【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷(一)理数试题
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+$，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） （参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长¼AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．31210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积1312S c =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22) 12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-交于,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若61()n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正方向的夹角为60o，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,2)P 到椭圆C 的右焦点的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y-+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈Q ， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表： 非重度污染重度污染合计供暖季 22 8 30 非供暖季 63770合计85 15 100…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄W Q 平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴W 平面11ABB A ， 同理可得GE W 平面11ABB A ，…………2分 又GF GE G =I ，所以平面GEF W 平面11ABB A ， EF ⊂Q 平面GEF ，EF ∴W 平面11ABB A .…………4分 （2）连接1AC ，在11AAC V 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C I 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂Q 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ，则11110,0m A C m A B •=•=u r u u u u r u r u u u u r ，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =r为平面1CB D 的一个法向量，所以222110113222cos ,112113m n m n m n ⨯+⨯+⨯<>===⨯⨯++u r ru r r W u r r ，平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值22211.20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c =∴=，…………1分 ()2,2Q 在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分 由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l 的方程为：2y kx =+，则直线2l 的方程为：()()112212,,,,y x A x y B x y k =-+，由221842x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()22124240k x kx ++-=，所以121222424,1212k x x x x k k --+==++，…………7分 则()()2221224141121k k AB k x x k ++=+-=+，………………8分又圆心()2,2Q 到2l 的距离12221d k =<+得21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d ，即222222211k k d kk-+==++，………………10分所以MAB ∆面积()()2222222414411422121k k k k s AB d k k ++===++，…………11分 令()2213,t k =+∈+∞，则222112311131450,,44,4322283t t S t t t ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫∈==--∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，MAB ∆面积的取值范围为45,43⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦Q ()()2212322x ax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭. 当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=， 即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥， 当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入23y t =+， 得直线的普通方程3320x y --+=.由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩Q 的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.2222324cos 23sin cos 2sin 2cos 233x xy y πθθθθθ⎛⎫∴-+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，上式取最小值1. 即当31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，2232x xy y -+的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x Q 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数， ()g x ∴的最大值为()22223g a a ab a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。
河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷理数试题
2017 年高考衡水猜题卷理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.设全集Q x 2x25x 0, x N ，且P Q ，则知足条件的会合P的个数是（）A．3B．4C．7D．82.已知i是虚数单位，复数5i的虚部为（）12iA．1B．1C．i D．i3.某样本中共有5个个体，此中四个值分别为0,1,2,3 ，第五个值丢掉，但该样本的数为 1，则样本方差为（）A．2B．6C．2D．30 554.双曲线C : x 2y2 1(a 0,b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则C的a 2b2焦距等于（）A．4B．22 C.2D．4 2x 0,5.若不等式组y 2x,表示的平面地区是一个直角三角形，则该直角三角形的kx y 10面积是（）A．1B．1C.1D．1或1 542546.已知sin2cos 10，则 tan2（）2A．4B．3C.3D．4 34437.《九章算术》是我国古代的数学名著，表现了古代办感人民的数学智慧，此中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师依据这一问题的思想设计了以下图的程序框图，若输出 m 的值为35，则输入 a 的值为（）A．4B．5 C.7D．118.如图，过抛物线y2 2 px p0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点A, B，交其准线于点 C，若 BC2BF ，且 AF 3 ，则此抛物线方程为（）A．y29x B．y26x C. y23x D．y23x9.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是（）A．B． C.D．10.在ABC 中， AB AC 2, BCgcos A 1 ，则 cosA 的值所在区间为（）A．0.4, 0.3B．0.2, 0.1 C.0.3, 0.2D．0.4,0.51, x 0,11.已知符号函数 sgn x 0, x 0, 那么 y sgn x 3 3x 2 x 1 的大概图象是（ ）1, x 0,A ．B ．C.D ．12.已知函数 f xe x a x ，关于随意的 x 1, x 2 1,2 ，且2ex 1 x 2 , f x 1f x 2x 1 x 20 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．e 2, e 2B ．e 2 , e 2 C. e 2 , e 2D ． e 2 ,e 24 42233第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 x 12x 22016a 0 a 1 x 2 a 2 x 22L a 2018 x 22018，则a 1 a 2a 3 La 2018的值是．222232201814.已知一个公园的形状以下图，现有 3 种不一样的植物要种在此公园的A, B, C , D , E ，这五个地区内，要求有公共界限的两块相邻地区种不一样的植物，则不一样的种法共有 种．15.已知函数 f xsin x ，若存在 x 1 , x 2 ,L , x m 知足 0 x 1 x 2 Lx m 6 ，且f x 1 f x 2f x 2f x 3 Lf x m 1 f x m 12 m2,m N，则 m 的最小值为．16.已知等腰直角ABC 的斜边 BC 2 ，沿斜边的高线 AD 将ABC 折起，使二面角B ADC 为，则四周体 ABCD 的外接球的表面积为．3三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17. 已知等差数列 a n 的公差为 2 ，前 n 项和为 S n ，且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列 .（I ）求数列 a n 的通项公式；（II ）令 b n 1n 14n，求数列 b n 的前 n 项和 T n .a nan 118. 如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， AE 平面 CDE ，已知AE DE2, F 为线段 DF 的中点 .（ I ）求证： BE P 平面 ACF ；（ I I ）求平面 BCF 与平面 BEF 所成锐二面角的余弦角 .19. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内聚集了 3000余栽花卉苗木， 一年四时如花似锦花香四溢 .花园景观交融法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新奇，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、小孩乐园等景点有条有理，交相响应又自成一体，是世界园艺景观的大展现 .该景区自 2015 年春建成，试运转以来， 每日游人如织，郁金香、向日葵、虞佳人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为认识进园游客的详细情况以及收集游客对园区的建议，特别在 2017年 4 月 1日赏花旺季对进园游客进行取样检查，从当天 12000名游客中抽取 100 人进行统计剖析，结果以下：年纪频数频次男女0,10100.15510,20①②③④20,30250.25121330,40200.2101040,50100.16450,60100.13760,7050.51470,8030.31280,9020.202共计100 1.004555（I）达成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频次散布直方图，并预计2017年 4 月 1日当天招待游客中 30岁以下的游戏的人数.(II)达成表二，并判断可否有 97.5%的掌握以为在观花游客中“年纪达到 50岁以上”与“性别”有关；(表二）50岁以 50 岁以合上下计男生女生合计P K 2k00.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.00110.828k0 6.635 7.8792（参照公式： K 2n ad bc，此中 n a b c d ）a b c d a c b d（III ）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被检查的100位游客中的10人作为好运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10 人中选用2 人接受电视台采访，设这 2 人中年纪在 50 岁以上（含 50岁）的人数为，求的散布列.20. 给定椭圆C :x2y2，称圆心在原点 O ，半径为22的圆是椭圆 C a2b21 a b 0a b的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为 F 2,0 ，其短轴上的一个端点到F的距离为3. (I)求椭圆 C 的方程和其“准圆”的方程；(II)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M , N.(i) 当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1,l2的方程，并证明l1l2；(ii)求证 :线段MN的长为定值 .21. 已知函数f x 1 x2 a ln x a R .2(I ）若函数f x在x 2 处的切线方程为y x b ，求 a 和b的值;(II)议论方程 f x 0 的解的个数，并说明原因.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是2 4 cos 6 sin 12 ，以极点为原点，极轴为 x 轴x2 1 t的正半轴成立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2( t为参数） .y1 3 t2(I)写出直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程，并判断它们的地点关系；(II)将曲线 C 向左平移 2 个单位长度，向上平移 3 个单位长度，获得曲线 D ，设曲线 D 经过伸缩变换x 'x,获得曲线 E ，设曲线 E 上任一点为 M x, y ，求3x1y 的y' 2 y,2取值范围 .23.选修 4-5：不等式选讲设函数 f x x a , a R .(I)当 a 5 时，解不等式 f x 3 ；(II) 当a 1 时，若x R ，使得不等式 f x 1 f 2x 1 2m 成立，务实数m的取值范围 .试卷答案一、选择题1-5: DBAAD 6-10:CACDA11、12： DB二、填空题201816.713. 114.1815.823三、解答题17.解：（I ）由于 S 1 a 1 ，S 22 12a 1 2 ，2a 122S 44 34a 1 12 ，4a 122由题意，得 2a 1 2a 1 4a 1 12 ，2解得因此a 1 1，a n 2n 1, n N .n 14n（II ）由题意，可知 b n1a nan 1n 14n12n1 2n 1n 111.12n12n1当 n 为偶数时，T n111 1 L 13 11 11 11 111 2n ；33 5 2n 2n 2n 2n2n 2n 1当 n 为奇数时，T n(1 1) ( 11) ... (13 1 ) ( 1 1 1 ) 1 1 1 2n 233 52n 2n 1 2n 2n 1 2n 2n 1.2n 2, n 为奇数 ,因此 T n2n 12n, n 为偶数 .2n 12n 11 n 1（或 T n）2n118.解：（1）连结 BD 和 AC 交于点 O ，连结 OF ，由于四边形 ABCD 为正方形，因此O 为 BD 的中点 .由于 F 为 DE 的中点，因此 OF PBE .由于 BE平面 ACF ,OF 平面 AFC ，因此 BE P 平面 ACF .(II) 由于 AE 平面 CDE ,CD 平面 CDE ，因此 AE CD .由于 ABCD 为正方形，因此 CD AD .由于 AEAD A,AD, AE平面 DAE ，因此 CD 平面 DAE .由于 DE平面 DAE ，因此 DE CD .因此以 D 为原点，以 DE 所在直线为 x 轴成立以下图的空间直角坐标系，则 E 2,0,0 , F 1,0,0 , A 2,0,2, D 0,0, 0 .由于因此AE 平面 CDE , DE 平面 CDE ,AE CD .由于 AE DE 2，因此 AD2 2.由于四边形 ABCD 为正方形，因此 CD2 2 ，因此 C 0,2 2,0 .由四边形 ABCD 为正方形，uuuv uuuv uuuv2,2 2,2,得 DB DA DC因此 B 2,3 2,2 .设平面 BEF 的一个法向量为 n 1uuuvuuuv1,0,0 ， x 1 , y 1 , z 1 ，又知 BE0, 2 2,2 ,FEuuuv由n 1 BE 02 2 y 1 2 z 1 0,n 1 uuuvx 1 0,FE 0令 y 1 1 ，得 x 1 0, z 1 2 ，因此 n 10,1, 2.设平面 BCF 的一个法向量为 n 2uuuvuuuv2 2,0) ,x 2 , y 2 , z 1 2 ，又知 BC( 2,0,2), CF (1,n 2 uuuv2x 2 2z 2 0, 由 BCuuuv x 2 2 2y 20,n 2 CF 0令 y 2 1 ，得 x 2 2 2, z 2 2 2 ，因此 n 22 2,1, 2 2 .设平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角为 ，又 cos n , nn 1 n 2 1 4 5 51，12n 1 n 2 317 51则 cos5 51. 51因此平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角的余弦值为 5 51 .5119.解：（ I）达成表（一）：15;0.15;7;8 .达成以下频次散布直方图：由于年纪在 30 岁以下的频次为 0.1 0.15 0.25 0.5，以频次作为概率，预计2017 年 4 月 1日当天招待游客中 30岁以下的人数为12000 0.5 6000.（II ）达成2 2列联表以下：50岁以50 岁以合上下计男54045生女154055生合2080100计100 54040152K 2的观察值 k400 4.040 5.024，2080554599因此没有的掌握以为在观花游客中“年纪达到岁以上”与“性别”有关.(III)由分层抽样应从这 10 人中抽取到 50 岁以上的人的人数为 10 0.2 2 人，50岁以下的人的人数为8 人，故的全部可能的取值为0,1,2 .P0C20C8228 ，C10245P1C21C8116 ，C10245P2C22C801，C102 45故的散布列为01228161P45454520.解：（ I）由于由题易知c2, a3 ，因此 b 1，因此椭圆的方程为x2y 21，3准圆的方程为x2y2 4 .(II)(i) 由于准圆x2y2 4 与y轴的正半轴的交点为P 0,2 ，设过点 P 0,2 且与椭圆相切的直线为y kx 2 ，y kx2,由x2y21,3得 1 3k2 x2 12kx 9 0 .由于直线 y kx 2 与椭圆相切，因此144k2 4 9 1 3k 20 ，解得 k1.因此 l1 , l2的方程分别为 y kx 2 ， y x 2 .由于 k1 k21 ，因此 l1 , l 2.(ii) 当直线l1,l2中有一条斜率不存在时，不如设直线l1的斜率不存在，则 l1的方程为x3 .当 l1的方程为 x 3 ， l1与准圆交于点3,1 ， 3, 1 ，此时 l2的方程为 y1（或 y1）明显直线 l1, l2垂直.同理可证 l1 : x 3 ，直线l1, l2垂直.②当直线 l1, l2斜率均存在时，设点 P x0 , y0，此中x02y02 4 .设经过点 P x0 , y0与椭圆相切的直线为y t x x0y0 ,y t x x0y0 ,2由xy21,得 1 3t 2 x26t y0 tx0 x 3 y0tx023 0 .由0 ，化简整理，得3x02t22x0 y0t 1 y020 .由于 x02y02 4 ，因此有 3 x02t 22x0 y0t1y020 .设直线 l1 ,l 2的斜率分别为 t1, t2，由于 l1 , l2与椭圆相切，因此 t1, t2知足方程3 x02t22x0 y0t x02 3 0 .因此 t1, t21，即 l1l 2.综合①②知，由于l ,l经过P x, y，又分别交准圆于点M , N ，且 l1 ,l 2互相垂直，因此线段 MN 为准圆x2y2 4 的直径，因此 MN 4，因此经段 MN 的长为定值.21.解：（I ）由于f ' x x a x 0 ，x又 f x 在 x 2 处的切线方程为y x b ，因此解得f 2 2 a ln 2 2 b, f ' 2 2a1，2a 2,b2ln 2 .（II ）当a 0时，f x 在定义域 0,内恒大于 0 ，此时方程无解.当 a0时， f ' x x a0 在区间0,内恒成立，x因此 f x 的定义域内为增函数.11由于 f 11 0, f e a1 e a 1 0 ，22因此方程有独一解 .当 a0 时，f ' x x2 a .x当 x0, a 时，f 'x0 ，f x 在区间0, a 内为减函数，当 x a ,时， f ' x0 ，f x 在区间x a,内为增函数，因此当 x a 时，获得最小值f a 1 a 1 ln a .2当 a 0,e 时，f a1 a 1 ln a0 ，无方程解；2当 a e 时， f a 1a 1ln a 0 ，方程有独一解. 2当 a e,时，f a 1a 1 ln a 0 ，12 0，且 a 1 ，由于 f 12因此方程 f x0 在区间0, a内有独一解，当 x 1 时，设 g x x ln x, g ' x11，x因此 g x 在区间 1,内为增函数，又 g 11，因此 x ln x0 ，即 ln x 0 ，故 f x 1 x2aln x 1 x2ax .22由于 2a a1，因此 f2a122a20 .2a2因此方程 f x0 在区间a,内有独一解，因此方程 f x0 在区间0,内有两解，综上所述，当 a 0,e 时，方程无解，当 a 0 ，或a e时，方程有独一解，当a e 时，方程有两个解.22.解：（I ）直线l的一般方程为3x y2310，曲线 C 的直角坐标方程为2y32x 2 1 .233231由于21，31因此直线 l 和曲线 C 相切.（II ）曲线D为x2y 21.曲线 D 经过伸缩变换x ' x,y ' 2 y,获得曲线 E 的方程为 x 2y 2 1，4则点 M 的参数方程为xcos ,（ 为参数），y 2sin因此因此3x1 2sin，y3 cos sin233x1y 的取值范围为2,2.223.解：（I ）当 a 5 时，原不等式等价于 x 5 3 ，即 3x 5 32 x 8 ，因此解集为 x 2 x 8 .（II ）当 a 1时， f x x 1 .令 g xf x1 f2x3x 3, x 1 ,12 x 22x 1xx 2,1,23x 3, x 2,由图象，易知 x 1时， g x 获得最小值 3.由题意，知321 ， 21 2mm24因此实数 m 的取值范围为, 1 .4。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题
其中真命题的个数是（
）
A． 4 B ． 3 C.2 D
．1
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A． 10
B
．20 C.40
D
． 60
9. 已知
A 、B 是椭圆
x2 a2
y2 b 2 1 a b 0 长轴的两个端点， M 、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点， 直线 AM 、
BN 的斜率分别为 k1 ，k2 k1k 2 0 ，若椭圆的离心率为
D ． 18 3
ln 1 x ，x 0
11. 已知函数 f x
3
，若 f x ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（
）
x 1 1 ，x 0
A． 0 ， 2 3
B
． 0 ，3
4
C.
0 ，1
D
． 0，3
2
12. 已知过抛物线 G : y2 2 px p 0 焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M 、 N 两点（ M 在 x 轴上方），满足
x2 是椭圆 C :
y2 1 上的一点，从原点 O 向圆
24 12
2
2
R: x x0
y y0 8 作两条切线，分别交椭圆于 P ， Q .
（ 1）若 R 点在第一象限，且直线 OP ， OQ 互相垂直，求圆 R 的方程；
（ 2）若直线 OP ， OQ 的斜率存在，并记为 k1 ，k2 ，求 k1 ，k2 的值；
OR
2r 4 ，即 x02 y02 16 ①
2
2
又点 R 在椭圆 C 上，所以 x0 y0 1 ②
24 12
联立①②，解得
x0
22 ，所以，所求圆
2020届河北省衡水中学2017级高三高考考前押题密卷(一)数学(理)试卷及解析
2020届河北省衡水中学2017级高三高考考前押题密卷（一）数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)数学(理)注意事项：1,本试卷分第1卷(选择题)和第1卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟. 2,答题前,考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本卡相应的位置.3,全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4,考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第1卷(选择题共60分)一､选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|320}A x x x =-+≤,{}2|lo 1g B x x =<,则A B =（ ）A. {}|12x x ≤<B. {}2|1x x <≤C. {}2|0x x <≤D. {}2|0x x ≤≤【答案】C【解析】分别求出集合,A B ,然后取并集即可.【详解】由题意,2{|320}A x x x =-+≤{|12}x x =≤≤,{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<, 所以A B ={}2|0x x <≤.故选：C.2.已知1z 、2z 均为复数,下列四个命题中,为真命题的是（ ）A. 11||||z z ==B. 若2||2z =,则2z 的取值集合为{2,2,2,2}i i --（i 是虚数单位）C. 若22120z z +=,则10z =或20z =D. 1212z z z z +一定是实数【答案】D【解析】对A ,取1z i =,即可判断出正误；对B ,由2||2z =,则22(cos sin )z i θθ=+,[0θ∈,2)π；对C ,取1z i =,2z i =-,即可否定；对D ,设1z a bi =+,2z c di =+,a ,b ,c ,d R ∈,利用复数的运算法则即可判断出正误．【详解】对A ,例如取1z i =,无意义,故A 错误；对B ,2||2z =,取22(cos sin )z i θθ=+,[0θ∈,2)π,故B 错误； 对C ,例如取1z i =,2z i =-,满足条件,故C 错误； 对D ,设1z a bi =+,2z c di =+,a ,b ,c ,d R ∈,则1212()()z z z z a bi c di +=+- ()()()()2a bi c di ac bd bc ad i ac bd ad bc i ac +-+=++-+-+-=,所以1212z z z z +是实数,故D 正确．故选：D ．3.已知正实数,a b 满足21()log 2a a =,21()log 3b b =,则（ ） A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a <<D. 1a b <<【答案】B【解析】 在同一坐标系内,分别作出函数211(),()log 23x x y y y x ===的图象,结合图象,即可求解． 【详解】由题意,在同一坐标系内,分别作出函数211(),()log 23x x y y y x ===的图象, 结合图象可得：1b a <<,故选B ．。
2017年河北省衡水中学高考猜题卷(一)数学(理)试卷及解析
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2017年衡水中学高考猜题卷（一）
数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
，
所以满足 的集
合 有 个，故选D.
2. 已知是虚数单位，复数
的虚部为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】因为
，所以复数的虚部为 ，故选B. 3. 某样本中共有个个体，其中四个值分别为
，第五个值丢失，但该样本的平均数为，
则样本方差为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】设丢失的数据为 ，则这组数据的平均数是
，解得 ，根据方差计算公式得
，故选A.
4. 双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）
A. B. C. D.。
2017届河北省衡水中学高三高考押题数学(理)试题(解析版) Word版 含答案
河北省衡水中学2017届高三高考押题理数试题一、选择题1．已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+， 1{|24}4x B x =≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {|12}x x -≤≤ B. {}1,0,1,2- C. {}2,1,0,1,2-- D. {}0,1,2 【答案】B【解析】由题知{}1,0,1,2,3,4A =-， {|22}B x x -≤≤＝，则{}1,0,1,2A B ⋂=-故本题答案选B ．2．已知i 为虚数单位，若复数1i1it z -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ）A. []1,1- B. ()1,1- C. (),1-∞- D. ()1,+∞ 【答案】B 【解析】由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+tz===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t-+>-<且，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A. 42y x x =+ B. 2x y = C. 22x xy -=- D. 12log 1y x =-【答案】D【解析】42y x x =+为非奇非偶函数， A 排除； 2xy =为偶函数，但在(),0-∞内单调递减， B 排除； 22x xy -=-为奇函数， C 排除．故本题答案选D ．4．已知双曲线1C ： 2212x y -=与双曲线2C ： 2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等 【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =，焦点都在圆223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为y x =，由于实轴长度不同故离心率ce a=不同．故本题答案选D ，5．在等比数列{}n a 中，“4a ， 12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由韦达定理知4124123,1a a a a +=-=，则4120,0a a <<，则等比数列中4840a a q =<，则81a ==-．在常数列1n a =或1n a =-中， 412,a a 不是所给方程的两根．则在等比数列{}n a 中，“4a ， 12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的充分不必要条件．故本题答案选A ． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008 【答案】B【解析】由程序框图则0,1;1,2;12,3;123,4S n S n S n S n =====-==-+=，由S 规律知输出123456...20152016201720181009S =-+-+-++-+-=-．故本题答案选B ．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.163π+ B. 112π+ C. 1123π+ D. 143π+ 【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选Ｃ． 8．已知函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A. 5,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭ C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 11,06⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知A =，又()6282T=--=，即2πT=16ω=，所以π8ω=．则()πi n 8f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象过点()6,0，则3πs i n 04ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3ππ4k ϕ+=，所以3ππ4k ϕ=-+，又ϕπ<，则π4ϕ=．故()ππ48g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππππ482x k +=+，得322x k =+，令1k =-，可得其中一个对称中心为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭．故本题答案选C ． 9．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =， BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.0,0)2a ba b +≥>> B. 222(0,0)a b ab a b +≥>>C. 20,0)ab a b a b ≤>>+D. 0,0)2a b a b +≤>> 【答案】D【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a br +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()()2222222442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤Ｄ． 10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A. 720 B. 768 C. 810 D. 816 【答案】B【解析】由题知结果有三种情况． ()1甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况； ()2甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况； ()3甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434432C C A =种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B11．焦点为F 的抛物线C ： 28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A. 2y x =+或2y x =--B. 2y x =+C. 22y x =+或22y x =-+D. 22y x =-+ 【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时， MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-= ，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离MF 转化成到准线的距离MP ，将比值问题转化成切线问题求解．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()()224,23,{12,34,x x x f x g x ax x x x-+≤≤==++<≤，对[]12,0x ∀∈-， []22,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A. 11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B. 11,00,48⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. (]0,8 D. ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时， ()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时， []42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时， ()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时， ()1g x =，不符合题意；当0a <时， ()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a ≤-．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故本题答案选D ．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．二、填空题13．已知()1,a λ=， ()2,1b = ，若向量2a b + 与()8,6c = 共线，则a 在b 方向上的投影为_________．【答案】5【解析】由题知()24,21a b λ+=+，又2a b + 与c 共线，可得()248210λ-+=，得1λ=，则a 在方向上的投影为a b b ⋅==． 14．已知实数x ， y 满足不等式组20,{250,20,x y x y y --≤+-≥-≤且2z x y =-的最大值为a ，则2cos 2xa dx π⎰=__________． 【答案】3π。
河北衡水中学2017年高考数学(理科)押题卷
河北衡水中学2017年高考数学（理科）押题卷必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()()13lg 21|,|132x M x f x N x x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，则集合M N 等于（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（ ） A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于 （ ） A ．1213B ．41C ．1193D ．24194. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（ ） A ．23 B ．22 C. 6 D ．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（ ）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是233，则其底面周长为（ ）A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（ ）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（ ）A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111nn n aa a a a a n aa +++++= 对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++的值为（ ） A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ）A ．32 B ．2 C. 52 D ．15212.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示： 价格x8.5 9 9.5 10 10.5销售量y 12 11976由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，则ˆa= ． 14.将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ．15.已知两平行平面αβ、间的距离为23，点A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足23,3OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知ABC ∆关于AC 边的对称图形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.（1）求BC 边的长； （2）求cos ACB ∠的值.18.如图，已知圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.（1）求证：平面ABD ⊥平面ODE ； （2）求二面角B AD O --的正弦值．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．20.如图，已知6,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率； （2）若23AB =，求PQ ．21. 已知函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．（参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， ）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． （1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； （2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=． （1）求a b -的取值范围； （2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：（1）因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=．因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-= ， 所以42BE =，又75BC AB CE AE ==，所以723BC =． （2）由（1）知42BE =，所以2224932252cos 222742AB BE AE B AB BE +-+-===⨯⨯ ， 所以2sin 2B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以525sin ,cos 55BAC BAC ∠=∠=， 所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+2522510sin sin cos cos 252510B BAC B BAC =∠-∠=⨯-⨯=-． 18.解：（1）依题易知，圆锥的高为()225255h =-=，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()()22222222222 6.455526.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B = ，所以DE ⊥平面ABD ． 又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．（2）如图，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．则()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===，设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，则()12,41,15u =- ．可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =，所以4182cos ,10582u v u v u v ===， 所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． （2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：X 2 3 4 5P29 1327 2281 281所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）依题知2222611,5,04a b a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E 的离心率22232233a b e a --===； （2）依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,23r AB ==，所以原点到直线AB 的距离为2222232122AB d r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为点P 坐标为6,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ．所以直线AB 的方程为612y k x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，即6102kx y k --+=， 所以261211k d k-==+，解得0k =或26k =．①当0k =时，此时直线PQ 的方程为62x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当26k =时，直线PQ 的方程为161226y x ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234106210x x --=， 设Q 点坐标为()11,x y ，所以16106234x +=，解得17634x =-， 所以211630121726PQ x ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭．21.解：（1）因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <， 所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增． （2）因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e--++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++． 令12x x t e e -=+，则有10t e b t-++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，则121t t = ， 所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x xt e t e e e --=+=+ 的根． 由（1）知12x xt e e -=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如图，依据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -， 当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-，即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=． （2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试理数试题
．．．．A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-12. 设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数地底数）上任意一点处地切线为1l ,总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处地切线2l ,使得12l l ⊥,则实数a 地取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13. 设1m >,变量x ,y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+地最大值为2,则m =_________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点,则m 地取值范围是_________．15. 已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0,则m n +=_________．16. 定义在R 上地函数()f x 满足:()()2f x f x x -+=,当0x <时,()f x x '<,则不等式()()112f x f x x +≥-+地解集为_________．三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对地边,且cos 2cos 3cos a b cA B C==．（1）求角A 地大小；（2）若ABC ∆地面积为3,求a 地值．18.（本小题满分12分）函数21()ln 22f x x ax x =--．（1）当3a =时,求()f x 地单调区间；（2）若()1,a ∀∈-+∞,()1,e x ∃∈,有()0f x b -<,求实数b 地取值范围．19.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,且4sin 7b A a =．（2）将直线l 向右平移h 个单位,所得直线l '与圆C 相切,求h ．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+,a ∈R ,()21g x x =-．（1）若当()5g x ≤时,恒有()6f x ≤,求a 地最大值；（2）若当x ∈R 时,恒有()()3f x g x +≥,求a 地取值范围．试卷解析一、选择题1.A2.C3. B4.C5.C6.B7.D8.A9.D 10.A 11.C 12.D 11．解析:()32133f x x x x =+-,()2230f x x x '=+-=,3x =-,1x =,函数在(),3-∞-,()1,+∞单调递2sin 5B =,3sin 10C =．在ABC ∆中有sin sin a bA B =,则2sin 2105sin 522B b a a a A ===,则21121033sin 3225510ABCa S ab C a a ∆==⨯⨯==．得25a =,所以5a =．18.（Ⅰ）增区间10,3⎛⎫⎪⎝⎭是,减区间1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．试卷解析:（Ⅰ）()2321x x f x x +-'=-（0x >）,10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单增1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单减。
河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷(一)理数试题
2017年高考衡水猜题卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}2250,Q x x x x =-≤∈N ，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2.已知i 是虚数单位，复数512ii-的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i3.某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1,2,3，第五个值丢失，但该样本的数为1，则样本方差为（ ）A ．2B ．65C ．2D ． 3054.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（ ）A ．4B ．22 C.2 D ．425.若不等式组0,2,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）A ．15 B ．14 C.12D ．15或14 6.已知10sin 2cos 2αα-=，则tan 2α=（ ） A ．43 B ．34- C.34 D ．43- 7.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（ ）A ．4B ．5 C.7 D ．118.如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x = C.23y x = D ．23y x =9.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是（ ） A ． B ． C.D ．10.在ABC ∆中，()2,cos 1AB AC BC A π==-=，则cos A 的值所在区间为（ ） A ．()0.4,0.3-- B ．()0.2,0.1-- C.()0.3,0.2-- D ．()0.4,0.511.已知符号函数()1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩那么()32sgn 31y x x x =-++的大致图象是（ ）A ．B ． C.D ．12.已知函数()2x x e af x e=-，对于任意的[]12,1,2x x ∈，且()()()121212,0x x f x f x x x ⎡⎤≠-->⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.22,33e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．22,e e ⎡⎤-⎣⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()()()()()2201622018012201812222x x a a x a x a x ++=+++++++，则32018122320182222a a a a ++++的值是 ．14.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的,,,,A B C D E ，这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有 种．15.已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m *--+-++-=≥∈N ，则m 的最小值为 ．16.已知等腰直角ABC ∆的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ABC ∆折起，使二面角B AD C --为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）令()1141n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知2,AE DE F ==为线段DF 的中点.（I）求证：BE平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角.19. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：年龄频数频率男女[)0,10100.155[)10,20①②③④[)20,30250.251213[)30,40200.21010[)40,50100.16 4[)50,60100.137[)60,7050.514[)70,8030.312[)80,9020.202合计100 1.004555（I ）完成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游戏的人数.(II)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关； (表二） 50岁以上 50岁以下 合计 男生 女生 合计()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（III ）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含50岁）的人数为ξ，求ξ的分布列.20. 给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为()2,0F，其短轴上的一个端点到F 的距离为3.(I)求椭圆C 的方程和其“准圆”的方程；(II)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . (i)当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程，并证明12l l ⊥； (ii)求证:线段MN 的长为定值. 21. 已知函数()()21ln 2f x x a x a =-∈R . (I ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值; (II)讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是24cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 231212(t 为参数）.(I)写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；(II)将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y ，求132x y +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数(),f x x a a =-∈R . (I)当5a =时，解不等式()3f x ≤；(II)当1a =时，若x ∃∈R ，使得不等式()()1212f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBAAD 6-10:CACDA 11、12：DB二、填空题13.201812⎛⎫ ⎪⎝⎭14.18 15.8 16.73π 三、解答题17.解：（I ）因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+， 41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意，得()()211122412a a a +=+， 解得11a =，所以21,n a n n *=-∈N .（II ）由题意，可知()1141n n n n nb a a -+=- ()()()1412121n nn n -=--+()11112121n n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭. 当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 当n 为奇数时，12221211)121121()121321(...)5131()311(++=++=++-+-+--++-+=n n n n n n n T n.所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩奇偶为数,为数.（或()121121n n n T n -++-=+）18.解：（1）连接BD 和AC 交于点O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点. 因为F 为DE 的中点，所以OFBE .因为BE ⊄平面,ACF OF ⊂平面AFC ， 所以BE 平面ACF .(II)因为AE ⊥平面,CDE CD ⊂平面CDE ， 所以AE CD ⊥.因为ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥. 因为,,AE AD A AD AE ⋂=⊂平面DAE ， 所以CD ⊥平面DAE .因为DE ⊂平面DAE ，所以DE CD ⊥.所以以D 为原点，以DE 所在直线为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()() 2,0,01,0,0,2,0,2 0,,0,0,F D E A . 因为AE ⊥平面,CDE DE ⊂平面CDE , 所以AE CD ⊥.因为2AE DE ==，所以22AD =. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以22CD =， 所以()0,22,0C . 由四边形ABCD 为正方形， 得()2,22,2DB DA DC =+=,所以()2,32,2B .设平面BEF 的一个法向量为()1111,,n x y z =，又知()()0,22,2,1,0,0BE FE =--=， 由1111102220,0,0n BE y z x n FE ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 令11y =，得110,2x z ==-， 所以()10,1,2n =-.设平面BCF 的一个法向量为()22212,,n x y z =，又知(202),,,,,(1220)BC CF =---,由222222220,0220,0x z n BC x y n CF --=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩令21y =，得2222,22x z ==-， 所以()222,1,22n =-.设平面BCF 与平面BEF 所成的锐二面角为θ， 又12121214551cos ,51317n n n n n n ⋅+===⨯， 则551cos 51θ=. 所以平面BCF 与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值为55151. 19.解：（I ）完成表（一）：15;0.15;7;8. 完成以下频率分布直方图：因为年龄在30岁以下的频率为0.10.150.250.5++=，以频率作为概率，估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的人数为120000.56000⨯=. （II ）完成22⨯列联表如下： 50岁以上 50岁以下 合计 男生 5 40 45 女生 154055合计20 80 1002K 的观测值()21005404015400 4.040 5.0242080554599k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关. (III)由分层抽样应从这10人中抽取到50岁以上的人的人数为100.22⨯=人，50岁以下的人的人数为8人，故ξ的所有可能的取值为0,1,2.()022821028045C C P C ξ===，()112821016145C C P C ξ===， ()20282101245C C P C ξ===，故ξ的分布列为ξ 0 1 2P2845 1645 14520.解：（I ）因为由题易知2,3c a ==，所以1b =，所以椭圆的方程为2213x y +=， 准圆的方程为224x y +=.(II)(i)因为准圆224x y +=与y 轴的正半轴的交点为()0,2P ，设过点()0,2P 且与椭圆相切的直线为2y kx =+，由222,1,3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()22131290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以()2214449130k k ∆=-⨯+=，解得1k =±. 所以12,l l 的方程分别为2y kx =+，2y x =-+. 因为121k k ⋅=-，所以12,l l .(ii)当直线12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 的斜率不存在，则1l 的方程为3x =±. 当1l 的方程为3x =，1l 与准圆交于点()3,1，()3,1-，此时2l 的方程为1y =（或1y =-） 显然直线12,l l 垂直.同理可证1:3l x =-，直线12,l l 垂直. ②当直线12,l l 斜率均存在时，设点()00,P x y ，其中22004x y +=.设经过点()00,P x y 与椭圆相切的直线为()00,y t x x y =-+由()0022,1,3y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩ 得()()()2220000136330txt y tx x y tx ++-+--=.由0∆=，化简整理，得()22200003210x t x y t y -++-=.因为22004x y +=，所以有()22200003210x t x y t y -++-=.设直线12,l l 的斜率分别为12,t t ， 因为12,l l 与椭圆相切，所以12,t t 满足方程()22200003230x t x y t x -++-=.所以12,1t t =-，即12l l ⊥.综合①②知，因为12,l l 经过()00,P x y ， 又分别交准圆于点,M N ，且12,l l 相互垂直， 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， 所以4MN =，所以经段MN 的长为定值. 21.解：（I ）因为()()'0af x x x x=->， 又()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+， 所以()()22ln 22,'2212af a b f =-=+=-=， 解得2,2ln 2a b ==-.（II ）当0a =时，()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时，()'0af x x x=->在区间()0,+∞内恒成立， 所以()f x 的定义域内为增函数.因为()111110,1022a a f f e e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭， 所以方程有唯一解.当0a >时，()2'x af x x-=.当()0,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()0,a 内为减函数， 当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在区间(),x a ∈+∞内为增函数，所以当x a =时，取得最小值()()11ln 2fa a a =-. 当()0,a e ∈时，()()11ln 02f a a a =->，无方程解；当a e =时，()()11ln 02f a a a =-=，方程有唯一解.当(),a e ∈+∞时，()()11ln 02f a a a =-<，因为()1102f =>，且1a >，所以方程()0f x =在区间()0,a 内有唯一解， 当1x >时，设()()1ln ,'10g x x x g x x=-=->， 所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数， 又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <， 故()2211ln 22f x x a x x ax =->-. 因为21a a >>，所以()()22122202f a a a >-=. 所以方程()0f x =在区间(),a +∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解， 综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解， 当0a <，或a e =时，方程有唯一解， 当a e >时，方程有两个解.22.解：（I ）直线l 的一般方程为32310x y +--=， 曲线C 的直角坐标方程为()()22231x y -+-=.因为()2233231131+--=+，所以直线l 和曲线C 相切. （II ）曲线D 为221x y +=. 曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E 的方程为2214y x +=， 则点M 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以133cos sin 2sin 23x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 所以132x y +的取值范围为[]2,2-. 23.解：（I ）当5a =时，原不等式等价于53x -≤， 即35328x x -≤-≤⇒≤≤， 所以解集为{}28x x ≤≤. （II ）当1a =时，()1f x x =-. 令()()()12g x f x f x =-+133,,212211,2,233,2,x x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩由图象，易知12x =时，()g x 取得最小值32. 由题意，知311224m m ≤-⇒≤-，所以实数m 的取值范围为1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） （参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．31210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积1312S c =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22) 12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-交于,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若61()n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,2)P 到椭圆C 的右焦点的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y-+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表： 非重度污染重度污染合计供暖季 22 8 30非供暖季 63 7 70 合计8515100…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴平面11ABB A ，同理可得GE 平面11ABB A ，…………2分 又GFGE G =，所以平面GEF 平面11ABB A ，EF ⊂平面GEF ，EF ∴平面11ABB A .…………4分（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B ∙=∙=，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量， 所以222110113222cos ,112113m n m n m n⨯+⨯+⨯<>===⨯⨯++， 平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值22211.20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c =∴=，…………1分()2,2在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分 由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l 的方程为：2y kx =+，则直线2l 的方程为：()()112212,,,,y x A x y B x y k=-+，由221842x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()22124240k x kx ++-=，所以121222424,1212k x x x x k k --+==++，…………7分 则()()2221224141121k k AB k x x k ++=+-=+，………………8分又圆心()2,2Q 到2l 的距离12221d k =<+得21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d ，即222222211k k d kk-+==++，………………10分所以MAB ∆面积()()2222222414411422121k k k k s AB d k k ++===++，…………11分 令()2213,t k =+∈+∞，则222112311131450,,44,4322283t t S t t t ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫∈==--∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，MAB ∆面积的取值范围为45,43⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦ ()()2212322xax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=， 即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥， 当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入23y t =+， 得直线的普通方程3320x y --+=.由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.2222324cos 23sin cos 2sin 2cos 233x xy y πθθθθθ⎛⎫∴-+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，上式取最小值1. 即当31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，2232x xy y -+的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数， ()g x ∴的最大值为()22223g a a ab a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三押题卷(I)理数试题
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0,1,2}-- D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞内单调递增的为（ ）A.42y x x =+ B ．||2x y = C.22x x y -=- D ．12log ||1y x =-4.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．1008 7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5(,0)2-B ．1(,0)6 C.1(,0)2- D ．11(,0)6- 9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.2a bab +≥(0,0)a b >> B ．222a b ab +≥(0,0)a b >>C.2abab a b≤+(0,0)a b >> D ．2222a b a b ++≤(0,0)a b >> 10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C.810 D ．81611.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11(,)[,)88-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48-C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 和b 方向上的投影为 ．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，则2cos 2xa dx π⎰= ． 15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，ABC ∆的面积为b c +的值为 ．16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++的展开式中x 的系数恰好是数列{}n a 的前n 项和n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12(21)(21)nn n a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <.18.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心.（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=的公共弦长为4103. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形.若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 已知函数2()2ln 2(0)f x x mx x m =-+>. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2m ≥时，若函数()f x 的导函数'()f x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，2x 12()x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且1x ，2x 恰为函数2()ln h x x cx bx =--的零点，求证：1202()'()ln 23x x h x -≥-+.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为4,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）求函数()f x 的值域M ；（2）若a M ∈，试比较|1||1|a a -++，32a ，722a -的大小.参考答案及解析理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA 6-10:BCCDB 11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.514.3π 15.[2,4]ππ 三、解答题17.解：（1）23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++的展开式中x 的系数为1111123n C C C C ++++=2111223n C C C C ++++=2211122n C n n +=+， 即21122n S n n =+， 所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=； 当1n =时，11a =也适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）证明：12(21)(21)nn n n b +==--1112121n n +---， 所以11111113372121n n n T +=-+-++---11121n +=--， 所以1n T <.18.解：（1）如图，延长OG 交AC 于点M . 因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(2OM =-，31(,2)22OP =-.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30,3120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩令1z =，得(0,4,1)n =-. 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PAAB A =，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，132CH CB ==. 所以3cos H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33(,0)4CH =. 设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅2233|0410|251441739411616-⨯+⨯=+⨯+. 19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400 P P AP A=⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120CP XC===，21373107(600)40C CP XC===，123731021(700)40C CP XC===，373107(1000)24CP XC===，故X的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X=⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则1000200Z Y=-，由已知可得3~(3,)10Y B，故39()31010E Y=⨯=，所以()(1000200)E Z E Y=-=1000200()820E Y-=（元）.因为()()E X E Z<，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得26a=，所以3a=.由椭圆C与圆M：2240(2)9x y-+=的公共弦长为4103，恰为圆M的直径，可得椭圆C经过点210(2,)3±，所以2440199b+=，解得28b=.所以椭圆C的方程为22198x y+=.（2）直线l的解析式为2y kx=+，设1122(,),(,)A x yB x y，AB的中点为00(,)E x y.假设存在点(,0)D m，使得ADB∆为以AB为底边的等腰三角形，则DE AB⊥.由222,1,98y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx++-=，故1223698kx x k +=-+， 所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+. 因为DE AB ⊥，所以1DE k k=-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++. 当0k >时，89k k+≥=所以0m ≤<； 当0k <时，89k k +≤-0m <≤综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D的横坐标的取值范围为2[,0)(0,]1212-. 21. 解：（1）由于2()2ln 2f x x mx x =-+的定义域为(0,)+∞，则22(1)'()x mx f x x-+=.对于方程210x mx -+=，其判别式24m ∆=-.当240m -≤，即02m <≤时，'()0f x ≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞内单调递增.当240m ->，即2m >，方程210xmx -+=恰有两个不相等是实根x =，令'()0f x >，得02m x<<或2m x >，此时()f x 单调递增；令'()0f x <，得22m m x <<，此时()f x 单调递减. 综上所述，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当2m >时，()f x在内单调递减，在，)+∞内单调递增.（2）由（1）知，22(1)'()x mx f x x-+=，所以'()f x 的两根1x ，2x 即为方程210x mx -+=的两根.因为2m ≥，所以240m ∆=->，12x x m +=，121x x =. 又因为1x ，2x 为2()ln h x x cx bx =--的零点，所以2111ln 0x cx bx --=，2222ln 0x c bx --=，两式相减得11212122ln()()()0x c x x x x b x x x --+--=，得121212ln()x x b c x x x x ==+-.而1'()2h x cx b x=--，所以120()'()x x h x -=12001()(2)x x cx b x ---=121212121212ln2()[()()]x x x x c x x c x x x x x x --+-+++-1211222()ln x x x x x x -=-=+12112212ln 1x x x x x x -⋅-+. 令12(01)x t t x =<<，由2212()x x m +=得22212122x x x x m ++=， 因为121x x =，两边同时除以12x x ，得212t m t++=，因为2m ≥，故152t t +≥，解得102t <≤或2t ≥，所以102t <≤.设1()2ln 1t G t t t -=⋅-+，所以22(1)'()0(1)t G t t t --=<+， 则()y G t =在1(0,]2上是减函数， 所以min12()()ln 223G t G ==-+，即120()'()y x x h x =-的最小值为2ln 23-+. 所以1202()'()ln 23x x h x -≥-+. 22.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=. 将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得20t +=， 解得10t =，2t =-.所以直线l 被圆C截得的弦长为12||t t -=（2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l的距离d=|2cos()4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为2所以1(222ABP S ∆≤⨯=+ 即ABP ∆的面积的最大值为223. 解：（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩根据函数()f x 的单调性可知，当12x =时，min 13()()22f x f ==. 所以函数()f x 的值域3[,)2M =+∞. （2）因为a M ∈，所以32a ≥，所以3012a<≤. 又|1||1|1123a a a a a -++=-++=≥，所以32a≥，知10a->，430a->，所以(1)(43)2a aa-->，所以37222aa>-，所以37|1||1|222a a aa-++>>-.小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
【河北省衡水市】2017年普通高等学校招生全国统一考试理科模拟数学试卷(一)-答案
河北省衡水市2017年普通高等学校招生 全国统一考试理科模拟数学试卷（一）答 案1~5．ABCBD 6~10．ABDCB 11~12．AA13．23-14．3-15．416．17．解：（1）在ABC △中，cos(2016π)sin(2017π)0B b C --+=Q ，cos sin 0B b C +=，cos sin sin 0C B B C +=．（3分）又0πsin 0C C <<∴≠，，sin 0B B +=，即tan B =， 又2π0π3B B <<∴=，． （6分）（2）由点D 在ABC △的外接圆上，得ππ3D B =-=，或2π3B D ==． （7分）11sin 522ACD S CD AD D AD =⋅=⨯=△解得4AD =．在ACD △中，由余弦定理，得2222cos 21AC AD CD AD CD D =+-⋅=或61，AC ∴=（12分）18．解：（1）2AB CD =Q ，O 是线段AB 的中点，OB CD ∴=．又OB CD //Q ，∴四边形OBCD 为平行四边形． 又90BCD ∠=︒，AB OD ∴⊥．又O Q 是等腰直角EAB △斜边上的中点，EO AB ∴⊥．EO DO O =Q I ，AB ∴⊥平面EOD ．AB ⊂Q 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面EOD ．（5分）（2）Q 平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO AB ⊥，EO ∴⊥平面ABCD ，EO OD ∴⊥．OB OD OE ∴,,两两垂直．以O 为坐标原点，以OB OD OE ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．EAB Q △为等腰直角三角形，且1CD BC ==， 1OA OB OD OE ∴====，(000)(100)(100)C(1,1,0)D(010)E(001)O A B ∴-,,,,,,,,,,,,,,,，(100(011)CD DE ∴=-=-u u u r u u u r ,,）,,,．（9分）设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则有0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r0,0,x y z -=⎧∴⎨-+=⎩ 取1z =，得(0,1,1)n =．OD ⊥Q 平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =u u u r．设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,OD n θ===u u u r∴平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角的大小为45︒．（12分）19．解：（1）记所选取的两家商家加入团购网站的数量相等为事件A ，则2225252025020()49C C C P A C ++==， 所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为291(A)49P -=． （3分）（2）由题，知ξ的可能取值分别为0,1,2． 2225252025020(0)49C C C P C ξ++===， 1111525202525025(1)49C C C C P C ξ+===， 115202504(2)49C C P C ξ===． （6分）从而ξ的分布列为()01249494949E ξ=⨯+⨯+⨯=． （8分）（3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A 市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入两个团购网站的概率为251502P ==．所以1(3,)2B η:．（10分）所以事件“2η≥”的概率为2233331111(2)(3)C ()(1)()2222P P C ηη=+==-+=． （12分）20．解：（1）由于点P 为线段MF 的垂直平分线， 故PM PF =，因此4PE PF PE PM ME +=+==>， 故点P 轨迹为椭圆，其中24,a c ==因此P 点的轨迹C 的方程为2214x y +=． （4分）（2）由FD FA FB =+u u u r u u u r u u u r，知四边形AFBD 为平行四边形，故2AFBD AFB S S =Y △，①当AB 为短轴时，11222AFB S AB OF =⋅=⨯△即AFBD S =Y②当AB 为长轴时，易知AFBD 不是四边形，故AB 斜率不为0．③当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为(0)y kx k =≠， 设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去x ，得222(14)40k y k +-=，所以21212240,14k y y y y k -+==+．121222AFBD ABF S S OF y y ==⨯⋅-Y △==．而2144k+>，所以0=．综上所述，四边形AFBD的面积的取值范围为．（12分）21．解：（1）令()ln 0f x x x a =+=，得ln a x x =-． 记()ln h x x x =-， 则'()ln 1h x =--，∴当1(0,)x e ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；∴当1(,)x e∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减．max 11()()()h x h x h e e∴===极大值．（2分）而x 趋向于0时，0,ln 0,()0x x h x -<<>；x 趋向于+∞时，()0h x <∴当1(0,)x e ∈时，()0h x >；当1(,)x e∈+∞时，恰好存在一个实数0x ，使得0()0h x =．（3分）∴当1a e=或0a ≤时，()f x 恰有一个零点； 当1a e>时，()f x 没有零点； 当10a e<<时，()f x 恰有两个零点．（5分）（2）()()f x g x a >+等价于12ln ()x xx x e g x e->-=．由（1），知min 1(ln )x x e =-．（6分）而111212()2(1)'()()x x x x e xe x g x e e ------==．当(0,1)x ∈时，'()0g x >，()g x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减． ()=()(1)2g x g x g e ∴==-最大值极大值．（10分）11(2)20e e e e ---=-->Q ，min max (ln )()x x g x ∴>．()()f x g x a ∴>+得证．（12分）22．解：（1）直线l 的普通方程为y mx =， 圆C 的普通方程为22(1)1x y +-=． 圆心(0,1)C 到直线l 的距离d ，相交弦长为=令1m ≤-或1m ≥． 即实数m 的取值范围为(,1][1,)-∞-+∞U ． （5分）（2）设(cos ,1sin ),(x,y)P Q αα+，则由线段的中点坐标公式，得cos 2,2()1sin 2x y ααα+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩为参数， 消去参数α并整理，得22(22)(21)1x y -+-=， 即线段PA 的中点Q 的轨迹方程为2211(1)().24x y -+-=（10分）23．解：（1）由零点分段法，得4(1),()22(13),4(3),x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩函数()f x 的图像如图所示．（4分）（2）311311211m mm mm m +--++-≤=++，当且仅当(31)(1)0m m +-≤， 且311,1m m m +≥-≠-， 即1m ≥或1m <-时，取等号． 由不等式311()1m mf x m +--≥+对任意实数1m ≠-恒成立，得132x x +--≥．由（1）中图像，可知2x ≥． 所以实数x 的取值范围是{|2}x x ≥． （10分）。
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2017年高考衡水猜题卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}2250,Q x x x x =-≤∈N ，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2.已知i 是虚数单位，复数512ii-的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i3.某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1,2,3，第五个值丢失，但该样本的数为1，则样本方差为（ ） A ．2 B ．65CD ．54.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，则C 的焦距等于（ ）A ．4 B． C.2 D．5.若不等式组0,2,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ） A ．15 B ．14 C.12D ．15或14 6.已知sin 2cos αα-=，则tan 2α=（ ） A ．43 B ．34- C.34 D ．43- 7.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（ ）A ．4B ．5 C.7 D ．118.如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x = C.23y x = D．2y =9.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是（ ） A ． B ． C.D ．10.在ABC ∆中，()2,cos 1AB AC BC A π==-=，则cos A 的值所在区间为（ ） A ．()0.4,0.3-- B ．()0.2,0.1-- C.()0.3,0.2-- D ．()0.4,0.511.已知符号函数()1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩那么()32sgn 31y x x x =-++的大致图象是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知函数()2x x e af x e=-，对于任意的[]12,1,2x x ∈，且()()()121212,0x x f x f x x x ⎡⎤≠-->⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.22,33e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．22,e e ⎡⎤-⎣⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()()()()()2201622018012201812222x x a a x a x a x ++=+++++++，则32018122320182222a a a a ++++的值是 ． 14.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的,,,,A B C D E ，这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有 种．15.已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m *--+-++-=≥∈N ，则m 的最小值为 ．16.已知等腰直角ABC ∆的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ABC ∆折起，使二面角B ADC --为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）令()1141n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知2,AE DE F ==为线段DF 的中点.（I ）求证：BE 平面ACF ；（II ）求平面BCF 与平面BEF 所成锐二面角的余弦角.19. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（I ）完成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游戏的人数.(II)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关； (表二）（参考公式：()()()()()22n ad bc K ab c d a c b d -=++++，其中n a b cd =+++）（III ）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含50岁）的人数为ξ，求ξ的分布列.20. 给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O C的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为)F，其短轴上的一个端点到F .(I)求椭圆C 的方程和其“准圆”的方程；(II)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . (i)当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程，并证明12l l ⊥； (ii)求证:线段MN 的长为定值. 21. 已知函数()()21ln 2f x x a x a =-∈R . (I ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值; (II)讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是24cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 231212(t 为参数）. (I)写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；(II)将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y 12y +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲 设函数(),f x x a a =-∈R . (I)当5a =时，解不等式()3f x ≤；(II)当1a =时，若x ∃∈R ，使得不等式()()1212f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBAAD 6-10:CACDA 11、12：DB二、填空题13.201812⎛⎫⎪⎝⎭14.18 15.8 16.73π 三、解答题17.解：（I ）因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+， 41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意，得()()211122412a a a +=+， 解得11a =，所以21,n a n n *=-∈N .（II ）由题意，可知()1141n n n n nb a a -+=- ()()()1412121n nn n -=--+()11112121n n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭.当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 当n 为奇数时，12221211)121121()121321(...)5131()311(++=++=++-+-+--++-+=n n n n n n n T n .所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩奇偶为数,为数.（或()121121n n n T n -++-=+）18.解：（1）连接BD 和AC 交于点O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点.因为F 为DE 的中点，所以OFBE .因为BE ⊄平面,ACF OF ⊂平面AFC ， 所以BE 平面ACF .(II)因为AE ⊥平面,CDE CD ⊂平面CDE ， 所以AE CD ⊥.因为ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥. 因为,,AE AD A AD AE ⋂=⊂平面DAE ，所以CD ⊥平面DAE .因为DE ⊂平面DAE ，所以DE CD ⊥.所以以D 为原点，以DE 所在直线为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()() 2,0,01,0,0,2,0,2 0,,0,0,F D E A . 因为AE ⊥平面,CDE DE ⊂平面CDE , 所以AE CD ⊥.因为2AE DE ==，所以AD =因为四边形ABCD 为正方形，所以CD =，所以()C . 由四边形ABCD 为正方形，得()DB DA DC =+=, 所以()2,32,2B .设平面BEF 的一个法向量为()1111,,n x y z =，又知()()0,22,2,1,0,0BE FE =--=，由11111020,0,0n BE z x n FE ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩令11y =，得110,xz == 所以(10,1,n =.设平面BCF 的一个法向量为()22212,,n x y z =，又知(202),,,,(1220)BC CF =---,由222222220,00,0x z n BC x n CF --=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩令21y=，得22x z==-所以(2n=-.设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，又121212cos,51n nn nn n⋅===，则cos51θ=所以平面BCF与平面BEF19.解：（I）完成表（一）：15;0.15;7;8.完成以下频率分布直方图：因为年龄在30岁以下的频率为0.10.150.250.5++=，以频率作为概率，估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的人数为120000.56000⨯=.（II）完成22⨯列联表如下：2K的观测值()210054040154004.0405.0242080554599k⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关. (III)由分层抽样应从这10人中抽取到50岁以上的人的人数为100.22⨯=人，50岁以下的人的人数为8人，故ξ的所有可能的取值为0,1,2.()022821028045C C P C ξ===，()112821016145C C P C ξ===， ()20282101245C C P C ξ===，故ξ的分布列为20.解：（I ）因为由题易知c a ==所以1b =，所以椭圆的方程为2213x y +=， 准圆的方程为224x y +=.(II)(i)因为准圆224x y +=与y 轴的正半轴的交点为()0,2P ，设过点()0,2P 且与椭圆相切的直线为2y kx =+，由222,1,3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()22131290kxkx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以()2214449130k k ∆=-⨯+=，解得1k =±. 所以12,l l 的方程分别为2y kx =+，2y x =-+. 因为121k k ⋅=-，所以12,l l .(ii)当直线12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 的斜率不存在，则1l的方程为x =当1l的方程为x =1l与准圆交于点)，)1-，此时2l 的方程为1y =（或1y =-） 显然直线12,l l 垂直.同理可证1:l x =，直线12,l l 垂直. ②当直线12,l l 斜率均存在时，设点()00,P x y ，其中22004x y +=.设经过点()00,P x y 与椭圆相切的直线为()00,y t x x y =-+由()0022,1,3y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩ 得()()()2220000136330txt y tx x y tx ++-+--=.由0∆=，化简整理，得()22200003210x t x y t y -++-=. 因为22004x y +=，所以有()22200003210x t x y t y -++-=. 设直线12,l l 的斜率分别为12,t t ， 因为12,l l 与椭圆相切，所以12,t t 满足方程()22200003230x t x y t x -++-=.所以12,1t t =-，即12l l ⊥.综合①②知，因为12,l l 经过()00,P x y ， 又分别交准圆于点,M N ，且12,l l 相互垂直， 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， 所以4MN =，所以经段MN 的长为定值. 21.解：（I ）因为()()'0af x x x x=->， 又()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+， 所以()()22ln 22,'2212af a b f =-=+=-=， 解得2,2ln 2a b ==-.（II ）当0a =时，()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时，()'0af x x x=->在区间()0,+∞内恒成立， 所以()f x 的定义域内为增函数.因为()111110,1022a a f f e e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以方程有唯一解.当0a >时，()2'x af x x-=.当(x ∈时，()'0f x <， ()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =取得最小值()11ln 2f a a =-. 当()0,a e ∈时，()11ln 02f a a =->，无方程解；当a e =时，()11ln 02f a a =-=，方程有唯一解.当(),a e ∈+∞时，()11ln 02f a a =-<，因为()1102f =>1>， 所以方程()0f x =在区间(内有唯一解， 当1x >时，设()()1ln ,'10g x x x g x x=-=->， 所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数， 又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <， 故()2211ln 22f x x a x x ax =->-.因为21a >>，所以()()22122202f a a a >-=. 所以方程()0f x =在区间)+∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解， 综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解， 当0a <，或a e =时，方程有唯一解， 当a e >时，方程有两个解.22.解：（I ）直线l10y +-=， 曲线C 的直角坐标方程为()()22231x y -+-=.1=，所以直线l 和曲线C 相切. （II ）曲线D 为221x y +=. 曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E 的方程为2214y x +=， 则点M 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），1sin 2sin 23y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，12y +的取值范围为[]2,2-. 23.解：（I ）当5a =时，原不等式等价于53x -≤， 即35328x x -≤-≤⇒≤≤， 所以解集为{}28x x ≤≤. （II ）当1a =时，()1f x x =-. 令()()()12g x f x f x =-+133,,212211,2,233,2,x x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩由图象，易知12x =时，()g x 取得最小值32. 由题意，知311224m m ≤-⇒≤-，所以实数m 的取值范围为1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.。