安徽省巢湖市烔炀中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学理试卷 Word版含答案
高二数学下学期期中试题文(6)word版本
安徽省六安市舒城中学2017-2018 学年高二数学放学期期中试题文： 120 分分：150分一 .( 本大共12 小 , 每小 5 分, 共 60 分. 在每小出的四个中, 只有一个是符合要求的 , 你将切合要求的的序号填在括号内)1．右边的程序框，运转相的程序，若入的，出的（）（A）（B）（C）（D）2．一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三如右，截去部分体与节余部分体的比（）A ．1B．1C ．1D．1 87653.了研究某品的效，取若干名志愿者行床，全部志愿者的舒数据（位：kPa ）的分区[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的序分号第一，第二，⋯⋯，第五，右是依据数据制成的率散布直方. 已知第一与第二共有20人，第三中没有效的有 6 人，第三中有效的人数（）(A)(B)(C)(D)4. 体由号01,02 ，⋯， 19,20 的 20 个个体成 . 利用下边的随机数表取 5 个个体，取方法是从第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左往右挨次取两个数字，出来的第 5 个个体的号（）7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714019832049234493682003623486969387181A. 01B. 02C. 14D. 195. A, B两名同学在次数学考试中的成绩统计以下边的茎叶图所示，若A, B 两人的均匀成绩分别是 x A , x B，察看茎叶图，以下结论正确的选项是（）A.x A x B，比成绩稳固B.x A x B，比成绩稳固C.x A x B，比成绩稳固D.x A x B，比成绩稳固6．已知双曲线：x2y21（a0 ， b0 ）的渐近线方程为y 2 x ，则双曲线的离心率等a2b2于（）5A. B. C. D.27．在箱子中装有十张卡片, 分别写有到的十个整数. 从箱子中任取一张卡片, 记下它的读数, 而后放回箱子中 , 第二次再从箱子中任取一张卡片, 记下它的读数, 则x y 是的倍数的概率为（）A.123D.1B. C.2510 9158．对拥有线性有关关系的变量x, y ，测得一组数据以下245682040607080依据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y 10.5 x a ，据此模型展望当x10时，的预计值为（）A.105.5B.106C.106.5D.1079．在长为 cm 的线段AB上任取一点 , 以AG为半径作圆 , 则圆的面积介于36~ 64cm2的概率是（）A.9B. 16C.3D.1252510510．甲、乙、丙三人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球, 经过次传球后 , 球仍回到甲手中的概率为（）A.1B.1C. 3D.53481611．若在区[ 0,2]上随机取两个数，两个数之和小于的概率是（）A.7B.3C. 5D.1888812．已知函数y f (x) 随意的x0,足 f x sinx f x cosx (此中 f x 函数f (x) 的函数),以下不等式建立的是（）A.f 2 fB.f 2 f4646C.f 2 fD.f 2 f6464二．填空（本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分）13．一个体中有100 个个体，随机号0，1， 2，⋯ ,99 ，依号序均匀分红10 个小，号挨次1， 2，⋯， 10. 用系抽方法抽取一个容量10 的本，假如在第一随机抽取的号6，那么在第7 中抽取的号是．14.下是一数据的率真方，数据的中位数．15．抛物y2 2 px( p0) 的焦点，抛物上的点，A7p,0 ，若AF2MF ，2AMF 的面27 2，的．216．若函数f x2ae x x2 3 （常数，是自然数的底）恰有两个极点，数的取范是．三 .解答（本大共 6 小，共70 分 . 解答写出必需的文字明、明程及演算步）17．（本分10 分）已知数列 {} 的通公式a n =2n 1 .（1）求 {} 的前和；（2）设b n Sn，试求111．n b1b2b2b3bnbn 118．（此题满分 12 分）某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩能否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩均匀分（采纳百分制），剔除均匀分在分以下的学生后，共有男生300名，女生 200 名.现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为组，获得以下所示频数散布表.分数段[ 40,50)[50,60)[ 60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男女（ 1）预计男生的均匀分（同一组数据用该组区间中点值作代表）；（2）规定分以上为优分（含分），请你依据已知条件达成下边的2 2 列联表，并判断能否有％以上的掌握以为“数学成绩与性别有关”.优分非优分总计男生女生总计附表及公式：P(K 2k0 )0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828K 2n(ad bc) 2d )( a b)(c d )( a c)(b19．（此题满分 12 分）某服饰批发市场1 5 月份的服饰销售量与收益的统计数据以下表:月份12345销售量(万件)36478收益(万元)19 34 26 41 46(1) 已知销售量与收益大概知足线性有关关系, 请依据前个月的数据 , 求出对于的线性回归方程y b x a ；(2) 若由线性回归方程获得的收益的预计数据与真切数据的偏差不超出万元, 则以为获得的收益的预计数据是理想的. 请用表格中第个月的数据查验由(1) 中回归方程所得的第个月的收益的估计数据能否理想 ?ni 1x i yi参照公式:bn x i 2 i 1nxy , a y b xnx 220. （此题满分 12 分）以下图，四棱锥B AEDC 中，平面 AEDC ⊥平面 ABC ，为 BC 的中点，为 BD 的中点，且AE // DC ， ACDBAC90o ， DCAC AB 2 AE .（1）证明：⊥平面BCD ；（2）若 DC2 ，求三棱锥 E BDF 的体积 .21．( 此题满分 12 分）已知椭圆：x2y 2 1（ a b0 ）的左、右极点分别为 A, B ， a 2b ，a 2b 2点在上，在轴上的射影为的右焦点，且|EF | 1 .2（ 1）求的方程；（ 2）若 M , N 是上异于 A, B 的不一样两点，知足 BMBN ，直线 AM , BN 交于点，求证：在定直线上 .22．（此题满分 12 分）已知函数f x2e x 3x 2 2x 1 b ， x R 的图象在 x 0 处的切线方程为 yax 2.（1）求函数f x 的单一区间；（2）若存在数，使得 f x 2x23x 2 2k 0 建立，求整数的最小.参照答案一、1．若行下所示的程序，出的果，判断框中填入的条件（）A. B. C. D.2．某三棱的三如所示，三棱的体( )A. 10B. 20C. 30D. 603．某校高二一班的数学期末考成行了，班学生的分数都在到140 分之，其率散布直方如所示，若130~140分数段的人数，100~120分数段的人数（）A. 12B. 28C. 32D. 404．体由号01,02 ，⋯， 19,20 的 20 个个体成 . 利用下边的随机数表取 5 个个体，取方法是从第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左往右挨次取两个数字，出来的第 5 个个体的号（）A. 01B. 02C. 14D. 195．A ，B 两名同学在 5 次数学考试中的成绩统计以下边的茎叶图所示，若 A ，B 两人的均匀成绩分别是 x A , x B ，察看茎叶图，以下结论正确的选项是（）A. x A x B ， B 比 A 成绩稳固B. x A x B ， B 比 A 成绩稳固C. x Ax B ， A 比 B 成绩稳固 D. x Ax B ， A 比 B 成绩稳固x 2 y 2 1（ a 0， b 0 ）的渐近线方程为y 2x ，则双曲线的离心率等6．已知双曲线：2b 2a于（ ）A.B.C.D.527．在箱子中装有十张卡片 , 分别写有 1 到 10 的十个整数 ; 从箱子中任取一张卡片, 记下它的读数 ,而后放回箱子中 ; 第二次再从箱子中任取一张卡片, 记下它的读数 , 则 xy 是 10 的倍数的概率为()1 2 3 1A. 9B. 15C. 25D. 108．对拥有线性有关关系的变量 x, y ，测得一组数据以下x 2 4 5 6 8 y2040607080依据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 y 10.5 x a ，据此模型展望当x 10时，的预计值为（ ）A. 105.5B. 106C. 106.5D. 1072 的概9．在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 G , 以 AG 为半径作圆 , 则圆的面积介于 36~64cm率是 ()A. B. C.D.10．甲、乙、丙三人相互 球 , 由甲开始 球 , 并作 第一次 球 ,4 次 球后 , 球仍回到甲手中的概率 （）1 1 35 A. 3 B. 4 C. 8 D.1611．若在区上随机取两个数， 两个数之和小于 3 的概率是（ ）A. B. C. D.12．已知函数 y =f( x ) 随意的 x 0,足 f x sinxf x cosx ( 此中 fx 函数 f ( x )的 函数 ), 以下不等式建立的是（）A. f2 f6B.f2 f44 6C.f2 fD.f2 f6464二、填空13．一个 体中有 100 个个体，随机 号 0，1， 2，⋯ ,99 ，依 号 序均匀分红10 个小 ，号挨次1，2，⋯， 10. 用系 抽 方法抽取一个容量 10 的 本，假如在第一 随机抽取的号 6，那么在第7 中抽取的号 是 _________．14．下 是一 数据的 率真方 ， 数据的中位数 ______.15．抛物 y22 px( p 0) 的焦点 ， 抛物 上的点，A 7p,0 ，若 AF2MF ，2AMF 的面27 2， 的 __________ ．216．若函数 f x2ae x x 2 3 （ 常数，是自然 数的底）恰有两个极 点， 数的取范 是 __________．三、解答题17．已知数列 {} 的通项公式为a n=2n1（ 1）求 {}的前 n 项和（ 2）设b n S n，试求111n b1b2b2 b3．b n b n 118．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩能否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩均匀分（采纳百分制），剔除均匀分在分以下的学生后，共有男生 300名，女生 200 名.现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为组，获得以下所示频数散布表 .分数段[ 40,50)[ 50,60)[60,70)[70,80)[ 80,90)[90,100]男女（ 1）预计男、女生各自的均匀分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，数学成绩与性别能否有关？（2）规定分以上为优分（含分），请你依据已知条件达成下边的2 2列联表，并判断能否有％以上的掌握以为“数学成绩与性别有关” 。
2017-2018年安徽省合肥一中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
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2017-2018 学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．（5 分）若函数 f（x）的定义域为 R，其导函数为 f′（x）．若 f′（x）＜3 恒
成立，f（﹣2）=0，则 f（x）＜3x+6 解集为（ ）
（I）讨论函数 h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间； （II）若直线 g（x）=﹣ax+b 是函数 f（x）=lnx﹣ 图象的切线，求 b﹣a 的最小
值． 20．（13 分）已知函数 f（x）=2alnx﹣x+ ．
（Ⅰ）若 a=2，求 f（x）在（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）若 f（x）对任意 x∈（0，1]均有 f（x）≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
是
．
16．（5 分）设曲线 y=cosx 与 x 轴、y 轴、直线
围成的封闭图形的面积为 b，
若 g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx 在[1，+∞）上单调递减，则实数 k 的取值范围
是
．
三、解答题（本题共 6 道小题，17 题 10 分，18 题 10 分，19 题 10 分，20 题 13
分，21 题 13 分，22 题 14 分）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）若复数 z 满足
，则复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 4．（5 分）设 a=
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
dx，b= xdx，c= x3dx，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
5．（5 分）设 i 是虚数单位，复数
2017-2018学年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷
2017-2018学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 复数1−2+i +11−2i 的虚部是( )A. 15iB. 15C. −15iD. −15【答案】B【解析】解：依题：1−2+i +11−2i =−15+15i .∴虚部为15． 故选：B ．本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念． 本题是对基本概念的考查．2. 下列求导运算正确的是( )A. (cos x )′=sin xB. (ln2x )′=1xC. (3x )′=3x log 3eD.(x 2e x )′=2xe x 【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，(cos x )′=−sin x ，A 错误；对于B ，(ln2x )′=(2x )′×12x =1x ，B 正确；对于C ，(3x )′=3x ln3，C 错误；对于D ，(x 2e x )′=(x 2)′e x +x 2(e x )′=(2x +x 2)e x ，D 错误； 故选：B ．根据题意，依次分析选项，计算选项中函数的导数，综合即可得答案． 本题考查导数的计算，关键是掌握函数的导数计算公式．3. 函数y =f (x )在点(x 0,y 0)处的切线方程y =2x +1，则△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x等于()A. −4B. −2C. 2D. 4【答案】D【解析】解：∵f ′(x 0)=2，f ′(x 0)=△x →0limf (x 0)−f (x 0−△x )=2∴△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x =2△x →0lim f (x 0)−f (x 0−2△x )2△x=4故选：D ．根据导数几何意义得f ′(x 0)=2，由导数的定义知f ′(x 0)=△x →0limf (x 0)−f (x 0−△x )△x，由此配出分母上的数字2能够求出△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x的值．本题考查导数的概念和极限的运算，解题时要认真审题，解题的关键是凑出符合导数定义的极限形式，属于基础题．4. 由曲线y =e x ，y =e −x 以及x =1所围成的图形的面积等于( )A. 2B. 2e −2C. 2−1eD. e +1e −2【答案】D【解析】解：曲线y =e x ，y =e −x 的交点坐标为(0,1) 由曲线y =e x ，y =e −x 以及x =1所围成的图形的面积就是： 01(e x −e −x )dx =(e x +e −x )|01=e +1e −1−1=e +1e −2故选：D ．先求出曲线y =e x ，y =e −x 的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．本题考查指数函数的图象，定积分，考查计算能力，是基础题．5. 直线y =12x +b 是曲线y =ln x 的一条切线，则实数b 的值为( )A. 2B. ln2+1C. ln2−1D. ln2【答案】C【解析】解：y ′=(ln x )′=1x ，令1x =12得x =2， ∴切点为(2,ln2)，代入直线方程y =12x +b ， ∴ln2=12×2+b ，∴b =ln2−1．故选：C ．欲实数b 的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．6. 用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12−1<n (n ∈N 且n >1)，第二步证明中从“k 到k +1”时，左端增加的项数是( ) A. 2k +1 B. 2k −1 C. 2kD. 2k−1【答案】C【解析】解：当n =k 时，左端=1+12+13+⋯+12−1，那么当n =k +1时 左端=1+12+13+⋯+12−1+12+⋯+12−1=1+12+13+⋯+12k −1+12k +⋯+12k +2k −1，∴左端增加的项为12k +12k+1+⋯+12k+2k−1，所以项数为：2k．故选：C．当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．7.已知x∈(0,+∞)有下列各式：x+1x ≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+27x3=x3+x3+x 3+27x3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+ax4≥5，则正数a=()A. 4B. 5C. 44D. 55【答案】C【解析】解：由已知中：x∈(0,+∞)时，x+1x≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+273=x+x+x+273≥4…归纳推理得：x+n nx n≥n+1，若x+ax≥5，则n+1=5，即n=4，此时a=n n=44，故选：C．由已知中的不等式x+1x ≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+27x3=x3+x3+x3+27x3≥4，归纳推理得：x+n nx≥n+1，进而根据n+1=5，求出n值，进而得到a值．本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知归纳推理得：x+n nx≥n+1，是解答的关键．8.设函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，∴当x>−2时，f′(x)>0；当x=−2时，f′(x)=0；当x<−2时，f′(x)<0．∴当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)>0．故选：A．由题设条件知：当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)>0.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9.若a=ln33，b=ln55，c=ln66，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c 【答案】B【解析】解：令f(x)=ln xx (x≥e)，则f′(x)=1−ln xx2≤0，∴函数f(x)在[e,+∞)上单调递减，∴a=ln33>b=ln55>c=ln66，即a>b>c．故选：B．令f(x)=ln xx (x≥e)，则f′(x)=1−ln xx≤0，可得函数f(x)在[e,+∞)上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若函数f(x)=2x2−ln x在其定义域内的一个子区间(k−1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A. [1,+∞)B. [1,32) C. [1,2) D. [32,2)【答案】B【解析】解：因为f(x)定义域为(0,+∞)，又f′(x)=4x−1x，由，得x=12．当x∈(0,12)时，，当x∈(12,+∞)时，0'/>据题意，k−1<12<k+1 k−1≥0，解得1≤k<32．故选：B．先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x)，在函数的定义域内解方程fˊ(x)=0，使方程的解在定义域内的一个子区间(k−1,k+1)内，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．11.若点P(a,b)在函数y=x2+3ln x的图象上，点Q(c,d)在函数y=x+2的图象上，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为()A. B. 8 C. 2 D. 2【答案】B【解析】解：设直线y=x+m与曲线y=−x2+3ln x相切于P(x0,y0)，由函数y=−x2+3ln x，∴y′=−2x+3x，令−2x0+3x=1，又x0>0，解得x0=1．∴y0=−1+3ln1=−1，可得切点P(1,−1)．代入−1=1+m，解得m=−2．可得与直线y=x+2平行且与曲线y=−x2+3ln x相切的直线y=x−2．而两条平行线y=x+2与y=x−2的距离d=2=22．∴(a−c)2+(b−d)2的最小值=(22=8．故选：B．先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=−x2+3ln x相切的直线y=x+m.再求出此两条平行线之间的距离(的平方)即可得出．本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题．12.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】解：f′(x)=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3(f(x))2+2af(x)+b=0，得x=x1，或x=x2，即3(f(x))2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x2)=x2的解．如图所示，由图象可知f(x)=x1有2个解，f(x)=x2有1个解，因此3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3．故选：A．求导数f′(x)，由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f(x)的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.设复数z=2−i1+i，则z的共轭复数为______．【答案】12+32i【解析】解：∵z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i.∴z=12+32i.故答案为：12+32i．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．14.学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．【答案】B【解析】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．15.如图所示的数阵中，第15行第2个数字是______．【答案】1106【解析】解：不妨令a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，……，则a3−a2=2，a4−a3=3，a5−a4=4，…a15−a14=14，将以上各式相加得a15−a2=2+3+4+⋯+14=(2+14)×132=104，∴a15=104+2=106，即15行第2个数字是1106，故答案为：1106．观察这个数列每一行第二个数的倒数，然后相邻两项作差，然后利用叠加法求出第15行第2个数的倒数，从而求出所求．本题主要考查归纳推理的应用，观察分母，利用作差法以及累加法进行求解是解决本题的关键．16.以下判断正确的序号是______．(1)集合M={1,2，zi}，i为虚数单位，N={3,4}，M∩N={4}，则复数z=−4i；(2)04(|x−1|+|x−3|)dx=10；(3)已知函数f(x)=x3+x，对任意的m∈[−2,2]，f(mx−2)+f(x)<0恒成立，则x的取值范围为(−2,23)；(4)设f1(x)=cos x，定义f n+1(x)为f n(x)的导数，即，n∈N若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+⋯+f2018(A)=13，则sin2A=89．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】解：(1)集合M={1,2，zi}，N={3,4}，M∩N={4}，可得zi=4，解得z=−4i，故(1)正确；(2)04(|x−1|+|x−3|)dx=1004(|x−1|+|x−3|)dx=01(4−2x)dx+132dx+34(2x−4)dx=(4x−x2)| 01+(2x)| 13+(x2−4x)| 34=4−1+6−2+16−16−9+12=10，故(2)正确；(3)函数f(x)=x3+x，f(x)为奇函数，且为R上的增函数，对任意的m∈[−2,2]，f(mx−2)+f(x)<0恒成立，可得f(mx−2)<−f(x)=f(−x)，即为mx−2<−x，可得mx−2+x<0，即−2x−2+x<0，且2x−2+x<0，解得−2<x<23，故(3)正确；(4)设f1(x)=cos x，定义f n+1(x)为f n(x)的导数，可得f2(x)=−sin x，f3(x)=−cos x，f4(x)=sin x，f5(x)=cos x，f6(x)=−sin x，…，若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+⋯+f2018(A)=13，可得cos A−sin A−cos A+sin A+cos A−sin A+⋯+cos A−sin A=13，即有504×(cos A−sin A−cos A+sin A)+cos A−sin A=13，可得cos A−sin A=13，两边平方可得1−2cos A sin A=19，则sin2A=89，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(3)(4)．(1)由集合的交集定义和复数的运算，可得z；(2)讨论x的范围，去绝对值，求得原函数，运用定积分公式计算可得；(3)判断f(x)为奇函数，且为R上的增函数，由一次函数的单调性，计算可得所求范围；(4)运用导数的运算性质，求得周期性，再由同角的基本关系式可得所求值．本题考查命题的真假判断，考查集合与复数的概念、定积分的求法、函数的奇偶性和单调性的运用和导数的运用、周期性的运用和同角基本关系式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知函数f(x)=(ax+b)ln x−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．【答案】解：(1)因为f(1)=−b+3=2，所以b=1，又f′(x)=bx +a ln x+a−b=1x+a ln x+a−1，而函数f(x)=(ax+b)ln x−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2，所以，所以a=0；(2)由(1)得f(x)=ln x−x+3,f′(x)=1x−1，当0<x<1时，0'/>；当x>1时，；所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有极大值f(1)=2，无极小值．【解析】(1)利用切线方程，转化求解a，b即可．(2)利用函数的导数，判断函数的单调性然后求解函数的极值即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查计算能力．18.由下列不等式：1>12，1+12+13>1,1+12+13+⋯+17>32,1+12+13+⋯115>2,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【答案】解：根据给出的几个不等式1+12+13>1,1+12+13+⋯+17>32,1+12+13+⋯+115>2,…可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：1+12+13+⋯+12n−1>n2,n∈Z．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1>12，猜想正确．②假设n=k时猜想成立，即1+12+13+⋯+12−1>k2，则n=k+1时，1+12+13+⋯+12k−1+12k+12k+1+⋯+12k+1−1>k2+12k+12k+1+⋯+12k+1−1>k2+12k+1+12k+1+⋯+12k+1=k2+2k2k+1=k+12，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式成立．【解析】根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可．本题考查数学猜想，以及数学归纳法的证明，注意n=k+1时必须用上假设，考查逻辑思维能力，计算能力．19.(1)已知a>0，b>0且a+b>2，求证：1+b2,1+ab中至少有一个小于2；(2)已知a>0,1b −1a>1，求证：1+a>1−b．【答案】证明：(1)假设1+ba ,1+ab都不小于2，则1+ba≥2,1+ab≥2，∵a>0，b>0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，两式相加得：2+a+b≥2(a+b)，解得a+b≤2，这与已知a+b>2矛盾，故假设不成立，∴1+ba ,1+ab中至少有一个小于2；(2)∵1b −1a>1,a>0，∴0<b<1，要证1+a>1−b，只需证1+a⋅1−b>1，只需证1+a−b−ab>1，只需证a−b−ab>0，即a−bab>1，即1b −1a>1，这是已知条件，所以原不等式成立．【解析】(1)利用反证法，推出a+b≤2，与已知a+b>2矛盾，从而证明不等式．(2)利用分析法的证明步骤，逐步证明推出不等式成立的充分条件即可．本题考查不等式的证明，分析法以及反证法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．20.已知函数f(x)=ax+ax−3ln x．(1)当a=2时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在(1,e]上为单调函数，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2x+2x −3ln x，∴f′(x)=2−2x−3x=2x2−3x−2x．令，得x=2或x=−12(舍)．又当x=2时，f(x)极小=f(2)=5−3ln2，∴当a=2时，函数f(x)的最小值为5−3ln2．(2)∵f(x)=ax+ax −3ln x，∴f′(x)=ax2−3x−ax2，又f(x)在(1,e]上为单调函数，∴当x∈(1,e]时，或恒成立，也就是ax2−3x−a≥0或ax2−3x−a≤0对∀x∈(1,e]恒成立，即a≥3xx−1或a≤3xx−1对∀x∈(1,e]恒成立．令G(x)=3xx2−1，则G′(x)=−3(x2+1)(x2−1)2．∴当x∈(1,e]时，在(1,e]上单调递减，又当x→1时，G(x)→+∞；当x=e时，G(x)=3ee−1，∴a≤3ee2−1，故f(x)在(1,e]上为单调函数时，实数a的取值范围为(−∞,3ee2−1]．【解析】(1)当a=2时，代入函数的解析式，求出函数的导数，因为定义域为开区间，求得极值即为最值．(2)先求，再由“f(x)在[1,e]上为单调函数”转化为“或在[1,e]上恒成立”，最后转化为最值法求解．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．21.已知函数f(x)=e x−ax,a∈R．(1)若f(x)在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；(2)求证：当0<a<1，x>0时，f(x)>1恒成立．【答案】解：(1)由题意知f′(x)=e x(x−1)+ax2，令g(x)=e x(x−1)+a，(x≠0)，则，当x<0时，，g(x)在(−∞,0)上单调递减，当x>0时，0'/>，g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=a−1，∵f(x)在定义域内无极值点，∴a >1，又当a =1时，f (x )在(−∞,0)和(0,+∞)上都单调递增也满足题意， 所以a ≥1； (2)证明：f ′(x )=e x (x−1)+ax 2，令g (x )=e x (x −1)+a ，由(1)可知g (x )在(0,+∞)上单调递増， 又 g (1)=a >0g (0)=a−1<0，所以存在唯一的零点x 0∈(0,1)，故f (x )在(0,x 0)上单调递减， 在(x 0,+∞)上单调递増， ∴f (x )≥f (x 0)，由e x 0(x 0−1)+a =0知f (x 0)=e x 0>1， 即当0<a <1，x >0时，f (x )>1恒成立．【解析】(1)求出导函数，构造函数g (x )=e x (x −1)+a ，(x ≠0)，求出，通过当x <0时，当x >0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解即可． (2)求出f ′(x )=e x (x−1)+ax 2，令g (x )=e x (x −1)+a ，求出函数的最值，证明结论即可．本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．22. 已知函数f (x )=x (ln x +1)．(1)求函数f (x )的最小值；(2)设，讨论函数F (x )的单调性；(3)若斜率为k 的直线与曲线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，求证：x 1<1k<x 2．【答案】解：(1)定义域为(0,+∞)， 0)'/>，令，得x =1e ，当x ∈(0,1e 2)时，；当x ∈(1e 2,+∞)时，0'/>，则f (x )在(0,1e 2)上递减，在(1e 2,+∞)上递增， ∴当x =1e 2时，f (x )min =1e 2(ln 1e 2+1)=−1e 2； (2)F (x )=ax 2+ln x +2,F ′(x )=2ax +1x=2ax 2+1x(x >0)，①当a ≥0时，恒有 0'/>，F (x )在(0,+∞)上是增函； ②当a <0时，令0'/>，即2ax 2+1>0，解得0<x < −12a；令，即2ax 2+1<0，解得x > −12a；综上，当a ≥0时，F (x )在(0,+∞)上是增函数； 当a <0时，F (x )在(0, −12a)上单调递增，在( −12a ,+∞)上单调递减； (3)由题目可知，直线的斜率k =f ′(x 2)−f ′(x 1)x 2−x 1=ln x 2−ln x 1x 2−x 1，要证：x 1<1k <x 2，即证：x 1<x 2−x1ln x 2−ln x 1<x 2，由于涉及到两个变量，不太好处理，所以考虑变量集中，给双连不等式的左中右同除以x1，等价转化为1<x21−1ln x21<x2x1，令t=x2x1，则只要证：1<t−1ln t<t，由t>1，知ln t>0，故等价于证：ln t<t−1<t ln t(t>1)(∗)，①设g(t)=t−1−ln t(t>1)，则g′(t)=1−1t>0(t>1)，∴g(t)在(1,+∞)上是增函数，当t>1时，g(t)=t−1−ln t>g(1)=0，∴t−1>ln t；②设ℎ(t)=t ln t−(t−1)(t>1)，则0(t> 1)'/>，∴ℎ(t)在(1,+∞)上是增函数，∴当t>1时，ℎ(t)=t ln t−(t−1)>ℎ(1)=0，∴t ln t>t−1(t>1)，由①②知(∗)成立，∴x1<1k<x2．【解析】(1)数字系数的函数的最值求解，用常规方法即可．(2)转化为含参函数不等式的求解，通过解不等式判断单调性．(3)先利用题目条件，将k和导函数建立联系，然后将待证命题等价转化，再利用变量集中思路，转化为一元不等式的证明，接下来作差法构造函数证明即可．(1)第一问是常规问题，(2)第二问是含参不等式的求解，有点难度．(3)注意将命题做等价转化的思维的灵活性，同时注意变量集中思想的运用，以及作差构造新函数来证明不等式的常用思路．。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
2017-2018学年高二数学下学期期中考查试题理
安徽师范大学附属中学2017-2018学年度第二学期期中考查高二数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．B．C．D．2．下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．3. 函数在点处的切线方程为，则等于（）A. － 4B. －2 C. 2D. 44．由曲线以及所围成的图形的面积等于（）A．2B．C．D．5．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A．2B．ln2+1C．ln2﹣1D．ln26．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（）A. B. C. D.7．已知有下列各式：成立，观察上面各式，按此规律若则正数=（）A．4B．5C．44D．558．设函数在R上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．9．若则（）A．B．C．D．10．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11．若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为（）A．B．8 C．2D．212.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实数根个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．设复数，则的共轭复数为．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．如图所示的数阵中，第15行第2…16．以下判断正确的序号是（1）集合，为虚数单位，，，则复数.（2）（3）已知函数，对任意的恒成立，则的取值范围为．（4）设，定义为的导数，即若△的内角满足，则三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分8分）已知函数在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求函数的极值.18．（本小题满分8分）由下列不等式：,,,,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明．19．（本小题满分8分）（1）已知且，求证：中至少有一个小于2；（2）已知求证：．20.（本小题满分8分）已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若在上为单调函数，求实数的取值范围.21．（本小题满分8分）已知函数.（1）若在定义域内无极值点，求实数的取值范围；（2）求证：当时，恒成立.22．（本小题满分12分）．已知函数（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）若斜率为的直线与曲线交于两点，求证：.高二数学（理）参考答案：BBDDC CCABB BA13. 14. B 15. 16. (1) (2)(3)(4)17.解（1）因为，所以；...............................1分又，..............................2分而函数在处的切线方程为，所以，所以；......................................3分（2）由（1）得，，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，....................6分所以有极大值,无极小值．......................................8分18.解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：．.........2分用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1②假设n=k时猜想成立，即则n=k+1时，。
2017-2018学年安徽省合肥一中高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷
2017-2018学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若函数的定义域为R，其导函数为若恒成立，，则解集为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，故，故在R递减，而，故，即，故，故选：D．令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．2.曲线与直线所围成的封闭图象的面积是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：曲线与直线所围成的封闭图形的面积为；故选：A．利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．本题考查了定积分的几何意义的应用；关键是正确利用定积分表示面积．3.若复数z满足，则复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：由，得，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，则，故选：D．利用微积分基本定理即可得出．本题主要考查了定积分的计算解题的关键是要能求出被积函数的一个原函数然后再根据牛顿莱布尼茨公式求解．5.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B.C.D.【答案】A【解析】解：为纯虚数，，解得：．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.若复数其中a，b是实数，则复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：复数，其中a，b是实数，，，解得，．则复数在复平面内所对应的点位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 18 种【答案】C【解析】解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种．故选：C．根据题意，利用分类讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类计数加法计数原理求解即可．本题考查分类计数原理的应用，关键是根据题意，正确进行分类讨论．8.已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意设，，则，所以在、上递减，在上递增，且，，在同一个坐标系中画出两个函数图象如图：因为存在唯一的正整数，使得，即，所以由图得，则，即，解得，所以m的取值范围是，故选：C．由题意设、，求出并化简，由导数与函数单调性的关系，判断出的单调性、并求出特殊函数值，在同一个坐标系中画出它们的图象，结合条件由图象列出满足条件的不等式组，即可求出m的取值范围．本题考查了函数图象以及不等式整数解问题，导数与函数单调性的关系，解题的关键是将问题转化为两个函数图象交点问题，考查转化思想、数形结合思想．9.如图，在正方体中，则与所成角的余弦值是【解析】解： ， 是 与 所成角，设正方体 中棱长为a ， 则 ， ， ， 与 所成角的余弦值为：． 故选：A ．由 ，得 是 与 所成角，由此能求出 与 所成角的余弦值．本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.A.B.C.D.【答案】C 【解析】解：，故选：C ．先根据二倍角公式，化简原函数，再根据定积分的计算法则计算即可 本题考查了定积分的计算和三角函数的化简，属于基础题11. 某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论： ，四人按男女男女排列，两名男生有 种排法，两名女生有种排法， 此时有 种排法，，四人按女男女男排列，同理可得此时有4种排法 则一共有 种排法； 故选：B ．根据题意，分2种情况讨论： ，四人按男女男女排列， ，四人按女男女男排列，分别计算每一种情况的排法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列 组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．12. 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则平面 与夹角 锐角 的余弦是【解析】解：平面的法向量为，平面的法向量为，，则平面与夹角锐角的余弦等于，故选：A．根据空间向量的数量积公式即可求出平面与夹角锐角的余弦．本题主要考查空间向量数量积的应用，要求熟练掌握空间向量数量积的公式，比较基础．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对正整数m的3次幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则的分解中最大的数是______．【答案】131【解析】解：由，，，，可得，注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．按以上规律分解，第n个式子的第一个和式是，一共有项．第n个式子可以表示为：，则的分解中最大的数是，故答案为：131．由，，，按以上规律分解，第n个式子可以表示为本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．14.从，，中得出的一般性结论是______．【答案】【解析】解：从具体到一般，按照一定的规律，可得如下结论：故答案为：从具体到一般，观察按一定的规律推广．本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力．15.“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，，，，，它的第8个数可以是______．【答案】【解析】解：将这一组数：，，，，，化为，，，，，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为正，偶数项符号为负，通项公式可为，它的第8个数可以是故答案为：将这一组数：，，，，，化为，，，，，规律易找．本题主要考查了数字规律型，发现数字变化的规律进而得出通项公式是解题关键．16.设曲线与x轴、y轴、直线围成的封闭图形的面积为b，若在上单调递减，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可知，．则．，由在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则．当时，所以，函数在上为减函数，则，所以，．所以，使在上单调递减的实数k的取值范围是．故答案为．由曲线与x轴、y轴、直线围成的封闭图形的面积为b，b为函数在上的定积分，求出b后代入函数，由在上单调递减，可知其导函数在上小于等于0恒成立，然后利用分离变量法可求k的取值范围．本题考查了定积分的求法，考查了利用函数得到函数研究函数的单调性，训练了利用分离变量求参数的取值范围，此题属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知在四棱锥中，平面ABC，，是边长为2的等边三角形，，M为AB的中点．求证：；若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角的大小．【答案】证明：是等边三角形，M为AB的中点，．又平面ABC，，平面ABDE，平面ABDE，分解：如图，以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．平面ABC，为直线DM与平面ABC所成的角分由题意得，即，故B1，，，1，，，，0，，，，设平面BCD与平面CDE的法向量分别为y，，b，，则，令，得．同理求得，分，二面角的大小为分【解析】推导出，，从而平面ABDE，由此能证明．以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．18.已知函数，．求曲线在点处的切线方程；若函数，求的单调区间；并证明：当时，；当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域．【答案】解：因为，所以所求切线的斜率为1，所求切线方程为分因为，，由得，则故在和上单调递增，分当时，由上知，即，即，也即得证分由得求导得，分记，，由知，函数区间内单调递增，又，，所以存在唯一实数使得．于是，当时，，，函数在区间内单调递减；当时，，，函数在区间内单调递增．所以在内有最小值，由题设即分又因为，所以分令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为分【解析】求出函数的导数，求出切线方程即可；求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出，从而证明结论即可；求出函数的导数，记，，根据函数的单调性求出，求出的值域即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．19.已知函数，．讨论函数单调区间；若直线是函数图象的切线，求的最小值．【答案】解：Ⅰ，则，令分当时，，函数在上单调递增分当时，，若，即时，，函数在上单调递增．，即，由，得，函数在上单调递增；当时，，由，得，，所以函数在上单调递增；在上递减分综上，当时，的单调递增区间是；当时，函数在上单调递增；在上递减分Ⅱ设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，，分令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，，故的最小值为分【解析】Ⅰ求得的解析式和导数，讨论，，，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；Ⅱ设切点，求得切线的方程，对照已知直线，可得a，b的式子，令，，求得导数和单调区间，即可得到所求最小值．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知函数．Ⅰ若，求在处的切线方程；Ⅱ若对任意均有恒成立，求实数a的取值范围；Ⅲ求证：．【答案】解：函数，Ⅰ当时，且，所以在处的切线方程为，Ⅱ由，令，由于，，故当时，在恒成立，所以，即在单调递减，所以，故符合题意；当时，，，所以使得，即当时，，所以，所以，故不符合题意；故所求实数a的取值范围是证明Ⅲ，由Ⅱ知当时，，则易知时，即，所以，即，令可得：，从而取，2，，n并相加可得：所以，故原不等式得证．【解析】Ⅰ根据导数的结合意义即可求出切线方程，Ⅱ先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性和最值的关系，即可求出a的范围，Ⅲ由Ⅱ可得，再令可得：，累加即可证明．本题考查函数的切线方程，考查实数的取值范围的求法，不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于难题21.在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．Ⅰ证明：平面ABCD；Ⅱ若底面ABCD为矩形，，F为SC的中点，，求直线EF与平面SCD所成角的正弦值．【答案】Ⅰ证法1：在平面ABCD内过点C作两条直线，，使得，．因为，所以，为两条相交直线．因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，所以平面SAB．所以．同理可证．又因为平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD．证法2：在平面SAB内过点S作，在平面SAD内过点S作．因为平面平面ABCD，平面平面，平面SAB，，所以平面ABCD．同理可证平面ABCD．而过点S作平面ABCD的垂线有且仅有一条，所以与重合所以平面SAD．所以，直线为平面SAB与平面SAD的交线．所以，直线与直线SA重合所以平面ABCD．Ⅱ如图，分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，则，，0，，3，，3，，0，．由F为SC的中点，得；由，得2，．所以，，．设平面SCD的一个法向量为，则，即．取，则，．所以．所以．所以，直线EF与平面SCD所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ证法1：在平面ABCD内过点C作两条直线，，使得，通过平面平面ABCD，平面平面，推出平面得到然后证明平面ABCD．证法2：在平面SAB内过点S作，在平面SAD内过点S作平面平面ABCD，说明平面同理可证平面然后证明平面ABCD．Ⅱ分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系设，求出平面SCD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线EF与平面SCD所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.如图，直角梯形BDFE中，，，，等腰梯形ABCD中，，，，且平面平面ABCD．求证：平面BDFE；若BF与平面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【答案】证明：平面平面ABCD，，平面平面，平面ABCD，又平面ABCD，，又，且，平面BDFE．解：设，四边形ABCD为等腰梯形，，，，，，四边形BOFE为平行四边形，，又平面ABCD，平面ABCD，为BF与平面ABCD所成的角，，又，，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则，，0，，0，，0，，，，平面BDFE，平面BDF的法向量为0，，设平面DFC的一个法向量为y，，由，令，得2，，．二面角的余弦值为．【解析】推导出平面ABCD，从而，再由，得平面BDFE．推导出，从而四边形BOFE为平行四边形，进而，平面ABCD，为BF与平面ABCD所成的角，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
2017-2018年安徽省合肥八中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年安徽省合肥八中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设复数z=1+bi（b∈R），且z2=﹣3+4i，则的虚部为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．42．（5分）已知函数f（x）=，则=（）A．1B．0C．D．3．（5分）点P在曲线C：y=cos x+1上移动，若曲线C在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[0，]D．[]4．（5分）下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人B．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质D．在数列{a n}中，由此归纳出{a n}的通项公式5．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．66．（5分）从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子都不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（）种．A．B．C．D．7．（5分）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1﹣+﹣+…+=2（+…+）时，若已假设n=k（k≥2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立D．n=2（k+2）时等式成立8．（5分）在2018年石嘴山市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得一等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”．事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是（）A．甲代表队B．乙代表队C．丙代表队D．无法判断9．（5分）函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（）个．A．6B．7C．8D．911．（5分）定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=x2，且x＜0时，f'（x）＜x恒成立，则不等式f（x）﹣f（1﹣x）≥x﹣的解集为（）A．B．C．D．（﹣∞，0）12．（5分）已知f（x）=其中e为自然对数的底数．若函数f （x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，1）∪（﹣2，0）B．（1，1+）C．（﹣2，1+）D．（一2，1）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．（5分）若复数z满足z⋅i2018=3+4i（其中i为虚数单位），则|z|=．14．（5分）=．15．（5分）在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=．16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e﹣x（x ﹣1），给出以下命题：①当x＜0时，f（x）=e x（x+1）；②函数f（x）有5个零点；③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数的取值范围是[f（﹣2），f（2）]；④对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立，其中，正确命题的序号是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设F（x）=x3+x2﹣8x．求F（x）在[1，3]上的最值．18．（10分）求函数f（x）=x（e x﹣a）﹣ax2的单调区间．19．（12分）（1）用分析法证明：当x≥0，y≥0时，；（2）证明：对任意x∈R，3|x﹣1|﹣x﹣1，x2+x，﹣2x+1这3个值至少有一个不少于0．20．（12分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着，修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为，上的动点，EF∥AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米．（1）若EF=80米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．21．（12分）给出四个等式：1=11﹣4=﹣（1+2）1﹣4+9=1+2+31﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…（1）写出第5，6个等式，并猜测第n（n∈N*）个等式；（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．22．（14分）已知函数，其中a为实数．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=2x，试求函数f（x）的单调区间；（2）当a∈[0，1]，x1，x2∈[2，3]，且x1≠x2时，若恒有，试求实数λ的取值范围．2017-2018学年安徽省合肥八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设复数z=1+bi（b∈R），且z2=﹣3+4i，则的虚部为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：z2=﹣3+4i，∴（1+bi）2=﹣3+4i，1﹣b2+2bi=﹣3+4i，∴1﹣b2=﹣3，2b=4，解得b=2．则=1﹣2i的虚部为﹣2．故选：A．2．（5分）已知函数f（x）=，则=（）A．1B．0C．D．【解答】解：函数，∴f′（x）=x﹣，其中x＞﹣；∴=f′（1）=﹣=1．故选：A．3．（5分）点P在曲线C：y=cos x+1上移动，若曲线C在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[0，]D．[]【解答】解：根据题意，曲线C：y=cos x+1，则y′=﹣sin x，则有﹣≤y′≤，则有﹣≤tanα≤，则倾斜角的范围是[0，]∪[，π），故选：A．4．（5分）下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人B．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质D．在数列{a n}中，由此归纳出{a n}的通项公式【解答】解：A选项“高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人”是归纳推理；故错；B选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”，故正确；C选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理；故错；D选项“在数列{a n}中，a1=1，，通过计算a2，a3，a4由此归纳出{a n}的通项公式”是归纳推理．故错．综上得，B选项正确故选：B．5．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子都不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（）种．A．B．C．D．【解答】解：：∵甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，∴1号瓶要从另外的8种种子中选一个展出，有C81种结果，∵后面的问题是9种不同的作物种子中选出5种放入5个不同的瓶子中展出，实际上是从9个元素中选5个排列，共有A95种结果，根据分步计数原理知共有C81A95种结果，故选：C．7．（5分）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1﹣+﹣+…+=2（+…+）时，若已假设n=k（k≥2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立D．n=2（k+2）时等式成立【解答】解：若已假设n=k（k≥2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立．故选：B．8．（5分）在2018年石嘴山市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得一等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”．事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是（）A．甲代表队B．乙代表队C．丙代表队D．无法判断【解答】解：假设获得一等奖的代表队甲代表队，则甲、丙说的都是真话，乙说的是假话，符合题意；假设获得一等奖的代表队乙代表队，则甲、丙说的都是假话，乙说的是真话，不合题意；假设获得一等奖的代表队丙代表队，则甲、乙、丙说的都是假话，不合题意．故选：A．9．（5分）函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的导数为，令y′=0，得x=，时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增．且x=0时，y=0，故选：C．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（）个．A．6B．7C．8D．9【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、在1，2，3，4中任选3个，作为a，b，c，有C43=4种情况，②、由于“凹数”要求a＞b，b＜c，将取出的3个数中最小的作为b，剩余2个数全排列，作为a、c，有A22=2种情况，则一共有4×2=8种情况，即有8个“凹数”；故选：C．11．（5分）定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=x2，且x＜0时，f'（x）＜x恒成立，则不等式f（x）﹣f（1﹣x）≥x﹣的解集为（）A．B．C．D．（﹣∞，0）【解答】解：令，则g（x）+g（﹣x）=0⇒g（x）为奇函数，又x＜0时g'（x）＜0⇒g（x）在（﹣∞，+∞）上递减，由知即：g（x）≥g（1﹣x），从而，故选：A．12．（5分）已知f（x）=其中e为自然对数的底数．若函数f （x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，1）∪（﹣2，0）B．（1，1+）C．（﹣2，1+）D．（一2，1）【解答】解：由f（x）=0，可得a=，令y=，则y′=，由y′＞0，得0＜x＜1，由y′＜0，得x＞1．∴y=在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴．当x=0时，y=1，当x→+∞时，y→1，又当x＜0时，y=2x2+4x=2x（x+2），故可在同一平面直角坐标系中作出（x≥0）和y=2x2+4x（x＜0）的大致图象，如图所示，由图象可知，若函数f（x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，）．故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．（5分）若复数z满足z⋅i2018=3+4i（其中i为虚数单位），则|z|=5．【解答】解：由z⋅i2018=3+4i得|z⋅i2018|=|3+4i|∴|z|⋅|i2018|=5，即|z|⋅|i|2018=5，解得|z|=5．故答案为：5．14．（5分）=．【解答】解：根据积分的几何意义，由图可得，原积分的值即为图中阴影部分的面积．即包括一个扇形和一个三角形．∴，故答案为：．15．（5分）在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=．【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是3：1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于==．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e﹣x（x ﹣1），给出以下命题：①当x＜0时，f（x）=e x（x+1）；②函数f（x）有5个零点；③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数的取值范围是[f（﹣2），f（2）]；④对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立，其中，正确命题的序号是①④．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e﹣x（x ﹣1），设x＜0，则﹣x＞0，所以﹣f（x）=f（﹣x）=e x（﹣x﹣1），即f（x）=e x（x+1），∴①正确；对x＜0时的解析式求导数可得，f′（x）=e x（x+2），令其等于0，解得x=﹣2，且当x∈（﹣∞，﹣2）时导数小于0，函数f（x）单调递减；当x∈（﹣2，+∞）时导数大于0，函数f（x）单调递增，∴x=﹣2为f（x）极小值点，且f（﹣2）＞﹣1，且在x=1处函数值为0，且当x ＜﹣1是函数值为负；又奇函数的图象关于原点成中心对称，f（0）=0，∴函数f（x）的图象应如图所示：由图象知：函数f（x）有3个零点，∴②错误；由函数图象知，若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜1，∴③错误；由﹣1＜f（x）＜1，故对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立，∴④正确．综上，正确的命题是①④．故答案为：①④．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设F（x）=x3+x2﹣8x．求F（x）在[1，3]上的最值．【解答】解：F（x）=x3+x2﹣8x．可得：F′（x）=x2+2x﹣8，令F′（x）=0，得x=2（x=﹣4舍去），由于F（1）=﹣，F（2）=﹣，F（3）=﹣6，所以F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是F（2）=﹣．18．（10分）求函数f（x）=x（e x﹣a）﹣ax2的单调区间．【解答】解：f′（x）=e x﹣a+xe x﹣ax=（e x﹣a）（x+1）．①当a≤0时，令f′（x）=0，解得x=﹣1，当x∈（﹣1，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣∞，﹣1），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，②当0＜a＜时，令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=lna，且lna＜﹣1，当x∈（﹣∞，lna），（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（lna，﹣1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，③当a=时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）单调递增，④当a＞时，令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=lna，且lna＞﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1），（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣1，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，（﹣∞，﹣1）上单调递减，当0＜a＜时，函数f（x）在∈（﹣∞，lna），（﹣1，+∞）上单调递增，（lna，﹣1）上单调递减，当a=时，函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，当a＞时，函数f（x）在∈（﹣∞，﹣1），（lna，+∞）上单调递增，（﹣1，lna）上单调递减19．（12分）（1）用分析法证明：当x≥0，y≥0时，；（2）证明：对任意x∈R，3|x﹣1|﹣x﹣1，x2+x，﹣2x+1这3个值至少有一个不少于0．【解答】解：（1）要证原不等式成立，只需证成立，即证：成立，即证：成立，即证：成立，∵x≥0，y≥0，∴，∴原不等式成立．（2）假设3|x﹣1|﹣x﹣1，x2+x，﹣2x+1这3个值没有一个不小于0，即3|x﹣1|﹣x﹣1＜0，x2+x＜0，﹣2x+1＜0，则3|x﹣1|+x2﹣2x＜0，（※）而3|x﹣1|+x2﹣2x=3|x﹣1|+（x﹣1）2﹣1≥0，这与（※）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．20．（12分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着，修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为，上的动点，EF∥AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米．（1）若EF=80米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．【解答】解：（1）如图，ME=20米，O1M=20米，梯形O1O2FE的面积为平方米．矩形AO1O2B的面积为4800平方米．∠AO1E=，扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为平方米，所以阴影部分面积为4800﹣2000平方米．答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为4800﹣2000平方米．（2）设，则=，EF=120﹣2×40sinθ=120﹣80sin θ，修建费用f（θ）=200×80θ+400×（120﹣80sinθ）=16000（θ+3﹣2sinθ），f'（θ）=16000（1﹣2cosθ），令f'（θ）=0，则θ=，所以，当θ=时，即∠AO1E=，修建费用最低．答：当∠AO1E为时，修建费用最低．21．（12分）给出四个等式：1=11﹣4=﹣（1+2）1﹣4+9=1+2+31﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…（1）写出第5，6个等式，并猜测第n（n∈N*）个等式；（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．【解答】解：（1）第5行1﹣4+9﹣16+25=1+2+3+4+5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）第6行1﹣4+9﹣16+25﹣36=﹣（1+2+3+4+5+6）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）第n行等式为：12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2=（﹣1）n﹣1•（1+2+3+…+n）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）证明：①当n=1时，左边=12=1，右边=（﹣1）0×=1，左边=右边，等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②假设n=k（k∈N*）时，等式成立，即12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1k2=（﹣1）k﹣1•．则当n=k+1时，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1k2+（﹣1）k（k+1）2=（﹣1）k﹣1•+（﹣1）k（k+1）2=（﹣1）k（k+1）•[（k+1）﹣]=（﹣1）k•．∴当n=k+1时，等式也成立根据①②可知，对于任何n∈N*等式均成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（14分）已知函数，其中a为实数．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=2x，试求函数f（x）的单调区间；（2）当a∈[0，1]，x1，x2∈[2，3]，且x1≠x2时，若恒有，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，，f′（2）=2﹣（2a+1）+a=2，可知a=﹣1.．当x2﹣2＞0，即时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）函数=．令h（x）=x2﹣（2a+2）x+3a+1，△=4a（a﹣1），当a∈[0，1]时，可知4a（a﹣1）≤0，故x2﹣（2a+2）x+3a+1≥0恒成立，可知f′（x）≥0，f（x）在区间（1，+∞）上为单调递增函数，不妨设x2＞x1，且x1，x2∈[2，3]，则变为f（x2）﹣f（x1）＜λln（x2﹣1）﹣λln（x1﹣1），即f（x2）﹣λln（x2﹣1）＜f（x1）﹣λln（x1﹣1），设函数g（x）=f（x）﹣λln（x﹣1）==，由g（x2）＜g（x1），得g（x）在x∈[2，3]时为单调递减函数，即，即x2﹣2（a+1）x+3a+1﹣λ≤0，也即（3﹣2x）a+x2﹣2x+1﹣λ≤0对x∈[2，3]与a∈[0，1]恒成立．因为3﹣2x＜0，可知a=0时，（3﹣2x）a+x2﹣2x+1﹣λ取最大值，即x2﹣2x+1﹣λ≤0．λ≥x2﹣2x+1对x∈[2，3]时恒成立，由x2﹣2x+1=（x﹣1）2≤4，可知λ≥4，即λ取值范围为[4，+∞）．。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
安徽省巢湖市2017-2018学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)
2017-2018学年安徽省合肥市巢湖市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z=a﹣2i的实部与虚部相等，则实数a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．已知复数z=，则•i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．观察： +＜2， +＜2， +＜2，…，对于任意的正实数a，b，使+＜2成立的一个条件可以是（）A．a+b=22 B．a+b=21 C．ab=20 D．ab=214．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（2）+ln x，则f′（2）=（）A．﹣e B．C．﹣ D．e5．由①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（）A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②6．下列各函数的导数：①；②（a x）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A．192B．202C．212D．2228．dx等于（）A．B．C．πD．2π9．函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数，则（）A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．10．设a=xdx，b=1﹣dx，c=x3dx，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c11．在数学归纳法的递推性证明中由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时f（n）=1+++…+增加的项数是（）A．1 B．2k+1 C．2k﹣1 D．2k12．如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f（x）在区间内单调递增；②函数y=f（x）在区间内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④⑤D．③二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）13．复数（i为虚数单位）的实部等于．14．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10= ．15．曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为．16．已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．18．（12分）证明：1，，2不能为同一等差数列的三项．19．（12分）当n ≥2，n ∈N *时，求证：1+++…+＞．20．（12分）已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x+a ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 21．（12分）求曲线y=x 2﹣2x+3与直线y=x+3围成的图形的面积． 22．（12分）已知函数f （x ）=x 3+3ax 2+3x+1．（Ⅰ）求a=﹣时，讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若x ∈[2，+∞）时，f （x ）≥0，求a 的取值范围．2016-2017学年安徽省合肥市巢湖市柘皋中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z=a﹣2i的实部与虚部相等，则实数a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】利用实部与虚部相等即可得出方程．【解答】解：复数z=a﹣2i的实部与虚部相等，∴a=﹣2．故选：C．【点评】本题考查了复数实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知复数z=，则•i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===i，则•i=•i=在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力，属于基础题．3．观察： +＜2， +＜2， +＜2，…，对于任意的正实数a，b，使+＜2成立的一个条件可以是（）A．a+b=22 B．a+b=21 C．ab=20 D．ab=21【考点】F1：归纳推理．【分析】观察前三个不等式的特点，归纳出来不等式的规律，即可得到结论．【解答】解：∵6+15=5.5+15.5=4﹣+17+=21，∴根据归纳推理的知识，可以猜想满足+＜2成立的一个条件可以是a+b=21．故选B ．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据不等式的特点归纳出规律是解决本题的关键，比较基础．4．已知函数f （x ）的导函数为f′（x ），且满足f （x ）=2xf′（2）+ln x ，则f′（2）=（ ）A ．﹣eB ．C ．﹣D ．e【考点】63：导数的运算．【分析】将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x ），令x=2即可求出f′（2）．【解答】解：f′（x ）=2f′（2）+令x=2得f′（2）=2f′（2）+∴f′（2）=﹣， 故选：C【点评】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．5．由①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（ ） A ．②①③ B ．③②① C ．①②③ D ．③①② 【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的知识点是演绎推理中三段论的概念，由三段论：①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线；我们易得大前提是③，小前提是①，结论是②．则易得答案． 【解答】解：三段论： ①y=2x+5是一次函数； ②y=2x+5的图象是一条直线； ③一次函数的图象是一条直线；大前提是③，小前提是①，结论是②．故排列的次序应为：③①②，故选：D．【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．6．下列各函数的导数：①；②（a x）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，依次对4个函数求导，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，依次对4个函数求导：对于①、y==，其导数y′=，正确；对于②、y=a x，其导数y′=a x lna，计算错误；对于③、y=sin2x，其导数y′=2cos2x，计算错误；对于④、y==（x+1）﹣1，其导数y′=﹣，计算错误；只有①的计算是正确的；故选：B．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式以及法则．7．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A．192B．202C．212D．222【考点】F1：归纳推理；8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4； 右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10）， ∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6， 右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有13+23+33+43+53+63=212． 故选C ．【点评】本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．属于基础题．8．dx 等于（ ）A ．B ．C ．πD ．2π【考点】67：定积分．【分析】利用积分的几何意义，再利用面积公式可得结论．【解答】解：dx 的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x 轴上方部分（半圆）的面积∴dx==故选B ．【点评】本题考查定积分的计算门课程利用几何意义求定积分，属于基础题．9．函数f （x ）=ax 3﹣x 在R 上是减函数，则（ ）A ．a ≤0B ．a ＜1C ．a ＜2D ．【考点】3F ：函数单调性的性质．【分析】求导函数，将函数f （x ）=ax 3﹣x 在R 上是减函数，转化为f′（x ）=3ax 2﹣1≤0在R 上恒成立，从而问题得解．【解答】解：求导函数可得：f′（x ）=3ax 2﹣1 ∵函数f （x ）=ax 3﹣x 在R 上是减函数 ∴f′（x ）=3ax 2﹣1≤0在R 上恒成立∴a≤0故选：A．【点评】本题考查的重点是函数的单调性，解题的关键是利用导数，将函数f（x）=ax3﹣x 在R上是减函数，转化为f′（x）=3ax2﹣1≤0在R上恒成立．10．设a=xdx，b=1﹣dx，c=x3dx，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c【考点】67：定积分．【分析】利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：a=xdx=x2|=，b=1﹣dx=1﹣|=1﹣=c=x3dx=x4|=，∴a＞b＞c，故选：D．【点评】本题主要考查了定积分的计算．解题的关键是要能求出被积函数的一个原函数然后再根据牛顿﹣莱布尼茨公式求解．11．在数学归纳法的递推性证明中由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时f（n）=1+++…+增加的项数是（）A．1 B．2k+1 C．2k﹣1 D．2k【考点】RG：数学归纳法．【分析】当n=k成立，f（k）=1+++…+，当n=k+1时，f（k）=1+++…+++…+，观察计算即可．【解答】解：假设n=k时成立，即f（k）=1+++…+，则n=k+1成立时，有f（k+1）=1+++…+++…+，∴左边增加的项数是（2k+2k﹣1）﹣（2k﹣1）=2k．故选：D．【点评】本题考查数学归纳法，考查n=k到n=k+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．12．如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f（x）在区间内单调递增；②函数y=f（x）在区间内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④⑤D．③【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用使f′（x）＞0的区间是增区间，使f′（x）＜0的区间是减区间，分别对①②③进行逐一判定，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值，再对④⑤进行判定．【解答】解：对于①，函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正确；对于②，函数y=f（x）在区间（﹣，3）有增有减，故②不正确；对于③，函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确；对于④，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④不正确；对于⑤，当x=﹣时，f′（x）≠0，故⑤不正确．故选：D．【点评】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）13．复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．【解答】解：∵ =．∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．14．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10= 123 ．【考点】F3：类比推理；84：等差数列的通项公式．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故答案为：123．【点评】本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．15．曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为 2 ．【考点】67：定积分．【分析】先确定积分区间，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭图形的面积．【解答】解：曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为==﹣cosπ+cos0=2．故答案为：2．【点评】本题考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题．16．已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n= 11 ．【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：11【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值⇒f′（x0）=0．反之结论不成立，即函数有f′（x0）=0，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015春•郑州期末）设复数z=，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A2：复数的基本概念．【分析】先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 z2+az+b=1+i，再根据复数相等的概念，列出关于a，b的方程组，并解即可．【解答】解：z=====1﹣iz2+az+b=（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=a+b﹣（a+2）i=1+i∴解得【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，复数相等的概念，属于基础题．18．（12分）（2017春•巢湖市校级期中）证明：1，，2不能为同一等差数列的三项．【考点】FC：反证法；8C：等差关系的确定．【分析】根据等差数列的定义，利用反证法进行证明．【解答】证明：假设1，，2为同一等差数列的三项．可设该等差数列的首项为a，公差为d，其中1，，2分别是等差数列的第m、n、k项，则1=a+（m﹣1）d，①=a+（n﹣1）d，②2=a+（k﹣1）d，③∴②﹣①得﹣1=（n﹣m）d，③﹣①得1=（k﹣m）d，将上面两式相除得：﹣1=这是不可能的，上式右边是有理数，左边是无理数．∴假设不成立，即1，，2不能为同一等差数列的三项．【点评】本题主要考查反证法的应用，结合等差数列的定义和性质是解决本题的关键．19．（12分）（2017春•巢湖市校级期中）当n≥2，n∈N*时，求证：1+++…+＞．【考点】RG：数学归纳法；R6：不等式的证明．【分析】先验证n=1不等式成立，假设n=k时不等式成立，推导n=k+1不等式成立即可．【解答】证明：（1）当n=2时，左边=1+=1+，右边=，等式成立．（2）假设当n=k（k≥2且k∈N*）不等式成立，即1+++…+＞，当n=k+1时，1+++…++＞+=＞==，∴当n=k+1时，不等式也成立．∴对n ≥2，n ∈N *时，1+++…+＞．【点评】本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．20．（12分）（2005•北京）已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x+a ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（I ）先求出函数f （x ）的导函数f ′（x ），然后令f′（x ）＜0，解得的区间即为函数f （x ）的单调递减区间；（II ）先求出端点的函数值f （﹣2）与f （2），比较f （2）与f （﹣2）的大小，然后根据函数f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a ，从而求出函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：（I ）f′（x ）=﹣3x 2+6x+9． 令f′（x ）＜0，解得x ＜﹣1或x ＞3，所以函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）． （II ）因为f （﹣2）=8+12﹣18+a=2+a ，f （2）=﹣8+12+18+a=22+a ， 所以f （2）＞f （﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x ）＞0，所以f （x ）在[﹣1，2]上单调递增， 又由于f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2，因此f （﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7， 即函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．21．（12分）（2017春•宝塔区期中）求曲线y=x 2﹣2x+3与直线y=x+3围成的图形的面积．【考点】67：定积分．【分析】联立解曲线y=x2﹣2x+3及直线y=x+3，得它们的交点是（0，3）和（3，6），由此可得两个图象围成的面积等于函数y=3x﹣x2在[0，3]上的积分值，根据定义分计算公式加以计算，即可得到所求面积．【解答】解：由，解得或∴曲线y=x2﹣2x+3及直线y=x+3的交点为（0，3）和（3，6）因此，曲线y=x2﹣2x+3及直线y=x+3所围成的封闭图形的面积是S=（x+3﹣x2+2x﹣3）dx=（x2﹣x3）=．【点评】本题给出曲线y=x2﹣2x+3及直线y=x+3，求它们围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．22．（12分）（2015秋•南阳期中）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=﹣时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）把代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=或x=﹣1，判断函数在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，），（，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a 的范围．【解答】解：（I ）当时，f （x ）=x 3﹣3x 2+3x+1，f′（x ）=3x 2﹣6x+3，令f′（x ）=0，可得x=或x=﹣1，当x ∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（﹣1，）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（，+∞）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；（II ）由f （2）≥0，可解得a ≥，当a ≥，x ∈（2，+∞）时，f′（x ）=3（x 2+2ax+1）≥3（x 2﹣+1）=3（x ﹣）（x ﹣2）＞0，所以函数f （x ）在（2，+∞）单调递增，于是当x ∈[2，+∞）时，f （x ）≥f （2）≥0，综上可得，a 的取值范围是[，+∞）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．。
2017-2018学年高二下学期期末质量检测数学(理)试题
2017—2018学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题（考试时间：2015年7月7日上午8：30—10：30 满分：150分）参考公式和数表：1．独立性检验可信程度表：独立性检验临界值表参考公式：K 2＝))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-2．回归直线的方程是：a bx y+=ˆ，其中xb y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的直角坐标是(1,，则点M 的极坐标为 A ．π(2,)3- B ．π(2,)3 C ．2π(2,)3 D ．π(2,2π+)()3k k ∈Z 2．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)P X ≤≤=0.6826，则=>)4(X PA ．0.1585B ．0.1588C ．0.1587D ．0.15863．已知复数2(1)(1)i z m m =-+-，R m ∈，i 是虚数单位，若z 是纯虚数，则m 的值为A ．1m =±B ．1m =C ．1m =-D ．0m =4．用反证法证明命题：“若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，则,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数5．曲线3y x =在点2x =处的切线方程是A. 12160x y --=B. 12320x y +-=C.40x y -=D.4160x y +-= 6．学校开设美术、舞蹈、计算机三门选修课，现有四名同学参与选课，且每人限选一门课程，那么不同的选课方法的种数是 A ．12 B ．24 C ． 64 D ．817．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b a ∈>R ，且()10,()21E Y D Y ==，则a 与b 的值为 A ．10,3a b == B ．3,10a b == C ．100,60a b ==- D ．60,100a b ==- 8．极坐标方程cos sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．一条直线和一个圆C ．两条直线D ．一个圆 9．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 表示“至少一次出现反面”，事件B 表示“恰有一次出现正面”，则)(A B P 值等于 A.2164 B.764C. 17D. 3710．如图是函数()f x 的导函数．．．()f x '的图象．现给出如下结论：①()f x 在(-3,-1)上是增函数； ②4x =是()f x 的极小值点；③()f x 在(-1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数；④1x =-一定是()f x 的零点． 其中正确结论的个数是A. 0B.1C.2D.311．一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒．当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值为A.3B. 2C. 1D.1612．已知数集{,,,}A a b c d =，且,,,a b c d 都是实数，数组,,,x y z t 是集合A 中四个元素的某一排列．设2()m x y =-2()y z +-22()()z t t x +-+-的所有值构成集合B ，那么集合B 的元素个数是A ．2B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上． 13．如图，曲边梯形ABCD 由直线1=x ，e x =，x 轴及曲线3y x=围成，则这个曲边梯形的面积是******. （注：e 为自然对数的底数）14．某田径兴趣小组有6名同学组成．现从这6名同学中选出4人参加4100⨯接力比赛，则同学甲不跑第一棒．．．．．的安排 方法共有******种.15．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的4组对应数据：若通过上表的4组数据，得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+，那么表中t 的值应为******.16．已知函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++，2342015()12342015x x x x g x x =-+-+--， 设函数()(4)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)a b a b a b ∈<Z 内， 则b a -的最小值为******.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设复数i (0)z a a =+>，i 是虚数单位，且10||=z . （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数i()1im z m ++∈-R 对应的点在第四象限，求实数m 取值范围.18．（本小题满分12分）某校高一年级有200人，其中100人参加数学第二课堂活动. 在期末考试中，分别对参加数学第二课堂活动的同学与未参加数学第二课堂活动的同学的数学成绩进行调查．按照学生数学成绩优秀与非优秀人数统计后，构成如下不完整的2⨯2列联表：已知p 是5(1+2)x 展开式中的第三项系数，q 是5(1+2)x 展开式中的第四项的二项式系数． （Ⅰ）求p 与q 的值；（Ⅱ）请完成上面的2⨯2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩优秀与参加数学第二课堂活动有关”．19．（本小题满分12分）为了检测某种水果的农药残留，要求这种水果在进入市场前必须对每箱水果进行两轮检测，只有两轮检测都合格水果才能上市销售，否则不能销售．已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为19，第二轮检测不合格的概率为110，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．（Ⅰ）求每箱水果不能上市销售的概率；（Ⅱ）如果这种水果可以上市销售，则每箱水果可获利20元；如果这种水果不能上市销售，则每箱水果亏损30元（即获利为-30元）．现有这种水果4箱，记这4箱水果获利的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3()2n n n S a n ++=-∈N ． (Ⅰ) 计算1a ，2a ，3a ，4a ；(Ⅱ) 猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明．21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x =+， （Ⅰ）设()()()F x f x g x =-，试判断函数()F x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？ 并证明你的结论；（Ⅱ）若方程1)(+=x m x f 在区间2211[1,1)e e -++上有两不相等的实数根，求m 的取值范围；（Ⅲ）当0x >k 的最大值；22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2(x t t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）判断直线l 与曲线1C 的位置关系；（Ⅱ）已知曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），且M ，N 分别为曲线2C 的上下顶点，点P 为曲线1C 上任意一点，试判断22PM PN +是否为定值？并说明理由．2017—2018学年第二学期普通高中阶段性考试高二理科数学试题参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题：13．3 14． 300 15．2.8 16．10 三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵i z a =+，10||=z ，∴101||2=+=a z ，………………………2分92=a ，3±=a ，又∵0>a ， ………………………4分∴3=a ， ………………………5分∴3i z =+． ………………………6分 （Ⅱ）∵3i z =+,则3i z =-， …………………7分∴i (i)(1i)5(1)i3i 1i (1i)(1i)22m m m m z ++++-+=-+=+--+， …………………9分 又∵复数i1im z ++-对应的点在第四象限， ∴50,210,2m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 得5,1,m m >-⎧⎨<⎩ …………………11分∴15<<-m ． …………………12分18. 解：（Ⅰ）∵5(1+2)x 的展开式通项是51551(2)2r r r r r rr T C x C x -+==， ………1分∴展开式的第三项是：2222215240TC x x +==，即第三项系数是40p =． …………3分又∵展开式的第四项的二项式系数为35C ，∴3510q C ==．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得40p =，10q =，则………8分22200(40901060)50150100100k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ =24>6.635, (11)分2( 6.635)0.010P K ≥=,所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩优秀与参加数学第二课堂活动有关. ……12分19、解：（Ⅰ）记“每箱水果不能上市销售”为事件A ，则111()1(1)(1)9105P A =---=， 所以每箱水果不能上市销售的概率为15. …………3分 （Ⅱ）由已知，可知X 的取值为120,70,20,30,80---. …………4分4404141(120)()()55625P X C =-==，33141416(70)()()55625P X C =-==,22241496(20)()()55625P X C =-==，113414256(30)()()55625P X C ===,004414256(80)()()55625P X C ===. (9)分所以X 的分布列为：………………10分11696256256()1207020308040625625625625625E X =-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯=， 所以X 的数学期望为40元. (12)分（注：设4箱水果中可销售水果箱数为Y ，用Y 为0，1，2，3，4，先求出(P Y ），然后算()E X 的酌情给分）. 20. 解：(Ⅰ) 11,=a 23,4=a 35,8=a 49,16=a ………… 4分(Ⅱ) 由此猜想121()2n n na n -++=∈N ． ………… 5分证明：①当1n =时，11a =，结论成立． ………… 6分②假设n k =(1k ≥且k ∈N *)时，结论成立，即1212-+=k k ka ， (7)分那么1n k =+时，1111(1)331222+++++++=-=--+=+-k k k k k k k k k a S S a a a a , 所以1122+=+k k a a , ………… 9分则1111111212212122222222---++++++++====∙k k k k k k k k k a a ， 这表明1n k =+时，结论成立， ………………… 11分由①②知121()2n n na n -++=∈N 成立． …………… 12分21．解：（Ⅰ）x x x F 1)1ln()(-+= , 2111)(xx x F ++='， …………………1分由题设0>x ，所以得0)(>'x F ，故)(x F 在区间(0,)+∞上是增函数． …………………3分（Ⅱ） ∵ 1)(+=x mx f ，∴m x x =++)1ln()1(， 设()(1)ln(1)h x x x =++ 则()ln(1)1h x x '=++， …………………4分x[2111,1)e e -+-+ 11e-+211(1,1)e e-++()h x ' -0 +()h x↘↗∵(0)0h =，2212(1)e e h -+=-，11(1)e eh -+=-， ∴21(1)(0)0e h h -+<=，又21(1)(0)0e h h +>=， …………………6分∴221em e -≤<-， 即212(,]m ee ∈--时，方程1)(+=x m x f 在区间2211[1,1)e e -++有两不相等的实数根．…………………7分（Ⅲ）当0x >时, ,即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立,…………………8分 再设()1ln(1)G x x x =--+，则 …………………9分 故()G x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)ln 20,(2)1ln30,(3)22ln 20G G G =-<=-<=->， 故()0G x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3)a ∈，即x a =是方程1ln(1)0x x --+=在(0,)+∞上有唯一解． …………………10分 故当(0,)x a ∈时，()0G x <，()0x ϕ'<；当(,)x a ∈+∞时()0G x >，()0x ϕ'>，3k ∴≤，故max 3k =． …………………12分22．解法一：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为1,2,x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线l的直角坐标方程为20x y -+=， ……………… 1分 又∵曲线1C 的极坐标方程为2ρ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为224x y +=，圆心为1(0,0)C ，2r =，…………… 3分∴圆心1C 到直线l的距离为2d r ===， …………… 4分 ∴直线l 与圆1C 相切． ……………… 5分（Ⅱ）∵曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线2C 的普通方程为22143x y +=， ……………………6分又∵,M N 分别为曲线2C 的上下顶点，∴(0,M N ，……………7分 由曲线1C ：224x y +=，可得其参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩所以P 点坐标为(2cos ,2sin )αα，因此222222(2cos )(2sin (2cos )(2sin PM +PNαααα=+++7714αα=-++=为定值．………………10分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵曲线2C的参数方程为2cos ,(x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线2C 的普通方程为22143x y +=， ……………………6分又∵,M N 分别为曲线2C 的上下顶点，∴(0,M N ， ……………7分 设P 点坐标为(,)x y ，则224x y +=，因此222222((PM +PNx y x y =+-+++7714=-++=为定值． ………………10分。
2017-2018年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数的虚部是（）A．B．C．D．2．（3分）下列求导运算正确的是（）A．（cos x）′＝sin x B．C．（3x）′＝3x log3e D．（x2e x）′＝2xe x3．（3分）函数y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线方程y＝2x+1，则等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．44．（3分）由曲线y＝e x，y＝e﹣x以及x＝1所围成的图形的面积等于（）A．2B．2e﹣2C．D．5．（3分）直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为（）A．2B．ln2+1C．ln2﹣1D．ln26．（3分）用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1B．2k﹣1C．2k D．2k﹣17．（3分）已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+≥3，x+＝≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a＝（）A．4B．5C．44D．558．（3分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）若a＝，b＝，c＝，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 10．（3分）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，2）D．[，2）11．（3分）若点P（a，b）在函数y＝x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y ＝x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8C．2D．212．（3分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）＝x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）设复数z＝，则z的共轭复数为．14．（3分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．（3分）如图所示的数阵中，第15行第2个数字是．16．（3分）以下判断正确的序号是．（1）集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝﹣4i；（2）；（3）已知函数f（x）＝x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为；（4）设f1（x）＝cos x，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）＝f'n（x），n∈N若△ABC的内角A满足，则．三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知函数f（x）＝（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y＝2．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．18．（8分）由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．19．（8分）（1）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：中至少有一个小于2；（2）已知，求证：．20．（8分）已知函数f（x）＝ax+﹣3lnx．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在（1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．21．（8分）已知函数．（1）若f（x）在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；（2）求证：当0＜a＜1，x＞0时，f（x）＞1恒成立．22．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）＝ax2+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）若斜率为k的直线与曲线y＝f'（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：．2017-2018学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：依题：．∴虚部为．故选：B．2．（3分）下列求导运算正确的是（）A．（cos x）′＝sin x B．C．（3x）′＝3x log3e D．（x2e x）′＝2xe x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（cos x）′＝﹣sin x，A错误；对于B，（ln2x）′＝（2x）′×＝，B正确；对于C，（3x）′＝3x ln3，C错误；对于D，（x2e x）′＝（x2）′e x+x2（e x）′＝（2x+x2）e x，D错误；故选：B．3．（3分）函数y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线方程y＝2x+1，则等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：∵f′（x0）＝2，f′（x0）＝＝2∴＝2＝4故选：D．4．（3分）由曲线y＝e x，y＝e﹣x以及x＝1所围成的图形的面积等于（）A．2B．2e﹣2C．D．【解答】解：曲线y＝e x，y＝e﹣x的交点坐标为（0，1）由曲线y＝e x，y＝e﹣x以及x＝1所围成的图形的面积就是：∫01（e x﹣e﹣x）dx＝（e x+e﹣x）|01＝e+﹣1﹣1＝e+﹣2故选：D．5．（3分）直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为（）A．2B．ln2+1C．ln2﹣1D．ln2【解答】解：y′＝（lnx）′＝，令得x＝2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y＝x+b，∴ln2＝×2+b，∴b＝ln2﹣1．故选：C．6．（3分）用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1B．2k﹣1C．2k D．2k﹣1【解答】解：当n＝k时，左端＝1++，那么当n＝k+1时左端＝1++++…+＝1++++…+，∴左端增加的项为++…+，所以项数为：2k．故选：C．7．（3分）已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+≥3，x+＝≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a＝（）A．4B．5C．44D．55【解答】解：由已知中：x∈（0，+∞）时，x+≥2，x+≥3，x+＝≥4…归纳推理得：x+≥n+1，若x+≥5，则n+1＝5，即n＝4，此时a＝n n＝44，故选：C．8．（3分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x＝﹣2时，f′（x）＝0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x＝﹣2时，xf′（x）＝0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选：A．9．（3分）若a＝，b＝，c＝，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：令f（x）＝（x≥e），则f′（x）＝≤0，∴函数f（x）在[e，+∞）上单调递减，∴a＝＞b＝＞c＝，即a＞b＞c．故选：B．10．（3分）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，2）D．[，2）【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又，由f'（x）＝0，得．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得．故选：B．11．（3分）若点P（a，b）在函数y＝x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y ＝x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8C．2D．2【解答】解：设直线y＝x+m与曲线y＝﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y＝﹣x2+3lnx，∴y′＝﹣2x+，令﹣2x0+＝1，又x0＞0，解得x0＝1．∴y0＝﹣1+3ln1＝﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1＝1+m，解得m＝﹣2．可得与直线y＝x+2平行且与曲线y＝﹣x2+3lnx相切的直线y＝x﹣2．而两条平行线y＝x+2与y＝x﹣2的距离d＝＝2．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值＝（2）2＝8．故选：B．12．（3分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）＝x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b＝0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b＝0，得x＝x1，或x＝x2，即3（f（x））2+2af（x）+b＝0的根为f（x）＝x1或f（x2）＝x2的解．如图所示，由图象可知f（x）＝x1有2个解，f（x）＝x2有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为3．故选：A．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）设复数z＝，则z的共轭复数为．【解答】解：∵z＝＝﹣i．∴＝+i．故答案为：．14．（3分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B15．（3分）如图所示的数阵中，第15行第2个数字是．【解答】解：不妨令a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11，……，则a3﹣a2＝2，a4﹣a3＝3，a5﹣a4＝4，…a15﹣a14＝14，将以上各式相加得a15﹣a2＝2+3+4+…+14＝＝104，∴a15＝104+2＝106，即15行第2个数字是，故答案为：．16．（3分）以下判断正确的序号是（1）（2）（3）（4）．（1）集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝﹣4i；（2）；（3）已知函数f（x）＝x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为；（4）设f1（x）＝cos x，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）＝f'n（x），n∈N若△ABC的内角A满足，则．【解答】解：（1）集合M＝{1，2，zi}，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，可得zi＝4，解得z＝﹣4i，故（1）正确；（2）（|x﹣1|+|x﹣3|）dx＝（4﹣2x）dx+2dx+（2x﹣4）dx＝（4x﹣x2）|+（2x）|+（x2﹣4x）|＝4﹣1+6﹣2+16﹣16﹣9+12＝10，故（2）正确；（3）函数f（x）＝x3+x，f（x）为奇函数，且为R上的增函数，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，可得f（mx﹣2）＜﹣f（x）＝f（﹣x），即为mx﹣2＜﹣x，可得mx﹣2+x＜0，即﹣2x﹣2+x＜0，且2x﹣2+x＜0，解得﹣2＜x＜，故（3）正确；（4）设f1（x）＝cos x，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，可得f2（x）＝﹣sin x，f3（x）＝﹣cos x，f4（x）＝sin x，f5（x）＝cos x，f6（x）＝﹣sin x，…，若△ABC的内角A满足，可得cos A﹣sin A﹣cos A+sin A+cos A﹣sin A+…+cos A﹣sin A＝，即有504×（cos A﹣sin A﹣cos A+sin A）+cos A﹣sin A＝，可得cos A﹣sin A＝，两边平方可得1﹣2cos A sin A＝，则，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（3）（4）．三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知函数f（x）＝（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y＝2．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．【解答】解：（1）因为f（1）＝﹣b+3＝2，所以b＝1，又，而函数f（x）＝（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y＝2，所以f'（1）＝1+a﹣1＝0，所以a＝0；（2）由（1）得，当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0；所以f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）有极大值f（1）＝2，无极小值．18．（8分）由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【解答】解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，1，猜想正确．②假设n＝k时猜想成立，即，则n＝k+1时，＝＝，即当n＝k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式成立．19．（8分）（1）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：中至少有一个小于2；（2）已知，求证：．【解答】证明：（1）假设都不小于2，则，∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，两式相加得：2+a+b≥2（a+b），解得a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，∴中至少有一个小于2；（2）∵，∴0＜b＜1，要证，只需证，只需证1+a﹣b﹣ab＞1，只需证a﹣b﹣ab＞0，即，即，这是已知条件，所以原不等式成立．20．（8分）已知函数f（x）＝ax+﹣3lnx．（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在（1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，，∴．令f'（x）＝0，得x＝2或（舍）．＝f（2）＝5﹣3ln2，又当x＝2时，f（x）极小∴当a＝2时，函数f（x）的最小值为5﹣3ln2．（2）∵，∴，又f（x）在（1，e]上为单调函数，∴当x∈（1，e]时，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立，也就是ax2﹣3x﹣a≥0或ax2﹣3x﹣a≤0对∀x∈（1，e]恒成立，即或对∀x∈（1，e]恒成立．令，则．∴当x∈（1，e]时，G'（x）＜0．∴G（x）在（1，e]上单调递减，又当x→1时，G（x）→+∞；当x＝e时，，∴，故f（x）在（1，e]上为单调函数时，实数a的取值范围为．21．（8分）已知函数．（1）若f（x）在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；（2）求证：当0＜a＜1，x＞0时，f（x）＞1恒成立．【解答】解：（1）由题意知，令g（x）＝e x（x﹣1）+a，（x≠0），则g'（x）＝e x•x，当x＜0时，g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（0）＝a﹣1，∵f（x）在定义域内无极值点，∴a＞1，又当a＝1时，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上都单调递增也满足题意，所以a≥1；（2）证明：，令g（x）＝e x（x﹣1）+a，由（1）可知g（x）在（0，+∞）上单调递増，又，所以f'（x）存在唯一的零点x0∈（0，1），故f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递増，∴f（x）≥f（x0），由知，即当0＜a＜1，x＞0时，f（x）＞1恒成立．22．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）＝ax2+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）若斜率为k的直线与曲线y＝f'（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：．【解答】解：（1）定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx+2（x＞0），令f'（x）＝0，得，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，则f（x）在上递减，在上递增，∴当时，；（2），①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函；②当a＜0时，令F'（x）＞0，即2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，即2ax2+1＜0，解得；综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减；（3）由题目可知，直线的斜率，要证：，即证：，由于涉及到两个变量，不太好处理，所以考虑变量集中，给双连不等式的左中右同除以x1，等价转化为，令，则只要证：，由t＞1，知lnt＞0，故等价于证：lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*），①设g（t）＝t﹣1﹣lnt（t＞1），则，∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，当t＞1时，g（t）＝t﹣1﹣lnt＞g（1）＝0，∴t﹣1＞lnt；②设h（t）＝tlnt﹣（t﹣1）（t＞1），则h'（1）＝lnt＞0（t＞1），∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）＝tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）＝0，∴tlnt＞t﹣1（t＞1），由①②知（*）成立，∴．。
2017-2018学年(下)高二年段期中考理科数学试题含答案
（下）高二年段期中考试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.考试时间120分钟.选择题的答案一律写在答题卷上，凡写在试卷上的无效；解答题请写出完整步骤。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1． 《新课程标准》规定,那些希望在理学、工科等方面发展的学生,除了修完数学必修内容和选修系列二的全部内容外,基本要求是还要在系列四的4个专题中选修2个专题,则每位同学的不同选课方案有( )种A.4B.6C.8D.12 2.函数2sin y x x =的导数为（ ）A ．22sin cos y x x x x '=+B ．22sin cos y x x x x '=-C ．2sin 2cos y x x x x '=+D ．2sin 2cos y x x x x '=- 3．下列积分值为2的是( )A.12xdx ⎰ B . 1xe dx ⎰ C . 11edx x⎰D .sin xdx π⎰4，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5. 设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为3181233y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 7. 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（ ）(A) 1019 (B) 519 (C) 12 (D) 19208.若n xx )2(-展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 （ ）A ．20B ．－160C ．160D ．—2709． 位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向左或向右，并且向左、向右移动的概率都是12，质点P 移动6次后回到原点的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．33612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6336612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是 （ ）A ．56B ．84C ．112D ．16811. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
高二理科数学下学期期中考试试题及答案.docx
高二下学期模块考试 数学试卷(理科)第I 卷(共60分)一、选择题(每小题5分，共60分，将答案填涂到答题卡上)1. 复数z ( r -i 等于\-iA. 1B. -1C. iD. -i2. 观察按下列顺序排列的等式：9x0 + l = l , 9x1 + 2 = 11, 9x2 + 3 = 21, 9x3 + 4 = 31,…, 猜想第n(ne N +)个等式应为A. 9(/? + 1) + 川=10川 + 9B. 9(71-1) + /? = 10/?-9C. 9A 2 + (M -1) = 1O/?-1D. 90 — 1) + (72 — 1) = 10/7 — 103. 函数/'⑴二sin 兀+ cos x 在点(0, /(0))处的切线方程为A. x- y +1 = 0B. x- y-] = 04. 用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中, 相同，则不同的涂色方法种数是A 36B 72 C5. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数0, b, c 小恰有一个偶数”正确的反设为A. a, b, c 都是奇数B . a, b, c 都是偶数C . a, b, c 屮至少有两个偶数D . a, b, c 屮至少有两个偶数或都是奇数6. 两曲线歹二-x 2+2x, y 二2x 2-4兀所围成图形的面积S 等于A. -4B.OC. 2D. 4X7•函数/(%) = —-- (a<b<l)，则B. f(a) < f(b)C. f(a) > /(b)D./(a),/@)大小关系不能确定8. 己知函数/(x) = 21n3x + 8x,则 lim /(1一2心)一/(1)的值为AYT ° ArA. -20B. -10C. 10D. 209. 在等差数列｛色｝中，若色>0,公差d>0,则有為盘 >色6,类比上述性质，在等比数列｛仇｝C. x+y-1=0D.要求相邻矩形的涂色不得24 D 54中，若仇>0,公比q>l,则的，b、, b“ 2的一个不等关系是C . Z?4 +E >b 5 +22c10.函数/(X ) = X 3+/7X 2+CX + J 图象如图，则函数『=兀2+一应+ —的单调递增区间为A. (-00-2]B. [3,+oo)-yZAo ? !rC. [-2,3]1D ・[三,+°°)/ -2211•已知函数 f(x) = (x-a)(x-b)(x-c), Ji f\d) = f\b) = 1,则 f(c)等于A. 2+2 >b 5 +/?7B • b 4 十％ <b 5 +E1 A.——212.设函数 f(x) = -ax1B.—23 1「 + _/zr 2C. —1D. 1 +仅，且/(l) = -p 3a>2c>2h f 则下列结论否巫陨的是 B.-< —< 1 C. D. a >OJBLb<02 b 4 a 2第II 卷(共90分)二、填空题(每小题4分13. ___________________________________________ 若复数(/・3d+2)+(a ・l)i 是纯虚数，则实数a 的值为 __________________ .14. 从0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字中每次取3个不同的数字，可以组成 3位偶，共16分，将答案填在答题纸上) 个无重复数字的 4 r15.若函数/(x) = -—在区间(m,2m + l)±是单调递增函数，则实数加的取值范围是JT+116.观察下列等式：(说明：和式'匕+心+為 ---------- 记作工你)<=1n—n 2 /=! n—fT H —乞尸二丄泸+丄沪+巴斤―丄沪rr 6 2 12 12£4丄/+丄涉+丄宀丄/+丄幺 7 2 26 42工产=a k+l n k+2+ a k n k+ a k _｛n k ~]+ ci k _2n k ~24 --------- a ｛n + a Q ,,=]* 11 可以推测，当 k^2 ( ke N )时，a M ------ ---- ,a k = — ,a k _i - _________ , a k _^ -________k + 1 2三、解答题(本大题共6小题，满分74分。
高二数学下学期期中试题文(2)
安徽省巢湖市柘皋中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x |y ＝9－x2，x ∈R}，则M ∩N 等于()A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅3. 已知集合，，则A ∩B 等于（ ） A. B. C. D.4.已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)5．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i6．已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-4)<f(-2),则下列不等式一定成立的是( )A.f(-1)<f(3)B.f(2)<f(3)C.f(-3)<f(5)D.f(0)>f(1) 7. 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)8．已知z ＋5－6i ＝3＋4i ，则复数z 为( )A ．－4＋20iB ．－2＋10iC ．－8＋20iD ．－2＋20i9．函数 的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（）.A ．,B ．,C ．,D ．,10．函数 的零点的个数为（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11.已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)＞0C ．f (x 0)＜0D ．f (x 0)的符号不确定12．已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式 的解集为（）.A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分）13．若复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足x 2－y 2＋2xy i ＝3＋4i(i为虚数单位)，则|z |＝________．14．定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)<f(m), 则实数m 的取值范围是_______15. 已知函数y=f(x ＋1)的定义域是［-2,3］，则y=f(2x-1)的定义域是 _______16．已知函数，给出下列结论:。
2017-2018年安徽省合肥一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．若f′（x）＜3恒成立，f（﹣2）=0，则f（x）＜3x+6解集为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣2，+∞）2．（5分）曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图象的面积是（）A．B．C．D．3．（5分）若复数z满足，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）设a=dx，b=xdx，c=x3dx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c 5．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣26．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有（）A．6 种B．9 种C．12 种D．18 种8．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2﹣mx﹣2m，若存在唯一的正整数x0，使得f （x0）＞0，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．[）C．[）D．[）9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则AA1与B1D所成角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）dx=（）A．2（﹣1）B．+1C．﹣1D．2﹣11．（5分）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为（）A．4B．8C．12D．2412．（5分）若平面α的法向量为，平面β的法向量为，则平面α与β夹角（锐角）的余弦是（）A．B．C．D．﹣二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）对正整数m的3次幂有如下分解方式：13=1 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，则103的分解中最大的数是．14．（5分）从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是．15．（5分）“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，﹣，，﹣，，它的第8个数可以是．16．（5分）设曲线y=cos x与x轴、y轴、直线围成的封闭图形的面积为b，若g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是．三、解答题（本题共6道小题，17题10分，18题10分，19题10分，20题13分，21题13分，22题14分）17．（10分）已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．18．（10分）已知函数m（x）=1﹣，n（x）=e x+2．（1）求曲线m（x）在点（﹣2，﹣1）处的切线方程；（2）若函数f（x）=m（x）•n（x），求f（x）的单调区间；并证明：当x＞﹣2时，xn（x）+x+4＞0；（3）当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞﹣2）有最小值，设g（x）最小值为h（a），求函数h（a）的值域．19．（10分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=2alnx﹣x+．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）对任意x∈（0，1]均有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．21．（13分）在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD，平面SAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若底面ABCD为矩形，SA=2AD=3AB，F为SC的中点，，求直线EF与平面SCD所成角的正弦值．22．（14分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．2017-2018学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．若f′（x）＜3恒成立，f（﹣2）=0，则f（x）＜3x+6解集为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣2，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣3x，故g′（x）=f′（x）﹣3＜0，故g（x）在R递减，而g（﹣2）=f（﹣2）+6=6，故f（x）﹣3x＜6，即g（x）＜g（﹣2），故x＞﹣2，故选：D．2．（5分）曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图象的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=﹣=；故选：A．3．（5分）若复数z满足，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由，得z=2i（1﹣i）=2+2i，∴=2﹣2i∴复数对应的点的坐标为（2，﹣2），位于第四象限．故选：D．4．（5分）设a=dx，b=xdx，c=x3dx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c【解答】解：a=dx=|=，b=xdx==，c=x3dx=|=，则a＞b＞c，故选：D．5．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣2【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．6．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．7．（5分）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有（）A．6 种B．9 种C．12 种D．18 种【解答】解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2﹣mx﹣2m，若存在唯一的正整数x0，使得f （x0）＞0，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．[）C．[）D．[）【解答】解：由题意设g（x）=﹣x3+3x2，h（x）=m（x+2），则g′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2），所以g（x）在（﹣∞，0）、（2，+∞）上递减，在（0，2）上递增，且g（0）=g（3）=0，g（2）=﹣23+3•22=4，在同一个坐标系中画出两个函数图象如图：因为存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，即g（x0）＞h（x0），所以由图得x0=2，则，即，解得≤m＜1，所以m的取值范围是[，1），故选：C．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则AA1与B1D所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵BB1∥AA1，∴∠DB1B是AA1与B1D所成角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则DB1=，BD=a，BB1=a，∴AA1与B1D所成角的余弦值为：cos∠DB1B===．故选：A．10．（5分）dx=（）A．2（﹣1）B．+1C．﹣1D．2﹣【解答】解：∵==cos x﹣sin x，∴dx=（cos x﹣sin x）dx=（sin x+cos x）|=+﹣0﹣1=﹣1故选：C．11．（5分）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为（）A．4B．8C．12D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，四人按男女男女排列，两名男生有A22=2种排法，两名女生有A22=2种排法，此时有2×2=4种排法，②，四人按女男女男排列，同理可得此时有4种排法则一共有4+4=8种排法；故选：B．12．（5分）若平面α的法向量为，平面β的法向量为，则平面α与β夹角（锐角）的余弦是（）A．B．C．D．﹣【解答】解：∵平面α的法向量为，平面β的法向量为，∴cos＜＞===，则平面α与β夹角（锐角）的余弦等于|cos＜＞|=，故选：A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）对正整数m的3次幂有如下分解方式：13=1 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，则103的分解中最大的数是131．【解答】解：由13=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，可得53=21+23+25+27+29，注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．按以上规律分解，第n个式子的第一个和式是n（n+1）+1，一共有n+1项．∴第n个式子可以表示为：（n+1）3=（n2+n+1）+（n2+n+3）+…+（n2+3n+1），∴则103的分解中最大的数是102+3×10+1=131，故答案为：131．14．（5分）从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【解答】解：从具体到一般，按照一定的规律，可得如下结论：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）215．（5分）“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，﹣，，﹣，，它的第8个数可以是﹣．【解答】解：将这一组数：，﹣，，﹣，，化为，，，，，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为正，偶数项符号为负，通项公式可为a n=（﹣1）n+1，它的第8个数可以是a n=﹣=﹣故答案为：﹣16．（5分）设曲线y=cos x与x轴、y轴、直线围成的封闭图形的面积为b，若g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：由题意可知，b===sin﹣sin0=﹣0=．则g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx=2lnx﹣x2﹣kx．，由g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，则≤0在[1，+∞）上恒成立，即k≥在[1，+∞）上恒成立，令t（x）=，则．当x∈[1，+∞）时，所以，函数t（x）=在[1，+∞）上为减函数，则t（x）max=t（1）=0，所以，k≥0．所以，使g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减的实数k的取值范围是[0，+∞）．故答案为[0，+∞）．三、解答题（本题共6道小题，17题10分，18题10分，19题10分，20题13分，21题13分，22题14分）17．（10分）已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，M为AB的中点，∴CM⊥AB．又∵DB⊥平面ABC，∴DB⊥CM，∴CM⊥平面ABDE，∵EM⊂平面ABDE，∴CM⊥EM．（4分）解：（2）如图，以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵DB⊥平面ABC，∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角．（6分）由题意得tan，即BD=2，故B（0，1，0），C（），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），∴=（），=（0，0，2），=（﹣），=（﹣），设平面BCD与平面CDE的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，令x=1，得=（1，，0）．同理求得=（1，﹣，），（10分）∴cos＜＞==0，∴二面角B﹣CD﹣E的大小为90°．（12分）18．（10分）已知函数m（x）=1﹣，n（x）=e x+2．（1）求曲线m（x）在点（﹣2，﹣1）处的切线方程；（2）若函数f（x）=m（x）•n（x），求f（x）的单调区间；并证明：当x＞﹣2时，xn（x）+x+4＞0；（3）当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞﹣2）有最小值，设g（x）最小值为h（a），求函数h（a）的值域．【解答】解：（1）因为m′（x）=，所以所求切线的斜率为1，所求切线方程为x﹣y+1=0 …（2分）（2）因为，n（x）=e x+2，由f（x）=m（x）•n（x）得f（x）=e x+2，则故f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣4，+∞）上单调递增，…（4分）当x＞﹣2时，由上知f（x）＞f（﹣2）=﹣1，即e x+2＞﹣1，即xe x+2+x+4＞0，也即xn（x）+x+4＞0得证．…（5分）（3）由得求导得g′（x）=，x＞﹣2．…（7分）记φ（x）=e x+2+a，x＞﹣2，由（2）知，函数φ（x）区间（﹣2，+∞）内单调递增，又φ（﹣2）=﹣1+a＜0，φ（0）=a≥0，所以存在唯一实数x0∈（﹣2，0]使得．于是，当x∈（﹣2，x0）时，φ（x）＜0，g′（x）＜0，函数g（x）在区间（﹣2，x0）内单调递减；当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，g′（x）＞0，函数g（x）在区间（x0，+∞）内单调递增．所以g（x）在（﹣2，+∞）内有最小值g（x0）=，由题设即h（a）=…（9分）又因为﹣a=，所以h（a）=g（x0）=．…（10分）令u（x）=e x+2（﹣2＜x≤0），则，函数u（x）在区间（﹣2，0]内单调递增，所以u（﹣2）＜u（x）≤u（0），即函数h（a）的值域为（，]．…（12分）19．（10分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+ax﹣b（x＞0），则h′（x）=++a=（x＞0），令y=ax2+x+1 …（2分）（1）当a=0时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）（2）当a＞0时，△=1﹣4a，若△≤0，即a≥时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．△＞0，即0＜a＜，由ax2+x+1=0，得x1，2=＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）当a＜0时，△=1﹣4a＞1，由ax2+x+1=0，得x1=＞0，x2=＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减…（5分）综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减．…（6分）（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），则切线方程为y﹣（lnm﹣）=（+）（x﹣m），即y=（+）x﹣（+）m+lnm﹣，亦即y=（+）x+lnm﹣﹣1，令=t＞0，由题意得﹣a=+=t+t2，b=lnm﹣﹣1=﹣lnt﹣2t﹣1，…（8分）令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴b﹣a=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故b﹣a的最小值为﹣1．…（12分）20．（13分）已知函数f（x）=2alnx﹣x+．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）对任意x∈（0，1]均有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【解答】解：函数f（x）=2alnx﹣x+，x＞0∴f′（x）=﹣1﹣=（Ⅰ）当a=2时，k=f′（1）=2且f（1）=0，所以f（x）在（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2，（Ⅱ）由f′（x）=﹣1﹣=，令g（x）=﹣x2+2ax﹣1，由于g（1）=2a﹣2，△=4a2﹣4，故当a≤1时，g（x）≤0在x∈（0，1]恒成立，所以f′（x）≤0，即f（x）在（0，1]单调递减，所以f（x）≥f（1）=0，故符合题意；当a＞1时，g（0）＜0，g（1）＞0，所以∃x0∈（0，1]使得g（x0）=0，即当x∈（x0，1]时，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，所以f（x）≤f（1）=0，故不符合题意；故所求实数a的取值范围是a≤1证明（Ⅲ），由（Ⅱ）知当a=1时，2lnx﹣x+≥0，则易知x∈[1，+∞）时2lnx﹣x+≤0，即ln≤（﹣），所以ln2≤（﹣）2，即ln2x≤（x+﹣2），令x=可得：ln2≤（+﹣2）=﹣，从而取k=1，2，…，n并相加可得：所以ln2＜1﹣++…+﹣=1﹣＜1﹣，故原不等式得证．21．（13分）在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD，平面SAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若底面ABCD为矩形，SA=2AD=3AB，F为SC的中点，，求直线EF与平面SCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证法1：在平面ABCD内过点C作两条直线l1，l2，使得l1⊥AB，l2⊥AD．因为AB∩AD=A，所以l1，l2为两条相交直线．因为平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，l1⊂平面ABCD，l1⊥AB，所以l1⊥平面SAB．所以l1⊥SA．同理可证l2⊥SA．又因为l1⊂平面ABCD，l2⊂平面ABCD，l1∩l2=C，所以SA⊥平面ABCD．证法2：在平面SAB内过点S作l1⊥AB，在平面SAD内过点S作l2⊥AD．因为平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，l1⊂平面SAB，l1⊥AB，所以l1⊥平面ABCD．同理可证l2⊥平面ABCD．而过点S作平面ABCD的垂线有且仅有一条，所以l1与l2重合．所以l1⊂平面SAD．所以，直线l1为平面SAB与平面SAD的交线．所以，直线l1与直线SA重合．所以SA⊥平面ABCD．（Ⅱ）如图，分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz．设SA=6，则AB=2，AD=3，B（2，0，0），C（2，3，0），D（0，3，0），S（0，0，6）．由F为SC的中点，得；由，得E（2，2，0）．所以，，．设平面SCD的一个法向量为，则，即．取z=1，则y=2，x=0．所以．所以===．所以，直线EF与平面SCD所成角的正弦值为．22．（14分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面BDFE⊥平面ABCD，BE⊥BD，平面BDFE∩平面ABCD=BD，∴BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，又∵AC⊥BD，且BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDFE．解：（2）设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为等腰梯形，，AB=2CD=4，∴OD=OC=，OB=OA=2，∵FE OB，∴四边形BOFE为平行四边形，∴OF∥BE，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，∴∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，∴，又∵，∴OF=OB=2，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，﹣，0），F（0，0，2），C（﹣，0，0），A （2，0，0），=（0，），=（，0），∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为=（1，0，0），设平面DFC的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，2，﹣1），cos＜＞===．∴二面角B﹣DF﹣C的余弦值为．。
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巢湖市烔炀中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理科）一、选择题（共10小题，每题5分）1、复数1+2i1+i 的虚部是 （ ）A ．2iB ．12C ．12i D. 322、函数2()1f x ax x =-+有极小值的充要条件是 （ ） A. a<0B. a ≥0C. a>0D. a ≤03、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确4、已知函数()y xf x '=的图象如图1所示，则函数y=f (x)的图象可能为 （ ）5、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为 （ ） A. 034=++y x B. 054=-+y x C. 034=+-y x D. 034=--y x6、22xe dx -⎰的值等于 （ ）.0A B. 21e - C. 222e e -+- D. 222e -7、某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？ （ ） A ．64 B.96 C.108 D.112 8、设x x f sin )(0=，)()(/01x f x f =，)()(/12x f x f =，……，)()(/1x f x f n n -=，则2015()f x 等于 （ ）A. sinxB.-sinx C. cosx D. -cosx9、 利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++”时，从“n=k ”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是？ （ ）A.22k +B.21k +C. 2(21)k +D. (21)(22)k k ++10、已知)(x f 是定义在R 上的函数，导函数)(/x f 满足)()(/x f x f <对任意x 恒成立，则（ ）()A 22015(2)(0),(2015)(0)f e f f e f >>()B 22015(2)(0),(2015)(0)f e f f e f << ()C 22015(2)(0),(2015)(0)f e f f e f ><()D 22015(2)(0),(2015)(0)f e f f e f <>二、填空题（共5小题，每题5分）11．设函数f （x ）=（x ＞0），观察： f 1（x ）=f （x ）=，f 2（x ）=f （f 1（x ））=， f 3（x ）=f （f 2（x ））=， f 4（x ）=f （f 3（x ））=，………………根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，1()(())n n f x f f x -== _________ ．12．关于x 的函数f （x ）=e x﹣ax 在（0，1]上是增函数，则a 的取值范围是 _________ ． 13．形如45231的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．14．2⎰= ；15．已知函数(=ln (,x f x b x ae a b +）为实数）的定义域为D ，关于函数()f x 给出下列： ①0,0()a b f x ><当时，函数存在最小值.②a b ,()0x D f x ∈>对于任意的正数，存在正数，使得对于任意的都有 ③0()ab f x <当时，一定存在极值点.④'0()()ab f x f x ≠=若时，方程在区间(1,2)内有唯一解. 其中正确的序号是 .三、解答题（共6小题，总计75分）16.（本题满分12分）已知22)n x（n ∈N *）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含的项．17.（本小题满分12分） 已知函数3()31f x x x =--（1）求()f x 在[2,2]-上的极大值与极小值；（2）若函数()f x 在[,1]m m +上是减函数，求实数m 的取值范围。
18. (本小题满分12分)若02<<a ，02<<b ，02<<c ，求证：()()22--a b b c ，，()2-c a 不能同时大于1.19. (本小题满分12分)已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行 （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间 （2）若函数()y f x =的图像与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围.20．(本小题满分12分)*111111234212n n N S n n ∈=-+-++-- 当时, ，11111232n T n n n n=+++++++1212(1),,,.(2),.n n S S T T S T 求猜想与的关系并用数学归纳法证明21.(本题满分15分）()ln(1)()f x x ax a R =+-∈已知函数（1）1()a f x =当时，求函数在定义域上的最大值；（2）已知y=f （x ）在x ∈[1，+∞）上恒有f （x ）＜0，求a 的取值范围； （3）求证：．巢湖市烔炀中学2014-2015学年度第二学期期中考试高二数学试题答案（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.(21)2n nxx -+ 12. (,1]-∞ 13. 16 14.4π15. ①③④ 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 16．【答案】（12分）444422n nn22n 882821882322(2)10(2),(2),=(2)1=31162(2)()(2),9832=1,22kk kkk k kk C C T C C x xk k k x T ---+----==⋅-=---=∴ C 解：由题意知，第五项系数为C 第三项系数为则有，解得：n 8或n=-3(舍去）分（）令x=1得各项系数之和为（1-2)分通项公式分令，则展开式中含32=1612x - 分17．【答案】（12分）解：（1）2()33f x x '=-，………………………………（1分） 由()0,1,,(),()f x x x f x f x ''==±得则的变化情况如下表：故当x=-1时，f (x )取极大值1；当x =1时，f (x )取极小值-3 ………………………… （6分） （2）由（1）知，函数f (x )在[-1,1]上单调递减，故[,1][1,1]m m +⊆-…………………（9分）于是111m m ≥-⎧⎨+≤⎩，即10m -≤≤ ……………………（12分）18．【答案】（12分）2)1,2)1,2) 1.02,02,022)22)22)233a b b c c a a b c a bb cc a->->-><<<<<<-+≤-+≤-+≤∴< 证明：假设（（（ （ 又（（ 显然不成立 故假设不成立，原命题成立。
19、【答案】（12分）解:(1)2()36(-1)90,9f x x x a f a a ''=-+=+==-，, ………………………（2分）22()3693(23)3(3)(1)f x x x x x x x '=--=--=-+,由()0f x '>得3x x ><或-1，所以函数()f x 的单调递增区间是∞∞(-,-1),(3,+)，单调递减区间为(1,3)- ………………… （6分）（2）令23239()()(153)6322g x f x x x x x x b =--+=-++-， 2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--，……………………（8分）由()0g x '>得21x x ><或，即函数()g x 在(,1),(2,)-∞+∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，故当1x =时，g(x )取极大值1(1)2g b =-, 当2x =时，g(x )取极小值(2)1g b =-，………………………（10分） 函数()y f x =的图像与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点即函数g(x )有三个零点，故1210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，所以112b << …………………………… （12分）20．【答案】（12分）解：（1）111122S =-=，21117123412S =-+-= 111112T ==+，2117212212T =+=++ …………………………………4分 （2）猜想：*()n n S T n N =∈ 即：1111111111.2342121232n n n n n n-+-++-=++++-+++ （n ∈N *）……5分下面用数学归纳法证明① n=1时，已证S 1=T 1 ………………………………………………………………6分 ② 假设n=k 时，S k =T k （k ≥1，k ∈N*），即：1111111111.2342121232k k k k k k-+-++-=++++-+++ ………………8分则111212(1)k k S S k k +=+-++ 11212(1)k T k k =+-++ ……………………………………………………10分 1111111232212(1)k k k k k k =+++++-+++++ 11111232112(1)k k k k k ⎛⎫=++++- ⎪+++++⎝⎭11111(1)1(1)22212(1)k k k k k =+++++++++++1k T +=由①，②可知，对任意n ∈N*，S n =T n 都成立. ………………………………………12分21.【答案】(15分）解：（1）∵f （x ）=ln （x+1）﹣ax （a ∈R ），a=1，∴，由＞0，得﹣1＜x＜0；由＜0，得x＞0；所以y=f（x）在（﹣1，0）为增，在（0，+∞）为减，所以x=0时，f（x）取最大值0．………………………………………4分（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，等价于恒成立，设，设，所以h（x）是减函数，所以，所以g（x）是减函数，g max（x）=g（1），所以a＞ln2……………………………10分（3）要证，只需证只需证因为，所以．故． (15)分。