新人教A版必修5高中数学第一章1.1.1正弦定理(二)导学案

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高中数学 1.1.1正弦定理导学案新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案

高中数学高一年级必修五第一章第1.1.1节：正弦定理导学案Ａ．学习目标让学生从已有的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同事通过三角函数，向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。

Ｂ．学习重点、难点重点：正弦定理的探索、证明及基本应用；难点：正弦定理应用中“已知两角和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。

Ｃ．学法指导通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力。

D ．知识链接本节内容安排在第一章正弦定理第一课时，是在学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。

E ．自主学习[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2，问题1：△ABC 的其他边和角为多少？提示：∠B ＝60°，∠C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3.问题2：试计算a sin A ，b sin B ，csin C 的值，三者有何关系？提示：a sin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，c sin C＝2，三者的值相等．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是．如图sin A ＝a c ，∴a sin A ＝c .sin B ＝b c ，∴b sin B＝c . ∵sin C ＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . 问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角．提示：如图，△ACD 为直角三角形，∠C ＝30°AC ＝3，则AD ＝32，CD ＝32， BC ＝3.AB ＝3，∠BAC ＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足．问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立．[导入新知]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C . 2．解三角形一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．F.合作探究已知两角及一边解三角形[例1] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由b sin B ＝asin A 得， b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°si n 45°＝46，由a sin A ＝c sin C得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]1．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.已知两边及一边的对角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．[解] ∵a sin A ＝c sin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.[类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]2．在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b . 解：由a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝34π. 又∵c ＞a ，∴C ＞A ，∴只能取A ＝π4， ∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.判断三角形的形状[例3] 在△ABC 2A 2B 2C sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. ∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B .∴2sin B ·cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1.∴sin B ＝22.∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．[类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]3．在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状．解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B＝2R .(2R 为△ABC 外接圆直径) ∴sin B ＝sin A ·cos C .∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ，∴cos A sin C ＝0，∵A 、C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30°[易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°，或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错． 2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．[成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B, C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值.解：由正弦定理a sin A ＝b sin B得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32. 由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A .∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43，∴ac ＝23×43＝24.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°，∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3.∴ac ＝23×23＝12.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H ．达标检测一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin A a的值相等的是( ) A.b cB.sin B sin AC.sin C cD.csin C 解析：选C 由正弦定理得asin A ＝c sin C ，所以sin A a ＝sin C c . 2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A 、B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4 B.12 3 C ．4 3 D ．12解析：选D 若设120°角所对的边长为x ，则由正弦定理可得：x sin 120°＝46sin 45°，于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a ＝( ) A ．2 3B.2 2C. 3D. 2 解析：选D 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sinB ＝2sin A ．∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确．对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2， ∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误.二、填空题6．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________.解析：由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，又a ＝14，b ＝76，B ＝60°， ∴sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76＝22，∵a ＜b ，∴A ＜B ， ∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°7．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.解析：由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin A BC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C )＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. 答案：3314三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．解：由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， sin A ＝32. 再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22×(32＋12)＝6＋24. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 10．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试数列△ABC 的形状．解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A. 又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．。

高中数学《1.1.1 正弦定理》复习导学案2 新人教A版必修5

作业布置学习小结 / 教学反思
课本 49 页练习 2 的 2，3，4 题
2
2 ,b 3 ,
A 450 ,求角 B .
小结:在 ABC 中,已知 a, b 和 A 时求角 B 的各种情况: （1）.角 A 为锐角: ①若 a b sin A ,则一解. ②若 b sin A a b ,则两解. ③若 a b ,则一解 (2).角 A 为直角 a b ,则一解. (3).角 A 为钝角 a b ,则一解. 例 2 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 A 300 , c 2 3, b 2 ,求
1
ABC 的面积.
达标训练： 1.判断下列各题角 B 的解的个数: 1. a 7, b 14, A 300 .
2. a 30, b 25, A 1500 . 3. a 72, b 50, A 1350 .
4. a 30, b 40, A 260 .
§1.1.2 正弦定理
授课时间学习目标重点难理及其拓展. 2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数. 3.三角形面积公式. 重点:正弦定理的应用. 难点:正弦定理的应用. 自主学习：正弦定理:_________________________. 正弦定理的变形公式：_________________________. 问题 1.在 ABC 中,已知 a 20, b 28, A 400 ,求 B (精确到 1 )和 c (保留两个有效数
0 问题 3.在 RtABC 中, C 90 ,则 ABC 的面积 S
学习过程与方法
1 ab .对于任意 ABC ,已知 a, b 及 2

高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1

正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。

其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。

所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。

2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。

3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。

高中数学第一章解三角形全套教案新人教A版必修5

高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

高中数学人教A版必修五解三角形导学案加课后作业及参考答案

1.1.1 正弦定理(一)【学习要求】1．掌握正弦定理的内容． 2．了解正弦定理的证明方法． 3．能初步运用正弦定理解三角形．【学法指导】1．学习本节内容时，要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理． 2．应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化．【知识要点】1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝，A 2＋B 2＋C2＝ .2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝，bc＝ .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，这个比值是__________【问题探究】探究点一正弦定理的提出和证明问题在直角三角形和等边三角形中，容易验证a sin A ＝b sin B ＝csin C 成立，这一结论对更一般锐角三角形和钝角三角形还成立吗？探究1 在锐角△ABC 中，根据右图证明：a sin A ＝b sin B ＝csin C.探究2 在钝角△ABC 中(不妨设A 为钝角)，根据右图证明：a sin A ＝b sin B ＝csin C.小结综上可知，对于任意三角形，均有a sin A ＝b sin B ＝csin C ，此即正弦定理．探究点二正弦定理的几何解释问题如图所示，在Rt △ABC 中，斜边c 等于Rt △ABC 外接圆的直径2R ，故有a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，这一关系对任意三角形也成立吗？探究1 如图所示，锐角三角形ABC 和它的外接圆O ，外接圆半径为R ，等式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 成立吗？探究2 如图所示，钝角三角形ABC ，A 为钝角，圆O 是它的外接圆，半径为R ，等式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 还成立吗？小结综上所述，对于任意△ABC ，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 恒成立．【典型例题】例1 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2跟踪训练1 在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于 ( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3 C ．3∶5∶7 D ．4∶5∶6例2 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.小结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．跟踪训练2 在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝例3 在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．小结已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练3 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．【当堂检测】1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1B ．2C. 2D. 32．在△ABC 中，已知∠A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为 ( ) A ．3 B. 3 C ．2 D ．不确定 3．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于【课堂小结】1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角．（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．【课后作业】一、基础过关1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．b sinC ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于( )A ．3B ．1C ．2D ．123．在△ABC中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为 ( )A ．π3B ．π6C ．π3或23πD ．π6或56π5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小 ( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π66．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin Bsin C ＝________.7．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝______.8．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .二、能力提升9．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D ．⎝⎛⎦⎤0，403 10．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.11．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .三、探究与拓展13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，求角C 的大小．1.1.1 正弦定理(二)【学习要求】1．熟记正弦定理的有关变形公式．2．探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题． 3．能根据条件，判断三角形解的个数．【学法指导】1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应注意运用大边对大角的理论判断解的情况． 2．判断三角形形状时，不要在等式两边轻易地除以含有边角的因式，造成漏解．【知识要点】1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 的常见变形：（1）sin A ∶sin B ∶sin C ＝；（2）a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝；（3）a ＝，b ＝，c ＝；（4）sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝ .2．三角形面积公式：S ＝＝＝3．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥B 4．在△ABC 中，a ＝10，b ＝8，C ＝30°，则△ABC 的面积S ＝【问题探究】探究点一已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数问题我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？探究1 在△ABC 中，已知a ，b 和A ，若A 为直角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)探究2 在△ABC 中，已知a ，b 和A ，若A为钝角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)探究3 在△ABC 中，已知a ，b 和A ，若A 为锐角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)探究点二三角形的面积公式问题我们已经知道S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (其中h a ，h b ，h c 分别为a ，b ，c 边上的高)．学习了正弦定理后，你还能得到哪些计算三角形面积的公式？探究1 当△ABC 为锐角三角形时，证明：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .探究2 当△ABC 为钝角三角形时，证明：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .【典型例题】例1 已知一三角形中a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．小结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．跟踪训练1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于 ( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3例2 在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积．小结题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．小结条件是边角混合关系式，应用正弦定理化边为角，再由角的关系判断三角形的形状．跟踪训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．【当堂检测】1．已知△ABC 的面积为3且b ＝2，c ＝2，则∠A 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120° 2．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝ 3．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝4．不解三角形，判断下列三角形解的个数．（1）a ＝5，b ＝4，A ＝120°；（2）a ＝9，b ＝10，A ＝60°；（3）c ＝50，b ＝72，C ＝135°.【课堂小结】1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，也可能一解或两解.例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．【课后作业】一、基础过关1．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( )A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135° 3．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解4．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于( )A ．3＋1B ．3－1C ．3＋2D ．3－25．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于 ( ) A ．32B ．34C ．32或 3D ．34或326．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________． 7．在△ABC 中，已知23a sin B ＝3b ，且cos B ＝cos C ，试判断△ABC 的形状．8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 二、能力提升9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba 等于 ( )A ．2 3B ．2 2C ． 3D ． 210．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cosC 2，则△ABC 的形状是________． 11．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝______，c ＝______.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 内切圆的半径．三、探究与拓展13．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．1.1.2 余弦定理(一)【学习要求】1．理解余弦定理的证明．2．初步运用余弦定理及其变形形式解三角形【学法指导】1．教材给出了用向量法证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的重要作用．2．利用向量作为工具推导余弦定理时，向量知识可能被遗忘，要注意复习，要准确运用向量的减法法则和向量夹角的概念．3．余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．【知识要点】1．余弦定理三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的的余弦的积的．即a 2＝_________，b 2＝，c 2＝ .2．余弦定理的推论cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝ 3．在△ABC 中，（1）若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝；（2）若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝；（3）若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝ .4．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( )A ．3B ．3C ．5D ．5【问题探究】我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，如果已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用．探究点一利用向量法证明余弦定理问题如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角计算出三角形的另一边呢？探究如图所示，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，由AB →＝CB →－CA →知c ＝a －b .根据这一关系，试用向量的数量积证明余弦定理．探究点二利用坐标法证明余弦定理问题我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？探究如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )，试根据两点间的距离公式证明余弦定理．【典型例题】例1 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A .小结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．跟踪训练1 在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c .例2 已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．小结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．跟踪训练2 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状．例3 在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，试确定△ABC 的形状．小结边角混合关系式要根据正、余弦定理统一转化为角的关系式或边的关系式，本题可采用正弦定理转化为角的关系式或采用余弦定理转化为边的关系式．跟踪训练3 在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．【当堂检测】1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为 ( )A ．52B ．213C ．16D ．4 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为 ( )A ．π3B ．π6C ．π4D ．π123．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为______． 4．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．【课堂小结】1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两边和夹角，解三角形．（2）已知三边求三角形的任意一角．2．判断三角形的形状，当所给的条件是边角混合关系时，基本解题思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．【课后作业】一、基础过关1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 3．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A ．14B ．34C ．24D ．234．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且∠C ＝60°，则ab 的值为 ( ) A ．43B ．8－43C ．1D ．235．已知△ABC 的三边长分别是2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m ＞0)，则最大内角的度数是________． 6．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.7．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. （1）求角C 的度数；（2）求AB 的长；（3）求△ABC 的面积．b ac8．设2a ＋1，a ，a －1为钝角三角形的三边，求a 的取值范围．二、能力提升9．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎣⎡⎭⎫π6，πC ．⎝⎛⎦⎤0，π3 D ．⎣⎡⎭⎫π3，π 10．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 11．如图，CD ＝16，AC ＝5，∠BDC ＝30°，∠BCA ＝120°，则AB ＝________.12．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．三、探究与拓展13．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.（1）求AB →·AC →；（2）若c －b ＝1，求a 的值．1.1.2 余弦定理(二)【学习要求】1．熟练掌握余弦定理及其变形形式． 2．会用余弦定理解三角形．3．能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．【学法指导】1．正、余弦定理都反映了任意三角形边角之间的具体关系，它们不是孤立的，而是相互密切联系的，处理三角形中的问题时，要注意两个定理的综合运用．2．已知三角形的两边和一边的对角解三角形时，一般用正弦定理求解，这时需讨论解的个数，也可用余弦定理求解，这时需转化成未知边的一元二次方程来求解．【知识要点】1．余弦定理及其变形形式：a 2＝ ⇔cos A ＝；b 2＝ ⇔cos B ＝；c 2＝ ⇔cos C ＝ .2．正弦定理的公式表达形式：_____＝＝＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)．3．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是 4．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为【问题探究】探究点一已知两边及其中一边的对角，利用余弦定理解三角形问题在△ABC 中，已知两边及其中一边的对角，解三角形．一般情况下，先利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数．对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形？探究在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于 ( )A ．1B ．2C ．3－1D ． 3 探究点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式问题如何利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式？证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理．探究在△ABC 中，有（1）a ＝b cos C ＋c cos B ；（2）b ＝c cos A ＋a cos C ；（3）c ＝a cos B ＋b cos A ；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．探究点三利用正、余弦定理解决三角形的有关问题问题利用正、余弦定理可以解决一些三角形问题:如面积、角、边等，你能根据已知条件选择合适的解决方法吗？探究在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2.（1）当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．【典型例题】例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的三边，已知(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝bc ，求A .跟踪训练1 已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且△ABC 的面积S ＝c 2－a 2－b 243，求C .例2 在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．小结本例是已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．跟踪训练2 已知a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2 B ＋C 2－cos 2A ＝72. （1）求A 的度数．（2）若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．小结本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A ＋B ＋C ＝180°，求出A ，并利用余弦定理列出关于b 、c 的方程组．跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积为4，求b 、c 的值．【当堂检测】1．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为 ( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a 等于 ( )A ．2B ．12C ．1D ．133．在△ABC 中，cos B ＝12，b 2－ac ＝0，则△ABC 的形状为三角形．4．在△ABC 中，∠B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为．【课堂小结】1．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．2．余弦定理为求三角形中的有关量(如面积、中线、外接圆等)提供了有力的工具，在一定意义上，比正弦定理应用更加广泛．3．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．【课后作业】1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30° 2．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形 3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为 ( )A ．13B ．－23C ．14D ．－144．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C 等于 ( )A ．30°B ．120°C ．60°D ．150°5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是 ( ) A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________． 7．已知△ABC 的内角B ＝60°，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . （1）求B ；（2）若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .二、能力提升9．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( )A ．1＜c ＜3B ．2＜c ＜3C ．5＜c ＜3D ．22＜c ＜3 10．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·CA →＝________. 11．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.（1）求边BC 的长；（2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.（1）求sin C 的值；（2）当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．三、探究与拓展13．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能否做出这样的三角形？若能，是什么形状；若不能，请说明理由．习题课正弦定理与余弦定理【学习要求】1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用．2．提高对正、余弦定理应用范围的认识．3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题．【学法指导】解三角形的问题可以分为以下四类：（1）已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．（2）已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．（3）已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．（4）已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．【知识要点】1．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有（1）A ＋B ＋C ＝，A ＋B2＝ .（2）sin(A ＋B )＝，cos(A ＋B )＝，tan(A ＋B )＝ . （3）sinA ＋B 2＝，cos A ＋B2＝ 2．正弦定理及其变形（1）a sin A ＝b sin B ＝csin C＝ .（2）a ＝，b ＝，c ＝ . （3）sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝ . （4）sin A ∶sin B ∶sin C ＝ .3．余弦定理及其推论（1）a 2＝ . （2）cos A ＝ .（3）在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为；c 2>a 2＋b 2⇔C 为____；c 2<a 2＋b 2⇔C 为． 4．三角形常用面积公式（1）S ＝ (h a 表示a 边上的高)；（2）S ＝＝＝；（3）S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【基础自测】1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，则sin B 等于 ( )A ．±66B ．66C ．±306 D ．3063．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b 等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝3，b ＝2，且1＋2cos(B ＋C )＝0，则BC 边上的高为 ( )A ．3－1B ．3＋1C ．3－12 D ．3＋12【题型解法】题型一利用正、余弦定理证明三角恒等式例1 在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.小结证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．跟踪训练1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .题型二利用正、余弦定理判断三角形的形状例2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．小结本题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．跟踪训练2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．题型三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21.（1）求△ABC 的面积；（2）若a ＝7，求角C .小结这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．跟踪训练3 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.（1）求1tan A ＋1tan C 的值；（2）设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．【当堂检测】1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 2．下列判断中正确的是 ( ) A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解 B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解 D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 3．在△ABC 中，求证：a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．4．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532.求AB 的长．【课堂小结】1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．【课后作业】一、基础过关1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定2．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，sin C 等于( )A ．23913B ．1313C ．2393D ．213133．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 ( ) A ． 6B ．2C ． 3D ． 24．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( )A ．154B ．34C ．31516D ．11165．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.8．在△ABC 中,a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．二、能力提升9．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60° 10．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 为( )A ．30°B ．60°C ．45°或135°D ．120°11．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．12．已知△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(sin C ，sin B cos A )，n ＝(b,2c )，且m ·n ＝0.（1）求A 的大小；（2）若a ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积S 的大小．三、探究与拓展13．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，求tan C tan A ＋tan Ctan B的值．1.2 应用举例（一）【学习要求】1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题． 2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题． 3．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题．【学法指导】1．在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形的边和角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为我们解这个三角形的支持，为我们解这个三角形提供必要的条件．2．在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一垂面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．【知识要点】1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做．一般来说，基线越长，测量的精确度．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.3．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线方时叫仰角，目标视线在水平线方时叫俯角．(如图所示)4．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，β【问题探究】1．“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”．在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？2．现实生活中，人们经常遇到测量不可到达点之间的距离、底部不可到达建筑物的高度，以及在航海中航向的确定．这些问题究竟怎样解决？恰当利用我们所学过的正弦定理、余弦定理就可以解决上述问题，这节课我们就来探究上述问题．探究点一测量不可达距离的方法问题测量不可达距离有哪些基本类型？每种类型的解决方案是怎样的？探究表中是测量距离的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应的结论：类别两点间不可达或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝AB＝①AC＝②BC＝③AB＝探究点二测量底部不可到达的建筑物的高度问题底部不可到达的高度测量有哪些基本类型？每种类型如何测量？探究下表是测量高度的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应结论：类别点B与点C、D共线点B与点C、D不共线图形方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝AB＝【典型例题】例1为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一铅垂平面内．飞机已经测量的数据有A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．甲乙两位同学各自给出了计算MN的两种方案,请你补充完整.甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM＝；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝.乙方案：第一步：计算BM.由正弦定理BM＝；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝.小结测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角的边长问题，然后在相关三角形中计算其他边．跟踪训练1在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为千米．例2如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知。

人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理》优质课教案_2

§1.1.2余弦定理一、教学内容分析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。

第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。

本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。

余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。

在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。

1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。

“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。

”从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。

旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。

基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。

新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。

在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5

第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学题型探究当堂训练
问题导学
知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？

【优化方案】2012高中数学第1章1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5

判断三角形的形状判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手．从条件出发，也可以从三个内角的关系入手．从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，利用正弦定理进行代换、转化，求出边与边的关系或求出角与角的关系，关系或求出角与角的关系，从而作出准确判断．
b ___. c
3．．对于两个向量 a 和 b， a·b＝|a|·|b|cos θ(其中 θ ，有＝其中为 a 与 b 的夹角)．的夹角．
知新益能 1．正弦定理．在一个三角形中，在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比值和它所对角的正弦的比值相等，相等，即 ______ ＝______＝_______ ＝ 2．解三角形． (1)把三角形的三边和它们的对角叫做三角形的元把三角形的_____和它们的和它们的____叫做三角形的元把三角形的素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做已知三角形的几个元素求_________的过程叫做已知三角形的几个元素求解三角形．解三角形．
例1
在△ABC中，已知＝8，B＝60°，C＝中已知a＝，＝ ° ＝
75°，求A、b、c. ° 、、【思路点拨】思路点拨】已知两角和一边，已知两角和一边，可由内角和求
第三个角A，再由正弦定理求、第三个角，再由正弦定理求b、c.
【解】 A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. ＝－＋＝－＋＝ b a 由正弦定理＝，得 sin B sin A × asin B 8×sin 60° b＝＝＝＝4 6，， sin A sin 45°
已知两边及一边的对角解三角形已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角．当已知的角为大边对的角时，角是锐角．当已知的角为大边对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的角时，则不能判断．角时，则不能判断．

人教A版必修5数学精品导学案：1.1.1 正弦定理

§1.1.1 正弦定理班级姓名学号学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B=，从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于．[理解定理]（1）化边为角；（2）化角为边．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆==中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，asin sin sin a b c A B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案

1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53，且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解（1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。

高中数学 1.1.1正弦定理导学案导学案新人教A版必修5

【学习目标】1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形,培养学生应用能力. 2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用. 3．引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去.【重点】：正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用. 【难点】：正弦定理的推导及应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。

2.三角形内角和定理是：。

勾股定理的内容是：Rt △ABC 中，若a,b 为直角边，c 为斜边，则。

3.三角形面积公式：。

Ⅱ.教材助读1. 在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则sinA= ,cosA= ,tanA= .2. 正弦定理：_________sin ==Aa，观察正弦定理的结构，它有什么特点？ 3. 正弦定理文字语言叙述为：。

4．一般地，把三角形的和它们的叫做三角形的元素。

已知三角形的求的过程叫做解三角形。

5．应用正弦定理解三角形可分为两类：（1）已知三角形的与一边，求其他的边和角；（2）已知三角形的与其中一边的对角，求其他的边和角。

【预习自测】1. 正弦定理适用的范围是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 在△ABC 中一定成立的等式是（）A ．asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA 3. 在△ABC 中，.___,30,10,105=︒==︒=b C c A 则 4．在△ABC 中，.____,30,8,4=︒===B A b a 则【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：利用构造三角形外接圆，证明正弦定理；正弦定理中的比值实际上是一个什么样的数？探究二：正弦定理有哪几种变式?探究三：证明C ab S ABC sin 21=∆，除此之外，你还有其他的结果吗？【归纳总结】1.正弦定理适用于三角形.2.可以证明 = = = =2R （R 为△ABC 的外接圆半径）.3.正弦定理的三个等式：，，，每个式子中有个量, 如果知道其中个可以求出（知三求一）.4.正弦定理可解决两类问题：（1） ; （2）。

人教A版高中数学必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案

专题22正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 22bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 22ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin_C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．(3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b .解得b ＝1.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2，又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.高频考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a2＝12c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3. 【感悟提升】(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【变式探究】四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin60° ＝2 3.高频考点三正弦、余弦定理的简单应用例3、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【变式探究】(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案 (1)D (2) 3∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.高频考点三和三角形面积有关的问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sinC ，故2sin C cos C ＝sin C . 由C ∈(0，π)知sin C ≠0，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7. 【方法规律】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2a －b )cos C －c cos B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若三边a ，b ，c 满足a ＋b ＝13，c ＝7，求△ABC 的面积.1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）（A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD=．由余弦定理，知22222210cos 210225AB AC BC A AB AC AD AD+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 2.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【答案】21133.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠=o ,则AC = （）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.5.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA )，则A ＝( )A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6解析在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2，又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π4，故选C.答案 C【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】【解析】因为0A π<<，所以sin 4A ==，又1sin 242ABC S bc A bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】（62-，6+2）AB 的取值范围为（62-，6+2）.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值【答案】（17（243【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）29,]28. 【解析】（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA bB ==，∴sin cos B A =，即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-=；（2）由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin A <<221992(sin )488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29]28.（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．（2014·江西卷）已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．【解析】(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，知cos θ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2013·北京卷）在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A. (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解析】(1)因为a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝2 6sin 2A .所以2sin Acos A sin A ＝2 63.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝2 23.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B) ＝sin AcosB ＋cos Asin B ＝5 39. 所以c ＝a sin Csin A＝5.（2013·全国卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac. (1)求B ； (2)若sin Asin C ＝3－14，求C.＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. （2013·浙江卷）已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 【答案】C【解析】由(sin α＋2cos α)2＝1022'得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝104＝52，4sin αcos α＋1＋3cos 2α＝52，2sin 2α＋1＋3×1＋cos 2α2＝52，故2sin 2α＝－3cos 2α2，所以tan2α＝－34，选择C.（2013·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1 【答案】C1.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A.30° B.45°C.60°D.75°解析法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C. 法二由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C 3，sin C ＝32，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析∵A＝2π3，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asin A＝bsin B可得，sin B＝basin A＝2332×32＝12.∵A＝2π3，∴B＝π6.答案 D3.在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中，a＞b⇔sin A＞sin B⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充分必要条件.答案 C5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C解析根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．答案π3或2π3解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 7．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝______.答案 2108．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案3解析由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c . ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴sin A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.10.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD 、AC 的长．在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋(2＋3)2－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a2)2－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；精品文档. (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.。

高中数学新人教A版必修5教案 1.1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理【教学目标】：1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定及其变形2．能初步用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.(第一种类型)【新课导入】工程师为了测定河岸A 点到对岸C 点的距离，在岸边选定100米长的基线AB ，并测得∠B =120o ，∠A =45o ，你可以求出A 、C 两点的距离吗？【预习收获】1．正弦定理定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝______.2．解三角形一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．【问题解决】对定理的证明，课本给出了锐角三角形的情况．对于钝角三角形，应如何证明？（引导学生证明钝角三角形的情况，并总结归纳正弦定理的适应范围）【几何意义】在Rt △ABC 中，若C ＝90°，你能借助所学知识导出asin A 的具体值吗？在锐角三角形中这个结论成立吗？钝角三角形中呢？【探究结论】设任意△ABC 的外接圆的半径为R ，都有asin A ＝b sin B ＝csin C ＝ 2R. 【定理变形】1．正弦定理(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC 中，a sin A ＝bsin B ＝______.(2)变形：设△ABC 的外接圆的半径为R ，则有 asin A ＝b sin B ＝csin C ＝_____. ①a :b :c ＝sin A :_____:sin C .②a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c＝______. ③asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C . ④a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝________.【例题讲解】类型一已知两角及一边解三角形在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .【探究拓展】在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝________.【智能训练】今天的概念你清楚了吗？1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝a :b :c .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4结合初中的概念，你的基础牢固吗？2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形三角形中最重要的定理是什么？3．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝________. 今天的知识你可以参加高考了吗？4．(2012·广东卷)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝( )A．4 3 B．2 3C. 3D.3 2你知道如何判断最小边吗？5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边．【探究发现】可以实际应用了吗？解决开头提出的问题：工程师为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定100米长的基线AB，并测得∠B=120o，∠A=45o，你可以求出A、C两点的距离吗？【课后作业】1.课本P4.1、（1）（2）2.课本 P10 1、（1）（2）。

2014年高中数学 1.1.1正弦定理教案(一)新人教A版必修5

1.1.1正弦定理讲授新课[合作探究]师那么对于任意的三角形，关系式CcB b A a sin sin sin ==是否成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得B bC c s i ns i n =.从而C cB b A a s i ns i n s i n ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==.师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =. 同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==.∴R CcB b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化. 师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用. 向量法证明过程:(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为90°-A ,j 与的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得=+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+.∴Co s90°Co s(90°-C Co s(90°-A ).∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =. 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j与的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==.(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C .由=+,得j·+j·=j·, 即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -90°), ∴A sin C =C sin A . ∴CcA a sin sin = 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =.∴CcB b simA a sin sin ==（形式1）. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题. ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结. ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°; 根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m); c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c m). [方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =≈0.899 9.因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B ≈116°.（1）当B ≈64°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c m). （2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c m). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字).分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角.∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =≈0.513 1,∴B ≈31°.∴C =180°-(A +B )=180°-(38°+31°)=111°.∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =≈91. [方法引导]同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.变式二：在△ABC 中,已知a ＝28,b ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形.解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =≈0.618 6, ∴B ≈38°或B ≈142°(舍去).∴C =180°-（A +B ）=22°. ∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解. 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B ;(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A .解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，CcB b sin sin =，∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =，∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1): (1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A =45°; (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A =120°.解： (1) ∵B bA a sin sin =.∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a ≈0.909 1.∴A 1≈65°，A 2≈115°.当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b ≈22.当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13.(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b ≈0.505 1,∴B 1≈30°，B 2≈150°.由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角). ∴C =180°-(45°+30°)=105°.∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38.(3)∵CcB b sin sin =, ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.654 6.∴B 1≈41°,B 2≈139°.由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去. ∴当B =41°时，A =180°-(41°+115°)=24°,A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24. (4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍. 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形. 布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题. （二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明方法:3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法 (1)已知两角和一边 (2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角。

高中数学 1.1.1正弦定理教学设计新人教A版必修5(1)

第一章解三角形1.1.1正弦定理教材分析与导入三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重点发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。

正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。

正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

教学难点用向量法证明正弦定理。

虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。

突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。

用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。

教学建议正弦定理是刻画三角形边和角关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。

此节内容从地位上讲起到承上启下的作用：承上，可以说正弦定理是初中锐角三角函数（直角三角形内问题）的拓广与延续，是对初中相关边角关系的定性知识的定量解释，即对“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”这一定性知识的定量解释，即正弦定理得到这个边、角的关系准确的量化的表示，实现了边角的互化。

它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，同时教材这样编写也体现了新课标中“体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学”这一指导思想；启下，正弦定理解决问题具有一定的局限性，产生了余弦定理，二者一起成为解决任意三角形问题重要定理。

人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理

数学·必修5(人教A版)解三角形本章概述课标导读1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.要点点击1.边长a、b、c对应角分别为A、B、C，非特殊要求不能改变．2.注意使用三角形内角和为180°.3.建立边角关系一般使用正弦定理和余弦定理．4.多边形和多面体的计算一般通过解三角形来完成．5.解测量问题时，一般把问题抽象成平面多边形或空间多面体问题，再利用解三角形方法求解.网络构建1.1正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理►基础达标1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝( )A．30° B．45° C．60° D．90°解析：由2B＝A＋C⇒3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°，故选C.答案：C2.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )A．4 3 B．2 3 C. 3 D.3 2解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，ACsin B＝BCsin A，∴AC＝BC·sin Bsin A＝32×2232＝2 3.答案：B3．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝( ) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶3∶2 D．2∶3∶1解析：设A＝k，B＝2k，C＝3k，由A＋B＋C＝180°，得6k ＝180°，k ＝30°，∴A ＝30°，B ＝60° ，C ＝90°， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2.C答案：C4．(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：∵b sin B ＝a 32，∴sin A ＝32，∵△ABC 是钝角三角形，∴A ＝π3. 答案：D5．在△ABC 中，若b ＝2，B ＝30°，C ＝135°，则a ＝________.解析：∵B ＝30°，C ＝135°，∴A ＝180°－30°－135°＝15°.由正弦定理，a sin A ＝bsin B得： a ＝b sin A sin B ＝2sin 15°sin 30°＝4sin 15°. 又sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝64－24， ∴a ＝6－ 2.答案：6－ 2►巩固提高6．在△ABC 中，如果B ＝31°，a ＝20，b ＝10，则此三角形( )A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．有无穷多解解析：∵a sin B ＞b ，∴无解．答案：C7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：利用正弦定理及三角形内角和性质求解．在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，即sin B ＝b sin A a ＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6. ∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2. 答案：π28．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________．解析：由正弦定理，AC sin B ＝ABsin C ，∴sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32， ∴C ＝60°或120°，①当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；②当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1.答案：1或29．已知：在△ABC 中，A ＝45°，c ＝6，a ＝2，解此三角形．解析：c sin C ＝a sin A ⇒sin C ＝c sin A a ＝6×24＝32，当C ＝60°时，B ＝75°，∴b ＝a sin B sin A＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，∴b ＝a sin B sin A＝3－1.10．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解析：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，由a cos A ＝b cos B 得，sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∵2A 、2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 为等腰或直角三角形．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解还是两个解．一般地，已知a ，b ，A 解三角形时，只有当A 为锐角且b sin A ＜a ＜b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．特别强调：把a＝2R sin A，b＝2R sin B代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．。

新人教A版必修5高中数学1.1正弦定理和余弦定理学案

高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．学习重难点1. 重点：正、余弦定理内容2. 难点：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时的讨论一、知识链接问题1：在解三角形时，已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．问题2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝252，b ＝502，解此三角形．二、试一试探究1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝502；② A ＝6π，a ＝5063，b ＝502；③ A ＝6π，a ＝50，b＝502.思考：解的个数情况为何会发生变化？探究2：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？ 2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 模仿练习例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b cA B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 22032ab C =，求角C ．三、总结提升 ※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．当堂检测1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a bb +的值=（）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状．课后作业1. 在∆ABC中，a xcm=，2b cm=，45B∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2221sin24a b cab C+-=，求角C．课后反思。

新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》

数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

高中数学《1.1.1 正弦定理》预习导学案新人教A版必修5

必修五第一章§5-1正余弦定理【课前预习】阅读教材P-完成下面填空1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有 = = = = 2R2、正弦定理的变形公式：错误！未找到引用源。

2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；错误！未找到引用源。

sin A = ，sin B = ，sin C = ；错误！未找到引用源。

::a b c = ；错误！未找到引用源。

sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ．3、三角形面积公式： C S ∆AB = = =4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2a = ，2b = ， 2c = ．5、余弦定理的推论：cos A = ，cos B = ，cos C = ．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：错误！未找到引用源。

若222a b c +=，则90C = ；错误！未找到引用源。

若222a b c +>，则90C < ；错误！未找到引用源。

若222a b c +<，则90C > ．【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1、在△ABC 中，a=7，c=5，则sinA ：sinC 的值是（）A 、75B 、57C 、127D 、125 2、在△ABC 中，已知a=8，B=600，C=750，则b=（）A 、24B 、34C 、64D 、3323、在△ABC 中，已知b=1，c=3，A=600，则S △ABC = 。

4、在△ABC 中，已知a=6， b=8，C=600，则c= 。

强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．01507．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

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1.1.1 正弦定理(二)
课时目标
1．熟记正弦定理的有关变形公式；
2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝2R 的常见变形：
(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；
(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；
(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
.
2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2ca sin B .
一、选择题
1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形答案 D
2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c
cos C
，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形答案 B
解析由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C
cos C
，
∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .
3．在△ABC 中，sin A ＝3
4
，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
152，＋∞ B ．(10，＋∞)
C ．(0,10) D.⎝
⎛⎦⎥⎤
0，403
答案 D
解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝40
3sin C .
∴0<c ≤40
3
.
4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形答案 A
解析由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，
∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C . 5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．6∶5∶4
B ．7∶5∶3
C ．3∶5∶7
D ．4∶5∶6 答案 B
解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.
令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6
＝k (k >0)，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＋
c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝72
k b ＝52k
c ＝32k
.
∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.
6．已知三角形面积为1
4
，外接圆面积为π，则这个三角形的三
边之积为( )
A ．1
B ．2
C.1
2
D ．4 答案 A
解析设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，
得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝1
4
，∴abc ＝1.
二、填空题
7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝
________.
答案 2 3
解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝22
3
，
∴1
2ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.
答案 2
解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1
sin B
，
∴sin B ＝1
2
，故B ＝30°或150°.由a >b ，
得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.
9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝________. 答案 7
解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C
＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________，c ＝________.
答案 12 6
解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63
3
2
＝12.
∵S △ABC ＝12ab sin C ＝1
2×63×12sin C ＝183，
∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a
sin A
＝12，∴c ＝6.
三、解答题
11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B
sin A
.
证明因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝2R ，
所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B
2R sin B －2R sin C cos A
＝B ＋C －sin C cos B A ＋C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B
sin A
＝右边．
所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin B
sin A
.
12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A
⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A cos A
⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B
⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π
⇔A ＝B 或A ＋B ＝π
2
.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．能力提升
13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90° 答案 C
解析设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，
∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A
＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A
＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.
14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若
a ＝2，C ＝π
4
，
cos B 2＝255
，求△ABC 的面积S .
解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝3
5，
故B 为锐角，sin B ＝4
5
.
所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4－B ＝72
10.
由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝10
7，
所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×4
5＝8
7.。