2020年“三位一体”自主招生综合测试试卷(3)(含答案)

2020年“三位一体”自主招生综合测试试卷（3）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）1. 若0<x<1，则x2，x，√x，1x这四个数中（）A. 1x 最大，x2最小 B. x最大，1x最小 C. x2最大，√x最小 D. x最大，x2最小2. 小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸出一张福娃纪念卡，则摸出的福娃都是贝贝的概率是（）A. 125B. 25C. 15D. 183. 方程(x2+x−1)x+3＝1的所有整数解的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个4. 顶点为A(6, 6)，B(−4, 3)，C(−1, −7)，D(9, −4)的正方形在第一象限的面积是（）A. 25B. 36C. 49D. 305. 使方程2x2−5mx+2m2＝5的一根为整数的整数m的值共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 函数y＝a|x|与y＝x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A. a>1B. −1<a<1C. a≥1或a≤−1D. a>1或a<−17. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80∘，P在△ABC中，∠PBC＝10∘，∠PCB＝30∘，则∠PAB的度数为（）A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 65∘8. 二次函数y＝−x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（）A. 3<AD≤9B. 3≤AD≤9C. 4<AD≤10D. 3≤AD≤89. 一个三角形有一内角为48∘，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能值有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）10. 甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原来有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有________块糖．11. 设a−b＝2+√3，b−c＝2−√3，则a2+b2+c2−ab−ac−bc＝________．12. 已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是________．13. 如图，△________中，∠________的平分线交________于________，若________＝6________，________＝4________，∠________＝60∘，则________的长为________．14. 已知a是整数，一次函数y＝10x+a的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于________．15. 如图，△________．16. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是________分钟．17. 如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD BD =23，且AB＝10，则CB的长为________．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤）18. 解关于x的不等式：x2+3<4|x|．19. 如图(1)，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到S△ABC=12bcsinA⋯①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD＝α，∠DCB＝β∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD，由公式①得到12AC⋅BC⋅sin(α+β)=12AC⋅CD⋅sinα+12BC⋅CD⋅sinβ即AC⋅BC⋅sin(α+β)＝AC⋅CD⋅sinα+BC⋅CD⋅sinβ…②你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利用结论求出sin75∘的值．20. 如图，过△ABC内一点M做各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．求证：DEBC +FGAC+LNAB=2．21. 已知二次函数y1＝ax2+4ax+4a−1的图象是M．（1）求M关于点R(1, 0)中心对称的图象N的解析式y2；（2）当2≤x≤5时，y2的最大值为√5，求a的值．22. 证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍．参考答案1. A2. 共有25种情况，摸出的福娃都是贝贝的情况有1种，概率为1253. B4. 连接OA，过A、D两点的直线方程是y−6−4−6=x−69−6，即y=−103x+16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x＝7.8，同理求得过A、B两点的直线方程是y=−310x+4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y＝4.2，∴ S△AOE=12×7.8×6=23.4，S△AFO=12×4.2×6=12.6，∴ S△AOE+S△AFO＝23.4+12.6＝36，即顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C （﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是365. D6. D7. C8. A9. C10. 4011. 1512. 3或213. ABC,A,BC,D,AB,cm,AC,cm,A,AD,12√35cm14. 515. P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=4x(x>0)的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是(4√2, 0)16. 417. 4√518. 法一：原不等式化为①{x ≥0x 2−4x +3<0 或②{x <0x 2+4x +3<0， ∵ x 2−4x +3＝(x −1)(x −3)，x 2+4x +3＝(x +1)(x +3)，∴ 解①得，1<x <3，解②得，−3<x <−1，所以，原不等式的解为：1<x <3或−3<x <−1；法二：原不等式化为：|x|2+3<4|x|，即(|x|−1)(|x|−3)<0，∴ 1<|x|<3，∴ 原不等式的解为−3<x <−1或1<x <3．19. ①能消去②中的AC 、BC 、CD ．将AC ⋅BC ⋅sin(α+β)＝AC ⋅CD ⋅sinα+BC ⋅CD ⋅sin β，两边同除以AC ⋅BC 得： sin (α+β)=CD BC ⋅sin α+CD AC ⋅sin β③，又∵ cos β=CD BC 、cos α=CD AC ，代入③可得：sin (α+β)＝sin α⋅cos β+cos α⋅sin β．②由sin (α+β)＝sin α⋅cos β+cos α⋅sin β得：sin 75∘＝sin (30∘+45∘)＝sin 30∘⋅cos 45∘+cos 30∘⋅sin 45∘=12×√22+√32×√22=√2+√64． 20. 证明：根据题意，DE // BC ，∴ △ADE ∽△ABC∴ DE BC =AD AB ；∵ △BFG ∽△BAC∴ FG AC =BF AB ；∵ AFML 是平行四边形，∴ LM ＝AF ；同理，MN ＝BD ；则LN AB =LM+MN AB ，∴ DE BC +FG AC +LN AB =AD+BF+LM+MN AB =2AB AB =2．21. 依题得，a ≠0，且y 1＝ax 2+4ax +4a −1＝a(x +2)2−1，故图象M 的顶点为A(−2, −1)，由对称性可知，图象N 的顶点为B(4, 1)，且其开口方向与M的相反，∴y2＝−a(x−4)2+1，即y2＝−ax2+8ax−16a+1．当a<0时，抛物线N的开口向上，对称轴为x＝4，若2≤x≤5，则当x＝2时，y2取得最大值1−4a，由1−4a=√5得，a=1−√54．22. 证明：如图，在△ABC中，设∠A＝2∠B，且三边长分别为a，b，c．延长CA到点D，使AD＝AB＝c，则CD＝b+c，由∠A＝2∠B，知∠ABC＝∠D．从而，△ABC∽△BDC，故BCDC =ACBC，即ab+c=ba于是，a2＝b(b+c)①当a>c>b时，设a＝n+1，c＝n，b＝n−1，代入①式，解得，n＝5．此时，a＝6，b＝5，c＝4；当c>a>b时，设c＝n+1，a＝n，b＝n−1，解得，n＝2．此时，a＝2，b＝1，c＝3，不能构成三角形；同理，当a>b>c时，可得，n2−3n−1＝0，n不是整数，舍去．综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6．。