2012年福建高考考试说明名师解读(数学卷)
福建2012高考数学考试说明
福建2012高考数学考试说明
选择题每题5分中等题比例占四成
今年数学命题突出能力立意，对知识的考查侧重于理解与应用，函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计要占有较大的比例。
考试范围：理科数学考试内容包括必考内容和选考内容两部分，必考内容为《普通高中数学课程标准》必修课程和选修课程系列2的内容，选考内容为《普通高中数学课程标准》选修课程系列4的4-2矩形与变换、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲三个专题的内容。
文科数学考试内容为《普通高中数学课程标准》的必修课程与选修课程系列1的内容。
试卷结构：全卷满分150分，难度值控制在0.6左右，其中难度值在0.7以上的试题为容易题，难度值在0.4~0.7的试题为中等题，难度值在0.4以下的试题为难题，易、中、难试题的比例约为4∶4∶2。
理科数学选择题共10题，每题5分，共计50分；填空题共5题，每题4分，共计20分；解答题共6题，其中必考题5题，选考题1题，共计80分。
文科数学选择题共12题，每题5分，共计60分；填空题共4题，每题4分，共计16分；解答题共6题，共计74分。
2012年福建高考：名师点评高三毕业班省质检语文数学试卷
2012年福建高考：名师点评高三毕业班省质检语文数学试卷今年高考前最重要的考试——高三毕业班省质检7日开考。
此次省质检完全按照今年高考考试说明的要求命题，题型比例、试卷难度和考试内容等均体现了高考的方向。
一线名师应邀对昨天开考的语文、数学试卷进行详细分析，帮助广大考生理顺复习思路。
语文：平实中不乏亮点作文审题有难度点评人：福建师大附中高级教师薛章辉试题分析：与往年相比，这次省质检语文卷没有难题、偏题，整卷命题看似十分平实，但不乏有3个亮点。
一是考生答题空间较大。
文学类与实用类主观题的《答案与评分标准》都注明了“言之成理即可”，第18题的阅读材料题也注明了“言之成理即可”，充分体现了试题答案的开放性，给予考生更多的答题空间。
二是名著强调故事衔接的完整性。
试题在考查《三国演义》《红楼梦》两篇长篇名著时，让考生回答的问题是：“此后他们做了些什么?发生了哪些事?”换句话说，试题强调考生对整篇名著阅读的完整性。
三是选文具有可读性、鉴赏性。
文学类与实用类两篇选文非常精彩，其中一篇考查了诺贝尔经济学奖获得者萨金特的《我不过是纸上谈兵的人》，这篇人物传记读起来耐人寻味，可读性、鉴赏性很强。
语文作文需要阅读3幅漫画，根据要求写一篇不少于800字的议论文或记叙文，这是我省时隔多年未曾见过的看图作文题。
“这道作文题有一定的审题难度，必须深刻揣摩漫画的意蕴，特别应该注意第2幅漫画的寓意，并将3幅漫画紧密联系起来理解。
”薛章辉老师认为，虽然有些考生没有将3幅漫画串联起来，特别是未对第2幅漫画进行深刻理解，但根据题目本身给出的角度自选、立意自定的要求，有些考生可能会对3幅漫画中的某1幅漫画进行重点阐述，这样应该也是允许的。
薛章辉说，考生可以从以下几个切入点立意：(1)不经过自己努力而轻易获得的东西，也许不会去珍惜它;(2)送来的“精品”并不一定“美”;(3)只有经过自身的努力，才能创造美;(4)没有得到的东西总是“美”，而轻易得到的东西并不一定“美”。
2012年福建省考试说明(理科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试·福建省高考考试说明数学（理工农医类）Ⅰ．命题指导思想普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．2012年福建省高考数学（理科）的命题应以教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、《2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科数学·课程标准实验·2012年版）》、《福建省普通高中新课程教学要求（数学）》为指导，以《2012年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明(试行)》（数学）为指导，以本《考试说明》为直接依据，并结合我省普通高中数学教学的实际进行．命题应有利于高校科学公正地选拔人才，有利于推进普通高中新课程，实施素质教育．命题应体现《普通高中数学课程标准（实验）》的理念，体现对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求，坚持能力立意，注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想，着重考查考生的数学素养和对数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能．命题应遵循以下命题原则：一、贯彻课程理念，推进素质教育命题要立足于《普通高中数学课程标准（实验）》，体现普通高中新课程的理念，准确理解和把握新课程标准的内涵与要求，考查对基础知识、基本技能的掌握程度和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．重视数学素养的考查，关注科学技术和社会经济的发展，注重时代性和实践性，有利于高校科学公正地选拔人才；有利于激发学生学习数学的兴趣，促进素质教育的实施；有利于促进学生学习方式的转变，发挥高考命题对中学数学教学的正确导向作用，扎实推进我省普通高中新课程的顺利实施．二、强化基础知识，注重整体设计考查考生对基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一．对数学基础知识的考查，要求既全面，又突出重点．对于支撑数学知识体系的主干知识——函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体．对数学知识的考查要求全面，但不刻意追求知识点的百分比、知识内容的覆盖面，而是强调试题的综合性，注重学科的内在联系和知识的综合．高考命题应从学科整体意义的高度去考虑问题，强调知识之间的交叉、渗透和综合，体现综合性，以检验考生是否具备一个有序的网络化的知识体系，并能从中提取相关的信息，有效、灵活地解决问题．命题应继承和发扬我省自行命题的成果和经验，在保持整体稳定的前提下，适度创新，注重试题的多样性和选择性．命题应科学设置探究性和开放性试题，体现对不同层次的考生的选拔．命题应合理分配必考、选考内容的比例，既考查考生的共同基础，又满足不同考生的选择需求．对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，难度基本等值．试卷应具有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度．鉴于我省新课程教材使用的多样性，命题务必充分体现公平性，试题必须适用于不同版本的教材．试题可以是取材于教材或课外参考资料中经过实质性改造后的问题，但切忌照搬任何教材或课外参考资料的原题或未经实质性改造过的题目．所设置的试题，特别是区分学生学习能力的把关试题应当关注解法的多样性，充分尊重学生在学习数学方面的差异，力求使得不同思维方式、思维层次的学生都能得到科学的评价．整份试卷的设计应合理，注重整体效应．三、淡化特殊技巧，强调思想方法数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度．考查时，要从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．一般认为，中学数学基本思想是指渗透在中学数学知识与方法中具有普遍适应性的本质思想．中学数学涉及的数学思想主要有：函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想等．数学基本方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等．数学逻辑方法或思维方法主要有：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．它们是理解、思考、分析与解决数学问题的普通方法，对数学思想和方法的考查要结合数学知识多层次进行．四、强调能力立意，突出问题解决“以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的．高考数学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力，因此命题中应尽量避免编制刻板、繁难和偏怪的试题，避免编制死记硬背的内容和繁琐计算的试题，力图通过数学科的考试，不仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测考生已有的和潜在的学习能力．命题应突出能力立意，对知识的考查侧重于理解和应用，力求突破固定的解答模式，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行合理地分检、组合、加工，寻找解决问题的办法．高考对能力的考查，应以抽象概括能力、推理论证能力为重点，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际．运算求解能力是推理论证能力和运算技能的结合，它包括数的运算、式的运算；包括精算、近似计算与估算．对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和推理论证能力的考查．空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理与图形的变换都要注意与推理相结合．数据处理能力主要是指能对收集到的相关数据，采用适当的方法进行整理、归纳、分析、解决问题．分析问题和解决问题的能力是上述几种基本数学能力的综合体现，对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础，加强思维品质的考查．五、倡导学以致用，强化应用意识加强应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的．应用性问题主要是考查数学知识的实际应用．应用题的设计应贴近生活，联系实际，具有强烈的现实意义．应用问题考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我省中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识．六、提倡开放探索，关注创新意识高考作为选拔性考试，应该偏重于能力测验，特别是能力倾向测验，适当考查考生在未来的学习或工作中是否具有创新意识．因此，高考中可适当设置开放性、探索性试题，考查创新意识和探究精神．考查创新意识的问题应立足于中学数学，以中学数学的基础知识为基本素材，考查学生创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力．考查创新意识的创新性试题可重点体现在情景、设问等方面．在设计考查创新意识的试题时，一方面，要积极探索，大胆实践；另一方面，应进一步研究试题的稳定性与创新性的关系，处理好试题创新与试题难度的关系，做到“不难不怪，难度适中”．七、体现层次要求，控制试卷难度高考在考试目的、考试性质、考试内容和考试要求方面均不同于数学竞赛和普通高中学生学业基础会考．高考是要选拔部分合格高中毕业生升入高等院校深造，命题时应以知识为基础，多层次、多角度考查各种能力，试卷难度要适中，既要使一般考生都能得到基本分，又要使优秀学生的水平得以充分显现．根据我省高考的实际情况，整卷难度值应控制在0.6左右．试卷中各个试题的难度值一般控制在0.2～0.8之间，整份试卷中各种难度的试题分数的分布也应该适当．每种题型中都应编拟一些较易试题，使大部分考生都能得到一定的基本分；每种题型中也应编拟一些有一定难度的试题，以实现选拔的目的．Ⅱ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．考试时间为120分钟，全卷满分150分，考试不使用计算器．二、试卷结构考试内容包括必考内容和选考内容两部分．必考内容为《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程和选修课程系列2的内容．选考内容为《普通高中数学课程标准（实验）》的选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题的内容．试卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为10个选择题，全部为必考内容；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分，必考部分由5个填空题和5个解答题组成；选考部分安排在第21题，作为解答题出现，由选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题各命制1小题，考生从3小题中任选2小题作答，如果多做，则按所做的前两小题记分．选择题共10题，每题5分，共计50分；填空题共5题，每题4分，共计20分；解答题共6题，其中必考题5题，选考1题（包含3小题，每小题7分，考生从中任选2小题作答，满分14分），共计80分．选择题为四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．试卷应由容易题、中等题和难题组成，难度值在0.7以上的试题为容易题，难度值在0.4~0.7的试题为中等题，难度值在0.4以下的试题为难题，易、中、难试题的比例约为4：4：2，全卷难度值控制在0.6左右．三、关于考试形式与试卷结构的说明1.注重试卷整体设计，发挥结构效应为发挥学科特点，体现高考的选拔功能，发挥整份试卷的区分作用，命题应注重试卷的整体设计．试卷的好坏取决于整张试卷产生的效应，而不仅仅是个别试题产生的效应，因此设计一份好的试卷不仅要编制好的试题，而且要注意试卷的整体结构，发挥整体效应．试卷应兼顾数学知识和能力等方面，要有合理的知识结构和能力层次结构．知识结构是指试卷中包含学科各部分知识的比例，在编制双向细目表时，应根据各部分内容的教学时数和高考对考生知识结构的要求，综合平衡试卷中各部分知识内容的分值比例．试卷对能力要求的层次和比例，反映着考查的性质和要求．在高考中，应既考查数学能力，又考查一般认识能力，如观察力、注意力、记忆力等．由于新课程高考考试目标还包括基本数学方法以及按照一定程序与步骤进行运算、处理数据，绘制图表等基本技能的内容，因此还应注意结合各项知识考查数学方法与技能．将数学知识和能力有机结合，并融入具体试题，以便有效地全面检测考生的素质和潜能．同时应使试题编排合理，体现人性化和选拔功能的和谐统一．2.合理确定试题梯度，体现试卷较好的区分度根据我省高中发展和高校招生的实际情况，确定本学科试卷难度值为0.6左右．为使考生产生良好的心理效应，应充分发挥各种题型的功能．试卷中必考内容的难度按两级坡度设计，整卷是一个大坡度，而每种题型由易到难又是一个坡度．各种题型中起点试题的难度都应比较低，特别是在选择题部分，起点题水平应相当于普通高中学生学业基础会考的水平，其目的是测量全体考生对基础知识的掌握情况，为教学评价提供参考．选择题最后几题的备选项应有较大的迷惑性，以此来区分考生对基础知识掌握的深度和熟练运用的程度．解答题变一题把关为多题把关，解答题中必考部分的最后两题应分别考查不同的内容并设置一定的关卡，区分考生综合和灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力．由于选修课程系列4中的《矩阵与变换》、《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》是我省第一次作为选考内容进入高考试卷，应注意与实际教学相适应，控制好难度．难度定位为中等偏易．同时各选考专题的试题的分值应相等，并力求做到难度基本等值，体现考试的公平性．在命题中应适当控制新颖试题的比例，要充分估计考生对试题的适应程度，有效地控制整卷难度，避免因为考生对新颖试题的不适应而导致发挥失常．同时还应控制试题的综合程度，适当降低起点试题的难度．试题的表述应注意运用考生熟悉的语言和表述方式，同时采用文字语言、图表、数学符号等多种数学语言，简明直观，有利于考生的阅读理解；试题背景应贴近考生的生活实际，让考生处于一个较为平和、熟悉的环境中，增强解题信心．要控制计算量，避免繁琐运算，一些貌似有较长运算过程的试题要有不同的解题思维层次，以区分不同思维层次的考生．3.发挥各种题型的功能，充分体现新课程理念今年的高考是我省实施普通高中新课程的首次高考，试题应体现新课程理念，在命题时应当注意教材的多样性，讲究取材，以确保试题的公平性．应适当顾及新增课程内容在试卷中的比例，重视“探究”与“思考”问题，让新课程中“倡导积极主动、勇于探索的学习方式和注重提高学生的数学思维能力”等基本理念得到有效落实．从考查目标来看，高考强调在考查知识的基础上考查能力，因此需要一定数量的选择题和填空题以考查基础知识和基本技能，提高知识考查的覆盖面，考查考生敏锐地捕捉题设信息，迅捷地寻找合理的解题途径的解决问题能力，同时也增加考试的信度和效度．解答题包括计算题、证明题和应用题等，能比较全面地反映考生学科智力水平，展示其分析数学问题、综合运用数学知识进行逻辑思维的过程，适合对发散、综合以及推理运算、文字表达等高层次能力的考查．4.合理控制卷面字数和计算量卷面字数指卷面印刷符号数量和考生答卷书写字符的总和．为使考生能尽快、无误地获取信息，题目叙述应简单明了，字母、符号、标点等都应正确运用并发挥其作用，在文字语言不能简明叙述或不能清楚表达时，应注意各种符号和图形的运用，减少生活语言对数学语言的干扰，合理控制卷面字数．高考应以考查能力、检测素养为主，试题应尽量避免繁、难的运算，控制各题的计算量，排除由于计算过多过繁造成耗时较多，或由计算错误而造成全题失分的现象，以便更好地考查考生的各种能力．数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题，而计算量的大小是和全卷的工作量的大小密切相关的．实际上，控制全卷工作量的大小主要是由高考的性质决定的，一般来说应以50％的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准．这里所谓完成，不含复核时间，由于数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象，同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次，考生实际计算量的大小往往反映出考生能力水平的差异．计算量的估计应以一般通用解法为准．高考应以考察能力、检测素养为主，试题应尽量避免帆、难的运算，控制各题的计算量，排除由于计算过多繁造成耗时较多，或由于计算错误而造成的全题失分的现象，以便更好地考查考生的各种能力。
2012年福建省高考试题(数学理)(名师指导)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学(理工农医类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数：=i-11的共轭复数是 A. 21+21i B. 21-21i C.1-i D.1+i（2）已知等差数列{a n }中，a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是 A.15 B.30 C.31 D.64（3）在△ABC 中，∠C =90°， =（k ,1）, =(2,3),则k 的值是A.5B.-5C.23 D.- 23 （4）已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ； ②若m ∥α,n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α,m ∥β，则α⊥β. 其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3（5）函数f(x)=a a+b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 A.a ＞b ,b ＜0 B.a ＞1,b ＞0 C.0＜a ＜1,b ＞0 D.0＜a ＜1,b ＜0（6）函数y =sin(ωx+φ)（x ∈R ，ω＞0，0≤φ＜2π ）的部分图象如图，则A. ω=2π,φ=4π B. ω=3π,φ=6π C. ω=4π,φ=4π D. ω=4π,φ=45π（7）已知p ：|2x -3|＜1,q ：x (x -3) ＜0，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 （8）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是A 1A.arccos 515B. 4π C.arccos510 D. 2π （9）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 A.300种 B.240种 C.144种 D.96种（10）已知F 1、F 2是双曲线12222=-b y a x （a ＞0,b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是A.4+23B. 3-1C.213+ D. 3+1（11）设a ，b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a +b 的最小值是A.-22B.-335 C.-3 D.-27（12）f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f (2)=0，则方程f (x )=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4 D5第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2012年福建省高考数学试卷(文科)教师版
2012年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•福建）复数（2+i）2等于（）A．3+4i B．5+4i C．3+2i D．5+2i【分析】直接根据复数的乘法的运算法则，以及i2=﹣1可求出所求．【解答】解：（2+i）2=4+4i+i2=3+4i故选：A．2．（5分）（2012•福建）已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}【分析】由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．【解答】解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误；B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；C、M∩N={2}≠N，故C错误；D、M∩N={2}，故D正确．故选：D．3．（5分）（2012•福建）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）A．x=﹣B．x=﹣1C．x=5D．x=0【分析】直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．【解答】解：因为向量=（x﹣1，2），=（2，1），⊥，所以2（x﹣1）+2=0，解得x=0．故选：D．4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选：D．5．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9∴a2=4∴a=2∵c=3∴故选：C．6．（5分）（2012•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）A．﹣3B．﹣10C．0D．﹣2【分析】通过循环，计算s，k的值，当k=4时退出循环，输出结果即可．【解答】解：k=1，满足判断框，第1次循环，s=1，k=2，第2次判断后循环，s=0，k=3，第3次判断并循环s=﹣3，k=4，第3次判断退出循环，输出S=﹣3．故选：A．7．（5分）（2012•福建）直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2B．2C．D．1【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即∴故选：B．8．（5分）（2012•福建）函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【分析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果【解答】解：由题意，令x﹣=kπ+，k∈z得x=kπ+，k∈z是函数f（x）=sin（x﹣）的图象对称轴方程令k=﹣1，得x=﹣故选：C．9．（5分）（2012•福建）设f（x）=，＞，，＜，g（x）=，为有理数，为无理数，则f（g（π））的值为（）A．1B．0C．﹣1D．π【分析】根据π是无理数可求出g（π）的值，然后根据分段函数f（x）的解析式可求出f（g（π））的值．【解答】解：∵π是无理数∴g（π）=0则f（g（π））=f（0）=0故选：B．10．（5分）（2012•福建）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1B．1C．D．2【分析】根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1∴实数m的最大值为1故选：B．11．（5分）（2012•福建）数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2012等于（）A．1006B．2012C．503D．0【分析】由已知得f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，由此能求出S2012的值．【解答】解：∵a n=ncos，又∵f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4=（0﹣2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0﹣6+0+8）=2，…a2009+a2010+a2011+a2012=（0﹣2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+…+a2012=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012）=2×503=1006故选：A．12．（5分）（2012•福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f （b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c，设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴b+c=6﹣a，∴bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴0＜a＜1＜b＜3＜c，∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（4分）（2012•福建）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=．【分析】结合已知两角一对边，要求B的对边，可利用正弦定理，进行求解【解答】解：∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴BC=由正弦定理可得，可得AC===故答案为：14．（4分）（2012•福建）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，∴这支田径队有女运动员98﹣56=42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42人，∴女运动员要抽取42×=12人，故答案为：1215．（4分）（2012•福建）已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）．【分析】将关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，转化成△＜0，从而得到关于a的不等式，求得a的范围．【解答】解：因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=（﹣a）2﹣8a＜0，解得0＜a＜8故答案为：（0，8）．16．（4分）（2012•福建）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点A，B，C表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为16．【分析】确定铺设道路的总费用最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G分叉，G→C→B，即可求得铺设道路的最小总费用．【解答】解：由题意，铺设道路的总费用最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G分叉，G→C→B总费用为2+3+1+2+3+5=16故答案为：16三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•福建）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．【分析】（Ⅰ）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；（Ⅱ）先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由题得：S10=10+d=55；b4=q3=8；解得：d=1，q=2．所以：a n=n，b n=2n﹣1．．（Ⅱ）分别从从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．两项的值相等的有（1，1），（2，2）．∴这两项的值相等的概率：．18．（12分）（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【分析】（I）计算平均数，利用b=﹣20，a=﹣b，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．【解答】解：（I），=∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；（II）设工厂获得的利润为L元，则L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．19．（12分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．【分析】（1）由题意可知，A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．易证CM⊥平面B1C1M，从而CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，问题得到解决．【解答】解：（1）由长方体ABCD﹣A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，又=CC1×CD=×2×1=1，∴=AD•=．（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点．连接C1M，在△C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，∴=+MC2，得∠CMC1=90°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM，又B1C1∩C1M=C1，∴CM⊥平面B1C1M，∴CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC=M，∴B1M⊥平面MAC20．（12分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（2），计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故这个常数为．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．21．（12分）（2012•福建）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ 为直径的圆恒过y轴上某定点．【分析】（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，从而可得B（4，12），利用B 在x2=2py（p＞0）上，可求抛物线E的方程；（2）由（1）知，，，设P（x0，y0），可得l：，与y=﹣1联立，求得，取x0=2，x0=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y；（2）由（1）知，，设P（x0，y0），则x0≠0．l：即由得，∴，取x0=2，此时P（2，1），Q（0，﹣1），以PQ为直径的圆为（x﹣1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，﹣1）取x0=1，此时P（1，），Q（﹣，﹣1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M（0，1）或M4（0，﹣）3故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下∵，，，∴=2y0﹣2﹣2y0+2=0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．22．（14分）（2012•福建）已知函数f（x）=axsinx﹣（a∈R），且在，上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．【分析】（I）由题意，可借助导数研究函数，在，上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（II）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．【解答】解：（I）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），对于任意的x∈（0，），有sinx+xcosx＞0，当a=0时，f（x）=﹣，不合题意；当a＜0时，x∈（0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单调递减，又函数在，上图象是连续不断的，故函数在，上上的最大值为f（0）=﹣，不合题意；当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单调递增，又函数在，上图象是连续不断的，故函数在，上上的最大值为f（）==，解得a=1，综上所述，得（II）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．证明如下：由（I）知，，从而有f（0）=﹣＜0，f（）=＞0，又函数在，上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，又由（I）知f（x）在（0，）单调递增，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当x∈[，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，由g（）=1＞0，g（π）=﹣π＜0，且g（x）在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．由g′（x）=2cosx﹣xsinx，知x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π]上单调递减．当x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单调递增故当x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（，m）内单调递减．又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1、若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2、等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3、下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5、下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8、双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10、函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11、4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12、阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13、已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14、数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15、对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三、解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16、（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17、（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18、（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A DAD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19、（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20、（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21、本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想、（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =、32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交、 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1.若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2.等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5.下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8.双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10.函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11.4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13.已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14.数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15.对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三、解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18.（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A DAD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19.（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20.（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =.32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，解析版）第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i2.等差数列{a n}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A.1B.2C.3D.43.下列命题中，真命题是A. B.C.a+b=0的充要条件是ab=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件【解析】A，B，C 均错，D正确【答案】D【考点定位】此题主要考查逻辑用语中的充分必要条件，考查逻辑推理能力、分析判断能力、必然与或然的能力.4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【解析】分别比较ABC的三视图不符合条件，D符合.【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力.5.下列不等式一定成立的是A. B.C. D.6.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.177.设函数则下列结论错误的是A.D（x）的值域为{0,1}B. D（x）是偶函数C. D（x）不是周期函数D. D（x）不是单调函数【解析】A,B.D 均正确，C错误。
【答案】C【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.8.已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【解析】∵抛物线的焦点是F（3,0），∴双曲线的半焦距c=3，9.若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为A．12B.1C.32D.210.函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P。
2012高考福建理科数学精彩试题及问题详解高清版
实用标准文档文案大全2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足zi＝1－i，则z等于()A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i2．等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为() A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题中，真命题是()A x0∈R，0e0x?B x∈R，2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是1ab??D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱5．下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋14)＞lg x(x＞0) B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D2111x??(x∈R) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A14 B15C16 D177．设函数1,()0,xDxx????为有理数，为无理数，则下列结论错误的是() A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数实用标准文档文案大全8．已知双曲线22214xyb??的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A5 B42 C．3 D．59．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件30,230,,xyxyxm????????????则实数m的最大值为()A12 B．1 C32 D．2 10．函数f(x)在［a，b］上有定义，若对任意x1，x2∈［a，b］，有????12121()22xxffxfx??［＋］，则称f(x)在［a，b］上具有性质P．设f(x)在［1,3］上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在［1,3］上的图象是连续不断的；②f(x2)在［1，3］上具有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈［1,3］；④对任意x1，x2，x3，x4∈［1,3］，有12341()44xxxxf????［f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)］．其中真命题的序号是()A．①② B．①③ C．②④ D．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11． (a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．．13．已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．．14．数列{a n}的通项公式πcos12n nan??，前n项和为S n，则S2 012＝________．．15．对于实数a和b，定义运算“*”：22*.aabababbabab????????，，，设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是__________．．实用标准文档文案大全三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲首次出现故障时间x(年) 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．18．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1．(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．19．如图，椭圆E：22221xyab??(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率12e?．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M．实用标准文档文案大全的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－ex，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵 0 1ab???????A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，23π,32????????，圆C的参数方程为22cos,32sinxy????????????(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123mabc???，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝axsinx－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32?．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1． A由zi＝1－i，得221i(1i)iiii+11iii11z????????????．2． B∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3． D∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1?ab＞1．4． D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5． C∵x2＋1≥2|x|?x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6． C∵由图象知阴影部分的面积是?，31220121211()d()032326xxxxx???????实用标准文档文案大全∴所求概率为11616?．7． C∵D(x)是最小正周期不确定的周期函数，∴D(x)不是周期函数是错误的．8． A由双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，知32pc??，c2＝9＝4＋b2，于是b2＝5，5b?．因此该双曲线的渐近线的方程为52yx??，即520xy??．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为|35|554d???．9． B由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x＝m经过函数y＝2x的图象与直线x＋y－3＝0的交点P时取得最大值，即得2x＝3－x，即x＝1＝m．10． D①如图1，图1在区间［1,3］上f(x)具有性质P，但是是间断的，故①错．②可设f(x)＝|x－2|(如图2)，当x∈［1,3］时易知其具有性质P，但是f(x2)＝|x2－2|＝222,12,2,23xxxx???????????不具有性质P(如图3)．故②错．图2图3实用标准文档文案大全③任取x0∈［1,3］，则4－x0∈［1,3］，1＝f(2)＝004()2xxf??≤12［f(x0)＋f(4－x0)］．又∵f(x0)＝1，f(4－x0)≤1，∴12［f(x0)＋f(4－x0)］≤1．∴f(x0)＝f(4－x0)＝1．故③正确．④3412123422()()42xxxxxxxxff???????≤34121()+()222xxxxff????????≤14［f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)］，故④正确．11．答案：2解析：∵T r＋1＝4C r a r x4－r，∴当4－r＝3，即r＝1时，T2＝14C·a·x3＝4ax3＝8x3．故a＝2．12．答案：－3解析：(1)k＝1,1＜4，s＝2×1－1＝1；(2)k＝2,2＜4，s＝2×1－2＝0；(3)k＝3,3＜4，s＝2×0－3＝－3；(4)k＝4，直接输出s＝－3．13．答案：24?解析：设△ABC的最小边长为a(m＞0)，则其余两边长为2a，2a，故最大角的余弦值是22222(2)(2)2cos42222aaaaaaa??????????．14．答案：3 018 解析：∵函数πcos2ny?的周期2π4π2T??，∴可用分组求和法：a1＋a5＋…＋a2 009＝50311+1=503??个…；a2＋a6＋…＋a2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝503(12009)2??＝－503×1 005；a3＋a7＋…＋a 2 011＝50311+1=503??个…；a4＋a8＋…＋a2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝503(52013)2??＝503×1 009；故S2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009 ＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018．15．答案：(1316?，0) 解析：由已知，得??22200xxxfxxxx??????－，，＝－＋，＞，实用标准文档文案大全作出其图象如图，结合图象可知m的取值范围为0＜m＜14，当x＞0时，有－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，于是x1x2＝m．当x＜0时，有2x2－x－m＝0，于是31184mx???．故123(118)4mmxxx???．设h(m)＝m(1－18m?)，∵h′(m)＝(1－18m?)＋［m(18218m??)］＝4118018mmm?????，∴函数h(m)单调递减．故x1x2x3的取值范围为(1316?，0)．16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则231()5010PA???．(2)依题意得，X1的分布列为X1 1 2 3P125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P110910(3)由(2)得，E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144??．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝34．证明如下：实用标准文档文案大全sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sin α·cosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22???????－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444??????．18．解：(1)以A为原点，AB，AD，1AA的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1，0)，D1(0,1,1)，E(2a，1,0)，B1(a,0,1)，故1AD＝(0,1,1)，1B E＝(2a?，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE＝(2a，1,0)．∵1AD·1B E＝2a?×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1．(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE．此时DP＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥1AB，n⊥AE，得00.2axz ax y?????????，取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，2a?，－a)．实用标准文档文案大全要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有2a－az0＝0，解得012z?．又DP平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时12AP?．(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D．∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．又由(Ⅰ)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1．∴1AD是平面A1B1E的一个法向量，此时1AD＝(0,1,1)．设1AD与n所成的角为θ，则1212·2cos||||214aaADADaa???????nn．∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°，即233225214aa??，解得a＝2，即AB的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2．又因为12e?，即12ca?，所以c＝1所以223bac???．故椭圆E的方程是22143xy??．(2)由22143ykxmxy?????????，，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且?＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0．(*)此时024443kmkxkm?????，y0＝kx0＋m＝3m，所以P(4km?，3m)．由4xykxm??????，，得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．设M(x1,0)，则0MPMQ??对满足(*)式的m，k恒成立．因为MP＝(14kxm??，3m)，MQ＝(4－x1,4k＋m)，由0MPMQ??，实用标准文档文案大全得211141612430kxkkxxmmm???????，整理，得(4x1－4)km＋x12－4x1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以1211440,430,xxx????????解得x1＝1．故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M．方法二：(1)同方法一．(2)由22143ykxmxy?????????，，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且?＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0．(*)此时024443kmkxkm?????，y0＝kx0＋m＝3m，所以P(4km?，3m)．由4xykxm??????，，得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．取k＝0，3m?，此时P(0，3)，Q(4，3)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－3)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取12k??，m＝2，此时P(1，32)，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为225345()()2416xy????，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以MP＝(41km??，3m)，MQ ＝(3,4k＋m)，从而1212330kkMPMQmm???????，故恒有MPMQ?，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M．20．解：(1)由于f′(x)＝e x＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率k ＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝e x－ex．此时f′(x)＝e x－e，由f′(x)＝0得x＝1．当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0．所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－ex0＋2a(x－x0)．(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0．故g(x)只有唯一零点x＝x0．由P的任意性，a≥0不合题意．实用标准文档文案大全(2)若a＜0，令h(x)＝e x－ex0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x ＋2a．令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x′＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0，知g(x)在R上单调递增．所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*．②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0．又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝e x＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＜ex1＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，其中b＝－［e＋f′(x0)］，c＝ex1－f(x0)＋x0f′(x0)．由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax22＋bx2＋c＜0．所以g(x2)＜0．故g(x)在(x2，x1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点．③若x0＜x*，仿②并利用3e6x x?，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由 0 1xayb???????????????xaxybxy??????????????，得,.xaxybxy????????又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．依题意得222,22,abb??????解得1,1,ab?????或1,1,ab??????因为a＞0，所以1,1.ab?????②由①知，1 01 1???????A，21 01 01 01 11 12 1????????????????????A，所以|A2|＝1，(A2)－1＝ 1 02 1???????．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP的平面直角坐标方程为33yx?．②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)，所以直线l的平面直角坐标方程为33230xy???．实用标准文档文案大全又圆C的圆心坐标为(2，3?)，半径r＝2，圆心到直线l的距离|233323|3239dr??????，故直线l与圆C相交．(3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m＝1．②由①知111123abc???，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(11123abc??)≥2111(23)923abcabc?????＝．。
2012年福建省高考数学考试说明学习心得体会
《2012年福建省高考数学考试说明》学习心得龙海二中文科数学备课组王进忠在距高考还有一个多月的时间，通过前一阶段对于《2012年福建省高考数学考试说明》的学习，我个人觉得今年的《考试说明》是根据教育部2012年《考试大纲》，并结合我省教学实际情况制定的。
与2011年相比，今年的《考试说明》在“命题的指导思想”、“考试的形式与试卷的结构”与“考试的目标与要求”等方面基本上保持不变，只是对于题例进行了较多的更新充实了新课程背景下命题特点的一些试题。
今年的《考试说明》依然关注对数学内涵的理解和把握，在考查学生的基本知识、基本方法、基本技能的同时，注重数学思维和素养，强调思想方法，注重考查能力，以能力立意作为命题的指导思想，将知识、素质和能力作为考查目标，全面检测学生的数学素养。
从新近出台的高考考试大纲上可以看出，今年的高考数学从考试范围、考查能力上，相较近年基本无变化。
数学一直是文史类考生从高一分文理科以来最怕的一门学科。
下面，我就高考数学复习方面提出几点个人的看法。
一、重视《考试大纲》和《考试说明》的指导作用、明确考试要求（1）总的命题趋势分析----稳定为主，适度创新●试卷结构：全卷由容易题、中等题和难题组成，易、中、难试题的比例约为4∶4∶2，全卷难度值控制在0.6左右。
文科数学试卷选择题共12题，每题5分，共计60分；填空题共4题，每题4分，共计16分；解答题共6题，共计74分。
●考试范围：文科数学考试内容为《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程与选修课程系列1的内容。
二、重视新增知识教学、分析与展望考查方向通过对《考试说明》的分析可以看出，坚持试题的创新性始终是高考命题的原则，尤其在课标版教材中新增部分，考查的力度会继续增强。
考生复习时要给予足够重视。
新增知识可以命题的点文科有：函数的零点、二分法的思想、三视图、算法、茎叶图、几何概率、线性回归分析与独立性检验、推理与证明、数学应用。
●函数与方程、全称与特称命题小题中函数零点与函数图像结合考查的可能性最大，大题中可以与导数相结合进行考查。
2012年福建高考考试说明名师解读（数学卷）
2012年福建高考考试说明名师解读（数学卷）数学参考试卷改动较大解读者：福州三中数学教研组变化与2011年相比，2012年的文理科《考试说明》在命题思想、试卷结构、目标与要求等方面都没有变化，不过，部分例题改成了2011年各地高考卷中出现的试题。
这些更新、更鲜活的例题，同样是用来解释、说明对考生的知识和能力要求。
考试内容方面，今年的理科《考试说明》在“选考内容与要求”中，删除了部分内容。
在“2.坐标系与参数方程”中，删除了两小条：一条是“了解坐标系、球坐标系中表示空间重点的位置和方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别”；还有一条是“了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程”。
此外，在“3.不等式选讲”中，删除了“会用向量递归方法讨论排序不等式”和“会用数学归纳法证明贝努利不等式”。
参考试卷改动较大，理科试卷总共21小题，其中有13道跟去年不一样。
文科试卷总共22小题，其中有9道题跟去年不一样。
不过，题型与试卷结构仍保持不变。
特点命题思想求稳，例题求新、求鲜活。
命题重点、命题思想、命题原则、命题导向和命题特色都没有变，试卷结构也没有变，但部分示例变鲜活。
复习建议重视《考试说明》看懂题型示例一些老师和学生往往埋头在题海当中，却忽略了《考试说明》这一高考命题的权威标准。
对《考试说明》，教师要研读，考生要细读。
考生尤其要关注例题的解法以及解法后面的一段简短的文字。
通过这段文字的说明，考生可以了解知识题的难易程度、能力是通过什么方式来考查的、思想方法是如何渗透在解题思路当中的，这能够帮助考生更好地认识高考的命题特点和方法，更有针对性地展开训练。
此外，考生还应该把参考试卷当作一份模拟卷，在一轮复习之后，花2个小时时间给自己进行一次“模拟考”，仿真感受一下高考试卷结构，体会参考试卷的考查方式，学习如何在考试中合理分配时间等。
2012年高考理科数学福建卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足i 1i z =-,则z 等于（ ）A .1i --B .1i -C .1i -+D .1i +2. 等差数列{}n a 中,1510a a +=,47a =,则数列{}n a 的公差为（ ）A .1B .2C .3D .4 3. 下列命题中,真命题是（ ）A .0x ∃∈R ,0e 0x ≤B .x ∀∈R ,22x x ＞C .0a b +=的充要条件是1ab=-D .1a ＞,1b ＞是1ab ＞的充分条件4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ）A .球B .三棱锥C .正方体D . 圆柱 5. 下列不等式一定成立的是（ ）A .21lg()lg (0)4x x x +＞＞B .1sin 2(π,k )sin x x k x +≠∈≥ZC .22||(x x x ∈+1≥R)D .211()1x x ∈+＞R6. 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A .14 B .15 C .16D .177. 设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是 （ ）A .()D x 的值域为{0,1}B .()D x 是偶函数C .()D x 不是周期函数D .()D x 不是单调函数8. 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）AB.C .3D .59. 若函数2x y =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的最大值为（ ）A .12 B .1 C .32D .210. 函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x ++≤,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题： ①()f x 在[1,3]上的图象是连续不断的； ②2()f x在上具有性质P ；③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1f x =,[1,3]x ∈； ④对任意1x ,2x ,3x ,4[1,3]x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x ++++++≤.其中真命题的序号是（ ）A .①②B .①③C .②④D .③④第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_______. 12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于________.13.已知ABC △的等比数列,则其最大角的余弦值为________.14.数列{}n a 的通项公式ππcos12n n a =+,前n 项和为n S ,则2012S =________.15.对于实数a 和b ,定义运算“*”；22,,*,.a ab a b a b b ab a b ⎧-=⎨-⎩≤＞设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程()(f x m m =∈R)恰有三个互不相等的实数根1x ,2x ,3x ,则123x x x 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已将频率视为概率,解答下列问题：（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列；（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应产生哪种品牌的轿车？说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）17.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)22sin 13cos 17sin13cos17+-； (2)22sin 15cos 15sin15cos15+-； (3)22sin 18cos 12sin18cos12+-； (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--； (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.18.（本小题满分13分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AA AD ==,E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ,使得DP ∥平面1B AE ？若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由；（Ⅲ）若二面角11A B E A --的大小为30，求AB 的长.19.（本小题满分13分）如图,椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,且2ABF △的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线l ：y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数2()e e x f x ax x =+-,a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵01a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)a ＞对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=.（Ⅰ）求实数a ,b 的值；（Ⅱ）求2A 的逆矩阵.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为(2,0),π)2,圆C的参数方程为22cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|f x m x =--（）,m ∈R ,且2()0f x +≥的解集为[1,1]-. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c ∈R ,且11123m a b c++=,求证：239a b c ++≥.2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题(理工农医类)答案解析又双曲线的渐近线方程故选B．30x y+-≤⎧数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）(2)1f =，又42x f +⎛ ⎝又()1f x ≤1≤，所以对于④，f ⎛⎛ ⎝4)()]f x +216，1()E X >可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）21315cos 15sin15cos151sin3024+-=-=；3(30)sin cos(30)4ααα---=，(30)sin cos(30)ααα---2131⎫⎛【提示】（Ⅰ）选择②，由22sin 15cos 15sin15cos151sin3024+-=-=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=，直接利用两角(0,1,1)AD ∴=，a B E ⎛=- ，(,0,1)AB a =，,1,0a AE ⎛= 1101102aAD B E =-⨯+⨯+，11B E AD ∴⊥；（Ⅱ）假设在棱，使得DP ∥平面此时(0,DP =-的法向量(,,)n x y z =n ⊥平面1B AE ，n AB ⊥，n AE ⊥，得，02ax y +=⎩取1x =，得平面AE 的一个法向量1,,2a n ⎛=- ⎝⎭，只要n DP ⊥，有2a n DP =-1AP =； 11B C A D ∥1AD B ∴⊥11EB C B =1AD ∴⊥平面平面11A B CD ，AD ∴是平面的一个法向量，此时(0,1,1)AD =，设AD 与n 所成的角为11cos ||||n AD n AD θ==，二面角A -的大小为30， cos30，即y 轴，可求出向量AD 与B E 的坐标，验证其数量积为30建立关于||F =0MP MQ =①，①对0(0,2)x ∈数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）③当0<x x '时，同理可证，与条件不符；∴当<0a 时，存在唯一的点[]ln(2),ln(2)P a f a ⎡⎤--⎣⎦使该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．【提示】（Ⅰ）求导函数，利用曲线()f x 在点[]1,(1)f 处的切线平行于x 轴，可求a 的值，令()e e 0xf x '=-<，可得函数()f x 的单调减区间；令()0f x '>，可得单调增区间；（Ⅱ）设点[]00,()P x f x ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+， 令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于()g x 有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（Ⅰ）若0a ≥，()g x 只有唯一零点0x x =，由P 的任意性0a ≥不合题意；（Ⅱ）若<0a ，令00()e e 2()x xh x a x x =-+-，则()0h x =，()e 2xh x a '=+，可得函数的单调性，进而可研究()g x 的零点，由此可得结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性 21.【答案】（Ⅰ）1a =1b =（Ⅱ）2110()21-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A【解析】（Ⅰ）设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y ，在矩阵A 对应变换下的项是(),P x y '''，则220()()11x a x ax x axax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎧⎛⎫⎛⎫==⇒⇒++=⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 2222()21a b x bxy y ∴+++=， 222a b ∴+=，22b =，1a ∴=，1b =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ， 2110||1()21-⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭A A ．【提示】（Ⅰ）确定点在矩阵0(0)1a a b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭A 对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A ；23.【答案】（Ⅰ）(2)||0f x m x +=-≥，||x m ∴≤，>0<<m m x m ⇒-，(2)011f x x +≥⇒-≤≤，1m ∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知111123a b c++=，a ，b ，c ∈R ， 由柯西不等式得：211123(23)2392323a b c a b c a bc a b c a bc ⎛⎫+++++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎭． 【提示】（Ⅰ）由条件可得(2)||f x m x +=-，故有||0m x -≥的解集为[]1,1-，即||x m ≤的解集为[]1,1-，故1m =；（Ⅱ）根据111233223(23111232233)a b c a c a b a b c a b c a b a b b c c c ⎛⎫++=++++++++ ⎪⎝⎭++=++，利用基本不等式证明它大于或等于9．【考点】带绝对值的函数，不等式的证明数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。
2012年高考数学福建文解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建文科卷）1.复数（2+i ）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i 【答案】A【解析】2(2)41434i i i +=-+=+【点评】本题考查复数的四则运算，意在考查复数的概念． 2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2} 【答案】D【解析】N 中元素-2不在M 中，因此，A 错； {2}M N N =≠ ，因此选D 【点评】本题考查集合的运算，考察学生的观察能力，清楚∩的意义是解决本题的前提．考查集合运算，或以列举法表述集合，或以不等式的形式表述集合，前者一般容易处理，后者要注意画数轴，以便准确观察．3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12B.x-1C.x=5D.x=0 【答案】D【解析】(1)220a b x ⋅=-⨯+=，解得0x =【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标表示与运算，考查学生对概念的理解，正确套用数量积坐标公式是解决本题的前提．4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可一世 A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱【答案】D【解析】圆柱的三视图，分别矩形，矩形，圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形【点评】本题考查空间几何体的三视图，对于一些常见的几何体，学生必须掌握其各个视图分别是什么．5.已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A.14 B.4C.32D.43【答案】C【解析】由题，259a +=，解得2a =，32c e a == 【点评】本题考查圆锥曲线的定义，基本量的关系．椭圆与双曲线，不论学习还是考试时，要时时进行对比，对较训练与思考，定义的大同小异，基本量关系的大同小异，都应该值得整理总结的．6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A. -3B.-10C.0D.-2【答案】A【解析】进入循环体， 第一次，1s =，2k = 第二次，0s =，3k = 第三次，3s =-，4k =然后，退出循环，输出3s =-【点评】本题考查了程序框图的阅读．考察学生的逻辑运算能力．一一推导是解决本题的前提．处理程序框图问题，要耐着性子，按流程线的方向逐一演算，合理取舍．7.直线与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于A. B. C. D.1【答案】B【解析】圆心为原点，到直线的距离为1d ==，||AB ==【点评】本题考查直线和圆的位置关系，直线的弦不是单纯套用弦长公式来求解，我们一般利用弦心距和半径来求弦长．8.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π【答案】C【解析】三角函数会在对称轴处取得最值，当4x π=-代入()sin()4f x x π=-得()1f x =-，取得函数的最小值，因此，直线4x π=-是对称轴．【点评】本题考查三角函数图象的性质，高中学习过的函数都有这样的共性，即在对称轴上会取得最值．9.设,则f(g(π))的值为A.1B.0C.-1D.π 【答案】B【解析】π为无理数，()0g π=，[()](0)0f g f π==．【点评】本题考查函数的基本性质，分段函数的求值，考察学生的逻辑判断能力，具体问题具体分析的辩证思维．确定函数值，是解决本题的前提．求解分段函数问题时，要注意按x 的不同取值，套入不同的函数段进行求解10.若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件则实数m 的最大值为A.-1B.1C. 32D.2 【答案】B 。
2012年高考福建文科数学试卷解析(教师版)
本套试题主要特点是注重基础、贯穿所学的考点，有实际应用问题（数学思想和方法解答实际问题，彰显了数学魅力），又由知识的综合与巧妙的结合（第17题把数列与概率巧妙的结合在一起，在知识交汇处命题，体现了高考命题的原则）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数（2+i ）2等于2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是 ⊆∪∩∩N={2}【解析】显然A ，B,C 错，D 正确； 【答案】D【考点定位】考查集合包含关系与运算.属基础题. 3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 【答案】D【考点定位】考查数量积的运算和性质，要明确性质.5 已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A314 B 32 C 32 D 43【解析】22353,2,.2a a e +=∴=∴=C 正确.【答案】C【考点定位】本题主要考察双曲线的标准方程、简单的几何性质，把握性质是关键. 7.直线3y 与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于 A. 5 B 23 C.3【解析】22220,02,=22(2 3.13r AB -=∴-=+圆心（），半径弦长B 正确.【答案】B【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系，考查计算求解能力.9.设1,01()00,()0,1,0x x f x x g x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩为有理数，为为无理数,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D π 【解析】()0,(())(0)0..g f g f B ππ=∴==正确【答案】B【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域和值域，考查求值计算能力.10.若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为【解析】3021,21x y y x m +-==∴≤和交点为（），只有才能符合条件.B 正确.【答案】B【考点定位】本题主要考察一元二次不等式表示平面区域，考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解能力.11.数列{a n }的通项公式cos,2n n a n π=其前n 项和为S n ，则S 2012等于 12、已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2012年高考(福建)化学学科试卷说明
2012年高考（福建）数学学科试卷说明数学学科命题组从学科整体着眼，关注数学本质，依据数学各分支在中学数学的地位及课时比例设置考点，确定考查力度，追求合理的知识结构和能力层次要求，着力从“立足基础、关注过程、突出探究、强调应用、追求‘开放’与‘多样’”等方面来体现课程标准的内涵、要求与理念，正确发挥高考的选拔功能及其对中学数学教学的导向作用。
1.立足学科基础关注学生后续学习的需要，较全面地考查了高中数学的基础知识和基本技能，文、理科试卷的知识覆盖面均达80%以上，有效地检测了学生是否具备进一步学习所必备的基础知识和基本技能。
同时，根据数学各分支在中学数学的地位及课时比例，合理选取试题素材，确定考查力度。
如复数、常用逻辑用语、线性规划、二项式定理、程序框图等拓展学生视野、为进一步学习作初步准备的知识，只作为选择题、填空题考查，占分比例小，试题难度也较小；而作为中学数学主体内容的六大主干知识，在文、理科试卷中分别占126分和118分，不但占分比例大，而且在各类题型中都作了较深入的考查，试题具有一定的难度。
2.突出数学本质立足数学学科本质，从数学各分支的核心内容、学科思想及教育价值入手设置试题，合理地检测学生的数学素养。
如理14、文8及理17、文20突出了对三角函数的性质及三角恒等变形的考查；理4、文4及理18、文19着重考查空间几何体的认识，空间点、线、面的位置关系，突出考查空间想象能力与逻辑推理能力；理16、文18突出了对统计图表的认识、统计量的实际意义的理解与应用、样本估计总体等知识的考查；理19、文21突出考查利用代数方法研究几何性质；理20、文22重点考查利用导数研究函数，突出导数的工具性作用；理14、文11、文17重点考查数列的概念，等差、等比数列的基本性质与计算，突出考查基本量法等。
3.强调能力立意坚持能力立意，关注对数学思想方法的考查。
试卷全面考查了《考试说明》所规定的五个能力和两个意识，全面考查了《考试说明》所规定的七大数学思想方法。
传承有创新平稳蕴新意——摭谈2012年福建省高考数学试卷
传承有创新平稳蕴新意——摭谈2012年福建省高考数学试
卷
林京榕
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2013(000)001
【摘要】2012年是福建省课标课程高考的第四年，在渗透课改理念，实现平稳过渡的同时，出现了诸多创新和突破．试题古朴典雅、彰显灵活，命题稳健、注重实效，整卷难易适中，坡度平缓，给人的总体感觉是“传承有创新，平稳蕴新意”．对数学基础、数学水平、数学能力不同的学生有着较好的区分度，有较强的选拔功能．试题对知识点的考查比往年更加灵活，能考查学生综合分析能力以及后续学习的潜能．本文摭谈2012高考数学（福建卷）的几个亮点．
【总页数】5页(P46-50)
【作者】林京榕
【作者单位】福建省尤溪第一中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.2012年福建省高考数学试卷评析(一)理科试卷的评析 [J], 林丹群;许如意
2.2012年福建省高考数学试卷评析(六)基于双基的试题评析 [J], 徐金源;方佩佩
3.2012年福建省高考数学试卷评析(四)基于区分的试题评析 [J], 郭清;罗薇
4.2012年福建省高考数学试卷评析(十一)基于“数学表征”的试题评析 [J], 阮金
锋;陈清华
5.2009年福建省高考数学试卷评析(二) 创新意识的考查分析 [J], 林方芳;杨石文因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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2012年福建高考考试说明及名师解读（数学卷）
今年数学命题突出能力立意，对知识的考查侧重于理解与应用，函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计要占有较大的比例。
考试范围：理科数学考试内容包括必考内容和选考内容两部分，必考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》必修课程和选修课程系列2的内容，选考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》选修课程系列4的4-2“矩形与变换”、4-4“坐标系与参数方程”、4-5“不等式选讲”三个专题的内容。
文科数学考试内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程与选修课程系列1的内容。
试卷结构：全卷满分150分，难度值控制在0.6左右，其中难度值在0.7以上的试题为容易题，难度值在0.4~0.7的试题为中等题，难度值在0.4以下的试题为难题，易、中、难试题的比例约为4∶4∶2。
理科数学选择题共10题，每题5分，共计50分;填空题共5题，每题4分，共计20分;解答题共6题，其中必考题5题，选考题1题(包含3小题，每小题7分，考生从中任选2小题作答，满分14分)，共计80分。
文科数学选择题共12题，每题5分，共计60分;填空题共4题，每题4分，共计16分;解答题共6题，共计74分。
参考试卷改动较大
解读者：福州三中数学教研组
变化
与2011年相比，2012年的文理科《考试说明》在命题思想、试卷结构、目标与要求等方面都没有变化，不过，部分例题改成了2011年各地高考卷中出现的试题。
这些更新、更鲜活的例题，同样是用来解释、说明对考生的知识和能力要求。
考试内容方面，今年的理科《考试说明》在“选考内容与要求”中，删除了部分内容。
在“2.坐标系与参数方程”中，删除了两小条：一条是“了解坐标系、球坐标系中表示空间重点的位置和方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别”；还有一条是“了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程”。
此外，在“3.
不等式选讲”中，删除了“会用向量递归方法讨论排序不等式”和“会用数学归纳法证明贝努利不等式”。
参考试卷改动较大，理科试卷总共21小题，其中有13道跟去年不一样。
文科试卷总共22小题，其中有9道题跟去年不一样。
不过，题型与试卷结构仍保持不变。
特点
命题思想求稳，例题求新、求鲜活。
命题重点、命题思想、命题原则、命题导向和命题特色都没有变，试卷结构也没有变，但部分示例变鲜活。
复习建议
重视《考试说明》看懂题型示例
一些老师和学生往往埋头在题海当中，却忽略了《考试说明》这一高考命题的权威标准。
对《考试说明》，教师要研读，考生要细读。
考生尤其要关注例题的解法以及解法后面的一段简短的文字。
通过这段文字的说明，考生可以了解知识题的难易程度、能力是通过什么方式来考查的、思想方法是如何渗透在解题思路当中的，这能够帮助考生更好地认识高考的命题特点和方法，更有针对性地展开训练。
此外，考生还应该把参考试卷当作一份模拟卷，在一轮复习之后，花2个小时时间给自己进行一次“模拟考”，仿真感受一下高考试卷结构，体会参考试卷的考查方式，学习如何在考试中合理分配时间等。