【精选】高中数学4.3空间直角坐标系课时作业新人教A版必修2
人教A版高中数学必修2《4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_10
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
高中数学 第四章 圆与方程 4.34.3.2 空间两点间的距离
4.3.2 空间两点间的距离公式A级基础巩固一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(3，1，5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )A．(－3，1，5) B．(－3，－1，5)C．(3，－1，－5) D．(－3，1，－5)解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3，1，5)．答案：A2．点P(2，3，4)到y轴的距离是( )A.13 B．2 5C．5 D.29解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，所以|PP′|＝22＋42＝20＝2 5.答案：B3．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.答案：D4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(02，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2 5 B．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1，2，1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2，1)，故|BC |＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.答案：B二、填空题6．如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A 的坐标是_________．解析：点A 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影分别是B 1、D 1、C ，故A 点坐标为(1，－1，－1)．答案：(1，－1，－1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)所以C 1(－3，3，2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213， 所以正方体的棱长为2133＝2393. 答案：23938．给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2)的距离为30，则P 点坐标为______________________________．解析：设点P 的坐标为(x ，0，0)，由题意，得|P 0P |＝30，即（x －4）2＋12＋22＝30. 所以x ＝9或x ＝－1.所以P 点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)三、解答题9．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，求：(1)线段AB 中点的坐标和A 与B 的距离；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件，并指出方程表示什么图形．解：(1)M (x ，y ，z )是AB 的中点，则x ＝3＋12＝2， y ＝2＋02＝1，z ＝1＋42＝52， 所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，1，52. 两点间的距离|AB |＝（1－3）2＋（0－2）2＋（4－1）2＝17.(2)由P (x ，y ，z )到A 、B 两点的距离相等． 则（x －3）2＋（y －2）2＋（z －1）2＝（x －1）2＋（y －0）2＋（z －4）2，化简得4x ＋4y －6z ＋3＝0.即到A 、B 的距离相等的点的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋4y －6z ＋3＝0.方程表示的图形是线段AB 的垂直平分面．10.如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)， 由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B 级 能力提升1．在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：对于①，点P (a ，b ，c )关于横轴的对称点为P 1(a ，－b ，－c )，故①错；对于②，点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(－a ，b ，c )，故②错；对于③，点P (a ，b ，c )关于纵轴的对称点是P 3(－a ，b ，－c )，故③错；④正确．答案：C2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0，1，1)，C (0，1，0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以 |EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：418 3．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、AB 、C 1B 1、CB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)在四边形ABB 1A 1内找一点P ，使△ABP 为正三角形．(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为以AB 为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)因为EF 是AB 的中垂线，在平面ABB 1A 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，A (2，0，0)，B (0，4，0)，设点P 坐标为(1，2，z )，由|PA |＝|AB |，得 （1－2）2＋（2－0）2＋（z －0）2＝20， 所以z 2＝15.因为z ∈[0，4]，所以z ＝15，故平面ABB 1A 1内的点P (1，2，15)使得△ABP 为正三角形．(2)设MN 上的点Q 坐标为(0，2，z )．因为△AQB 为直角三角形，所以|QF |＝12|AB |. 即（0－1）2＋（2－2）2＋（z －0）2＝1220，整理，得z 2＋1＝5，所以z 2＝4.因为z ∈[0，4]，所以z ＝2.故MN 上的点Q (0，2，2)使得△AQB 为直角三角形．。
数学人教版必修2(A) 空间直角坐标系(共2课时)
空间直角坐标系第一课时 空间直角坐标系教学要求： 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。
教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.复习准备：1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图，,,,,OBCD D A B C -是单位正方体.以A 为原点，分别以OD,O ,A ,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x 轴.y 轴.z 轴。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
2. 右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。
大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
3.有序实数组1）.间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)M x y z （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标 思考：原点O 的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。
3）.例题1：在长方体,,,,OBCD D A B C -中，,3,4, 2.OA oC OD ===写出,,,,,,D C A B 四点坐标.（建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论：若以C 点为原点，以射线BC 、CD 、CC 1 方向分别为ox 、oy 、oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。
）4.练习：V-ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。
高中数学人教A版必修二4.3.2 空间两点间的距离公式
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x 2 2 2 3 2 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2, PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
小结
• 空间两点间的距离公式：
• 点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公式：
问题解决
1、在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) C(0,2,0)
B(1,0,5) D(1,3,4)
A B
D C
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
z
P1
P2
O
y
x
P1P2 MN x1 x2 2 y1 y2 2
思考9:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2
的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考10:在上述图形背景下，点P1（x1，y1，z1）与P2 （x2，y2，z2）之间的距离是
它对任意两点P1、P2都成立吗？
z
O
P
y
x
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】
人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
贵州省遵义市第一中学人教A版高一必修二 4.3 空间直角坐标系_课件4(共33张PPT)
z • P3
B
1
•o
x
x
•
P1
1
1
A
•P
y
• P2 y
C
z
z P1
1
P点坐标为 (x,y,z)
xБайду номын сангаас
•o
1
1
xM
P
•
yy
N
•P0
(-,-,+)
Ⅲ
(+,-,+) yz面
Ⅳ
xy 面
(-,-,-)
Ⅶ
x
Ⅷ
(+,-,-)
z zx 面
(-,+,+)
Ⅱ
•O
Ⅰ
y (+,+,+)
Ⅴ
(+,+,-)
Ⅵ
(-,+,-)
z
D B M’
(6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z) (7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)
空间直角坐标系
1、空间直角坐标系的建立(三步) 2、空间直角坐标系的划分(八个卦限) 3、空间中点的坐标(一一对应) 4、特殊位置的点的坐标(表格) 5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号
z
1、空间直角坐标系的建立
在空间取定一点O (原点)
1
从O出发引三条两两垂直的直线
•
O1
y
(坐标轴)
1
选定某个长度作为单位长度 x Z
作图：一般的使
角xOy=135°，角yOz=90°
右手系
Y
X
二、讲授新课 z
O为坐标原点 x轴,y轴,z轴叫 坐标轴
D'
人教A版高中数学必修二4.3.空间直角坐标系课件
【变式练习】 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|
=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′与B′D′相交于点P.
分别写出点C，B′，P的坐标. z
答案：ห้องสมุดไป่ตู้
D
A
P
C
B
AO x
Cy B
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图（1）是食 盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 1 的小正
z
在空间中，到定点的距离
等于定长的点的轨迹是 以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
P
O y
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？
如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、
轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x, y, z)
确定的点M. z
R
pO x
M y
Q
这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组 (x, y, z)
来表示，有序实数组 (x, y, z) 叫做点M在空间直角坐标 系中的坐标，记作M (x, y, z).其中 x, y, z
分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.
关于谁对称谁 不变
在空间直角坐标系中，若 已知两个点的坐标，则这两点 之间的距离是惟一确定的，我 们希望有一个求两点间距离的 计算公式，对此，我们从理论 上进行探究.
y
y2
P2(x2, y2)
y1 P1(x1,y1) Q(x2,y1)
O x1
x2 x
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
高中数学 4.3.1空间直角坐标系教案 新人教A版必修2
空间直角坐标系复习课教学设计1．教学内容解析《空间直角坐标系》是人教A版必修2第四章《圆与方程》中第三节的内容．是“坐标法”在空间中的推广，又是学生以后学习“空间向量”的基础．重点：进一步学习建立空间直角坐标系的方法，深化建系的关键：垂直关系；进一步探究复杂空间几何体中点的坐标表示；使学生形成系统的知识结构．难点：复杂空间几何体中点的坐标表示；“坐标法”的应用．2．教学目标设置（1）知识与技能：掌握各种常用空间几何体的建系方法，能解决较复杂空间图形的建系问题；能写出某些复杂空间几何体中点的坐标；能用空间中两点间的距离公式，解决某些具体问题．（2）过程与方法：运用类比与转化，建立空间直角坐标系与平面直角坐标系之间的联系；运用归纳，从特殊到一般，总结出建系的方法与表示点坐标的方法．（3）情感、态度与价值观：体会二维空间到三维空间的推广；体会“坐标法”在空间图形中的应用，数与形的统一，用代数方法解决几何问题的思想．3．学生学情分析学生刚刚学习了“空间直角坐标系”与“空间中两点间的距离公式”这两个内容，对建系、点的坐标表示有一定的基础．同时也学习了“空间几何体”与“直线、圆的方程”，对柱、锥、球体有一定的认识与了解，对“坐标法”解决几何问题的思想也有一定的了解．但学生在前两节课中，更多地是在立方体、长方体等较简单的空间几何体中建立直角坐标系，在坐标系概念、点与坐标的对应上研究得更多．对各种空间几何体建系方法尚未总结．对具体的空间图形中的点（如斜棱柱的某些顶点、几何图形翻折后的点）的坐标，认识不够清晰．4．教学策略分析本节课运用探究式教学．第一环节是知识回顾，由教师引导，对前两节课的知识点进行简单的梳理．第二环节通过变式教学，对各种空间几何体进行分类：直棱柱、有线面垂直的棱锥、有面面垂直的棱锥或棱柱、正棱锥……由易到难，层层递进，使学生对建立空间直角坐标系的方法有一个更深的认识．同时，通过对具体问题（斜四棱柱）的探究，使学生对点的表示形成一个更清晰的认识．第三环节通过对几个不同的实例：确定外接球球心问题、翻折问题的探究，深化用代数方法解决几何问题的思想．本节课采用PPT 教学．同时，教师把要研究的几何体图形印成讲义，课前发给学生，免去了学生作图的环节，节约上课时间．5．教学过程第一环节：知识点的回顾．（结合课件，教师引导，学生回答．） 建立空间直角坐标系的意义：用代数方法解决几何问题．①空间直角坐标系的构成，三要素：原点、坐标轴、单位长度；与平面直角坐标系的联系；右手系建系；②空间中点的坐标名称及表示方法：找到空间中点在平面xOy 上的射影，求出射影点的横、纵坐标，即为该点的横、纵坐标，该点在z 轴上的投影，即为竖坐标；③空间中两点的距离公式．第二环节：深化并归纳较复杂空间图形的建系方法；探究空间图形中某些特定的点的坐标表示． 例1．为下列空间几何体建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． （1）直四棱柱 ①正方体1111ABCD A BC D -，棱长为1；②长方体111112,3ABCD A B C D AB AA BC -===,；（学生较熟悉，课件直接展示建系结果，使仅量多的顶点在坐标轴上，轴上点的坐标表示更简单．）③所有棱长都为1，底面是菱形，60ABC ∠=；zx yz x yAC（让学生探究不同的建系方式，体会直棱柱中侧棱垂直底面的作用．）（2）棱锥，①侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，1,60PA AB ABC ==∠=；②侧棱PA ⊥底面ABC ，1,PA AB ABC ==∆是正三角形； ③正四棱锥,P ABCD PO -⊥面,1ABCD PO AB ==；，（四棱柱变为四棱锥，四棱锥变为三棱锥；侧棱PA 垂直底面变为高PO 垂直底面，建系类型与（1）相同，关键是“线面垂直”．底面还可以变为其它形状，如直角三角形、梯形等等．在②中可能会有学生取AC 中点或BC 中点做为坐标原点，可以引导学生比较几种不同建系方式的特点，如以A 点为坐标原点，可使其余各点的坐标为正数；若以线段BC 中点为坐标原点，可使,B C 点的坐标体现出对称性；若以AC 中点做为坐标原点，则可以自然过渡到下一类型：“面面垂直”……这部分对学生来说不难，因此只要提炼出方法，PPT 演示，不需要每个题都详细解答．）例2．（1）四棱锥P ABCD -，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形， PAB ∆是正三角形，30,3,ABC AB BC ∠===（2）四棱柱1111ABCD A B C D -，面11AA D D ⊥面ABCD ．底面ABCD 是等腰梯形，zyx//,22,60AD BC AD BC BAD ==∠=．侧面11AA D D 是菱形，160A AD ∠=，建立恰当的空间直角坐标系，并写出相应各顶点的坐标．（利用转化思想，引导学生把面面垂直转化为线面垂直，建立空间直角坐标系．有面面垂直的柱及棱锥的建系都是同一类型．提醒学生，xOy 平面上点坐标的表示，可单独把该面画成平面直角坐标系，就能更清楚地体现各点的坐标．其它坐标平面内的点可类似得到，（2）中的1D 点的坐标就容易表示了．而对（2）中11,B C 点的坐标表示，部分学生会略感困难．引导学生利用面面垂直，找出这几点在平面xOy 上的射影就在直线BC 上，进而求出它们的坐标．通过该题使学生在具体实例中进一步体会复杂图形中点的坐标表示方法，关键点为：找射影．）通过以上图形的变化，引导学生归纳出建立空间直角坐标系的方法： 1． 利用线面垂直建立空间直角坐标系；2． 把面面垂直转化为线面垂直，进而建立空间直角坐标系．第三环节：用空间中两点间的距离公式解决实际问题．例3．正三棱锥,2P ABC AB -=，高3PO =．（1）建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点对应的坐标； （2）试确定其外接球球心O '的位置．（类比正四棱锥的建系方式，学生容易想到利用高OP 来建立z 轴，这样坐标原点就确定下来了．那么学生也会自然地利用底面三角形的高，来建立x 轴或y 轴．当然也可能有学生会利用A 点或底面棱中点来作为坐标原点，可引导学生比较各种建系方式的不同．）（对第（2）小题，学生容易想到球心就在高OP 上，这样确定了球心的横、纵坐标．接下来只要设一个竖坐标．只有一个未知数，再找一个条件即可求解．如上图建立空间直角坐标系，设(0,0,)O h '，由O P O B ''=，得224(3)3h h -=+，解之，得2318h =．即O '坐标为23(0,0,)18．举一反三，教师引导学生推广求其它几何体的外接球球心的方法：设球心(,,)x y z ，三个未知数，只要找到三个条件，即球心到球面上三个点的距离都相等，列出三元一次方程组，解方程既可．）y例4．如图， 在矩形A B C D 中，点,E F 分别在线段,AB AD 243A E EB A F F D ====.沿直线EF 将AEF V 翻折成1A EF ∆1A EF C --是直二面角.（1）建立恰当的空间直角坐标系，求1A 点的坐标；（2）点N 在线段BC 上，沿直线DN 将CDN ∆翻折成1C DN ∆，当二面角1C DN C --为120时，1C 到底面ABCD 的距离恰为1A 与1C 之间的距离；（可引导学生比较不同的建系方式，如坐标原点在A 点时，各点的坐标较简单．对于1A 点和1C 点的坐标表示，学生会直接过1A 点和1C 点作底面的垂线，1A 点射影的具体位置可以确定，但1C 点的则不能．教师引导学生从翻折图形的重要特征，即翻折前与翻折后哪些量保持不变入手．不妨让学生拿一张纸，实际翻折一下，学生会更直观地体验到，1C 的射影位置，其实是在过C 点，且垂直于DN 的直线上，这条垂直于DN 的直线经翻折后，恰构成了二面角1C DN C --的平面角，问题迎刃而解．同时，教师提醒学生注意翻折前的CD 与翻折后的1C D 为同一线段，或者翻折前后的CDN ∆与1C DN ∆全等，因此CD 与1C D 长度相同，为接下来的计算，以及下一小题的解决做个铺垫．） （3）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C与1A 重合，求线段FM 长．（本题是2010年浙江省的高考题．本题的难点在直线MN 的位 置不确定，需要学生有一定的空间想象能力，画出翻折后的空间 图形，并牢牢抓住翻折前后不变的量这一关键．利用线段相等， 来求出点M 的坐标．如图建立空间直角坐标系，则M 点的坐标可设为(4,0,0)x +，这里只有一个未知量，因此只要再找一个条件即可．注意到1A M CM =，而C 与1A 坐标已知，1(10,8,0)A C ，可列出方程22(42)48(410)64x x +-++=+-+，解出214x =，即FM 长．）第四环节：小结．本节课继续学习了空间直角坐标系在各种空间图形中的建法；复杂空间图形中点坐标的表示方法；特殊问题，如翻折问题中点坐标的表示法；空间两点间距离公式在解决实际问题中的应用……以上可让学生各抒己见． 作业：略．。
4.3.1 空间直角坐标系-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修二)
④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(-x，-y，z)； ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，-z)； ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(-x，y，z)； ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，-y，z).
【补偿训练】已知点P(2，-5，8)，分别写出点P关于 原点，x轴，y轴，z轴和xOz平面的对称点.
0
பைடு நூலகம்
1
z 2
0
，
x0 1,
得
y0
所1, 以M
(-1，-1，-1
).
z0 1,
【补偿训练】已知点P(1，2，3)，Q(-3，5，2)，它们 在平面xOy内的投影分别是P′，Q′，则P′，Q′的坐 标分别为________.
【解析】因为点P(1，2，3)，Q(-3，5，2)它们在平 面xOy内的投影分别是P′，Q′， 所以P′(1，2，0)，Q′(-3，5，0). 答案：(1，2，0)，(-3，5，0)
【解析】选C.点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知 其坐标为(1，1，1).
2.点P(-1，2，3)关于zOx平面对称的点的坐标为
()
A.(1，2，3)
B.(-1，-2，3)
C.(-1，2，-3)
D.(1，-2，-3)
【解析】选B.因点P(-1，2，3)关于zOx平面对称，则
对称点P′的坐标应为P′(-1，-2，3).
【方法总结】求空间中点P(a，b，c)的位置的四个步 骤 (1)在平面xOy内作出点P′(a，b，0). (2)过点P′作垂直于平面xOy的直线l. (3)在l上结合z的值与正负截取. (4)得点P(a，b，c).
类型三 空间中点的对称问题 【典例3】在空间直角坐标系中，点P(-2，1，4). (1)求点P关于x轴的对称点的坐标. (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标.
高中数学必修2(人教A版)教案—4.3.1空间直角坐标系
4. 3.1空间直角坐标系（教案）【教学目标】1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．【教学重难点】重点：求一个几何图形的空间直角坐标。
难点：空间直角坐标系的理解。
【教学过程】一、情景导入1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．二、合作探究、精讲点拨1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。
4.3.1空间直角坐标系空间两点间的距离公式课时作业高一数学人教A版必修2 第四章圆与方程
课时作业29 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( )A ．(－1,2,3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3) 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( ) A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5) 3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13) D ．(2,2，43) 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( ) A ．9 B.29 C ．5D ．2 6 5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6 6．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 7．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝10.8．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为．9．已知空间点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则点A 到平面yOz 的距离是.10.如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．11．(1)已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)，①在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．12．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.6313．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于2393. 15．在空间直角坐标系中，已知点A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M 满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等边三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，课时作业29 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( B )A ．(－1,2,3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3)解析：关于x 轴对称，横坐标不变． 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( A )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)解析：关于yOz 平面对称，y ，z 不变．3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( D )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13) D ．(2,2，43) 解析：∵EB ⊥xOy 平面，而B (2,2,0)，故设E (2,2，z )，又因|EB |＝2|EB 1|， 所以|BE |＝23|BB 1|＝43， 故E (2,2，43)． 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( B )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6 解析：由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( B )A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6 解析：|AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54.∴|AB |min ＝54＝3 6.6．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( C )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由两点间的距离公式得|AB |＝89，|BC |＝14，|AC |＝75，满足|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，故选C.7．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝10.解析：∵点B 的坐标为B (2，－3，－5)，∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.8．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为(0,0,3)．解析：设P (0,0，c )，由题意得(0－1)2＋(0＋2)2＋(c －1)2 ＝(0－2)2＋(0－2)2＋(c －2)2解之得c ＝3，∴点P 的坐标为(0,0,3)．9．已知空间点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则点A 到平面yOz 的距离是2或6.解析：∵|AB |＝26，∴(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝24，即(x －2)2＝16，∴x ＝－2或x ＝6，∴点A 到平面yOz 的距离为2或6.10.如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．解：点A 在x 轴上，且OA ＝1，∴A (1,0,0)．同理，O (0,0,0)，C (0,2,0)，O 1(0,0,3)．B 在xOy 平面内，且OA ＝1，OC ＝2，∴B (1,2,0)．同理，C 1(0,2,3)，A 1(1,0,3)，B 1(1,2,3)．∴O 1B 1的中点P 的坐标为(12，1,3)． 11．(1)已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)，①在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．解：(1)①设P (a,0,0)，则由已知得(a －1)2＋(－2)2＋12＝(a －2)2＋4，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P 点坐标为(1,0,0)．②设M (x,0，z )，则有(x －1)2＋(－2)2＋(z ＋1)2 ＝(x －2)2＋(z －2)2，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0.故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．(2)由已知，可设M (x,1－x,0)，则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51.所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M (1,0,0)．12．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( A ) A.62 B. 3 C.32 D.63解析：设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 13．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( C )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定解析：(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2的几何意义是动点P (x ，y ，z )到定点(1,1，－1)的距离为2的点的集合．故选C.14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于2393. 解析：设正方体的棱长为a ，由|AM |＝9＋4＋0＝13可知，正方体的体对角线长为3a ＝213，故a ＝2133＝2393. 15．在空间直角坐标系中，已知点A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M 满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等边三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)假设在y 轴上存在点M 满足|MA |＝|MB |.由点M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然此式对任意y∈R恒成立，故y轴上所有的点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使得△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任意一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB为等边三角形．因为|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，所以10＋y2＝20，解得y＝±10.故在y轴上存在点M使得△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。
最新人教A版高中数学必修二全册同步课时跟踪练习
最新人教A版高中数学必修二全册同步课时跟踪练习棱柱、棱锥、棱台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征中心投影与平行投影及空间几何体的三视图空间几何体的直观图柱体、锥体、台体的表面积与体积球的体积和表面积平面空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系直线与平面、平面与平面平行的判定直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程两条直线的交点坐标、两点间的距离点到直线的距离、两条平行线间的距离圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用空间直角坐标系棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、题组对点训练对点练一棱柱的结构特征1．下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选A三棱柱只有面对角线，没有体对角线．2．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是()A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱解析：选D解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义，正确；图③不满足侧面都是平行四边形，不正确．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱对点练二棱锥、棱台的结构特征4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个 D.4个解析：选D三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.5．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．6．下列四个几何体为棱台的是()解析：选C棱台的底面为多边形，各个侧面为梯形，侧棱延长后又交于一点，只有C 项满足这些要求．对点练三多面体的表面展开图7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()解析：选C本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.8．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④ D.①②解析：选C可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D，M，R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．答案：②④二、综合过关训练1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．以下有三个结论：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③侧面都是矩形的棱柱是长方体．正确的个数是()A．0 B．1C．2 D.3解析：选A由棱柱、棱锥定义知①②错；侧面都是矩形的棱柱可能是斜棱柱，故③错．3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析：选A两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．4．下列说法正确的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：选D选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．5．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七6．如图所示平面图形沿虚线折起后，(1)为________，(2)为________，(3)为________．解析：结合棱柱、棱锥的概念可知，(1)是四棱柱，(2)是三棱锥，(3)是四棱锥．答案：四棱柱三棱锥四棱锥7．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．8．如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．解：作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4 cm，OB＝3 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝5 cm.所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、题组对点训练对点练一旋转体的结构特征1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D.①和④解析：选D根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球 D.圆台解析：选C圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．答案：①对点练二简单组合体4．下列几何体是简单组合体的是()解析：选D A选项中的几何体是圆锥，B选项中的几何体是圆柱，C选项中的几何体是球，D选项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．5．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．6．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．对点练三有关几何体的计算7．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B.8π C.4π D.2π解析：选B由题意可知，假设围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r，则2πr＝4，所以r＝2π，所以截面是长为2，宽为4π的矩形，所以截面面积为2×4π＝8π.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，截面面积为8π.8．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.解析：h＝20 cos 30°＝103(cm)．答案：10 3二、综合过关训练1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.2．下列说法中正确的个数是()①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1 C．2 D.3解析：选C①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．3.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()解析：选D结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．4．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是()A．1B．7C．3或4 D.1或7解析：选D如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.5．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 2 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为a，则a2＝1－22a1，即a＝2 2.答案：22cm7.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14 (cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.中心投影与平行投影及空间几何体的三视图一、题组对点训练对点练一平行投影和中心投影1．直线的平行投影可能是()A．点B．线段C．射线 D.曲线解析：选A直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.2．下列的四个图形中采用中心投影画法的是()解析：选A根据平行投影和中心投影的画法规则，B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形，而A选项中的图形采用的是中心投影画法．3.如图，E，F分别是正方体ABCD-AB1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③对点练二简单几何体的三视图4．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱 D.上面为棱台，下面为圆柱解析：选C结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．5．如图所示的几何体中，正视图与侧视图都是长方形的是________．解析：(2)的侧视图是三角形，(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：(1)(3)(4)6．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．解：三视图如图所示．对点练三由三视图还原空间几何体7.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为() A．217 B．2 5C．3 D.2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．∵ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON2＝22＋42＝2 5.8．如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是________．解析：由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥．答案：正四棱锥9．如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图，其中图(1)是________，图(2)是________，图(3)是________(写出视图名称)．解析：由几何体的位置知，(1)为正视图，(2)为侧视图，(3)为俯视图．答案：正视图侧视图俯视图二、综合过关训练1．下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D矩形的平行投影可能是线段，平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线．因此A、B、C均错，故D 正确．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.3.某个游戏环节，玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为()解析：选A由题意知，图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图，结合选项中给出的图形分析可知，A中几何体满足要求．故选A.4．在一个几何体的三视图中，正视图和侧视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为()A．①②B．②③C．③④ D.②④解析：选D若俯视图为图①，则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：76．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 47．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，求三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P -ABC 的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形， 其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时，其俯视图的面积最小， 最小面积S 2＝12×1×1＝12，所以三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.空间几何体的直观图一、题组对点训练 对点练一 斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A ′＝( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D.90°解析：选C 在画直观图时，∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴，而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点解析：选B 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直． 3．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D 由斜二测画法规则可知，平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是 ( )A．①②B．②③C．②④ D.③④解析：选D原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．对点练二由直观图还原平面图形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长为22，结合各选项可知选A.7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ACC．BC D.AD解析：选B由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．8.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2D.4 2解析：选C在△AOB中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝22，且∠AOB＝90°，S△AOB＝12OA·OB＝12×1×22＝ 2.二、综合过关训练1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500，11 000，1500计算，最后单位转化为cm.2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32) cm D.(2＋23) cm解析：选B直观图中，O′B′＝2，原图形中OC＝AB＝(22)2＋12＝3，OA＝BC ＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为()A．2 2 B. 2C．16 2 D.1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴，所以在△ABO 中，AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16，所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8，所以A ′B ′＝4.如图，作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′，所以B ′C ′＝A ′C ′，所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4 的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原平面图形的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC ，垂足为E .∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1.由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋227.如图，四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与O 重合， 在x 轴上取点C ，使AC ＝2， 再在y 轴上取点D ，使AD ＝2， 取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ， 使DE ＝EB ，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形A ′B ′C ′D ′的原图形(也可以过点C 作BC ∥y 轴，且使CB ＝AD ＝2，然后连接AB ，DC )，如图所示．易知四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝2，AC ＝2，∴S ▱ABCD ＝2×2＝2 2. 8．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54D.36解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫94 2＝81π4.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S底＋S 侧＝6π. 答案：6π对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π38．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其体积为2×2×2－13×1×22＝203.答案：203对点练三 求几何体体积的方法9.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积VA -A 1EF ＝VE -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 3 二、综合过关训练1．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 棱柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，。
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】
人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考 斐波那契数列阅读与思考 估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和阅读与思考 九连环探究与发现 购房中的数学小结复习参考题第三章 不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 阅读与思考 错在哪儿信息技术应用 用Excel 解线性规划问题举例3.4 基本不等式2ab b a +≤小结复习参考题选修1－1第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换3.伸缩变换4.投影变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用nα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
高一数学人教版A版必修二课件：第4章4-3空间直线坐标系
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2,0,3)位于( A )
A.xOz平面内
B.yOz平面内
C.y轴上
D.z轴上
解析 因为点P的纵坐标y＝0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内.
解析答案
类型三 空间中点的对称问题 例3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标. 解 过A作AM⊥平面xOy于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|， 则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1). 过A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B， 使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)， ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)， 关于x轴对称的点为B(1，－2,1).
2.求空间对称点的规律方法 (1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
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4.3.2 空间两点间的距离公式
学习目标
1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程； 2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、
BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝ 1 4
|CD|，H为C1G的中点，试建立适
当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标.
解析答案
类型二 已知点的坐标确定点的位置 例2 在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6). 解 方法一 第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位， 第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位， 第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P. 方法二 以O为顶点构造长方体， 使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上， 且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.
2019高中数学4.3空间直角坐标系讲义含解析新人教A版必修2
4.3 空间直角坐标系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P134～P137，回答下列问题．(1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？提示：如图所示，设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．(3)设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.①M、N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？②若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，点P1，P2间的距离如何？提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝x1－x22＋y1－y22.②如图，在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.2．归纳总结，核心必记(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．(4)空间两点间的距离公式①点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离，|OP|＝x2＋y2＋z2.②任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离，|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[问题思考](1)给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？提示：是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的坐标？；(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？.(1)如图数轴上A点、B点．(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置．(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？[思考1] 上述(1)中如何确定A、B两点的位置？提示：利用A、B两点的坐标2和－2.[思考2] 上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．[思考3] 对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．讲一讲1．建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．(链接教材P135—例1)[尝试解答] 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．空间中点P坐标的确定方法(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y、P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．练一练1．如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．讲一讲2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[尝试解答] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．练一练2.保持本解中的点P不变，(1)求点P关于y轴的对称点的坐标；(2)求点P关于yOz平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点N(－5,4,3)的对称点的坐标．解：(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(2,1，－4)．(2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(2,1,4)．(3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得－5＝－2＋x2，4＝1＋y2，3＝4＋z2，即x＝2×(－5)－(－2)＝－8，y＝2×4－1＝7，z＝2×3－4＝2，故P3(－8,7,2).(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．[思考1] 如何求数轴上两点间的距离？提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.[思考2] 如何求平面直角坐标系中P、Q两点间距离？提示：d＝|PQ|＝a－m2＋b－n2.[思考3] 若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．讲一讲3．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，试判断△ABC的形状．[尝试解答]|AB|＝－4＋2＋－1－2＋－9＋2＝49＝7，|BC|＝－10＋2＋＋2＋－6＋2＝98＝72，|AC|＝－4＋2＋－1＋2＋－9＋2＝49＝7，则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．练一练3．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.解：(1)|PQ|＝－2＋－2＋＋2＝22.(2)设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，见讲1.(2)求空间中对称点坐标的规律，见讲2.(3)空间两点间距离公式的应用，见讲3.3．本节课的易错点是空间中点的坐标的确定，如讲1.课下能力提升(二十六) [学业水平达标练]题组1 空间直角坐标系的建立及坐标表示 1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．第一象限内解析：选C 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．2．在空间直角坐标系中，点P (4,3，－1)关于xOz 平面的对称点的坐标是( ) A ．(4，－3，－1) B ．(4,3，－1) C ．(3，－4,1) D ．(－4，－3,1)解析：选A 过点P 向xOz 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOz 平面的对称点P ′连线的中点，又N (4,0，－1)，所以对称点为P ′(4，－3，－1)．3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 解析：设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1)4．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.答案：05．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4，则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．6．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.题组2 空间两点间的距离7．(2016·长春高一检测)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 解析：选D 由题意得x －2＋－2＋－2＝26，解得x ＝－2或x ＝6.8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1,2)，中心M (0,1,2)， 所以C 1(－3,3,2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－－2＋－1－2＋－2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：2393[能力提升综合练]1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6解析：选B 由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.2．点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：选B 点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝－2＋＋2＋－2＝4.3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选C BC 的中点坐标为M (1,1,0)，又A (0,0,1)， ∴|AM |＝12＋12＋－2＝ 3.4．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32 D.63解析：选A 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62.5．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(a ，－1，c －2)，则点P (a ，b ，c )到坐标原点O 的距离|PO |＝________.解析：点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(1，b ，－2)，所以点(a ，－1，c －2)与点(1，b ，－2)重合，所以a ＝1，b ＝－1，c ＝0，所以|PO |＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 26．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4187．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，A 1(0,0,2)． ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)． 由两点间距离公式， 得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＋－2＝212. 8．如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0，1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5，|EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.11。
高中数学4.3空间直角坐标系课件新人教a必修2
1．点 P(1,4，－3)与点 Q(3，－2,5)的中点坐标是 导学号 09025061 ( C )
设点P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则
对称轴(或中心或平面)
点P的对称点坐标
原点
(－a，－b，－c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy平面
(a，b，－c)
yOz平面
(－a，b，c)
xOz平面 关于谁谁不变，其它变相反
(a，－b，c)
3．空间两点间的距离公式
平 面 上 任 意 两 点 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 之 间 的 距 离 公 式 |AB| ＝ x1－x22＋y1－y22，那么空间中任意两点 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)之间的距 离公式是怎样的呢？
1．空间直角坐标系
定义
以空间中两两___垂__直_____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y
『规律方法』 确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作 PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作 MB⊥y轴于点B；③设P(x，y，z)，则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|.当点A、B、 C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在 x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时， 则x、y、z的值为0.
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第四章 4.3 4.3.14.3.2 空间直角坐标系
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中错误的是( A )
A ．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )
B ．在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c )
C ．在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )
D ．在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c ) [解析] 空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标是(a,0,0)．
2．在空间直角坐标系中，点M (3,0,2)位于( C )
A ．y 轴上
B ．x 轴上
C ．xOz 平面内
D ．yOz 平面内
[解析] 由x ＝3，y ＝0，z ＝2可知点M 位于xOz 平面内．
3．(2016～2017·襄阳高一检测)若已知点M (3,4,1)，点N (0,0,1)，则线段MN 的长为
( A )
A ．5
B ．0
C ．3
D ．1
[解析] |MN |＝
－
＋
－
＋
－
＝5.
4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝
|PB |，则P 点坐标为( C )
A ．(3,0,0)
B ．(0,3,0)
C ．(0,0,3)
D ．(0,0，－3)
[解析] 设P (0,0，z )，则有12＋－
＋
－
＝22＋22＋
－
，解得z ＝3.
5．点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是( B )
A ．(1,2,3)
B ．(－1，－2,3)
C ．(－1,2，－3)
D ．(1，－2，－3)
[解析] 点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是(－1，－2,3)，故选B ．
6．已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是( B )
A ．(7
2
，1，－2)
B ．(1
2
，2,3)C ．(－12,3,5)
D ．(13，4
3
，2)
二、填空题
7．如图所示，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1
的交点，则M 点的坐标是__ (1，3
2
，1) __.
[解析] 由长方体性质可知，M 为OB 1中点，而B 1(2,3,2)，故M (1，3
2
，1)．
8．在△ABC 中，已知A (－1,2,3)、B (2，－2,3)、C (12，5
2
，3)，则AB 边上的中线CD 的
长是__52
__.
[解析] AB 中点D 坐标为(1
2，0,3)，
|CD |＝
12－12
＋
52
－＋－
＝52
.
三、解答题
9．已知点A (x,5－x,2x －1)、B (1，x ＋2,2－x )，求|AB |的最小值.
[解析] ∵|AB |＝
－
＋
－＋
－
＝14x2－32x ＋19＝
－87
＋57≥357
，
当x ＝87时，|AB |取最小值35
7
.
10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中
点．建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出点D 、N 、M 的坐标； (2)求线段MD 、MN 的长度．
[解析] (1)因为D 是原点，则D (0,0,0)．
由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，
得A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,3)、C 1(0,2,3)．
∵N 是AB 的中点，∴N (2,1,0)．
同理可得M (1,2,3)．
(2)由两点间距离公式，得
|MD |＝－＋－＋－＝14， |MN |＝
－
＋
－
＋
－
＝11.
B 级 素养提升
一、选择题
1．(2016·大同高一检测)空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有
( A )
A ．2个
B ．1个
C ．0个
D ．无数个
[解析] 设x 轴上满足条件的点为B (x,0,0)，则由|PB |＝30，
得
－
＋
－＋
－
＝30.
解之得x ＝－1或9.
故选A ．
2．正方体不在同一面上的两顶点A (－1,2，－1)、B (3，－2,3)，则正方体的体积是
( C )
A ．16
B ．192
C ．64
D ．48
[解析] |AB |＝
＋
＋－2－
＋
＋
＝43，
∴正方体的棱长为43
3＝4.
∴正方体的体积为43
＝64.
3．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 是
( A )
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰三角形
[解析] 由两点间距离公式得|AB |＝89，|AC |＝75，|BC |＝14，满足|AB |2
＝|AC |
2
＋|BC |2
.
4．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－8
3
，2,3)，则它在yOz 平面上射影
图形的面积是( D )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
[解析] △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A ′(0,1,1)、B ′(0,2,1)、
C ′(0,2,3)，△ABC 在yOz 平面上的射影是一个直角三角形A ′B ′C ′，容易求出它的面积为
1.
二、填空题
5．已知P (32，5
2
，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)、B (－2,4,3)，则z ＝
.
__4或－0__
[解析] 利用中点坐标公式可得AB 中点C (12，9
2，－2)，因为|PC |＝3，所以
32－12
＋
52－92
＋[z －－
＝3，解得z ＝0或z ＝－4.
6．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标
为(0,1,2)，则该正方体的棱长为3
[解析] |AM |＝
－＋－1－
＋
－
＝13，∴对角线|AC 1|＝213，
设棱长x ，则3x 2＝(213)2
，∴x ＝2393
.
C 级 能力拔高
1.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过点B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A 、
E 两点之间的距离.
[解析] 根据题意，可得A (a,0,0)、B (a ，a,0)、D 1(0,0，a )、B 1(a ，a ，a )．
过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示，
则在Rt △BB 1D 1中，
|BB 1|＝a ，|BD 1|＝3a ，|B 1D 1|＝2a ，
所以|B 1E |＝a·2a 3a ＝6a
3，
所以Rt △BEB 1中，|BE |＝
3
3
a
由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝
23a ，|EF |＝a 3，所以点F 的坐标为(2a 3，2a
3
，0)，
则点E 的坐标为(2a 3，2a 3，a
3)．
由两点间的距离公式，得
|AE |＝
－2a 3
＋
－2a 3
＋
－a 3
＝63a ， 所以A 、E 两点之间的距离是
63
a .
2．如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E、F分别为BC、CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标.
[解析] ∵底面是边长为2的正方形，
∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)、A(－1，－1，0)、D(－1,1,0)．
∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．。