弯曲应力

F
c
k
0.06
z
2m
0.18
sk
M Iz
y
0.12
又问：梁中最大压应力发生在哪个部位？
30
例：受均布载荷作用的简支梁如图，试求：
（1）1-1截面上1、2两点的正应力；
（2）全梁的最大拉应力；
1
q=60 kN/m
120
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1m
B 2m
1
z
2
y
180
20
30
180
M
12
Mmax ql2 /8 67.5kN • m
律：
s My Iz
4.说明：
1.此式也适用横力
弯曲状态；
2.此式也适用其它 有对称轴的截面形
M
状。
M
z
y
中性轴z的特点：过截面形心，垂直对称轴。
1
图示为某梁的横截面， C为
截面的形心。当横截面上有
正弯矩时，画出正应力在1－
z
1、2－2直线上的分布规律。 C 2
1y 2
例：长为L的矩形截面梁，在自由端作用一 集中力F=1.5kN。求梁的C截面上k点的正 应力（截面尺寸单位为m）。
称为中性层。
z 中性层与横截面 的交线称为中性
x 轴（z轴）。
y轴：横截面上的
对称轴。 y
下面像推导圆轴扭转时横截面上的切应力一样， 从几何方面、物理方面、静力学方面来研究纯 弯曲梁横截面上的正应力。
3.推导弯曲正应力σ公式的三步曲？
1）变形的几何关系 2）物理关系 3）静力关系
纯弯曲正应力σ公式的推导思路：
第5章 弯曲应力
回顾与比较：
1.轴向拉压杆横截面上有轴力、正应力σ。
2.扭转的圆轴横截面上有扭矩、剪应力τ。
M
F
F
M
3.梁弯曲变形后，横截面上的应力有哪些？
5.1 纯弯曲
1.什么是平面弯曲？
P
q
m
纵向对称面
杆件轴线
F
q
M
对称弯曲
轴线
弯曲后梁的轴线 纵向对称面 •具有纵向对称面 •外力都作用在此面内
y
σmax M
z
σmax y
中性轴的位置？ 中性层的曲率1 ？
3、静力学方面 s Ey
FN
s dA
A
0
M
M y
zsdA 0
A
yx
Mz
ys dA M
A
z sdA
FN
s dA 0
A
A
E
y dA
0
E
ydA 0
A
ydA 0
A
yC
A ydA
A
0
中性轴z必过截面形心
3、静力学方面 s Ey
• 纯弯曲梁横截面上只有正应力。
M
s
FS
t
实验观察
表面变形情况： 1.纵线变为曲线，
凹侧缩短，凸侧 伸长； 2.横线仍为直线， 并与变形后的纵 线保持正交，只 是相对转动。
通过现象进行分析01：
现象2：表面的两横线仍为直线，并与变 形后的纵线保持正交，只是相对转动。
Up
Down
梁在纯弯曲时的平面假设：
Mz
ys dA M
A
M ysdA
A
M
yE y dA E
y 2dA
A
A
令Iz y2dA 截面对z轴的惯性矩
A
ρ为曲率半径
s My
Iz
M
yx
z sdA
1 M
EI z
s My
Iz
z
M y
理解为s M y
Iz
σmax压
M
σmax拉 σmax
拉
M
σmax压
横截面上的最大正应力 s M y
⑴ 截面关于中性轴对称
Iz
z s max
My max Iz
M
I z / ymax
M
Wz
y
Wz
Iz ymax
抗弯截面系数
[s ]
⑵ 截面关于中性轴不对称
cz y
y1
s max c
M y1 Iz
[s c ]许用压应力
y2
s max
t
M y2 Iz
[s t ]许用拉应力
3.根据公式可知横截面上正应力的分布规
smax
Mmaxymax Iz
s
σmax
Mmax Wz
s
3.确定承载能力
例： T形截面铸铁梁，已知截面对中性轴z的惯性
矩 Iz ＝ 764cm4 。 y1=52mm 。 许 用 拉 应 力 [s]+=30MPa，许用压应力 [s]-=60MPa。校核
梁的强度。
80
120 20
9kN 4kN
FN
s dA
A
0
M
M y
zs dA
A
0
yx
Mz
ys dA M
A
z sdA
M y
zs dA 0
A
yE
zE
A
dA
zydA 0
A
zydA I yz 0
如果y轴为横截面的对称 轴，这一条件恒满足。
A
3、静力学方面
FN
s dA
A
0
s Ey
M y
zs dA
A
0
梁的各个横截面在变形后仍保持为平 面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截 面绕某一轴旋转了一个角度。
Rest
通过现象进行分析02： 现象1：表面的纵线弯成弧线，靠近顶面的纵
线缩短，而靠近底面的纵线则伸长。
m
12
m
cd
ab
12
m
m
c d
a b
z
x轴：梁的轴线。
中性层：梁内有一层既不伸长也不缩短，此层
1）线应变ε
2）应变和应力的关系
3）应力和内力的关系
1）变形的几何关系
M
N
M dx
N
M
N
dx
M
zN y
1、几何方面：
:中性层的曲率半径。
应变
变形后长 原长
原长
ab ab
ab
( y)d d y
d
Up
P
Down
ρ
dθ
1
2
o'
a'
o'
b'
y
1 dx 2
x
o
o
a
y
b
Rest
2、物理方面 s E Ey
•弯曲变形后轴线变成纵向对称面内的平面曲线
2.什么是纯弯曲、横力弯曲？
F A
aC
F B
Da
F 横力弯曲 纯弯曲 F
F
FS
C
D x
F
x
M
Fa
5.2 纯弯曲时的正应力
推导弯曲正应力σ的过程中，理解：
1.梁弯曲后哪一层为中性层？ 2.中性轴是在梁的横截面上还是在纵截面
上？梁变形时横截面如何转动？
• 弯曲M在梁的横截面上产生正应力。 • 剪力FS在梁的横截面上产生切应力。 • 纯弯曲：某段梁上弯矩为常值（或剪力为零） 的弯曲。
120
ql2/ 8
M1 60kN • m
作业：5.2 、5.3
若将圆形截面杆的直径增加一倍，则杆的 抗拉刚度、抗扭刚度和抗弯刚度各为原来 的多少倍？
抗拉刚度？ EA
z
抗扭刚度？ GI p
抗弯刚度？ EI z
5.3 横力弯曲时的正应力
如果材料的弯曲许用正应力为[s]
1.强度校核 2.选择截面尺寸
4kN.m
M
-
C
+
B
2.5kN.m
80
120 20
y1
z
y2
B截面：
（sm ax )B
MB y1 Iz
27.2 MPa
A RA
C
RBB
1m
1m 1m
y1
z
y2
y 20
解：(1)求反力，画弯矩图。
4kNm
M
-
+
2.5kNm
RA＝2.5 kN RB ＝ 10.5 kN
危险截面可能在B 、 C截面。
已 知 截 面 对 中 性 轴 z 的 惯 性 矩 Iz ＝ 764cm4 。 y1=52mm。许用拉应力[s]+=30MPa，许用压应力 [s]-=60MPa。校核梁的强度。