2012届高三数学二轮专题训练解答题(77)
高三数学第二轮复习专题3不等式
高三数学第二轮复习专题3不等式专题3 不等式江苏省震泽中学 王利平一、填空题例1 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，2a ，其中a ∈R.定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B 中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________． 解析 A ×B ＝{a 2,2a ，a 2＋1,2a ＋1}．由题意，得2a ＋1＞a 2＋1，解得0＜a ＜2. 答案 (0,2)例2 ．设123log2,ln 2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系解析 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log3log 1e >>,所以a<b, c=125-=5,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.答案c a b <<例3 ．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：解 由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)， 即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________．解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0可化为k1x＋a ＋1x ＋b 1x ＋c＜0，所以有1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1， 即x ∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案 (－3，－1)∪(1,2) 例4 ．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于解析 由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=。
湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。
高三数学：厦门市2024届高三下学期第二次质量检测试题和答案
厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14A x x =-≤，40x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =R ð（）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[](]3,04,5- D ．[)(]3,04,5- 2．已知正项等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()()22334441,41S a S a =+=+，则d =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知,αβ为关于x 的方程2450x x -+=的两个虚根，则αβαβ+=+（）A ．52B ．52-C D ．4．已知样本()2,1,3,,4,5x x ∈R 的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x 的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．35．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线3410x y ++=上．若向量()3,4a = ，则OP 在a 上的投影向量为（）A ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．34,55⎝⎭C ．34,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．34,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭6．设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，且满足112PF F F =，直线2PF 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（）A ．53BC ．2D 7．已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα-︒++=︒-︒，则tan α=（）A ．33B ．33-C D ．8．设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5iB x x x x x x A i =∈=，那么集合B 中满足1235413x x x x x ≤++++≤的元素的个数为（）A ．60B ．100C ．120D ．130二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP 数据y （单位：百亿元）建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为ˆ0.4ˆ2yx a =+，其中解释变量x 指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：时间1月2月3月4月5月6月编号x 123456y /百亿元1y 2y 3y 11.1075y 6y （参考数据：621796i i y ==∑，()62170i i y y =-=∑），则（）A ．经验回归直线经过点()3.5,11B ．ˆ10.255a=C ．根据该模型，该地2023年12月的GDP 的预测值为14.57百亿元D ．第4个样本点()44,x y 的残差为0.10310．如图1，扇形ABC 的弧长为12π，半径为AB 上有一动点M ，弧AB 上一点N 是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A 为顶点的圆锥，使得AB 和AC 重合，则在图2的圆锥中（）（第10题图1）（第10题图2）A ．圆锥的体积为216πB ．当M 为AB 中点时，线段MN 在底面的投影长为C ．存在M ，使得MN AB⊥D ．min 3302MN =11．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且()f x 为单调函数，()11f >．x ∀∈R ，()()f g x x a -=（a 为常数），()()()()222g f x g f x x ++=+，则（）A ．()20g =B ．()33f <C ．()f x x -为周期函数D ．()21422n k f k nn=>+∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在C 上，且5AF =，O 为坐标原点，则AOF △的面积为______．13．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______．14．已知函数()()log 0,0,1ab f x x x a b b =->>≠，若()1f x ≥恒成立，则ab 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，1π3ABB ∠=，AC =，M 为11A B 中点，CM =（第15题图）（1）证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ；（2）若2BC =，求平面ABC 与平面1ABC 夹角的余弦值．16．（15分）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，ABC △的面积为S ，三个内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且222sin S C c b=-．（第16题图）（1）证明：ABC △是倍角三角形；（2）若9c =，当S 取最大值时，求tan B ．17．（15分）已知()2,0A ，()2,0B -，P 为平面上的一个动点．设直线,AP BP 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1234k k ⋅=-．记P 的轨迹为曲线Γ．（1）求Γ的轨迹方程；（2）直线PA ，PB 分别交动直线x t =于点C D 、，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．HC HD ⋅ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．18．（17分）若*n ∀∈N ，都存在唯一的实数n c ，使得()n f c n =，则称函数()f x 存在“源数列”{}n c ．已知()(]ln ,0,1f x x x =∈．（1）证明：()f x 存在源数列；（2）（ⅰ）若()0f x≤恒成立，求λ的取值范围；（ⅱ）记()f x 的源数列为{}n c ，证明：{}n c 前n 项和53n S <．19．（17分）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．（1）若小明共投篮4次，在投中2次的条件下，求第二次没有投中的概率；（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中1X 次，第二组投篮2次，投中2X 次，求()12E X X -；（3）记()P i 表示小明投篮()2,3,i i =⋅⋅⋅次，恰有2次投中的概率．在投篮不超过()2n n ≥次的情况下，若小明投中2次，则停止投篮；若投篮n 次后，投中的次数仍不足2次，则不再继续投篮．记Y 表示小明投篮的次数．证明：()()222n i E Y P i +=≥∑．。
高三数学理科二轮复习 4-29坐标系与参数方程(选修4-4)
高考专题训练二十九 坐标系与参数方程(选修4－4)班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1 C 2：x 2＋y 2＝1.最小值为|C 1C 2|－2＝5－2＝3. 答案：32．(2011·湖北)如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′与y 轴重合)所在平面为β，∠xOx ′＝45°.(1)已知平面β内有一点P ′(22，2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′－2)2＋2y ′2－2＝0，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是________．解析：(1)如图P ′(22，2)在α上坐标P (x ，y )x ＝22cos45°＝22×22＝2，y ＝2，∴P (2,2)．(2)β内曲线C ′的方程(x ′－2)22＋y ′2＝1同上解法．中心(1,0)即投影后变成圆(x －1)2＋y 2＝1. 答案：(1)P (2,2) (2)(x －1)2＋y 2＝13．(2011·深圳卷)已知点P 是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为π4P 坐标为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤π)可得x 29＋y 216＝1(0≤y ≤4)，由于直线OP 的方程为y ＝x ，那么由⎩⎨⎧x 29＋y 216＝1y ＝x (0≤y ≤4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝125y ＝125.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫125，1254．(2011·佛山卷)在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为________．解析：设极点为O ，由该圆的极坐标方程为ρ＝4，知该圆的半径为4，又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，所以∠AOB ＝60°，∴极点到直线l 的距离为d ＝4×cos30°＝23，所以该直线的极坐标方程为ρcos θ＝2 3.答案：ρcos θ＝2 35．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．分析：本题考查极坐标方程与普通方程的互化．解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其普通方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1，点(－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4二、解答题(每小题7分，共70分)6．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数； (2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为(0,0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)．化为普通方程分别为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同．7．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t与抛物线y ＝x 2交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：把⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t ，代入y ＝x 2，得t 2＋2t －2＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2.由参数的几何意义，得 |AB |＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10.8．(2011·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标系，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)从而点Q 到直线l 的距离为：d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22， 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)曲线C 的普通方程；(2)设点P (x ，y )是曲线C 上任意一点，求xy 的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ·cos π4＋sin θ·sin π4＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求普通方程．(2)设x －22＝cos θ，y －22＝sin θ，则xy ＝(2＋2cos θ)(2＋2sin θ)＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ.设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴t ∈[－2，2]，t 2＝1＋2cos θsin θ，从而2cos θsin θ＝t 2－1.∴xy ＝3＋22t ＋t 2.当t ＝－2时，xy 取得最小值1；当t ＝2时，xy 取得最大值9.10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θy ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r >0)．(1)求圆心的极坐标；(2)当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3?解：(1)圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22， 设圆心的极坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 所以圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54. (2)直线l 的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， ∴圆上的点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22＋r cos θ－22＋r sin θ－12，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－12.∴圆上的点到直线l 的最大距离为2＋2r ＋12＝3，∴r ＝4－22.11．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 解：(1)直线l 的普通方程为y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ， ① 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. ② ①代入②得：2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. (2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－(3)2＝1，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，则y ＝kx ＋k ＋1，∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34. ∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45ty ＝1＋35t(t 为参数)．12．已知A 、B 是椭圆x 29＋y 24＝1与x 轴、y 轴的正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大．解：设点P 的坐标为(3cos θ，2sin θ)，其中0<θ<π2，∵S四边形AOBP ＝S △APB ＋S △AOB ，其中S △AOB 为定值，故只需S △APB最大即可．因为AB 为定长，故只需点P 到AB 的距离最大即可．AB 的方程为2x ＋3y －6＝0，点P 到AB 的距离为d ＝|6cos θ＋6sin θ－6|13＝613·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，∴θ＝π4时，d 取最大值，从而S △APB 取最大值，这时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，2.13．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，P 是圆与y 轴的交点，若以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆的切线的极坐标方程．解：依题意，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，与y 轴交于(0，±3)，如图所示．设R 是切线上一点，∵PR 为圆C 的切线，∴△CPR 为直角三角形，∴CR ·cos ∠RCP ＝CP ，又∠PCO ＝π3，∴极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－2π3＝2；若取圆与y 轴负轴交点，则极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝2.14．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 1是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x29＋y 2＝1，当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.15．(2011·课标)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.。
2024-2025学年甘肃省兰州一中高三上学期诊断考试数学试题及答案
兰州一中高三年级诊断考试试卷高三数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{2,4}U C M =，则（ ）A ．1M⊆B ．4M⊆C ．5M∈D ．3M∉2．“22(1)4x y -+…”是“221x y +…”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量(1,2),(2,2),(1,)a b c λ==-= ，若(2)c a b ⊥+，则实数λ=（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．若复数z 满足20242025(23i)i 8i z +=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（）图1图2A ．2()x f x B ．2()f x x C ．()xf x D ．2()xf x 6．若0.320.70.7,log ,log 0.3a b a c ===，则（ ）A ．c a b>>B ．b c a>>C ．a b c>>D ．a c b>>7．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，且数列{}n a 为递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,3)-∞-B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．(3,)-+∞8．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 作直线l 与渐近线0bx ay -=垂直，垂足为点P ，延长PF 交E 于点Q ．若3FQ PF =，则E 的离心率为（ ）A ．65B ．54C ．43D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．在下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．246y x x =-+B ．y =C ．15,2,22y x x ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦D ．1y x x=+10．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α∥B ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥C ．若,,m n αβαβ∥∥∥，则m n∥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥∥，则m n∥11．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，其中35AD AB =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为（）A ．95B ．15C ．16D ．32第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．若命题“()22,1(1)10x a x a x ∃∈-+--R …”为假命题，则a 的取值范围为．13．若圆221:430C x y x +-+=与圆222:(2)(3)C x y m +++=有且仅有一条公切线，则m =．14．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22224,12ABC b c a S +-== ．（1）求tan A ；（2）若D 在边BC 上且2,BD DC AC ==AD 的长．16．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()g x f x m =+在R 上有三个零点，求m 的取值范围．17．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，,AD BC AD DC ⊥∥，若2,PA AD DC ===，点M 为PD 的中点，点N 为PC 的四等分点（靠近点P ）．（1）求证：平面AMN ⊥平面PCD ；（2）求点P 到平面AMN 的距离．18．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；（2）求甲获得冠军的概率．19．已知抛物线2:E y x =，过点(1,2)T 的直线与E 交于,A B 两点，设E 在点,A B 处的切线分别为1l 和21,l l 与2l 的交点为P ．（1）若点A 的坐标为(1,1) ，求OAB 的面积（O 为坐标原点）；（2）证明：点P 在定直线上．兰州一中高三年级诊断考试试卷高三数学答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678答案CBDDCADB二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABCBDAB三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦13．3614．13四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．解析：（1）因为22224,12ABC b c a S +-== ，所以2222sin ABC b c a S bc A +-== ．所以2221sin 22b c a A bc +-=，得2cos sin A A =即tan2A =．（2）因为tan 2A =，所以22sin 2cos sin cos 1AA A A⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin A =，因为tan 20A =>，且A 为三角形的内角，所以sin A A ==又因为11sin 1222ABC S bc A ==⨯= ，所以6c =．因为122,33BD DC AD AB AC ∴=+=．所以22221212122||||cos 333333AD AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以280161644939AD =++= ，所以AD =16．解析：（1）令0x <，则0x ->，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以可得22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---+-=+⎣⎦，又(0)0f =，故函数()f x 的解析式为222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩…（2）根据题意作出()f x 的图象如下图所示：(1)1(1)1f f -=-=，，若函数()()g x f x m =+在R 上有三个零点，即方程()0f x m +=有三个不等的实数根，所以函数()f x 与y m =-有三个不同的交点由图可知当11m -<-<，即11m -<<时，函数()f x 与y m =-有三个不同的交点，即函数()g x 有三个零点．故m 的取值范围是(1,1)-．17．解析：（1）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，又AD CD ⊥，因为,,PA AD A PA AD =⊂ 平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AM ⊂平面PAD ，所以AM CD ⊥，因为AP AD =，点M 为PD 中点，所以AM PD ⊥，因为,,CD PD D CD PD =⊂ 平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD ，因为AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PCD（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，则CD PD ⊥，因为,2,PA AD PA AD DC ⊥===，点M 为PD 的中点，所以,,4PD PM PC =====，因为点N 为PC 的四等分点（靠近点P ）．所以1PN =，因为,PD CD CD PD =⊥，所以45CPM ∠=︒所以由余弦定理得MN ==1=，所以222PN MN PM +=，所以PN MN ⊥，因为AM ⊥平面PCD ，所以AM MN ⊥设点P 到平面AMN 的距离为h ，所以三棱锥P AMN -的体积11111113232P AMN A V V PMN -=-⇒⨯⨯⨯=⨯⨯．所以1h =．18．解析：（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，∴乙连负两场的概率为1313428P =⨯=；（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，∴甲获得冠军的概率为：332331812444128P ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19．解析：（1）直线AB 的斜率12111(1)2k -==--．直线AB 的方程为11(1)2y x -=+，即230x y -+=．联立方程2230x y y x-+=⎧⎨=⎩，整理得：2230x x --=．设()()221122,,,A x x B x x ，则121213,22x x x x +==-．设直线AB 与y 轴的交点为D ，则30,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．12211313322224OAB OAD OBD S S S x x x x =+=⨯⨯+⨯⨯=-158==．（2）由2y x =，得2y x '=．1l 的方程为：()21112y x x x x =-+，整理得2112y x x x =-．同理可得2l 的方程为2222y x x x =-．设(),P P P x y ，联立方程21122222y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩，解得12122P P x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩．因为点(1,2)T 在抛物线内部，可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)2y k x =-+，与抛物线方程联立得：220x kx k -+-=，故12x x k +=，122x x k =-．所以,22P P k x y k ==-，可得22P P y x =-，所以点P 在定直线22y x =-上．。
河北省唐山市届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题
河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试数学（文）试题说明：一、本试卷共4页,包括三道大题，24道小题，共150分,其中1．～(21)小题为必做题，（22)～（24)小题为选做题．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项"的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回, 参考公式：样本数据n x xx ,,,21的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数; 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高； 锥体体积公式:h S Sh V ,,31为底面面积其中=为高;球的表面积、体积公式：,34,432R V RS ππ==其中R 为球的半径。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求．1．已知1zi-=2+i ，则复数z 的共轭复数为A ．3+iB ．3-iC ．-3-iD ．—3+i2．己知集合A=｛l ，2，3)，集合B=（2，3，4），则A()N C B =A ．｛l ｝B ．f0，1}C ．｛1,2，3｝D ．（2,3,4）3．己知命题p ：“a>b”是“2a >2b ”的充要条件；q ：x ∃∈R，lx+l l≤x，则A ．⌝p ∨q 为真命题B ．p ∨q 为真命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∧⌝q 为假命题4．已知α是第三象限的角，且tan α=2，则sin(α+4π）=A ．1010-B ．1010C ．31010-D ．310105．设变量x 、y满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为A ．32B ．2C ．4D ．66．把函数y=sin （2x —6π)的图象向左平移6π个单位后，所得函数图象的一条对称轴为A ．x=0B ．x=2π C ．x=6π D ．x=—12π7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x 满足A ．x≥4B ．x≤-lC ．—1≤x≤4D ．x≤一l 或x≥48．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A ．2 B ．lC ．43D ．539．曲线y=11x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为A ．1B ．－12C ．43D ．1810．奇函数f （x ）、偶函数g （x ）的图象分别如图1、2所示，方程f （g(x)）=0、g （f(x ））=0 的实根个数分别为a 、b ，则a+b=A ．3B ．7C．10D ．1411．直线l 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中 点,若l 与OM （O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为A ．2B 2C ．3D 312．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为A ．3B ．10 cmC ．2cmD ．30cm二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=1102x-的定义域为 .14．向圆（x 一2)2+（y —23=4内随机掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为 。
广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年高三数学第一学期9月月考试卷一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，（ ）A ．B ．C ． D. 2.已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）A. B. C. D. 3若，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.5．已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（ ）A ．B．C ．D ．6.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则 min 后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）．某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2 min 后牛奶的温度是50℃，则{}2,1,0,1,2M =--202x N xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭M N = {}2,1,0,1--{}0,1,2{}2-{}2,2-()()2ln 16f x x x =++-()f x ()0,1()1,2()2,3()3,40.302a =.0.20.3b =0.5log 0.3c =a b c c a b <<b a c<<a b c<<a c b<<ln(2)()1x f x x +=-{}n a 11a =2a 4a 8a n n S 20234045a =5434a a a a <119462a a a a +=+1112n S n n ++=+℃1θ℃0θt ℃θkt e --+=)(010θθθθk下列说法正确的是( )A ．B ．C ．牛奶的温度降至35℃还需4 minD ．牛奶的温度降至35℃还需2 min7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．样本数据4，4，5，5，7的平均数为6B ．若随机变量满足，则C ．若随机变量服从两点分布，，则D ．若随机变量X 服从正态分布，且，则10. 若正数，满足，则（ ）A. B. C. D. 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A ．的图象关于点对称B ．是以8为周期的周期函数2ln =k 2ln 2=k ζ()2E ζ=()213ζ-=E ζ()304ζ==P ()316ζ=D ()22,N σ()120.3P X <<=()30.2P X >=a b 1a b +=22log log 2a b +≤-22a b +≥ln 0+<a b 2212a b +≤R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f xC ．D ．存在函数,使得对，都有三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．12．已知的展开式中，的系数为__________.13.已知函数在区间上单调递减，则的最小值为__________.14.如下图，正方形 A 1B 1C 1D 1 的边长为 14 cm ，A 2 ，B 2 ，C 2，D 2 依次将 A 1B 1 ，B 1C 1 ，C 1D 1，D 1A 1 分为3:4的两部分得到正方形A 2B 2 C 2D 2，依照相同的规律，得到正方形A 3B 3 C 3D 3 、A 4B 4 C 4D 4 、 …、A n B n C n D n . 一只蚂蚁从A 1 出发，沿着路径A 1A 2A 3…A n 爬行，设其爬行的长度为x ，K 为正整数，且x 与K 恒满足不等式 x ≤K ，则K 的最小值是______________.四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }是公比为2的等比数列，且a 2+a 4=b 4+2， a 1+a 3=b 2+b 3.（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设数列的前n 项和为，求证：.16．(13分)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．(1)证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心；(2)判断函数的单调性(不用证明)，若，求实数的取值范围．17．(15分)大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A ，B 两种类型，且两种类型的题目数量20241(42)2024k f k =-=∑()h x x R ∀∈()()||hg x x =32)1)(1(-++x x x 4x )2(2)(x x x f -=),[+∞a a }9{1+n n a a n S 121<≤n S ()y f x =()y f x =()y f x =(),P a b ()y f x a b =+-()1212xf x -=+1)1()(-+=x f x g )(x f ()f x 0)24()1(2>-+--a g a g a相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A ，B 两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A 类试题的概率均为，答对B 类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立．(1)求甲两题均选择A 类试题作答的概率；(2)若甲第1题选择B 类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望．18．(17分)设函数，(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；(2) 讨论函数的单调性；(3) 设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.19．(17分)代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．例如: 对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为;在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为．(1) 在复数集中解方程：；23131223X X ()()e 0mxf x x m =≠1=m ()y f x =()()1,1f ()f x ()224g x x bx =-+1m =1R x ∈[]21,2x ∈()()12f x g x ≥b ()*N n n ∈()0f x =()*N n n ∈()f x n ()*N n n ∈n 20(a 0)++=≠ax bx c 0∆≥x =0∆<ai ac b b x 242⋅--±-=）（2(0)ax bx c a ++≠()()212++=--ax bx c a x x x x C 210x x ++=(2)（i ）在复数集中解方程：；（ii ）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（结果表示为不超过二次的实系数的多项式的乘积，不需要写证明过程）；(3) 已知一元十次实系数多项式满足，求的值．C 4322x x x +-=12-13i +1i -2()f x )10,,2,1,0(11)( =+=k k k f ()11f2024-2025学年高三数学第一学期9月月考试卷参考答案12．-2 13．1 14．2115.解：（1）由题意得，解得：……………………………4分因为数列{a n }是公差为3，数列{b n }是公比为2，所以， …………………………6分（2）由（1）得： ……………………………8分……………………………10分易知在上单调递增，故当时，取最小值，又恒成立，所以，. ………………………………………13分16.解（1）：由题意，令， …………………1分显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，…………………2分且， …………………4分所以函数是奇函数， …………………5分所以函数的图象关于点对称. …………………6分（2）由复合函数单调性可知在上单调递增（定义域不写也可以）， ……………9分由（1）知函数是奇函数， ………………11分又，即，，所以，函数在上单调递增，所以，，， …………………13分解得，所以实数的取值范围为.…………………15分17．（1）若甲第1题选择类试题作答并且答错，则第2题选择类试题作答的概率， 题号1234567891011答案CCCDCDBDBCDABCABC⎩⎨⎧=++=+111166228122b a b a 2,311==b a nn n b n a 2,3==111)1(1)1(33991+-=+=+⋅=+n n n n n n a a n n 111111)4131()3121()2111(+-=+-++-+-+-=n n n S n ）（ 111+-=n y *N 1=n n S 21)(1*N n S n ∈<121<≤n S ()1212x f x -=+()()211112xg x f x -=+-=-+()g x ()()12222112012122112x x x x xg x g x +-⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()2112xg x -=-+()f x ()1,1()1212x f x -=+R ()2112xg x -=-+)42()24(-=--a g a g 0)24()1(2>-+--a g a g )42()1(2->--a g a g ()2112xg x -=-+R 4212->--a a 2230a a +-<31a -<<a ()3,1-A A 1111122312P =⨯⨯=若甲第1题选择类试题作答并且答对，则第2题选择类试题作答的概率，故甲2题均选择类试题作答的概率； ...........................................6分（2）由题可知，的所有可能取值为0，1，2，则， .......................................8分， .......................................10分， .......................................12分故的分布列为：012...................................................13分则． ...................................................15分18．（1） ， .................................................1分所以，切线斜率，切点坐标为 .................................................3分则曲线在点处的切线方程为，即，............................................4分（2）令，所以，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增;.......................................6分当时，，此时在上单调递增，在上单调递减........................................8分A A 211212236P =⨯⨯=A 1111264P =+=X 1111214(0)33333227P X ==⨯⨯+⨯⨯=2212111121214(1)3333323333329P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=22221111(2)33333227P X ==⨯⨯+⨯⨯=X XP427491127441134()0122792727E X =⨯+⨯+⨯=x xe x f =)(x e x x f )1()('+=e f k 2)1('==),1(e ()y f x =()()1,1f )1(2-=-x e e y 02=--e y ex ()()1e 0mxf x mx '=+>10mx +>0m >1x m>-()f x 1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0m <1x m <-()f x 1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以对任意，有，.......................................9分又已知存在，使， 所以，即存在，使，.......................................10分解法1：函数的对称轴，①当时，在区间上单调递增，所以，，，不存在；.......................................12分②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，不存在；....................................14分③当时，在区间上单调递减，所以，，； ....................................16分综上，实数的取值范围是........................................17分解法2：分离参数得：，设，.......................................11分因为， .......................................12分所以，当时，，;当时，或，即函数的减区间为，，所以，当时，函数为减函数，（直接先写出函数在区间上导数为负，也可以）.......................................14分1m =()f x (),1∞--()1,-+∞1R x ∈()11(1)ef x f ≥-=-[]21,2x ∈()()12f xg x ≥()221,[1,2]eg x x -≥∈[]1,2x ∈21()24eg x x bx =-+≤-)(x g b x =1≤b )(x g ]2,1[e b g x g 125)1()(min -≤-==1215>+≥ee b b 21<<b )(x g ),1[b ]2,(b e b b g x g 14)()(2min -≤-==214>+≥eb b 2≥b )(x g ]2,1[e b g x g 148)2()(min -≤-==2412>+≥eb b 12,4e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭14e 2b x x -+≥+14e y x x-+=+()211224e 4e 1x y x x---++'=-=0'>y x >x <)+∞(,-∞0'<y 0x <<0x <<()([1,2]x ∈14e y x x-+=+]2,1[所以，，所以，，即实数取值范围是. .......................................16分所以，实数的取值范围是........................................17分19．（1）方程，则，所以、即原方程在复数集.......................................4分（2）（i ）因为，所以，即，即，所以，，，即原方程在复数集中解为，.......................................6分（ii ）因为为该方程（实系数）为根，则也为方程的根，为该方程（实系数）为根，则也为方程的根，又与可为方程的两个虚根；与可为方程的两个虚根；所以以、、、为根的一元六次实系数多项式方程可以为........................................8分（3）依题意可得，令，因为十一次多项式方程有个根， ............................10分令， ......................................12分所以， 令，可得，所以， 所以, .......................................14分14e 11[1,2],4,52e e x x x -+⎡⎤∈+∈++⎢⎥⎣⎦1242e b ≥+b 124eb ≥+b 12,4e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭210x x ++=214113∆=-⨯⨯=-1x =2x =C 4322x x x +-=()()3220x x x +-+=()()3210x x +-=()()()22110x x x x +-++=32x =-41x =5x =6x =C 2-11i +1i -2i -2i +1i +1i -2220x x +=-2i -2i +2450x x -+=12-131i +2i -()()()()22213122450x x x x x x +--+-+=()()()1100,1,2,,10k f k k +-== ()()()11g x x f x =+-()()()110g x x f x =+-=110,1,2,,10x = ()()()()1210g x ax x x x =--- ()0a ≠()()()()()111210x f x ax x x x +-=--- =1x -()()()()112311a -=-⨯-⨯-- 111!a =()()()()1121011!g x x x x x =---所以,， .......................................15分因为,，所以, ......................................17分()()()()()1111121011111!f x g x x x x x x x ⎡⎤=+=---+⎡⎤⎣⎦⎢⎥++⎣⎦()11111101111!g =⨯⨯⨯⨯= 61)1)11((121)11(=+=g f。
专题04恒成立与存在性求参(选填题6种考法)(解析版)高三数学二轮复习《考法分类》(新高考)
专题04恒成立与存在性求参（选填题6种考法）考法一一元二次不等式在R【例1-1】（2023·青海西宁·统考二模）已知命题p ：x ∃∈R ，2220x x a ++-<，若p 为假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】D【解析】因为命题p ：x ∃∈R ，2220x x a ++-<，所以p ⌝：x ∀∈R ，2220x x a ++-≥，又因为p 为假命题，所以p ⌝为真命题，即x ∀∈R ，2220x x a ++-≥恒成立，所以0∆≤，即224(2)0a --≤，解得1a ≤，故选：D ．【例1-2】（2023·四川·校联考模拟预测）“0m >”是“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”可得命题“x ∀∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题”当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件，故选：B.【例1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知命题:R p x ∃∈，使得“2210ax x ++<成立”为真命题，则实数a 的取值范围是．【答案】(),1-∞【解析】因为命题:R p x ∃∈，使得“2210ax x ++<成立”为真命题，当0a =时，210x +<，则12x <-，故成立；当0a >时，440a ∆=->，解得：01a <<；当a<0时，总存在2210ax x ++<；综上所述：实数a 的取值范围为(),1-∞.故答案为：(),1-∞【变式】1．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）若命题：“0x ∃∈R ，使20010mx mx -+≤”是假命题，则实数m 的取值范围为．【答案】[)0,4【解析】由题意可知：命题：R x ∀∈，210mx mx -+>.是真命题，①当0m =时，结论显然成立；②当0m ≠时，则20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩，解得04m <<；故答案为：[)0,4.2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是【答案】(10,2]-【解析】因为不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式2(2)(2)30m x m x -+--<对任意实数x 均成立，当20m -=，即2m =时，有30-<恒成立，满足题意；当20m -≠，即2m ≠时，则有()()220Δ21220m m m -<⎧⎪⎨=-+-<⎪⎩，解得102m -<<，综上所述，实数m 的取值范围为(10,2]-.故选：B.3．（2023·广东潮州）若命题：“0x ∃∈R ，使2200(1)(1)10--++≥m x m x ”是真命题，则实数m 的取值范围为．【答案】513-<<m 【解析】当2101-==±m m 即时，易得m=1时命题成立；当21011-<-<<m m 即时，()()222141325011∆=+--=-++≥∴-<<m m m m m 当2101m 1->⇒<->m m 或时，则命题等价于()()2225141325013∆=+--=-++>∴<<m m m m m ，故答案为：513-<<m 考法二一元二次不等式在某区间【例2-1】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞【答案】C 【解析】因为命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，所以，命题“[]01,1x ∃∈-，2003a x x >-”为真命题，所以，[]01,1x ∈-时，()min 2003a x x ->，因为，2239324y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以，当[]1,1x ∈-时，min 2y =-，当且仅当1x =时取得等号.所以，[]01,1x ∈-时，()200min 32a x x ->=-，即实数a 的取值范围是()2,-+∞故选：C【例2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“[]1,4x ∃∈，使220x x λ+->成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【答案】C【解析】若“[]1,4x ∃∈，使220x x λ+->成立”的否定是：“[]1,4x ∀∈，使220x x λ+-≤”为真命题，即22x x λ-≤；令()222111248x f x x x -⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，由[]1,4x ∈，得11,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()()min 148f x f ==-，所以18λ-≤，故选：C.【例2-3】（2023·辽宁大连）（多选）已知p ：[1,1]x ∀∈-，220x ax --<，则使p 为真命题的一个必要不充分条件为（）A ．21a -<<B ．11a -<<C ．1a 2-<<D ．01a ≤<【答案】AC【解析】令2()2f x x ax =--，则()f x 的图象开口向上，若[1,1]x ∀∈-，()0f x <，则(1)120(1)120f a f a =--<⎧⎨-=+-<⎩，解得11a -<<，对于A ，当11a -<<时，21a -<<成立，而21a -<<时，11a -<<不一定成立，所以21a -<<是p 为真命题的一个必要不充分条件，所以A 正确，对于B ，11a -<<是p 为真命题的充要条件，所以B 错误，对于C ，当11a -<<时，1a 2-<<成立，当1a 2-<<时，11a -<<不一定成立，所以1a 2-<<是p 为真命题的一个必要不充分条件，所以C 正确，对于D ，当11a -<<时，01a ≤<不一定成立，当01a ≤<时，11a -<<成立，所以01a ≤<是p 为真命题的一个充分不必要条件，所以D 错误，故选：AC【例2-4】（2023秋·湖北宜昌）若()21001m x m mx -<≠+对一切4x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．{}3m m <B ．12m m ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭C ．{}2m m >D ．{}20m m -<<【答案】B 【解析】因为不等式2210(1)(1)01m x m x mx mx -<⇒-+<+（0m ≠），所以221(1)(1)0m x mx x m-+=⇒=或1x m =-（0m ≠），①当0m >时，211m m-<，所以不等式2()(110)m x mx -+<的解集为211{|}x x m m -<<，所以原不等式不可能对一切4x ≥恒成立，故0m >不符合题意；②当1m ≤-时，211m m≤-，所以不等式2()(110)m x mx -+<的解集为21{|x x m <或1}x m >-，又因为原不等式对一切4x ≥恒成立，所以1 14m m≤-⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得1m ≤-，③当10m -<<时，211m m>-，所以不等式2()(110)m x mx -+<的解集为1{|x x m <-或21}x m >，又因为原不等式对一切4x ≥恒成立，所以210 14 m m-<<⎧⎪⎨<⎪⎩，解得112m -<<-，综述，12m <-.故选：B.【变式】1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．【答案】103-【解析】由题知命题的否定“2[1,3],x x ∀∈+10ax +≤”是真命题．令2()1([1,f x x ax x =++∈3])，则()()120,33100,f a f a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩解得103a ≤-，故实数a 的最大值为10.3-故答案为：10.3-3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在[0,1]x ∈，有2(1)30x a x a +-+->成立，则实数a 的取值范围是__________.。
高三数学(理科)二轮复习
高考数学第二轮复习计划一、指导思想高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。
第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。
强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。
整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。
第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说．“二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求．具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法．二、时间安排：1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。
2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。
3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。
三、怎样上好第二轮复习课的几点建议：（一）.明确“主体”，突出重点。
第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题.第二轮复习的形式和内容1．形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。
高三数学第二轮复习 专题一、二集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与平面向量阶段评估
"【名校定制，二轮测试】 2014届高三数学（文）第二轮复习专题阶段评估测试题：专题一、二集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与平面向量 "一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={m,3},N={x|2x2+7x+3<0,x∈Z},如果M∩N≠⌀,则m等于( )A.-1B.-2C.-2或-1D.-2.(2013·宣城模拟)函数f(x)=ln+x0.5的定义域为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,+∞)3.设x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3且y≥3”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2013·天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log 2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是( )A.[1,2]B.C. D.(0,2]5.(2013·广东高考)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是( )A.2B.3C.4D.56.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )A.( -2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)7.设函数f(x)=|log a x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n-m的值为,则实数a的值为( )A. B.或C. D.或8.(2013·安徽高考)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得==…=,则n的取值范围是( )A. B.C. D.9.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A.3B.-6C.10D.-1510.(2013·安徽高考)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A.3B.4C.5D.6二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中的横线上)11.若函数f(x)=是奇函数,则g(-8)= .12.已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,∠AOC=45°,设=m+n(m,n∈R),则= .13.(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.14.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f′(x)的图象如图所示,若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是.15.(2013·四川高考)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)函数f(x)=lg(x2-2x-3)的定义域为集合A,函数g(x)=2x-a(x≤2)的值域为集合B.(1)求集合A,B.(2)若集合A,B满足A∩B=B,求实数a的取值范围.17.(12分)已知m,x∈R,向量a=(x,-m),b=((m+1)x,x).(1)当m>0时,若|a|<|b|,求x的取值范围.(2)若a·b>1-m对任意实数x恒成立,求m的取值范围.18.(12分)(2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.19.(13分)已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.20.(13分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值.(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.21.(13分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰有一个公共点,求实数a的值.(3)若函数y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1<x2),且x2-x1>1n2,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选C. N={x|2x2+7x+3<0,x∈Z}={x|-3<x<-,x∈Z}={-2,-1},因为M∩N≠∅,所以m=-1或m=-2.2.【解析】选B.要使函数有意义,则有即所以解得x>1,即定义域为(1,+∞).3. 【解析】选B.令x=1,y=4,满足不等式x2+y2≥9,但此时不满足x>3且y≥3;x>3且y≥3时,有x2+y2≥9成立,所以x2+y2≥9是x>3且y≥3成立的必要不充分条件.4.【解析】选 C.根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知f(lo a)=f(-log2a)=f(log2a),因此f(log 2a)+f(lo a)≤2f(1)可化为f(log2a)≤f(1).又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增,故≤1,解得≤a≤2.【变式备选】(2013·合肥模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对于∀x∈(0,+∞)都有f(x+2)=-f(x)且∀x∈(0,1]时,f(x)=2x+1,则f(-2012)+f(2013)的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=- f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),即函数f(x)的周期是4.因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-2012)=-f(2012)=-f(503×4+0)=-f(0)=0,f(2013)=f(503×4+1)=f(1)=21+1=3,所以f(-2012)+f(2013)=0+3=3.5.【解析】选D.解方程i(x+yi)=3+4i,x+yi==4-3i,|x+yi|=5.另解:在i(x+yi)=3+4i两端乘以因式-i可得x+yi=4-3i,|x+yi|=5.6.【解析】选B.由f(-1)=-3<0,f(0)=1>0及零点存在性定理知f(x)的一个零点在区间(-1,0)上.7.【解析】选D.由题意,分n=1或m=1两种情况:(1)n=1时,m=,此时f(x)在[m,n]上单调递减,故f(m)=|log a m|=1,所以a=.(2)m=1时,n=,此时f(x)在[m,n]上单调递增,故f(n)=|log a n|=1,所以a=.8.【解题提示】作直线y=kx(k≠0),转化为直线与曲线的交点个数问题,数形结合进行判断.【解析】选 B.=表示(x1,f(x1))与原点连线的斜率;==…=表示(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(x n,f(x n))与原点连线的斜率相等,而(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(x n,f(x n))在曲线图象上,故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况.如图所示,数形结合可得,有2,3,4三种情况,故选B.9.【解析】选C.第一次循环为:i=1,S=-1,i=2,第二次循环为:i=2,S=-1+4=3,i=3,第三次循环为:i=3,S=3-9=-6,i=4,第四次循环为:i=4,S=-6+16=10,i=5,第五次循环条件不成立,输出S=10.10.【解析】选A.因为f′(x)=3x2+2ax+b,函数f(x)的两个极值点为x1,x2,所以f′(x1)=0,f′(x2)=0,所以x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根,所以解方程3(f(x))2+2af(x)+b=0得f(x)=x1或f(x)=x2.由题意知函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1<x2,如图,数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.11.【解析】因为函数f(x)为奇函数,所以f(-8)=g(-8)=-f(8)=-log28=-3,即g(-8)=-3.答案:-312.【解析】因为·=0,所以⊥.将,放在平面直角坐标系中,如图.因为||=1,||=,所以A(1,0),B(0,).因为∠AOC=45°,所以点C在直线y=x上.设C(x,x),则=(x,x).由=m+n,得(x,x)=m(1,0)+n(0,),即(x,x)=(m,n),所以m=n,即=.答案:13.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,故图象关于原点对称.又当x>0时,f(x)=x2-4x,故大致图象如图.由图可得当x∈(-5,0)∪(5,+∞)时不等式f(x)>x成立.答案:(-5,0)∪(5,+∞)14.【解析】f(x)在x>0时单调递增,f(2a+b)<1⇒f(2a+b)<f(4)⇒2a+b<4,结合a>0,b>0,可得在点(0,4)取到最大值3,在点(0,0)取到最小值-1.答案:(-1,3)15.【解析】由题f(x)=4x+(x>0, a>0),根据基本不等式4x+≥4,当且仅当4x=时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36.答案:3616.【解析】(1)A={x|x2-2x-3>0}={x|(x-3)(x+1)>0}={x|x>3或x<-1},B={y|y=2x-a,x≤2}={y|-a<y≤4-a}.(2)因为A∩B=B,所以集合B是集合A的子集,因此4-a<-1或-a≥3.所以a≤-3或a>5,即a的取值范围是a≤-3或a>5.17.【解析】(1)|a|2=x2+m2,|b|2=(m+1)2x2+x2,因为|a|<|b|,所以|a|2<|b|2.从而x2+m2<(m+1)2x2+x2.因为m>0,所以<x2,解得x<-或x>.(2)a·b=(m+1)x2-mx.由题意,得(m+1)x2-mx>1-m对任意的实数x恒成立,即(m+1)x2-mx+m-1>0对任意的实数x恒成立.当m+1=0,即m=-1时,显然不成立,从而解得所以m>.18.【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).因r>0,又由h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因V(r)=(300r-4r3).故V′(r)=(300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.19.【解析】(1)因为f(x)=,所以f′(x)==.令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为e x>0,所以y=f′(x)的零点就是函数g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同.又因为a>0,所以-3<x<0时,g(x)>0,即f′(x)>0,当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有解得a=1,b=5,c=5.所以f(x)=.因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,所以f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者.而f(-5)==5e5>5,所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.20.【解题提示】(1)求导函数f′(x),令f′(x)=0求极值点,列表求极值.(2)设切线,表示出切线l的方程,令y=0得l在x轴上的截距,利用函数知识求得截距的取值范围.【解析】(1)f′(x)=e-x(-x2+2x),令f′(x)=0,得x=0或2.列表如下函数f(x)的极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=.(2)设切点为(x0,),则切线l的斜率为k=(-+2x0),此时切线l的方程为y-=(-+2x0)(x-x0),令y=0,得x=+x0.x=+x0-2+3,由已知和(1)得x0∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h(t)=t+(t≠0),则当t∈(0,+∞)时,h(t)的取值范围为[2,+∞);当t∈(-∞,-2)时,h(t)的取值范围是(-∞,-3),所以当x0∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,x 的取值范围是(-∞,0)∪[2+3,+∞),综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2+3,+∞).21.【解析】(1)f′(x)=lnx+1,令f′(x)=lnx+1=0,得x=.①当0<t<时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,此时函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值为f=-.②当t≥时,函数f(x)在[t,t+2]上单调递增,此时函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值为f(t)=tlnt.(2)由题意得f(x)-g(x)=xlnx+x2-ax+2=0在(0,+∞)上有且仅有一个根,即:a=lnx+x+在(0,+∞)上有且仅有一个根.令h(x)=lnx+x+,则h′(x)=+1-==(x+2)(x-1),易知,h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以,a=h(x)min=h(1)=3.(3)y=f(x)+g(x)=xlnx-x2+ax-2,则其导函数为y′=lnx-2x+1+a,所以y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同实根x1,x2,等价于:a=-lnx+2x-1有两个不同实根x1,x2,等价于:直线y=a与函数G(x)=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点.G′(x)=-+2=,所以G(x)在上单调递减,在上单调递增,画出函数G(x)图象的大致形状如图,由图象易知:当a>G(x)min=G=ln2时,x1,x2存在,且x2-x1的值随着a的增大而增大.而当x2-x1=ln2时, 由题有两式相减可得ln=2(x2-x1)=2ln2,得x2=4x1,代入x2-x1=ln2解得x2=4x1=ln2,此时实数a=ln2-ln-1,所以,实数a的取值范围为a>ln2-ln-1.。
福建省泉州市2012届高三数学3月质量检查试题 理(2012泉州质检)
某某号某某（在此卷上答题无效）某某★启用前2012年某某市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的某某、某某号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 复数()1i i +等于 A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -2. 已知集合{}13A x x =<<，{}21log 2B x x =<<，则AB 等于A.{}03x x << B.{}23x x << C.{}13x x << D.{}14x x <<3. 已知(2,1),(1,3)a b ==--，则||a b -等于 ABC ．5D ．254. 执行右侧框图所表达的算法，如果最后输出的S 值为12012，那么判断框中实数a 的取值X 围是 A ．20112012a ≤<B ．20112012a <≤ C ．20112012a ≤≤D ．20122013a ≤<5. 下列四个条件：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面. 其中，能使命题“,x y yz x z ⊥⇒⊥”成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知实数,x y 满足2220,0,4,x y x y x y ⎧-+≥⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值是 A ．5 B ．-1 C ．2 D.7. 已知二次函数2()f x ax bx =+，则“(2)0f ≥”是“函数()f x 在()1,+∞单调递增”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为A ．49B ．23 C ．59D 9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3， (100)（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A.88%B. 90%C. 92%D.94%10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90就得到函数2y x =的图象.若把双曲线2213x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是A ．30B ．45C ．60D ．90某某号某某（在此卷上答题无效）某某★启用前2012年某某市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知等差数列}{n a 中,51a =,322a a =+,则11S =.12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .13. 在ABC中，60,B AC ==ABC 周长的最大值为 .14. 已知{}()(),min ,a b a a b a b b ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，设()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线x e =所围成的封闭图形的面积为 .15.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：10位的回文数总共有个.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离. （Ⅰ）试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程.（Ⅱ）是否存在过(4,2)N 的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？17.（本小题满分13分）将边长为1的正三角形ABC 按如图所示的方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合.记边AB 所在直线的倾斜角为θ，已知0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）试用θ表示BC 的坐标（要求将结果化简为形如(cos ,sin )αα的形式）；123侧视图正视图（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点()11,P x y 、()22,Q x y ，称1212x x y y -+-为P 、Q 两点间的“taxi 距离”，并用符号PQ 表示.试求BC 的最大值.18.（本小题满分13分） 已知12310,,,,A A A A 等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12. （Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按12310,,,,A A A A 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分13分）如图，侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，13AA AB AC ++=，(0)AB AC t t ==>，P 是侧棱1AA 上的动点.C 11C（Ⅰ）当1AA AB AC ==时，求证：11A C ABC ⊥平面； （Ⅱ）试求三棱锥1P BCC -的体积V 取得最大值时的t 值； （Ⅲ）若二面角1A BC C --的平面角的余弦值为10，试某某数t 的值. 20.（本小题满分14分）已知()0xf x x e =⋅，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x -'=（n N *∈）.(Ⅰ)请写出()n f x 的表达式（不需证明）；(Ⅱ)设()n f x 的极小值点为(),n n n P x y ，求n y ；(Ⅲ)设()()22188n g x x n x n =--+-+，()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，试求a b -的最小值.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 若二阶矩阵M 满足127103446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求二阶矩阵M ；（Ⅱ）把矩阵M 所对应的变换作用在曲线223861x xy y ++=上，求所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y θθ=⎧⎨=⎩（t 为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点A 、B ，且10OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()24f x x x =-+-的最小值为m ，实数,,,,,a b c n p q 满足222222a b c n p q m ++=++=.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：4442222n p q a b c++≥．2012届某某市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1． A 2．B 3．C 4．A 5．C6． D7．C8．D 9．B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．3312．113.．5415．90000三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线1x =-为准线的抛物线， ………………2分 其方程为24y x =. ………………5分（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分①当直线m 的斜率不存在时，不合题意. ………………7分②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为2(4)y k x -=-，………8分联立方程组22(4)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去y ，得2222(844)(24)0k x k k x k --++-=，（*） ………………9分∴21228448k k x x k-++==，解得1k =. ………………10分 此时，方程（*）为2840x x -+=，其判别式大于零， ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分易判断直线m 不可能垂直y 轴， ………………7分 ∴设直线m 的方程为4(2)x a y -=-，………8分 联立方程组24(2)4x a y y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得248160y ay a -+-=， ………………9分∵216(1)480a ∆=-+>,∴直线与轨迹C 必相交. ………………10分又1244y y a +==，∴1a =. ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法三：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分∵1122(,),(,)A x y B x y 在轨迹C 上，∴有2112224142y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩（）（），将(1)(2)-，得2212124()y y x x -=-. ………8分当12x x =时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ………9分 ∴12121241y y x x y y -==-+，即直线AB 的斜率1k =, ………10分注意到点N 在曲线C 的X 口内（或：经检验，直线m 与轨迹C 相交）…11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分 17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）解法一：因为()cos ,sin B θθ，cos ,sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……2分 所以cos cos ,sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………3分 22cos ,sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………7分 解法二：平移BC 到AD （B 移到A ，C 移到D ），………2分由BC 的坐标与AD 的坐标相等，都等于点D 的坐标. ………3分 由平几知识易得直线AD 的倾斜角为23πθ+， ∵||1AD =，∴根据三角函数的定义可得22cos ,sin 33D ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22cos ,sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………7分（Ⅱ）解法一：22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分 ∵0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22[,]33ππθπ+∈， ………9分 ∴22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………11分512πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………12分所以当12πθ=时，BC. ………13分解法二：cos cos sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分 ∵03πθ≤≤，∴2333πππθπ≤+≤<，即03πθθπ≤<+<， ∴cos cos cos cos()33ππθθθθ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭. ………9分 ∵03πθ≤≤，∴()232πππθθ-≥+-，∴sin sin sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ………10分 ||||BC =cos cos()3πθθ-++sin sin 3πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭Ks5u5sin()cos())6612πππθθθ=+++=+, ………12分所以当12πθ=时，BC. ………13分18. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为12，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为2821011122P C ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭451024=. ………4分（Ⅱ）设该同学共参加了i 次考试的概率为i P （110,i i Z ≤≤∈）.∵91,19,21,102ii i i Z P i ⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：ξ a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10aP12212 312 412 512 612 712 812 912 912………7分所以2991111(12910)2222E a ξ=⨯+⨯++⨯+⨯， ………8分 令29111129222S =⨯+⨯++⨯, …（1） 则2391011111128922222S =⨯+⨯++⨯+⨯, …（2） 由（1）-（2）得291011111922222S =+++-⨯，所以2891111192222S =++++-⨯， ………11分所以289911111191022222E a ξ⎛⎫=++++-⨯+⨯ ⎪⎝⎭911122a ⎛⎫=+++⎪⎝⎭10112112a -=-101212a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1023512a =(元). ………13分Ks5u 19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解：（Ⅰ）证法一：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵1AA AC =，∴四边形11AAC C 是正方形， ∴11AC A C ⊥. ………1分∵11111,,,,AB AC AB AA AA AC AAC C AA AC A ⊥⊥⊂=平面，∴11AB AAC C ⊥平面. ………2分又∵111AC AAC C ⊂平面, ∴1AB AC ⊥. ………3分 ∵111,,AB AC ABC ABAC A ⊂=平面,∴11A C ABC ⊥平面. ………4分证法二：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ，11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==，Ks5u∴1110,0AC AC AC AB ⋅=⋅=， …2分 ∴111,AC AC AC AB ⊥⊥. …3分 又∵111,,AB AC ABC ABAC A ⊂=平面∴11A C ABC ⊥平面. …4分证法三：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ,11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==. 设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =，则100n AC y z n AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得0x y z =⎧⎨=-⎩.令1z =，则(0,1,1)n =-， ……3分∵1AC n =-, ∴11A C ABC ⊥平面. ……4分 （Ⅱ）∵111AA BB C C 平面，∴点P 到平面11BB C C 的距离等于点A 到平面11BB C C 的距离 ∴1112231113(32)(0)6232P BCC A BCC C ABC V V V V t t t t t ---====-=-<<, …5分 '(1)V t t =--，令'0V =，得0t =（舍去）或1t =，列表，得(0,1)1 3(1,)2'V + 0 － V递增极大值递减∴当1t =时，max 16V =. …8分 （Ⅲ）分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(0,,32),(,0,0),(0,,0),(0,0,32)A C t t B t C t A t --,11(0,,23),(0,,32),(,0,0)AC t t AC t t AB t =-=-=，Ks5u 1(0,0,32)CC t =-，(,,0)BC t t =-. ……9分Ks5u设平面1ABC 的法向量1111(,,)n x y z =，则111111(32)00n AC ty t z n AB tx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得111023x t y z t =⎧⎪⎨-=⎪⎩,令1z t =，则1(0,23,)n t t =-. …10分 设平面1BCC 的法向量2222(,,)n x y z =，则2222120(32)0n BC tx ty n CC t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩. 由于302t <<，所以解得2220x y z =⎧⎨=⎩.令21y =，则2(1,1,0)n =. …11分 设二面角1A BC C --的平面角为θ，则有1212|||cos |||||2n n n n θ⋅===⋅.化简得2516120t t -+=,解得2t =（舍去）或65t =.所以当65t =时，二面角1A BC C --的平面角的余弦值为10. …13分20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分14分．解：(Ⅰ)()()x n f x x n e =+⋅ （n N *∈）. ……4分(Ⅱ)∵()()1xn f x x n e '=++⋅，∴当()1x n >-+时，()0n f x '>；当()1x n <-+时，()0n f x '<. ∴当()1x n =-+时，()n f x 取得极小值()()()11n n f n e -+-+=-，即()1n n y e -+=-（n N *∈）. ……8分Ks5u (Ⅲ) 解法一：∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2((1))3n a g n n =-+=-.……9分又()()()11n n b f n e -+=-+=-，∴()()213n a b n e-+-=-+，令()()()()2130x h x x ex -+=-+≥，则()()()123x h x x e -+'=--. ……10分∵()h x '在[)0,+∞单调递增，∴()()106h x h e -''≥=--， ∵()430h e-'=-<，()5420h e -'=->，∴存在()03,4x ∈使得()00h x '=. ……12分 ∵()h x '在[)0,+∞单调递增，∴当00x x ≤<时，()00h x '<；当0x x >时，()00h x '>， 即()h x 在[)0,x +∞单调递增，在[)00,x 单调递减，∴()()()0minh x h x =，又∵()43h e -=，()541h e -=+，()()43h h >， ∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分 解法二： ∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2((1))3n a g n n =-+=-.……9分又()()()11n n b f n e -+=-+=-，∴()()213n a b n e -+-=-+，令()()213n n c n e-+=-+，则1211125n n n n c c n ee+++-=-+-，……10分当3n ≥时，1211125n n n n c c n e e +++-=-+-，又因为3n ≥，所以251n -≥，210n e +>，1101n e +<<，所以2111250n n n e e ++-+->，所以1n n c c +>.……12分Ks5u又1232341114,1,c c c e e e=+=+=，123c c c >>，∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分 21.（1）选修4—2:矩阵与变换本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）记矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2A =-，故1213122A --⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭. ……2分 由已知得121710710123146461122M A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……3分 （Ⅱ）设二阶矩阵M 所对应的变换为1211x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy x y'=+⎧⎨'=+⎩， 解得2x x y y x y ''=-+⎧⎨''=-⎩， ……5分又223861x xy y ++=，故有223(2)8(2)()6()1x y x y x y x y ''''''''-++-+-+-=，化简得2221x y ''+=.故所得曲线的方程为2221x y +=. ……7分（2）选修4—4:坐标系与参数方程本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）∵0t ≠，∴可将曲线C 的方程化为普通方程：2224x y t+=. ……1分①当1t =±时，曲线C 为圆心在原点，半径为2的圆； ……2分 ②当1t ≠±时，曲线C 为中心在原点的椭圆. ……3分 （Ⅱ）直线l 的普通方程为：40x y -+=. ……4分联立直线与曲线的方程，消y 得222(4)4x x t++=，化简得2222(1)8120t x t x t +++=.若直线l 与曲线C 有两个不同的公共点，则422644(1)120t t t ∆=-+⋅>，解得23t >.……5分又22121222812,,11t t x x x x t t +=-=++……6分 故12121212(4)(4)OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++121224()1610x x x x =+++=.解得23t =与23t >相矛盾. 故不存在满足题意的实数t . ……7分 （3）选修4—5；不等式选讲本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）法一： 26(4)()242(24)26(2)x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-+≤⎩，……2分 可得函数的最小值为2.故2m =. ……3分Ks5u法二：()24(2)(4)2f x x x x x =-+-≥---=， ……2分 当且仅当24x ≤≤时，等号成立，故2m =. ……3分（Ⅱ） 222222222[()()()]()n p q a b c a b c++⋅++2222()n p q a b c a b c ≥⋅+⋅+⋅……5分即：444222()2n p q a b c ++⨯≥2222()4n p q ++=,故4442222n p q a b c++≥. ……7分。
届高三数学二轮复习专题训练-以数列为载体的情景问题
以数列为载体的情景问题一、单项选择题1．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天(4月1日为第1天)的储蓄总额为()A ．19903元B ．19913元C ．20103元D ．20113元2．《张丘建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同).”若该女子第二天织布一尺五寸，前十五日共织布六十尺，按此速度，该女子第二十日织布()A ．七尺五寸B ．八尺C ．八尺五寸D ．九尺3．现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i (i ＝1，2，…，16)匹马的日行路程是第i ＋1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为(取1.0517＝2.292)()A ．7750里B ．7752里C ．7754里D ．7756里4．[2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1＝1＋1α1，b 2＝1＋1α1＋1α2，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，…，依此类推，其中αk ∈N *(k ＝1，2，…).则()A ．b 1<b 5B ．b 3<b 8C ．b 6<b 2D ．b 4<b 75.[2022·新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC 1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝()A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.96．[2023·河北秦皇岛模拟]中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为()A ．2400B ．2401C ．2500D ．25017.[2023·安徽马鞍山模拟]风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴，因而广受喜爱．某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定骨架材质按图中规律排列(即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列)，则该“龙身”中竹质骨架个数为()A ．161B ．162C ．163D ．1648．[2023·湖北武汉模拟]为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的43倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为()A ．325万元B ．581万元C ．721万元D ．980万元二、多项选择题9．[2023·山西大同模拟]《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下a 1尺，第二天截取剩下的一半后剩下a 2尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下a 5尺，则下列说法正确的是()A.a 5a 2＝14B ．a 3＝18C ．a 3－a 4＝116D ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝313210．某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产．设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a 1，a 2，a 3，…，则下列说法正确的是(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)()A ．a 1＝6千万元B ．{a n －3}是等比数列C ．{a n －3}是等差数列D ．至少到2026年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元三、填空题11．《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂……若32个人的年龄(都为整数)依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为________岁．12.三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年(公元1089年)，每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为△A 1B 1C 1，设△A 1B 1C 1的边长为a 1，取△A 1B 1C 1每边的中点构成△A 2B 2C 2，设其边长为a 2，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列{a n }，若{a n }的前6项和为195316，则△A 1B 1C 1的边长a 1＝________．13．[2023·山东烟台模拟]欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数φ(n )：对于正整数n ，φ(n )表示小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，如φ(5)＝4，φ(9)＝6.那么，数列{nφ（5n ）}的前n 项和为________．14．[2021·新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm ，20dm×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么.1．解析：设小方第n天存钱a n元，则数列{a n}从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为1＋1＋1＋200×1＋200×1992×1＝203＋19900＝20103元．故选C.答案：C2．解析：由题意知：该女子每天织布的尺寸成等差数列，记为{a n}，其前n项和为S n，则a2＝1.5，S15＝60，∵S15＝15（a1＋a15）2＝15a8＝60，∴a8＝4，∴数列{a n}的公差d＝a8－a26＝4－1.56＝512，∴a20＝a8＋12d＝4＋12×512＝9，即该女子第二十日织布九尺．故选D.答案：D3．解析：3151.05＝300，依题意可得，第17匹马、第16匹马……第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为300×（1－1.0517）1－1.05＝6000×(1.0517－1)＝6000×(2.292－1)＝7752(里).故选B.答案：B4．解析：方法一因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<1αk ≤1，所以α1<α1＋1α2＋1α3＋1α4＋1α5，所以b1>b5，所以A错误．同理α3<α3＋1α4＋1α5＋1α6＋1α7＋1α8.设1α4＋1α5＋1α6＋1α7＋1α8＝t1，所以α2＋1α3>α2＋1α3＋t1，则α1＋1α2＋1α3<α1＋1α2＋1α3＋t1，所以b3>b8，所以B错误．同理α2<α2＋1α3＋1α4＋1α5＋1α6.设1α3＋1α4＋1α5＋1α6＝t2，所以α1＋1α2>α1＋1α2＋t2，所以b2<b6，所以C错误．同理α4<α4＋1α5＋1α6＋1α7.设1α5＋1α6＋1α7＝t3，所以α3＋1α4>α3＋1α4＋t 3，则α2＋1α3＋1α4<α2＋1α3＋1α4＋t 3，所以α1＋1α2＋1α3＋1α4>α1＋1α2＋1α3＋1α4＋t 3，所以b 4<b 7，所以D 正确．故选D.方法二此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多证明，以节省时间．由αk ∈N *，可令αk ＝1，则b 1＝2，b 2＝32，b 3＝53，b 4＝85.分子、分母分别构成斐波纳契数列，可得b 5＝138，b 6＝2113，b 7＝3421，b 8＝5534.对比四个选项，可知选D.答案：D5．解析：设OD 1＝DC 1＝CB 1＝BA 1＝1，则CC 1＝k 1，BB 1＝k 2，AA 1＝k 3，依题意，有k 3－0.2＝k 1，k 3－0.1＝k 2，且DD 1＋CC 1＋BB 1＋AA 1OD 1＋DC 1＋CB 1＋BA 1＝0.725，所以0.5＋3k 3－0.34＝0.725，故k 3＝0.9，故选D.答案：D6．解析：不妨设第n 层小球个数为a n ，由题意，a 2－a 1＝3,a 3－a 2＝5，…，即各层小球之差是以3为首项，2为公差的等差数列．所以a n －a n －1＝3＋2(n －2)＝2n －1(n ≥2，n ∈N *).50－a 49＝9949－a 48＝972－a 1＝3，累加可得：a 50－a 1＝49×(3＋99)÷2＝2499，故a 50＝2499＋2＝2501.故选D.答案：D7．解析：设有n 个碳质骨架，n ∈N *，由已知可得n ＋1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ≥180，如果只有n －1个碳质骨架，则骨架总数少于180，所以(n －1)＋1＋2＋3＋…＋(n －1)<180，所以n 2＋3n ≥360，且n 2＋n <362，又n ∈N *解得n ＝18，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个．故选B.答案：B8．解析：根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为81，公比为43的等比数列，所以这五年投入的资金总额是81×[1－（43）5]1－43＝781(万元)；由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10的等差数列，所以这五年的旅游总收入是20×5＋5×42×10＝200(万元)，所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为781－200＝581(万元).故选B.答案：B9．解析：根据题意可得{a n }是首项为12，公比为12的等差数列，则a n ＝(12)n (n ∈N *)，a 5a 2＝q 3＝18，故A 错误；a 3＝18，故B 正确；a 3＝18，a 4＝116，则a 3－a 4＝116，故C 正确；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝12（1－125）1－12＝3132，故D 正确．故选BCD.答案：BCD10．解析：对于A ，由题意可知，a 1＝5×1.5－1.5＝6(千万元)，A 正确；对于B ，因为由题意可得a n ＋1＝1.5a n －1.5，所以a n ＋1－3＝1.5(a n －3)，又因为a 1－3＝3，则a n －3≠0，故a n ＋1－3a n －3＝1.5，所以{a n －3}是首项为3，公比为1.5的等比数列，B 正确，则C 错误；对于D ，由C 的分析可得a n －3＝3×1.5n －1，所以a n ＝3＋3×1.5n －1，令3＋3×1.5n －1>21，解得n －1>lg 6lg 1.5＝lg 3＋lg 2lg 3－lg 2≈4.42，所以n >5.42，所以至少到2026年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元，D 正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：根据题意可知这32个人年龄之和为19×4×20＝1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者年龄为m ，则n ＋m2×32＝1520⇒n ＋m ＝95，设等差数列的首项为n ，公差为d ，则n ，m ，d ∈N *，则32n ＋32×312d ＝1520⇒2n ＋31d ＝95⇒2n ＝95－31d ，因为1≤n ≤30⇒2≤2n ≤60，则2≤95－31d ≤60，解得3531≤d ≤3，d ＝2时，n ＝332不满足题意，所以d ＝3，2n ＝95－31×3＝2⇒n ＝1，则m ＝95－1＝94.答案：9412．解析：根据题意，取△A 1B 1C 1每边的中点构成△A 2B 2C 2，则△A 2B 2C 2的各边均为△A 1B 1C 1对应的中位线，长度减半，由此a 2＝12a 1，依次类推可得a n ＝12a n －1，所以{a n }是首项为a 1，公比q ＝12的等比数列，故其前6项和S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝2a 11－（12）6＝195316，则a 1＝62.答案：6213．解析：在[1，5n ]中，与5n 不互质的数有5×1，5×2，5×3，…，5×5n －1，共有5n －1个，所以φ(5n )＝5n －5n －1＝4·5n －1，所以nφ(5n )＝(4n )·5n －1，设数列{nφ（5n ）}的前n 项和为S n ，所以S n ＝4×50＋8×51＋12×52＋…＋4n ×5n －1，5S n ＝4×51＋8×52＋12×53＋…＋4n ×5n ，两式相减可得－4S n ＝4＋4×(51＋52＋…＋5n －1)－4n ·5n ，所以S n ＝－1－(51＋52＋…＋5n －1)＋n ·5n＝－1－5（1－5n －1）1－5＋n ·5n ，即S n ＝(n －14)·5n ＋14.答案：(n －14)·5n ＋1414．解析：(1)由对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，所以对折三次的结果有：52×12，5×6，10×3，20×32，共4种不同规格(单位dm 2)；故对折4次可得到如下规格：54×12，52×6，5×3，10×32，20×34，共5种不同规格．(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120(dm 2)，第n 次对折后的图形面积为n －1，对于第n 次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n ＋1种(证明从略)，故得猜想S n ＝120（n ＋1）2n －1，设S ＝错误!k ＝120×220＋120×321＋120×422＋…＋120(n ＋1)2n －1，则12S＝120×221＋120×322＋…＋120n2n－1＋120（n＋1）2n，两式作差得：1 2S＝240＋120(12＋122＋…＋12n－1)－120(n＋1)2n＝2401－12－120(n＋1)2n＝360－1202n－1－120(n＋1)2n＝360－120(n＋3)2n，因此，S＝720－240(n＋3)2n＝720－15(n＋3)2n－4.答案：5720－15(n＋3) 2n－4。
【新结构】(菏泽二模)山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题+答案解析
【新结构】(菏泽二模)山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A. B. C. D.2.已知向量，，且，则x的值是()A. B. C. D.63.在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考A，B，C三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有()A.9种B.36种C.38种D.45种4.如图，在正方体中，，，则下列结论中正确的是()A.平面B.平面平面C.平面D.平面内存在与EF平行的直线5.已知是等差数列，，，在数列中，，若是等比数列，则的值为()A.6072B.C.D.6.下列结论正确的是()A.已知一组样本数据，，，，现有一组新的数据，，，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大B.已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4C.50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人D.已知随机变量，若，则7.已知，分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是()A.2B.3C.4D.58.已知函数，且，若在上有n个不同的根，，，，则的值是()A.0B.C.D.不存在二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列选项正确的有()A.若是方程的一个根，则，B.复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为C.若复数z满足，则的最大值为D.若复数，，满足，，则10.如图，已知二面角的平面角大小为，，，，，垂足分别为A，B，若，则下列结论正确的有()A.直线CD与平面所成角的余弦值为B.点D到平面的距离为C.平面BCD与平面夹角的余弦值为D.三棱锥外接球的表面积为11.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，下列结论正确的有()A.函数与函数无公共点B.若，则C.D.所有满足的点组成区域的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广西壮族自治区南宁市第三中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析
广西壮族自治区南宁市第三中学2025届高三适应性调研考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x >D ．0x D ∃∈，()00f x x >2．设点(,0)A t ，P 为曲线xy e =上动点，若点A ，P ，则实数t 的值为（ ）A B ．52C ．ln 222+D ．ln 322+3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．784．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.16． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,28．设直线l 过点()0,1A -，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=（ ）A ．3±B ．3CD ．19．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2B ．4C ．23D ．2710．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >11．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4]B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学试卷附答案解析
高三数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知向量a 、b 不共线，c a b R),d a b,如果c d ，那么A ．且c 与d 同向B ．且c 与d 反向C ．且c 与d 同向D ．且c 与d 反向2.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．3.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入，，，则输出的（ ）A ．6B ．9C ．12D ．21 4.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A． B． C． D．5.定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为（）A． B． C． D．6.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．（2,）7.8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．99.下列四个函数中，在处取得极值的函数是（）①；②；③；④A．①② B．①③ C．③④ D．②③10.定义方程的实数根x叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是（）A．>> B．>> C．>> D．>>11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ▲ )A．360 B．288 C．216 D．9612.已知平面向量, , 且, 则( )A． B． C． D．13.命题“，则或”的逆否命题为（）A．若，则且B．若，则且C．若且，则D．若或，则14.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC15.甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法为（）A．72 B．36 C．52 D．2416.已知向量，，若，则（）A． B． C．2 D．417.执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．8 B．9 C．10 D．1118.阅读下面的程序框图，若输出的，则输入的的值可能是A ．B ．C ．D ． 19.已知函数则函数的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 20.已知全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题21.设，已知在约束条件下，目标函数的最大值为，则实数的值为 .22.过点A （1，1）与曲线C ：y=x 3相切的直线方程是 ． 23.已知函数，，则的最小值是 .24.某校学生小王在学习完解三角形的相关知识后，用所学知识测量高为AB 的烟囱的高度．先取与烟囱底部B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC=60°，∠BCD=75°，CD=40米，并在点C 处的正上方E 处观测顶部 A 的仰角为30°，且CE=1米，则烟囱高 AB=_____米． 25.已知2sinθ＋cosθ＝－，则tanθ＝______________．26.某工厂有三个车间生产不同的产品，现将7名工人全部分配到这三个车间，每个车间至多分3名，则不同的分配方法有 种．（用数字作答） 27.约束条件构成的区域的面积是 平方单位， 28.点是曲线，则点到直线的距离的最小值是 ．29.设随机变量X 只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，则P(X ＞8)＝________.若P(X ＜x)＝，则x 的范围是________ 30.在中，已知，则边长．三、解答题31.已知集合，，若，求实数a 的取值范围。
2024届南京市高三第二次模拟考试(南京二模)数学试卷(含答案详解)
江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2012届高三数学文圆锥曲线
淮北市实验高中高二文科数学专题训练椭圆、双曲线、抛物线一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.523．在抛物线y 2＝4x 上有点M ，它到直线y ＝x 的距离为42，如果点M 的坐标为(m ，n )且m >0，n >0，则mn的值为( )A.12B ．1 C. 2 D ．2 4．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.126．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|＝4：3：2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32 二、填空题(每小题8分，共计48分)7．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为________．8．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．9．已知圆(x －2)2＋y 2＝9和直线y ＝kx 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，若OA →＋2OB →＝0，则|AB →|＝________.10．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．11．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．12．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．三、解答题(共计66分)13．(10分)已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求圆C 的方程．14．(10分)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．15．(13分)如图，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．16．(10分)如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程．17．(10分)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．18．(13分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．。
高三数学二轮复习冲刺：已知极值点(极值个数)求参数的通性通法
已知极值点（极值个数）求参数的通性通法一.基本原理题型1：已知极值点求参数的值.1.已知函数()f x 有极值点0x ，求参数的值或范围,一般有两种情况：（1）由()00f x '=可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由()00f x '=求出参数的值，再代回()f x '去研究()f x 的单调性，确认()f x 在0x x =处取得极值即可.（2）由()00f x '=不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当()f x '的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.2.极值第二充分条件：若0)(],[0'0=⇒∈∃x f b a x ，且0)(0''≠x f ，则若0)(0''<x f ，则)(x f y =在0x 处取得极大值；若0)(0''>x f ，则)(x f y =在0x 处取得极小值.证明：将函数)(x f 在0x x =处二阶泰勒展开可得：200''00'0)(2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -+-+=由于)(x f 在0x x =存在极值，故0)(0'=x f 且对x 求导数可得)('x f ))((2)()(00''0''x x x f x f x f -+=由0)(0'=x f 代入上式可知：))((2)(00'''x x x f x f -=显然，若0)(0''<x f ，则0x x <时0)('>x f ，0x x >时0)('<x f ，故0x x =为)(x f 的极大值点，证毕.注：此证明方法仅供需要弄清结论原理的读者使用，若不需，则可直接记住结论内容就行.3.极值第二充分条件：若)(x f 在0x x =处具有直到n 阶的连续导数，且0)()()(0)1(0''0'==⋅⋅⋅==-x fx f x f n ，但0)(0)(≠x fn ，则：当n 为偶数时，)(0x f 为函数)(x f 的极值，当n 为奇数时，)(0x f 不是函数)(x f 的极值.题型2：已知极值个数求参数的范围这类问题的形式就是已知),(a x f 存在几个极值点，求参数a 的取值范围.这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数.二．典例分析题型1.已知极值点求参数的值例1．若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（）A．6B．15-C．6-或15D．6或15-解析： ()322f x x ax bx a =--+，2()32f x x ax b ∴=-'-，又1x =时()f x 有极值10∴232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，解得411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩，当3,3a b ==-时，22()3633(1)0f x x x x =-+=-≥'，此时()f x 在1x =处无极值，不符合题意经检验，4,11a b =-=时满足题意，15a b ∴-=-，故选：B 例2.（2021年乙卷第10题）1．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A．a b <B．a b>C．2ab a <D．2ab a >分析1：分类讨论若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.依题意，x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D点评：按照传统的解法，此题应该先求一阶导数)('x f ，再分析)('x f 在a x =处何时出现左负右正，引入分类讨论，而对于多数中等水平学生而言，分类讨论是他们痛处，所以我们有必要思考如何避免上述做法.分析2：第二充分条件依题，2')())((2)(a x a b x a x a x f -+--=再次求导)(4)(2)(''a x a b x a x f -+-=由于a x =为极大值点，故0)(''<a f ，代入上式可得：2a ab >，故选D.点评：二阶导方法显然更加具有实用性，不用分类讨论，步骤也很明确，考试必备的好帮手.小结：已知0x x =为函数)(x f 的极大值或极小值，求参数问题.第一步：求二阶导数；第二步：若0)(0''<x f ，则)(x f y =在0x 处取得极大值；若0)(0''>x f ，则)(x f y =在0x 处取得极小值.例3.已知函数()()21ln 12f x x x ax a x =-+-，其中a ∈R .（1）若2a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()1f 是()f x 的极大值，求a 的取值范围.解析：（1）若2a =，则()2ln f x x x x x =-+，所以()ln 121ln 22f x x x x x '=+-+=-+，故()10f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程0y =.（2）解法1：由题意，()()ln 0f x x ax a x '=-+>，()1f x a x ''=-，()21f x x'''=-，所以()11f a ''=-，若1a =，则()()110f f '''==，()110f '''=-≠，所以()1f 不是()f x 的极值，不合题意；若1a >，则()10f '=，()10f ''<，所以()1f 是()f x 的极大值，满足题意；若1a <，则()10f '=，()10f ''>，所以()1f 是()f x 的极小值，不合题意；综上所述，a 的取值范围是()1,+∞.解法2：由题意，()()ln 0f x x ax a x '=-+>，()1f x a x''=-①当0a ≤时，()0f x ''>，所以()f x '在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，所以()01f x x '=⇔>，()001f x x '<⇔<<，从而()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()1f 是()f x 的极小值，不合题意；②当0a >时，()100f x x a ''>⇔<<，()10f x x a''<⇔>所以()f x '在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且()10f '=，若01a <<，则11a >，可知当01x <<时，()0f x '<，当11x a<<时，()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()1f 是()f x 的极小值，不合题意；若1a =，则11a=，()0f x '≤恒成立，从而()f x 在()0,+∞上单调递减，故()f x 无极值，不合题意；若1a >，则101a <<，可知当11x a<<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()1f 是()f x 的极大值，满足题意；综上所述，a 的取值范围是()1,+∞.题型2.已知极值点个数求参数的范围基本步骤：第1步求导，第2步令导函数为零后分离参数，第3步做出不含参数函数的图象后讨论合适出现满足题意的变号零点个数，即为参数范围.例4．已知函数()()3sin xf x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为（）A．(B．()1,1-C．⎡⎣D．[]1,1-解析：()3(sin )3cos 3(sin cos )x x x f x e x a e x e x x a '=-+=+-3)]4xe x a π=+-，∵)4x π+≤，∴当a ≥()0f x '≤恒成立，a ≤()0f x '≥恒成立，当a <<时，()0f x '=有解，且在解的两侧()f x '的符号相反，即()f x 有极值．故选：A．例5．已知函数()313ln xa f x x a=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围是（）A．()20,11,ee e ⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭B．()0,1C．2,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．21,ee e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭解析：因为()313ln x a f x x a =-，所以()2x f x x a '=-.因为函数()313ln xa f x x a=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，所以只需方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根.即2ln ln x a x =，令()2ln x g x x =，则()()221ln x g x x -'=.()g x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减.∴2ln 0,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选D.例6．已知函数()212f x axlnx x a =-+有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是（）A．{0|a a >且1}a ≠B．{}0a a >C．{0a a <或1}a =D．{}0a a <解析：由题意，求得函数()f x 的导数()()'1ln f x a x x =+-，令()'0f x =，即()1ln 0a x x +-=.则10,1ln e x x a x x ⎛⎫=>≠ ⎪+⎝⎭且．设1()0,1ln x g x x x x e ⎛⎫=>≠ +⎝⎭且，得2ln ()(1ln )x g x x '=+．当()'0g x >时，得1x >；当()'0g x <时，得10x e <<或11x e<<，所以函数()g x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增．因为函数()212f x axlnx x a =-+有且只有一个极值点，所以直线y a =与函数1()0,1ln x g x x x x e ⎛⎫=>≠ ⎪+⎝⎭的图象有一个交点，所以a<0或1a =．当1a =时()()'1ln 0f x x x =+-<恒成立，所以()y f x =无极值，所以{}0a a <．故选D．例7．已知函数()e 1x f x t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上有且只有一个极值点，则实数t 的取值范围为___________.解析：由题意，函数()e 1x f x t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得()22222(1)(1)(1)(1)[(1)]e 1e e 1x x x x x t x x t xf x t x x x x --⎛⎫'=--== ⎪⎝⎭----+，因为函数()f x 在区间()0,∞+上有且只有一个极值点，所以()0f x '=在区间()0,∞+上有且只有一个实数根，即方程2(1)[(1e )0]x x xt x --=+在区间()0,∞+上有且只有一个实数根，因为1x =时方程2(1)[(1e )0]x x xt x --=+的根，所以方程1e ()0x t x -+=在区间()0,∞+上没有实数根，即方程,0e 1xt x x =>+在区间()0,∞+上没有实数根，等价于y t =与()e 1x g x x =+的图象在()0,∞+上没有交点，又由()22(1)0(1)(1e e e )x x x x xg x x x +-⋅'==>++，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()min 01g x g >=，且当x →+∞时，()g x ∞→+，所以1t ≤，即实数t 的取值范围是(,1]-∞.故答案为：(,1]-∞三．习题演练1．已知函数321()23f x x ax x =+-在区间(1,)+∞上有极小值无极大值，则实数a 的取值范围（）A．12a <B．12a >C．12a ≤D．12a ≥解析：∵函数()32123f x x ax x =+-，∴()2'22f x x ax =+-，∵函数()32123f x x ax x =+-在区间()1,+∞上有极小值无极大值，∴()2'220f x x ax =+-=在区间()1,+∞上有1个实根，(],1-∞上有1个根．()2480'1210a f a ⎧∆=+>⎪⎨=-<⎪⎩，解得12a <．故选A．2．已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（）A．-1B．2C．-3D．4解析：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e e x x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x xf x x a x a a x a x a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x ¢>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x ¢>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B3．若函数()2ln 21(0)y x ax a x a =+-+>在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是______．解析：()()()()()1e 211e 2x xf x x a x x a '=+-+=+-，当0a ≤时，20x e a ->，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，此时()f x 只有极小值，没有极大值，当102ea <<时，当ln 2x a <或1x >-时，()0f x ¢>，当ln 21a x <<-时，()0f x '<，()f x 在(),ln 2a -∞，()1,-+∞上单调递增，在()ln 2,1a -上单调递减，则()f x 在ln 2x a =处取得极大值()()21ln 2ln 2ef a a a =-≠，当12ea =时，()0f x '≥，当且仅当=1x -时取“=”,()f x 在R 上单调递增，()f x 没有极值，当12ea >时，当1x <-或ln 2x a >时，()0f x ¢>，当1ln 2x a -<<时，()0f x '<，()f x 在(),1-∞-，()ln 2,a +∞上单调递增，在()1,ln 2a -上单调递减，所以()f x 在1x =-处取得极大值()111e e f a -=-+=，得2e a =，综上得，2e a =.故答案为：2e4．已知函数()()22e 2xk f x x x kx =-+-，若1x =是函数()f x 在区间()0,∞+上的唯一极值点，则实数k 的取值范围是______．解析：函数()()22e 2xk f x x x kx =-+-，所以()()()()e 2e 1e x x x f x x kx k x k '--=-+=++，只需满足k e x g x +=)(在),0(+∞上恒无变号零点即可，由于x e 递增，故只需0)(≥x g 恒成立即可，综上：1k ≥-，故答案为：[)1,∞-+.5.（2016山东卷）设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，x R ∈（1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值.求实数a 的取值范围.解法1：分类讨论(2)由(1)知，()'10f =.若0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在1=x 处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可得当(0,1)x ∈时，()'0f x <，1(1,)2x a∈，()'0f x >，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在1(1,)2a内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意。
2024年高考第二次模拟考试数学试题
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1 B ．1− C ．i D ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.。
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2012届高三数学二轮专题训练：解答题（77）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.（本小题满分14分）已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,),2a b a b πααα==-∈⊥，求：（1）||a b +（2）cos()4πα+的值。
2. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=AC=5,BB 1=BC=6,D,E 分别是AA 1和B 1C 的中点（1） 求证：D E ∥平面ABC ；（2） 求三棱锥E-BCD 的体积。
3. （本小题满分14分）现有一张长为80cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。
如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm),高为y (cm),体积为V （cm 3） (1) 求出x 与 y 的关系式；(2) 求该铁皮盒体积V 的最大值；4. （本小题满分1６分）平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O 为（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程； （3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于ｘ轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于ｘ轴于点（ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
E D B 1C 1A 1CBA D C BA5. （本小题满分1６分）已知函数2()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈。
（１） 当0a <时，解不等式()0f x >；（２） 若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围；（３） 当0a =时，求整数ｋ的所有值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
6. （本小题满分1６分）设数列{}n a 的前ｎ项和为n S ，已知1(,n n S pS q p q +=+为常数，*n N ∈），ｅｇ 1232,1,3a a a q p ===- （１） 求ｐ，ｑ的值； （２） 求数列{}n a 的通项公式；（３） 是否存在正整数ｍ，ｎ，使1221m n mn S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（ｍ，ｎ）；若不存在，说明理由。
1．⑴因为⊥a b ，所以()435cos 4tan 0αα⨯+⨯-=，………………………2分解得 3sin 5α=，又因为π(0,)2α∈，………………………………………4分 所以4cos 5α=，sin 3tan cos 4ααα==， ………………………………………6分 所以(7,1)+a b =，因此||+==a b ．………………………8分 ⑵πππcos cos cos sin sin 444ααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭…………………………………12分4355=-=．…………………………………………………14分 2．⑴取BC 中点G ，连接AG ，EG ，因为E 是1B C 的中点，所以EG ∥1BB ，且112EG BB =．由直棱柱知，11AA BB =∥，而D 是1AA 的中点， 所以EG AD =∥，…………………………4分 所以四边形EGAD 是平行四边形， 所以ED AG ∥，又DE ⊄平面ABC ，ABC1A1B1C DE G（第16题）AG ABC ⊂平面所以DE ∥平面ABC ． ………………………7分 ⑵因为1AD BB ∥，所以AD ∥平面BCE ，所以E BCD D BCE A BCE E ABC V V V V ----===，………………………………………10分由⑴知，DE ∥平面ABC ，所以11136412326E ABC D ABC V V AD BC AG --==⋅⋅=⨯⨯⨯=．…………………14分3．⑴由题意得244800x xy +=，即248004x y x-=，060x <<． ……………………………………………6分⑵铁皮盒体积222348001()120044x V x x y x x x x -===-+，………………10分/23()12004V x x =-+，令/()0V x =，得40x =， ……………………………12分因为(0,40)x ∈，/()0V x >，()V x 是增函数；(40,60)x ∈，()0V x '<，()V x 是减函数，所以31()12004V x x x =-+，在40x =时取得极大值，也是最大值，其值为332000cm ．答：该铁皮盒体积V 的最大值是332000cm ． ……………………14分4．⑴因为O 点到直线10x y -+=， ………………………2分所以圆O故圆O 的方程为222x y +=． ………………4分⑵设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O=，即221112a b +=， ……………6分 2222222112()()8DE a b a b a b =+=++≥， 当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．………10分 ⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-，直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+， …………………14分222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+-- ，故mn 为定值2． …………………16分5．⑴因为e 0x >，所以不等式()0f x >即为20ax x +>，又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a+<，所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a -．………………………………………4分⑵22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，①当0a =时，()(1)e x f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时取等号，故0a =符合要求；………………………………………………………6分 ②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>， 所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >， 因此()f x 有极大值又有极小值．若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()f x 在(11)-，内有极值点， 故()f x 在[]11-，上不单调．………………………………………………………8分 若0a <，可知120x x >>，因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调，因为(0)10g =>， 必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤.综上可知，a 的取值范围是2[,0]3-．………………………………………10分⑶当0a =时, 方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于2e 10x x --=，令2()e 1x h x x =--，因为22()e 0x h x x'=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞ 恒成立， 所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数，……………………………13分又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，31(3)e 03h --=-<，2(2)e 0h --=>，所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别在区间[]12，和[]32--，上， 所以整数k 的所有值为{}3,1-．………………………………………………………16分6．⑴由题意，知2132,,S pa q S pS q =⎧⎨=⎩++即32,333,p q q p p q =⎧⎨-=⎩+++解之得1,22p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩．…………… 4分⑵由⑴知，1122n n S S +=+，①当2n ≥时，1122n n S S -=+，②①-②得，()1122n n a a n +=≥，…………………………………………………… 6分又2112a a =，所以()*112n n a a n +=∈N ，所以{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，所以212n n a -=．……………………………………………………………… 8分⑶由⑵得，12(1)124(1)1212n n nS -==--，由1221mn m n S m S m +-<-+，得114(1)221214(1)2m n m n m m --<+--+，即2(4)422(4)221n m n m m m --<--+，…………………… 10分即212(4)221n mm >--+，因为210m +>，所以2(4)2n m ->， 所以4m <，且122(4)24n m m <-<++，()*因为*m ∈N ，所以1m =或2或3．……………………………………… 12分 当1m =时，由()*得，2238n <⨯<，所以1n =； 当2m =时，由()*得，22212n <⨯<，所以1n =或2； 当3m =时，由()*得，2220n <<，所以2n =或3或4， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)．……………………………………… 16分。