2015青岛二模 山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
山东省青岛市2015届高三下学期自主练习数学(理)试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ，集合{|0}A x x =>，{|01}B x x =<<，则()U C A B =（ ）A ．{01}x x <<B ．{0}x x ≤C ．{1}x x <D ．R【答案】C考点：集合的补集、并集运算. 2．复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A考点：复数的几何意义.3．下列命题的否定为假．命题的是 （ ） A ．2R,220x x x ∃∈++≤B ．任意一个四边形的四个顶点共圆C ．所有能被3整除的整数都是奇数D ．22R,sin cos 1x x x ∀∈+=【答案】D 【解析】试题分析：设命题 22:R,sin cos 1p x x x ∀∈+=，则22:R,sin cos 1p x x x ⌝∃∈+≠，显然p ⌝是假命题，故选D. 考点：命题的真假判断.4．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C ．若//,m m n α⊥，则n α⊥D ．若//,//m n αα，则//m n 【答案】B考点：空间线面之间的位置关系.5．已知变量,x y 满足约束条件2041y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．9D ．8【答案】B 【解析】试题分析：作出可行区域，如下图由图象可知在（3，2）处目标函数取得最大值11. 考点：简单的线性规划.6．执行右面的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C考点：程序框图. 7．将函数sin(2)3y x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 【答案】A考点： 1. 函数()sin y A x ωϕ=+ 的图象变换；2. 正弦函数的奇偶性8．已知向量,a b 满足3,2,5a b a b ==+=，则向量a 与b 夹角的余弦值为（） AB ．CD ．【答案】B 【解析】考点：向量的数量积． 9．将12,3,4四个数字随机填入右边22⨯的方格中﹐每个方格中恰填一个数字﹐且数字可重复使用. 则事件“A 方格的数字大于B 方格的数字，且C 方格的数字大于D 方格的数字”的概率为（ ）A ．9256 B ．116 C ．964 D ．2564【答案】C 【解析】考点： 古典概型.10．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|g()0}x x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数1()2x f x ex -=+-与第9题图2()3g x x ax a=--+互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）A．[2,4] B．7 [2,]3C．7[,3]3D．[2,3]【答案】D【解析】．考点：函数的零点与方程根的关系．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在样本频率分布直方图中，样本容量为160，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，则中间一组的频数为 .【答案】32 【解析】考点：频率分布直方图12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的表面积之比是 . 【答案】2:3考点：球的体积和表面积.13．如图：在ABC ∆中，AB BC ⊥，1)AB =，6C π∠=，512ADB π∠=，则CD 的长为 .【答案】16 【解析】 试题分析：,126C BC π∠=∴=,又512ADB π∠=，所以)4141tan ABBD ADB ===∠ ，12416CD BC BD =-=-=.考点：解三角形.14．如图：正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点，其余四个顶点都在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 .【答案】1 【解析】考点：双曲线的离心率.15．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则14a b+的最小值为 . 【答案】9 【解析】考点： 1.直线与圆的位置关系，2.基本不等式.三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数2())cos()2cos ()1444f x x x x πππ=+++--，R x ∈．（Ⅰ）若函数()y f x =的图象关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值； （Ⅱ）若函数2()()log g x f x m =-在5[0,]12π上有零点，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12π; （Ⅱ）1[,4]2【解析】试题分析：（Ⅰ）首先对函数2())cos()2cos ()1444f x x x x πππ=+++--进行恒等变换，可得()2sin(2)3f x x π=+，由2,32a k k Z πππ+=+∈，可得,212k a k Z ππ=+∈, 即可求出结果；（Ⅱ）因为5[0,]12x π∈ ， 所以67323πππ≤+≤x ，可得12sin(2)23x π-≤+≤，所以()[1,2]f x ∈- 又2()()log g x f x m =-在5[0,]12π上有零点，即2()log f x m =在5[0,]12π有解，故21log 2m -≤≤，即可求出结果.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的值域；3.函数的零点. 17．（本小题满分12分）某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为10000元，此鱼的市场价格和鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(Ⅰ）设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，求X的分布列和期望；（Ⅱ）若在这个鱼池中连续3季养殖这种鱼，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．20000元的概率．【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）0.986【解析】试题解析：解：（Ⅰ）因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为⨯-=⨯-=5001001000040000,500601000020000⨯-=⨯-=……………………2分3001001000020000,30060100008000P X==⨯+⨯=P X==⨯=，(20000)0.50.40.50.60.5(40000)0.50.60.3P X==⨯=……………………4分(8000)0.50.40.2所以X的分布列为E X=⨯+⨯+⨯=……………………6分则()400000.3200000.580000.223600考点： 1.离散型随机变量的分布列、数学期望；2.概率的求法. 18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.（Ⅰ）求证：平面//BDGH 平面AEF ； （Ⅱ）求二面角H BD C --的大小. 【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）60︒ 【解析】设ACBD O =，连接OH ，AACDEF G H因为ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点则030200n BH x z x n DB ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎩⎪⎩r uuu r r uu u r. 令1z =，得(0,3,1)n =-. ……………9分 由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)DE =，则1cos ,2n DE n DE n DE⋅<>=== .……………11分所以二面角H BD C --的大小为60︒. ………………12分考点：1．用空间向量求平面间的夹角；2．与二面角有关的立体几何综合题． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．(Ⅰ) 求证:数列{1}n a +是等比数列；(Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值． 【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）6116【解析】所以{1}n a +是以1为首项，公比为2的等比数列 …………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+，考点：1.等比数列的性质；2.数列求和与不等式的综合运用. 20．（本小题满分13分） 设函数x x f ln )(=，()bg x ax x=+，函数)(x f 的图象与x 轴的交点在函数)(x g 的图象上，且在此点处两曲线有相同的切线. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 设定义在[0,1]上的函数2()(1)2()(R)xx g x t x h x t e⋅+-+=∈的最大值为M ，最小值为N ，且2M N >，求实数t 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）12a =，12b =-; （Ⅱ）(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞ 【解析】试题解析：解： (Ⅰ) ()ln f x x =的图象与x 轴的交点坐标是(1,0)，③ 当01t <<时，在[0,)x t ∈，()0h x '<，()h x 在[0,]t 上单调递减，在(,1]x t ∈，()0h x '>，()h x 在[,1]t 上单调递增所以2()max{(0),(1)}h t h h < 即132max{1,}t t te e+-⋅< （*）考点：1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性和最值中的运用. 21．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，且经过点)23,1(.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）动直线:l y x m =+与椭圆C 相切，点,M N 是直线l 上的两点，且12,F M l F N l ⊥⊥． 求四边形12F MNF 面积；（Ⅲ）过椭圆C 内一点(,0)T t 作两条直线分别交椭圆C 于点,A C 和,B D ，设直线AC 与BD 的斜率分别为1k 、2k ，若||||||||A T T C B T T D ⋅=⋅，试问12k k +是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】（Ⅰ）22143x y +=; （Ⅲ）120k k +=为定值【解析】()()1122,,,A x y C x y ，联立直线与椭圆方程得22222111(34)84120k x k tx k t +-+-=，则211221834k tx x k +=+，试题解析：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=)0(>>b a ．离心率21==a c e ，又222cb a +=，所以2243a b = 点)23,1(在该椭圆C 上，所以149122=+ba ……………………………2分 解得3,422==b a ．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………3分（Ⅲ）由(,0)T t ,则直线AC 的方程1()y k x t =-,设()()1122,,,A x y C x y 联立直线与椭圆方程得22222111(34)84120k x k tx k t +-+-=则211221834k t x x k +=+， 221122141234k t x x k -⋅=+ …………………………9分考点：1.椭圆的性质；2.直线与椭圆的位置关系.。
2015青岛一模 山东省青岛市2015年高三统一质量检测数学理试题 扫描版含答案
理科答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D A B C D A C A B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 4028 12. 132 13.24- 14．(4,2)- 15．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ） sin()sin sin a b a c A B A B +-=+- ∴a b a cc a b+-=- …………………………2分 222a b ac c ∴-=-2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴=== ………………………………5分 (0,)B π∈，3B π∴= ………………………………………………………6分（Ⅱ）由3b =，sin A =，sin sin a b A B =，得2a = ……………………………7分 由a b <得A B <，从而cos A = …………………………………………9分故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= …………………10分所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C ==. ……………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为320C ，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分 所以111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …………………6分 （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,33211616433202057162881548(0),(1),32019573201919C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯1231644332020166841(2),(3)320199532019285C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯…………10分 所以ξ的分布列为所以2888157()012357199528595E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结1A D 交1AD 于G ， 因为1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以四边形11ADD A 为平行四边形， 所以G 为1A D 的中点，又1E 为11 A B 中点，所以1E G 为11A B D ∆的中位线， 从而11//B D E G ……………………………………4分 又因为1B D ⊄平面11AD E ，1E G ⊂平面11AD E ，所以1//B D 平面11AD E ． …………………………5分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，所以11,,AA A B A A AD ⊥⊥又090BAD ∠=，所以1,,AB AD AA 两两垂直. ……………6分如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 设AB t =，则()0,0,0A ，(),0,0B t ，(),1,0C t ，()0,3,0D ，()1,1,3C t ，()10,3,3D .从而(,1,0)AC t =，(,)3,0BD t -=.因为AC BD ⊥，所以2300ACBD t ⋅=-+=+，解得t = ……………………8分所以1(0,3,3)AD =，(3,1,0)AC =.设1111,,()n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则1110,0.AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110330y y z +=+=⎪⎩令11x =，则1(13,),3n =-. …………………………………………………………9分又1(0,0,3)CC =，(CD =-.设2222,,()n x y z =是平面11CDD C 的一个法向量，则1220, n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222020z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令21x =，则2(1,)n =. ………………………………………………………10分∴121212|11(0|1cos ,7n n n n n n ⨯+⋅<>===⋅ ∴平面1ACD 和平面11CDD C 所成角（锐角）的余弦值17. ……………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则101919,a a d =+=101109101002S a d ⨯=+⨯= 解得11,2a d ==，所以21n a n =- ………………………………………………………3分所以123121n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+ …… ①当11,3n b ==时2,n ≥当时123121n b b b b n -⋅⋅=-……②①②两式相除得21(2)21n n b n n +=≥- 因为当11,3n b ==时适合上式，所以21(N )21n n b n n *+=∈-………………………………6分 （Ⅱ）由已知24(1)(21)nnn n b c n ⋅=-+， 得411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n n n =-=-+-+-+则123n n T c c c c =++++1111111(1)()()(1)()335572121n n n =-+++-+++-+-+ ………………………7分当n 为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+1212121nn n =-+=-++ ………………………………………………………………9分当n 为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+12212121n n n +=--=-++ ……………………………………………………………11分综上：2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为直线l 与圆O 相切 所以圆2223x y +=的圆心到直线l的距离d ==，从而222(1)3m k =+…2分 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-= 设11(,)E x y ，22(,)F x y则122412km x x k +=-+，21222212m x x k-=+ …………………………………………………4分 所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k m k km k k k k k--=++++=+++++--+--===++ 所以OE OF ⊥ ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）直线l 与圆O 相切于W ，222212121,1,22x x y y +=+=∴EWFWλ====………………………………8分 由（Ⅰ）知12120x x y y +=，∴1212x x y y =-，即22221212x x y y = 从而22221212(1)(1)22x x x x =--，即2212214223x x x -=+∴21234x λ+==……………………………………………………………12分因为1x ≤≤，所以1[,2]2λ∈ ………………………………………………13分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）原函数定义域为(1,)-+∞，()ln(1)1g x x '=++，则(0)0g =，(0)1g '=，:l y x ∴= ………………………………………………………2分由22112(1)202y x kx x k x y x ⎧=++⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩l 与函数()f x的图象相切，24(1)801k k ∴∆=--=⇒=4分（Ⅱ）由题21()1ln(1)12h x x kx x =+++++,1()1h x x k x '=+++ 令1()1x x k x ϕ=+++,因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=>++对[0,2]x ∈恒成立， 所以1()1x x k x ϕ=+++，即()h x '在[0,2]上为增函数 ………………………………6分max 7()(2)3h x h k ''∴==+()h x 在[0,2]上单调递减()0h x '∴≤对[0,2]x ∈恒成立，即max 7()03h x k '=+≤73k ∴≤- …………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）当1]x ∈时，()ln(1)10g x x '=++> ()(1)ln(1)g x x x ∴=++在区间1]上为增函数，∴1]x ∈时，0()g x ≤≤ …………………………………………………………………………10分21()12f x x kx =++的对称轴为：x k =-，∴为满足题意，必须14k -<-<……11分此时2min 1()()12f x f k k =-=-，()f x 的值恒小于(1)f -和(4)f 中最大的一个对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满足()()i f x g t =(1,2)i =，min ((),min{(1),(4)})f x f f ∴⊆-2min 41141()0102(4)493(1)2k k f x k f k f k -<<⎧-<-<⎧⎪⎪⎪<-<⎪⎪⎪∴⇒⎨<+⎪⎪<-⎪<-⎪⎩ …………………………………………………13分94k <<……………………………………………………………………14分。
青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知11a bi i =-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D ．5【答案】D【解析】试题分析：由11a bi i =-+，得bi i i i a -=-+-1)1)(1()1(,即bi i a a -=-122,即12=a 且b a -=-2，即2=a ，1=b ，则52=-i 。
考点：1.复数的运算；2.复数的模长。
2.已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N =A ．[1,2)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．∅【答案】C考点：1.函数的定义域；2。
集合的运算.3.高三（3）班共有学生56人,座号分别为1,2,3,,56,现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是A ．30B ．31C ．32D ．33【解析】试题分析：由系统抽样的特点,得到样本中的座号形成一个以3为首项,公差为17—3=14的等差数列,则三个座号是17+14=31。
考点：系统抽样。
4。
已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是A ．1{,4}4B ．{1,4}C ．1{1,}4 D ．1{1,,4}4【答案】A考点：分段函数.5。
已知MOD 函数是一个求余函数,其格式为(,)MOD n m ,其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时,则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B试题分析:由程序框图，得1)2,25(,2==MOD i ;1)3,25(,3==MOD i ;1)4,25(,4==MOD i ；0)5,25(,5==MOD i ，输出i ，即输出结果为5.考点:程序框图.6. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥【答案】C【解析】试题分析：作出可行域及其选项中的直线，由图像可以看出3,2≥≥y x ，直线082=-+y x经过点)3,2(B ，且可行域在该直线的右上方，符合280x y +-≥；直线012=+-y x 经过该可行域,不满足210x y -+≥恒成立;故选C考点：不等式（组）与平面区域.7。
青岛市届高三第二次模拟考试.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作青岛市2015届高三第二次模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D ．5 【答案】D【解析】由11abi i=-+，整理得(1)(1)a b b i =++-，所以1,01,a b b =+⎧⎨=-⎩即2,1.a b =⎧⎨=⎩所以|||2|5a b i i -=-=．2015.5【考点】复数的运算．2.已知集合2{|20}M x x x =->，22{|1}N x x y =+=，则M N =A ．[1,2)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．∅ 【答案】C【解析】由题意可知{}|02M x x =<<，{}|11N x x =-≤≤， 所以{}(]|010,1MN x x =<≤=．【考点】集合的交集运算．3.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为A ．84B ．78C ．81D ．96 【答案】B【解析】设该校高三学生共有n 人，则480(30)1290n n +++=，解得390n =．又因为本调查采取分层抽样，故设样本中高三学生人数为x ，则96480390x=，解得78x =． 【考点】分层抽样．4.函数11()2xy =-的值域为A ．[0,)+∞B ．(0,1)C ．[0,1)D ．[0,1] 【答案】C【解析】由题意可知101()12x≤-<，所以该函数的值域为[)0,1．【考点】函数的值域；指数函数的性质． 5.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B【解析】当25n =时，5i =时才保证余数为0． 【考点】程序框图．6.已知圆22:440C x y x y +--=与x 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】C【解析】圆C 方程可整理为22(2)(2)8x y -+-=，当0y =时，0x =或4，所以在△ABC 中，22CA CB ==，4AB =，∴222AB CA CB =+，即2C π=，所以弦AB 所对的圆心角大小为2π． 【考点】直线与圆的位置关系．7.“01m ≤≤”是“函数()sin 1f x x m =+-有零点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】函数()sin 1f x x m =+-有零点，即sin 10x m +-=有解，即两函数()sin g x x =，()1h x m =-的图象有公共点，故111m -≤-≤，解得02m ≤≤．所以“01m ≤≤”是“函数()sin 1f x x m =+-有零点”的充分不必要条件．【考点】函数的零点；充分必要条件． 8.已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点(0,3)，则()f x 的图象的一个对称中心是 A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π【答案】B【解析】根据题意函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点(0,3)，可知2sin 3ϕ=，即3sin 2ϕ=，因为||2πϕ<，所以3πϕ=，故()2s i n (2)3f x x π=+．由23x k ππ+=（k Z ∈），解得26k x ππ=-（k Z ∈），故()f x 的图象的对称中心为(,0)26k ππ-（k Z ∈），当0k =时，对称中心为(,0)6π-．【考点】正弦型函数的图象与性质．9.设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥【答案】C【解析】作出可行域如图所示，依次作出四个选项中的直线，可以看出满足题意的只有C ． 【考点】线性规划．10.如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则其“缓增区间”I 为A ．[1)+∞，B ．[0,3]C ．[0]1，D ．[1,3] 【答案】D【解析】函数213()22f x x x =-+的增区间为[)1,+∞．设()()f x g x x=，则()13()122f x g x x x x ==-+，则222133'()222x g x x x -=-=，由'()g x ≤，可得x ∈)3,0⎡-⎣(0,3⎤⎦．故缓增区间为1,3⎡⎤⎣⎦．【考点】二次函数的性质，利用导数求函数的单调区间．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ． 【答案】22【解析】因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，即220a b -=，所以||||22b a ==． 【考点】向量的数量积；向量的模．12.已知函数22,0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则((1))f f -= ．【答案】1【解析】根据函数解析式可得112((1))(2)|log 2|1f f f ---===．【考点】分段函数求值．13.已知实数,x y 满足221xy+=，则x y +的最大值是 ．【答案】2-【解析】由221x y +=，可得12222x y x y+=+≥，整理得2x y +≤-，即x y +的最大值为2-．【考点】均值不等式．14.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ． 【答案】32【解析】作出直观图，如图所示，可知平面ABD ⊥平面BCD ，故该三棱锥的体积为118643232V =⨯⨯⨯⨯=． 【考点】三视图．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】103【解析】过点F 且斜率为1-的直线方程为()y x c =--，由,(),b y x ay x c ⎧=⎪⎨⎪=--⎩解得bc y a b =+，所以22128ABCbc a b S c a b ∆+=⋅⋅=+，整理得13b a =，故该双曲线的离心率为110193e =+=．【考点】双曲线的离心率．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）某区工商局、消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（Ⅱ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率.【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）45【解析】（Ⅰ）设第2组[30,40)的频率为2f ，21(0.0050.010.020.03)100.35f =-+++⨯=； ………………………………………3分第4组的频率为0.02100.2⨯=所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为1P =0.350.20.55+= ……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设第1组[30,40)的频数1n ，则11200.005106n =⨯⨯= ……………………7分 记第1组中的男性为12,,x x ，女性为1234,,,y y y y ，随机抽取3名群众的基本事件是：121(,,)x x y ，122(,,)x x y ，123(,,)x x y ，124(,,)x x y121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ， 221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ， 123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共20种 ……………………10分其中至少有两名女性的基本事件是：121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ，221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共16种所以至少有两名女性的概率为2164205P ==………………………………………………12分 【考点】古典概型的概率求解． 17．（本小题满分12分）已知向量2(s i n,c o s )33xx a k =,(cos ,)3x b k =-,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅,R x ∈,且函数()f x 的最大值为212-. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且22b =,210a =,求AB AC ⋅的值.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）8-【解析】（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅- 221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=-- 2222222(sin cos )sin()2232322342k x x k k x k π=--=-- ………………………5分因为R x ∈，所以()f x 的最大值为(21)2122k --=，则1k = …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，221()sin()2342x f x π=--，所以221()sin()02342A f A π=--= 化简得22sin()342A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412A πππ<-<则2344A ππ-=，解得34A π=……………………………………………………………8分 所以22222840cos 22222b c a c A bc c +-+-=-==⨯ 化简得24320c c +-=，则4c =…………………………………………………………10分所以32cos 422()842AB AC AB AC π⋅==⨯⨯-=-……………………………12分 【考点】三角函数的最值；向量的数量积． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11A B a =，2AB a =，12AA a =，E 、F 分别是AD 、AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1BDC . 注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.【答案】（Ⅰ）（略）；（Ⅱ）（略）【解析】证明：（Ⅰ）连接11A C ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P ，由题意，BD ∥11B D ，因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………3分 又因为11,2A B a AB a ==，所以1111222MC A C a ==， 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以1242NP AC a ==，所以1MC NP =，又因为AC ∥11A C ，所以1MC ∥NP ， 所以四边形1MC PN 为平行四边形， 所以1PC ∥MN ，因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D ．因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC ． …………………………………6分（Ⅱ）连接1A P ，因为11A C ∥PC ，11A C =2PC a =，所以四边形11AC CP 为平行四边形．因为112CC AA PC a ===，所以四边形11AC CP 为菱形 所以11A C PC ⊥．………………………………………………………………………9分 因为MP ⊥平面ABCD ,MP ⊂平面11A C CA ， 所以平面11AC CA ⊥平面ABCD ，因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A C CA ，因为1AC ⊂平面11A C CA ，所以1BD A C ⊥， 因为1PC BD P =I ，所以1AC ⊥平面1BDC . ………………………………………12分 【考点】面面平行的证明；线面垂直的证明．19．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前2n 项和2n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）14848()2n -⋅【解析】解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >，且(112)50,(17)(12)(13)5,d q d q d d +=⎧⎨++=++++⎩即(112)50,26,d q d q +=⎧⎨+=⎩解得：22d q =⎧⎨=⎩，或1112256d q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由于{}n b 是各项都为正整数的等比数列，所以2,2.d q =⎧⎨=⎩……………………………………3分从而1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． ……………………………………5分（Ⅱ）12n n b -=，∴21log n b n +=，∴811()2nn n d d -++=，7121()2nn n d d -+++=，两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =， 135,,,d d d ∴是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列， …………………………………………………………7分 ∴当n 为偶数时，12128()16()22n n n d -=⨯=； 当n 为奇数时，1121216()162()22nn n d +-=⨯=． 综上,216(),22162(),2n n n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩…………………………………………………………9分∴21321242()()n n n S d d d d d d -=+++++++1116[1()]8[1()]1112232[1()]16[1()]4848()112221122n n n n n ⨯-⨯-=+=-+-=---………………12分 【考点】等差数列、等比数列的通项公式；数列的前n 项和．20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程； （Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，且离心率为12．直线:4l y kx =-交椭圆2C 于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）28y x =；（Ⅱ）23132k -<<-或12323k << n 为偶数 n 为奇数【解析】（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003,29,2,p x x y y px ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分 解得：001,22,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F ，椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==， 椭圆2C 的离心率为12，2142m m ∴=⇒=，23n = ∴椭圆2C 的方程为：2211612x y +=．…………………………………………………………6分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ， 由224,1,1612y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(43)32160k x kx +-+=， 由韦达定理得：1223243k x x k +=+，1221643x x k =+， ………………………………8分 由0∆>22(32)416(43)0k k ⇒--⨯+> 整理得12k >或12k <- ………………①……………………………………………………10分 ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则0OA OB ⋅>，∴11221212(,)(,)OA OB x y x y y y x x ⋅=⋅=+212121212(4)(4)(1)4()16kx kx x x k x x k x x =-⋅-+=+-++2221632(1)4164343k k k k k =+⨯-⨯+++2216(43)043k k -=>+ 整理得232333k -<<………………② 由①、②得实数k 的范围是23132k -<<-或12323k << ………………………13分 【考点】抛物线方程的求解；直线与椭圆的位置关系．21．（本小题满分14分） 已知函数()1ln a f x x x=--（R a ∈）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≥时，记函数21()(12)1()2a x ax a x f x x Γ=+-+-+，试求()x Γ的单调递减区间； （Ⅲ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，求()h a 的最大值．【答案】（Ⅰ）2ln 220x y -+-=；（Ⅱ）2max 98, 0834()0, 034868, 33h a λλλλλλ≥⎧≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩或 【解析】（Ⅰ）当1a =时，1()1ln f x x x=--， 211()f x x x '=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）()1ln a f x x x =--，21()(12)ln 2x ax a x x ∴Γ=+--(0)x >， 21(21)1()(12)ax a x x ax a x x---'Γ=+--= ①当0a =时，1()x x x-'Γ= 由1()0x x x-'Γ=≤及0x >可得：01x <≤，()x ∴Γ的单调递减区间为(0,1]………6分 ②当0a >时，2(21)1()ax a x x x---'Γ= 由2(21)10ax a x ---=可得：22(21)4410a a a ∆=-+=+>设其两根为12,x x ，因为1210x x a =-<，所以12,x x 一正一负设其正根为2x ，则2221412a a x a-++= 由2(21)1()0ax a x x x---'Γ=≤及0x >可得：2214102a a x a -++<≤ ()x ∴Γ的单调递减区间为22141(0,]2a a a-++…………………………………………8分 （Ⅲ）221()a a x f x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………10分对于2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ= 当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==； 当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==； 当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 综上可知：2max 98, 0834()0, 034868, 33h a λλλλλλ≥⎧≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩或 ……………………………………………14分 【考点】导数的几何意义；利用导数求函数的单调区间；函数最值的求解．。
2015青岛二模 山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题
高三自主诊断试题 2015青岛二模数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
是实数，错误！未找到引用源。
是虚数单位，则错误！未找到引用源。
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2. 已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
3. 高三（3）班共有学生错误！未找到引用源。
人，座号分别为错误！未找到引用源。
，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为错误！未找到引用源。
的样本．已知错误！未找到引用源。
号、错误！未找到引用源。
号、错误！未找到引用源。
号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
4. 已知函数错误！未找到引用源。
，则使错误！未找到引用源。
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青岛市届高三第二次模拟考试数学试题及答案(理)
山东省青岛市2013届高三第二次模拟考试（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U {|0}x x =>，2{|2}M x x x =<，则U M =ð A .{|2}x x ≥ B . {|2}x x > C . {|0x x ≤或2}x ≥ D . {|02}x x << 2．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z 的实部与虚部之和为 A. 2- B. 2 C. 1D. 03．“3a ≥”是“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图．若输出31S =， 则框图中①处可以填入A. 8n >B. 16n >C. 32n >D. 64n >5．下列函数中，与函数31xy =定义域相同的函数为 A ．x y sin 1=B. x xy ln = C. cos x y x= D. 3x y x e = 6．若23123(1)1(*)n n n x a x a x a x a x n -=+++++∈N ，且13:1:7a a =，则n =A ．8B ．9C ．7D ．107．已知函数()cos f x x x =，为了得到函数()sin 2cos 2g x x x =+的图象，只需要将()y f x =的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度8．已知1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点， 212PF F F ⊥，且122PF PF =，则双曲线的离心率为A.B. 1C.D. 19．定义：, min{,}, a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则x 、y 满足22min{2,4}2x x y x y x x y ++++=++的概率为 A.59B.29C.13D.4910．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 A. [30,27]-- B. (30,33) C. (30,27)-- D. [30,33]11．某几何体的三视图如图所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是A. 8a b +=B. 4b =C. 1a =D. 2a =12．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义,对于给定的实数k ,定义函数(),()() , ()f x f x k g x k f x k ≥⎧=⎨<⎩，设函数()f x =23x x x e -++-,若对任意的(,)x ∈-∞+∞恒有()()g x f x =,则A. k 的最大值为2-B. k 的最小值为2-C. k 的最大值为2D. k 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于 . 14．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据该表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为9年的维修费用大约为 万元．15．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列五个命题： ①若l β⊂，且//αβ，则//l α；②若l β⊥，且//αβ，则l α⊥； ③若l β⊥，且αβ⊥，则//l α；④若m αβ=，且//l m ，则//l α；⑤若m αβ=，//l α，//l β，则//l m ．则所有正确命题的序号是 .16．一同学为研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和,BEFC 点P 是边BC 上的一动点，设,x CP =则()AP PF f x +=．请你参考这些信息，推知函数()3()7g x f x =-的零点的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算AB C DEFP步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-．（Ⅰ）求函数()f x 在[]π,0上的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0f A =，若向量(1,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线，求ab的值． 18．（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点.现在沿AE 将三角形ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列两问：（Ⅰ）在线段AB 上是否存在一点K ，使BC ∥面DFK ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若面ADE ⊥面ABCE ，求二面角E AD B --的余弦值.19．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙、丙做对的概率分别为m 和n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： (Ⅰ) 求m ，n 的值；（Ⅱ) 记事件E ={函数2()231f x x x ξ=-++在区间[1,1]-上不单调}，求()P E ；（Ⅲ）令12()10E λξ=-，试计算 (12||)x dx λλ--⎰的值.20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，1211n n a a a a -+++-=-（2n ≥且*N n ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；A（Ⅱ）令22121log (0,1)5n n n aa a d a a +++=+>≠，记数列{}n d 的前n 项和为n S ， 若2nnS S 恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ. 21．（本小题满分13分）已知点(1,0)F 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点，过点(,0)A a 、(0,)B b 的直线与圆22127x y +=相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，求证：11MF NF+为定值. 22．（本小题满分13分）已知(,), (,1)p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =⋅+，关于x 的不等式2()(21)1f x m x m >-+-的解集为(,)(1,)m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足00|1|3x x -+>，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）当实数k 取何值时，函数()()ln(1)x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点.数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A D B BC A D B DC D A二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 3-或1 14. 11.15 15. ①②⑤ 16．2三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-sin 2coscos 2sin(cos 21)66x x x ππ=+-+12cos 2122x x =--sin(2)16x π=-- ……………………………………………3分由222(Z)262k x k k πππππ-≤-≤+∈得：(Z)63k x k k ππππ-≤≤+∈所以，()f x 在[]π,0上的单调递增区间为[0,]3π，5[,]6ππ………………………………6分 （Ⅱ）()sin(2)106f A A π=--=，则sin(2)16A π-=0A π<<，112666A πππ∴-<-<，262A ππ∴-=，3A π=………………………8分向量(1,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线，sin 2sin C B ∴=，由正弦定理得，2c b = …………………………………………………………………10分 由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即222242a b b b =+-ab∴= ………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）线段AB 上存在一点K ，且当14AK AB =时，BC ∥面DFK ………………………………1分证明如下：设H 为AB 的中点，连结EH ，则BC ∥EH 又因为14AK AB =，F 为AE 的中点所以KF ∥EH ，所以KF ∥BC ，………………4分KF ⊂面DFK ，BC ⊄面DFK ，∴BC ∥面DFK …………………………………5分（Ⅱ）H 为AB 的中点，1AH HE BC ∴===,F 为AE 的中点，∴FH AE ⊥.1DA DE ==， ∴DF AE ⊥，面ADE ⊥面ABCE ，∴DF ⊥面ABCE由此可以,,FA FH FD 分别为,,x y z 轴，建立坐标系如图………………………………7分 因为DF ⊥面ABCE ，所以DF ⊥FH ，又FH AE ⊥，DF AE F =，∴FH ⊥面ADE ，则FH 为面ADE 的一个法向量.因为2AB =，1BC =，所以2FH =，(0,2FH =……………………………9分又可得：D，A，所以(AD =-，(AH =- 设面ADB 的法向量为(,,)n x y z =由00n AD n AH ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩022022x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，即00x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则(1,1,1)n =…11分所以cos ,FH n <>==，故二面角E AD B --的余弦值为3………12分 19．（本小题满分12分）解：设事件A ={甲做对}，事件B ={乙做对}，事件C ={丙做对}，由题意知，12P A P B m P C n ===(),(),(). （Ⅰ） 由题意知1101124P P ABC m n ξ===--=()()()()， 113224P P ABC mn ξ====()()，整理得：112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知1a P P ABC P ABC P AB C ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=()()()()， …………………………5分 函数2()231f x x x ξ=-++在区间[1,1]-上不单调，∴对称轴3(1,1)4x ξ=∈-4433ξ⇒-<<0ξ⇒=，或1ξ=…………………………7分()(0)(1)P E P P ξξ∴==+=1111742424=+=……………………………………………8分 （Ⅲ）(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14，∴13()0(0)1(1)2(2)3(3)12E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯== ……………10分12()103E λξ∴=-= 故33(12||)(12||)x dx x dx λλ---=-⎰⎰33(12)(12)x dx x dx -=++-⎰⎰202330()|()|12x x x x -=++-=-………………………………………………12分20．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由题1211n n a a a a -+++-=-……①1211n n a a a a +∴+++-=-……②由①-②得：120n n a a +-=，即12(2)n na n a +=≥…………………………………………3分 当2n =时，121a a -=-，11a =，∴22a =,212a a = 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列故12n n a -=（*N n ∈）………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）12n n a -=，22121log 12log 25n n n aa a a d n +++∴=+=+12log 2n n a d d +-=，{}n d ∴是以112log 2a d =+为首项，以2log 2a 为公差的等差数列，…………………8分 22(21)2(12log 2)(2log 2)2(1)(12log 2)(2log 2)2a a nna a n n n S n n S n -++⨯∴=-++⨯2(42)log 21(1)log 2a a n n λ++==++(4)log 2(2)(1log 2)0a a n λλ⇒-+-+= ……………………………………………10分2nn S S 恒为一个与n 无关的常数λ，∴(4)log 20(2)(1log 2)0a a λλ-=⎧⎨-+=⎩解之得：4λ=，12a =………………………………………………………………12分 21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1,0)F 为椭圆的右焦点，所以221a b =+……① ……………………1分AB 的直线方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-= 所以2222()127ab d a b ==+，化简得222212()7a b a b +=……② …………………………3分 由①②得：24a =，23b =所以椭圆C 的方程为22143x y += …………………………………………………………4分 (Ⅱ) 设11(,)M x y 、22(,)N x y当直线l 的斜率不存在时，121x x ==，则211143y +=，解得2194y = 所以32MF NF ==，则1143MF NF +=………………………………………………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=221212228412,3434k k x x x x k k -+==++…………………………………………………………8分11MF ==-同理21NF =-不妨设211,1x x <>，则211111()11MF NF x x +=+--21121211()11x x =+=--224313434k k ===--++ 所以11MF NF+为定值43 ………………………………………………………………13分 22．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）(,), (,1)p x m q x a ==+，()1f x p q =⋅+，∴二次函数2()1f x x ax m =+++， …………………………………………………1分关于x 的不等式2()(21)1f x m x m >-+-的解集为(,)(1,)m m -∞++∞，也就是不等式22(12)0x a m x m m ++-++>的解集为(,)(1,)m m -∞++∞，∴m 和1m +是方程22(12)0x a m x m m ++-++=的两个根. 由韦达定理得：(1)(12)m m a m ++=-+-∴2a =- …………………………………………………………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()1f x g x x =-221(1)11x x m mx x x -++==-+--， ()()ln ln 11m x g x x x x x ∴Γ=-+=-+-，21()(1)mx x x 'Γ=--存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ，02001()0(1)m x x x '∴Γ=-=-012m x x ⇒=+-…………………………………………4分 00|1|3x x -+>，02x ∴> ………………………………………………………………5分 令1()2h x x x =+-(2)x >，则221(1)(1)()1x x h x x x +-'=-=当2x >时，221(1)(1)()10x x h x x x+-'=-=>，∴1()2h x x x=+-在(2,)+∞上为增函数 从而00011()2(2)2h x x h x =+->=，12m ∴> …………………………………………7分 （Ⅲ）()()x g x ϕ=-ln(1)k x -(1)1m x x =-+-ln(1)k x --的定义域为1+∞(,). ∴()1x ϕ'=-2(1)1m k x x ---22(2)1(1)x k x k m x -++-+=-. 方程2(2)10x k x k m -++-+=（*）的判别式22(2)4(1)4k k m k m ∆=+--+=+.①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为11,x =<或221,2k x +=> 则2(1,)x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在2(1,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增.此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2x ，k 可取任意实数. ………………………9分 ②若0m <时，当0∆≤，即k -≤2(2)10x k x k m -++-+≥恒成立，()0x ϕ'≥，()x ϕ在(1,)+∞上为增函数，此时()x ϕ在(1,)+∞上没有极值 …………………………………………………………10分 下面只需考虑0∆>的情况由0∆>,得k <-k >当k <-11,x =<21,x =< 故x ∈(1,)+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值. …………………………………………………………………11分当k >11,x =>21,x => 则1(1,)x x ∈时，()0x ϕ'>；12(,)x x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在1(1,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增. 此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x .综上所述, 若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ； 若0m <时，当k >()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x（其中1x =, 2x =13分。
2015青岛二模 山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题
高三自主诊断试题 2015青岛二模数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D2. 已知集合2{|20}M x x x =->，22{|1}N x x y =+=，则MN =A ．[1,2)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．∅3. 某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为A ．84B ．78C ．81D ．96 4.函数y =A ．[0,)+∞B ．(0,1)C ．[0,1)D ．[0,1] 5. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时， 则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．76. 已知圆22:440C x y x y +--=与x 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7.“01m ≤≤”是“函数()sin 1f x x m =+-有零点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8. 已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点，则()f x 的图象的一个对称中心是 A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π9. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥ 10. 如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则其“缓增区间”I 为 A ．[1)+∞， B． C ．[0]1， D．[1 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ；12. 已知函数22,0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则((1))f f -= ；13. 已知实数,x y 满足221xy+=，则x y +的最大值是 ；14. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）某区工商局、消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（Ⅱ）已知第1组群众中男性有2人， 组织方要从第1组中随机抽取3名群 众组成维权志愿者服务队，求至少 有两名女性的概率.m俯视图正（主）视图侧（左）视图第14题图17．（本小题满分12分）已知向量2(sin,cos )33x x a k =,(cos ,)3xb k =-,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅,R x ∈,且函数()f x的最大值为12. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且b =a =,求AB AC ⋅的值.18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A BC D -中，11A B a =，2AB a =，1AA ，E 、F 分别是AD 、AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1BDC . 注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.C1BE D FAB1A1D 1C19．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前2n 项和2n S ．20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，且离心率为12．直线:4l y kx =-交椭圆2C 于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()1ln af x x x=--（R a ∈）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≥时，记函数21()(12)1()2ax ax a x f x xΓ=+-+-+，试求()x Γ的单调递减区间；（Ⅲ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，求()h a 的最大值．高三自主诊断试题数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D C B C B C A B C D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.12. 1 13. 2- 14．32 15三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设第2组[30,40)的频率为2f21(0.0050.010.020.03)100.35f =-+++⨯=； ………………………………………3分第4组的频率为0.02100.2⨯=所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为1P =0.350.20.55+= ……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设第1组[30,40)的频数1n ，则11200.005106n =⨯⨯= ……………………7分 记第1组中的男性为12,,x x ，女性为1234,,,y y y y随机抽取3名群众的基本事件是：121(,,)x x y ，122(,,)x x y ，123(,,)x x y ，124(,,)x x y121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ， 221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共20种 ……………………10分 其中至少有两名女性的基本事件是：121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ，221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共16种所以至少有两名女性的概率为2164205P ==………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅- 221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--222(cos )sin()22323242x x k x k π=--=-- ………………………5分 因为R x ∈，所以()f x 的最大值为1)122k =，则1k = …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342x f xπ=--，所以21()sin()02342A f A π=--= 化简得2sin()34A π-=因为2A ππ<<，所以25123412A πππ<-< 则2344A ππ-=，解得34A π= ……………………………………………………………8分 所以2222cos 2bc a A bc+-===化简得24320c c +-=，则4c =…………………………………………………………10分所以3cos 4(842AB AC AB AC π⋅==⨯-=-……………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P 由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………3分又因为11,2A B a AB a ==，所以111122MC AC a == 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以142NP AC a ==所以1MC NP =又因为AC ∥11AC ，所以1MC ∥NP 所以四边形1MC PN 为平行四边形 所以1PC ∥MN因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………6分C1BED FAB1A1D 1CM NP（Ⅱ）连接1A P ，因为11AC ∥PC ，11AC=PC =，所以四边形11AC CP 为平行四边形因为11CC AA PC ==，所以四边形11ACCP 为菱形 所以11AC PC ⊥ ………………………………………………………………………9分 因为MP ⊥平面ABCD ,MP ⊂平面11AC CA所以平面11AC CA ⊥平面ABCD ， 因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11AC CA 因为1AC ⊂平面11AC CA ，所以1BD AC⊥ 因为1PC BD P =I ，所以1AC ⊥平面1BDC . ………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}a 的公差为d ，b 的公比为q ，则依题意有0q > 3分n ，2n b q ==． ……………………………………5分 （Ⅱ）12n n b -= 21log n b n +∴=811()2n n n d d -++∴= ， 7121()2n n n d d -+++=两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =135,,,d d d ∴是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列， …………………………………………………………7分 ∴当n 为偶数时，1218()16(22n n n d -=⨯= 当n 为奇数时，112116()2n n n d +-=⨯=综上,,,nn n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩…………………………………………………………9分∴21321242()()n n n S d d d d d d -=+++++++ 1116[1()]8[1()]1112232[1()]16[1()]4848()112221122n n n n n ⨯-⨯-=+=-+-=---………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003292p x x y y px⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分解得：001,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F 椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==椭圆2C 的离心率为12，2142m m ∴=⇒=，n =∴椭圆2C 的方程为：2211612x y +=…………………………………………………………6分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22411612y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(43)32160k x kx +-+=由韦达定理得：1223243k x x k +=+，1221643x x k =+ ………………………………8分 由0∆>22(32)416(43)0k k ⇒--⨯+>12k ⇒>或12k <- ………………①……………………………………………………10分∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则0OA OB ⋅>，∴11221212(,)(,)OA OB x y x y y y x x ⋅=⋅=+212121212(4)(4)(1)4()16kx kx x x k x x k x x =-⋅-+=+-++n 为偶数 n 为奇数2221632(1)4164343k k k k k =+⨯-⨯+++2216(43)043k k -=>+33k ⇒-<<………………②由①、②得实数k 的范围是132k -<<-或123k <<………………………13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当1a =时，1()1ln f x x x=--， 211()f x x x'=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分（Ⅱ）()1ln a f x x x =--，21()(12)ln 2x ax a x x ∴Γ=+--(0)x >，21(21)1()(12)ax a x x ax a x x ---'Γ=+--=①当0a =时，1()x x x-'Γ=由1()0x x x-'Γ=≤及0x >可得：01x <≤，()x ∴Γ的单调递减区间为(0,1]………6分 ②当0a >时，2(21)1()ax a x x x---'Γ=由2(21)10ax a x ---=可得：22(21)4410a a a ∆=-+=+>设其两根为12,x x ，因为1210x x a=-<，所以12,x x 一正一负设其正根为2x ，则2x =由2(21)1()0ax a x x x ---'Γ=≤及0x >可得：2102a x a-+<≤()x ∴Γ的单调递减区间为…………………………………………8分（Ⅲ）221()a a xf x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………10分对于2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==；当3014λ<≤，即43λ<≤时，max()(0)0h a h==；当3124λ<<，即4833λ<<时，max()(2)68h a hλ==-；综上可知：2max98,0834()0, 034868,33h aλλλλλλ≥⎧≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩或……………………………………………14分。
【数学】山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试(理)
2015年山东省青岛市高考二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分）1．（5分）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B． 2 C． 5 D．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解析】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2）}，N={x|x2+y2=1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．（0，1）C．（0，1] D．∅【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解析】解：由M中y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），由N中x2+y2=1，得到﹣1≤x≤1，即N=[﹣1，1]，则M∩N=（0，1]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．33【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义确定样本间隔即可．【解析】解：样本间隔为56÷4=14，则另外一个号码为14+17=31，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．4．（5分）已知函数，则使f（x）=2的x的集合是（）A．B．{1，4} C．D．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数通过f（x）=2求出x的值即可．【解析】解：函数，当x≤0时，2x=2，可得x=1（舍去）．当x＞0时，|log2x|=2，即log2x=±2，解得x=4，或x=．使f（x）=2的x的集合是．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．5．（5分）已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m 的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为（）A．4 B． 5 C． 6 D．7【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，当i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5．【解析】解：模拟执行程序框图，可得：n=25，i=2，MOD（25，2）=1，不满足条件MOD（25，2）=0，i=3，MOD（25，3）=1，不满足条件MOD（25，3）=0，i=4，MOD（25，4）=1，不满足条件MOD（25，4）=0，i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x≥3，y≥4不成立，作出直线x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由图象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】从两个方向去判断，先看“a≤﹣2”能否得到“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”：这个容易判断能得到；再看“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”能否得到“a≤﹣2”：根据f（x）解析式知道f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而a≤﹣1，并得不到a≤﹣2，综合以上情况即可得出答案．【解析】解：（1）若a≤﹣2，x∈[﹣1，+∞）时，f（x）=x﹣a；∴此时f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增；∴“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分条件；（2）若“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”，则：x≥a在[﹣1，+∞）上恒成立；∴﹣1≥a；即a≤﹣1；∴得不到a≤﹣2；∴“a≤﹣2”不是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的必要条件；∴综上得“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选A．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，比如本题中f（x）=，一次函数的单调性，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．8．（5分）将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，求得不同分法的种数．【解析】解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为•=36，故选：C．【点评】本题考查的是分类计数问题问题，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题，属于基础题．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．【解析】解：设x∈，则x﹣1∈，根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故选：B．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．10．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率．【解析】解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为﹣1的直线l方程为y=c﹣x∵直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限∴为解得P（，）∵△OFP的面积为，∴•c•=整理得a=3b∴该双曲线的离心率为==故答案为：C．【点评】本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知不共线的平面向量，满足，，那么|=2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标即可求得，而根据即可得到，从而得到，这样便可求出答案．【解析】解：；∴；；∴；∴．故答案为：．【点评】考查根据向量的坐标求向量的长度的公式，两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的运算．12．（5分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110，102），已知P （100≤X≤110）=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8人．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P（100≤ξ≤110）=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．故答案为：8．【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是32；【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得三棱锥的底面边长与对应的高，求出它的体积．【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为8，该边上的高为6的三棱锥，且三棱锥的高为4；∴该三棱锥的体积为V三棱锥=×8×6×4=32．故答案为：32．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．14．（5分）若函数f（x）=Asin（的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为；【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积．【解析】解：由图可知，A=1，，T=2π，∴ω=1，则，∴图中的阴影部分的面积为=cos（）﹣cos（﹣）=1﹣．故答案为：．【点评】本题考查了利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了定积分的求法，是基础的计算题．15．（5分）若不等式2y2﹣x2≥c（x2﹣xy）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤=，令=t可得c≤=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．。
山东省2015届高三数学模拟(二)试题 理
山东省2015年高考模拟冲刺卷（二）理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2B ．3C ．11D ．62、在ABC ∆中，设命题BcA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（ ） A ．22B ． 2C ．－ 22D ．－ 24、如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ） A ．52B ．107C ．54D ．109 5、在ABC ∆中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，︒=30B ，ABC ∆的面积为23，那么=b（ ） A 13+ B ．13 C 23+ D ．236、直线L 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为（ ）A ．2224y x y x ==或 B ．2248y x y x ==或 C ．2268y x y x ==或 D ．2228y x y x ==或7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．3160B ．160C ．23264+D ．2888+8、．如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡，已知),10(mod ,22212020202202120b a C C C a ≡++++=且 则b 的值可为 （ ）A ．2011B ．2012C ．2009D ．201010、若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()21f x x =-()()xH x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ）A ．4B ．8C ．6D ．10xO A1y xOB1y xOC1y x OD1y第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知21k π-=⎰，直线1y kx =+交圆22:1P x y +=于,A B 两点，则AB = ．12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为 ．13、已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合B A ⋂= ． 14、若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102ea a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= ．15、给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题： ①函数)(x f y =定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数．则其中真命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知)1,sin 32cos 2(x x m +=，),(cos y x n -=，且m n ⊥． （Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32Af =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为30。
山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=A ．3B ．2C ．5D 【答案】D 【解析】 试题分析：由11a bi i =-+，得bi i i i a -=-+-1)1)(1()1(，即bi i a a -=-122，即12=a 且b a -=-2，即2=a ，1=b ，则52=-i . 考点：1.复数的运算；2.复数的模长.2.已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N =A ．[1,2)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．∅ 【答案】C考点：1.函数的定义域；2.集合的运算. 3.高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．30B ．31C ．32D ．33 【答案】B 【解析】试题分析：由系统抽样的特点，得到样本中的座号形成一个以3为首项，公差为17-3=14的等差数列，则三个座号是17+14=31. 考点：系统抽样.4.已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是A ．1{,4}4B ．{1,4}C ．1{1,}4D ．1{1,,4}4【答案】A考点：分段函数.5.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，得1)2,25(,2==MOD i ；1)3,25(,3==MOD i ；1)4,25(,4==MOD i ；0)5,25(,5==MOD i ，输出i ，即输出结果为5.考点：程序框图.6. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥ 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域及其选项中的直线，由图像可以看出3,2≥≥y x ，直线082=-+y x 经过点)3,2(B ，且可行域在该直线的右上方，符合280x y +-≥；直线012=+-y x 经过该可行域，不满足210x y -+≥恒成立；故选C考点：不等式（组）与平面区域.7. “2-≤a ”是“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：a x x f -=)( 的图像关于直线a x =对称，且在[)+∞,a 上单调递增；则“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的充要条件是1-≤a ，且(](]1,2,-∞-⊂-∞-，则“2-≤a ”是“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的充分不必要条件 . 考点：1.函数的单调性；2.充分条件、必要条件.8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种 【答案】C【解析】试题分析：可分两类：第一类，将5人分成1,1,3，则先从其余三人中选1人与甲、乙在一起，有3种选法，三者选择一个路口，有3种选法，其余两人进行全排列，有22A 中排列方法，则共有183322=⨯A 种不同方法；第二类，将5人分成2,2,1，则有183323=A C 种不同方法；所以共有3633332322=+⨯A C A .考点：1.排列组合；2.分类加法计数原理.9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3(1,)2内是A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x < 【答案】B 【解析】试题分析：因为)(x f 为奇函数，所以)()(x f x f -=-，又)()1(x f x f -=+ ，)()1(x f x f -=+∴；当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 时，)1(log )(2+=x x f 为增函数，且0)0()(=>f x f ；)()1(x f x f -=+ ，所以当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,1x 时，)(x f 为减函数，且0)(<x f . 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性.10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为A ．3C D 【答案】C 【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为x a b y =，过焦点，斜率为1-的直线方程为)(c x y --=，联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==cx y xab y ，得)(yc b ay -=，即b a bc y +=；则82122b a c b a bc S OPF+=⨯+⨯=∆，解得b a 3=，即b c 10=，即双曲线的离心率310==a c e.考点：1.双曲线的几何性质；2.两条直线的位置关系.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11. 已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ； 【答案】22 【解析】试题分析：()()-⊥+ ，()()0==-⋅+∴22==. 考点：1.平面向量垂直的判定；2.平面向量的模长.12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(110,10)N ，已知(100110)0.34P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人；【答案】8 【解析】试题分析：由正态分布的特点，得16.0)68.01(21)110100(21(21)120(=-⨯=≤≤-=>X P X P ；则该班学生数学成绩在120分以上的约有816.050=⨯人. 考点：正态分布.13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；【答案】32 【解析】试题分析：由三棱锥的三视图，可知：三棱锥的底面三角形的底是8，高为6，其底面面积是246821=⨯⨯；三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积324243131=⨯⨯==Sh V . 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 14. 若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ； 【答案】232- 【解析】试题分析：由图像，得πωπ===2,1T A ,即1,1==ωA ，即)6sin()(π-=x x f ；令0)6sin()(=-=πx x f ，得6π=x ；由定积分的几何意义，得所求阴影部分的面积为2316cos 0cos |)6cos()6sin(6060-=-=-=--=⎰πππππx dx x S .考点：1.三角函数的图像与性质；2.定积分的几何意义.15. 若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 【答案】422- 【解析】试题分析：令xy t =，则()1,0∈t ，则2222()y x c x xy -≥-化为0)1(22≥+-+c ct t ；令)1(2)(2+-+=c ct t t f ；当04≤-c，即0≥c 时，)(t f 在()1,0上为增函数，则0)0(≥f ，得1-≤c （舍）；当14≥-c，即4-≤c 时，)(t f 在()1,0上为减函数，则03)1(≥=f 恒成立；当140<-<c ，即04<<-c 时，则018)4(2≥---=-c c c f ，即0882≤++c c ，解得422422-≤≤--c ；综上所述，422-≤c ，即数c 的最大值为422-.考点： 1.代换法；2.二次不等式恒成立；3.分类讨论思想.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知向量2(sin,cos )33x x a k =,(cos ,)3xb k =-,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅,R x ∈，且函数()f x . （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且a =求AB AC ⋅的最小值.【答案】（1）1=k ；（2）)21(20-. 【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到)(x f ，再利用二倍角公式及配角公式将)(x f 化成k x A ++)sin(φω的形式，再利用最值求k 值；（2）先求出角A ，再利用余弦定理和基本不等式求出bc 的最值，最后利用平面向量的数量积进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅- 221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--……2分222)sin()332342x x k x k π=-=-- ……………………5分因为R x ∈，所以()f x的最大值为1)122k =，则1k = …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342x f x π=--，所以21()sin()02342A f A π=--=化简得2sin()34A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412A πππ<-< 则2344A ππ-=，解得34A π= …………………………………………………8分因为2222240cos 222b c a b c A bc bc+-+-=-==，所以2240b c +=则22402b c bc +=≥，所以20(2bc ≤= ……………10分则3cos20(142AB AC AB AC π⋅==-≥ 所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分 考点：1.平面向量的数量积运算；2.三角函数恒等变形；3.余弦定理；4.基本不等式. 17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 【答案】（1）32；（2）分布列略，8. 【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，求出每个变量的概率，列表得到分布列及其数学期望.试题解析：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= …………………4分 （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ= 则111(6)4312P ξ==⨯= 11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯= ………………………………………………………………10分所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分 考点：1.独立事件同时发生的概率；2随机变量的分布列和数学期望. 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11A B a =，2AB a =，1AA =，E 、F 分别是AD 、AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1D BC C --的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.【答案】（1）证明略；（2）77. 【解析】试题分析：（1）构造辅助线，构造平行四边形证明线线平行，进而利用线面平行的判定定理得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明面面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量进行求解.试题解析：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P 由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分又因为11,2A B a AB a ==，所以111122MC AC a ==又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以142NP AC == 所以1MC NP =又因为AC ∥11AC ，所以1MC ∥NP 所以四边形1MC PN 为平行四边形 所以1PC ∥MN因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为P BD PC = 1，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分 （Ⅱ）连接1A N ，因为11A M MC NP ==，又1A M ∥NP 所以四边形1A NPM 为平行四边形，所以PM ∥1A N由题意MP ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥因为11A B a =，2AB a =，1AA =，所以1A N MP === 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥所以，以,,PA PB PM 分别为,,x y z 轴建立如图所示的坐标系则,0)B ，(0,,0)D ，(,0,0)C ，1(,0,)22C a a -所以)0,22,0(-=,)26,2,22(1a a a BC --=,)0,2,2(a a --=………………………………………………………7分设),,(1111z y x n =是平面1BDC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0111n BC n ,111100⎧=⎪∴⎨⎪-=⎩，10y ∴=， 令11z =，则1x )1,0,3(1=n ……………………………………………9分设),,(2222z y x n =是平面1BCC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212BC n BC n2222200⎧=⎪∴⎨⎪=⎩令21y =，则21x =-，2z =所以)33,1,1(2-=n ………………………………11分所以7732123303,cos 21-=⨯++-=>=<n n所以二面角1D BC C --的余弦值的大小为7………………………………………12分 考点：1.空间中平行关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前n 项和n S ．【答案】（1）12-=n a n ，12-=n n b ；（2）1218()16(22n n n d -=⨯=，48,48,nn n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩.【解析】试题分析：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，得到关于q d ,的方程组进行求解；（2）先化简得nn n d d +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=8121，再仿写表达式，进行作商，分奇数项与偶数项进行讨论求得n b ；进而求得前n 项和.试题解析：（Ⅰ）设{}a 的公差为d ，b 的公比为q ，则依题意有0q > 2分从而n ，2n b q ==． ……………………………………4分（Ⅱ）12n n b -= 21log n b n +∴=811()2n n n d d -++∴= ， 7121()2n n n d d -+++=两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =135,,,d d d ∴是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分 ∴当n 为偶数时，1218()16(22n n n d -=⨯= ……………………………………………………………7分13124()()n n n S d d d d d d -=+++++++22221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]48221122nnn n n ⨯-⨯-=+=-+-=--- …………9分∴当n 为奇数时，112116()2()22n n n d +-=⨯=…………………………………………………………10分13241()()n n n S d d d d d d -=+++++++112211221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n n n n n +-+-⨯-⨯-=+=-+-=---∴,,nn n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，48,48,n n n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ …………………12分考点：1.等差数列、等比数列；2.数列的递推公式；3.分类讨论思想. 20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围． 【答案】（1）28y x =；（21e <<. 【解析】试题分析：（1）设出点G 坐标，代入抛物线方程、圆的方程以及焦半径公式即可求解；（2）先根据椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，得到2222, 4c m n c =-==，再根据点关于直线对称，设出直线MN 的直线方程，联立直线与椭圆的方程，利用0>∆与根与实数的关系进行求解.n 为奇数 n 为偶数 n 为偶数 n 为奇数试题解析：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003292p x x y y px⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ (2)分解得：001,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==……①…………………………………………5分设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆2C 上关于直线:l 1143y x =+对称的两点， :4MN y x λ=-+由2222 1 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*） 则42222222644(16)()0mm n m m n λλ∆=-+->，得：222160m n λ+->……②………………………………………………………………7分对于（*），由韦达定理得：21222816m x x m n λ+=+212122224()216n y y x x m n λλ∴+=-++=+ MN 中点Q 的坐标为2222224(,)1616m n m n m n λλ++将其代入直线:l 1143y x =+得： 222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……………………………………………………9分由①②③消去λ，可得：217m <<， 椭圆2C 的离心率2c e m m==，∴137e << ………………………………………………………………………13分 考点：1.抛物线的标准方程；2.点关于直线对称；3.直线与椭圆的位置关系. 21．（本小题满分14分）已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围； （Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++．【答案】（1）2ln 220x y -+-=；（2）19≤-λ 或138≥λ；（3）证明略.【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，根据函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，得到a 的取值范围，再利用二次函数的对称轴与开口方向求得最值，得到关于λ的不等式，再进行求解；（3）先判定函数)(x f 的单调性，再合理进行赋值放缩进行证明.试题解析：（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x=-+， 211()f x x x'=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）221()a a xf x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………5分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ……………………………………6分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分（Ⅲ）当1a =时，21()xf x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x =-+在1x =处取得最大值(1)0f =即11()1ln (1)0f x f x x=-+≤=，∴11ln x x x -≤，……………………………………11分令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n+-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++-1111121n n n <++++--． 故11111ln(1)12345n n+<++++++． ………………………………………………14分 考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.函数的极值；4.放缩法.。
【解析】山东省济南市2015届高三下学期第二次模拟数学(理)试卷 Word版含解析[ 高考]
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2015年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={1，m}，Q={1，3，5}，则“m=5”是“p⊆Q”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．复数z=的虚部是（）A． B．﹣ C． D．﹣3．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A． B． C． D．4．如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）的图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，则ω=（）A． 8 B． C． D．5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f （）=（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出y的值为（）A． 0.5 B． 1 C． 2 D． 47．在不等式组确定的平面区域中，若z=x+2y的最大值为9，则a的值为（） A． 0 B． 3 C． 6 D． 98．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B． C． 2 D． 39．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k级“理想区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=﹣x2（x∈R）存在1级“理想区间”B．函数f（x）=e x（x∈R）不存在2级“理想区间”C．函数f（x）=（x≥0）存在3级“理想区间”D．函数f（x）=loga（a x﹣）（a＞0，a≠1）不存在4级“理想区间”二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是．12．二项式（x+）4的展开式中常数项为．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．14．已知正方形ABCD，M是DC的中点，由=m+n确定m，n的值，计算定积分sinxdx= ．15．如图，三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是cm．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．17．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，非常数等比数列{b n}的公比是q，且满足：a1=2，b1=1，S2=3b2，a2=b3．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=2b n﹣λ•，若数列{c n}是递减数列，求实数λ的取值范围．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）若二面角D﹣AF﹣C为45°，求CE的长．19．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e，半焦距为c，B（0，1）为其上顶点，且a2，c2，b2，依次成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；（Ⅱ）P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且．k BP•k BQ=e2（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；（ii）△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．21．已知函数f（x）=a x﹣2x（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）的值恒非负，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）存在极小值g（a），求g（a）的最大值．2015年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={1，m}，Q={1，3，5}，则“m=5”是“p⊆Q”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：直接利用充要条件判断即可．解答：解：集合P={1，m}，Q={1，3，5}，则“m=5”一定有“p⊆Q”，都是p⊆Q，可得m=3或5，所以后者推不出前者，所以集合P={1，m}，Q={1，3，5}，则“m=5”是“p⊆Q”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的包含关系的应用，基本知识的考查．2．复数z=的虚部是（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则化简，然后求出复数的虚部．解答：解：复数z====﹣．复数的虚部是．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A． B． C． D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P（AB）=0.4，P（A）=0.7，利用P（B|A）=可得结论．解答：解：设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P（AB）=0.4，P（A）=0.7，所以P（B|A）==．故选：C．点评：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．4．如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）的图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，则ω=（）A． 8 B． C． D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．分析：首先判定△MPN为等腰直角三角形，然后通过它的性质求出MN的长度，再求出周期T，进而求得ω．解答：解：因为=0，所以，则△MPN是等腰直角三角形，又点P到MN的距离为2，所以MN=2×2=4，则周期T=2×4=8，所以ω==．故选C．点评：本题主要考查正弦型函数的轴对称性及直角三角形的性质．5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f （）=（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的周期以及函数的奇偶性，通过函数的解析式求解即可．解答：解：f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣（）=1．故选：B．点评：本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性，函数值的求法，考查计算能力．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出y的值为（）A． 0.5 B． 1 C． 2 D． 4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=2时不满足条件|x|＞3，计算并输出y的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=﹣5满足条件|x|＞3，x=8，满足条件|x|＞3，x=5，满足条件|x|＞3，x=2，不满足条件|x|＞3，y=4，输出y的值为4．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．在不等式组确定的平面区域中，若z=x+2y的最大值为9，则a的值为（） A． 0 B． 3 C． 6 D． 9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值是7，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；由z=x+2y得y=﹣，则截距最大，z也最大，∵z的最大值为9，∴阴影部分对应的图象在直线x+2y=9的下方，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大．由，解得，即B（3，3）∵B也在直线y=a上，∴a=3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合确定z取得最大值对应的最优解是解决本题的关键．8．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B． C． 2 D． 3考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先根据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．解答：解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，∴点P（，），∴=，∴α=．故选：B点评：本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．9．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，抛物线y2=2bx 的焦点F（b，0），由（ b+c）：（c﹣b）=5：3可求得b，c 关系，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=4bx的焦点F（b，0），线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3的两段，∴（b+c）：（c﹣b）=5：3，∴c=4b，∴c2=a2+b2=a2+，∴．∴此双曲线的离心率e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得c=4b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；② f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k级“理想区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=﹣x2（x∈R）存在1级“理想区间”B．函数f（x）=e x（x∈R）不存在2级“理想区间”C．函数f（x）=（x≥0）存在3级“理想区间”D．函数f（x）=loga（a x﹣）（a＞0，a≠1）不存在4级“理想区间”考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义．分析： A、B、C中，可以找出定义域中的“理想区间”，从而作出正确的选择．D中，假设存在“理想区间”[a，b]，会得出错误的结论．解答：解：A中，当x≥0时，f（x）=x2在[0，2]上是单调增函数，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在1级“理想区间”，原命题正确；B中，当x∈R时，f（x）=e x在[a，b]上是单调增函数，且f（x）在[a，b]上的值域是[e a，e b，]，∴不存在2级“理想区间”，原命题正确；C中，因为f（x）==在（0，1）上为增函数．假设存在[a，b]⊂（0，1），使得f （x）∈[3a，3b]则有，所以命题正确；D中，若函数（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“4级理想区间”[m，n]，则由，得即m，n是方程loga（a x﹣）=4x的两个根，即m，n是方程a4x﹣a x=0的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“4级理想区间”[m，n]，∴D结论错误故选：D．点评：本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，是易错题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是甲．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据分布，即可得到甲乙两地浓度的方差的大小关系解答：解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定，而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中，∴甲地的方差较小．故答案为：甲点评：本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．12．二项式（x+）4的展开式中常数项为 4 ．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：直接利用二项式定理展开式的通项公式，x的指数为0，求解即可．解答：解：二项式（x+）4的展开式的通项公式为：=，令12﹣4r=0可得r=3，二项式（x+）4的展开式中常数项为：．故答案为：4．点评：本题考查二项式定理的应用，特殊项的求法，考查计算能力．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为（x+3）2+y2=4 ．考点：圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（﹣1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C 的标准方程即可．解答：解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|，∴圆心C到直线l的距离|CD|=，弦长|AB|=2，则r==|x+1|，整理得：x=2（不合题意，舍去）或x=﹣3，∴圆心C（﹣3，0），半径为2，则圆C方程为（x+3）2+y2=4．故答案为：（x+3）2+y2=4．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．14．已知正方形ABCD，M是DC的中点，由=m+n确定m，n的值，计算定积分sinxdx= 1 ．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先根据向量的意义求出m，n的值，再根据定积分的计算法计算即可．解答：解：∵=+=+=+=﹣+=﹣+=m+n，∴m=﹣，n=1，∴sinxdx=sinxdx=﹣cosx|=1，故答案为：1．点评：本题考查了向量的几意义以及定积分的计算，属于基础题．15．如图，三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是5cm．考点：球内接多面体．分析：根据三个小球和碗的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到碗的半径．解答：解：解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图：则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心，∵小球的半径为5cm，∴三个球心之间的长度为10cm，即OA=××10=cm．，在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O），和切点A构成直角三角形，则OA2+AB2=OB2，其中OB=R﹣5，AB=5，∴（）2+52=（R﹣5）2即=（R﹣5）2∴R﹣5=，R=5+cm．故答案为：5．点评：本题主要考查了球的相切问题的计算，根据条件作出正视图和俯视图，确定球半径之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=确定出A的度数，再由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinC 的值，利用三角形面积公式即可求出S．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），∴函数f（x）=•=cos（2x﹣）+cos2x﹣sin2x=cos（2x﹣）+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+）=，得sin（2A+）=，∵A为△ABC的内角，由题意知0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，解得：A=，又a=2，B=，∴由正弦定理=，得b==，∵A=，B=，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积S=absinC=×2××=．点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，非常数等比数列{b n}的公比是q，且满足：a1=2，b1=1，S2=3b2，a2=b3．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=2b n﹣λ•，若数列{c n}是递减数列，求实数λ的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，计算即可得到；（Ⅱ）化简c n=2b n﹣λ•=2n﹣3nλ，由题意可得c n+1＜c n对n∈N*恒成立，运用参数分离和数列的单调性，求得最大值，即可得到所求范围．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则2+a2=3q，且a2=q2，即有q2﹣3q+2=0，解得q=2或1（舍去），即有a2=4，d=2，则a n=2n，b n=2n﹣1；（Ⅱ）c n=2b n﹣λ•=2n﹣3nλ，由题意可得c n+1＜c n对n∈N*恒成立，即有2n+1﹣3n+1λ＜2n﹣3nλ，即2λ3n＞2n，即2λ＞（）n对n∈N*恒成立．由f（n）=（）n为递减数列，即有f（n）的最大值为f（1）=，则有2λ＞，解得．故实数λ的取值范围为（，+∞）．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，同时考查数列的单调性，注意转化为不等式的恒成立问题，考查运算能力，属于中档题．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）若二面角D﹣AF﹣C为45°，求CE的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明BC⊥AC，BC⊥EC，AC∩EC=C，可得BC⊥平面ACEF，从而BC⊥AF；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面DAF的法向量，平面AFC的法向量，根据二面角D﹣AF﹣C为45°，利用向量的夹角公式，即可求CE的长．解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos60°=3所以AB2=AC2+BC2，由勾股定理知∠ACB=90°所以BC⊥AC．…（2分）又因为EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD所以BC⊥EC．…（4分）又因为AC∩EC=C，所以BC⊥平面ACEF，又AF⊂平面ACEF所以BC⊥AF．…（6分）（Ⅱ）解：因为EC⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BC⊥AC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C﹣xyz．设CE=h，则C（0，0，0），，，，所以，．…（8分）设平面DAF的法向量为=（x，y，z），则令．所以=（，﹣3，）．…（9分）又平面AFC的法向量=（0，1，0）…（10分）所以cos45°==，解得．…（11分）所以CE的长为．…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．19．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点的所有不同的取法，再求出其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法，然后利用古典概型概率计算公式求得所求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，．然后利用古典概型概率计算公式分别求出概率，列出频率分布表，再由期望公式求期望．解答：解：（Ⅰ）从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点共有种不同的取法，其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法有不同取法，∴所求事件“X=0”的概率P（X=0）=；（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，．由（Ⅰ）得：P（X=0）=，P（X=）=，P（X=）=，P（X=）=，P（X=）=．∴随机变量X的分布列为：X 0P∴E（x）=．点评：本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e，半焦距为c，B（0，1）为其上顶点，且a2，c2，b2，依次成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；（Ⅱ）P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且．k BP•k BQ=e2（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；（ii）△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意，b=1，a2+b2=2c2，结合c2+b2=a2，可求椭圆的标准方程和离心率e；（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合k BP•k BQ=e2，求出m，n的关系，即可得出直线PQ过定点M，并求出M点坐标；（ii）确定P或Q在以BM为直径的圆T，与椭圆方程联立，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意，b=1，a2+b2=2c2，∵c2+b2=a2，∴a2=3，c2=2，∴，e==；（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入椭圆方程可得（3+m2）y2+2mny+n2﹣3=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=，∴k BP•k BQ=•=e2=，整理可得n2﹣2mn﹣3m2=0∴n=﹣m或n=3m，∴直线PQ的方程为x=my﹣m=m（y﹣1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3），∴直线PQ过定点（0，﹣3）；（ii）由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，则P或Q在以BM为直径的圆T 上，即在圆x2+（y+1）2=4上，与椭圆方程联立得y=0或1（舍去），∴P或Q只可以的椭圆的左右顶点，∴直线PQ的斜率为±．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=a x﹣2x（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）的值恒非负，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）存在极小值g（a），求g（a）的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x）解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）当x≤0时，由指数函数的值域和不等式的性质，f（x）的值恒非负；当x＞0时，运用对数的运算性质和参数分离，令g（x）=，x＞0，求得导数，判断单调性，求出最大值即可得到a的范围；（Ⅲ）讨论①0＜a＜1时，由单调性可得f（x）无极值；②a＞1时，设f′（x）=0的根为t，通过单调性，求得极小值，令x=，则h（x）=x﹣xlnx，x＞0，通过导数判断单调性，即可得到最大值．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2x﹣2x，f′（x）=2x ln2﹣2，曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线斜率为k=f′（2）=4ln2﹣2，切点为（2，0），则有曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y﹣0=（4ln2﹣2）（x﹣2），即为y=（4ln2﹣2）x﹣8ln2+4；（Ⅱ）当x≤0时，a x＞0，a x﹣2x≥0恒成立．x＞0时，f（x）≥0即为a x≥2x，xlna≥ln（2x），即有lna≥，令g（x）=，x＞0，g′（x）=，令g′（x）=0，则x=，当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增，x＞时，g′（x）＜0．g（x）递减．g（x）max=g（）==，即lna，解得a≥，则a的取值范围是[，+∞）；（Ⅲ）f′（x）=a x lna﹣2，①0＜a＜1时，a x＞0，lna＜0，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，f（x）无极值；②a＞1时，设f′（x）=0的根为t，a t=，t=，f（x）在（﹣∞，t）递减，在（t，+∞）递增，f（x）的极小值为f（t）=a t﹣2t=2•，即g（a）=2•，则a＞1，＞0，令x=，则h（x）=x﹣xlnx，x＞0，h′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，h′（x）=0，解得x=1，h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，即有h（x）的最大值为h（1）=1，即g（a）的最大值为1，此时a=e2．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．专业文档珍贵文档。
【普通版】山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试理综化学试题【附答案】
山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试理综化学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共16页。
满分300分。
考试时间150分钟。
答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（必做，共107分）注意事项：1．第Ⅰ卷共20小题，共107分。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。
相对原子质量： Fe 56 Cu 64一、选择题（共13小题，每小题5分，共65分。
每小题只有一个选项符合题意。
）7．下列有关描述正确的是：A．采用“静电除尘”、“燃煤固硫”、“汽车尾气催化净化”可提高空气质量B．酸性氧化物均能与水反应生成对应的酸，如CO2、SiO2、SO3C．石油化工中的裂化、裂解过程都是通过化学反应来获得气态烯烃D．乙醇、过氧化氢、次氯酸钠等均通过氧化作用达到杀菌消毒的目的8．A、B、C、D是原子序数依次增大但互不同主族的短周期元素，A2¯与B3＋有相同电子层结构，C、D同周期但不相邻，C的最外层电子数是次外层电子数的一半，下列判断正确的是：A．对应简单离子半径的大小顺序为：D>B>AB．C的最高价氧化物对应水化物的酸性比D的强C．A分别与B、C形成的化合物中化学键类型相同D．B、C单质均能和氢氧化钠溶液发生反应生成氢气9．根据反应判断下列说法中不正确的是A．乙物质为甲醇B．该反应为取代反应C．甲与乙都能与金属钠反应产生氢气D．甲、乙、丙都能与溴的四氯化碳溶液发生加成反应10．常温时，将0.1 mol Fe(NO3)3和2 mol HCl溶于水得2 L混合溶液，然后向该溶液投入m克铁粉使其充分反应后，滴加KSCN溶液不变红色。
下列有关说法正确的是A．由于氧化性Fe3+>H+，首先发生的反应是：Fe+2Fe3+= 3Fe2+B．当加入16.8 g铁粉时，可生成标准状况下6.72 L气体C．在铁粉充分反应后的溶液中，铁元素以Fe2+和Fe3+的形式存在D．m至少等于28 g，反应过程中溶液的质量一直在减小11．某实验小组利用粗硅与氯气反应生成SiCl4粗产品（含有FeCl3、AlCl3等杂质且SiCl4遇水极易水解），蒸馏得四氯化硅（SiCl4的沸点57.7℃），再用氢气还原制得高纯硅；用滴定法测定蒸馏后残留物（将残留物预处理成Fe2+）中铁元素含量。
2015年青岛二模数学理---山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)
2015年青岛二模数学理一、选择题：1. 已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=A ．3 B ．2 C ．5 D2. 已知2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N =A ．[1,2)- B ．(0,1) C ．(0,1] D ．∅3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．30 B ．31 C ．32 D ．334. 已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是A ．1{,4}4 B ．{1,4} C ．1{1,}4 D ．1{1,,4}4 5. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为A ．4 B ．5 C ．6. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥ 7. “2-≤a ”是“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D 8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有 A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3(1,)2内是 A ．减函数且()0f x > B ．减函数且()0f x < C ．增函数且()0f x > D ．增函数且()0f x <10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．3二、填空题：11. 已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ；12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2班学生数学成绩在120分以上的有 人；13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；14. 若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．第14题图俯视正（主）视图三、解答题：16. 已知2(sin,cos )33x x a k =,(cos ,)3xb k =-，实数k 为大于零的常数，()f x a b =⋅,R x ∈，且()f x的最大值为12.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且a =,求AB AC ⋅的最小值.17为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13.（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．18．如图，在正四棱台1111ABCD A BC D -中，11A B a =，2AB a =，1AA =，E 、F 分别是AD 、AB 的中点. （Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1D BC C --的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.C1B ED FA B1A 1D 1C19．设{}n a 是等差数列，，82345a b a a +=++，*N n ∈． （Ⅰ）求{}n a ，（Ⅱ）若数列{}n d 满足n n d d *），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前20．已知抛物(0)px p >的焦点为F ，抛点的距离为3，且点G 在圆:C 22x y +1C 的方程；0)n >的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆:l 1143y x =+2C 的离心率e 的取值范围．21．已知()f x a 为实数）．（Ⅰ）当1a =11,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数(h λ为常数），若()f x a 满足()≥h a 18+λ，求λ的范围；（Ⅲ1111ln(1)1234n n+<+++++．高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D C B A B C A C B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 8 13.32 14．232- 15．4 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅- 221cos12223sin cos cos sin (sin cos )32322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--……2分 222()sin()2232322342x x k x k π=--=--……………………5分因为R x ∈，所以()f x=，则1k = …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342x f x π=--，所以21()sin()02342A f A π=--= 化简得2sin()34A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412A πππ<-< 则2344A ππ-=，解得34A π= …………………………………………………8分因为2222240cos 222b c a b c A bc bc+-+-=-==，所以2240b c += 则22402b cbc +=≥+，所以20(2bc ≤= ……………10分则3cos20(14AB AC AB AC π⋅==≥ 所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= …………………4分 （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ= 则111(6)4312P ξ==⨯= 11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯= ………………………………………………………………10分所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分 又因为11,2A B a AB a ==，所以111122MC AC a == 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以14NP AC ==所以1MC NP =又因为AC ∥11AC ，所以1MC ∥NP 所以四边形1MC PN 为平行四边形 所以1PC ∥MN因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分 （Ⅱ）连接1A N ，因为11A M MC NP ==，又1A M ∥NP 所以四边形1A NPM 为平行四边形，所以PM ∥1A N由题意M P ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥因为11A B a =，2AB a =，1AA，所以1A N MP === 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥所以，以,,PA PB PM 分别为,,x y z 轴建立如图所示的坐标系则,0)B，(0,,0)D，(,0,0)C，1()C所以(0,,0)BD =-u u u r，1(,)BC =uuu r，(,,0)BC =u u u r………………………………………………………7分设1111(,,)n x y z =u u r 是平面1BDC 的法向量，则1110n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu ru u r uu u r111100⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩，10y ∴=， 令11z =，则1x =1n =u u r……………………………………………9分设2222(,,)n x y z =uu r 是平面1BCC 的法向量，则2120n BC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uuu r uu r uu u r2222200⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩令21y =，则21x =-，2z =所以2(n =-uu r ………………………………11分所以1212120cos ,n n n n n n ⋅<>===u u r uu r u r u u r u u r uu r所以二面角1D BC C --的余弦值的大小为7………………………………………12分 19．（本小题满分12分）2分4分（Ⅱ）b,是以1d=6,是以28d=为首项，以12为公比的等比数……………………………………………………………为偶数时，d7分124)()n nS d d d d-++++++21]8[1()]nnn⨯-=…………9分d10分241)()n nS d d d d-++++++112211]8[1()]1)2nnn+-+⨯-=,12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003292p x x y y px⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分解得：001,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F 椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==……①…………………………………………5分设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆2C 上关于直线:l 1143y x =+对称的两点， :4MN y x λ=-+ 由2222 1 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*） 则42222222644(16)()0m m n m m n λλ∆=-+->，得：222160m n λ+->……②………………………………………………………………7分对于（*），由韦达定理得：21222816m x x m n λ+=+ 212122224()216n y y x x m n λλ∴+=-++=+MN 中点Q 的坐标为2222224(,)1616m n m n m nλλ++ 将其代入直线:l 1143y x =+得： 222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……………………………………………………9分由①②③消去λ，可得：2m <<， 椭圆2C 的离心率2c e m m==，∴137e << ………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当1a =时，11()1lnf x x x=-+， 211()f x x x'=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）221()a a xf x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………5分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ……………………………………6分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分（Ⅲ）当1a =时，21()xf x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f =即11()1ln (1)0f x f x x =-+≤=，∴11ln xx x -≤，……………………………………11分令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n+-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++-1111121n n n <++++--．故11111ln(1)12345n n+<++++++． ………………………………………………14分。
【山东省实验中学二模 理科数学压轴题】山东省实验中学2015届高三最后第二次模拟考试(6月)Word版含答案
【打靶题】山东省实验中学2015届高三最后第二次模拟考试（6月）山东省实验中学二模 数学试题（理）2015.6说明：试题分为第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分．试题答案请用2B 铅笔或0,5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合题意）l-已知全集U=R ，集合 {}{}3|021,|log 0xA xB x x =<<=>，则A. {}|1x x > B ． {}|0x x > C. {}|01x x << D. {}|0x x < 2．若 ,R αβ∈， 则90αβ+=是sin sin 1αβ+> 的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C ．充耍条件D ．既不充分也不必要条件 3．复数z 满足 (12)7i z i -=+，则复数 z ==( )A. 13i +B.13i -C.3i +D. 3i -4．执行下图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是A. 1B. 2C. 3D.4 5.下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； ②某只股票经历了l0个跌停（每次跌停，即下跌l0%）后需再经 过如个涨停(每次涨停，印上涨10%)就酉以回到原来的净值； ③某校高三一级部和二级部的人数分别是m 、n ，本次期末考试 两级部；学平均分分别是a 、b ，则这两个级部的数学平均分为na mb m n+ ④某中学采伯系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中 抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497--512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l ～016中随机抽到的学生编号是007. 其中真命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个6．已知函数 ()sin()f x A x ωϕ=+ (其中A>0, 2πϕ<)的部分图象 如图所示，为了得到g(x)=sin 2x 的图象，则只需将f (x)的图象Ａ．向右平移6π个长度单位 Ｂ．向右平移 12π个长度单位C ．向左平移 6π个长度单位 D ．向左平移 12π个长度单位7．已知数列 {}{}n n a b 满足 1111,2,n n a b a a n N *+==-==∈，则数列 {}n a b 的前10项和为 A.()101413- B. ()104413- C. ()91413- D. ()94413- 8．函数 2()(2)x f x x x e =-的图像大致是9．已知A 、B 是圆 22:1O x y +=上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当∆AOB 的面积最大时，则 2AO AP AP ⋅-的最大值是 A. -1 B.0 C.18 D. 1210.已知a>0，b>0，c>0，且 2221,4ab a b c =++=，则ab+bc+ac 的最大值为 A. 122+ B.3 C. 3 D. 4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）11.已知 ()24f x x x =++-的最小值是n ，则二颈式 1()nx x-展开式中2x 项的系数为__________.12.若双曲线 22:2(0)C x y m m -=>与抛物线 216y x =的准线交于A ，B 两点，且43AB =则m 的值是__________.13.若实数x,y 满足条件 20,0,3,x y x y x +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩， 则z=3x-4y 的最大值是__________.14．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________.15．用[x]表示不大于实数x 的最大整数， 方程 []2lg lg 20x x --=的实根个数是__________.三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16.（本小题满分12分）已知函数 ()sin (0)f x x ωω=->在区间 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间 2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角以B, C 的对边，且 满足 sin sin tan 4cos cos 3B c A BC ω+=-- ．(I)证明：b+c =2a ：(Ⅱ)若b=c ，设 AOB θ∠=．(0),22OB OB θπ<<==，求四边形OACB 面积的最大值．17. （本小题满分12分）如图， 在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， ∠DAB 为直角， AB//CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． ( I)证明：AB ⊥平面BEF ：(Ⅱ)设PA =h ，若二面角E-BD-C 大于45 ，求h 的取值范围．18.（本小题满分12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为l ，2，3，4，5：4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球． (I)求取出的3个球编号都不相同的概率；（II)记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望， 19. （本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为 11,2,n n n S a a S n +==+，等差数列 {}n b 的各项为正，其前n 项和为 n T ，且 39T =，又 112233,,a b a b a b +++成等比数列． (I)求 {}n a ，{}n b 的通项公式} ( II)求证：当n ≥2时， 2221211145nb b b ++⋅⋅⋅+< 20. （本小题满分13分）如图，椭圆 22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为 22，x轴被曲线 22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的短轴长, 2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA,MB 分别与 1C 相交于点D 、E.(I)求1C 、 2C 的方程； (Ⅱ)求证：MA ⊥MB ：(Ⅲ)记∆MAB ， ∆MDE 的面积分别为 12,S S ，若 12S S λ=，求 λ的最小值． 21．（本小题满分l4分）已知函数 1()(1)ln ,()f x ax a x a R x=+-+∈． (I)当a=0时，求 ()f x 的极值； (Ⅱ)当a<0时，求 ()f x 的单调区间；(Ⅲ)方程 ()0f x =的根的个数能否达到3，若能请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由，【打靶题】山东省实验中学2015届高三最后第二次模拟考试（6月） 理科数学答案一、 选择： DDBDC AABCA二、 填空 11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、解答题16解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………2分CB CB B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 …………8分z yxFEPDCBA213sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………9分435cos 3-sin +=θθ532sin (-)34πθ=+， ……………………10分 (0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为5324+………………12分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． ……(1分)又P A ⊥底面ABCD , ∴平面P AD ⊥平面ABCD ， ……(2分) ∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥PD ， ……(3分) 在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF //PD ，……（4分) ∴ AB ⊥EF ． ……(5分)由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分) （Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，则)21,0(),0,2,1(hBE BD =-=……(8分)设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n BD n⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hz y y x 可取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h n 2,1,22……(10分) 设二面角E -BD -C 的大小为θ，则|||||||,cos |cos 212121n n n n n n ⋅⋅=><=θ=224522<+hh， 化简得542>h ，所以552>h …(12分)18解:(I )设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件A ，则31)(391714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）(II ) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，31)5(3928===C C X P…………………（8分） 所以X 的分布列为：X 23 4 5P211214 73 31的数学期望218531573421432112=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分 19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分 又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分 而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a nn -------------------------------------6分因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设db d b +=-=3,331，由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列， 所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分 （Ⅱ）因为⎪⎭⎫⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k11141)22(211)12(1)12(11222 所以，当2≥n 时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 1113121211411 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n 1141145411=+< -----------------------------------------------------------12分20.解（1）22222c a b a =∴= （1分） 又22b b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kxx kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0M A M B ∴⊥ （6分） （3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B k k - 2211212111122S MA MB k k k k ==++ （8分） 1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或 同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222212221216111122(12)(12)k k S MD ME k k k k ∴==++++ （11分）2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥所以λ的最小值为169,此时k =1或-1. （13分）21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(xx x x x f -=-='. 令0)(='x f ，解得1=x ,当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞；所以1=x 时， )(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分(Ⅱ) 222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x ----+-'=--==> ………4分令0)(='x f ,得1=x 或ax 1-= 当01<<-a 时，a11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或a x 1->，令0)(>'x f ，得ax 11-<<；当1-=a 时，0)1()(22≤--='xx x f . 当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得ax 10-<<或1>x ， 令0)(>'x f ，得11<<-x a；综上所述:当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a， 单调递增区间是)1,1(a-；当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a - (10)分（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x x x ax x f)0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)由(Ⅱ)知01-<<a 时,极小值 01)1(>+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a 上有1个解.-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;1-<a 时, 01)1()1(<+=<-a f a f ,方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解;故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3. …………………14分。
山东省青岛市市南区2015届中考数学二模试题(含解析)
山东省青岛市市南区2015届中考数学二模试题一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．如果a 与|﹣7|互为相反数，则a 的值是（ ）A ．7B ．﹣7C ．D ．﹣2．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．2.5×10﹣7 B ．2.5×10﹣6 C ．25×10﹣7 D ．0.25×10﹣55．如图，⊙O 的半径OA=6，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C 点，则BC=（ ）A ．B ．C ．D ．）A ．15，15B ．20，20C ．17.5，15D ．15，207．点P 是图①中三角形边上一点，坐标为（a ，b ），图①经过变化形成图②，则点P 在图②中的对应点P ′的坐标为（ ）A．（ a， b）B．（ a，b）C．（a﹣2，b）D．（a﹣1，b）8．反比例函数y=和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．化简： +3= ．10．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，若∠BOC=80°，则∠A等于°．11．一个口袋有15个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从袋中一次摸出10个球，求出白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别是0.4，0.3，0.2，0.3，0.3，根据上述数据，小明估计口袋中大约有个黑球．12．某车间有甲乙两个小组，甲组的工作效率比乙组高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟．若设乙组每小时加工x个零件．根据题意，可列出方程．13．如图，在△ABC中，∠C=45°，DE垂直平分AB于点E，交BC于点D；FG垂直平分AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AC=3cm，BC=12cm，则DF= cm．14．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2= ；S n= ．（用含n的式子表示）三、作图题（共1小题，满分4分）15．已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．四、解答题（共9小题，满分74分）16．（1）化简：÷（x﹣）（2）已知关于x的一元一次不等式2x﹣6＞a的解集为x＞﹣1，求a的值．17．某学校为了解该校学生的课余活动情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成折线统计图（部分）和扇形统计图（部分）如下：（1）在这次研究中，一共调查了名学生．（2）补全频数分布折线图；（3）该校共有2200名学生，估计该校学生中爱好阅读的人数大约是多少？18．一对质地均匀的正方体骰子的六个面上分别有1到6个点数，将骰子抛掷两次，若两骰子正面点数和为2、10、11、12，则甲赢；如果两骰子正面点数的和为7，则乙赢；若两骰子正面点数的和为其它数，则甲乙都不赢．继续下去，直到有一个人赢为止．你认为游戏对甲、乙是否公平？请说明理由；若不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平．19．如图，是某货运站传送货物的平面示意图．传送带AB长为4米，在离B点5米远的地方有一堆货物DEFG等待运输．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．但要保证货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断货物DEFG是否需要挪走．（结果精确到0.1米：参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）20．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？21．已知：如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，连接AE，O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．（1）求证：△AOF≌△EOB；（2）当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形？并证明你的结论．22．某旅游商店购进某种工艺品原料140个．准备加工后销售，根据前期销售经验，加工成半成品销售每个可获利10元．加工成成品每个可获利20元，已知该店每天只能加工半成品15个或成品5个，两种加工不能同时进行．（1）若用12天刚好加工完这批原料，则该店加工半成品和成品各多少个？（2）试求出销售这批工艺品的利润y与加工成品的天数a（天）之间的函数关系表达式；（3）临近旅游旺季，该商店要在不超过14天的时间内，将140个原料全部加工完后进行销售，并要使售后或利润最大，则应该如何安排加工的时间？能获得的最大利润是多少？23．【问题提出】如何把n个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？【探究一】若n是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成个大正方形．请你用9个边长为1的小正方形拼成一个大正方形．（如图正方形）【探究二】若n=2、5、10、13等，这些数，都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：2=；5=．解决方法：以n=5为例（1）计算：拼成的大正方形的面积是5，边长为；（2）剪切：如图1，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；（3）拼图：以图1中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图2．请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形．（1）计算：拼成的大正方形的面积是13，边长为；（2）剪切：请画出剪切的图形；（3）拼图：请画出拼成的图形；【问题拓展】如图3，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．（1）计算：拼成的大正方形的面积是a2+b2，边长为；（2）剪切：请在图3中完成；（3）拼图：请画出拼成的图形．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=6cm，AD=4cm，BC=20cm，∠C=60°．点P从点A出发沿折线AD→DC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点B出发，沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，P、Q同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t（s）．（1）当点P在AD上运动时，如图（1），DE⊥CD，是否存在某一时刻t，使四边形PQED是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（2）当点P在DC上运动时，如图（2），设△PQC的面积为S，试求出S与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使△PQC的面积是梯形ABCD的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在（2）的条件下，设PQ的长为xcm，试确定S与x之间的关系式．2015年山东省青岛市市南区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．如果a与|﹣7|互为相反数，则a的值是（）A．7 B．﹣7 C．D．﹣【考点】相反数；绝对值．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：由a与|﹣7|互为相反数，得a=﹣7，故选：B．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．2．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3．在下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项正确；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣5【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】常规题型．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A． B． C． D．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．故选A．【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．）【考点】众数；中位数．【分析】根据众数的定义即可得到捐款金额的众数是15；在12个数据中，第6个数和第7个数分别是15元，15元，然后根据中位数的定义求解．【解答】解：共有数据12个，第6个数和第7个数分别是15元，15元，所以中位数是：（15+15）÷2=15（元）；捐款金额的众数是15元．故选：A．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．点P是图①中三角形边上一点，坐标为（a，b），图①经过变化形成图②，则点P在图②中的对应点P′的坐标为（）A．（ a， b）B．（ a，b）C．（a﹣2，b）D．（a﹣1，b）【考点】坐标与图形性质．【专题】计算题；实数．【分析】根据已知点坐标变化规律确定出P′坐标即可．【解答】解：根据题意得：（2，0）变化后的坐标为（1，0），（4，0）变化后的坐标为（2，0），则P坐标为（a，b），图①经过变化形成图②，则点P在图②中的对应点P′的坐标（a，b），故选B．【点评】此题考查了坐标与图形性质，弄清图中坐标变化是解本题的关键．8．反比例函数y=和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=的图象在二，四象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项C符合；当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=的图象在一、三象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．故选C．【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．化简： +3= 3．【考点】二次根式的加减法．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．【解答】解：原式=2+=3．【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简与合并．10．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，若∠BOC=80°，则∠A等于40 °．【考点】圆周角定理．【分析】因为⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，∠ACB=90°，∠A+∠B=90°，又因为∠BOC=80°，OB=OC，所以∠B=∠BCO=50°，所以∠A=40°．【解答】解：∵⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∵∠BOC=80°，∴∠B=∠BCO=50°∴∠A=40°．【点评】此题目考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角．并且解题时注意题目中的隐含条件，即圆的半径处处相等．11．一个口袋有15个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从袋中一次摸出10个球，求出白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别是0.4，0.3，0.2，0.3，0.3，根据上述数据，小明估计口袋中大约有35 个黑球．【考点】利用频率估计概率．【分析】首先计算5次比值的平均数，即估计总体中白球所占的百分比．根据已知部分求全体，用除法即可求得总数，从中去掉白球，即为所求．【解答】解：∵（0.4+0.3+0.2+0.3+0.3）÷5=0.3，∴口袋中球的总数为：15÷0.3=50，∴口袋中共有黑球：50﹣15=35．即口袋中大约有35个黑球．故答案为35．【点评】本题考查了利用频率估计概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系求得球的总个数．12．某车间有甲乙两个小组，甲组的工作效率比乙组高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟．若设乙组每小时加工x个零件．根据题意，可列出方程﹣=0.5 ．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】首先设乙组每小时加工x个零件，则甲组每小时加工（1+25%）x个零件，根据题意可得乙组加工180个零件所用的时间﹣甲组加工200个零件所用的时间=30分钟，根据等量关系，列出方程即可．【解答】解：设乙组每小时加工x个零件，由题意得：﹣=．故答案为：﹣=0.5．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．13．如图，在△ABC中，∠C=45°，DE垂直平分AB于点E，交BC于点D；FG垂直平分AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AC=3cm，BC=12cm，则DF= 4 cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA=FC，DA=DB，根据直角三角形的判定得到∠AFC=90°，设DF=x，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵FG垂直平分AC，∴FA=FC，∴∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，又FA=FC，∴FA=FC=3，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，设DF=x，则DA=DB=9﹣x，由勾股定理得（9﹣x）2=x2+32，解得，x=4，故答案为：4．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2= ；S n= ．（用含n的式子表示）【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．【解答】解：由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1•sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=2﹣=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=•AB=，则D n C n=2﹣BnDn=2﹣=．△B n C n B n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．△B n+1D n C n面积为S n=•=•=．即第n个图形的面积Sn=．【点评】本题考查了相似三角形的性质，题目新颖，同学们要好好掌握．三、作图题（共1小题，满分4分）15．已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题．【分析】首先作∠ABC=α，进而以B为圆心a的长为半径画弧，再以A为圆心a为半径画弧即可得出C的位置．【解答】解：如图所示：△ABC即为所求．【点评】此题主要考查了复杂作图，得出正确的作图顺序是解题关键．四、解答题（共9小题，满分74分）16．（1）化简：÷（x﹣）（2）已知关于x的一元一次不等式2x﹣6＞a的解集为x＞﹣1，求a的值．【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式．【分析】（1）首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简；（2）先求解不等式，再根据已知条件即可得出答案．【解答】解：（1）÷（x﹣）=÷=×=；（2）2x﹣6＞a，2x＞6+a，x＞3+a，∵解集为x＞﹣1，∴3+a=﹣1，解得a=﹣24．【点评】考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．同时考查了解一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握不等式的基本性质．17．某学校为了解该校学生的课余活动情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成折线统计图（部分）和扇形统计图（部分）如下：（1）在这次研究中，一共调查了200 名学生．（2）补全频数分布折线图；（3）该校共有2200名学生，估计该校学生中爱好阅读的人数大约是多少？【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）由“其他”的人数和所占百分数，求出全部调查人数；（2）先由“体育”所占百分数和全部调查人数求出体育的人数，进一步求出阅读的人数，补全频数分布折线图；（3）利用样本估计总体的方法计算即可解答．【解答】解：（1）40÷20%=200（人）答：一共调查了200名学生；（2）200×30%=60（人）200﹣（60+30+20+40）=200﹣150=50（人）补全频数分布折线图如下：；（3）2200×=550（人）．答：估计该校学生中爱好阅读的人数大约是55人．【点评】本题考查统计知识的应用，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．18．一对质地均匀的正方体骰子的六个面上分别有1到6个点数，将骰子抛掷两次，若两骰子正面点数和为2、10、11、12，则甲赢；如果两骰子正面点数的和为7，则乙赢；若两骰子正面点数的和为其它数，则甲乙都不赢．继续下去，直到有一个人赢为止．你认为游戏对甲、乙是否公平？请说明理由；若不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，找到点数和为2、10、11、12的情况数及点数和为7的情况数，求得甲赢的概率和乙赢的概率，若概率相等则公平．共有36种情况，点数和为2、10、11、12的情况数有7种，所以甲赢的概率为；点数和为7的情况数有6种，所以概率为，＜，则游戏不公平，甲赢的概率比乙大，掷一次骰子，向上一面的点数为偶数为甲赢，为奇数为乙赢．【点评】考查用列表格的方法解决游戏公平性问题；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；概率大的赢的机会也大．19．如图，是某货运站传送货物的平面示意图．传送带AB长为4米，在离B点5米远的地方有一堆货物DEFG等待运输．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．但要保证货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断货物DEFG是否需要挪走．（结果精确到0.1米：参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，根据特殊角的三角函数值求出AD，再根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC，根据勾股定理求出CD，从而求出CB，最后根据DC=DB﹣CB求出DC，然后与2米进行比较，即可得出答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D；在Rt△ABD中，AD=BD=ABsin45°=4×=2，在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=4；在Rt△ACD中，CD===2；∴CB=CD﹣BD=2﹣2≈2.1．∵DC=DB﹣CB≈5﹣2.1=2.9＞2；∴货物DEFG不需要挪走．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，在两个直角三角形拥有公共边的情况下，先求出这条公共边是解答此类题目的关键．20．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式；（2）利用当x=1时，y=；当x=1.5 时，y=．得出当竖直摆放5个圆柱形桶时，得出桶高进而比较；即可得出答案；（3）由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．【解答】解：（1）M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0），设抛物线的解析式为y=ax2+k，∵抛物线过点M和点B，则k=5，．即抛物线解析式为；（2）当x=1时，y=；当x=时，y=．即P（1，），Q（，）当竖直摆放7个圆柱形桶时，桶高=×7=2.1．∵2.1＜且2.1＜，∴网球不能落入桶内；（3）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得，≤0.3m≤，解得：≤m≤；∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12．∴当竖直摆放圆柱形桶至多12个时，网球可以落入桶内．【点评】此题考查了抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．21．已知：如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，连接AE，O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．（1）求证：△AOF≌△EOB；（2）当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）根据平行四边形的定义可得AD∥BC，进而可得∠FAE=∠AEB，∠AFO=∠EBO，再由O 为AE中点可得AO=EO，然后可利用AAS判定：△AOF≌△EOB；（2）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后再证明AB=AF可得四边形ABEF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∠AFO=∠EBO，∵O为AE中点，∴AO=EO，在△AOF和△EOB中，，∴△AOF≌△EOB（AAS）；（2）解：四边形ABEF是菱形；∵△AOF≌△EOB，∴AF=BE，∵AD∥BC，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AE平分∠BAD，∴∠ABF=∠EBF，∵∠AFO=∠EBO，∴∠ABO=∠AFO，∴AF=AB，∴四边形ABEF是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行，一组邻边相等的平行四边形是菱形．22．某旅游商店购进某种工艺品原料140个．准备加工后销售，根据前期销售经验，加工成半成品销售每个可获利10元．加工成成品每个可获利20元，已知该店每天只能加工半成品15个或成品5个，两种加工不能同时进行．（1）若用12天刚好加工完这批原料，则该店加工半成品和成品各多少个？（2）试求出销售这批工艺品的利润y与加工成品的天数a（天）之间的函数关系表达式；（3）临近旅游旺季，该商店要在不超过14天的时间内，将140个原料全部加工完后进行销售，并要使售后或利润最大，则应该如何安排加工的时间？能获得的最大利润是多少？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设该店加工半成品x个，则加工成品（140﹣x）个，根据用12天刚好加工完这批原料，列出方程解答即可；（2）利用总利润=加工半成品的利润+加工成品的利润列出函数解析式即可；（3）根据（2）中求得的解析式，求出自变量的取值范围，利用一次函数的性质即可解决．【解答】解：（1）设该店加工半成品x个，则加工成品（140﹣x）个，由题意得+=12解得：x=120则140﹣x=20答：该店加工半成品120个，加工成品20个．（2）由题意得销售这批工艺品的利润y与加工成品的天数a（天）之间的函数关系表达式为y=20×5a+10×（140﹣5a）=50a+1400．（3）由题意：a+≤14解得a≤7，∵y=50a+1400，∴k=50＞0，y随a的增大而增大，∴a=7时，y最大值=50×7+1400=1750元．【点评】本题考查一元一次方程、一次函数的性质等知识，解题的关键是理解总利润，每个产品的利润，产品的数量之间的关系，学会利用函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．23．【问题提出】如何把n个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？【探究一】若n是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成个大正方形．请你用9个边长为1的小正方形拼成一个大正方形．（如图正方形）【探究二】若n=2、5、10、13等，这些数，都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：2=；5=．解决方法：以n=5为例（1）计算：拼成的大正方形的面积是5，边长为；（2）剪切：如图1，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；（3）拼图：以图1中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图2．请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形．（1）计算：拼成的大正方形的面积是13，边长为；（2）剪切：请画出剪切的图形；（3）拼图：请画出拼成的图形；【问题拓展】如图3，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．（1）计算：拼成的大正方形的面积是a2+b2，边长为；（2）剪切：请在图3中完成；（3）拼图：请画出拼成的图形．。
2015年青岛一模数学理--山东省青岛市2015届高三第一次(3月)模拟考试数学(理)
章丘一中王希刚2015年青岛一模高三模拟考试数学（理科）一、选择题：1．设i为虚数单位，复数21ii+等于A．i+-1B．i--1 C．i-1 D．i+12．设全集RI=，2{|log,2},{|A y y x xB x y==>==，则A A B⊆ B A B A= C A B=∅ D()IA B≠∅ð3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.44．“*12N,2n n nn a a a++∀∈=+”是“数列{}na为等差数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是A．2 B．92C．32D．36．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y++=，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线方程为A．221205x y-= B．221520x y-= C．2233125100x y-= D．2233110025x y-=7．设,m n是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是A．若//,,m n m nαβ⊥⊥，则αβ⊥B．若//,,m n m nαβ⊥⊥，则//αβC．若//,,//m n m nαβ⊥，则αβ⊥ D．若//,,//m n m nαβ⊥，则//αβ8．函数4cos xy x e=-(e为自然对数的底数)的图象可能是A B C D9．对于函数sin(26y xπ=-，下列说法正确的是A．图象关于点(,0)3π对称 B．图象关于直线56xπ=对称C．将它向左平移6π个单位，得到sin2y x=的图象D．将它图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6y xπ=-10．已知点G是ABC∆的外心，,,GA GB GC是三个单位向量，且20GA AB AC++=，如图所示，ABC∆的顶点,B C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则OA的最大值为A C．2D．3二、填空题：11．已知函数()tan sin2015f x x x=++，若()2f m=，则()f m-= ;第x章丘一中王希刚12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;13．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为 ;14．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)15．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ:① {,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅;② {,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅;③{,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅; ④ {,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅.其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是 .三、解答题：16. ABC ∆满足sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-，3b =.（Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若sin A =ABC ∆的面积.17．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.18．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面 ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，13AD AA ==， 1BC =，1E 为11 A B 中点.（Ⅰ）证明：1//B D 平面11AD E （Ⅱ）若AC BD ⊥，求平面1ACD 和平面11CDD C 所成角（锐角）的余弦值.1A 1B 1C 1D 1E19．已知{}n a 是等差，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10100S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有12312n n nb b b b b a -⋅⋅⋅=+成立.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记24(1)(21)n nn n b c n ⋅=-+，求{}n c 的前n 项和n T .20．已知椭圆22:12x C y +=与直线:l y kx m =+相交于E 、F 两不同点，且直线l 与圆222:3O x y +=相切于点W .（Ⅰ）证明：OE OF ⊥；（Ⅱ）设EW FWλ=，求λ的范围.21．已知21()12f x x kx =++，()(1)ln(1)g x x x =++，()()()h x f x g x '=+.（Ⅰ）若()g x 的图象在原点处的切线l 与()f x的图象相切，求k 的值；（Ⅱ）若()h x 在[0,2]上单调递减，求k 的范围；（Ⅲ）若对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满()()i f x g t =(1,2)i =，其中e 为自然对数的底数，求k 的范围.理科答案一、选择题：D A B C D A C A B C二、填空题：11. 4028 12. 132 13. 24- 14．(4,2)- 15．②④三、解答题：16. 解：（Ⅰ）sin()sin sin a b a c A B A B +-=+- ∴a b a cc a b+-=- …………………………2分 222a b ac c ∴-=-2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴=== ………………………………5分 (0,)B π∈，3B π∴=………………………………………………………6分（Ⅱ）由3b =，sin 3A =，sin sin a b A B =，得2a = ……………………………7分 由a b <得A B <，从而cos A =…………………………………………9分故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………10分 所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C ==. ……………………………12分17．解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为320C ，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分 所以111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …………………6分 （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,33211616433202057162881548(0),(1),32019573201919C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯1231644332020166841(2),(3)320199532019285C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯…………10分 所以ξ的分布列为所以2888157()012357199528595E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分 18．证明：（Ⅰ）连结1A D 交1AD 于G ，因为1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以四边形11ADD A 为平行四边形， 所以G 为1A D 的中点，又1E 为11 A B 中点，所以1E G 为11A B D ∆的中位线，从而11//B D E G ……………………………………4分又因为1B D ⊄平面11AD E ，1E G ⊂平面11AD E ，所以1//B D 平面11AD E ． …………………………5分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，所以11,,AA A B A A AD ⊥⊥又090BAD ∠=，所以1,,AB AD AA 两两垂直. ……………6分如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 设AB t =，则()0,A ，(),0,0B t ，(),1,0C t ，()0,3,0D ，()1,1,3C t ，()10,3,3D .从而(,1,0)AC t =，(,)3,0BD t -=.因为AC BD ⊥，所以2300AC BD t ⋅=-+=+，解得t =……………………8分所以1(0,3,3)AD =，(3,1,0)AC =.设1111,,()n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则1110,0.AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110330y y z +=+=⎪⎩令11x =，则1(1,n =. …………………………………………………………9分 又1(0,0,3)CC =，(CD =.设2222,,()n x y z =是平面11CDD C 的一个法向量，则1220, n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222020z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令21x =，则2(1,,02)n =. ………………………………………………………10分 ∴121212|11(0|1cos ,7n n n n n n ⨯++⋅<>===⋅ ∴平面1ACD 和平面11CDD C 所成角（锐角）的余弦值17. ……………………………12分19．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ， 则101919,a a d =+=101109101002S a d ⨯=+⨯= 解得11,2a d ==，所以21n a n =- ………………………………………………………3分 所以123121n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+ …… ①当11,3n b ==时2,n ≥当时123121n b b b b n -⋅⋅=-……②①②两式相除得21(2)21n n b n n +=≥- 因为当11,3n b ==时适合上式，所以21(N )21n n b n n *+=∈-………………………………6分 （Ⅱ）由已知24(1)(21)nnn n b c n ⋅=-+，得411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n n n =-=-+-+-+则123n n T c c c c =++++1111111(1)()()(1)()335572121n n n =-+++-+++-+-+ ………………………7分 当n 为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+ 1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+ 1212121nn n =-+=-++ ………………………………………………………………9分 当n 为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+ 1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+ 12212121n n n +=--=-++ ……………………………………………………………11分 综上：2,2122,21n nn n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… ………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）因为直线l 与圆O 相切所以圆2223x y +=的圆心到直线l的距离d =，从而222(1)3m k =+…2分 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-=设11(,)E x y ，22(,)F x y 则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+ …………………………………………………4分所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k m k km k k k k k--=++++=+++++--+--===++ 所以OE OF ⊥ ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）直线l 与圆O 相切于W ，222212121,1,22x x y y +=+=∴EWFWλ====………………………………8分 由（Ⅰ）知12120x x y y +=，∴1212x x y y =-，即22221212x x y y = 从而22221212(1)(1)22x x x x =--，即2212214223x x x -=+∴21234x λ+== ……………………………………………………………12分因为1x ≤≤，所以1[,2]2λ∈ ………………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）原函数定义域为(1,)-+∞，()ln(1)1g x x '=++，则(0)0g =，(0)1g '=，:l y x ∴= ………………………………………………………2分由22112(1)202y x kx x k x y x ⎧=++⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩l 与函数()f x的图象相切，24(1)801k k ∴∆=--=⇒=4分（Ⅱ）由题21()1ln(1)12h x x kx x =+++++,1()1h x x k x '=+++ 令1()1x x k x ϕ=+++,因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=>++对[0,2]x ∈恒成立，所以1()1x x k x ϕ=+++，即()h x '在[0,2]上为增函数 ………………………………6分 max 7()(2)3h x h k ''∴==+()h x 在[0,2]上单调递减()0h x '∴≤对[0,2]x ∈恒成立，即max 7()03h x k '=+≤ 73k ∴≤-…………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）当1]x ∈时，()ln(1)10g x x '=++>()(1)ln(1)g x x x ∴=++在区间1]上为增函数，∴1]x ∈时，0()g x ≤≤…………………………………………………………………………10分 21()12f x x kx =++的对称轴为：x k =-，∴为满足题意，必须14k -<-<……11分 此时2min 1()()12f x f k k =-=-，()f x 的值恒小于(1)f -和(4)f 中最大的一个对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满足()()i f x g t =(1,2)i =，min ((),min{(1),(4)})f x f f ∴⊆-2min 41141()0102(4)493(1)2k k f x k f k f k -<<⎧-<-<⎧⎪⎪⎪<-<⎪⎪⎪∴⇒⎨<<+⎪⎪<-⎪<-⎪⎩ …………………………………………………13分94k <<14分。
青岛市届高三第二次模拟考试
青岛市2015届高三第二次模拟考试
数学（文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知11a bi i
=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D ．5
【答案】D
【解析】由11a bi i =-+，整理得(1)(1)a b b i =++-，所以1,01,a b b =+⎧⎨=-⎩即2,1.a b =⎧⎨=⎩
所以|||2|5a b i i -=-=．
【考点】复数的运算．
2.已知集合2{|20}M x x x =->，22{|1}N x x y =+=，则M
N = A ．[1,2)- B ．(0,1) C ．(0,1] D ．∅
【答案】C
【解析】由题意可知{}|02M x x =<<，{}|11N x x =-≤≤，
所以{}(]|010,1M N x x =<≤=． 2015.5。
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高三自主诊断试题 2015青岛二模2015青岛二模 数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
是实数，错误！未找到引用源。
是虚数单位，则错误！未找到引用源。
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2. 已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
3. 高三（3）班共有学生错误！未找到引用源。
人，座号分别为错误！未找到引用源。
，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为错误！未找到引用源。
的样本．已知错误！未找到引用源。
号、错误！未找到引用源。
号、错误！未找到引用源。
号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
4. 已知函数错误！未找到引用源。
，则使错误！未找到引用源。
的错误！未找到引用源。
的集合是A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
5. 已知错误！未找到引用源。
函数是一个求余函数，其格式为错误！未找到引用源。
， 其结果为错误！未找到引用源。
除以错误！未找到引用源。
的余数，例如错误！未找到引用源。
.右面是一个算法的程序框图， 开始输入错错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
输出错是否当输入的值为错误！未找到引用源。
时，则输出的结果为A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
6.设错误！未找到引用源。
满足约束条件错误！未找到引用源。
，则下列不等式恒成立的是A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
7. “错误！未找到引用源。
”是“函数错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上单调递增”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8.将甲、乙等错误！未找到引用源。
名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A．错误！未找到引用源。
种 B．错误！未找到引用源。
种 C．错误！未找到引用源。
种 D．错误！未找到引用源。
种9.定义在错误！未找到引用源。
上的奇函数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
内是A．减函数且错误！未找到引用源。
B．减函数且错误！未找到引用源。
C．增函数且错误！未找到引用源。
D．增函数且错误！未找到引用源。
10. 已知双曲线错误！未找到引用源。
的右焦点为错误！未找到引用源。
，过错误！未找到引用源。
作斜率为错误！未找到引用源。
的直线交双曲线的渐近线于点错误！未找到引用源。
，点错误！未找到引用源。
在第一象限，错误！未找到引用源。
为坐标原点，若错误！未找到引用源。
的面积为错误！未找到引用源。
，则该双曲线的离心率为A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知不共线的平面向量错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，那么错误！未找到引用源。
；12.某班有错误！未找到引用源。
名同学，一次数学考试的成绩错误！未找到引用源。
服从正态分布错误！未找到引用源。
，已知错误！未找到引用源。
，估计该班学生数学成绩在错误！未找到引用源。
分以上的有 人；13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；14. 若函数错误！未找到引用源。
的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式错误！未找到引用源。
对任意满足错误！未找到引用源。
的实数错误！未找到引用源。
恒成立，则实数错误！未找到引用源。
的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,实数错误！未找到引用源。
为大于零的常数，函数错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
，且函数错误！未找到引用源。
的最大值为错误！未找到引用源。
.（Ⅰ）求错误！未找到引用源。
的值；（Ⅱ）在错误！未找到引用源。
中，错误！未找到引用源。
分别为内角错误！未找到引用源。
所对的边，若错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
,且错误！未找到引用源。
,求错误！未找到引用源。
的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过错误！未找到引用源。
公里的地铁票价如下表：乘坐里程错误！未找到引用错误！未找到引错误！未找到引错误！未找到引错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
第14题图 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
俯视图 正（主）视图 侧（左）视图 错误！未找到引用源。
第13题图源。
（单位：错误！未找到引用源。
） 用源。
用源。
用源。
票价（单位：元）错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过错误！未找到引用源。
公里.已知甲、乙乘车不超过错误！未找到引用源。
公里的概率分别为错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，甲、乙乘车超过错误！未找到引用源。
公里且不超过错误！未找到引用源。
公里的概率分别为错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
.（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
的分布列与数学期望．18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台错误！未找到引用源。
中，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
分别是错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
的中点.（Ⅰ）求证：平面错误！未找到引用源。
∥平面错误！未找到引用源。
；（Ⅱ）求二面角错误！未找到引用源。
的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
19．（本小题满分12分）设错误！未找到引用源。
是等差数列，错误！未找到引用源。
是各项都为正整数的等比数列，且错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
．（Ⅰ）求错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
的通项公式；（Ⅱ）若数列错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
），且错误！未找到引用源。
，试求错误！未找到引用源。
的通项公式及其前错误！未找到引用源。
项和错误！未找到引用源。
．20．（本小题满分13分）已知抛物线错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
的焦点为错误！未找到引用源。
，抛物线上存在一点错误！未找到引用源。
到焦点的距离为错误！未找到引用源。
，且点错误！未找到引用源。
在圆错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
上．（Ⅰ）求抛物线错误！未找到引用源。
的方程；（Ⅱ）已知椭圆错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
的一个焦点与抛物线错误！未找到引用源。
的焦点重合，若椭圆错误！未找到引用源。
上存在关于直线错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
对称的两个不同的点，求椭圆错误！未找到引用源。
的离心率错误！未找到引用源。
的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为实数）．（Ⅰ）当错误！未找到引用源。
时，求函数错误！未找到引用源。
的图象在点错误！未找到引用源。
处的切线方程；（Ⅱ）设函数错误！未找到引用源。
（其中错误！未找到引用源。
为常数），若函数错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上不存在极值，且存在错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
的取值范围；（Ⅲ）已知错误！未找到引用源。
，求证：错误！未找到引用源。
．高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．D C B A B C A C B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.错误！未找到引用源。
12.错误！未找到引用源。
13.错误！未找到引用源。
14．错误！未找到引用源。
15．错误！未找到引用源。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
……2分错误！未找到引用源。
……………………5分因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
的最大值为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
化简得错误！未找到引用源。
因为错误！未找到引用源。