高中数学 5.1初识无限同步精练 北师大版选修3-1
北师大版高中数学选修3-1投影画与射影几何练习.docx
投影画与射影几何练习1．“做一个合格的画家首先要精通几何学”，是由《绘画》一书的作者提出的，他的重要功绩是大量地应用了欧几里得几何学的原理，抓住了透视学的关键，提出了“没影点”的思想．这位伟大人物是( )A．达·芬奇B．阿尔贝蒂C．拉斐尔D．丢勒2．下图所示的作品利用了______原理．( )A．射影几何学B．素描C．透视学D．平面几何学3．“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”，这句名言的作者对透视学作出了最大贡献，他是( )A．达·芬奇B．阿尔贝蒂C．拉斐尔D．丢勒4．下面的作图方法利用了______原理．( )A．平面几何学B．透视学C．素描D．射影几何学5．利用透视学原理画自己的房间．6．利用射影几何的基本思想画一个正四棱柱．7．阅读下面有关达·芬奇的资料，欣赏他的作品体会透视学的原理，简述透视学的发展与数学的联系．达·芬奇(Leonardo Da Vinci,1452—1519)作为文艺复兴时期最卓越的代表人物，他的成就和贡献是多方面的．达·芬奇出生在佛罗伦萨附近的一个小镇——芬奇镇．他是一位天才，他一面热心于艺术创作和理论研究，他研究如何用线条与立体造型去表现形体的各种问题；另一方面他也同时研究自然科学．达·芬奇是意大利文艺复兴时期最伟大、最著名的巨匠，他不仅是一位天才的画家，并且是大数学家、科学家、力学家和工程师，是一位多才多艺、全面发展的人．他有着多方面的才能，对人类作出过多方面的贡献．他不仅会画画、雕塑、建筑房屋，还会发明武器，设计过世界上第一架飞行机，他又是一个医学家、音乐家和戏剧家，而且在物理学、地理学和植物学等其他科学的研究上也很有成就．他道德高尚，举止文雅，且体格健壮，力量过人，据说他一只手就能轻易地折断马蹄铁．他左右手都会写字、作画，他用左手写的字是反向的，人们只有在镜子里才能看懂．人们一般认为，艺术不是科学．但是按照达·芬奇的界定，艺术，尤其是绘画，不但是一种科学，甚至是“所有科学之后”．达·芬奇既能发现事物表面迷人的美感，又不丧失物理学者与解剖学者的视角．他同时具有科学家的观察力与艺术家的表现力，是艺术史上第一位对人体和动物的比例做过系统研究的艺术家．他研究解剖长达40年之久，还亲自解剖了三十几具各种年龄的尸体．他不但熟悉人体外部的比例，而且了解人体的内部构造，因此笔下人物的比例、结构、动态都十分准确，无懈可击．达·芬奇对几何比例与构图十分着迷．《蒙娜丽莎》除了那永恒的神秘微笑外，还创造性地解决了半身肖像的构图问题．此后，西方那些卓越的半身像无一不受这幅画的影响．他还丰富和发展了前人的金字塔形构图，《岩间圣母》中群像以圣母的头部为顶点，形成的等腰三角形，如金字塔般稳定而和谐．与其他作品一样，《最后的晚餐》以几何图形为基础设计画面，体现出数学的对称美．有人评价这幅画是科学与艺术成了婚，而哲学又在这种完美的结合上留下了亲吻．达·芬奇最大的艺术贡献是运用明暗法使平的画面呈现出空间感和立体感．在文艺复兴初期，画家一般都用线条来表现透视，单线平涂，色彩较单调．而达·芬奇研究光影学，首创明暗渐进法，用光线和阴影的技巧来描绘人物、景致，使之呈现逼真的立体感．一直到印象派出现的几百年内，无人能够逾越达·芬奇建立的三度空间绘画体系．由他首创的明暗法使这一时期的绘画为之一变，艺术史家普遍认为它是绘画艺术的一个转折点．他的艺术成就直接影响了后来的米开朗琪罗、拉斐尔等艺术大师．从《最后的晚餐》起，西方绘画才真正进入了文艺复兴的鼎盛时期．达·芬奇还进一步归纳整理了解剖、透视、明暗和构图等零碎的技法知识，并从科学的角度进行审视．在他的《论绘画》手稿中，最初是想记录下对物理世界的客观描述，但不久就转而注意到透视、比例、几何与光学，之后是解剖学与机械学，最后则是探索宇宙本身的机械功能问题．《论绘画》是后人从达·芬奇十八本笔记中抽取出来编撰而成的，有人称它是整个艺术史上最珍贵的文献．尽管有的时候，对科学的兴趣浓厚到使他不愿提笔作画，但绘画毕竟是他最初的事业．达·芬奇就像研究别的学问一样，努力把绘画当成一种科学，终其一生都在孜孜不倦的探索中．参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：A4．答案：D5．答案：略6．答案：略7．答：由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，人们渴望描述真实的世界，数学成为了反映世界和描述艺术的工具，借助数学的帮助，自然界将变得更加真实．。
北师大版高中数学选修3-1圆周率练习.docx
圆周率练习1．关于圆周率的最早记录出自( )A．《周髀算经》B．《九章算术》C．莱茵德草卷D．《几何原本》2．世界上第一个把π计算到3.141 592 6＜π＜3.141 592 7的数学家是( ) A．刘徽B．阿基米德C．祖冲之D．卡瓦列利3．最早用穷竭法研究圆周率的数学家是( )A．阿基米德B．安提丰C．刘徽D．布里松4．证明π是无理数的数学家是( )A．高斯B．阿基米德C．兰伯特D．林德曼5．圆周率的计算是我国古代数学史上的伟大的成就之一，很久以前我们的祖先就发现圆的周长和直径之比是一个定数，这个定数被命名为圆周率．那么圆周率在不断地精确过程中有哪些突出的成就呢？6．查找资料，了解阿基米德与穷竭法．7. 如图所示，已知直线y=2x+3与抛物线y=x2交于A，B两点，试用阿基米德穷竭法求抛物弓形AOB的面积．参考答案1．答案：C2．答案：C3．答案：B4．答案：C5．答：①《周髀算经》，采用的圆周率是“周三径一”，即π＝3；②魏晋时期刘徽创立割圆术，为计算圆周率建立了严密理论和算法，求出π≈3.141 6，采用了极限思维，是近代微积分思想的萌芽；③祖冲之求出的圆周率，在3.141 592 6和3.141 592 7之间，并且确立两个分数形式的近似值：约率和密率，祖冲之的成果在世界上一直领先了1 000年．6．答：在古希腊，利用穷竭法作出重要贡献的是阿基米德，阿基米德(Archime d es ，公元前287—前212)出生于意大利西西里岛的叙拉古，是古希腊最杰出的数学家、力学家，他的几何著作成为古希腊数学的顶峰，他的数学著作主要有《圆的度量》《论球与圆柱》《抛物线求积法》《论螺线》等．在这些著作中，阿基米德巧妙地将穷竭法与原子论观点结合起来，通过严密的计算，获得了许多重要的结果，例如他在《抛物线求积法》一书中，使用穷竭法求出了抛物线弓形的面积，他的方法简述如下：作三角形ABC ，设其面积为S 1，其中l 1∥AC ，B 是切点，再作抛物线的切线l 2和l 3使之分别平行于AB 和BC ，切点分别是D 和E ，再作三角形ADB 和三角形BEC (如图)，设两个三角形面积之和为S 2，用A 1表示S 1，A 2表示S 1+S 2，那么用完全同样的方法可以得到A n =S 1+S 2+…+S n .很明显，只要取n 足够大，弓形面积S 与A n 的差S -A n 就可以任意小．由抛物线的性质可知S 1=4S 2，∴A n ＝S 1＋1111121141444334n n S S S S S --++⋅⋅⋅+=-⋅. 最后，阿基米德用反证法证明了S ＝143S . 特别要提到的是，阿基米德在计算以他的名字命名的曲线——阿基米德螺线第一周围成的区域的面积时，使用了类似于现代积分学中的大和、小和的概念．他的用法，用今天的符号表示就是：将2π n 等分，在每一部分上作出顶角2nπ的内接圆扇形和外接圆扇形(如下图)，它们的面积之和，分别用A n 与S n 表示，显然所求之面积S 满足不等式A n ＜S ＜S n ，经过计算A n ＝324111132a n n π⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， S n ＝324111132a n n π⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，于是，对任意的n ，有A n ＜3243a π＜S n .阿基米德经过猜测，并使用反证法进行了证明，得出螺线第一周所围成的面积S ＝3243a π. 阿基米德突破了传统的有限运算，大胆地采用了无限逼近的思想，从而将穷竭法发展到了高峰，但是由于当时没有极限概念，不承认无限，因此，穷竭法仍是有限的形式，并且局限在几何直观上，运算也很烦琐，所以自阿基米德之后，很长时间没有被人重视．尽管这种方法有很大的缺点，但是，他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽．7. 分析：可以求出弦AB 的中点C ，过C 作y 轴的平行线交抛物线与点D ，这样抛物弓形AOB 的面积是△ABD 面积的43，因此我们只要求△ABD 的面积即可．解：设A ，B 两点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则有2,23,y x y x ⎧=⎨=+⎩解得12121,3,1,9.x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ∴A (－1,1)，B (3,9)，中点C (1,5)．过中点C(1,5)作y 轴的平行线交抛物线于D(1,1)，再求△ABD 的面积． |AB|=[]223(1)(91)4 5.--+-=点D 到直线AB 的距离为d ＝21134455415⨯-+==+. ∴S △ABD ＝12|AB |·d ＝1454525⨯⨯＝8. ∴抛物弓形AOB 的面积为S ＝43S △ABD ＝432833⨯=.。
北师大版高中数学选修3-1微积分练习
北师大版高中数学选修3-1微积分练习高中数学学习材料鼎尚图文某整理制作微积分练习1．17世纪中叶，数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件，那就是________的诞生．()A．函数B．微积分C．解析几何D．极限思想2．历史上第一篇系统的微积分文献是()A．牛顿的《自然哲学的数学原理》B．牛顿的《流数法与无穷级数》C．牛顿的《流数简论》D．莱布尼茨的《一种求极大值极小值和切线的新方法》3．微分学中的符号d某，dy等，积分符号∫的创立者是()A．莱布尼茨B．阿基米德C．高斯D．牛顿4．十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第________次数学危机．()A．一B．二C．三D．四5．设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A．成正比，比例系数为cB．成正比，比例系数为2cC．成反比，比例系数为cD．成反比，比例系数为2c某1,1某0,6．函数f(某)＝的图像与某轴所围成的封闭图形的面积为()co某,0某231A.B．1C．2D.227．促使微积分产生的科学问题主要有______________，_____________，______________，_______________四类问题．8．如图，函数f(某)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝____________；lim某0f(1某)f(1)＝________.(用数字作答)某9．向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟则当水深为5m时，水面上升的速度为________m/min.10．利用定积分的几何意义计算：83m，34某d某；(2)in某d某.22211．结合史料，谈谈阿基米德对于微积分的创立起到了什么样的重要作用．12．牛顿1666年写了《流数简论》之后，始终不渝地努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是什么？哪篇是牛顿最成熟的微积分著述？为什么？13．为什么说在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：A4．答案：B5．答案：D解析：∵V(t)＝243πR(t)，3∴c＝V′(t)＝4πR(t)R′(t)．∴R′(t)＝c.24R(t)2∵S(t)＝4πR(t)，∴S′(t)＝8πR(t)R′(t)＝8πR(t)某c2c＝.4R2(t)R(t)6．答案：A解析：如图，根据定积分的几何意义可得所求的封闭图形的面积：11某1某1＋2co某d某＝＋in某02213＝inin0.222S＝207．答案：瞬时速度问题切线问题函数的最值问题面积、体积、曲线长、重心和引力的计算8．答案：2－2解析：∵f(某)＝2某4,0某2,某2,2某6,∴f(0)＝4，f(4)＝2，即f(f(0))＝2.又根据导数几何意义可知lim9．答案：某0f(1某)f(1)＝f′(1)＝－2.某8812解析：设t分钟时，水深为h米，则由体积相等，得thh，7533213所以h＝2t，h′(t)＝，33t2128当h＝5时，t＝，81258所以v＝h′(t)|t＝(m/min)．87510．解：(1)如图①，224某d某等于图中阴影部分的面积，∴2224某2d某＝1某22＝2π.2(2)如图②，∴in某d某等于图中阴影部分的面积和，其中，在某轴下方的面积为负，in某d某＝0.11．答：在十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分．但微积分的原理，却可以追溯到古希腊人阿基米德所建立的确定面积和体积的方法．远在阿基米德那个时代(公元前二百多年)，没有解析几何，甚至连发达的字母符号也没有，可是几何学在古希腊已经达到了惊人的繁荣．直到今天，在初等的几何学中我们还很难再添加多少新的东西．正是在这种历史条件下，阿基米德率先推导出了球、圆锥的体积公式，以及抛物线的弓形面积公式，他所采用的无穷小量求和的方法已经接近于积分演算．后人在介绍阿基米德这种方法的时候，又用现代的符号和术语进行了加工．下面以阿基米德推导抛物线的弓形面积公式为例，介绍他采用的无穷小量求和的方法．设有一抛物线f(某)，求其与横轴某及直线某＝p(p＞0)所围的面积，即曲边三角形OPM(如下图阴影部分)的面积S.阿基米德是这样想的：设OP＝1，将OP分成n等份．曲边三角形OPM被分割成n个带状面积元，这些面积元可近似地看成矩形，各条“带子”的宽度是1/n，第k条带子的高是某＝1kk处抛物线的纵坐标．所以第k条带子的面积是f，各条矩形带子的面nnn积和S是曲边三角形OPM的近似面积，当n→∞时就得到曲边三角形OPM的精确面积S.曲边三角形OPM的面积求出后，再求抛物线弓形面积就十分容易了．正是这种分解为无穷多个无穷小量之和的方法，在两千年后发展成为积分学．阿基米德当时也曾预言：“我认为在现在或未来的研究者中，总会有人会利用这里所提出的方法获得我还不曾得到的其他定理．”果然如此，他的方法在另一种历史条件下获得了新的发展和新的形式，牛顿、莱布尼茨建立了更加一般的方法，并且给了一个恰当的名词：积分．12．答：这三篇论文是(1)《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》；(2)《流数法与无穷级数》，简称《流数法》；(3)《曲线求积术》，简称《求积术》．《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述．因为牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小量的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”在此基础上定义了流数的概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比．确切地说，它们构成增量的最初比．”牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比．所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导．牛顿在《曲线求积术》中还第一次引进了后来被普遍采用的流数记号．。
2021-2022高二数学北师大版选修3-1演练提升：3.1 从经验几何到演绎几何 Word版含答案
第三章几何学进展史§1从阅历几何到演绎几何一、非标准1.主见“对几何学的陈述不能凭直觉上的貌似合理就予以接受,相反,必需要经过严密的规律证明”,并且第一个提出“知其然”,同时还要“知其所以然”的学者是().A.毕达哥拉斯B.柏拉图C.欧几里得D.泰勒斯答案:D2.在西方最早证明白“勾股定理”的是().A.毕达哥拉斯学派B.柏拉图学派C.古埃及人D.古巴比伦人答案:A3.古希腊人在几何学上提出的三大作图问题有().①三等分任意角②化圆为方③立方倍积④黄金分割⑤三等分圆周A.②③⑤B.①②③C.①③④D.②③④答案:B4.虽然没有认真于几何学,但是在雅典成立学院并且在学院门口写着格言“不懂几何者不得入内”的人是().A.柏拉图B.欧几里得C.毕达哥拉斯D.亚里士多德答案:A5.使欧几里得名垂不朽的著作是().A.《把握论》B.《工具论》C.《原本》D.《圆锥曲线论》答案:C6.欧几里得、和阿波罗尼奥斯是公元前3世纪的3个数学巨人.答案:阿基米德7.《原本》中包含的4种不同的概念是.答案:定义、公理、公设、命题8.搜集有关解决古希腊三大几何作图问题的资料,体会演绎几何的进展.答案:2000多年来,三大几何作图问题因其独特的魅力吸引了很多数学家投入其中,百折不挠,虽屡战屡败仍前赴后继.古希腊人的巧思,阿拉伯人的学识,西方文艺复兴时期大师们的睿智,都曾倾注于此,但最终还是没有解决.不是由于这些数学家不够聪慧,也不是由于他们不够睿智.实在是由于当时的条件还不成熟.就像再锋利的刀也削不到自己的柄一样,一个学科的问题,往往需要借助其他学科的学问才能解决.笛卡儿的解析几何创立之后,尺规作图的可能性才有了准则.这样,很多几何问题就可以转化为代数问题来争辩.由于用圆规、直尺作图的每一步都需要找一个交点,这个点或者是属于两条直线的,或者是一条直线和一个圆的.由于引进了解析几何,人们生疏到,用代数术语说,这样的步骤就意味着同时求解两个线性方程,或一个线性方程和一个二次方程,或两个二次方程.到19世纪中叶,由于新的数学工具的应用,数学家最终明白三大几何作图问题实际上是不行解的.首先取得突破的是法国数学家旺策尔(P.L.Wantzel,1814—1848),他在1837年给出了三等分任意角及立方倍积不行能用尺规作图的严格证明.1882年,德国数学家林德曼(C.L.F.Lindemann,1852—1939)证明白π的超越性,所谓超越性就是说π不行能是任何整系数代数方程的根.化圆为方的不行能性也得以证明.在伽罗瓦建立群论之后,人们发觉,除了化圆为方,把伽罗瓦理论应用到另两个问题时也格外奏效.化圆为方与另两个问题性质不同,它涉及一个超越数π.与旺策尔的证明相比,伽罗瓦的理论更具一般性,不仅完全回答了哪些方程可以用代数运算求解,而且给出了一个一般的判别法来判定几何图形是否可以用直尺和圆规来作图.9.搜集《原本》在中国传播的有关资料,体会《原本》对我国数学进展的意义和影响.答案:前六卷的翻译工作《原本》传入中国,首先应归功于明末科学家徐光启.徐光启(1562—1633),字子先,上海吴淞人.他在加强国防、进展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当大的贡献,对引进西方数学和历法更是不遗余力.他生疏意大利传教士利玛窦之后,打算一起翻译西方科学著作.利玛窦主见先译天文历法书籍,以求得天子的赏识.但徐光启坚持按规律挨次,先译《原本》.对徐光启而言,《原本》有严整的规律体系,其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同.这种区分于中国传统数学的特点,徐光启有着比较清楚的生疏.他还充分生疏到几何学的重要意义,他说“窃百年之后,必人人习之”.他们于1606年完成前6卷的翻译,1607年在北京印刷发行.徐光启翻译中的重要贡献徐光启和利玛窦《原本》中译本的一个宏大贡献在于确定了争辩图形的这一学科中文名称为“几何”,并确定了几何学中一些基本术语的译名.“几何”的原文是“geometria”,徐光启和利玛窦在翻译时,取“geo”的音为“几何”,而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思.用“几何”译“geometria”,音义兼顾,确是神来之笔.几何学中最基本的一些术语,如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名,都是这个译本定下来的.这些译名始终流传到今日,且东渡日本等国,影响深远.后7卷的翻译工作就在他们想连续把《原本》的后7卷翻译完的时候,发生了一件意想不到的事情,就是徐光启的父亲不幸去世了.徐父去世的精确日子是5月23日.当时徐光启尽管已经入教,但作为一名始终在传统文化熏陶。
高中数学5.1初识无限导学案北师大版选修3-1
初识无限一位富翁偶然听到一个数学教授给学生谈论“无穷”，心里便琢磨，这“有限多个”好理解，比如“我的钱财有限多”，可这“无穷”是什么呢？难道就是跟自然数一样多，或者“更多”？富翁想知道自己理解的究竟对不对，于是就问教授：“请问‘无穷’是什么？”教授回答说：“无穷就是没有穷人，都像您一样富有．”教授看到富翁不理解的样子，就进一步解释说：“想一想，如果地球上的人有无穷多个，比如说，可以和自然数对应起来，而且每个人只有一元钱，不要多，那么第一个向第二个人借一元，第二个向第三个借一元，依次往后借，如此下去，第一个人就有2元钱，其他人也没有少钱．”富翁点头承认，并说：“那还是没有我的钱多．”教授接着说：“如果第一个人重复一百万次，那不就是百万富豪了？！”富翁这才恍然大悟，明白了“无穷”是什么．1．大约在1872年，德国著名数学家________关于无限的研究在数学史上引发了一次大地震．他指出，无限是一个奇妙的新世界，其中不但有大小之分，而且还可以进行计算．2．若在集合A 与B 之间，存在元素间的对应法则f ，使得A 中的任一个元素a ，按照对应法则f ，必有B 中________元素b 与之对应；反之，B 中的任一元素b ，按照对应法则f ，必有A 中________元素a 与之对应，则称f 为A 到B 上的一对一的映射，简称f 建立了A 与B 之间的一个一一对应．3．康托的功绩是把一一对应的概念推广到了____集上．4．在集合A 与B 之间，若存在一个一一对应，则称它们有相同的________，并称它们是________．5．若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是________．6．有理数集与正整数集具有________基数，即有理数集是________．答案：1．康托2．唯一的 唯一的3．无限4．基数 对等的5．可数的 6．相同的 可数的一、一一对应【例1】 设A ＝(－1,1)，R ＝(－∞，＋∞)．建立集合A 与R 之间的一一对应关系． 思路分析：关键是找到一个对应法则f ，使对任意的x ∈A ，按照对应法则f ，必有R 中唯一的元素y 与之对应；反之，R 中的任一元素y ，按照对应法则f ，必有A 中唯一的元素x 与之对应．解：任取A 中的元素x ，规定对应法则为：x 先乘以π2，再取正切值，即y ＝tan π2x ，则y ∈R 且y 唯一存在；反之，对任意的R 中的元素y ，根据对应法则y ＝tan π2x ，一定在A 中有唯一的x 与之对应．从而对应法则：y ＝tan π2x ，x ∈A ，y ∈R ，就建立了集合A 与R 之间的一一对应关系．本题要理解一一对应的本质是两个“唯一”．另外在建立两个集合之间的一一对应关系时，要借助于我们熟悉的函数．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，B ＝[－1,1]，建立集合A 与B 之间的一一对应关系． 【例2】 已知集合A ＝R ，集合B ＝{y |y ∈R ，y ≥1}，x ∈A ，y ∈B ，对应关系是f ：x →y ＝x 2－2x ＋2.f ：A →B 是A 到B 的对应吗？是一一对应吗？若不是，如何改动集合A(集合B 和对应关系不变)，使之成为对应、一一对应？解：由于x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1对任意的x ∈R 都成立，即对任意的x ∈A ＝R 都有唯一确定的y ＝x 2－2x ＋2∈R 与之对应，故f ：A →B 是由A 到B 的对应，又由对应关系知，对于A 中元素0,2的像都是2，所以f ：A →B 不是从A 到B 的一一对应．若将A 改为A ＝{x |x ≥1}，则A 到B 的对应f ：x →y ＝x 2－2x ＋2就是A 到B 上的一一对应了．在R 内，下列对应是否是一一对应？若是，请说明；若不是，能否对x (或k )加以限制，使之成为一一对应？(1)x →y ＝kx ；(2)x →y ＝|x |＋1；(3)x →y ＝－2x 2＋4x ＋7.二、基数【例3】 将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合记为A ，整个平面上的点所成的集合记为B ，证明集合A 与B 有相同的基数(即A 与B 是对等的)．思路分析：要想证明A 与B 是对等的，依据定义，只需证明集合A 与B 之间能建立一个一一对应关系．证明：设球心为O ，球面上去掉的一点为C ，过点C 的直径为CD ，现将球放置在平面上，使球与平面相切于点D ，如图，在球面上(除C 点外)任取一点E ，连接CE 并延长交平面于点F ，F 点唯一存在；反之，在平面内任取一点F ，连接CF ，则CF 交球面于点E ，点E 唯一存在．这样，建立了球面(除C 点)与平面之间的一一对应关系．故集合A 与B 有相同的基数．在建立A 与B 的一一对应关系时，要巧妙地利用图形上的特殊点，安排它们的相对位置，这样建立一一对应关系就会轻而易举．证明：正整数集Z ＋与正偶数集有相同的基数．【例4】 正整数集Z ＋中去掉“1,2,3,4,5”五个元素后，剩余的元素构成集合B ，证明Z ＋与B 有相同的基数．思路分析：构造函数，建立Z ＋与B 之间的一一对应关系．解：任取集合Z ＋中的一个元素x ，按照对应法则f ：x →y ＝x ＋5，在集合B 中存在唯一的元素y 与x 对应．反之，在集合B 中任取一个元素y ，按照对应法则f ：x →y ＝x ＋5，在集合Z ＋中都存在唯一的元素x 与y 对应．从而，对应法则：y ＝x ＋5，x ∈Z ＋，y ∈B 建立了集合Z ＋与B 之间的一一对应关系．从而Z ＋与B 有相同的基数．在集合Z ＋与B 之间若存在一个一一对应，则称它们有相同的基数，并称它们是对等的．全体正整数的平方数组成的集合A ＝{1,4,9,16,25，…}，证明：A 与Z ＋有相同的基数．三、可数集【例5】 证明：正有理数集是一个可数集．思路分析：把正有理数排成一个数阵，然后按照一定的规则建立与正整数集的一一对应关系．证明：把正有理数排列成如上图形式的序列．其中，第一行依大小次序包括所有以1为分母的正分数，即全体正整数；第二行依大小次序包括所有以2为分母的正分数；第三行依大小次序包括所有以3为分母的正分数……显然，每个正有理数都出现在这个序列中．必须注意的是，其中有些有理数是重复出现的．现在我们从11开始，按照箭头所示的方向依次指定1对应11，2对应21，3对应12，4对应13……遇到重复出现的有理数时，只需跳过去，对应下一个第一次出现的有理数．每一个有理数必将在某一步对应于一个被指定的有限的自然数．于是，上面列出的正有理数集合与自然数集合构成一一对应．从而，正有理数集是一个可数集．要注意上述数阵中的有理数有重复的情况，比如11＝22＝33＝44＝…，要将重复的去掉．把正有理数按照一定次序写成数阵是解决本题的关键．有理数集与正整数集有相同的________，所以有理数集是可数集．【例6】 若A 1，A 2，A 3，…，A n 是n 个可数集，证明：A 1∪A 2∪…∪A n 也是可数集． 思路分析：关键是按照某一规则将A 1∪A 2∪…∪A n 中的元素一一数下去．解：因A 1，A 2，A 3，…，A n 都是可数集，按照上图箭头的顺序可将A 1∪A 2∪A 3∪…∪A n 排列：a 11，a 21，a 31，…，a n 1，a 12，a 22，a 32，…，a n 2，a 13，a 23，a 33，…，a n 3，a 14，a 24，a 34，…，a n 4，…，遇到重复的数字，跳过去即可．去掉其中重复的元素之后，我们可以用正整数1,2,3,4，…把所有的元素数完，故A 1∪A 2∪…∪A n 是可数集．本题的方法不唯一，你可以改变箭头的指向，得到其他的数法．证明：任何无限集合都至少包含一个可数子集．1．康托建立的“无穷集合论”，使人们看清了“无穷”的真面目．2．理解无限的关键思想是一一对应，它是我们研究“无限”所使用的最基本、最重要的工具．理解一一对应的概念要抓住定义中的两个“唯一”．3．在研究无限集合时，引入了一个新名词——基数：在集合A 与B 之间，若存在一个一一对应，则称它们有相同的基数，无限集合的基数相当于有限集合的“元素个数”．4．若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应关系，则称这个集合是可数的．全体整数集和有理数集都是可数集．这就意味着，全体正整数与全体整数一样多；全体正整数与全体有理数一样多．答案：1．思路分析：借助正弦函数建立一一对应关系．解：任取x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2＝A ，按照对应法则f ：x →y ＝sin x ，在集合B 中存在唯一的元素y 与x 对应．反之，在B ＝[－1,1]中任取一个元素y ，按照对应法则f ：x →y ＝sin x ，在集合A 中都存在唯一的元素x 与y 对应．从而，对应法则：y ＝sin x ，x ∈A ，y ∈B ，就建立了集合A 与B 之间的一一对应关系．2．解：(1)k ＝0时不是一一对应，k ≠0时是一一对应；(2)不是一一对应，当x ≥0(或x ≤0)时是一一对应；(3)不是一一对应，当x ≥1(或x ≤1)时是一一对应．3．证明：对于正整数集Z ＋中的任一个元素x ，通过对应法则f ：x 乘以2，则在正偶数集中存在唯一的元素2x 与之对应；反之，对于正偶数集中的任一个元素2x ，通过对应法则f ′：2x 除以2，则在正整数集Z ＋中存在唯一的元素x 与之对应．所以正整数集Z ＋与正偶数集之间存在一一对应关系．所以正整数集Z ＋与正偶数集有相同的基数．4．证明：任取正整数集Z＋的一个元素x，按照对应法则f：x→y＝x2，在集合A中存在唯一的元素y与x对应．反之，在集合A中任取一个元素y，按照对应法则f：x→y＝x2，在Z＋中存在唯一的元素x与y对应．从而，对应法则：y＝x2，x∈Z＋，y∈A，建立了Z＋与A之间的一一对应，从而A与Z＋有相同的基数．5．基数6．证明：设M是一个无限集，因M≠∅，总可以从M中取一元素记它为e1，由于M是无限集，故M－{e1}≠∅，于是又可以从M－{e1}中取一元素，记它为e2，显然e2∈M且e1≠e2，设已从M中取出n个这样的互异元素e1，e2，…，e n，由于M是无限集，故M－{e1，e2，…，e n}≠∅，于是又可以从M－{e1，e2，…，e n}中取一元素，记它为e n＋1，显然e n＋1∈M且和e1，e2，…，e n都不相同，这样由归纳法，我们就找到M的一个无限子集{e1，e2，…，e n，…}，它显然是一个可数集．。
2018人教版高二上学期(选修3-1)练习册有答案版
目录（选修3-1）第一章静电场 (2)§1.1 库仑定律 (2)§1.2 电场强度 (4)§1.3 电势能、电势和电势差 (6)§1.4 电场的应用 (9)第一章《静电场》单元测试 (12)第二章恒定电流 (16)§2.1 电源和欧姆定律 (16)§2.2 焦耳定律和闭合电路的欧姆定律 (18)§2.3多用电表和测电池的电动势和内阻 (21)第二章《恒定电流》单元检测 (24)第三章磁场 (28)§3.1 磁场 (28)§3.2 通电导线和运动的电荷在磁场中受到的力 (31)§3.3 带电粒子在场中的运动 (34)第三章《磁场》单元测试 (36)2018年新高二期中考试 (40)2018年新高二期末考试 (42)答案 (48)第一章 静电场§1.1 库仑定律☆☆☆知识清单☆☆☆1、起电的三种方式： 、 、 。
2、电荷守恒定律： 。
3、元电荷： 。
4、电荷间的相互作用： 、 。
5、点电荷： 。
6、库仑定律： 。
☆☆☆知识分类☆☆☆知识点一：电荷及其守恒定律1、（多选）关于摩擦起电现象，下列说法正确的是 ( )A ．摩擦起电现象使本来没有电子和质子的物体中产生电子和质子B ．两种不同材料的绝缘体互相摩擦后，同时带上等量异种电荷C ．摩擦起电，可能是因为摩擦导致质子从一个物体转移到了另一个物体而形成的D ．丝绸摩擦玻璃棒时，电子从玻璃棒上转移到丝绸上，玻璃棒因质子数多于电子数而显正电2、（多选）如图所示，A 、B 为两个相互接触的、用绝缘支柱支持的金属导体，起初它们不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C 是带正电的小球，下列说法中正确的是 ( )A ．把C 移近导体A 时，A 、B 上的金属箔片都张开B ．把C 移近导体A ，先把A 、B 分开，然后移去C ，A 、B 上的金属箔片仍然张开C ．先把C 移走，再把A 、B 分开，A 、B 上的金属箔片仍然张开D ．先把A 、B 分开，再把C 移去，然后重新让A 、B 接触，A 上的金属箔片张开，而B 上的金属箔片闭合 知识点二：库仑定律3、下列关于点电荷的说法，正确的是 ( )A ．只有体积很大的带电体才能看成点电荷B ．体积很大的带电体一定不能看成点电荷C ．一切带电体都能看成点电荷D ．当两个带电体的大小及形状对它们之间的相互作用力的影响可以忽略时，这两个带电体才可以看成点电荷4、关于库仑定律，下列说法正确的是 ( )A ．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体B ．根据F ＝kq 1q 2r 2，当两点电荷间的距离趋近于零时，电场力将趋向无穷大 C ．若点电荷q 1的电荷量大于q 2的电荷量，则q 1对q 2的电场力大于q 2对q 1的电场力 D ．库仑定律和万有引力定律的表达式相似，都是平方反比定律5、两个半径为R 的带电球所带电荷量分别为q 1和q 2，当两球心相距3R 时，相互作用的静电力大小为( )A ．F ＝k q 1q 2(3R )2B ．F >k q 1q 2(3R )2C ．F <k q 1q 2(3R )2 D ．无法确定 6、（多选）两个半径相同的金属小球，带电荷量之比为1∶7，相距为r ，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的 ( ) A.47 B.37 C.97 D.1677、（多选）如图所示，两个带电小球A 、B (可视为点电荷)的质量分别为m 1和m 2，带电荷量分别为q 1和q 2，用长度相同的绝缘细线拴住并悬挂于同一点，静止时两悬线与竖直方向的夹角相等．则m 1和m 2、q 1和q 2的关系可能是 ( )A ．q 1＝q 2，m 1＝m 2B ．q 1>q 2，m 1＝m 2C ．q 1<q 2，m 1＝m 2D ．q 1>q 2，m 1<m 2 8、（多选）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a 、b 、c (可视为点电荷)，三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是 ( )A ．a 对b 的静电力一定是引力B ．a 对b 的静电力可能是斥力C ．a 的电荷量一定比b 多D ．a 的电荷量可能比b 少☆☆☆课后练习☆☆☆1、感应起电和摩擦起电都能使物体带电，关于这两种使物体带电的过程，下列说法中正确的是 ( )A ．感应起电和摩擦起电都是电荷从物体的一部分转移到另一部分B ．感应起电是电荷从一个物体转移到另一个物体C ．感应起电和摩擦起电都是电荷从一个物体转移到另一个物体D ．摩擦起电是电荷从一个物体转移到另一个物体2、（多选）如图所示，挂在绝缘细线下的小轻质通草球，由于电荷的相互作用而靠近或远离，所以 ( )A ．甲图中两球一定带异种电荷B ．乙图中两球一定带同种电荷C ．甲图中两球至少有一个带电D ．乙图中两球至少有一个带电3、（多选）对于库仑定律，下面说法正确的是 ( )A ．库仑定律是实验定律B ．两个带电小球即使相距非常近，也能直接用库仑定律C ．相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等D ．根据库仑定律，当两个带电体的距离趋近于零时，库仑力趋近于无穷大4、真空中保持一定距离的两个点电荷，若其中一个点电荷的电荷量增加了12，但仍然保持它们之间的相互作用力不变，则另一点电荷的电荷量一定减少了 ( ) A.15 B.14 C.13 D.125、要使真空中的两个点电荷间的库仑力增大到原来的4倍，下列方法中可行的是( )A ．每个点电荷的电荷量都增大到原来的2倍，电荷间的距离不变B ．保持点电荷的电荷量不变，使两个电荷间的距离增大到原来的2倍C ．使一个点电荷的电荷量加倍，另一个点电荷的电荷量保持不变，同时使两个点电荷间的距离减小为原来的12D ．保持点电荷的电荷量不变，将两个点电荷的距离减小为原来的14§1.2 电场强度☆☆☆知识清单☆☆☆1、电场： 。
北师大版高中数学选修3-1数学史选讲从经验几何到演绎几何
典例分析
作为教材的影响 从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去 了两千多年，尽管科学技术日新月异，由于欧氏几何 具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合 的特点，在长期的实践中表明，它已成为培养、提高 青少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科 学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。
典例分析
从内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几 何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因 此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多 年来 传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容 的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为 欧氏几何。
典例分析
答：在几何学上的影响和意义 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原 本》 起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提 出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他 写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼地 展开全部几何学，这项工作，前人未曾做到。《几何 原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严 密的理论系统和科学方法的学科。并且《几何原本》 中的命题1.47，证明了是欧几里得最先发现的勾股定 理，从而说明了欧洲是最早发现勾股定理的大洲。
知识梳理
1、在很长的一个历史时期，几何都没有形成一 个理论体系，这种几何学称为_归__纳__与__经__验__的__几__何__学__。 数 学 史 家 通 常 将 古 埃 及 视 为 ___几__何__学_____ 的 故 乡 ， 把古巴比伦视为____代__数______的故乡。
知识梳理
2、公元前7世纪，几何学从古埃及传 到了古希腊，在古希腊人手里，几何学发 生了质的变化，许多定理第一次被证明， 演绎数学就在希腊诞生，其中较著名的人 物有：___泰__勒__斯_______、__毕__达__哥__拉__斯__、 ____柏__拉__图______、__欧__几__里__得里斯河与幼发拉底河之间的地带， 通常叫做美索不达米亚平原，美索不达米亚语出希腊文， 意思是“两河之间的地区”，故而这个地区也称为两河 流域(今伊拉克境内)。像尼罗河一样，两河流域也是人 类文明的摇篮．从公元前3000年到前200年，这一地区 (在今伊拉克和伊朗西部)所创造的数学，习惯统称为巴 比伦数学。早在公元前四五千年，两河流域的苏美尔人 用削尖的芦苇秆或木棒在软泥板上写字，泥板晒干后坚 硬如石。由于这样的字形状像楔子，所以这种文字称为 楔形文。苏美尔人以后，各民族继续使用楔形文，只是 不同时期所使用的有所不同。
2019年【北师大版】选修3-1数学：1.2《从变量数学到现代数学》精品导学案(含答案)
2019年北师大版精品数学资料§2从变量数学到现代数学在一本《希腊诗文选》(公元500年前后，大部分由语法学家梅特罗多勒斯编写)中，收录了丢番图的墓志铭：“墓中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起新婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他走完了人生的旅途．”有兴趣的同学可以算算丢番图到底活了多少岁．(答案：84岁)1．解析几何的创立是变量数学发展的第一个里程碑，1637年笛卡儿的著作____________是这一里程碑的标志．2．现代数学发展的最初阶段，是以基础学科______、__________、__________的深刻变化为特征的，它反映了数学基础的深刻变化．这些变化主要体现在研究对象的______、研究方法的________和新研究领域的形成上．3．____________与____________是现代代数中最重要的两个分支．答案：1．《几何学》2．代数几何分析拓展创新3．群论线性代数【例1】说说你对笛卡儿坐标系的了解．答：笛卡儿从已知的天文、地理的经纬制度出发，指出每一对有序实数，即坐标(x，y)都对应于平面上唯一的一个点；反之，平面上每一个点都有唯一的一个坐标(x，y)与之对应．根据这种坐标思想，笛卡儿进一步考虑二元方程f(x，y)＝0的性质．满足这个方程的x，y值有无穷多个，x值变化时y值随之变化，反之亦然，x，y的不同数值所确定的平面上许多不同的点形成一条曲线．这样一个代数方程就可以通过几何直观的方法去处理．反之，可以离开几何图形，用代数的方法研究几何的性质．笛卡儿的《几何学》把数学引向了一个新的方向，说说其主要贡献．【例2】简述对我国现代数学作出贡献的人物及其贡献．答：对我国现代数学作出贡献的人物之一是华罗庚．他一生硕果累累，是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数等方面研究的创始人和开拓者，并培养了许多学生，如陈景润．人物之二是陈省身，他被国际数学界尊称为“微分几何之父”，他结合微分几何与拓扑方法，先后完成了两项划时代的重要工作：其一为黎曼流形的高斯—博内一般公式，其二为埃尔米特流形的示性类论．他也培养了许多优秀的学生，如吴文俊、丘成桐等．17世纪后半叶，在变量数学的发展中主要形成的概念有________．①微积分②极限的概念③线性代数④概率论⑤计算机【例3】查资料了解费马大定理——会下金蛋的鹅答：在我国，哥德巴赫猜想几乎尽人皆知，虽然它已具有250年的历史，但数论中最大的难题之一——费马大定理至少已有350年的历史．无论中国还是西方，都知道直角三角形的三边(假设a，b为两直角边，c为斜边)有如下关系：a2＋b2＝c2.由此勾股定理可以得出一个著名的数论问题：满足不定方程x2＋y2＝z2的正整数解有没有？有多少？容易验证，3,4,5就是这个方程的一组解．关于这个不定方程的完备结果出现在公元3世纪古希腊数学家丢番图的《算术》当中．到了17世纪，费马看到《算术》中介绍x2＋y2＝z2的解时，突发灵感，在书的页边上写道：“将一个高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的．关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下．”这就是有名的费马大定理：(用现代语言叙述)当整数n＞2时，方程x n＋y n＝z n不存在正整数解．正是这个《算术》书的旁注激发了几乎所有优秀数学家的兴趣，他们经过无数的努力但都没能攻克它．因此，西方把这个并没有证明的定理称为费马大定理．由于在解决这个问题的过程中，它的研究带动了数论乃至整个数学的发展，给数学带来了新的理论、新的技术、新的方法，开拓了新的学科领域，从而促进了数学的进展．因此，费马大定理被称为“会下金蛋的鹅”．维尔斯(Wiles,1953—)在经历了众多前人的努力后，费马大定理终于在1995年被英国数学家维尔斯(Wiles,1953—)证明了．对这个困扰世间350多年的难题的解决充分显示了人类智慧的无限威力．维尔斯因此连续获得了一系列大奖及其他荣誉，其中包括：1995～1996年度的沃尔夫数学奖；1996年的奥斯特洛夫斯基奖；1996年的美国国家科学院数学奖；1996年当选为美国国家科学院外籍院士．费马大定理的证明被英国《卫报》称为是一项“世纪性的成就”，它充分反映出当今数学发展的特点之一——各门学科的大联合．简述费马的其他成就．本节主要介绍了数学发展的基本脉络，使我们对于数学发展的特点和取得的重要成果有了进一步的认识与了解．感受数学在人类发展中的意义及作用．答案：1．答：《几何学》首次明确提出点的坐标和变数的概念，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线．例如，笛卡儿在解决古希腊数学问题——帕波斯问题时，用二次方程表示圆锥曲线．这是解析几何产生的重要标志．《几何学》还引入了单位数的概念，使所有的几何量都统一于数的表示，把数与形结合起来．在笛卡儿看来，面积和长度都是数值，没有二次量和一次量之分，这就冲破了传统几何中停留在“形”观念上的束缚，为实现“形”与“数”的结合开辟了道路．他还利用实例深刻地指出：几何问题可以归结为代数问题，用代数方法研究几何图形的性质具有极大的优越性．《几何学》的整个思路与传统的方法大相径庭．他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采取几何学与代数学中一切最好的东西，互相取长补短”．正是这种敢于向传统和权威挑战的巨大勇气，以及大胆思索创新的精神，使笛卡儿为自己的科学发现开辟了一条崭新的道路——建立解析几何．2．①②③3．答：费马对解析几何、微积分和概率论的创建都有重要贡献，在数论方面的贡献尤为重要．费马还提出并使用了坐标的概念，而且也使用了直角坐标系．他定义了以下曲线(用现代的符号)：直线：d(a－x)＝by；圆：b2－x2＝y2；椭圆：b2－x2＝ky2；抛物线：x2＝ay，y2＝ax；双曲线：xy＝a2或x2＋b2＝ay2；等等．费马还把抛物线x2＝ay和等轴双曲线xy＝a2推广为x n＝a n－1y的形式．由方程x n＝a n－1y 确定的曲线，现在称为费马抛物线(当n＞0时)和费马双曲线(当n＜0时)．类似地，他还推广了阿基米德螺线．1643年，费马在一封信里简短地描述了三维解析几何的思想，他第一个把三元方程应用于三维解析几何，包括柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面．指出含有三个未知量(变量)的方程表示一个曲面．尽管费马对三维解析几何未能给出一个几何框架，但他却为之提供了代数基础.1650年，费马在论文“新型二阶或高阶方程分析中的指标问题”中指出：一个自变量的方程决定点的作图，两个自变量的方程决定平面曲线的轨迹的作图，三个自变量的方程决定空间中曲面的轨迹作图．由对曲线性质的研究，费马得到了一种相当于微分法的法则．按照这种方法，当函数经过极值点时，函数的前后两个值将是相等的：f(A＋E)－f(A)＝0.费马把这个设想的等式称为“准等式”，用E去除这个等式，再令E消失：[f(A＋E)－f(A)E]E＝0＝0.由此求出的A就是f(x)的极值点．实际上，这种方法相当于给出了现代微积分中函数取极值的必要条件．。
高中物理选修3_1全套同步习题
高中物理选修3-1同步练习题第一节电荷及其守恒定律［同步检测］1、一切静电现象都是由于物体上的_____________ 引起的，人在地毯上行走时会带上电，梳头时会带上电，脱外衣时也会带上电等等，这些几乎都是由引起的.2 .用丝绸摩擦过的玻璃棒和用毛皮摩擦过的硬橡胶棒，都能吸引轻小物体，这是因为( )A. 被摩擦过的玻璃棒和硬橡胶棒一定带上了电荷B. 被摩擦过的玻璃棒和硬橡胶棒一定带有同种电荷C. 被吸引的轻小物体一定是带电体D. 被吸引的轻小物体可能不是带电体3 .如图1 —1 —2所示,在带电+Q的带电体附近有两个相互接触的金属导体A和B,均放在绝缘支座上若先将+Q移走，再把A、B分开，则A __________ 电，B _______ 电；若先将A、B分开，再移走+Q ,则A __________ 电，B _________ 电.4 .同种电荷相互排斥，在斥力作用下，同种电荷有尽量5 . 一个带正电的验电器如图 1 —1 —3所示，当一个金属球A靠近验电器上的金属球B时，验电A .金属球A可能不带电B .金属球A 一定带正电C.金属球A可能带负电D .金属球A 一定带负电的趋势，异种电荷相互吸引，而且在引力作用下有尽量__________________ 的趋势. 器中金属箔片的张角减小，则( )6 .用毛皮摩擦过的橡胶棒靠近已带电的验电器时，发现它的金属箔片的张角减小，由此可判断（）A .验电器所带电荷量部分被中和B .验电器所带电荷量部分跑掉了C.验电器一定带正电D .验电器一定带负电7 .以下关于摩擦起电和感应起电的说法中正确的是A. 摩擦起电是因为电荷的转移，感应起电是因为产生电荷B. 摩擦起电是因为产生电荷，感应起电是因为电荷的转移C. 摩擦起电的两摩擦物体必定是绝缘体，而感应起电的物体必定是导体D. 不论是摩擦起电还是感应起电，都是电荷的转移8 .现有一个带负电的电荷 A ,和一个能拆分的导体B,没有其他的导体可供利用，你如何能使导体B带上正电？9 .带电微粒所带的电荷量不可能是下列值中的A. 2.4 X-19CB.-6.4 X 1109CC.-1.6 X -08CD.4.0 X -17C10 .有三个相同的绝缘金属小球A、B、C,其中小球A带有2.0 X 15C的正电荷，小球B、C不带电.现在让小球C先与球A接触后取走，再让小球B与球A接触后分开，最后让小球B 与小球C接触后分开，最终三球的带电荷量分别为qA= , qB= , qC= .［综合评价］1.对于摩擦起电现象，下列说法中正确的是A. 摩擦起电是用摩擦的方法将其他物质变成了电荷B. 摩擦起电是通过摩擦将一个物体中的电子转移到另一个物体C. 通过摩擦起电的两个原来不带电的物体，一定带有等量异种电荷D.通过摩擦起电的两个原来不带电的物体，可能带有同种电荷2 .如图1 —1 —4所示，当将带正电的球C移近不带电的枕形绝缘金属导体AB时，枕形导体上的电荷移动情况是A. 枕形金属导体上的正电荷向B端移动，负电荷不移动B. 枕形金属导体中的带负电的电子向A端移动，正电荷不移动C. 枕形金属导体中的正、负电荷同时分别向B端和A端移动D.枕形金属导体中的正、负电荷同时分别向A端和B端移动图1 —1 —43 .关于摩擦起电和感应起电的实质，下列说法中正确的是A. 摩擦起电现象说明机械能可以转化为电能，也说明通过做功可以创造电荷B. 摩擦起电现象说明电荷可以从一个物体转移到另一个物体C•摩擦起电现象说明电荷可以从物体的一部分转移到另一部分D. 感应起电说明电荷从带电的物体转移到原来不带电的物体上去了4 .如图1 —1 —5所示，用带正电的绝缘棒A去靠近原来不带电的验电器B,B的金属箔片张开，这时金属箔片带电；若在带电棒离开前，用手摸一下验电器的小球后离开，然后移开A，这时B的金属箔片也能张开，它带电. 图5 .绝缘细线上端固定，下端悬挂一轻质小球a , a的表面镀有铝膜.在a的近旁有一底座绝缘金属球b,开始时a、b都不带电，如图1 — 1 — 6所示，现使b 带电，贝, A. ab 之间不发生相互作用 B. b 将吸引a ,吸在一起不放开 C. b 立即把a 排斥开D. b 先吸引a ，接触后又把a 排斥开后，小球A 、B 各带电多少库仑？8 .有三个相同的绝缘金属小球 A 、B 、C ,其中小球 A 带有3 X 103C 的正电荷，小球B 带 有-2X 10-3C 的负电荷，小球C 不带电.先将小球C 与小球A 接触后分开，再将小球B 与 小球C 接触然后分开，试求这时三球的带电荷量分别为多少 ？第二节库仑定律 ［同步检测］1 .下列哪些带电体可视为点电荷6 . 5个元电荷的电荷量是 C , 16C 电荷量等于 个元电荷的电荷量. 7 .有两个完全相同的带电绝缘金属球A 、B ,分别带有电荷量 Q A = 6.4 W 9 C,Q B9-3.21(0 C,让两绝缘金属小球接触 在接触过程中，电子如何转移并转移多少库仑A •电子和质子在任何情况下都可视为点电荷B •在计算库仑力时均匀带电的绝缘球体可视为点电荷C. 带电的细杆在一定条件下可以视为点电荷D •带电的金属球一定不能视为点电荷2 •对于库仑定律，下面说法正确的是k^^A •凡计算真空中两个静止点电荷间的相互作用力，就可以使用公式F= ;B •两个带电小球即使相距非常近，也能用库仑定律C •相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等D •当两个半径为r的带电金属球心相距为4r时，对于它们之间相互作用的静电力大小，只取决于它们各自所带的电荷量3 •两个点电荷相距为 d ,相互作用力大小为F,保持两点电荷的电荷量不变，改变它们之间的距离，使之相互作用力大小为4F,则两点之间的距离应是A • 4dB • 2dC • d/2D • d/44 •两个直径为d的带正电的小球,当它们相距100 d时作用力为F,贝U当它们相距为的作用力为（)A • F/100B• 10000F C• 100F D •以上结论都不对5 •两个带正电的小球,放在光滑绝缘的水平板上,相隔一定的距离,若同时释放两球，它们的加速度之比将A •保持不变B •先增大后减小C •增大D •减小6 •两个放在绝缘架上的相同金属球相距d,球的半径比d小得多, 分别带q和3q的电荷量，相互作用的斥力为3F •现将这两个金属球接触，然后分开，仍放回原处，则它们的相互斥力将变为7.如图1 — 2 — 6所示，大小可以不计的带有同种电荷的小球A 和B 互相排斥，静止时两球位于同一水平面上 ，绝缘细线与竖直方向的夹角分别为 a 和B 卢，且a <由此可知A .B 球带电荷量较多B . B 球质量较大C . A 球带电荷量较多D .两球接触后，再静止下来，两绝缘线与竖直方向的夹角变为 a'、B 则仍有a ' <,带电荷量分别为q 1和q 2 ,用长均为L 的两根细线，悬挂在同一9.两个形状完全相同的金属球 A 和B ,分别带有电荷量 q A = - 7 X 10“C 和q B =-8£3 X 10 C ,它们之间的吸引力为 2 X 10 N .在绝缘条件下让它们相接触 ，然后把它们又放 回原处，则此时它们之间的静电力是 （填 排斥力”或 吸引力”），大小是.（小球的大小可忽略不计）B . FC . 3FD . 4F点上，静止时两悬线与竖直方向的夹角均为30°,则小球的质量为 8.两个质量相等的小球 图 1 — 2 — 610 •如图1 —2 —7所示，A、B是带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10 cm长的绝缘支杆上，B平衡于倾角为30°的绝缘光滑斜面上时30 '、3g，则B带电荷量是多少？(g取10 m / s')［综合评价］1 •两个带有等量电荷的铜球，相距较近且位置保持不变，设它们带同种电荷时的静电力为F1,它们带异种电荷时(电荷量绝对值相同)的静电力为F2,贝U F1和F2的大小关系为：( )A • F1= F2 D • F1 > F 2C. F1< F 2 D •无法比较2 •如图1 —2 —8所示,在A点固定一个正点电荷，在B点固定一负点电荷，当在C点处放上第三个电荷q时，电荷q受的合力为F,若将电荷q向B移近一些，则它所受合力将A •增大 D •减少C.不变能•CD .增大、减小均有可a b••——,恰与© O •图 1 —2—8专业word可编辑3 .真空中两个点电荷，电荷量分别为q1= 8 X 10 C和q2= - 18 X 10 C,两者固定于相距20cm的a、b两点上，如图1 —2 —9所示.有一个点电荷放在a、b连线(或延长线)上某点，恰好能静止，则这点的位置是A. a点左侧40cm处B. a点右侧8cm处C. b点右侧20cm处D.以上都不对.4 .如图所示，+Q1和-Q2是两个可自由移动的电荷，Q2=4Q1 .现再取一个可自由移动的o—点电荷Q3放在Q1与Q2连接的直线上，欲使整个系统平衡，那么 7( )A. Q3应为负电荷，放在Q1的左边B、Q3应为负电荷，放在Q2的右边C.Q3应为正电荷，放在Q1的左边D、Q3应为正电荷，放在Q2的右边.5 .如图1 —2 —10所示，两个可看作点电荷的小球带同种电，电荷量分别为q1和q2,质量分别为m1和m2,当两球处于同一水平面时，a > B则造成a >的可能原因是A . m 1 >m 2B . m 1 <m 2C q 1 >q 2___ QB 图 1 —2—11 /I /f9 S. 图 1 —2—126 .如图1 —2 —11所示，A、B两带正电小球在光滑绝缘的水平面上相向运动.已知m A=2m B , V A = 2 V 。
北师大版高中数学选修选修3-3同步全解
第一章球面的基本性质通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。
通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。
例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。
通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。
了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。
1 直线，平面与球面的位置关系1．我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。
因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。
例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。
在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。
2．球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
半圆的圆心叫做球心。
连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。
连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
用一个平面去截一个球，截面是圆面。
球的截面有以下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面。
（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R ^2-d^2球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。
半径是R的球的体积计算公式是：V=（4/3）πR^3(三分之四乘以π乘以R的三次方)。
半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）3．球面空间中与一定点的距离为定值的动点的轨迹。
定点称为球心，定距离称为半径。
球面也可以看成是由半圆绕着它的直径旋转一周所形成的曲面。
球面所包围的立体称为球体，简称球。
2021-2022高二数学北师大版选修3-1演练提升：5.1 初识无限 Word版含答案
第五章无限§1初识无限一、非标准1.建立“无穷集合论”的数学家是().A.费马B.欧拉C.高斯D.康托答案:D2.1615年,为了争辩旋转体的体积,引入了无穷大和无穷小的概念.()A.开普勒B.莱布尼茨C.牛顿D.费马答案:A3.下列说法正确的是().A.全体有理数比全体自然数多B.有理数集与自然数集之间存在一一对应关系C.有理数集与自然数集的基数不同D.有理数集与自然数集是相等的集合解析:由于自然数集和有理数集都是可数集,所以它们之间存在一一对应关系.答案:B4.将正整数集Z+中去掉一个元素“1”后剩余的元素组成的集合记为A,则下列叙述正确的是().A.Z+比A多一个元素B.Z+=AC.Z+与A的元素个数一样多D.Z+的基数大于A的基数解析:集合Z+与A之间存在一一对应关系,故Z+与A的元素个数一样多.答案:C5.下列叙述正确的是().A.全部可数集的基数都相同B.全部的无限集都是对等的C.全部的无限集都可以与正整数集之间建立一一对应关系D.假如存在一个对应法则,使得集合A中的任一个元素a,依据对应法则,必有集合B中唯一的元素b与之对应,则称建立了集合A与B之间的一个一一对应解析:由于全部的可数集都可以与正整数集之间建立一一对应关系,所以它们的基数都相同.答案:A6.在答案:全体有理数是可数的时,我们把有理数排列成一个数阵,从中间的0开头数起,画一个形的螺旋线,依据这一路线,每个有理数都会被数到,它将对应一个唯一的正整数,这样我们就答案:了全体有理数是可数的.答案:矩7.1886年,法国数学家说了一句很出名的话:“上帝制造了正整数,其他一切都是人类的制造.”答案:克罗内克8.答案:集合(0,5)与(0,12)之间可以建立一一对应关系.答案:从集合(0,5)中任取一个元素x,依据对应法则f:x→y=125x,在集合(0,12)中存在唯一元素y与x对应.反之,在集合(0,12)中任取一个元素y,依据对应法则f:x→y=125x,在集合(0,5)中存在唯一的元素x与y对应.从而建立了集合(0,5)与(0,12)之间的一一对应关系.9.设全体正奇数为集合A,全体正偶数为集合B,试答案:集合A与B对等.答案:对于集合A中的任一个元素x,依据对应法则f:y=x+1,则在集合B中存在唯一的一个元素y=x+1与之对应;反之,对于集合B中的任一元素y,依据对应法则f:y=x+1,在集合A中存在唯一的一个元素x与之对应.故集合A与B之间存在一一对应关系,所以集合A与B对等.10.答案:正奇数集A与正整数集Z+有相同的基数.答案:对于集合Z+中的任一个元素x,依据对应法则f:y=2x-1,在集合A中存在唯一元素y与之对应.反之,对于集合A中的任一元素y,依据对应法则f:y=2x-1,在集合Z+中存在唯一的元素x与之对应.这样集合A与Z+之间存在一一对应关系,所以集合A与Z+有相同的基数.11.设集合A=(-π2,π2),R=(-∞,+∞),建立一个集合A与R之间的一一对应关系.答案:在集合A中,任取一个元素x,依据对应法则f:y=tan x,在R中存在唯一的元素y与之对应;反之,对于R 中的任一元素y,依据对应法则f:y=tan x,在集合A中存在唯一的元素x与之对应.这样就建立了集合A与R之间的一一对应关系.12.设A为可数集,B为有限集或可数集,且A∩B=⌀,答案:A∪B为可数集.答案:由于可数集总可排成无穷序列,不妨设A={a1,a2,…,a n},B={b1,b2,…,b n}(当B有限时)或B={b1,b2,…,b n,…}(当B可数时).由于当B有限时(B排到前,A排在后),A∪B={b1,b2,…,b n,a1,a2,…,a n};又当B可数时(交叉排列),A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…}.可见A∪B总可以排成无穷序列,与正整数集一一对应,因此它是可数集.13.上网搜集关于康托的生平材料,并整理出来.答案:参考材料如下:康托(Cantor,Georg Ferdinand Philip,1845—1918),德国数学家,集合论的创始者.1845年3月3日生于圣彼得堡,1918年1月6日卒于哈雷.1862年考入瑞士苏黎世高校,翌年转入柏林高校,主修数学,师从E.E.库默尔、K.魏尔斯特拉斯和L.克罗内克.1867年获博士学位,曾任哈雷高校教授.高校期间康托主修数论,受魏尔斯特拉斯的影响,对严格的数学分析理论感爱好.他在1872年以本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论,并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则.1873年他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则.他奇妙地将一条直线上的点与一个平面甚至几维空间的点一一对应起来.在争辩无穷数与超限数理论时,他还引进势、基数、序数等概念并定义了基数之间的运算及序的运算法则,对有限数集理论作出了重要贡献.19世纪70年月很多数学家只承认有穷事物的进展过程是无穷尽的,无穷只是潜在的,是就进展说的.他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体,例如集合论里的各种超穷集合.康托集合论确定了作为完成整体的实无穷,从而遭到了一些数学家和哲学家,特殊是克罗内克的批判与攻击.另一方面,康托创建集合论的工作开头时就得到戴德金、魏尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓舞和赞扬.20世纪以后集合论不断进展,已成为数学的基础理论.。
北师大版高中数学选修3-1解析几何练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作解析几何练习1．解析几何的创始人是( )A．欧几里得B．高斯C．欧拉D．笛卡儿和费马2．下面的叙述体现解析几何的意义的有( )①以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学②以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学③使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化④为人们认识更为广泛的新空间带来了可能A．①B．②③C．①②D．①②③④3．第一次出现了变量和函数的概念的著作是( )A．《方法论》B．《圆锥曲线论》C．《解析几何的发展》D．《几何学》4．法国数学家费马给出了许多命题，其中最著名的就是________，又称________：______________________________________________________________________________.5．16世纪末，法国数学家________提出了应用代数方法解决几何问题的思想，他是________的创始人，他的代数专著是________．6．在解析几何中，“纵坐标”一词是________首先使用的，“横坐标”一词由________首次引进．而“解析几何学”这个名词却是直到18世纪末才由________国数学家________正式采用．7．解决下列问题，体会解析几何的基本思想及重要作用．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A型、B型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A型、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位．如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A，B型电视机的产量分别不低于5台和10台，那么生产两种类型电视机各多少台时，才能使利润最大？8．解决下列问题，体会解析几何的基本思想．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4 s．已知各观察点到该中心的距离都是1 020 m．试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340 m/s；相关点均在同一平面内)参考答案1．答案：D2．答案：D3．答案：D4．答案：费马大定理 费马猜想 当n ＞2时，方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解5．答案：韦达 符号代数 《分析五篇》6．答案：莱布尼茨 沃尔夫 法 拉克鲁瓦7．解：设生产A 型x 台，B 型y 台，依题意得约束条件为23100,42120,5,10,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z ＝6x ＋4y . 据已知条件画出可行域和直线3x ＋2y ＝0并平移可得最优解为x ＝y ＝20.8．解：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，因正东比正西晚4 s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴方向，建立平面直角坐标系，设A ，B ，C 分别是西、东、北观察点，则A (－1 020,0)，B (1 020,0)，C (0,1 020)．设P (x ，y )为巨响发生点，∵A ，C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y ＝－x .①又∵B 点比A 点晚4 s 听到巨响声，∴|PB |－|PA |＝4×340＝1 360 m.由双曲线定义知，a ＝680，c ＝1 020，∴b ＝3405. ∴P 点满足的双曲线方程为22226805340x y -⨯＝1(x ≤－680)．② 联立①②求出P 点坐标为(6805-，6805)，即巨响在正西北方向68010m 处．。
北师大版高中数学选修1-1同步练测：第一章§3全称量词与存在量词(含答案详解).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1.下列命题中为真命题的是 ( )A.，B.,是整数C.,D.,2.下列命题中是真命题的是( )A.x∈R,sin x+cos x=B.x∈(0,π),sin x＞cos xC.x∈(－∞,0),＜D.x∈(0,+∞),＞x+13. 下面有关命题的说法正确的是( )A.命题“若－3x+2=0，则x=1”的逆命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”B.命题“若－3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”C.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”D.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”二、填空题（本题共6小题，每小题7分，共42分）4.已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．5.命题“对任何，”的否定是________．6.下列四个命题：；；；.其中的真命题是________．7.下列命题中的假命题是________．①，；②，；③，；④，.8. 下列四个命题：①x∈R,+x+1≥0；②x∈Q,+x－是有理数；③α,β∈R,使sin(α+β)=sin α+sin β；④x,y∈Z,使3x－2y=10.其中真命题的序号是.9.已知对，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题（本题共3小题，共40分）10.（本小题满分12分）写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)x∈R，＋x＋1＞0；(2)x∈Q，＋x＋1是有理数；(3)α，β∈R，使cos(α＋β)=cosα＋cosβ. 11.（本小题满分12分）已知两个命题.如果对，与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.12.（本小题满分16分）已知函数.（1）若,使，求实数的取值范围；（2）设，且在上单调递增，求实数的取值范围．§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）答题纸得分：_______ 一、选择题题号1 2 3答案二、填空题4.________5._________6._________7._________8._________9._________三、解答题10.解：11.解：12.解：§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）参考答案一、选择题1.B解析：一般地，要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个验证成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需要举出一个反例即可．要判定一个特称命题为真，只要在限定集合中，能找到一个，使成立即可，否则这一命题就为假．据此易知B是正确的．2.D解析：A选项：sin x+cos x=sin(x+π)＜，故A为假命题；B选项：当x=π时，有sinππ，故B为假命题；由指数函数的性质知，x∈(－∞,0),＞，故C为假命题；D选项：设f(x)=，x+1，由两个函数的图像可知在(0,+∞)内，＞x+1，故D为真命题.3.D解析：A错误，逆命题为“若x=1，则－3x+2=0”；B错误，否命题为“若－3x+2≠0，则x≠1”；C 错误，否定为“x∈R,＞0”.二、填空题4.－解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使－”是真命题，所以－－，解得－.5.存在，－－解析：全称命题的否定为特称命题，所以命题“对任何，”的否定是“存在，－－”.6.，解析：由图像可得命题是假命题当时,所以命题是真命题由图像可得命题是假命题对，所以命题是真命题7.③解析：当时，，所以①是真命题；当时，，所以②是真命题；当时，，所以③是假命题；④显然是真命题.8.①②③④解析：①②显然正确；③中，若α=π,β=0，则sin(α+β) =1,sin α+sin β=1+0=1，等式成立，所以③正确；④中，当x=4,y=1时，3x－2y=10成立，所以④正确.9.解析：原不等式可化为，要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题，.所以，即，等价于，，，或，，解得.三、解答题10.解：(1)的否定是“x∈R，＋x＋1≤0”，假命题.(2)的否定是“x∈Q，＋x＋1不是有理数”，假命题.(3)的否定是“α，β∈R，使cos(α＋β)≠cos α＋cos β”，真命题.11.解：因为－，所以当是真命题时，－.当是真命题，即对，恒成立时,有，解得－.所以当是真命题时，－.又对，与有且仅有一个是真命题，所以与一真一假当为真，为假时，.当为假，为真时，.综上，实数的取值范围是或.12.解：（1）由，使，得，，所以－，解得或.（2）由题设得，对称轴方程为，方程的根的判别式.由于在上单调递增，则有，解得.①当，即时，有，②当，即或时，设方程的根为，，(ⅰ)若，即，则有，解得；，(ⅱ)若，即，则有，解得.，由(ⅰ) (ⅱ)得或.综合①②有或.。
2021年高中数学 6.1费马大定理同步精练 北师大版选修3-1
织．( )A．古希腊B．古埃及C．古巴比伦D．古印度2．丢番图的一本著作以解不定方程著称，这本著作是( )A．《原本》B．《算术》C．《海岛算经》D．《代数学》3．世界著名的业余数学家，且被誉为“业余数学家之王”的是( )A．狄利克雷B．欧拉C．费马D．勒让德4．证明费马大定理在“n＝3”时成立的数学家是( )A．费马B．欧拉C．狄利克雷D．拉梅5．指出费马大定理是“一只会下金蛋的鹅”的数学家是________．6．1983年，德国数学家________证明了莫代尔猜想．7．1955年左右，日本数学家______和______提出了谷山—志村猜想.1986年美国数学家里贝特证明了弗雷命题，并指出，只要证明谷山—志村猜想，就能证明费马大定理．8．1996年3月，维尔斯因证明了费马大定理荣获______奖．9．简述维尔斯证明费马大定理的艰辛历程，并谈谈我们从中受到的启示．10．上网查找有关丢番图的资料．参考答案1．答案：A2．答案：B3．答案：C4．答案：B5．答案：希尔伯特6．答案：法尔廷斯7．答案：谷山丰志村五郎8．答案：沃尔夫9．答：1993年6月23日，在英国剑桥牛顿研究所的演讲厅里，在普林斯顿大学任教的英国数学家维尔斯宣布了一个震惊的消息，费马大定理被证明了．但是事情出现了反复，经过专家审查发现，维尔斯的证明中存在着一些漏洞，维尔斯很快承认了他的证明存在着问题．1994年9月，维尔斯经过一年多的努力，漏洞终于被补上，并通过了权威的审查．1995年5月，世界权威学术期刊《数学年刊》发表了维尔斯修正后的证明．1996年3月，维尔斯因此荣获沃尔夫奖．维尔斯证明费马大定理的艰辛历程正如我国数学家华罗庚所说的，科学的灵感，决不是坐等可以等来的．如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人，而不会给懒汉．所以我们在学习数学时，要打好数学基础，要善于独立思考，要有锲而不舍的精神．10．答：丢番图(Diophantus)是希腊代数学家．活动于250年前后，对他的生平事迹人们知道得很少．他的最重要的著作是《算术》，《算术》原有13卷，长期以来，大家都以为只有1464年J.雷格蒙塔努斯在威尼斯发现的前 6卷希腊文手抄本保存下来．但后来又在马什哈德(伊朗东北部)发现4卷阿拉伯文译本．《算术》是讲数的理论的，但大部分内容可以划入代数的范围．它的特点是完全脱离了几何的形式，与欧几里得时代的经典大异其趣．另一个特点是引入了许多缩写符号，如未知量、未知量的各次幂等都用特殊符号来表示．这在代数发展史上是一个巨大的进步．许多问题导致一、二次方程或三次方程，还有大量的不定方程．虽然丢番图已知符号的运算法则，然而解方程却排除负根．在解不定方程时运用了许多巧妙的手法，千年以后，还无出其右者．不过各个题都用特殊的方法去解，很少给出一般的法则，这是丢番图最大的缺点．关于数论的论题，直到17世纪才受到重视和推广，从而建立起近代的数论．为了纪念丢番图的功劳，对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程．而丢番图逼近、丢番图分析是指只考虑变数取整数值的某些问题或方法．&29091 71A3 熣38829 97AD 鞭"21138 5292 劒20161 4EC1 仁30961 78F1 磱MGf28644 6FE4 濤34811 87FB 蟻31854 7C6E 籮38552 9698 隘20776 5128 儨。
北师大版高中数学选修3-1从变量数学到现代数学练习.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作从变量数学到现代数学练习1．作为变量数学的第一个标志性发明的是( )A．微积分B．解析几何C．函数D．高等几何2．笛卡儿的著作________是变量数学发展里程碑的标志．( )A．《方法论》B．《几何学》C．《笛卡儿坐标系》D．以上都不对3．被称为“计算机之父”的是( )A．笛卡儿B．柯西C．图灵和冯·诺依曼D．华罗庚4．微积分的起源主要来自两方面的问题：一方面来自力学中的一些问题，如已知路程对时间的关系，求________；已知速度对时间的关系，求________．另一方面来自几何学中的一些古老的问题，如如何作曲线的切线，如何确定面积和体积等问题．5．17世纪后半叶形成了极限的概念，极限不仅是________的基础，而且是进一步发展的整个分析的基础．6．从________世纪开始，近代数学开始逐渐走上历史舞台，引进________是近代数学与初等数学的本质区别．7．收集非欧几何学的资料，领略非欧几何的新奇．8．举例说明数学在生活上的应用．9．法国青年数学家伽罗瓦为现代代数理论的形成作出了重大贡献，他被称为才华横溢的传奇少年，收集相关资料了解一下．10．20世纪初，著名数学家希尔伯特对数学的发展有何影响？参考答案1．答案：B2．答案：B3．答案：C4．答案：速度路程5．答案：微积分6．答案：17 变量7．答：假定地球是一个理想球体，一个穿过这个球心的平面与球表面相交成一个大圆，这个大圆对应于平面上的直线．在欧氏几何中，平面上两条不平行的直线恰好交于一点；但在球面上，任何两条直线总是交于两点．另外，在一个平面上，任何两条直线都不能封闭一块区域；在球面上，任何两条直线总能封闭一块区域．假如我们要以最短的路程从球表面的A点走到B点，那么过A点、B点及球心的平面(有且仅有一个这样平面)割球面成一个大圆，沿着这个大圆的劣弧(一弦把圆分为两部分，每一部分都叫做弧．如果这条弦不是圆的直径，分成的两弧就会一大一小，其中较长的叫做优弧，较短的叫做劣弧)．从A点走到B点就是最短的路线．如果A点和B点恰好位于一条直径的两端，我们则可以沿着两条弧中的任意一条去走．在欧几里得几何中，两点之间的直线段最短．因此，球面上两点的“直线段”就是经过这两点的大圆的一段劣弧．相应地，连接这两点的最长路程就是同一大圆所剩下的优弧．如果两个点恰好位于球的一条直径的两端，此时最短路线和最长路线相等．在航空、航海上，不能把海洋看成是一个欧几里得平面，而应看成是球面的一部分．可见欧氏几何并非人类实际所需要的唯一几何学．8．答：如在工业上应用统计进行质量管理，并由此产生了抽样检验、管理图等方法；电子计算机的广泛使用，使得过去停留在理论上的方法得以付诸实施，而这又反过来促进人们提出和解决一些理论上的问题．数理统计学在应用和理论两方面获得了深入发展．9．答：伽罗瓦最主要的贡献是提出了“群”(group)的概念，用群论彻底解决了代数方程可解性的问题．为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程公式解的理论称为伽罗瓦理论，它已成为近世代数的最有生命力的理论．伽罗瓦提出的“群”是近代数学中最重要的概念之一，它不仅对数学的许多分支有深远的影响，而且在近代物理、化学中也有许多重要应用．群的概念经过进一步严格化，发展成为一般的抽象定义：设G是一个集合，集合内的元素之间定义一个二元运算*.如果G满足如下的四条性质：ⅰ(封闭性)集合中任意两个元素的积仍属于该集合；ⅱ(结合性)运算满足结合律，即(a*b)*c＝a*(b*c)；ⅲ(存在单位元)集合中存在单位元e，对集合中任意元素a满足e*a＝a*e＝a；ⅳ(存在逆元)对集合中任一元素a，存在唯一元素a－1，使得a－1*a＝a*a－1＝e，则G连同它的运算*称为一个群，记作(G，*)．按照群的定义可以判断，整数集连同数的加法构成一个群，其中单位元是零，每个整数a都有逆元－a；去掉零的实数集连同数的乘法也是一个群，其中单位元是1，每个实数a都有逆元1a.在伽罗瓦提出群论，解决了代数方程求解问题之后，人们赫然发现，使用伽罗瓦群这个强有力的工具，萦绕人们心头的、两千多年悬而未决的古希腊三大几何问题竟然也可以迎刃而解．10．答：他提出了23个重要的数学问题，随着这些问题的解决，推动了许多数学分支的深入发展，促进了一些新的数学分支的形成，揭示了不同数学分支之间的内在联系．。
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初识无限练习
1．建立“无穷集合论”的数学家是( )
A ．费马
B ．欧拉
C ．高斯
D ．康托
2．1615年，为了研究旋转体的体积，________引入了无穷大和无穷小的概念．( )
A ．开普勒
B ．莱布尼茨
C ．牛顿
D ．费马
3．下列说法正确的是( )
A ．全体有理数比全体自然数多
B ．有理数集与自然数集之间存在一一对应关系
C ．有理数集与自然数集的基数不同
D ．有理数集与自然数集是相等的集合
4．将正整数集Z ＋中去掉一个元素“1”后剩余的元素组成的集合记为A ，则下列叙述正确的是( )
A ．Z ＋比A 多一个元素
B ．Z ＋＝A
C ．Z ＋与A 的元素个数一样多
D ．Z ＋的基数大于A 的基数
5．下列叙述正确的是( )
A ．所有可数集的基数都相同
B ．所有的无限集都是对等的
C ．所有的无限集都可以与正整数集之间建立一一对应关系
D ．如果存在一个对应法则，使得A 中的任一个元素a ，按照对应法则，必有B 中唯一的元素b 与之对应，则称建立了A 与B 之间的一个一一对应
6．在证明全体有理数是可数的时，我们把有理数排列成一个数阵，从中间的0开始数起，画一个________形的螺旋线，按照这一路线，每个有理数都会被数到，它将对应一个唯一的正整数，这样我们就证明了全体有理数是可数的．
7．1886年，法国数学家________说了一句很有名的话：“上帝创造了正整数，其他一切都是人类的创造．”
8．证明：集合(0,5)与(0,12)之间可以建立一一对应关系．
9．设全体正奇数为集合A ，全体正偶数为集合B ，证明：A 与B 对等．
10．证明：正奇数集A 与正整数集Z ＋有相同的基数．
11．设A ＝,22ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭
，R ＝(－∞，＋∞)，建立一个A 与R 之间一一对应关系． 12．设A 为可数集，B 为有限集或可数集，且A ∩B ＝∅，证明：A ∪B 为可数集． 13．上网搜集关于康托的生平材料，并整理出来．
参考答案
1．答案：D
2．答案：A
3．答案：B 解析：因为自然数集和有理数集都是可数集，所以它们之间存在一一对应关系．
4．答案：C 解析：Z＋与A之间存在一一对应关系，故Z＋与A的元素个数一样多．5．答案：A 解析：因为所有的可数集都可与正整数集之间建立一一对应关系，所以它们的基数都相同．
6．答案：矩
7．答案：克罗内克
8．证明：从集合(0,5)中任取一个元素x，按照对应法则f：x→y＝12
5
x，在集合(0,12)
中存在唯一元素y与x对应．反之，在(0,12)中任取一个元素y，按照对应法则f：x→y＝12
5
x,
在集合(0,5)中存在唯一的元素x与y对应．从而建立了集合(0,5)与(0,12)之间的一一对应关系．
9．证明：对于A中的任一个元素x，按照对应法则f：y＝x＋1，则在B中存在唯一的一个元素y＝x＋1与之对应；反之，对于集合B中的任一元素y，按照对应法则f：y＝x＋1，在集合A中存在唯一的一个元素x与之对应．故A与B之间存在一一对应关系，所以集合A 与B对等．
10．证明：对于集合Z＋中的任一个元素x，按照对应法则f：y＝2x－1，在集合A中存在唯一元素y与之对应．反之，对于集合A中的任一元素y，按照对应法则f：y＝2x－1，在Z＋中存在唯一的元素x与之对应．这样A与Z＋建立了一一对应关系，所以A与Z＋有相同的基数．
11．解：在A中，任取一个元素x，按照对应法则f：y＝tan x，在R中存在唯一的元素y与之对应；反之，对于R中的任一元素y，按照对应法则f：y＝tan x，在A中存在唯一的元素x与之对应．这样就建立了集合A与R之间的一一对应关系．
12．证明：由于可数集总可排成无穷序列，不妨设A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…，b n}(当B有限时)或B＝{b1，b2，…，b n，…}(当B可数时)．由于当B有限时(B排到前，A 排在后)，A∪B＝{b1，b2，…，b n，a1，a2，…，a n}；
又当B可数时(交错排列)，A∪B＝{a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…}．
可见A∪B总可以排成无穷序列，与正整数集一一对应，从而是可数集．
13．答：参考材料如下：
康托(Cantor，Georg Ferdinand Philip,1845—1918)，德国数学家，集合论的创始者.1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日卒于哈雷.1862年入瑞士苏黎世大学，翌年转入柏林大学，主修数学，师从E.E.库默尔、K.魏尔斯特拉斯和L.克罗内克.1867年获博士学位，曾任哈雷大学教授．大学期间康托主修数论，受魏尔斯特拉斯的影响，对严格的数学分析理论感兴趣．他在1872年以本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则.1873年他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则．他巧妙地将一条直线上的点与一个平面甚至几维空间的点一一对应起来．在研究无穷数与超限数理论时，他还引进势、基数、序数等概念并定义了基数之间的运算及序的运算法则，对有限数集理论作出了重要贡献．
19世纪70年代许多数学家只承认有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的．他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合．康托集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家，特别是
克罗内克的批评与攻击．另一方面，康托创建集合论的工作开始时就得到戴德金、魏尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬.20世纪以后集合论不断发展，已成为数学的基础理论．。