作业52【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
作业15【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(十五)1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y ′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y ′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x.2．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 答案 B解析 切线方程为y ＝－2x ＋1，∴f ′(x 0)＝－2<0，故选B. 3．曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D.4．(2019·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2sinx ＋cosx 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0 D ．x ＋y －π＋1＝0答案 C解析 依题意得y ′＝2cosx －sinx ，y ′ |x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.故选C.5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 019)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 019 D.2 0202 019答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f ′(x)＝1x ＋1，故f ′(2 019)＝12 019＋1＝2 0202 019.故选D.7．(2020·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l 与曲线f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 C解析 设切点为(a ，b)，∵f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1，∴b ＝a 3－a 2－2a ＋1.∵f ′(x)＝3x 2－2x －2，则直线l 的斜率k ＝f ′(a)＝3a 2－2a －2，则切线方程为y －(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(x －a)， ∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(－1－a)． 整理得(a ＋1)·(a 2－1)＝0⇒a ＝1或a ＝－1. 当a ＝1时，b ＝－1，此时切点为(1，－1)； 当a ＝－1时，b ＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a ＝1，此时直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝－1.故选C.8．已知曲线f(x)＝ax 2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )A.32 B ．－32C ．－34D.43 答案 D解析 由f ′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D.9．已知函数f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，则其导函数f ′(x)的图象大致是( )答案 C解析 由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f ′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、B.又f ′(0)＝1.故选C.10．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析 当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y ′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B.11．(2020·成都市二诊)已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x 的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．1 C ．e 2 D ．－e 2答案 B解析 设直线l 与曲线C 1：y ＝e x 的切点为A(x 1，ex 1)，与曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切点为B ⎝⎛⎭⎫x 2，14e 2x 22.由y ＝e x ，得y ′＝e x ，所以曲线C 1在点A 处的切线方程为y －ex 1＝ex 1(x －x 1)，即y ＝ex 1x －ex 1(x 1－1)①.由y ＝14e 2x 2，得y ′＝12e 2x ，所以曲线C 2在点B 处的切线方程为y －14e 2x 22＝12e 2x 2(x －x 2)，即y ＝12e 2x 2x －14e 2x 22②. 因为①②表示的切线为同一直线，所以⎩⎨⎧ex 1＝12e 2x 2，ex 1（x 1－1）＝14e 2x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝2，所以直线l 的方程为y ＝e 2x －e 2，令y ＝0，可得直线l 在x 上的截距为1.故选B. 12．(1)y ＝x·tanx 的导数为y ′＝________． 答案 tanx ＋xcos 2x解析 y ′＝(x·tanx)′＝x ′tanx ＋x(tanx)′＝tanx ＋x·⎝⎛⎭⎫sinx cosx ′＝tanx ＋x·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tanx ＋x cos 2x . (2)已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________． 答案 －120解析 f ′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.(3)已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)13．(2020·河北邯郸二模)曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 答案12ln2解析 ∵y ′＝1xln2，∴k ＝y ′|x ＝1＝1ln2. ∴切线方程为y ＝1ln2(x －1)． ∴三角形面积为S △＝12×1×1ln2＝12ln2.14．(2020·湖北宜昌一中月考)若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________． 答案 4解析 ∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P(－2，6＋c)，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4.15．(2019·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 由题意，得f ′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1. 16．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由． 答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，因为x>0，所以f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件． 17．(2020·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 答案 (1)y ＝13x －32 (2)y ＝13x (－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f ′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 02＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 02＋1)(x －x 0)＋x 03＋x 0－16. 又直线l 过点(0，0)，则(3x 02＋1)(0－x 0)＋x 03＋x 0－16＝0， 整理得x 03＝－8，解得x 0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。
作业9【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(九)1．给出下列结论：①当a<0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a|(n>1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f(x)＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x|x ≥2且x ≠73}；④若5a ＝0.3，0.7b ＝0.8，则ab>0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解析(a 2)32>0，a 3<0，故①错，∵0<5a <1，0<0.7b <1，∴a<0，b>0，∴ab<0.故④错．2．当x>0时，函数f(x)＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a|<2 B ．|a|<1 C ．|a|> 2 D ．|a|< 2答案 C3．若函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a ＋1e x －1cosx 是奇函数，则常数a 的值等于( )A ．－1B ．1C ．－12D.12答案 D4．(2020·衡水中学调研)下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－1D ．y ＝3|x|答案 B5．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f(x)( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数答案 A 解析∵f(－x)＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－[3x －⎝⎛⎭⎫13x]＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又函数y 1＝3x在R 上为增函数，y 2＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上为减函数，∴y ＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上为增函数．故选A. 6．函数y ＝a x －a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )答案 C解析 由于当x ＝1时，y ＝0，即函数y ＝a x －a 的图象过点(1，0)，故排除A 、B 、D. 7．(2016·课标全国)若函数y ＝a x (x ∈[－1，1])的最大值与最小值之和为3，则a 2＋a －2＝( ) A ．9 B ．7 C ．6 D ．5答案 B解析 ∵函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[－1，1]上单调，∴当x ＝－1时，y ＝a －1；当x ＝1时，y ＝a.则a －1＋a ＝3，两边同时平方得a －2＋2＋a 2＝9，∴a －2＋a 2＝7. 8．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．b>c>a 答案 A解析 由0.2<0.6，0＜0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2＜1，所以a>b.综上，a>b>c.9．(2020·山东师大附中月考)函数f(x)＝1－e |x|的图象大致是( )答案 A解析 因为函数f(x)＝1－e |x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．10．(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x<0，则函数f(x)是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减答案 C解析 易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x ，－f(x)＝2－x －1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x －1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x －1，－f(x)＝1－2x ，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x ＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增．故选C.11．若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1)∪(1，＋∞) B ．(0，1) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不等实数根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0<a<1时，如图①，所以0<2a<1，即0<a<12.②当a>1时，如图②，而y ＝2a>1不符合要求．综上，0<a<12.故选D.12．已知函数f(x)＝a x ＋b(a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 答案 －32解析 ①当0<a<1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝0，f （0）＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32. ②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－1，f （0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.13．(2019·福州质检)已知实数a ≠1，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x<0，若f(1－a)＝f(a －1)，则a 的值为________． 答案 12解析 当a<1时，41－a ＝21，a ＝12；当a>1时，代入不成立．14．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝|2x －1|，a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0；②a<0，b ≥0，c>0；③2－a <2c ；④2a ＋2c <2. 答案 ④解析 作出函数图象，由图象可知a<0时，b 的符号不确定，1>c>0，故①②错；因为f(a)＝|2a －1|，f(c)＝|2c －1|，所以|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，所以2a ＋c <1，所以a ＋c<0，所以－a>c ，所以2－a >2c ，③不成立．15．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1在[－3，2]上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤34，57 解析 y ＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x－122＋34， 因为x ∈[－3，2]，所以14≤⎝⎛⎭⎫12x≤8.当⎝⎛⎭⎫12x＝12时，y min ＝34，当⎝⎛⎭⎫12x＝8时，y max ＝57. 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. 16．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a>0且a ≠1)在[－1，1]上的最大值是14? 答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1.(1)当a>1时，∵x ∈[－1，1]，∴a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，即t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a .∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数⎝⎛⎭⎫对称轴t ＝－1<1a . ∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a>1，∴a ＝3. (2)当0<a<1时，t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a . ∵y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上是增函数，∴y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. ∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a<1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.17．已知函数f(x)＝4x ＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)设g(x)＝2x ＋1－a ，若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围． 答案 (1)m ＝－1 (2)[2，＋∞)解析 (1)由函数f(x)是奇函数可知f(0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.此时f(x)＝2x －2－x ，显然是奇函数．(2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h(t)＝t 2－at ＋1，由于h(0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．。
精品解析：河北省衡水中学高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(解析版)
河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。
2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。
4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。
7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。
作业6【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(六)1．若函数y ＝x 2＋bx ＋c(x ∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b>0 D ．b<0答案 A2．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1xC ．y ＝lgxD ．y ＝x 3 答案 B解析 y ＝－2x ＋1在定义域上为单调递减函数；y ＝lgx 在定义域上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数，故选B. 3．函数f(x)＝1－1x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B解析 f(x)图象可由y ＝－1x 图象沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，如图所示．4．函数f(x)＝x|x －2|的单调减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0] C ．[0，2] D ．[2，＋∞)答案 A解析 由于f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x<2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]，故选A.5．(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．6．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( ) A ．(－∞，2] B ．(0，2] C ．[2，＋∞) D ．[0，＋∞)答案 B解析 方法一：求导y ′＝12(1x ＋1－1x －1)＝x －1－x ＋12x ＋1·x －1，∵函数的定义域为[1，＋∞)，∴x －1－x ＋1<0.∴y ′<0，从而函数在[1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，y max ＝2；当x →＋∞时，y →0. ∴y ∈(0，2]． 方法二：y ＝2x ＋1＋x －1，由分母递增可知函数在定义域内为递减函数，利用单调性求值域．7．已知函数f(x)＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫0，34 C.⎝⎛⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎦⎤0，34 答案 D解析 当a ＝0时，f(x)＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎨⎧a>0，－4（a －3）4a≥3，得0<a ≤34.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34. 8．若函数f(x)＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1答案 B解析 ∵f(x)＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，又f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f(3)＝1，即3＋m ＝1，∴m ＝－2.故选B.9．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的单调递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0] 答案 B解析 g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x>1，0，x ＝1，－x 2，x<1.如图所示，其单调递减区间是[0，1)．故选B.10．已知f(x)为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫|1x |<f(1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得|1x |>1⇒－1<x<0或0<x<1，故选C.11．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案 B解析 设函数f(x)＝2x －5－x ，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y －5y ，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x ≤－y ，所以x ＋y ≤0.12．(2020·衡水中学调研卷)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32 D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13答案 B解析 由题设知，当x<1时，f(x)单调递减；当x ≥1时，f(x)单调递增，而x ＝1为对称轴，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又13<12<23<1，所以f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23. 13．函数f(x)＝log 12(－2x 2＋x)的单调递增区间是________；f(x)的值域是________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，12 [3，＋∞)14．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，x ∈（－∞，0）， ②⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，x ∈（0，＋∞）， ③⎩⎪⎨⎪⎧a>1，x ∈（－∞，0）， ④⎩⎪⎨⎪⎧a>1，x ∈（0，＋∞）能使函数y ＝log a 1x 2为减函数的是________(把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质知①④正确．15．(1)函数y ＝x －x(x ≥0)的最大值为________．(2)若函数f(x)＝|2x ＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________． 答案 (1)14(2)－6解析 (1)令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，所以当t ＝12时，y max ＝14. (2)由f(x)＝⎩⎨⎧－2x －a ，x<－a 2，2x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，故3＝－a 2，解得a ＝－6.16．已知f(x)＝xx －a(x ≠a)． (1)若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 答案 (1)略 (2)0<a ≤1解析 (1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f(x 1)<f(x 2)． ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述，0<a ≤1.17．已知函数f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f(x)的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a 的取值范围．答案 (1)a>1时，{x|x ＞0)；a ＝1时，{x|x>0且x ≠1}；0<a<1时，{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a} (2)lg a2 (3)(2，＋∞)解析 (1)由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.①当a>1时，x 2－2x ＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当a ＝1时，定义域为{x|x>0且x ≠1}； ③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}．(2)设g(x)＝x ＋ax －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，g(x)＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数，最小值为f(2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x －x 2. 而h(x)＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max ＝h(2)＝2.∴a>2.。
作业57【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(五十七)1.(2020·河北徐水一中模拟)如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( ) A ．平面ABD ⊥平面ABC B ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC D ．平面ADC ⊥平面ABC答案 D解析 ∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，故AB ⊥平面ADC ，所以平面ABC ⊥平面ADC.2.(2020·河北冀州中学月考)如图，已知二面角α－PQ －β的大小为60°，点C 为棱PQ 上一点，A ∈β，AC ＝2，∠ACP ＝30°，则点A 到平面α的距离为( )A ．1 B.12 C.32D.32答案 C解析 如图，过A 作AO ⊥α于O ，点A 到平面α的距离为AO. 作AD ⊥PQ 于D ，连接OD ，则AD ⊥CD ，AO ⊥CD ，且AD ∩AO＝A ，所以CD ⊥平面AOD ，所以CD ⊥OD ，所以∠ADO 就是二面角α－PQ －β的平面角，即为60°.因为AC ＝2，∠ACP ＝30°，所以AD ＝ACsin30°＝2×12＝1.在Rt △AOD 中，AO ＝ADsin60°＝1×32＝32.故选C. 3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若F 是DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55C.53D.255答案 D解析 方法一：由VB 1－ABF ＝VF －ABB 1可得解．方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设E 为BC 中点，连接EF ，B 1E ， 则A(1，0，1)，B 1(1，1，0)．设F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，E ⎝⎛⎭⎫12，1，1，B(1，1，1)，AB →＝(0，1，0)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1，AF →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，－12.∵AF →·B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，－12·⎝⎛⎭⎫－12，0，1＝0， ∴AF →⊥B 1E →.同理AB →⊥B 1E →，∴B 1E ⊥平面ABF.平面ABF 的法向量为B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1，又AB 1→＝(0，1，－1)． ∴B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|＝255. 4．(2020·广东深圳月考)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，E ，F 分别为C 1D 1与AB 的中点，B 1到平面A 1FCE 的距离为( )A.36B.33C.66D.63答案 D解析 设点B 1到平面A 1FCE 的距离为h.∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴A 1F ＝FC ＝52，A 1C ＝3，EF ＝2，∴S △A 1CF ＝12×3×22＝64，S △A 1B 1F ＝12×1×1＝12. 又V 三棱锥B 1－A 1CF ＝V 三棱锥C －A 1B 1F ，∴13×64h ＝13×12×1，解得h ＝63.即点B 1到平面A 1FCE 的距离为63.故选D. 5．(2020·哈尔滨模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，在正方体表面上与点A 距离是2的点形成一条封闭的曲线，这条曲线的长度是( ) A ．π B.32π C ．3π D.52π 答案 D解析 在面ABCD ，面AA 1B 1B ，面AA 1D 1D 内与点A 的距离是2的点的轨迹分别是以A 为圆心，2为半径，圆心角为π6的圆弧，在面A 1B 1C 1D 1，面BB 1C 1C ，面CC 1D 1D 内与点A的距离是2的点的轨迹是分别以A 1为圆心，以B 为圆心，以D 为圆心，1为半径，圆心角为π2的圆弧，故圆弧的长为3×π6×2＋3×π2×1＝52π. 6．(2020·江西南昌调研)已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，PA 为球O 的直径，且PA ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案 B解析 ∵三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，且直径PA ＝4，∴球心O 是PA 的中点，球O 的半径R ＝OC ＝12PA ＝2.过点O 作OD ⊥平面ABC ，垂足为D.在△ABC 中，AB＝22，∠ACB ＝90°，∴D 为AB 的中点，且AD ＝BD ＝CD ＝2，∴OD ＝OC 2－CD 2＝4－2＝2，∴点P 到底面ABC 的距离d ＝2OD ＝2 2.故选B.7．(2020·西安五校联考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出以下四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC.则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，故①错误；设点D 在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时，有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，可使条件满足，故②正确；当点P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，故③正确；因为点D 的投影不可能在FC 上，所以平面DCF ⊥平面BFC 不成立，故④错误．故选B.8．(2020·湖北宜昌期末)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上一点，且A 1G ＝λ(0<λ<2)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C.223 D.255答案 D解析 本题考查点到平面的距离．方法一：因为E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，所以A 1B 1∥EF.又G 在A 1B 1上，所以点G 到平面D 1EF 的距离即为点A 1到平面D 1EF 的距离．作A 1M ⊥D 1E ，交D 1E 于点M ，因为EF ⊥平面AA 1D 1D ，所以A 1M ⊥EF ，又D 1E ∩EF ＝E ，所以A 1M ⊥平面D 1EF.所以点A 1到平面D 1EF 的距离即为A 1M 的长．又A 1E ＝1，A 1D 1＝2，所以D 1E ＝5，所以点G 到平面D 1EF 的距离为A 1M ＝1×25＝255.方法二：连接EG ，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．则G(2，λ，2)，D 1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以ED 1→＝(－2，0，1)，EF →＝(0，2，0)，EG →＝(0，λ，1)． 设平面D 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED 1→＝－2x ＋z ＝0，n ·EF →＝2y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，0，2)．所以点G 到平面D 1EF 的距离d ＝|EG →·n ||n |＝25＝255.故选D.9．(2020·广东佛山一模)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，E ，F 分别是CD 边上的三等分点，将△ADF 和△BCE 分别沿AF ，BE 折起到△AD ′F ，△BC ′E 的位置，且使平面AD ′F ⊥底面ABCD ，平面BC ′E ⊥底面ABCD ，连接D ′C ′. (1)求证：D ′C ′∥平面ABEF ； (2)求点A 到平面EFD ′C ′的距离． 答案 (1)略 (2)63解析 (1)证明：如图，分别过点D ′，C ′作AF ，BE 的垂线，垂足为M ，N ，连接MN.因为平面AD ′F ⊥底面ABEF ，且平面AD ′F ∩底面ABEF ＝AF ， 所以D ′M ⊥平面ABEF.同理可证，C ′N ⊥平面ABEF ，所以D ′M ∥C ′N. 又△AD ′F ≌△BC ′E ，所以D ′M ＝C ′N.所以四边形D ′MNC ′为平行四边形，则D ′C ′∥MN. 又因为D ′C ′⊄平面ABEF ，所以D ′C ′∥平面ABEF. (2)连接DD ′，在Rt △D ′AF 中，D ′F ＝AD ′＝1，所以D ′M ＝22. 因为S △ADF ＝12·DF ·AD ＝12×1×1＝12，所以V D ′－ADF ＝13S △ADF ·D ′M ＝13×12×22＝212.设点A 到平面EFD ′C ′的距离为h ，因为DD ′＝D ′M 2＋DM 2＝1，D ′F ＝DF ＝1，所以S △DFD ′＝12×1×32＝34.所以V A －DFD ′＝13S △DFD ′·h ＝13×34h ＝312h ，由V A －DFD ′＝V D ′－ADF 得312h ＝212，所以h ＝63， 故点A 到平面EFD ′C ′的距离为63. 10.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC. (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的余弦值； (3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由． 答案 (1)略 (2)144(3)存在点E 解析 方法一：(1)证明：∵PA ⊥底面ABC ， ∴PA ⊥BC.又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC. (2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC.又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB.又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形． ∴AD ＝12AB.在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°.∴BC ＝12AB.∴Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴cos ∠DAE ＝144. (3)∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC. 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ， ∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE.∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°. ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC. 这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角．方法二：如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设PA ＝a ，由已知可得A(0，0，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32a ，0，P(0，0，a)．(1)证明：∵AP →＝(0，0，a)，BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0， ∴BC →·AP →＝0，∴BC ⊥AP.又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC.又AP ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC.(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ， ∴E 为PC 的中点．∴D ⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，E ⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵AD →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a ，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE→|AD →|·|AE →|＝144.(3)同方法一．11．(2020·长沙统一模拟)已知三棱锥P －ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P －ABC 中： (1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P －BC －M 的余弦值．答案 (1)略 (2)53333解析 (1)证明：如图，设AC 的中点为O ，连接BO ，PO.由题意，得PA ＝PB ＝PC ＝2， PO ＝BO ＝1.因为在△PAC 中，PA ＝PC ，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC. 因为在△POB 中，PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB.因为AC ∩OB ＝O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC. 因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC.(2)由(1)知，BO ⊥PO ，由题意可得BO ⊥AC ，且PO ∩AC ＝O ，所以BO ⊥平面PAC ， 所以∠BMO 是直线BM 与平面PAC 所成的角，且tan ∠BMO ＝BO OM ＝1OM ，所以当线段OM 最短，即M 是PA 的中点时，∠BMO 最大．由PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，得PO ⊥OB ，PO ⊥OC ，OB ⊥OC ，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，1，0)，A(－1，0，0)，P(0，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫－12，0，12，BC →＝(1，－1，0)，PC →＝(1，0，－1)，MC →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－12. 设平面MBC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·MC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＝0，3x 1－z 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝1，z 1＝3，即m ＝(1，1，3)是平面MBC 的一个法向量． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，x 2－z 2＝0，令x 2＝1，得y 2＝1，z 2＝1，即n ＝(1，1，1)是平面PBC 的一个法向量． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝533＝53333.结合图可知，二面角P －BC －M 的余弦值为53333.12．(2020·河北九校第二次联考)等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12，如图甲，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1－DE －B 为直二面角，连接A 1B ，A 1C ，如图乙．(1)求证：BD ⊥平面A 1DE.(2)在线段BC 上是否存在点P ，使平面PA 1E 与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．答案 (1)略 (2)存在，PB ＝2解析 (1)证明：因为等边三角形ABC 的边长为3，且AD DB ＝CE EA ＝12， 所以AD ＝1，AE ＝2.在△ADE 中，∠DAE ＝60°，由余弦定理得DE ＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3， 从而AD 2＋DE 2＝AE 2，所以AD ⊥DE ，即BD ⊥DE. 因为二面角A 1－DE －B 是直二面角， 所以平面A 1DE ⊥平面BCED.又平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，BD ⊥DE. 所以BD ⊥平面A 1DE.(2)存在．由(1)的证明可知，BD ，DA 1，DE 两两垂直，以D 为坐标原点，分别以DB ，DE ，DA 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.设PB ＝2a ，作PH ⊥BD 于点H ，连接A 1H ，A 1P ，PE ， 则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ，所以D(0，0，0)，A 1(0，0，1)，P(2－a ，3a ，0)，E(0，3，0)，所以A 1P →＝(2－a ，3a ，－1)，A 1E →＝(0，3，－1)， 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z)为平面PA 1E 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥A 1E →⇒3y －z ＝0，n 1⊥A 1P →⇒（2－a ）x ＋3ay －z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3（1－a ）2－a ，1，3.所以cos60°＝|cos 〈n 1，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33×1＋3＋3（1－a ）2（2－a ）2，得a ＝1. 所以存在点P ，且PB ＝2，使平面PA 1E 与平面A 1BD 所成的角为60°.。
作业58【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(五十八)1．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.23π D.56π 答案 A2．(2020·东安模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋35上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，2π3B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π3答案 B 解析y ′＝3x 2－3≥－3，即tan α≥－3，又0≤α<π，∴0≤α<π2或2π3≤α<π，选B.3．直线l 过点M(－2，5)，且斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 因为直线l 的斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的斜率为k ＝－34，故y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0，故选A.4．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 答案 D解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．5．(2020·北京东城期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k>3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B.6．过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0答案 B解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a.①当a ＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5，2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y 12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.故选B. 7．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的哪一个( )答案 B8．(2020·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.9．(2020·衡水中学调研)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0 C ．x －(2＋1)y ＋2＝0 D ．(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 如图，化A 中的直线方程为截距式x 2＋y2＋2＝1，化B 中的直线方程为截距式x 2＋2＋y 2＝1，化C 中的直线方程为截距式x －2＋y2－2＝1，化D 中的直线方程为截距式x －2－2＋y2＝1.由图可知，直线在坐标轴上的截距的绝对值的最小值为 2.所以C 不是该正八边形的一条边所在直线．故选C.10．(2020·沧州七校联考)曲线y ＝alnx －2(a>0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则实数a 的值为( ) A. 2 B ．2 C ．4 D ．8答案 B解析 由y ＝f(x)＝alnx －2，得f ′(x)＝ax ，∴f ′(1)＝a.又f(1)＝－2，∴曲线y ＝alnx －2(a>0)在x＝1处的切线方程为y ＋2＝a(x －1)．令x ＝0，得y ＝－a －2.令y ＝0，得x ＝2a ＋1.∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12|(－a －2)⎝⎛⎭⎫2a ＋1|＝12(a ＋2)⎝⎛⎭⎫2a ＋1＝4，解得a ＝2.故选B. 11．若斜率为2的直线经过(3，5)，(a ，7)，(－1，b)三点，则a ＝________，b ＝________． 答案 4 －312．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．答案 x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0 解析 设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵k ＝16，即b a ＝－16，∴a ＝－6b.又三角形面积S ＝3＝12|a|·|b|，∴|ab|＝6.则当b ＝1时，a ＝－6；当b ＝－1时，a ＝6. ∴所求直线方程为x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1.即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.13．已知P(－3，2)，Q(3，4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－73，－13 解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a<－13.14．(2020·湛江质检)若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________． 答案 {k|k ＝0或k ≥1}解析 由题意，知|x －1|＝kx ，有且只有一个正实根，即y ＝kx 和y ＝|x －1|的图象在y 轴右侧有唯一交点．结合图形，可得k ＝0或k ≥1.15．(2020·湖北黄冈调研)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为________．答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a ＝1，代入点(1，2)，可得1a －2a ＝1，解得a ＝－1，直线方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.16．在△ABC 中，已知A(1，1)，AC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在的直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．答案 2x ＋5y ＋9＝0 解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0， l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C(3，－3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B(－2，－1)．∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.17．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )， (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 答案 (1)定点(－2，1) (2)[0，＋∞) (3)S 最小值为4，x －2y ＋4＝0解析 (1)证明：设直线过定点(x 0，y 0)， 则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立． 所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0.解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 过定点(－2，1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是k ≥0. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0，1＋2k)．又－1＋2kk <0，且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k ×(1＋2k) ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，等号成立．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
作业4【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(四)1．如图所示，对应关系f 是从A 到B 的函数的是( )答案 D解析 A 到B 的函数为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D 项表示A 到B 的函数． 2．下列图象中不能作为函数图象的是( )答案 B解析 B 中的图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B. 3．函数y ＝|x|（x －1） 的定义域为( ) A ．{x|x ≥1} B ．{x|x ≥1或x ＝0} C ．{x|x ≥0} D ．{x|x ＝0}答案 B解析 由题意得|x|(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x|＝0. ∴x ≥1或x ＝0.4．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f(x)＝x －1与g(x)＝x 2－1x ＋1B ．f(x)＝x ＋2，x ∈R 与g(x)＝x ＋2，x ∈ZC ．f(u)＝1＋u1－u与f(v)＝1＋v1－vD ．y ＝f(x)与y ＝f(x ＋1) 答案 C5．已知f(x 5)＝lgx ，则f(2)等于( ) A ．lg2 B ．lg32 C ．lg 132D.15lg2 答案 D 解析 令x 5＝t ，则x ＝t 15(t>0)，∴f(t)＝lgt 15＝15lgt.∴f(2)＝15lg2，故选D.6．(2014·山东，理)函数f(x)＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 由题意可知x 满足(log 2x)2－1>0，即log 2x>1或log 2x<－1，解得x>2或0<x<12，故所求的定义域是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 7．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x>1，若f(x)＝2，则x 等于( )A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2答案 A解析 当x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x>1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32.8．已知函数f(x)对任意实数x 满足f(2x －1)＝2x 2，若f(m)＝2，则m ＝( ) A ．1 B ．0 C ．1或－3 D ．3或－1答案 C解析 本题考查函数的概念与解析式的求解．令2x －1＝t 可得x ＝12(t ＋1)，故f(t)＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f(m)＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x －4的定义域为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 A解析 由题意得⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x －4≥0，即22x －3·2x －4≥0. ∴(2x －4)(2x ＋1)≥0，解得x ≥2.故选A.10．(2020·湖北宜昌一中模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x<1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34 D.12答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b<1，即b>32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，得到b ＝78<32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.11．函数f(x)＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]答案 A解析 要使函数f(x)有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x ≤1，故选A.12．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f(3)＝______． 答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f(x)＝x 2＋2(x ∈R )，∴f(3)＝32＋2＝11.13．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 f(x)2 3 1x 1 2 3 g(x)321则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x 的值是________． 答案 1 214．定义函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则不等式(x ＋1)f(x)>2的解集是________．答案 {x|x<－3或x>1}解析 ①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x ＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x ＋1)f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．15．(2018·浙江改编)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x<2.则不等式f(x)<0的解集是________．答案 (1，4)解析 方法一：当x ≥2时，x －4＜0，得2≤x ＜4， 当x ＜2时，x 2－4x ＋3＜0，得1＜x ＜2， ∴f(x)＜0的解集是[2，4)∪(1，2)＝(1，4)．方法二：分段函数的图象如图得出不等式f(x)<0的解集是(1，4).16．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q(p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f(n)＝p q ，例如：f(12)＝34.关于函数f(n)有下列叙述：①f(7)＝17；②f(24)＝38；③f(28)＝47；④f(144)＝916，其中所有正确的序号为________．答案 ①③解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①，∵7＝1×7，∴f(7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f(24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f(28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f(144)＝1212＝1，④不正确．17．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，求c 和A 的值． 答案 60，16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.。
作业50【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
专题层级快练(五十)1．(2020·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π答案 A解析 如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R(R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R)2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π.2．(2020·河北张家口期末)体积为8的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为( ) A ．8π B ．4π C.823π D.4π3答案 D解析 要使球的体积V 最大，则球为正方体的内切球． ∵正方体的体积为8，∴正方体的棱长为2， ∴内切球的半径为1，体积为43π×13＝4π3，故选D.3．(2020·南昌外国语学校适应性测试)正四棱锥V －ABCD 的五个顶点在同一个球面上．若其底面边长为4，侧棱长为26，则此球的体积为( ) A ．722π B ．36π C ．92π D.9π2 答案 B解析 本题考查正四棱锥的外接球的体积．由题意知正四棱锥的高为（26）2－（22）2＝4，设其外接球的半径为R ，则R 2＝(4－R)2＋(22)2，解得R ＝3，所以外接球的体积为43πR 3＝43π×33＝36π.故选B.4．(2017·课标全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4答案 B解析 根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r ＝22－122＝32，所以圆柱的体积V ＝πr 2h ＝π×⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4.故选B.5．(2020·武昌调研)已知A ，B ，C ，D 是球O 上不共面的四点，且AB ＝BC ＝AD ＝1，BD ＝AC ＝2，BC ⊥AD ，则球O 的体积为( ) A.3π2B.3π C ．23π D ．43π答案 A解析 由题知，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AB ∩AD ＝A ，所以AB 2＋BC 2＝AC 2，所以∠CBA ＝π2，即BC ⊥AB ，又BC ⊥AD ，所以BC ⊥平面ABD ，因为AB ＝AD ＝1，BD ＝2，所以AB 2＋AD 2＝BD 2，所以AB ⊥AD ，此时可将点A ，B ，C ，D 看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O 为正方体的外接球，设球O 的半径为R ，故2R ＝12＋12＋12，所以R ＝32，则球O 的体积V ＝43πR 3＝3π2.故选A.6．(2020·安徽合肥模拟)已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为( ) A.324B.924C.322D.922答案 D解析 设该球球心为O ，因为球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，所以三棱锥S －OAB 是棱长为3的正四面体，其体积V S －OAB ＝13×12×3×332×6＝924，同理V O －ABC ＝924，故三棱锥S －ABC 的体积V S －ABC ＝V S －OAB ＋V O －ABC ＝922，故选D.7．在一个半球内挖去一个多面体，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．46π－8B ．83π－8C ．86π－4D ．83π－4答案 A解析 由三视图可知半球内挖去的多面体是棱长为2的正方体，且该正方体是半球的内接正方体. 设半球的半径为R ，则R ＝2＋（2）2＝6，所以该几何体的体积V ＝12×4π3×(6)3－23＝46π－8.8．(2020·广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( ) A.7π6 B.4π3 C.2π3 D.π2答案 C解析 由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的18，三棱锥形容器的体积为13×34×42×63×4＝1623，所以没有水的部分的体积为223.设其棱长为a ，则其体积为13×34a 2×63a ＝223，∴a ＝2，设小球的半径为r ，则4×13×3×r ＝223，解得r ＝66，∴球的表面积为4π×16＝2π3.故选C.9．(2020·江西宜春模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．36πB ．8π C.92π D.278π 答案 B解析 根据几何体的三视图，得该几何体是底面为等腰直角三角形、高为2的三棱锥，如图所示．该三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球．设外接球的半径为R ，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R 2＝1＋1＝2，∴外接球的表面积是4πR 2＝8π，故选B.10．(2020·唐山五校联考)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A ．10 3 cmB ．10 cmC ．10 2 cmD ．30 cm答案 B解析 依题意，在四棱锥S －ABCD 中，所有棱长均为20 cm ，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，则SO ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝10 2 cm ，易知点O 到AB ，BC ，CD ，AD 的距离均为10 cm ，在等腰三角形OAS 中，OA ＝OS ＝10 2 cm ，AS ＝20 cm ，所以O 到SA 的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD 的中心，所以皮球的半径R＝10 cm，故选B.11．(2020·郑州质检)四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为()A．9πB．3πC．22πD．12π答案 D解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD对角线AC的长为22，可得正方形ABCD的边长a＝2，在△PAC中，PC＝22＋（22）2＝23，球的半径R＝3，∴S表＝4πR2＝4π×(3)2＝12π. 12．(2017·课标全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．答案14π解析设长方体的外接球半径为R，则2R＝32＋22＋12＝14，所以球O的表面积S＝4πR2＝π(2R)2＝14π.13．(2020·浙江台州高三月考)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为6，则这个半球的体积为________．答案18π解析方法一：过正方体的对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为6，所以CC1＝6，OC＝22×6＝ 3.在Rt △C 1CO 中，由勾股定理，得CC 12＋OC 2＝OC 12，即(6)2＋(3)2＝R 2，所以R ＝3.故V半球＝23πR 3＝18π. 方法二：将其补成球和内接长方体，原正方体的棱长为6，则(2R)2＝6＋6＋(26)2，所以R ＝3.故V 半球＝23πR 3＝18π.14．(2020·衡水中学调研卷)已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________． 答案33解析 先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33(或用等体积法：V P －ABC ＝V A －PBC 求解)．15．(2017·课标全国Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 答案 36π解析 设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，所以V S －ABC ＝V A －SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ，即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 16．(2020·合肥质量检测二)已知半径为3 cm 的球内有一个内接四棱锥S －ABCD ，四棱锥S －ABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S －ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于________cm.答案 4解析 方法一：如图，设四棱锥S －ABCD 的侧棱长为x ，底面边长为a ，棱锥的高为h ，由题意知顶点S 在底面上的投影为底面正方形ABCD 的中心，记为O 1，连接SO 1，则四棱锥S －ABCD 外接球的球心在四棱锥的高SO 1上，记球心为O ，连接OB ，O 1B ，在Rt △OO 1B 中，OO 1＝h －3，OB ＝3，O 1B ＝22a ， 由勾股定理得32＝(h －3)2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，整理得a 2＝12h －2h 2， 在Rt △SO 1B 中，x 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝h 2＋6h －h 2＝6h ， 所以h ＝x 26，所以a 2＝2x 2－x 418，所以V S －ABCD ＝13a 2h ＝13⎝⎛⎭⎫2x 2－x 418·x 26＝1324(－x 6＋36x 4)，设f(x)＝－x 6＋36x 4，所以f ′(x)＝－6x 5＋144x 3＝－6x 3(x 2－24)，所以当0<x<26时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当x>26时，f ′(x)<0，f(x)单调递减． 所以当x ＝26时，f(x)有极大值，即最大值， 此时四棱锥S －ABCD 的体积最大，且a 2＝2×(26)2－（26）418＝16，即a ＝4. 方法二：由上可得a 2＝12h －2h 2 ∴V S －ABCD ＝13a 2h ＝23(6h 2－h 3)V ′＝23(12h －3h 2)＝2h(4－h)当0<h<4时，V ′>0，V 单调递增． 当h>4时，V ′<0，V 单调递减． ∴当h ＝4时，V 最大． 此时a 2＝16，a ＝4.。
作业2【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(二)1．(2020·湖北宜昌一中月考)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．(2020·河南杞县中学月考)命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题 答案 C解析 根据逆否命题的定义可以排除A 、D 两项，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0 答案 B解析 否命题既否定条件又否定结论． 4．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a>b ，则1a <1b”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x>|y|，则x>y ”，由x>|y|≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x>1”，是假命题，因为x 2>1⇔x>1或x<－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题的逆否命题是“若1a ≥1b ，则a ≤b ”是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1，故选A.5．(2020·山西师大附中月考)已知向量a ＝(1，x)，b ＝(x ，4)，则“x ＝－2”是“a 与b 反向”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a 与b 反向，则存在唯一的实数λ，使得a ＝λb (λ<0)，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，x ＝4λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－2，所以“x ＝－2”是“a 与b 反向”的充要条件．故选C. 6．(2019·云南师大附中期中)“10a >10b ”是“lga>lgb ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当lga>lgb 时，a>b>0，则10a >10b ；当10a >10b 时，a>b ，不能得出lga>lgb.故选A. 7．(2020·西安一模)设命题p ：“x 2 ＋x －6＜0”，命题q ：“|x|＜1”，那么p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 p ：－3＜x ＜2；q ：－1＜x ＜1，易知选B.8．(2020·河北唐山一中模拟)“x>1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当x>1时，x ＋2>3>1，又y ＝log 12x 是减函数，∴log 12(x ＋2)<log 121＝0，则x>1⇒log 12(x ＋2)<0；当log 12(x ＋2)<0时，x ＋2>1，x>－1，则log 12(x＋2)<0x>1.故“x>1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件．故选B.9．(2019·北京)设函数f(x)＝cosx ＋bsinx(b 为常数)，则“b ＝0”是“f(x)为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 (定义法)当b ＝0时，f(x)＝cosx ，显然f(x)是偶函数，故“b ＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx ＋bsinx ，又cos(－x)＝cosx ，sin(－x)＝－sinx ，所以cosx －bsinx ＝cosx ＋bsinx ，则2bsinx ＝0对任意x ∈R 恒成立，得b ＝0，因此“b ＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b ＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件．故选C.10．(2020·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cosx ≠cosy ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设集合A ＝{(x ，y)|x ≠y}，B ＝{(x ，y)|cosx ≠cosy}，则A 的补集C ＝{(x ，y)|x ＝y}，B 的补集D ＝{(x ，y)|cosx ＝cosy}，显然C D ，所以BA.于是“x ≠y ”是“cosx ≠cosy ”的必要不充分条件．11．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0，故选B. 12．(2020·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m>0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m>14B ．0<m<1C ．m>0D ．m>1答案 C解析 若不等式x 2－x ＋m>0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>14，因此当不等式x 2－x ＋m>0在R 上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.13．若不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－43，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞答案 B解析 由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，所以⎩⎨⎧m －1≤13，12≤m ＋1，且等号不能同时取得，解得－12≤m ≤43，故选B.14．(2020·浙江宁波一模)若“x>1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a>3 B ．a<3 C ．a>4 D ．a<4答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x>a.设f(x)＝2x ＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x ＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.15．(1)(2020·沈阳质检)在命题“若m>－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．(2)已知p(x)：“x 2＋2x －m>0”，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 (1)3 (2)[3，8)解析 (1)若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.(2)因为p(1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3. 又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8. 故实数m 的取值范围为[3，8)．16．(1)“x>y>0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．(3)在△ABC 中，“A ＝B ”是“tanA ＝tanB ”的________条件． 答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充要 解析 (1)1x <1y ⇒xy ·(y －x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y.则“x ＞y ＞0”是“1x ＜1y”的充分不必要条件．(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．(3)若A ＝B ，则A ，B 只能为锐角，∴tanA ＝tanB ，则充分性成立；若tanA ＝tanB 则只能tanA ＝tanB ＞0，∴A ，B 为锐角，∴A ＝B ，必要性成立． 17．(2019·贵阳模拟)下列不等式： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④18．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x<1，x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1，由题意得⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.。
作业3【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
1．下列命题中是假命题的是( )
A．∃x∈R，log2x＝0 C．∀x∈R，x2>0
B．∃x∈R，cosx＝1 D．∀x∈R，2x>0
答案 C
解析 因为 log21＝0，cos0＝1，所以 A、B 均为真命题，02＝0，C 为假命题，2x>0，选项 D 为真命题．
2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )
B．∃x0∈∁RQ，x03∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
解析 该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．
5．已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈
q)；④(綈 p)∨q 中，真命题是( ) A．①③ C．②③
B．①④ D．②④
( )1 x
C．∀x∈R， <0 3
( )1 x
B．∀x∈R， ≤0 3
( )1 x0
D．∃x0∈R， 3 ≤0
答案 D
( )1 x
解析 全称命题“∀x∈R， >0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定， 3
即把“>”改为“≤”．故选 D.
4．命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是( ) A．∃x0∉∁RQ，x03∈Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q 答案 D
[ ] 1 9
π
解析 令 f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋ )2－ ，由于 x∈ 0， ，所以 cosx48 Nhomakorabea2
∈[0，1]．于是 f(x)∈[－1，2]，因此实数 m 的取值范围是[－1，2]． 16．已知命题 p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”命题 q：“∃x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若 命题“p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围． 答案 a≤－2 或 a＝1 解析 由“p∧q”是真命题，则 p 为真命题，q 也为真命题，若 p 为真命题，a≤x2 恒成立，∵ x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，∴a≤1.若 q 为真命题，即 x2＋2ax＋2－a＝0 有实根，Δ＝4a2－4(2 －a)≥0，即 a≥1 或 a≤－2，综上所求实数 a 的取值范围为 a≤－2 或 a＝1.
作业40【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
专题层级快练(四十)(第一次作业)1．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 4a 1等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．7答案 D解析 ∵数列{a n }是公差不为零的等差数列，设公差为d.∴S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d.又∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1·S 4，可得d ＝2a 1或d ＝0(舍去)．∴a 4＝a 1＋3d ＝7a 1.∴a 4a 1＝7.故选D. 2．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋52，a 11成等比数列．若p －q ＝10，则a p －a q ＝( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意分析知d>0，因为a 3，a 4＋52，a 11成等比数列，所以⎝⎛⎭⎫a 4＋522＝a 3a 11，即⎝⎛⎭⎫72＋3d 2＝(1＋2d)·(1＋10d)，即44d 2－36d －45＝0，所以d ＝32⎝⎛⎭⎫d ＝－1522舍去，所以a n ＝3n －12.所以a p －a q ＝32(p －q)＝15. 3．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14答案 C解析 S 5＝5a 1＋5×42d ，所以5×15＋10d ＝55，即d ＝－2.所以k PQ ＝a 4－a 24－3＝2d ＝－4.4．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 D解析 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 72＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 72＝a 72＝16.5．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( ) A ．3n ＋4 B ．6n ＋2 C ．6n ＋4 D ．2n ＋2 答案 C解析 设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，则d 1＝a 6－a 26－2＝84＝2，d 2＝b 6－b 26－2＝124＝3.∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.∴数列{a n }为6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{b n }为1，4，7，10，13，16，19，22，….∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列． ∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.6．(2019·河南洛阳期末)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 B解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 42＝a 2a 8，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋7d)，∴a 1＝d ，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝3a 1＋12d 2a 1＋3d＝3.故选B. 7．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( ) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg2－lg1.3lg1.12，又lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n>4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.8．某气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( ) A ．600天 B ．800天 C ．1 000天 D ．1 200天答案 B解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋⎝⎛⎭⎫5＋n 10＋4.9n 2n＝32 000n ＋n20＋4.95，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.故选B.9．(2019·衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n 与形如3n (n ∈N *)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)( ) A ．1 631 B ．6 542 C ．15 340 D ．17 424答案 B解析 由2n <104，得n<4lg2≈13.29，故数列{2n }在1到104之间的项共有13项，它们的和S 1＝2×（1－213）1－2＝16 382；同理，数列{3n }在1到104之间的项共有8项，它们的和S 2＝3×（1－38）1－3＝9 840，∴|S 1－S 2|＝6 542.10．数列{a n }是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的连续三项，则数列{b n }的公比为________． 答案 12或1解析 设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 32＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，整理得(a 1＋4d)d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d.当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1，a 3，a 4分别为－4d ，－2d ，－d ，所以等比数列{b n }的公比为12.11．用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元． 答案 111解析 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， …a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n(万元)(1≤n ≤20，n ∈N *)． 因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a 10＝121－10＝111(万元)．12．(2019·广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 答案 4解析 设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a 1＝12，设操作n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ，则a n ＋1＝a n ·12，∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫12n，∴⎝⎛⎭⎫12n<110，解得n ≥4.13．(2017·山东)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝2n (2)T n ＝5－2n ＋52n解析 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知a 1(1＋q)＝6，a 12q ＝a 1q 2. 又a n >0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n .14．(2020·广东汕头二模)已知数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14（1－a n ）.(1)设b n ＝22a n －1，求证：数列{b n }为等差数列； (2)求证：a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n <n ＋34.答案 (1)略 (2)略 证明 (1)∵a n ＋1＝14（1－a n ），b n ＝22a n －1，∴b n ＋1＝22a n ＋1－1＝224（1－a n ）－1＝22a n －1－2＝b n －2， ∴b n ＋1－b n ＝－2，又a 1＝14，∴b 1＝22a 1－1＝－4，∴数列{b n }是首项为－4，公差为－2的等差数列． (2)由(1)知b n ＝－4＋(n －1)·(－2)＝－2n －2， 即22a n －1＝－2n －2，∴a n ＝12－12n ＋2＝n2（n ＋1），由于a n ＋1a n ＝n ＋12（n ＋2）·2（n ＋1）n ＝（n ＋1）2n （n ＋2）＝1＋1n （n ＋2）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n ＝n ＋12(1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2)＝n ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<n ＋34. 15．(2019·云、贵、川三省联考)设数列{a n }是公差大于0的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝9，且2a 1，a 3－1，a 4＋1构成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝2n －1(n ∈N *)，设T n 是数列{b n }的前n 项和，证明：T n <6.答案 (1)a n ＝2n －1 (2)略解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，则d>0. 因为S 3＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝9，即a 2＝3. 因为2a 1，a 3－1，a 4＋1构成等比数列， 所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)， 所以d ＝2.所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1. (2)证明：因为a nb n ＝2n －1(n ∈N *)，所以b n ＝2n －12n －1＝(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1，所以T n ＝1×⎝⎛⎭⎫120＋3×⎝⎛⎭⎫121＋…＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，①所以12T n ＝1×⎝⎛⎭⎫121＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ，②由①②两式相减得12T n＝1＋2×⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2×⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ，整理化简得T n ＝6－2n ＋32n －1.又因为n ∈N *，所以T n ＝6－2n ＋32n －1<6. (第二次作业)1．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1，公比为q 的等比数列，则q 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4答案 C解析 设等比数列的公比为q ，由根与系数的关系，得1＋q ＋q 2＋q 3＝15，即(q －2)(q 2＋3q ＋7)＝0，因此q ＝2.2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( ) A.S 32 B.S 34 C.S 36 D.S 38 答案 C解析 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋14S －x ⎝⎛⎭⎫1＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫1＋12S ，x ＝S 36. 3．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A.1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316.故a ＋b ＋c ＝1，故选A.4．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，……，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( ) A ．211－47 B ．212－57 C ．213－68 D ．214－80答案 B解析 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝4×2n －1，b n ＝n ，故上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋4（1－210）1－2－10×（1＋10）2＝212－57.5．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管为( ) A ．9根 B ．10根 C ．19根 D ．29根 答案 B解析 设堆成x 层，得1＋2＋3＋…＋x ≤200，即求使得x(x ＋1)≤400成立的最大正整数x ，应为19.∴200－19·（19＋1）2＝10.6．(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f答案 D解析 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音频率为a 8＝f·(122)8－1＝1227f ，故选D.7.(2020·合肥市二检)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100－200⎝⎛⎭⎫910n 万元，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 D解析 由题意知，茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列，其通项a n ＝n ，货物单价构成一个等比数列，其通项b n ＝⎝⎛⎭⎫910n －1，所以每一层货物的总价为a n b n ，这堆货物的总价为S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，即S n ＝1×1＋2×910＋3×⎝⎛⎭⎫9102＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫910n －2＋n ×⎝⎛⎭⎫910n －1，所以910S n ＝1×910＋2×⎝⎛⎭⎫9102＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫910n －1＋n ×⎝⎛⎭⎫910n ，两式相减，得110S n ＝1＋910＋⎝⎛⎭⎫9102＋…＋⎝⎛⎭⎫910n －1－n ×⎝⎛⎭⎫910n ＝1－⎝⎛⎭⎫910n1－910－n ×⎝⎛⎭⎫910n＝10－(10＋n)⎝⎛⎭⎫910n，所以S n ＝100－10(10＋n)⎝⎛⎭⎫910n，于是由100－10(10＋n)⎝⎛⎭⎫910n＝100－200⎝⎛⎭⎫910n，得10(10＋n)＝200，解得n ＝10.故选D.8．(2019·河北教学质量监测)已知函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1(k ∈N *)，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________． 答案 21解析 由题意，得函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线方程是y －a k 2＝2a k (x －a k )．令y ＝0，得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，所以a k ＝16·⎝⎛⎭⎫12k －1＝25－k ，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.9．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)． 答案 45解析 依题意可知a 0＝2，a 1＝22，a 2＝23，…，a n ＝2n ＋1. 64MB ＝64×210＝216KB ，令2n ＋1＝216得n ＝15. ∴开机后45分钟该病毒占据64MB 内存．10．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________；若x ＝1，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为T n ，则T 4＝________． 答案 2n －1 10解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝1－2n1－2＝2n －1.当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1，4，第3次生成的数为1，2；－4，7，第4次生成的数为－1，4；－2，5；4，－1；－7，10.故T 4＝10.11．(2019·课标全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列． (2)求{a n }和{b n }的通项公式．答案 (1)略 (2)a n ＝12n ＋n －12；b n ＝12n －n ＋12.解析 (1)证明：由题意得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题意得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12. 12．(2020·衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2016年为第一年)；(2)若新政策实施到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)．答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5n ＋45，1≤n ≤1050×0.99n －10，11≤n ≤20 (2)不需要 解析 (1)由题意知，当n ≤10时，数列{a n }是以45.5为首项，0.5为公差的等差数列，所以a n ＝45.5＋(n －1)×0.5＝0.5n ＋45.当11≤n ≤20时，数列{a n }是公比为0.99的等比数列，而a 11＝50×0.99，所以a n ＝50×0.99n －10.所以新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5n ＋45，1≤n ≤10，50×0.99n －10，11≤n ≤20.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5(万)，所以新政策实施到2035年人口平均值为S 2020≈48.63<49. 所以到2035年后不需要调整政策．13．(2019·江西省宜春中学与新余一中联考)设函数f(x)＝x 2＋sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)令b n ＝x n 2π，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为S n ，求证S n <32. 答案 (1)x n ＝2n π－2π3(n ∈N *) (2)略 解析 (1)f(x)＝x 2＋sinx ，令f ′(x)＝12＋cosx ＝0，得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )． 由f ′(x)>0⇒2k π－2π3<x<2k π＋2π3(k ∈Z )， 由f ′(x)<0⇒2k π＋2π3<x<2k π＋4π3(k ∈Z )， 当x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f(x)取得极小值， 所以x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)． (2)证明：因为b n ＝x n 2π＝n －13＝3n －13， 所以1b n b n ＋1＝33n －1·33n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， 所以S n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝32－33n ＋2，所以S n <32. 14．(2017·山东，理)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .答案 (1)x n ＝2n －1 (2)T n ＝（2n －1）×2n ＋12解析 (1)设数列{x n }的公比为q ，则q>0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2，所以3q 2－5q －2＝0.因为q>0，所以q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }的通项公式为x n＝2n－1.(2)过P1，P2，…，P n＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Q n＋1.由(1)得x n＋1－x n＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形P n P n＋1Q n＋1Q n的面积为b n，由题意得b n＝（n＋n＋1）2×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以T n＝b1＋b2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，①又2T n＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②①－②，得－T n＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝32＋2（1－2n－1）1－2－(2n＋1)×2n－1.所以T n＝（2n－1）×2n＋12.。
河北省衡水中学高三上学期一轮复习周测数学(理)试题
2021—2021学年高三一轮复习周测卷〔一〕理数第一卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、以下说法正确的选项是A ．0与{}0的意义一样B ．高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C ．集合{}(,)|32,x y x y x N +=∈是有限集D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素2、集合2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈，那么A B =A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{}0,2D ．{}0,1,23、设命题2:"1,1"p x x ∀<<，那么p ⌝为A ．21,1x x ∀≥<B ．201,1x x ∃<≥C ．21,1x x ∀<≥ D ．201,1x x ∃≥≥ 4、集合2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-，那么集合AB = A ．1[0,)2 B ．[0,1]C ．1(,1]2D ．1(,)2+∞5、设,a b R ∈，那么“22log log a b >〞是“21a b ->〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27、命题2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，命题2000:,210q x N x x ∃∈--≤，那么以下选项中是假命题的为A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝8、集合{|A x y A B φ===，那么集合B 不可能是A ．1{|42}x x x +<B ．{(,)|1}x y y x =-C ．φD ．22{|log (21)}y y x x =-++9、设1,:()[(1)]0p q x a x a ---≤，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是A ．3[1,]2 B ．3(1,)2 C ．3(,1)[,)2-∞+∞ D ．3(,1)(,)2-∞+∞ 10、命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，假设命题p 且q 是真命题，那么实数a 的取值范围是A ．{}(,2]1-∞B ．(,2][1,2]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,1]-11、对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“*〞，法那么如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n *=+；当,m n 不全为正奇数时，m n mn *=，那么在此定义下，集合{(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈ 的真子集的个数是A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421- 12、用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩假设22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能的取值集合是，那么A ．4B ．3C ．2D ．1第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、含有三个实数的集合既可表示成{,,1}b a a，又可表示成2{,,0}a a b +，那么20172017a b +等于 14、集合2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<，假设x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是15、集合{1,1},{|20}A B x ax =-=+=，假设B A ⊆，那么实数a 的所有可能取值的集合为16、以下说法错误的选项是 (填序号)①命题“1212,,x x M x x ∃∈≠，有1221[()()]()0f x f x x x -->〞的否认是“1212,,x x M x x ∃∉≠，有1221[()()]()0f x f x x x --≤〞；②假设一个命题的逆命题，那么它的否命题也一定为真命题；③21:230,:13p x x q x +->>-，假设()q p ⌝∧为真命题，那么实数x 的取值范围是(,3)-∞- (1,2)[3,)+∞④“3x ≠〞是“3x ≠〞成立的充分条件三、解答题：本大题共6小题，总分值70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17、〔本小题总分值10分〕集合2{|3327},{|log 1}x A x B x x =≤≤=> .〔1〕分别求,()R A B C B A ；〔2〕集合{|1}C x x a =<<，假设C A ⊆，务实数a 的取值范围.18、〔本小题总分值12分〕〔1〕:p ，关于x 的方程240x ax -+=有实数，:q 关于x 的函数224y x ax =++在区间[3,)+∞上是增函数，假设“p 或q 〞是真命题，“p 且q 〞是假命题，务实数a 的取值范围；〔2〕22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤，假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.19、〔本小题总分值12分〕集合219{|()(3)0},{|ln()0}24A x x x B x x ax a =--==+++=〔1〕假设集合B 只有一个元素，务实数a 的值；〔2〕假设B 是A 的真子集，务实数a 的取值范围.20、〔本小题总分值12分〕函数()41log ,[,4]16f x x x =∈的值域是集合A ，关于x 的不等式31()2()2x a x a R +>∈的解集为B ，集合5{|0}1x C x x -=≥+，集合{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->. 〔1〕假设AB B =，务实数a 的取值范围； 〔2〕假设DC ⊆，务实数m 的取值范围.21、〔本小题总分值12分〕函数()f x =A ，集合22{|290}B x x mx m =-+-≤. 〔1〕假设[2,3]A B =，务实数m 的值；〔2〕假设12,()R x a x C B ∀∈∃∈，使21x x =，务实数m 的取值范围.22、〔本小题总分值12分〕()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，1212()[()()]0x x f x f x -->，设:p “2(3)(128)0f m f m ++-<〞.〔1〕假设p 为真，务实数m 的取值范围；〔2〕设:q 集合{|(1)(4)0}A x x x =+-≤与集合{|}B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，假设p q ∧为假，p q ∨为真，务实数m 的取值范围.。
作业62【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
则方程 2x2＋y2＝18 表示的曲线上整点的个数为( )
A．4
B．6
Байду номын сангаас
C．8
D．10
答案 B x2 y2
解析 方程 2x2＋y2＝18 即为 ＋ ＝1，其中－3≤x≤3，－3 2≤y≤3 2，所以其图象上的 9 18
a3
36 32
x2 y2
4
6．(2020·沧州七校联考)若椭圆 ＋ ＝1 的离心率为 ，则 k 的值为( )
9 4＋k
5
A．－21
B．21
19 C．－ 或 21
25
19 D. 或 21
25
答案 C
解析 若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k.
c 4 5－k 4
19
由 ＝ ，即 ＝ ，得 k＝－ ；
上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且A→F2＝2F→2B，求椭圆的方程．
2
x2 y2
答案 (1) (2) ＋ ＝1
2
32
解析 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2 为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即 b＝c.
x2 y2 14．(2019·重庆一中期中)已知 F1，F2 分别是椭圆 C：a2＋ 9 ＝1(a>3)的左、右焦点，P 为椭
圆 C 上一点，且∠F1PF2＝120°，则|PF1|·|PF2|＝________． 答案 36
解析 本题考查利用余弦定理求焦点三角形中|PF1|·|PF2|.由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a， 且|F1F2|＝2c＝2 a2－9.根据余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°，所以 4(a2－9)＝4a2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，解得|PF1||PF2|＝36.
作业49【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(四十九)1．(2018·课标全国Ⅰ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( ) A ．8 B ．6 2 C ．8 2 D ．8 3答案 C解析 连接BC 1，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以∠AC 1B ＝30°，AB ⊥BC 1，所以△ABC 1为直角三角形．又AB ＝2，所以BC 1＝2 3.又B 1C 1＝2，所以BB 1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V ＝2×2×22＝8 2.2．(2015·山东，理)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π答案 C解析 如图，过点D 作BC 的垂线，垂足为H.则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R ＝AB ＝1，高h 1＝BC ＝2，其体积V 1＝πR 2h 1＝π×12×2＝2π；圆锥的底面半径r ＝DH ＝1，高h 2＝1，其体积V 2＝13πr 2h 2＝13π×12×1＝π3.故所求几何体的体积为V ＝V 1－V 2＝2π－π3＝5π3.故选C.3．(2020·淮北市模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋22B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15答案 B解析 由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π答案 B解析 如图，∵四边形ABB 1A 1是面积为8的正方形，∴AB ＝22，∴r ＝2， S ＝S 侧＋S 底＝2π×2×22＋π×(2)2×2＝12π.5．(2020·江西南昌摸底调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.23B.43 C ．2 D.83答案 A解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A －BCD 所示，故该几何体的体积V ＝13×12×1×2×2＝23.6．(2020·石家庄市质检)某几何体的三视图如图所示，(图中小正方形网格的边长为1)，则该几何体的体积是( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 B解析 由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱(如图所示)，其中底面直角梯形的上、下底边长分别为1，2，高为2，直四棱柱的高为2，所以该几何体的体积为（1＋2）×22×2＝6.故选B.7．(2020·合肥市二检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( )A ．17π＋12B ．12π＋12C ．20π＋12D ．16π＋12答案 C解析 由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为12×2π×3×3＋12×2π×1×3＋2×⎝⎛⎭⎫12π×32－12π×12＋2×2×3＝20π＋12.故选C. 8．(2020·四川成都联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．36答案 C解析 本题考查由三视图还原直观图，并求体积．由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABC －DEF ，它是由直三棱柱ABC －DGF 截去三棱锥E －DGF 后所剩的几何体，所以其体积V ＝12×3×4×5－13×12×3×4×(5－2)＝24.故选C.9．(2020·河北唐山五校联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．3 B.113 C ．7 D.233答案 B解析 由三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长、宽、高分别为2，1，2，体积为4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积V ＝4－13＝113.故选B. 10．(2020·山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为( ) A.153B.3235π27C.1282π81D.833答案 C解析 作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路为PP ′，∵OP ＝OP ′＝4，PP ′＝43，由余弦定理可得cos ∠P ′OP ＝OP 2＋OP ′2－PP ′22OP ·OP ′＝－12，∴∠P ′OP ＝2π3.设底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则有2πr ＝2π3×4，∴r ＝43，h ＝l 2－r 2＝823， ∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝1282π81.11．(2020·郑州质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.π27 B.8π27 C.π3 D.2π9答案 B解析 如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r)＝2π(r 2－r 3)(0<r<1)．设V(r)＝2π(r 2－r 3)(0<r<1)，则V ′(r)＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0，得r ＝23，当0<r<23时，V ′>0，V 是增函数；当23<r<1时，V ′＜0，V 是减函数，故当r ＝23时，V 取极大值也是最大值．所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27，故选B.12.(2019·江苏)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E －BCD 的体积是________．答案 10解析 因为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积是120，所以CC 1·S四边形ABCD ＝120，又E 是CC 1的中点，所以三棱锥E －BCD 的体积V E －BCD ＝13EC ·S △BCD ＝13×12CC 1×12S 四边形ABCD ＝112×120＝10.13.(2020·衡水中学调研卷)若一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 16π解析 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去14之后剩余的部分，故该几何体的表面积为球体表面积的34与两个半圆面的面积之和，即S ＝34×(4π×22)＋2×⎝⎛⎭⎫12π×22＝16π. 14．(2020·江苏扬州第一次调研)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2的值为________．答案 25解析 设正四棱柱的高为a ，则底面边长为8a ，正四棱锥的高为b ，则(8a)2a ＝13(8a)2b ，所以b ＝3a.所以正四棱锥的斜高为5a ，则S 1S 2＝4×8a 24×12×8a ×5a ＝25.15．(2019·天津)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．答案π4解析 由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为5－1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×⎝⎛⎭⎫122×1＝π4. 16.(2016·江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 答案 (1)312 m 3 (2)2 3 m解析 (1)由PO 1＝2，知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积 V 锥＝13A 1B 12·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288 (m 3)． 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a(m)，PO 1＝h(m)， 则0<h<6，O 1O ＝4h.如图，连接O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 12＋PO 12＝PB 12， 所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝4a 2h ＋13a 2h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h<6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h<23时，V ′>0，V 是增函数；当23<h<6时，V′<0，V是减函数．故当h＝23时，V取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝2 3 m时，仓库的容积最大．。
作业59【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(五十九)1．(2020·广东清远一模)直线ax ＋y ＋7＝0与4x ＋ay －3＝0平行，则a ＝( ) A ．2 B ．2或－2 C ．－2 D ．－12答案 B解析 由直线ax ＋y ＋7＝0与4x ＋ay －3＝0平行，可得a 4＝1a ≠7－3，解得a ＝±2，故选B.2．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A解析 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p)在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0. ∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．(2020·山西忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0，2)与点(4，0)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y －2＝0 B ．x －2y ＝0 C ．2x －y －3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 C解析 因为点(0，2)与点(4，0)关于直线l 对称，所以直线l 的斜率为2，且直线l 过点(2，1)．故选C.4．若l 1：x ＋(1＋m)y ＋(m －2)＝0，l 2：mx ＋2y ＋6＝0平行，则实数m 的值是( ) A ．m ＝1或m ＝－2 B ．m ＝1 C ．m ＝－2 D ．m 的值不存在 答案 A解析 方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m ≠0，则有1m ＝1＋m 2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m，得m＝－2或m＝1.当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋6＝0，平行．当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋6＝0，平行．5．(2020·长沙市模拟)若实数m，n满足5m＝4，4n＝5，则直线l1：mx＋y＋n＝0与直线l2：nx－y＋m＝0的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．无法确定答案 C解析由5m＝4，4n＝5，得m＝log54，n＝log45.又直线l1：mx＋y＋n＝0和直线l2：nx－y ＋m＝0的斜率分别为－m和n，所以－m×n＝－log54×log45＝－1，故直线l1，l2垂直．6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0答案 C解析因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2，0)，B(0，4)，故AB的中点为(1，2)，k AB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.7．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为() A．(1，2) B．(2，1)C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)答案 C解析设P(x，5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|12＋（－1）2＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)，故选C.8．点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是()A．2 B．2－ 2C．2＋ 2 D．4答案 C解析 由点到直线的距离公式，得d ＝|cos θ＋sin θ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ∈R ，∴d max＝2＋ 2.9．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( ) A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1答案 C解析 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，若l 1，l 2的交点(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.10．(2020·江西赣州模拟)若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0，l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( ) A ．3 2 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 2答案 A解析 由题意知，点M 所在直线与l 1，l 2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，解得c ＝－6.点M 在直线x ＋y －6＝0上．点M 到原点的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|－6|2＝3 2.故选A.11．已知直线l 过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l 的方程为________． 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析 设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得 |－2k －2＋4－3k|1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k 2. ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.12．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．答案 2解析 直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.所以a ＋b ＝2.13.如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________． 答案 210解析 由题意，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P 1P 2|＝210.14．已知点M(a ，b)在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案 3解析 ∵M(a ，b)在直线3x ＋4y ＝15上，∴3a ＋4b ＝15.而a 2＋b 2的几何意义是原点到M 点的距离|OM|，所以(a 2＋b 2)min ＝|－15|32＋42＝3.15．(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x>0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 方法一：设P ⎝⎛⎭⎫x ，x ＋4x ，x>0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x ＋x ＋4x 2＝2x ＋4x 2≥22x·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.方法二：由y ＝x ＋4x (x>0)得y ′＝1－4x 2，令1－4x 2＝－1，得x ＝2，则当点P 的坐标为(2，32)时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4.16．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 1的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线l 2的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A ，C 的坐标．答案 A(－1，0)，C(5，－6)解析 如图，设C(x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.即A(－1，0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1. ∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－ 2. ∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得B ′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C(x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－6.即C(5，－6)．17．设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程． 答案 2x ＋7y －5＝0解析 方法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎨⎧x D ＝53，y D＝23，∴D ⎝⎛⎭⎫53，23. 则C ，D 的中点M 为⎝⎛⎭⎫43，13.又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0为所求方程．方法二：∵与l 1，l 2平行且与它们的距离相等的直线方程为x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0，得M ⎝⎛⎭⎫43，13.(以下同方法一) 方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0， 设所求方程为(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x ＋7y －5＝0.方法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0⇒(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0. 又A ，B 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同方法一)18．已知在△ABC 中，顶点A(4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值． 答案 410解析 设点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)．连接A 1A 2交l 于B ，交x 轴于C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为|A 1A 2|.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4·2＝－1，2·x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7)．易求得A 2(4，－5)． ∴△ABC 最小周长|A 1A 2|＝42＋122＝410.。
作业54【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(五十四)1．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA → B.OB →C.OC →D.OA →或OB →答案 C解析 根据题意得OC →＝12(a －b )，∴OC →，a ，b 共面．2．有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①正确．②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确． 3．(2020·吉林一中模拟)如图，空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( ) A ．(2，3，3) B ．(－2，－3，－3) C ．(5，－2，1) D ．(－5，2，－1)答案 B解析 取AC 中点M ，连接ME ，MF ，ME →＝12AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，1，MF →＝12CD →＝⎝⎛⎭⎫－72，－12，－2，而EF →＝MF →－ME →＝(－2，－3，－3)．故选B. 4．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 答案 C解析 AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.故选C.5．(2020·广西桂林一中期中)若a ＝(2，3，m)，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为( ) A ．7 B.52 C ．6 D ．8答案 C解析 由a ，b 为共线向量，得22n ＝36＝m8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.6．若平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合 答案 C解析 由(1，2，0)·(2，－1，0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．7．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 答案 D解析 AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)． 单位法向量为：±n |n |＝±⎝⎛⎭⎫33，33，33.8.(2020·成都调研)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内 答案 B解析 MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝13BA 1→＋A 1A →＋13AC →＝13(B 1A 1→－B 1B →)＋B 1B →＋13(AB →＋AD →)＝23B 1B →＋13B 1C 1→∴MN →、B 1B →、B 1C 1→共面．又MN ⊄平面B 1BCC 1，∴MN ∥平面BB 1C 1C.9．直线l 的方向向量a ＝(1，－3，5)，平面α的法向量n ＝(－1，3，－5)，则有( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l 与α斜交 D ．l ⊂α或l ∥α答案 B解析 因为a ＝(1，－3，5)，n ＝(－1，3，－5)，所以a ＝－n ，a ∥n .∴l ⊥平面α.选B. 10．(2020·长沙模拟)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1，1，1) B.⎝⎛⎭⎫23，23，1 C.⎝⎛⎭⎫22，22，1 D.⎝⎛⎭⎫24，24，1 答案 C解析 ∵面ABCD ⊥面ACEF ，面ABCD ∩面ACEF ＝AC ，EC ⊥CA ， ∴CE ⊥平面ABCD. 建立如图空间直角坐标系． 设AC ∩BD ＝O ，连接OE.∵AM ∥平面BDE ，面BDE ∩面ACEF ＝OE ， ∴AM ∥OE.∵O 是AC 的中点，∴M 为EF 中点． ∵E(0，0，1)，F(2，2，1)，∴M 点坐标为⎝⎛⎭⎫22，22，1.选C. 11．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.647 D.657答案 D解析 显然a 与b 不共线，如果a ，b ，c 三向量共面，则c ＝x a ＋y b ，即x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)＝(7，5，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.选D.12．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z)为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14 B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，23答案 A解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接AE. OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋12AE →＝34OA →＋14(AB →＋AC →)＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14(OA ＋OB →＋OC →)． 故选A.13．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则点D 的坐标为________．答案 (5，13，－3)解析 设D(x ，y ，z)，则AB →＝DC →.∴(－2，－6，－2)＝(3－x ，7－y ，－5－z)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3. ∴D(5，13，－3)．14．(2020·石家庄市高三一检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上的点，且PC ＝3PN.求证：MN ∥平面PAB. 答案 略证明 方法一(传统法)：如图，在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1，又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ， ∴四边形AMNH 为平行四边形， ∴MN ∥AH ，又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB. 方法二(向量法)：在平面ABCD 内作AE ∥CD 交BC 于点E ，则AE ⊥AD.分别以AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，0，4)，M(0，1，0)，C(22，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫223，23，83，B(22，－1，0)，A(0，0，0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫223，－13，83，AP →＝(0，0，4)，AB →＝(22，－1，0)．设MN →＝mAB →＋nAP →， ∴⎝⎛⎭⎫223，－13，83＝m(22，－1，0)＋n(0，0，4)，∴m ＝13，n ＝23，∴MN →，AB →，AP →共面．∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB. 方法三(法向量)： 建系写点坐标如方法二．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAB 的一个法向量，则由m ⊥AP →，m ⊥AB →得⎩⎪⎨⎪⎧4z 1＝0，22x 1－y 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，y 1＝22x 1.令x 1＝1，则m ＝(1，22，0)． ∴MN →·m ＝223×1－13×22＋83×0＝0.∴m ⊥MN →，∴MN →∥平面PAB. 又MN ⊄平面PAB.∴MN ∥平面PAB. 方法四(基底法)：设BE →＝13BC →.由题知PC →＝3PN →.MN →＝AN →－AM →＝AP →＋PN →－BE →＝AP →＋13PC →－13BC →＝AP →－13(CP →－CB →)＝AP →－13BP →＝AP →－13(AP →－AB →)＝23AP →＋13AB →，∴MN →，AP →，AB →三向量共面． ∴MN →∥平面APB.又MN ⊄平面PAB. ∴MN ∥平面PAB.15.如右图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD.答案 略证明 方法一：取BC 的中点O ，连接AO. ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC.∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A(0，0，3)，B 1(1，2，0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．则n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－ 3. 故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1，2，－3)，∴AB 1→＝n ，即AB 1→∥n ，∴AB 1⊥平面A 1BD.方法二：设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一组基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ，AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证．方法三：基向量的取法同上．∵AB 1→·BA 1→＝(a －c )·(a ＋c )＝|a |2－|c |2＝0，AB 1→·BD →＝(a －c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＝12|a |2＋a ·b －12a ·c －b ·c ＝0，∴AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD ，由直线和平面垂直的判定定理，知AB 1⊥平面A 1BD.。
作业55【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(五十五)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23D.1115答案 B解析 分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建系， 令AD ＝1，∴DB 1→＝(1，1，1)，CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. ∴cos 〈DB 1→，CM →〉＝1－123·52＝1515.∴sin 〈DB 1→，CM →〉＝21015. 2．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2)． ∴BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)． ∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22·5＝31010.3.(2020·湖南、江西十四校联考)如图，已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 为线段CD 1的中点，则直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为( ) A.22B.12C.32D. 2答案 A解析 连接AB 1与A 1B 交于点F ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，则AF ⊥平面A 1BCD 1.连接EF ，则∠AEF 是直线AE 与平面A 1BCD 1所成角，tan ∠AEF ＝AF EF ＝22.故选A. 4.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若M 是线段A 1C 1上的动点，则下列结论不正确的是( )A ．三棱锥M －ABD 的正视图面积不变B ．三棱锥M －ABD 的侧视图面积不变C ．异面直线CM ，BD 所成的角恒为π2D ．异面直线CM ，AB 所成的角可为π4答案 D解析 对于选项A ，三棱锥M －ABD 的正视图为三角形，底边为AB 的长，高为正方体的高，故三棱锥M －ABD 的正视图面积不变，故A 正确．对于选项B ，三棱锥M －ABD 的侧视图为三角形，底边为AD 的长，高为正方体的高，故三棱锥M －ABD 的侧视图面积不变，故B 正确．对于选项C ，连接AC ，BD ，A 1C ，则BD ⊥AC ，∵AC ∥A 1C 1，∴BD ⊥A 1C 1.又∵BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面A 1C 1C.∵CM ⊂平面A 1C 1C ，∴BD ⊥CM ，故C 正确．对于选项D ，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M(a ，a ，1)，B(1，0，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)．∴CM →＝(a －1，a －1，1)，AB →＝(1，0，0)，∴cos 〈CM →，AB →〉＝a －12（a －1）2＋1≠±22，∴异面直线CM ，AB 所成的角不可能是π4，故D 错误．故选D.5．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．150°答案 C解析 设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos120°|＝12，又0°≤θ≤90°.∴θ＝30°.6．(2020·昆明市高三调研)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是( ) A ．2 3 B ．4 2 C ．4 6 D ．8 2答案 B解析 如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A 1E ，∵A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥MN ，∴MN ⊥平面A 1AE ，∴A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，∴∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，∴∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，∵AA 1＝2，∴AE ＝2，A 1E ＝22，在Rt △MAN 中，由射影定理得ME·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，∴截面A 1MN 面积的最小值为12×4×22＝4 2.故选B.7．(2020·四川雅安期末)如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 移到点A 1处，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，则BC 与A 1D 所成角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 D解析 本题主要考查异面直线所成角及线面垂直的判定与性质．因为A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，所以A 1O ⊥平面BCD.因为BC ⊂平面BCD ，所以A 1O ⊥BC.又因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，所以BC ⊥平面A 1CD.又A 1D ⊂平面A 1CD ，所以BC ⊥A 1D ，故BC 与A 1D 所成的角为90°.故选D.8．(2020·东北三省三校二模)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA ＝AB ＝2，则直线PB 与平面PAC 所成角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 A解析 本题考查线面角及线面垂直的判定与性质．连接BD ，交AC 于点O.因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，BD ⊥PA.又因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，故BO ⊥平面PAC.连接OP ，则∠BPO 即为直线PB 与平面PAC 所成角．又因为PA ＝AB ＝2，所以PB ＝22，BO ＝ 2.所以sin ∠BPO ＝BO PB ＝12，所以∠BPO ＝π6.故选A.9．(2020·保定模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.则A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是( ) A.23 B.73 C.32 D.37答案 B解析 以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立直角坐标系，设CA ＝CB ＝a ，则A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D(0，0，1)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，1，G ⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，13，GE →＝⎝⎛⎭⎫a 6，a 6，23，BD →＝(0，－a ，1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE →⊥平面ABD ，∴GE →·BD →＝0，解得a ＝2. ∴GE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，23，BA 1→＝(2，－2，2)，∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →为平面ABD 的一个法向量． ∵cos 〈GE →，BA 1→〉＝GE →·BA 1→|GE →|·|BA 1→|＝4363×23＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成的角的余弦值为73. 10．(2020·豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD 中，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.23B.24C.144D ．－24答案 B解析 取BD 的中点O ，连AO ，OC ，由CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，得AO ⊥BD ，CO ⊥BO ，且OC ＝3，AO ＝1.在△AOC 中，AC 2＝AO 2＋OC 2，故AO ⊥OC ，又知BD ∩OC ＝O ，因此AO ⊥平面BCD ，以OB ，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，D(－1，0，0)，∴AB →＝(1，0，－1)，CD →＝(－1，－3，0)，设异面直线AB 与CD 所成角为θ，则cos θ＝|AB →·CD →||AB →||CD →|＝12×1＋3＝24，即异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.故选B. 11．(2018·课标全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B.233C.324D.32答案 A解析 记该正方体为ABCD －A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′－AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334.故选A.12．(2018·课标全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78.SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案 402π解析 如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，∴SA 2＝80，SA ＝4 5.∵SA 与底面所成的角为45°，∴∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA·cos45°＝45×22＝210.∴底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，∴圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.13．(2020·河北承德期末)已知四棱锥P －ABCD 的底面是菱形，∠BAD ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AB ，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上．若PF ∶FC ＝1∶2，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为________． 答案43535解析 如图，以D 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.设菱形ABCD 的边长为2，则D(0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，23，43，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫－32，76，43. 又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈EF →，n 〉＝43⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫762＋⎝⎛⎭⎫432×1＝43535， 即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为43535.14．(2020·吉林一中期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AC ＝1，CC 1＝3，∠ABC ＝30°，D 为AB 的中点． (1)证明：AC 1∥平面B 1CD ；(2)求直线DC 1与平面B 1CD 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)1510解析 (1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE.因为四边形BB 1C 1C 是矩形，所以点E 是BC 1的中点．又点D 为AB 的中点，所以DE 是△ABC 1的中位线，所以DE ∥AC 1，又DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD. (2)由AB ＝2，AC ＝1，∠ABC ＝30°，可得BC ＝3，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC.分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.则有C(0，0，0)，B 1(0，3，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，0，C 1(0，0，3)，所以DC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，3，CB 1→＝(0，3，3)，CD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0.设直线DC 1与平面B 1CD 所成角为θ，平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0，m ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋3z ＝0，12x ＋32y ＝0，令z ＝1，得m ＝(3，－1，1)．所以sin θ＝|cos 〈m ，DC 1→〉|＝|m ·DC 1→||m ||DC 1→|＝⎪⎪⎪⎪32－32＋33＋1＋1×14＋34＋3＝325＝1510.即直线DC 1与平面B 1CD 所成角的正弦值为1510. 15.(2016·课标全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)8525解析 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN.由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT. 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB.(2)取BC 的中点E ，连接AE.由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →，AD →，AP →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z)为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．设直线AN 与平面PMN 所成角为θ， 于是sin θ＝|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525. 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.。
作业53【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(五十三)1．(2020·湖北襄阳模拟)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是() A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直答案 B解析对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A 错误；对于B，只要m⊄α且与α不垂直，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B. 2．(2020·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上．故选A.3．(2020·江西临安一中期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.A．②B．①③C．①④D．②④答案 A解析对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE与B1C1是异面直线，且AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.4．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面答案 A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE，又∵B，C，D重合记为H，∴AH⊥HF，AH⊥HE.∴AH⊥面EFH.5．(2020·保定模拟)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案 D解析因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故D不成立．6.(2020·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD答案 D解析A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直．故选D.7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE答案 C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.8．(2020·福建泉州质检)如图，在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()答案 D解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且六点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且A项，B项，C项中的平面与这个平面重合．对于D项中图形，由于E，F为AB，A1B1的中点，所以EF∥BB1，故∠B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角，且tan∠B1BD1＝2，即∠B1BD1不为直角，故BD1与平面EFG不垂直．故选D. 9．(2020·重庆秀山高级中学期中)如图，点E为矩形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有() ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE 内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA.A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析①若直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面SEC，又平面SEC∩平面SBC＝SC，∴点S，E，B，C共面，与已知矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA＝S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③在平面ABCD 内作CF∥AE，交AB于点F，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面SAE，故③正确；④若SE⊥BA，过点S作SF⊥AE于点F，∵平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE ＝AE，∴SF⊥平面ABCE，∴SF⊥AB，又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEC，∴AB⊥AE，与∠BAE 是锐角矛盾，故④错误．10．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)．答案②③④解析对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．11．(2020·黄冈质检)如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析①由于PA⊥平面ABC，因此PA⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥平面PBC，所以AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，这与AF，AE有公共点A 矛盾，故AE⊥平面PBC不成立．故正确的结论为①②③.12．(2020·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D－ABC，当三棱锥D－ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________．答案4π3解析当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O为所求外接球的球心，故半径r＝1，体积V＝43πr3＝4π3.13．(2020·辽宁大连双基测试)如图所示，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D －AEF体积的最大值为________．答案2 6解析因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF ，又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB ，又DB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D －AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D －AEF 的体积V ≤13×12×2＝26(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立)．14．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点，求证：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA.又CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ， 故CD ⊥平面PAC ，AE ⊂平面PAC. 故CD ⊥AE.(2)∵PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，故PA ＝AC. ∵E 是PC 的中点，故AE ⊥PC. 由(1)知CD ⊥AE ，由于PC ∩CD ＝C ， 从而AE ⊥平面PCD ，故AE ⊥PD. 易知BA ⊥PD ，故PD ⊥平面ABE.15．(2018·课标全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．答案 (1)略 (2)1解析 (1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，BA ⊥AC. 又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD. 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊13DC.由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.16．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C 是矩形，侧面AA 1C 1C ⊥侧面AA 1B 1B ，且AB ＝4AA 1＝4，∠BAA 1＝60°，D 是AB 的中点．(1)求证：AC1∥平面CDB1；(2)求证：DA1⊥平面AA1C1C.答案略证明(1)连接A1C交AC1于F，取B1C的中点E，连接DE，EF.∵四边形AA1C1C是矩形，∴F是A1C的中点，∴EF∥A1B1，EF＝12A1B1.∵四边形ABB1A1是平行四边形，D是AB的中点，∴AD∥A1B1，AD＝12A1B1，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，即AC1∥DE.又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(2)∵AB＝4AA1＝4，D是AB中点，∴AA1＝1，AD＝2.∵∠BAA1＝60°，∴A1D＝AD2＋AA12－2AD·AA1cos60°＝ 3.∴AA12＋A1D2＝AD2，∴A1D⊥AA1.∵侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，侧面AA1C1C∩侧面AA1B1B＝AA1，AC⊥AA1，AC⊂平面AA1C1C，∴AC⊥平面AA1B1B.又∵A1D⊂平面AA1B1B，∴AC⊥A1D.又∵AC∩AA1＝A，∴DA1⊥平面AA1C1C.17．(2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．答案(1)略(2)略(3)PB中点即为点F解析(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF.。
作业42【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】
题组层级快练(四十二)1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析 在C 中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．若0＜m ＜1，则不等式(x －m)⎝⎛⎭⎫x －1m ＜0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1m ＜x ＜m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞1m 或x ＜mC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞m 或x ＜1mD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|m ＜x ＜1m答案 D解析 当0<m<1时，m<1m .∴解不等式，得m ＜x ＜1m .3．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1]答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.4．(2020·重庆第一中学月考)若存在实数x ，使得不等式x 2－ax ＋1＜0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．(－2，2] D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 本题考查一元二次不等式的一次项系数含参数问题．对于二次函数y ＝x 2－ax ＋1，开口向上，判别式Δ＝a 2－4.当Δ＞0时，存在x ，使得y ＜0，即x 2－ax ＋1＜0.a 2－4＞0，解得a ＜－2或a ＞2，故实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．5．(2020·保定模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0， 即a>－235.6．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( ) A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－1<x<1.∴x>1或－1<x<12，故选B.7．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x|x<－2或x>3B.{}x|x<－2或1<x<3C.{}x|－2<x<1或x>3D.{}x|－2<x<1或1<x<3答案 C 解析x 2－x －6x －1>0⇒（x －3）（x ＋2）x －1>0⇒(x ＋2)(x －1)(x －3)>0，由穿针引线法，得－2<x<1或x>3.8．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3 D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3答案 B9．(2019·郑州质检)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为()答案 C解析 由题意得⎩⎨⎧a<0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.10．(2020·广东东莞期末)若关于x 的不等式1－23cos2x ＋acosx ≥0在R 上恒成立，则实数a的最大值为( ) A ．－13B.13C.23 D ．1答案 B解析 本题考查一元二次不等式的恒成立问题及三角函数的性质．令t ＝cosx ，则t ∈[－1，1]，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在[－1，1]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0，解得－13≤a ≤13，则实数a 的最大值为13.故选B. 11．(2020·福州一模)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，4) B ．(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4] D ．[－2，－1)∪(3，4]答案 D解析 由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，解得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，则3<a ≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a ∈[－2，－1)∪(3，4]．12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f(1－x 2)＞f(2x)的x 的取值范围是( )A ．[0，2)B ．(0，2)C ．(－1，2－1)D ．(－1，2)答案 C解析 由f(x)的解析式可得，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上为常函数．所以不等式f(1－x 2)＞f(2x)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x ≥0，1－x 2＞2x ，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，2x ＜0，②，解①得0≤x ＜2－1，解②得－1＜x ＜0.所以x 的取值范围是(－1，2－1)．故选C. 13．不等式log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3的解集为________． 答案 (－3－22，－3＋22)∪{1}解析 原不等式⇔0<x ＋1x＋6≤8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x 2＋6x ＋1>0，x 2－2x ＋1≤0①或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x 2＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0.②解①得x ＝1，解②得－3－22<x<－3＋2 2. ∴原不等式的解集为(－3－22，－3＋22)∪{1}． 14．(2020·安徽铜陵期末)已知函数f(x)＝2xx 2＋6. (1)若f(x)＞k 的解集为{x|x ＜－3或x ＞－2}，则k 的值等于________． (2)对任意x ＞0，f(x)≤t 恒成立，则t 的取值范围是________． 答案 (1)－25 (2)⎣⎡⎭⎫66，＋∞解析 (1)f(x)＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由{x|x ＜－3或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，解得k ＝－25.(2)任意x ＞0，f(x)≤t 恒成立，等价于t ≥2x x 2＋6＝2x ＋6x 恒成立，∵x ＋6x ≥2x·6x＝26，当且仅当x ＝6时取等号，∴t ≥66. 15．(1)不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________． 答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.(2)已知－12<1x <2，则实数x 的取值范围是________．答案 x<－2或x>12解析 当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值范围是x<－2或x>12.16．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，求实数a的取值范围． 答案 (－∞，9]解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)，令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧g （2）≤0，g （3）≤0，∴a ≤9. 17．(2020·南京秦淮中学月考)已知函数f(x)＝log 2(ax 2－4ax ＋6)． (1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥log 23的解集； (2)若f(x)的定义域为R ，求a 的取值范围． 答案 (1)(－∞，－1]∪[3，＋∞) (2)⎣⎡⎭⎫0，32 解析 (1)当a ＝1时，f(x)＝log 2(x 2－4x ＋6)．∵log 2(x 2－4x ＋6)≥log 23，∴x 2－4x ＋6≥3，∴x 2－4x ＋3≥0.解得x ≤1或x ≥3， ∴不等式f(x)≥log 23的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)． (2)f(x)的定义域为R ，即ax 2－4ax ＋6＞0恒成立．①当a ≠0时，a ＞0且Δ＝16a 2－24a ＜0，解得0＜a ＜32.②当a ＝0时，不等式为6＞0，恒成立． 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，32.。
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A．BD∥平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形
B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形
C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形
D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形
答案 B
1
1
解析 如图，由条件知，EF∥BD，EF＝ BD，HG∥BD，HG＝ BD，
5
题组层级快练(五十二)
1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是( )
A．平行于同一平面的两个平面一定平行
B．平行于同一直线的两条直线一定平行
C．垂直于同一直线的两条直线一定平行
D．垂直于同一平面的两条直线一定平行
答案 C
解析 垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例
2
2 ∴EF∥HG，且 EF＝ HG，∴四边形 EFGH 为梯形．∵EF∥BD，EF⊄平面
5
BCD，BD⊂平面 BCD，∴EF∥平面 BCD.∵四边形 EFGH 为梯形，∴线段 EH
与 FG 的延长线交于一点，∴EH 不平行于平面 ADC.故选 B.
7．(2020·衡水中学调研卷)如图，P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一
证明．
2．设 α，β，γ为平面，a，b 为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出 α∥β 的条件是( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
答案 C
3．(2019·课标全国Ⅱ)设 α，β为两个平面，则 α∥β 的充要条件是( )
AN
FA
E 是 PD 的中点，CD＝2，∴CM＝1，则 BN＝CM＝1，又 AB＝3，∴ ＝2，则 ＝2，∵
NB
FP
5
1 1 5 5 25
PD＝AD＝5，∴F
到平面
PCD
的距离为 ，则 3
VP－CEF＝VF－PCE＝3×2×2×2×3＝18.
角为 90°，点 E，F，G，H 分别在棱 AD，BD，BC，AC 上，若直线 AB，CD 都平行于平
面 EFGH，则四边形 EFGH 面积的最大值是________．
答案 1 解析 ∵直线 AB 平行于平面 EFGH，且平面 ABC∩平面 EFGH＝HG， ∴HG∥AB.同理，EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD. ∴FG∥EH，EF∥HG.故四边形 EFGH 为平行四边形． 又 AB⊥CD，∴四边形 EFGH 为矩形．
明：EF∥平面 PAB.
答案 略 证明 如图，取 PB 的中点 M，连接 MF，AM. 因为 F 为 PC 的中点，
1 故 MF∥BC 且 MF＝ BC.
2 由已知有 BC∥AD，BC＝AD. 因为 E 为 AD 的中点，
11 即 AE＝ AD＝ BC，
22 所以 MF∥AE 且 MF＝AE，故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EF∥AM.又 AM⊂平面 PAB，而 EF⊄平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB. 12．(2020·江西抚州一中)如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点．
∴PB∥平面 ACE，∵AB＝3，CD＝2，
AB BO PE 3 PE
3
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ 的值为 .
CD DO ED 2 ED
2
(2)过点 E 作 EM∥PC 交 CD 于点 M，过点 M 作 MN∥BC 交 AB 于点 N，连接 EN，则平面
EMN 即平面 α，则平面 α 与平面 PAB 的交线与 PB 平行，过点 N 作 NF∥PB 交 PA 于点 F，∵
EM EN 1 重心的性质可知，E，F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E.由 ＝ ＝ ，
MA NB 2
得 MN∥AB.∵AB⊂平面 ABD，MN⊄平面 ABD，AB⊂平面 ABC，MN⊄平
面 ABC，∴MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD.
10．(2020·吉林一中模拟)如图，在四面体 ABCD 中，AB＝CD＝2，直线 AB 与 CD 所成的
(1)证明：BC1∥平面 A1CD；
(2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，求三棱锥 C－A1DE 的体积． 答案 (1)略 (2)1
解析 (1)证明：连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 的中点． 又∵D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1∥DF. ∵DF⊂平面 A1CD，BC1⊄平面 A1CD，
∴BC1∥平面 A1CD.
(2)∵三棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱，∴AA1⊥CD. ∵AC＝CB，D 为 AB 的中点，∴CD⊥AB.
又∵AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面 ABB1A1.
由 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，得∠ACB＝90°. ∴CD＝ 2，A1D＝ 6，DE＝ 3，A1E＝3. ∵A1D2＋DE2＝A1E2，∴DE⊥A1D.
＝HE＝6.
∴周长为 2×(4＋6)＝20.
5．(2017·课标全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
答案 A
解析 B 中，AB ∥MQ，且 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，则 AB∥平面 MNQ；C 中，
11 ∴VC－A1DE＝3×2× 6× 3× 2＝1. 13．(2020·邯郸一中模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底
面 ABCD 是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝3，CD＝2，PD＝AD＝5，E
是 PD 上的一点．
PE (1)若 PB∥平面 ACE，求 的值；
ED
(2)若 E 是 PD 的中点，过点 E 作平面 α∥平面 PBC，平面 α 与棱 PA 交于点 F，求三棱锥 P－
CEF 的体积．
3 25 答案 (1) (2)
2 18 解析 (1)连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE，在△PBD 中，过点 O 作 OE∥PB 交 PD 于点
E，
∵OE⊂平面 ACE，PB⊄平面 ACE，
FC GC
AG AE 1
PF 1
AD∥BC，E 为 AD 的中点，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ .
GC BC 2
FC 2
8.(2020·安徽江南十校素质检测)如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F，G，
P，Q 分别为棱 AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C 的中点．则下列叙述中正确的是( )
体相邻的两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以 D 不正确．故选 B.
4．若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长分别是 8，12，过 AB 的中点 E 且平行
于 BD，AC 的截面四边形的周长为( )
A．10
B．20
C．8
D．4
答案 B
解析 设截面四边形为 EFGH，F，G，H 分别是 BC，CD，DA 的中点，∴EF＝GH＝4，FG
AB∥MQ，且 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，则 AB∥平面 MNQ；D 中，AB∥NQ，
且 AB⊄平面 MNQ，NQ⊂平面 MNQ，则 AB∥平面 MNQ.故选 A.
6．(2020·陕西西安模拟)在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 上的点，且 AE∶EB
＝AF∶FD＝1∶4，H，G 分别是 BC，CD 的中点，则( )
PF 点，E 为 AD 的中点，F 为 PC 上一点，当 PA∥平面 EBF 时， ＝( )
FC
2
1
A.
B.
3
4
1
1
C.
D.
3
2
答案 D
解析 连接 AC 交 BE 于 G，连接 FG，因为 PA∥平面 EBF，PA⊂平面
PF AG PAC，平 面 PAC∩平 面 BEF＝ FG，所 以 PA∥FG，所 以 ＝ .又
A．α内有无数条直线与 β 平行
B．α内有两条相交直线与 β 平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
答案 B
解析 α 内有无数条直线与 β 平行，当这无数条直线互相平行时，α与 β 可能相交，所以 A
不正确；根据两平面平行的判定定理知，B 正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，
也可能平行，所以 C 不正确；垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方
BF BG FG 设 ＝ ＝ ＝x(0≤x≤1)，
BD BC CD
则 FG＝2x，HG＝2(1－x)，
( )1 2
S
四边形
EFGH＝FG·HG＝4x(1－x)＝－4
x－ 2
＋1，
根据二次函数的图象与性质可知，四边形 EFGH 面积的最大值为 1.
11．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是棱 AD，PC 的中点．证
故平面 A1BQ 和平面 EFG 相交，故 D 错误．故选 B. 9．在四面体 ABCD 中，M，N 分别是△ACD，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN
平行的是________．
答案 平面 ABC 和平面 ABD
解析 如图，连接 AM 并延长交 CD 于 E，连接 BN 并延长交 CD 于 F.由
A．直线 BQ∥平面 EFG
B．直线 A1B∥平面 EFG
C．平面 APC∥平面 EFG 答案 B
D．平面 A1BQ∥平面 EFG
解析 本题考查线面平行和面面平行的判定．过点 E，F，G 的截面如图
所示(H，I 分别为 AA1，BC 的中点)，则 BQ 和平面 EFG 相交于点 Q，故 A 错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面 EFG，HE⊂平面 EFG，∴A1B∥平面 EFG，故 B 正确；AP⊂平面 ADD1A1，HG⊂平面 ADD1A1，延长 HG 和 AP 必相交，故平面 APC 和平面 EFG 相交，故 C 错误；平面 A1BQ 与平面 EFG 有公共点 Q，