(新课标)202x高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 题组层级快练56 圆与圆的位置关系及圆的综合
2020高考全国一轮数学理科 第九章 解析几何
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2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9
§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与抛物线的位置关系的问题.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(×)(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，准线方程是x ＝－a 4.(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(×)(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(√)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .(√)题组二教材改编2.[P69例4]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于()A.9B.8C.7D.6答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.[P73A 组T3]若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135C.145D.3答案A解析由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠5.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.6.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.7.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________.答案[－1，1]解析Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，符合题意，当k≠0时，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1且k≠0，综上，k的取值范围是[－1，1].题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.解由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1，0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2求标准方程例2设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为()A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x答案C解析由题意知，x＝－p2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF＝254，又因为圆过点(0，2)，所以y M＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为()A.y 2＝32xB.y 2＝9xC.y 2＝92xD.y 2＝3x答案D解析分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点.故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的标准方程为y 2＝3x .题型二抛物线的几何性质例3(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN 等于()A.83p 2 B.233p 2C.433p 2D.833p 2答案B解析不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p1－cos60°＋p 1＋cos60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt△PRQ 中，sin∠RPQ ＝|QR ||PQ |，∴|QR |＝|PQ |·sin∠RPQ ＝83p ×32＝433p ，由题意可知|MN |＝|QR |＝433，∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2.故选B.(2)过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为()A.53B.75C.97D.2答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝12|AB |，x 1＋2＝x 2＋2，y 1＝y 2，21＝4x 1，22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C解析以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p x ＝p2代入y 2＝2px ，可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36.(2)(2015·浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1答案A解析由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，则△BCF与△ACF的面积之比就等于|BC||AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y 轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴|BC||AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1.题型三直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B 两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点.连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程.解(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，∴y1＋y2＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是x2＝4y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，＝kx＋6，2＝4y，消去y得x2－4kx－24＝0，3＋x4＝4k，3·x4＝－24.(*)易知抛物线在点P3y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0，1)，∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0，将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角).③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程.解(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，Δ＝4p 2k 2＋8p >0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①由x 2＝2py 得y ′＝xp，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，＝x 1p x －x 212p，＝x 2p x －x 222p，解得∴N (pk ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p pk 2＋23≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略例(15分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.规范解答解(1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点为分](2)∵|RF |＝y R ＋14m，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分]＝mx 2，x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立，方程必有两个不等实根.[7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 221＋x 2＝2m，1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴即y分]得QA →1－1m ，mx 21QB →2－1m ，mx 22若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，122122分]结合(*)式化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，∵m >0，∴m ＝2.∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.[15分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.(2018·浙江省名校联考)抛物线y ＝18x 2的焦点坐标为()A.(2，0)B.(0，2)解析抛物线的标准方程为x 2＝8y ，则其焦点坐标为(0，2)，故选B.2.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|等于()A.3B.4C.6D.7答案B解析由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝23|FK |＝43，∴|BF →|＝|BH →|＝43，∴|AF →|＝3|BF →|＝4，故选B.3.抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是()A.4B.33C.43D.8答案C解析由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF为等边三角形.设m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△FAM中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.4.抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于()A.2B.4C.6D.8解析∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.故选D.5.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于()A.13B.23C.34D.43答案A解析记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则cos∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6.(2018·浙江省杭州市四校联考)直线l 交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，C (－1，2)，若抛物线的焦点F 恰好为△ABC 的重心，则直线AB 的方程是()A.2x －y －3＝0B.2x －y －5＝0C.2x －y －5＝0或2x ＋y －3＝0D.2x ＋y －3＝0答案D 解析方法一由题意知，抛物线的焦点F (1，0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，线段AB 的中点坐标为(2，－1).设直线AB 的方程为t (y ＋1)＝x －2，与抛物线方程联立，消去x 并整理得y 2－4ty －4(t ＋2)＝0，所以y 1＋y 2＝4t ＝－2，t ＝－12，则直线AB 的方程为－12(y ＋1)＝x －2，即2x ＋y －3＝0，故选D.方法二由题意知，抛物线的焦点F (1，0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，线段AB 的中点坐标为(2，－1)，所以x 1≠x 2.又A ，B 在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－2，则直线AB 的方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.7.动点P 到点A (0，2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为____________.答案x 2＝8y解析∵动点P 到点A (0，2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0，2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等.根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0，2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .8.(2018·浙江省名校协作体联考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，M 是抛物线C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若FM →＝12MN →，则|FN |＝________.答案5解析如图，过点M ，N 分别向抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1作垂线段MA ，NB ，其中MA 交y 轴于点C ，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，所以|OF |＝1，因为FM →＝12MN →，所以|MC |＝23|OF |＝23，所以|MA |＝53，由抛物线的定义可得|MF |＝53，所以|MN |＝103，所以|FN |＝5.9.(2018·湖州模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|FB |＝8，则p ＝______.答案2解析方法一由题意知，直线方程为y ＝x －p 2，得x ＝y ＋p2代入抛物线方程，得y 2＝2y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2，|AF |·|FB |＝2|y 1|·2|y 2|＝2|y 1y 2|＝2p 2＝8，得p ＝2.方法二由题意可知，1|FA |＋1|FB |＝2p ，得|FA |＋|FB |＝2p |FA |·|FB |＝16p ，即|AB |＝2p sin 245°＝16p，得p ＝2.10.如图，已知抛物线C ：x 2＝2y ，F 是其焦点，AB 是抛物线C 上的一条弦.若点A 的坐标为(－2，2)，点B 在第一象限上，且|BF |＝2|AF |，则直线AB 的斜率为________，△ABF 的外接圆的标准方程为____________.答案12＝12516解析因为|BF |＝2|AF |，所以y B ＋12＝2×Ay B ＝92，代入抛物线的方程得点BAB 的斜率k AB ＝92－23－－2＝12，直线AF 的斜率k AF ＝2－12－2－0＝－34，直线BF 的斜率k BF ＝92－123－0＝43，则k AF ·k BF ＝－1，直线AF 与直线BF 相互垂直，即△ABF 为直角三角形，则△ABF＝554，所以外接圆的标准方程为＝12516.11.(2018·浙江七彩阳光联盟联考)已知F 是抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，点P 是不在抛物线上的一个动点，过点P 向抛物线C 作两条切线l 1，l 2，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)如果点P 在直线y ＝－1上，求1|AF |＋1|BF |的值；(2)若点P 在以F 为圆心，半径为4的圆上，求|AF |·|BF |的值.解(1)因为抛物线C 的方程为y ＝x 24所以y ′＝x2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 12x －y －y 1＝0，①同理切线PB 的方程为x 22x －y －y 2＝0，②设P (x 0，y 0)，则由①②得x 1x 0－2y 1－2y 0＝0及x 2x 0－2y 2－2y 0＝0，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.由于点P 是直线y ＝－1上的一个动点，所以y 0＝－1，即直线AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，因此它过抛物线的焦点F (0，1).当x 0＝0时，AB 的方程为y ＝1，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝1；当x 0≠0时，把直线AB 的方程代入抛物线C 的方程，得y 2－(x 20＋2)y ＋1＝0，从而有y1y2＝1，y1＋y2＝x20＋2，所以1|AF|＋1|BF|＝1y1＋1＋1y2＋1＝y1＋y2＋2y1y2＋y1＋y2＋1综上可知，1|AF|＋1|BF|＝1.(2)由(1)知，切线PA的方程为y＝x12x－x214，切线PB的方程为y＝x22x－x224，联立得点设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入抛物线C：x2＝4y，得x2－4kx－4m＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以点P的坐标为(2k，－m)，所以|PF|＝4k2＋m＋12＝4，即(m ＋1)2＝16－4k2，从而|AF|·|BF|＝(y1＋1)·(y2＋1)＝(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1)＝k2x1x2＋k(m ＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝－4mk2＋4k2(m＋1)＋16－4k2＝16.12.如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y轴于点D.(1)设A(x0，x20)(x0≠0)，求直线AB的方程；(2)求|OB||OD|的值.解(1)因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝＝2x0，所以直线AB的方程为y－x20＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.(2)由题意及(1)得，点B的纵坐标y B＝－x20，所以AB设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋1 2 x0.＝my ＋12x 0，＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m2.所以1－mx 0216m 4＝x 2012m 2，解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝|y By D |＝43±6.13.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为()A.5B.6C.163D.203答案C 解析方法一如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法二如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法三如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C.14.如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，＝x＋1，＝14x2，消去x，得y2－6y＋1＝0，所以y A＋y B＝6，则|AB|＝y A＋y B＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝x2，则l AM：y－y A＝x A2(x－x A)，即y＝12x A x－x2A4，l BM：y－y B＝x B2(x－x B)，即y＝12x B x－x2B4，联立l AM与l BM＝12x A x－x2A4，＝12x B x－x2B4，解得设l AB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，＝kx＋1，＝14x2，消去y，得x2－4kx－4＝0，所以x A＋x B＝4k，x A·x B＝－4，所以y M＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，x M＝2，则④错误，故选B.15.(2019·浙江省镇海中学模拟)已知抛物线y2＝4x，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|－2|BF|的最小值为________.答案22－2解析当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝1.由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝x 1＋1x 2＋1－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1.令x 2－1＝t (t >0)，则x 2＝t ＋1，所以|AF |－2|BF |＝11＋tt 2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t ≥11＋12＋22＝21＋23＋22＝21＋2＝22－2(当且仅当t ＝2时等号成立)；当直线l 的斜率不存在时，易得|AF |－2|BF |＝1.综上，|AF |－2|BF |的最小值为22－2.16.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围.解如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x0，y 0)，21＝4x 1，22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条.当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ，得y2＝12，则有－23<y0<23，因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y20＝r2，故r2＝y20＋4<12＋4＝16.又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。
(新课标)高考数学大一轮复习第九章解析几何题组52文
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83
88
＝ 2 （ 5 ） 2－ 4× 5＝5.
x2 y2 12．(2016 ·福建福州质检 ) 已知 F1， F2 是双曲线 － ＝1(a>0 ， b>0) 的左、右焦点，若双曲
a2 b2 b 线左支上存在一点 P 与点 F2 关于直线 y＝ ax 对称，则该双曲线的离心率为 ________．
题组层级快练 ( 五十二 )
1．若过抛物线 y＝ 2x2 的焦点的直线与抛物线交于 A(x 1， y 1) ， B(x 2， y2) ，则 x1x2＝ (
)
A．－ 2
1 B．－ 2
C．－ 4
1 D．－ 16
答案 D
解析
由
y＝2x 2，得
x2＝
1 y.
其焦点坐标为
1 F(0， ) ，取直线
1 y＝ ，则其与
那么 m的值等于 (
)
3
5
A. 2
B. 2
C． 2
D． 3
答案 解析
A 因为点 A(x 1， y 1) ， B(x 2， y 2) 在抛物线 y ＝ 2x2 上，所以 y1＝ 2x12， y2＝ 2x22，两式相减，
得 y 1－ y2＝ 2(x 1－ x2)(x 1＋ x2) ，不妨设 x1<x 2. 因为直线 AB 与直线 y ＝ x ＋ m 互相垂直，所以
e＝ 5. x2 y2
13．(2016 ·上海静安一模 ) 已知椭圆 C： 2 ＋ 4 ＝ 1，过椭圆 C 上一点 P(1， 2) 作倾斜角互 补的两条直线 PA， PB，分别交椭圆 C于 A， B两点．则直线 AB的斜率为 ________． 答案 2
解析 设 A(x 1 ，y1) ， B(x 2， y2 ) ，同时设 PA的方程为 y － 2＝ k(x － 1) ，代入椭圆方程化简得 (k 2＋ 2)x 2－2k(k － 2)x ＋ k2－2 2k－ 2＝ 0，显然 1 和 x1 是这个方程的两解．因此
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 3 第3讲 圆的方程练习 理(含解析)-人教版高三全册数学
第3讲 圆的方程[基础题组练]1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A.设圆心为(0，a )，则（1－0）2＋（2－a ）2＝1， 解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A.2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A.因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2.所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8.故选A.3．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选 D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．4．(2019·某某晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选 C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.5．(2019·某某省七校联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8，0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：选A.法一：如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A (8，0)，所以直线AB 的方程为y－0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A.法二：依题意，以OA 为直径的圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85y ＝165或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，即B (85，165)，因为A (8，0)，所以k AB ＝16585－8＝－12，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A.6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1，1)，B (1，3), 若M (m ，6)在圆C 内，则m 的X 围为________．解析：设圆心为C (a ，0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝（2＋1）2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2<10，解得0<m <4. 答案：(0，4)7．圆(x －3)2＋(y －1)2＝5关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为________．解析：由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝58．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝29．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.[综合题组练]1．(应用型)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D.由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ， 所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．(创新型)设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A.855－2 B. 5 C.5－2 D.755－2 解析：选C.如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1，0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为点A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.故选C.3．(2019·某某模拟)一个圆的圆心在直线y ＝2x 上，且与x 轴的正半轴相切，被y 轴截得的弦长为23，则该圆的标准方程为________．解析：根据题意，要求圆的圆心在直线y ＝2x 上，设其圆心为(m ，2m )， 又由其与x 轴的正半轴相切，则m ＞0，则半径r ＝2m ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m )2＝4m 2，又由该圆被y 轴截得的弦长为23，则有4m 2＝3＋m 2， 解可得：m ＝±1，又由m ＞0，则m ＝1， 则该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －2)2＝44．(应用型)(2019·某某模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．解析：由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：125．(应用型)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，某某数m 的取值X 围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，所以所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.6．(创新型)在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0， 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.。
(新课标)2020高考数学大一轮复习 解析几何题组层级快练-圆的方程及直线与圆的位置关系(文)(含解析)
题组层级快练(五十五)1．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，0) D ．(0，－1)答案 D解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大．2．(2019·贵州贵阳一模)圆C 与x 轴相切于T(1，0)，与y 轴正半轴交于A ，B 两点，且|AB|＝2，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4答案 A解析 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E＝F ＝0且D<0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上(设坐标为(a ，0))，且半径r ＝|a|.∴当E ＝F ＝0且D<0时，圆心为(－D 2，0)，半径为|D 2|，圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点，但D ＝2>0，故选A.4．(2019·重庆一中一模)直线mx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定答案 A解析 方法一：圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，直线mx －y ＋2＝0恒过点A(0，2)，而02＋22＝4<9，所以点A 在圆的内部，所以直线mx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝9相交．故选A. 方法二：求圆心到直线的距离，从而判定．5．(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k(x －2)即kx －y －2k －3＝0，又因为反射光线与圆相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1⇒12k 2＋25k ＋12＝0⇒k ＝－43，或k ＝－34，故选D 项． 6．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0，1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋(y±33)2＝43B ．x 2＋(y±33)2＝13C ．(x±33)2＋y 2＝43D ．(x±33)2＋y 2＝13答案 C解析 方法一：(排除法)由圆心在x 轴上，则排除A ，B ，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a)2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan60°＝|OA||OC|＝1|OC|，所以a ＝|OC|＝33，即圆心坐标为(±33，0)，r 2＝|AC|2＝12＋(33)2＝43.所以圆的方程为(x±33)2＋y 2＝43，选C. 7．(2019·保定模拟)过点P(－1，0)作圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的两条切线，设两切点分别为A ，B ，则过点A ，B ，C 的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －1)2＝2 B ．x 2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝4 D ．(x －1)2＋y 2＝1答案 A解析 P ，A ，B ，C 四点共圆，圆心为PC 的中点(0，1)，半径为12|PC|＝12（1＋1）2＋22＝2，则过点A ，B ，C 的圆的方程是x 2＋(y －1)2＝2.8．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sinθ－2－sinθ|sin 2θ＋cos 2θ＝2. 所以直线与圆相切．9．(2013·山东，理)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知P ，A ，C ，B 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.10．(2019·湖南师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P(x ，y)，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3]答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C(0，1)到l 的距离为|1＋m|2，切线l 1应满足|1＋m|2＝2，∴|1＋m|＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)．从而－m≤－1，∴m ≥1.11．(2019·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3. ∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0.12．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7 D ．3答案 C解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ， 则|PQ|即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，∴|PM|最小值为22，|PQ|＝|PM|2－1＝（22）2－1＝7，选C.13．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．答案 (x ＋2)2＋(y －32)2＝254解析 对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0，3)，(－4，0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝254.14．从原点O 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P ，Q ，则圆C 上两切点P ，Q 间的劣弧长为________． 答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C(3，0)，半径r ＝32.在Rt△P OC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.15．若直线l ：4x －3y －12＝0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________． 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.∴△AOB 的内切圆半径r ＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.16．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析 方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C(3a ，a)，半径为r ＝3|a|.又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C(3a ，a)到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a|12＋12. ∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法二：设所求的圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2， 则圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离为|a －b|2.∴r 2＝(|a －b|2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b)2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9. 故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F.令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F.④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E)2＋56＝2(D 2＋E 2－4F)．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.17．(2019·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1. 由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程试题 理 北师大版-北师大版高三全册数学试
第九章平面解析几何 9.3 圆的方程试题理北师大版圆的定义与方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：(－D2，－E2)半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.3．(2015·)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·某某)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·某某)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·某某八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋12＋y －22，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·某某模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规X 解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋222＋D3＋22＋F ＝0，3－222＋D3－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·某某检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·某某一模)方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·某某诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －3)2＝3C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·某某模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小，|PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C. 7．(2016·某某模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0 解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·某某模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7， ∴x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －12＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
(新课标)2020高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 题组层级快练57 椭圆(一)文(含解析)
题组层级快练(五十七)1．(2015·广东，文)已知椭圆x 225＋y2m 2＝1(m>0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9答案 B解析 由4＝25－m 2(m>0)⇒m ＝3，故选B.2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 A解析 将原方程变形为x 2＋y21m＝1.由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3．(2019·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y232＝1 B.x 29＋y28＝1 C.x 29＋y25＝1 D.x 216＋y212＝1 答案 B解析 由题意知2a ＝6，2c ＝13×6，所以a ＝3，c ＝1，则b ＝32－12＝22，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y28＝1.4．(2019·佛山一模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则m n＝( )A.34B.43 C.32或233D.34或43答案 D解析 将椭圆方程标准化为x 21m ＋y21n ＝1，∵e 2＝1－b 2a 2，∴b 2a 2＝1－e 2＝34，①若a 2＝1m ，b 2＝1n ，则m n ＝34；②若a 2＝1n ，b 2＝1m ，则m n ＝43，故选D.5．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为( ) A.x 216＋y212＝1 B.x 216＋y28＝1 C.x 28＋y24＝1 D.x 28＋y22＝1 答案 B解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△AB F 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1. 6．(2019·青海西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x23＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 A解析 ∵椭圆的方程为y 24＋x 23＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案 B解析 由题意有2a ＋2c ＝2(2b)，即a ＋c ＝2b.又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理，得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．8．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y25＝1 B.x 236＋y216＝1 C.x 236＋y210＝1 D.x 245＋y225＝1 答案 B解析 设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示．由F(－25，0)，得c ＝2 5. 由|OP|＝|OF|＝|OF 1|，知PF 1⊥PF.在Rt△PFF 1中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F|2－|PF|2＝（45）2－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y216＝1.9．(2019·郑州市高三预测)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22B ．2－ 3 C.5－2 D.6－ 3答案 D解析 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt△AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝c a＝6－3，故选D.10．(2019·河南三门峡二模)椭圆x 25＋y24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN的周长最大时，△FMN 的面积是( ) A.55 B.655 C.855D.455答案 C解析 设右焦点为F′，由椭圆的定义得，△FMN 的周长C ＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2a －|F′M|)＋(2a －|F′N|)＝4a ＋|MN|－|F′M|－|F′N|≤4a，当MN 过点F′时取等号， 即当直线x ＝m 过右焦点F′时，△FMN 的周长最大． 由椭圆的定义可得c ＝5－4＝1.把x ＝1代入椭圆标准方程可得15＋y 24＝1，解得y ＝±455.所以△FMN 的面积S ＝12×2×2×455＝855.故选C.11．(2019·辽宁大连二模)焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23答案 C解析 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a＋2c)·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.12．(2019·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( ) A.22B.23C.59D.53答案 D解析 设线段PF 1的中点为M ，另一个焦点为F 2，由题意知，|OM|＝b ，又OM 是△F 2PF 1的中位线，∴|OM|＝12|PF 2|＝b ，|PF 2|＝2b ，由椭圆的定义知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2b.又|MF 1|＝12|PF 1|＝12(2a －2b)＝a －b ，又|OF 1|＝c ，在直角三角形OMF 1中，由勾股定理得(a －b)2＋b 2＝c 2，又a 2－b 2＝c 2，可得2a ＝3b ，故有4a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)，由此可求得离心率e ＝c a ＝53，故选D.13．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率为( ) A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32答案 A解析 由题意知∠F 1MF 2＝π2，|MF 2|＝c ，|F 1M|＝2a －c ，则c 2＋(2a －c)2＝4c 2，e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.14．若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________． 答案 2解析 由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，设P(2cos α，sin α)，则|OP|2＋|PF|2＝2cos 2α＋sin 2α＋(2cos α－1)2＋sin 2α＝2cos 2α－22cos α＋3＝2(cosα－22)2＋2，所以当cosα＝22时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2.15．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________． 答案 (－3，0)或(3，0)解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3，0)或(3，0)．16．(2019·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．答案 4 3解析 ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.17.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c. 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y2b 2＝1，得94a 2＋b24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.18．(2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b. 答案 (1)12(2)a ＝7，b ＝27解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac.将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点．故b 2a＝4，即b 2＝4a.① 由|MN|＝5|F 1N|，得|DF 1|＝2|F 1N|. 设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.。
(新课标)高考数学大一轮复习第九章解析几何题组46文
因为
x02 8 2 ＋ x02 ≥4(0<x
02≤ 4)
，当且仅当
x02＝ 4 时，等号成立，所以
|AB| 2≥ 8.
∴ |AB| ≥ 2 2， |AB| ＝ min 2 2.
17．已知椭圆 C的中心在原点，一个焦点为 F( － 2， 0) ，且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3.
(1) 求椭圆 C 的方程；
2c
2a
ca
2
2
2
bk，由以上二式可得 a ＝ k＝ b＋ c，即 a＝ b＋ c，即 a ＝ c ＋bc，所以 b＝ c， e＝ 2 .
x2 y2
15. 如图，已知椭圆
＋ ＝ 1(a>b>0) a2 b2
， F1，
F2
分别为椭圆的左、右焦点，
点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B.
A 为椭圆的上顶
(1) 若∠Ｆ1AB＝ 90°，求椭圆的离心率；
(2) 若椭圆的焦距为 2，且 A→F2＝ 2F→2B，求椭圆的方程．
2
x2 y2
答案 (1) 2 (2) 3 ＋ 2 ＝ 1
- 5 - / 12
解析 (1) 若∠Ｆ1AB＝ 90°，则△ AOF2 为等腰直角三角形．所以有 |OA| ＝ |OF2| ，即 b＝ c.
c2 所以 a＝ 2c，e＝ a＝ 2 .
- 4 - / 12
x2 y2 答案 16＋ 8 ＝ 1
x2 y2 解析 根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为 a2＋ b2＝1(a>b>0) ．
2 c2 ∵ e＝ 2 ，∴ a＝ 2 . 根据△ ABF2 的周长为 16 得 4a＝ 16，因此 a＝ 4， b＝2 2，所以椭圆方程
(新课标)高考数学大一轮复习第九章解析几何题组53理
)
4
A.
x2 4
－
y2
＝
1
B.
x2 2
－
y
2＝
1
x2 y2 C. 3 － 3 ＝ 1
D．
x
2－
y2 2
＝
1
答案 B
1 / 10
解析
椭圆
x2 4＋
y 2＝
1
的焦点为
(
±
3，0) ．
因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除 A，C.
又双曲线
x2 －
y 2＝
1
经过点
(2 ， 1) ，所以选
B.
2
6．(2015 ·天津
(3) 在 (2) 的条件下求△Ｆ 1MF2 的面积． 答案 (1)x 2－y 2＝ 6 (2) 略 (3)6 解析 (1) ∵e＝ 2，∴可设双曲线方程为
x2－ y2＝λ ( λ≠ 0) ．
2，且过点 P(4 ，－
5 / 10
∵过点 P(4 ，－ 10) ，∴ 16－ 10＝λ，即 λ＝ 6. ∴双曲线方程为 x2－ y2＝6.
)
2
x2 y2 A. 12－ 24＝ 1
y2 x2 B. 12－ 24＝ 1
y2 x2 C. 24－ 12＝ 1
x2 y2 D. 24－ 12＝ 1
答案 B
解析
x2 －
y2＝
1
的渐近线方程为
y＝±
2 x.
2
2
x2 2 11 ．(2015 ·北京理 ) 已知双曲线 a2 － y ＝ 1(a>0) 的一条渐近线为
8 ．已知双曲线的两个焦点
F1( － 10 ， 0) ， F2( 10， 0) ， M 是此双曲线上的一点，且
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程练习(含解析)(2021-2022学年)
第3讲圆的方程一、选择题1.已知点Ａ(１,－１），Ｂ(-1,１)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A。
x2＋y２=２B。
x2＋y2＝错误!C．x2＋y2＝1 D。
x２＋y２＝4解析AB的中点坐标为（0,0),｜AB|＝错误!＝2错误!未定义书签。
,∴圆的方程为x２+y２＝2。
答案 A2。
(2017·漳州模拟）圆（ｘ-１）2+(y－2）2=1关于直线ｙ=ｘ对称的圆的方程为（）Ａ。
(x-2)2＋(y-1）2＝1 ﻩB。
(x+１)2＋（y－2）2＝1C.（x+2)2＋（y-1）2＝1 ﻩD.(x－1)2＋（ｙ+2）２＝1解析已知圆的圆心C（1,２)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(ｘ－1)2+(y－２）２＝1关于直线y＝ｘ对称的圆的方程为(x-２)2+(y－１）２＝1，故选A.答案 A3.方程x2＋y2＋ax＋2ａy+2a２+ａ－1＝0表示圆,则实数a的取值范围是( )A.(－∞,－2）∪错误!未定义书签。
B.错误!未定义书签。
C。
(－２，0) ﻩD．错误!未定义书签。
解析方程为错误!未定义书签。
错误!未定义书签。
+（y＋a)２=1－ａ-错误!未定义书签。
表示圆，则1-a-错误!>０,解得－2＜a＜错误!．答案 D4。
(２０17·淄博调研)点P(4,－２)与圆x２＋y２=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )Ａ.（ｘ－2）2＋（ｙ＋1）2=１ B.(x-2）２＋(y+1）２=4C。
(x＋4）２+（y－2)２=4ﻩD。
(x+2)2＋(y-1)2＝1解析设圆上任一点为Ｑ（x０，y0),ＰQ的中点为M（x,y）,则错误!未定义书签。
解得错误!因为点Ｑ在圆x2+y2＝4上,所以x错误!＋ｙ错误!＝4，即(2x－4）2＋（２y+2)2＝4,化简得(x-２)２＋(ｙ+1）2＝1。
答案 A5。
(２015·全国Ⅱ卷）已知三点A(1,０),B(0,错误!),C（2,错误!未定义书签。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何训练 文
第九章 平面解析几何考纲链接1.平面解析几何初步 (1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 2．圆锥曲线与方程 (1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(4)理解数形结合的思想． (5)了解圆锥曲线的简单应用．§9.1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_______________________． ②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1|(2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22 y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0过点M (－1，m )，N (m ＋1，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D.13解：由4－m m＋2＝1，得m ＝1.故选A.直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．135°解：直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解：当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y2a ＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.故选B.已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l 的方程为____________．解：∵cos α＝45，α∈[0，π)，∴sin α＝35，k ＝tan α＝34.∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x－4y ＋8＝0.故填3x －4y ＋8＝0.下列四个命题中真命题有______个． ①经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程x a＋y b＝1表示；④经过定点(0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．解：①当k 不存在时，直线方程为x ＝x 0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k 可能不存在，不正确．故填1.类型一 直线的倾斜角和斜率(1)经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为____________，____________．解：如图所示，为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角；k ＝0时，α＝0；k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝1－（－1）2－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故填[－1，1]；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－3，故填33；－3.点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题．(1)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π解：直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4；当－1≤k <0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.故选D.(2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是____________．解：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0＜m ≤12或－23≤m ＜0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点．∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.类型二 求直线方程 根据所给条件求直线的方程．(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0. 若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34.此时直线方程为3x －4y ＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．求满足下列条件的所有直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．解：(1)根据题意，设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a＝1，得a ＝5.∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y－5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.类型三 直线方程的应用(1)已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线 l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则||PA ＋||PB 的最小值为__________．解：设点A 1(x 1，y 1)与A (4，－1)关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴||P 0A 1＝||P 0A ，||PA 1＝ ||PA .∴||PA ＋||PB ＝||PA 1 ＋||PB ≥||A 1B ＝||A 1P 0＋||P 0B ＝||P 0A ＋||P 0B .当P 点运动到P 0点时，||PA ＋||PB 取到最小值||A 1B .∵点A ，A 1关于直线l 对称，∴由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3， 即A 1(0，3)．∴(||PA ＋||PB )min ＝||A 1B ＝82＋（－1）2＝65.故填65.点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A 关于l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．(2)直线l 过点P (1，4)，且分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．①当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程； ②若|PA |·|PB |最小，求l 的方程． 解：①依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫1－4k，0；令x ＝0，可得B (0，4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9. ∴当且仅当－k ＝4－k且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.②|PA |·|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16·1＋k 2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k ＋（－k ）≥8(k <0)， 当且仅当1－k＝－k 且k <0，即k ＝－1时，|PA |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.点拨：直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点； (2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：将直线l 的方程变形得k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 过定点(－2，1)． (2)当直线l 的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l 不经过第四象限，∴k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k 且k >0，即k ＝12时等号成立，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k 的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在进行分类讨论．2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解．1．若A －B ＋C ＝0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0必经过点( )A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)解：将点(1，－1)代入Ax ＋By ＋C ＝0，得A －B ＋C ＝0，∴直线Ax ＋By ＋C ＝0必过点(1，－1)．故选C.2．下列命题中，正确的是( ) A ．直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是α B ．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α C ．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对．故选D.3．已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2，∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a＝－2或1.故选D.5．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( )A.aa ＋1 B ．－aa ＋1C.a ＋1aD ．－a ＋1a解：设直线l 的倾斜角为θ，则根据题意，有tan(π－θ)＝－tan θ＝a a ＋1，∴k ＝tan θ＝－aa ＋1.故选B.6．(2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cos α，sin α)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解：∵||AB ＝（cos α＋1）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，∴cos α＝12，sin α＝±32.当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，直线AB 的方程为y ＝－33x －33.故选B. 7．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________．解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33. 8．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是____________．解：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，∴－3≤k <0或33≤k ≤1.故填[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1. 9．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b .又S ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6.联立⎩⎨⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)∵直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，∴由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)易得BC 边的中点D 的坐标为(0，2)，∵BC 边的中线AD 过点A (－3，0)，D (0，2)两点，∴由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.11．已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解法一：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，将点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.解法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0，2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4－k ＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．∴△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.§9.2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________．3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ ．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________． 4．过两直线交点的直线系方程 若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．自查自纠：1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 2 2．相交 交点的坐标 无公共点 平行3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C 1－C 2A 2＋B 2直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解：由题意知直线l 的斜率是－32，因此直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.故选A.(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的值为( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2解：∵直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y＝0平行，∴m 1＝－12≠0，解得m ＝－12.故选A.(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，解得a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.(2015·武汉调研)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是____________．解：设直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线为l 2，则l 2的斜率为－12，且过直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点(1，1)，则l 2的方程为y －1＝－12(x －1)，即x＋2y －3＝0.故填 x ＋2y －3＝0. 已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为____________．解：设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋1|2＝2，解得c ＝1或c ＝－3.∴直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 故填x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.类型一 两条直线平行、重合或相交 已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交； (2)平行； (3)重合．解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m －2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0且m ≠2时，此时A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m， 当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m －2＝m3，解得m ＝－1或m ＝3；当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m －2＝62m，解得m ＝3. (1)当m ≠－1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解．∴l 1与l 2相交．(2)当m ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解．∴l 1与l 2平行．(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解．∴l 1与l 2重合．点拨：由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解：当m ＝0时，直线l 1，l 2，l 3可以围成三角形，要使直线l 1，l 2，l 3不能围成三角形，则m ≠0.记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝－3m ，k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.∴当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．类型二 两条直线垂直(1)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值；(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，求α的值．解：(1)法一：由已知可得l 2的斜率k 2存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，得a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0， ∴k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②可得a ＝2，b ＝2.法二：∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即b ＝a 2－a .①又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.经验证，符合题意．故a ＝2，b ＝2.(2)∵A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， ∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，α＝k π，k ∈Z .∴当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.点拨：判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(3)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m－3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，解得m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．故选A.类型三 对称问题已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又∵m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)．则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点， 则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.点拨：(1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．(2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为____________．解：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． ∴BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 故填2x －y ＋3＝0.类型四 距离问题(1)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是____________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是____________．解：(1)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解之得0≤a ≤10，∴a 的取值范围是[0，10]．故填[0，10]．(2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6. 故填2或－6.点拨：距离的求法：(1)点到直线的距离．可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离．①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0，则点A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －（－2）－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1，6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1，∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12，解得k ＝－1或k ＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标．证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0， 故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A .证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点(－1，2)．点拨：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．已知直线l ：(a ＋b )x ＋(a －b )y ＋2＝0，其中a ，b 满足3a －b ＋2＝0.求证：直线l 恒过一定点．证明：由已知得b ＝3a ＋2，则直线l 的方程可化为(4a ＋2)x －(2a ＋2)y ＋2＝0，整理得 a (4x －2y )＋2x －2y ＋2＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，2x －2y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∵点(1，2)恒满足直线l 的方程，∴直线l 恒过定点(1，2)．1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两直线垂直的条件为⎝ ⎛⎭⎪⎫－A 1B 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A 2B2＝－1，由此得A 1A 2＋B 1B 2＝0，但后者适用性更强，因为当B 1＝0或B 2＝0时前者不适用但后者适用．3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．1．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.故选A.2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解：设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，将(1，0)代入得c ＝－1.∴所求直线方程为x －2y －1＝0.故选A.3．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解：∵直线l 1与l 2关于点(2，1)对称，且直线l 1过点(4，0)，∴直线l 2必过点(4，0)关于点(2，1)的对称点(0，2)．故选B.4．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A .1710B .175C ．8D ．2 解：由题意得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线间的距离为d ＝||－3－732＋42＝2.故选D. 5．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，l 2：2x ＋y －1＝0，l 3：x ＋ny ＋1＝0.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解：∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2.∴m ＋n ＝－10.故选A.6．(2015·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解：∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D.7．过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，且与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为____________．解：设与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为3x －2y ＋m ＝0，由于其过圆心(－1，2)，所以有3×(－1)－2×2＋m ＝0，得m ＝7，所求直线方程为3x －2y ＋7＝0.故填3x －2y ＋7＝0.8．直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为____________．解法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，解得k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y－5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.解法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.故填x ＋3y －5＝0或x ＝－1.9．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解：(1)由12sin θ＝sin θ≠－11，得sin θ＝±22. 由sin θ＝±22，得θ＝k π±π4(k ∈Z )． ∴当θ＝k π±π4(k ∈Z )时，l 1∥l 2. (2)由2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0，θ＝k π(k ∈Z )，∴当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.10求直线l ：x －2y ＋6＝0关于点M (－1，1)对称的直线l ′的方程． 解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (－6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(－2，－1)， B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x －2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－x ′，y ＝2－y ′， 代入直线l 的方程得：(－2－x ′)－2(2－y ′)＋6＝0，得x ′－2y ′＝0，即x －2y ＝0为所求直线l ′的方程．11．设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C＝0， ∴C (1，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.∴CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为： y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0. 解法二：∵与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为：x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为：(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，① ∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，解得λ＝－3，代入①得2x ＋7y －5＝0. 解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0.①又AB 的中点在直线x －y －1＝0上，。
(新课标)2020高考数学大一轮复习第九章解析几何题组层级快练59双曲线(一)(文)(含解析)
题组层级快练(五十九)1．双曲线x 236－m 2－y2m 2＝1(0<m<3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0，3)，则k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653D ．－63答案 B解析 kx 2－ky28＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1.3．(2019·山东滕州月考)已知双曲线x 225－y29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于( ) A.23 B ．1 C ．2 D ．4答案 D解析 由双曲线x 225－y29＝1，知a ＝5，由双曲线定义|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴|NO|＝12|MF 1|＝4.4．(2019·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( ) A ．x 2－y23＝1B ．y 2－x23＝1C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2答案 D解析 由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D.5．(2016·课标全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，3) C ．(0，3) D ．(0，3)答案 A解析 由题意得(m 2＋n)(3m 2－n)>0，解得－m 2<n<3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n<3.6．(2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y220＝1 B.x 220－y25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 答案 A解析 根据双曲线的渐近线与直线l 平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线l 上求出c ，然后解方程组即可求出a ，b 的值．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线的方程为x 25－y220＝1.7．(2019·广东七校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( ) A.52B. 5C. 2 D ．2答案 C解析 易知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则点F(c ，0)到渐近线的距离为|bc|a 2＋b 2＝bcc＝b ，即圆F 的半径为b.令x ＝c ，则y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a ，由题意，得b ＝b2a，即a ＝b ，所以双曲线的离心率e ＝1＋b2a2＝2，故选C. 8．(2019·贵州综合测试二)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3x D ．y ＝±3x答案 B解析 由题可知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆心为(2，0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d ＝2ba 2＋b 2＝1，故4b 2＝a 2＋b 2，即3b 2＝a 2，则b a ＝33，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x.选B. 9．(2017·课标全国Ⅲ，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y210＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 25－y24＝1 D.x 24－y23＝1 答案 B解析 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B. 10．(2019·黑龙江海林模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．2 2答案 C解析 因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A 在左支，点B 在右支，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，右焦点F(c ，0)．因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，由于x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c≥4a，ca≥2，即e≥2，故选C.11．(2019·贵阳市高三监测)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，52) B ．(52，＋∞) C ．(1，54)D ．(54，＋∞)答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，且“右”区域是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y<bax ，y>－bax 所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋（b a ）2∈(52，＋∞)，选B.12．(2019·安徽黄山一诊)双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A 为双曲线上一点．若|F 1A|＝2|F 2A|，则cos∠AF 2F 1等于( ) A.32 B.54C.55D.14答案 C解析 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a.又|F 1A|＝2|F 2A|，且|F 1A|－|F 2A|＝2a ，所以|F 2A|＝2a ，|F 1A|＝4a ，而c 2＝5a 2，得2c ＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A|2－|F 1A|22|F 1F 2||F 2A|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55，故选C.13．已知曲线方程x 2λ＋2－y2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．答案 λ<－2或λ>－1解析 ∵方程x 2λ＋2－y2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.14．(2019·山东聊城期中)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________． 答案 x 2－y28＝1(x≤－1)解析 设动圆M 的半径为R ，则|MC|＝2＋R ，|MA|＝R ，∴|MC|－|MA|＝2.由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x≤－1)．15．(2019·湖南长沙模拟)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ|的最小值为________． 答案 22＋1解析 设右焦点为F 2，∵|PF 1|－|PF 2|＝22，∴|PF 1|＝|PF 2|＋22，∴|PF 1|＋|PQ|＝|PF 2|＋22＋|PQ|.当且仅当Q ，P ，F 2三点共线，且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ|最小，且最小值为F 2到l 的距离． 由题意得l 的方程为y ＝±12x ，F 2(3，0)，F 2到l 的距离d ＝1，∴|PQ|＋|PF 1|的最小值为22＋1.16．(2019·江南十校3月综合素质测试)已知双曲线C 1，C 2的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程为y ＝±1a x ，离心率分别为e 1，e 2.则e 1＋e 2的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2＝1(a>0)，双曲线C 2的方程为y 2－x 2a 2＝1(a>0)，所以e 1＋e 2＝a 2＋1a＋a 2＋1≥2a 2＋1a＝2 a ＋1a≥22(当且仅当a ＝1时等号成立)． 17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．答案 3x 22－y 22＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1，∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|.即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S△PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x 22－y22＝1.18．(2019·上海崇明一模)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y2b2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1→·PP 2→的值．答案 (1)x 2－y 22＝1 (2)29解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)， 因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 02b2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt△MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2. 由双曲线的定义可知：|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y22＝1.(2)由条件可知：两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)两条渐近线的夹角为θ，由题意知cosθ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 02－y 02＝2.所以PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 02－y 02|3·13＝29.。
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题组层级快练(五十六)1．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．2．(2019·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d|OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3.3．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210答案 C解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，连接AC ，BC ，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C. 4．(2019·保定模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A ．(3，2)B ．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋（33）2＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.5．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c 的值是( )A．－3 B．3C．2 2 D．8答案 A解析由题知圆心为(2，－1)，半径为r＝5－c.令x＝0得y1＋y2＝－2，y1y2＝c，∴|AB|＝|y1－y2|＝21－c.又|AB|＝2r，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.7．(2019·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x－2)＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.8．已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是( ) A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0答案B解析 设P(x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.9．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．10 2 C ．15 2 D ．20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25， 所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝10 2. 10．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.11．(2019·四川南充期末)若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0答案D解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P(0，1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C(1，0)，半径为r ＝2.则易知定点P(0，1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l 时，此时直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.12．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 依题意，双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b2a2＝1＋3＝2，选择A. 13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14．(2017·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.15．在不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0，x ≤3，表示的平面区域内作圆M ，则最大圆M 的标准方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析 不等式组构成的区域是三角形及其内部，要作最大圆其实就是三角形的内切圆，由⎩⎨⎧x －3y ＋3＝0，x ＋3y ＋3＝0，得交点(－3，0)， 由⎩⎨⎧x －3y ＋3＝0，x ＝3，得交点(3，23)， 由⎩⎨⎧x ＋3y ＋3＝0，x ＝3，得交点(3，－23)，可知三角形是等边三角形，所以圆心坐标为(1，0)，半径为(1，0)到直线x ＝3的距离，即半径为2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 答案 (1)y 2－x 2＝1(2)x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3 解析 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 02－x 02＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.17．(2019·广东汕头模拟)已知圆C 经过(2，4)，(1，3)，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点． (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．答案 (1)(x －2)2＋(y －3)2＝1 (2)①AM →·AN →为定值，且定值为7 ②y＝x ＋1解析 (1)设圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值．过点A(0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT|2＝7， ∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT|2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k2，x 1x 2＝71＋k2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1，又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。