么联系？ （3） 根据图像， 你能得出函数 y＝(x＋3)2＋2 图像的性质吗？ 4．思考：函数 y＝x2＋2x＋3 的图像是抛物线吗？它与函数 y＝(x＋1)2＋2 有何关系？
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配方与解方程配方的区别； （2）此处对学生抽象能力要求较高；可 安排学生先阅读学习课本上一般式的配方法， 再尝试自己写出来； 学有余力的学生鼓励自己 写出配方的过程， 同学在互相交流中体会怎么 实现由具体到抽象的过渡．
总结与归纳
学生先交流、尝试概括，师生共同总结出 根 据 公 式 y ＝ a(x ＋
总结与归纳
学生先交流、尝试概括，师生m)2＋k 的图像与 y＝ax2（a≠0）的 结论： 图像有什么关系？ （2）函数 y＝a(x＋m)2＋k（a≠0）有什么性质？ （1）函数 y＝a(x＋m)2＋k 的图像可以看 成由函数 y＝ax2（a≠0）的图像平移得到，当 k＞0 时，向上平移 k 个单位，当 k＜0 时，向 下平移－k 个单位；当 m＞0 时，向左平移 m 个单位，当 m＜0 时，向右平移－m 个单位． （2）函数 y＝a(x＋m)2＋k 顶点坐标是 （－m，k） ，对称轴是过（－m，k）与 y 轴平 行的直线． 学生相互交流、补充， 逐步完善函数 y＝a(x＋m)2 ＋k 的性质， 函数的增减性、 开口方向和最大（小）值要 分 a＞0 和 a＜0 来讨论．
次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是抛物
和
22.1.4一般式二次函数的图像及性质导学案
22.1.4二次函数y=ax ²+bx+c 的图象潼南区古溪初级中学教师胡明学习目标：1.知识与技能(1)能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标等性质。
(2)熟记二次函数的顶点坐标公式； 2．过程与方法通过作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生探究出二次函数一般式的图象的画法以及性质．3.育人思想让学生在探究活动中学会与人交往、和睦相处、感受探究与创新、体验成功的喜悦，从而培养主动学习的好习惯。
学习重难点：重点：通过配方法确定二次函数c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性。
难点：对二次函数c bx ax y ++=2的性质的理解以及应用它解决有关的问题。
学习方法：“试-究-升”学习方法 学习过程：一、感知与尝试知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k 有如下特点: 1.当a ﹥0时，开口，当a ﹤0时，开口， 2.对称轴是； 3.顶点坐标是。
活动一预习教材：学生预习P37－39，然后小组内讨论并完成下列问题：（1）不画图象，你能说出二次函数 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1）吗？请你试试吧！ 活动二二、合作与探究（先自己完成，然后小组内讨论完成） 一般地,对于二次函数y=ax ²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.你能把函数y=ax ²+bx+c 通过配方法化成顶点式吗？请你试试吧！216212+-=x x y类比：根据二次函数y=a(x-h)2+k 的图像和性质的得出函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质。
归纳：二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，可以化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=对称轴是直线x=。
顶点坐标是（，）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫公式法。
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【合作探索】对于二次函数 ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？配方可得：
由此可知，抛物线
对称轴，顶点坐标．
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c
3.抛物线 与x轴不相交，求m的范围？
4.求 当 时的最值。
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
【当堂训练】
1．二次函数 的对称轴是．
抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；
抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；
抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；
抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；
鸡西市第十九中学学案
班级姓名
学科
数学
课题
的
图象和性质
课型
新课
时间
2014年月日
人教版
九年级上
学习
目标
1.能通过配方把二次函数 转化成 的形式，会利用对称性画出二次函数的图象；
重点
难点
熟练地对二次函数的一般式进行配方，结合图像性质解决问题。
图像的平移变换，关键是二次函数一般式顶点坐标的推导。
学习内容
【自主探究】
二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．
2.二次函数 的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．
3.抛物线 的顶点横坐标是-2，则 =．
4．抛物线 的顶点是 ，则 =．c=．
1.抛物线顶点为（2，3）过（3，1）,求抛物线方程。
2.求 的最值，对称轴及顶点。
（下面两题注意结合图像来看）
下面通过画几个二次函数的图像，讨论一般的怎样画二次函数一般式
的图像。
1.在下面网格图上画 的函数图象；画 的函数图象；
2.画 的函数图象；（怎么能迅速画出来？）
3.画 的函数图象；
画 的函数图象；
配方可得：Biblioteka 由此可知，抛物线 开口向，顶点坐标是，
对称轴是
利用对称性画 的图像。
…
3
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8
9
…
【注意】（1）列表时选值，应以为中心，函数值y可由对称性得到．