单像空间后方交会-习题
摄影测量习题整理
习题——认识摄影测量1、下列关于摄影测量的发展阶段的说法中，不正确的是（B)（A）数字摄影测量处理的原始资料是数字影像或数字化影像（B）数字摄影测量和解析摄影测量使用的投影方式分别是数字投影和物理投影（C）模拟摄影测量和解析摄影测量处理的原始数据都是像片（均为数字投影）（D）数字摄影测量是以计算机视觉代替人的立体观测与识别，完成影像几何与物理信息的自动提取2、下列有关数字地面模型的相关概念的描述中，不正确的是（D)（A）数字地面模型DTM是地理信息系统的基础数据，可用于土地利用现状的分析、合理规划及洪水子险情预报等（B）数字地面模型DTM是地形表面形态等多种信息的一个数字表示（C）数字高程模型DEM只考虑DTM的地形分量，在计算机高级语言中，它就是一个三维数组或数学上的一个三维矩阵（D）与TIN相比，DEM能较好地顾及地貌特征点、线、面，表示复杂地形表面，其缺点是数据量较大，数据结构较复杂（与DEM相比，TIN能较好地顾及地貌特征点线、面，表示复杂地形表面，其缺点是数据量较大，数据结构较复杂。
）3、摄影测量的技术手段不包括（C）A模拟法B.解析法C实地法D数字法4、光学纠正仪是（A）时代的产品，其投影方式属于机械投影。
A模拟摄影测量B解析摄影测量C数字摄影测量D数字投影5、摄影机框架四边中点设有的框标记号，叫做光学框标。
（×）6、现有地图的数字化方法有手扶跟踪数字化和扫描数字化7、随着摄影测量技术的发展，摄影测量经历了（模拟摄影测量阶段）、（解析摄影测量阶段）与（数字摄影测量阶段 )三个发展阶段。
摄影测量的技术手段有（模拟法）、（解析法）、（数字法）。
8、摄影测量的基本问题，就是将中心投影的像片转换为正射投影的地形图9、数字摄影测量数字摄影测量是基于数字影像和摄影测量的基本原理，应用计算机技术、数字影像处理、影像匹配、模式识别等多学科的理论与方法，提取所摄对像以数字方式表达的几何与物理信息的摄影测量学的分支学科。
摄影测量 复习题
一、名词解释1、像片比例尺：把摄影像片当做水平像片，地面取平均高程，这时相片上线段l与地面上相应线段水平距离L之比。
2、绝对航高：相对于平均海平面的航高，是指摄影物镜在摄影瞬间的真实海拔高度。
3、相对航高：摄影机物镜相对于某一基准面的高度。
4、像点位移：在实际航空摄影时，在中心投影的情况下，当航摄的飞行姿态出现较大倾斜，地面有起伏时，便会导致地面点在航摄相片上构象相对于在理想情况下的构象，产生位置的差异，这一差异称为像点位移。
5、摄影基线：航线方向相邻两个摄影站点间的空间距离。
6、航向重叠：同一条航线内相邻像片之间的影像重叠7、旁向重叠：两相邻航带像片之间也需要有一定的影像重叠，这种重叠影像部分称为旁向重叠度。
8、像片倾角：摄影瞬间摄影机主光轴偏离铅垂线的夹角称为相片倾角。
9、像片的方位元素：确定摄影瞬间摄影物镜（摄影中心）与像片在地面设定的空间坐标系中的位置与姿态参数，即确定这三者之间相关位置的参数。
10、像片的内方位元素：表示摄影中心与像片之间相互位置的参数。
11、像片的外方位元素：表示摄影中心与像片在地面坐标系中的位置和姿态的参数。
12、相对定向元素：确定一个立体像对两像片的相对位置的元素。
13、绝对定向元素：描述立体像对在摄影瞬间的绝对位置和姿态的参数。
14、单像空间后方交会：利用影像覆盖范围内一定数量的控制点的空间坐标与影像坐标，根据共线条件方程，反求该影像的外方位元素，这种方法称单幅影像的空间后方交会。
15、空间前方交会：由立体像对左右两影像的内、外方位元素和同名像点影像坐标量测值来确定相应模型点坐标（或地面点的地面坐标），称立体像对的空间前方交会。
16、双像解析摄影测量：17、空中三角测量：根据航摄像片上所测量的像点坐标以及极少量的地面控制点求出地面加密点的物方空间坐标。
18、POS：（机载定位定向系统）是基于全球定位系统（GPS）和惯性测量装置（IMU）的直接测定影像外方位元素的现代航空摄影导航系统，可用于在无地面控制或仅有少量地面控制点情况下的航空遥感对地定位和影像获取。
摄影测量学部分课后习题答案
精心整理第一章1.摄影测量学：摄影测量是从非接触成像系统，通过记录、量测、分析与表达等处理，获取地球及其环境和其他物体的几何、属性等可靠信息的工艺、科学与技术。
1.2摄影测量学的任务：地形测量领域：各种比例尺的地形图、专题图、特种地图、正射影像地图、景观图；建立各种数据库；提供地理信息系统和土地信息系统所需要的基础数据。
非地形测量领域：生物医学、公安侦破、古文物、古建筑、建筑物变形监测2.摄影测量的三个发展阶段及其特点：模拟摄影测量阶段：（1）使用的影像资料为硬拷贝像片。
（2）利用光学机械模拟装置,实现了复杂的摄影测量解算。
（3）得到的是（或说主要是）模拟产品。
（4）摄影测量科技的发展可以说6）（44）它是3.1.3.答：1.左右的面。
4.L 于4.对于8.1.9.因素：13. 答：摄影测量中常用的坐标系有两大类。
一类是用于描述像点的位置，称为像方空间坐标系；另—类是用于描述地面点的位置．称为物方空间坐标系。
（1）.像方空间坐标系①像平面坐标系像平面坐标系用以表示像点在像平面上的位置，通常采用右手坐标系，y x ,轴的选择按需要而定．在解析和数字摄影测量中，常根据框标来确定像平面坐标系，称为像框标坐标系。
②像空间坐标系，为了便于进行空间坐标的变换，需要建立起描述像点在像空间位置的坐标系，即像空间坐标系。
以摄影中心S 为坐标原点，y x ,轴与像平面坐标系的y x ,轴平行，z 轴与主光轴重合，形成像空间右手直角坐标系xyz S -③像空间辅助坐标系，像点的像空间坐标可直接以像平面坐标求得，但这种坐标的待点是每张像片的像空间坐标系不统一，这给计算带来困难。
为此，需要建立一种相对统一的坐标系．称为像空间辅助坐标系，用XYZ S -表示。
此坐标系的原点仍选在摄影中心S 坐标轴系的选择视需要而定。
（2）物方空间坐标系①摄影测量坐标系，将像空间辅助坐标系XYZ S -沿着Z 轴反方向平移至地面点P ，得到的坐标系p p p Z Y X P -称为摄影测量坐标系②地面测量坐标系，地面测量坐标系通常指地图投影坐标系，也就是国家测图所采用的高斯—克吕格︒3带或︒6带投影的平面直角坐标系和高程系，两者组成的空间直角坐标系是左手系，用t t t Z Y X T -表示。
摄影测量学基础试题1
一、名词解释1摄影测量学 2航向重叠3单像空间后方交会 4相对航高5解析空中三角测量 6外方位元素7核面 8绝对定向元素二、问答题1.写出中心投影的共线方程式并说明式中各参数的含义。
2.指出采用“后方交会+前方交会”和“相对定向+绝对定向”两种方法计算地面点坐标的基本步骤。
3.简述利用光束法（一步定向法）求解物点坐标的基本思想。
4.简述解析绝对定向的基本过程。
5.简述相对定向的基本过程。
6.试述航带网法解析空中三角测量的基本步骤。
二、填空1摄影测量的基本问题，就是将_________转换为__________。
2人眼产生天然立体视觉的原因是由于_________的存在。
3相对定向完成的标志是__________。
三、简答题1两种常用的相对定向元素系统的特点及相对定向元素。
2倾斜位移的特性。
3单航带法相对定向后，为何要进行比例尺归化？怎样进行？4独立模型法区域网平差基本思想。
5何谓正形变换？有何特点？四、论述题1空间后方交会的计算步骤。
2有三条航线，每条航线六张像片组成一个区域，采用光束法区域网平差。
（1）写出整体平差的误差方程式的一般式。
（2）将像片进行合理编号，并计算带宽，内存容量。
（3）请画出改化法方程系数阵结构简图。
参考答案：一、1是对研究的对象进行摄影，根据所获得的构想信息，从几何方面和物理方面加以分析研究，从而对所摄影的对象本质提供各种资料的一门学科。
2供测图用的航测相片沿飞行方向上相邻像片的重叠。
3知道像片的内方位元素，以及三个地面点坐标和量测出的相应像点的坐标，就可以根据共线方程求出六个外方位元素的方法。
4摄影瞬间航摄飞机相对于某一索取基准面的高度。
5将中心投影转换成正射投影时，经过投影变换来消除相片倾斜所引起的像点位移，使它相当于水平相片的构象，并符合所规定的比例尺的变换过程。
6是将建立的投影光束，单元模型或航带模型以及区域模型的数字模型，根据少数地面控制点，按最小二乘法原理进行平差计算，并求加密点地面坐标的方法。
网上搜的摄影测量题目
《摄影测量》课程期末统一考试题（卷）[B]一、名词解释（20分，每个4分）1、单片空间后方交会：在摄影之后，利用一定数量的地面控制点，根据共线方程条件方程式反求像片的外方位元素。
P502、同名核线：同一核面与左、右两像片相交的两条核线称为同名核线。
P723、影像匹配：4、影像的外方位元素：在恢复内方位元素（即恢复了摄影光束）的基础上，确定摄影光束在摄影瞬间的空间位置和姿态的参数，称为外方位元素，一张像片的外方位元素包括六个参数，其中三个是直线元素，用于描述摄影中心的空间坐标值；另外三个是角元素，用于描述像片的空间姿态。
P375、解析相对定向：根据同名光线对对相交这一立体像对对内在的几何关系，通过测量的像点坐标，用解析计算的方法解求相对定向元素，建立于地面相似的立体模型，确认模型点的三维坐标。
P77（相对定向与像片的绝对位置无关，不需要地面控制点）二、填空题（20分，每空1分）1、表示航摄像片的外方位角元素可以采用、和三种转角系统。
2、航摄像片是所覆盖地物的中心投影投影，地形图是所表示内容的正射投影投影。
3、摄影测量加密按数学模型可分为航带法、独立模型法和光束法三种方法。
4、摄影测量中常用的坐标系有像平面坐标系、像空间坐标系、像空间辅助坐标系、摄影测量坐标系、地面摄影测量坐标系和地面测量坐标系。
5、要将地物点在摄影测量坐标系中的模型坐标转换到地面摄影测量坐标系，最少需要个和个地面控制点。
6、摄影测量的发展经历了模拟摄影测量、解析摄影测量和数字摄影测量三个阶段。
三、简答题（30分）1、请说明实现自动相对定向的方法原理和关键技术2、什么是数字高程模型？并说明DEM的几种常用的表示形式及特点。
四、综合题（30分）1、推导摄影中心点、像点与其对应物点三点位于一条直线上的共线条件方程，说明式中各符号的意义，用图示意航摄像片的内、外方位元素，并简要叙述以上方程在摄影测量中的主要用途。
2、简述一种框幅式航空影像制作其核线影像的方法。
摄影测量课后练习题总结
第三章1、摄影测量对航摄资料有哪些基本要求？答：1）影像的色调要求影像清晰，色调一致，反差适中，像片上不应有妨碍测图的阴影。
2）像片重叠同一航线上要求两相邻像片应有一定的重叠，称航向重叠。
航向重叠：60% ~ 65% ，最小不应小于53%；相邻航线间也应有足够的重叠称旁向重叠。
旁向重叠：30% ~40% 最小不得小于15%3）像片倾角在摄影瞬间摄影机轴发生了倾斜，摄影机轴与铅直方向的夹角称为相片倾角，不大于2°，最大不超过3°。
4）航线弯曲受技术和自然条件限制，飞机往往不能按预定航线飞行而产生弯曲，造成漏摄或旁向重叠过小从而影像内业成图。
一般要求航摄最大偏距与全航线长之比不大于3%。
5）像片旋角相邻像片的主点连线与像幅沿航线方向两框标连线间的夹角称像片旋角，一般要求像片旋角不超过6°，最大不超过8°。
2、什么是像片重叠？为什么要求相邻像片之间及航线之间的像片要有一定的重叠？答：两张相邻的像片之间重叠的部分叫像片重叠为了满足测图的需要，在同一航线上，相邻两像片应有一定范围的重叠，称为航向重叠。
相邻航线也应有足够的重叠，称为旁向重叠。
3、什么是中心投影？什么是正射投影？答：若投影光线相互平行且垂直于投影面，称为正射投影若投影光线汇聚于一点，称为中心投影4、画图说明航摄像片上特殊的点、线、面。
P为倾斜的像片，即投影面，E为水平的地面，也称为基准面，S为摄影中心，E面与P面的交线TT又称为透视轴，透视轴上的点称为二重点。
5、摄影测量常用那些坐标系？各坐标系又是如何定义的？像方坐标系：像平面坐标系、像空间坐标系、像空间辅助坐标系；像平面坐标系：是以像主点为原点的右手平面坐标系。
像空间坐标系：以摄影中心S为坐标原点，x、y轴与像平面坐标系的x、y轴平行，z轴与光轴重合，形成像空间右手指教坐标系S-xyz。
像空间辅助坐标系：像点坐标可以直接从像片上量取获得，而各个像片的像空间坐标是不统一的，给计算带来了困难，就需要建立统一的坐标系，于是有了像空间辅助在坐标系。
单张像片空间后方交会
外方位元素的计算
当一张像片上至少有三个控制点时， 当一张像片上至少有三个控制点时，误差方程矩阵形式
V = Ax − l
x = ( A T A ) −1 ( A T l )
x , l = y a 14 a 15 a 24 a 25
σ
0
=
V TV 2n − 6
∆ X s ∆Ys ∆Z vx V = x = ∆ ϕs , v y ∆ω ∆κ a 12 a 13 a A = 11 a 22 a 23 a 21
X X −Xs Y = R−1 Y −Y s Z −Z Z s
a 1 a1 a 2 b1 a 3 c1
0 = a 2 c1 − a1 c 2 a c − a c 1 3 3 1 0 = b3 − b 2 − b3 0 b1
在竖直摄影情况 误差方程系 数的近似值
f a11 = − , H
ϕ =ω =κ = 0
Z − Z
s
= H
x a12 = 0, a13 = − H f y a21 = 0, a22 = − , a23 = − H H 2 x xy a14 = − f (1+ 2 ), a15 = − , a16 = y f f xy y2 a24 = − , a25 = − f (1+ 2 ), a26 = −x f f
已知值 x0 , y0 , f , m, X, Y, Z 观测值 x,y 未知数 Xs, Ys, Zs, ϕ, ω, κ , 泰勒级数展开
按泰勒级数展开，取小值一次项
∂x ∂x ∂x ∂x x = (x) + ΔX + ∆Y + ∆Z + ∆ϕ ∂X ∂Y ∂Z ∂ϕ ∂x ∂x + ∆ω + ∆κ ∂ω ∂κ ∂y ∂y ∂y ∂y y = ( y) + ∆X + ∆Y + ∆Z + ∆ϕ ∂X ∂Y ∂Z ∂ϕ ∂y ∂y + ∆ω + ∆κ ∂ω ∂κ
摄影测量学试题(含答案)
摄影测量学一、名词解释（每小题 3分，共30 分）1 摄影测量学2航向重叠3 单像空间后方交会4相对行高5 像片纠正6解析空中三角测量7 透视平面旋转定律8外方位元素9 核面10绝对定向元素二、填空题（每空1分，共10 分）1 摄影测量的基本问题，就是将__________ 转换为___________ 。
2 物体的色是随着___ 的光谱成分和物体对光谱成分固有不变的___________ 、和___________ _____ 的能力而定的。
3 人眼产生天然立体视觉的原因是由于 _______________ 的存在。
4 相对定向完成的标志是 _____________ 。
5 光束法区域网平差时，若像片按垂直于航带方向编号，则改化法方程系数阵带宽为，若按平行于航带方向编号，则带宽为________________________________________ 。
三、不定项选择题（每小题2 分，总计20 分）1、以下说法正确的是（）。
同名像点必定在同名核线上B. 像点、物点、投影中心必在一条直线上C. 主合点为主纵线与核线的交点D. 等角点在等比线上2、以下为正射投影的为（）。
A. 框幅式相机拍摄的航片B. 地形图C. 用立体模型测绘的矢量图D. 数字高程模型3、立体像对的前方交会原理能用于（）。
A. 相对定向元素的解求B. 求解像点的方向偏差C. 地面点坐标的解求D. 模型点在像空间辅助坐标系中坐标的解求4、解析内定向的作用是（）。
A.恢复像片的内方位元素B•恢复像片的外方位角元素C.部分消除像片的畸变D.恢复像片的外方位线元素5、光学纠正仪是（）时代的产品，其投影方式属于机械投影。
A. 模拟摄影测量B. 解析摄影测量C. 数字摄影测量D. 数字投影6、卫星与太阳同步轨道是指（）。
A、卫星运行周期等于地球的公转周期B、卫星运行周期等于地球的自传周期C、卫星轨道面朝太阳的角度保持不变。
D、卫星轨道面朝太阳的角度不断变化。
摄影测量学部分课后习题答案
摄影测量学部分课后习题答案两者组成的空间直角坐标系是左手系，用t t t Z Y X T -表示。
③地面摄影测量坐标系，由于摄影测量坐标系采用的是右手系，而地面测量坐标系采用的是左手系，这给由摄影测量坐标到地面测量坐标的转换带来了困难。
为此，在摄影测量坐标系与地面测量坐标系之间建立一种过渡性的坐标系，称为地面摄影测量坐标系，用tp tp tp Z Y X D -表示，其坐标原点在测区内的其一地面点上。
18. 摄影测量中常用的坐标系有哪两大类？用来表示像点的像方坐标系和用来描述地面点的物方坐标系分别有哪些，如何定义的？各有什么关系？（1）像方坐标系，用于描述像点的位置，表示缘点的平面和空间坐标1.像平面坐标系:是以主点为原点的右手平面坐标系，用O-xy 表示，又常用框标连线 交点不重合，须平移，框表坐标系中x0，y0，化算为x-x0，y-y02.像空间坐标系：进行像点空间坐标变换，描述像点在像空间位置的坐标系从摄影中心S 为原点，x ，y 轴与像平面坐标系x ，y 轴平行，z 轴与光轴重合。
形成像空间右手直角坐标系S-XYZ ，每张像片的像空间坐标系而建立的坐标系，3.像空间辅助坐标系: 用S-UVW 表示，原点为S ，坐标轴依情况而定a.取u 、v 、w 分别平行地面摄影测量坐标系D-XYZ.b.以每个像片对的左片摄影中心为原点.c.摄影基本为u 轴，以摄影基线及左片光轴构成的平面作为uw 平面，过原点且垂直于uw 平面的轴为v 构成右手直角坐标系（2）物方坐标系，用于描述地面在物方空间的位置1.地面测量坐标系: 高斯-克吕格6°带或3°带投影的平面直角坐标与定义的从某一基准面量起的高程组合而成的空间左手直角坐标系，用T-XtYtZt 。
2.地面摄影测量坐标系： 过渡像空间辅助坐标系的右手系换算到地面测量坐标系左手系的坐标系，用D-XYZ 表示，原点为测区骱某一地面点上，X 轴与航向一致，Y 轴与X 轴正交，Z 轴沿铅垂方向，构成右手直角系。
中国大学MOOC慕课爱课程(14)--内定向与空间后方交会试题网课刷课
内定向与空间后方交会试题1、填空题（1）数字影像内定向的目的：实现像坐标系统之间的转换 、 改正影像几何变形 。
（2）单像空间后方交会最少需要 3 不在一条直线上的地面控制点。
2、名词解释（1）空间后方交会：利用地面控制点及其在像片上的像点，确定像片外方位元素的方法称为空间后方交会。
3、综合题（1）数字影像内定向的基本思路是什么？答：利用一些特殊点，如框标点或其他特征点，分别获取这些点的像平面坐标和扫描坐标然后依据内定向的数学模型求解待定系数。
（2）利用共线条件方程解算像片的外方位元素的基本过程答：过程如下：a 、读入原始数据（x ，y ，x 0，y 0，f ，X ，Y ，Z ）（x ，y ）是像点坐标，（x 0，y 0，f ）是内方位元素，（X ，Y ，Z ）是像点坐标对应的地面点坐标；b 、确定外方位元素初值：（0000,][,][H Zs nY n Y Ys n X n XXs =====∑∑ ,φ0=ω0=κ0=0） c 、组误差方程式：利用已知值和近似值，组M ，计算 Z Y X ,,和x 计，y 计d 、法化，答解法方程解算外方位元素改正数（dXs ，dYs ，dZs ，dφ,dω,dκ）和改正值111111111111,,,,+++++++++++++=+=+=+=+=+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k d d d dZs Zs Zs dYs Ys Ys dXs Xs Xs κκκωωωφφφe 、判断改正数是否小于限差：若大于限差，回到第3部，重组误差方程式进行迭代计算；若小于限差，输出计算结果。
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摄影测量试题库
6.7 摄影测量中为了恢复左右片的相对位置关系，可以根据左右片上的 同名像点与摄影基
线共核面 的几何条件，采用相对定向方法来实现，数学模型为 共面条件方程 ，至少需 要 5 对 同名像 点解求 5 个相对定向元素，相对定向完成的标志是上下视察 q=0 。
7.1 摄影机的镜头中心相对于影像位置关系的参数称为影像的 内方位 元素，符号表示
线共核面 的几何条件，采用相对定向方法来实现，数学模型为 共面条件方程 ，至少需 要 5 对 同名像 点解求 5 个相对定向元素。
6.3 摄影测量中为了恢复左右片的相对位置关系，可以根据左右片上的 同名像点与摄影基
线共面
的几何条件，采用相对定向方法来实现，数学模型为 共面条件方程 ，至
少需要 5 对同名像点解求 5 个相对定向元素，其中固定左光束不变，移动和旋转右光束
射 以及地球曲率 等。
3.2 摄影测量影像像点坐标的系统误差主要有摄影材料的变形、镜头畸变差 、 大气折光差
以及 地球曲率 等。
3.3 等比线将像片分为三部分，等比线上的点比例尺等于 f ，含主点部分的比例尺 小于 H
f ，含底点部分的比例尺 大于 f 。
H
H
4.1 摄影测量学的发展经历了 模拟摄影测量 、 解析摄影测量 和 数字摄影测量
分）。外方位元素有六个，其中三个线元素确定摄影中心在所取空间直角坐标系中的坐标（1 分），三个角元表示摄影光束的姿态（1 分）。
2.3 中心投影：所有投射线或其延长线都通过一个固定点的投影，叫做中心投影。（3 分） 2.4 主合点：地面上一组平行于摄影方向线的光束在像片上的构像。（3 分） 2.5 核面：过摄影基线与地面上任一点的平面称为该点的核面。（3 分） 2.6 核线：核面与像平面的交线。（3 分） 2.7 地主点：相机主光轴与物平面的交点。 2.8 像底点：过投影中心作铅垂线与像平面的交点。 2.9 地底点：过投影中心作铅垂线与物平面的交点。 2.10 像等角点：过投影中心作∠OSN 的平分线与像平面的交点。 2.11 地等角点：过投影中心作∠OSN 的平分线与像平面的交点。 2.12 像主点：相机主光轴与像平面的交点。
摄影测量与遥感习题集
《摄影测量与遥感》习题集一、名词解释摄影测量与遥感、像平面坐标系、相机主距、单片空间后方交会、主合点、GPS辅助空中三角测量、量测相机、非量测相机、航高、DEM、摄影比例尺、航向重叠度、旁向重叠度、数字微分纠正、摄影基线、内方位元素、外方位元素、采样、重采样、像点位移、解析空中三角测量、绝对定向、相对定向、空间分辨率、时间分辨率、光谱分辨率、温度分辨率、大气窗口、正解法数字微分纠正、反解法数字微分纠正二、填空题1．摄影测量与遥感要解决的是所获信息的“2W”问题，即___________和___________这两大问题。
2.摄影测量的发展经历了_______、_______和_______三个阶段。
3.同一条航线内相邻像片之间的影像重叠称为_______,一般在_____以上。
相邻航线的重叠称为_______,重叠度要求在_____以上。
4.摄影中心且垂直于像平面的直线叫做 _________，它与像平面的交点称为______。
5.全数字摄影测量一般分为_______和________两种方式。
6.航空摄影像片为地面景物的_________投影。
7.摄影测量中常用的坐标系有_______、_______、_______、_______、_______。
8.像点a、摄影中心S和物点A在同一条直线上，这三点之间的数学关系式称为。
9.利用航摄像片上三个以上像点坐标和相应的地面点坐标，计算像片的外方位元素的工作，称为。
10.相对定向的目的是，最少需要对点。
11.解求单张像片的外方位元素最少需要个点。
12.采用连续法对像对进行相对定位时，通常采用_______________________作为描述两张像片相对位置的像空间辅助坐标系。
13.单元模型的绝对定向最少需要_______个平高点和_______个高程地面控制点。
14.两个空间直角坐标系间的坐标变换最少需要______个_______和___个_______地面控制点。
摄影测量考试试题及详细答案
1 摄影测量学 23 单像空间后方交会5 像片纠正 67 透视平面旋转定律9 核面 105光束法区域网平差时，若像片按垂直于航带方向编号，则改化法方程系数阵带 宽为 ，若按平行于航带方向编号，则带宽为 ____________________________ 。
三、 简答题1 两种常用的相对定向元素系统的特点及相对定向元素。
2 倾斜位移的特性。
3 单行带法相对定向后，为何要进行比例尺归化？为何进行？4 独立模型法区域网平差基本思想。
5 何谓正形变换？有何特点？四、 论述题1 空间后方交会的结算步骤。
2有三条航线，每条航线六张像片组成一个区域，采用光束法区域网平差。
（1）（2）（3）A 卷答案:1是对研究的对象进行摄影，根据所获得的构想信息，从几何方面和物理方面加 以分析研究，从而对所摄影的对象本质提供各种资料的一门学 科。
2供测图用的航测相片沿飞行方向上相邻像片的重叠。
3 知道像片的内方位元素，以及三个地面点坐标和量测出的相应像点的坐标，就 可以根据共线方程求出六个外方位元素的方法。
4 摄影瞬间航摄飞机相对于某一索取基准面的高度。
5 将中心投影转换成正射投影时， 经过投影变换来消除相片倾斜所引起的像点位移，使它相当于水平相片的构象，并符合所规定的比例尺的变换过程。
6是将建立的投影光束，单元模型或航带模型以及区域模型的数字模型，根据少 数地面控制点，按最小二乘法原理进行平差计算，并求加密点地面坐标的方法。
7当物面和合面分别绕透视轴合线旋转后，只要旋转地角度相同，则投影射线总 是通过物面和像面的统一相对应点。
一、 填空1摄影测量的基本问题，就是将 2 物体 的 色是 随 着 ______ ______ 转换为 _____________ 。
的光谱成分和物体对光谱成分固有不变的____ 的能力而定的。
3人眼产生天然立体视觉的原因是由于 4 相对定向完成的标志是 ____________ 、和的存在。
摄影后方交会0215
摄影测量单像空间后方交会10_GIS_2班运用C++编写程序，具体步骤如下图：首先将原始数据存储到.txt文本下，供后期编程过程中调用程序代码如下：// 空间后方交会.cpp : Defines the entry point for the console application.//#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <windows.h>#include <math.h>#include <iostream>#include<array>#include "mtxfunction.h" //矩阵求逆运算、转置、相乘using namespace std;/***************************************声明结构类型GCP，用来保存控制点坐标***************************************/struct GCP{double x; //影像控制点x坐标double y; //影像控制点y坐标double Xt; //地面控制点Xt坐标double Yt; //地面控制点Yt坐标double Zt; //地面控制点Zt坐标};/***************************************/// 声明读取文本数据函数int Inputdata(int &GCPN, GCP *data, double &m, double &f, double &x0, double &y0);/***************************************///int main(){system("title 单像空间后方交会");//声明变量int GCPN=100; //控制点对数GCPNdouble m =50000, f = 153.24, x0 = 0, y0 = 0; //比例尺m，主距f，外方位元素x0,y0GCP data[4]; //控制点坐标矩阵double Xs = 0, Ys = 0, Zs = 0, fai = 0, omiga = 0, k = 0; //内个外方位元素double mtxX[6]; //X矩阵X=[ΔXs,ΔYs,ΔZs,Δψ,Δω,Δκ]mtxX[3] = 1;double mtxR[9]; //旋转矩阵Rdouble mtxresult1[6][6], mtxresult2[6]; //1保存ATA及其逆矩阵和2保存ATL，相乘得到X结果int i, n = 0;double sum = 0, m0;/***************************************/// 读取数据gotokaishi: ; //goto标记if(Inputdata(GCPN, data, m, f, x0, y0)){cout << "读取“原始数据.txt”出现错误！\n";cout << "请将“原始数据.txt”置于程序所在目录中，并检查数据格式。
摄影测量学单像空间后方交会程序设计作业
using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespace 单像空间后方交会{class Program{static void Main(string[] args){int x0, y0, i, j; double f, m;Console.Write("请输入像片比例尺：");m = double.Parse(Console.ReadLine());Console.Write("请输入像片的内方位元素x0:");//均以毫米为单位x0 = int.Parse(Console.ReadLine());Console.Write("请输入像片的内方位元素y0:");y0 = int.Parse(Console.ReadLine());Console.Write("请输入摄影机主距f:");f = double.Parse(Console.ReadLine());Console.WriteLine();//输入坐标数据double[,] zuobiao = new double[4, 5];for (i = 0; i < 4; i++){for (j = 0; j < 5; j++){if (j < 3){Console.Write("请输入第{0}个点的第{1}个地面坐标：", i + 1, j + 1);zuobiao[i, j] =double.Parse(Console.ReadLine());}else{Console.Write("请输入第{0}个点的第{1}个像点坐标：", i + 1, j - 2);zuobiao[i, j] =double.Parse(Console.ReadLine());}} Console.WriteLine();}//归算像点坐标for (i = 0; i < 4; i++){for (j = 3; j < 5; j++){if (j == 3)zuobiao[i, j] = zuobiao[i, j] - x0;elsezuobiao[i, j] = zuobiao[i, j] - y0;}}//计算和确定初值double zs0 = m * f, xs0 = 0, ys0 = 0;for (i = 0; i < 4; i++){xs0 = xs0 + zuobiao[i, 0];ys0 = ys0 + zuobiao[i, 1];}xs0 = xs0 / 4;ys0 = ys0 / 4;//逐点计算误差方程系数double[,] xishu = new double[8, 6];for (i = 0; i < 8; i += 2){double x, y;x = zuobiao[i / 2, 3]; y = zuobiao[i / 2, 4];xishu[i, 0] = xishu[i + 1, 1] = -1 / m; xishu[i, 1] = xishu[i + 1, 0] = 0; xishu[i, 2] = -x / (m * f); xishu[i, 3] = -f * (1 + x * x / (f * f));xishu[i, 4] = xishu[i + 1, 3] = -x * y / f; xishu[i, 5] = y; xishu[i + 1, 2] = -y / (m * f); xishu[i + 1, 4] = -f * (1 + y * y / (f * f)); xishu[i + 1, 5] = -x;}//计算逆阵double[,] dMatrix =matrixChe(matrixTrans(xishu), xishu);double[,] dReturn = ReverseMatrix(dMatrix, 6);Console.WriteLine("逆矩阵为：");if (dReturn != null){matrixOut(dReturn);}//求解过程double phi0 = 0, omega0 = 0, kappa0 = 0; int q = 0;double[,] r = new double[3, 3];double[,] jinsi = new double[4, 2];double[] chazhi = new double[8];double[] jieguo = new double[6];double[,] zhong = matrixChe(dReturn,matrixTrans(xishu));do{ //计算旋转矩阵rr[0, 0] = Math.Cos(phi0) * Math.Cos(kappa0) - Math.Sin(phi0) * Math.Sin(omega0) * Math.Sin(kappa0);r[0, 1] = -Math.Cos(phi0) * Math.Sin(kappa0) - Math.Sin(phi0) * Math.Sin(omega0) * Math.Cos(kappa0);r[0, 2] = -Math.Sin(phi0) * Math.Cos(omega0);r[1, 0] = Math.Cos(omega0) * Math.Sin(kappa0);r[1, 1] = Math.Cos(omega0) * Math.Cos(kappa0);r[1, 2] = -Math.Sin(omega0);r[2, 0] = Math.Sin(phi0) * Math.Cos(kappa0) + Math.Cos(phi0) * Math.Sin(omega0) * Math.Sin(kappa0);r[2, 1] = -Math.Sin(phi0) * Math.Sin(kappa0) + Math.Cos(phi0) * Math.Sin(omega0) * Math.Cos(kappa0);r[2, 2] = Math.Cos(phi0) * Math.Cos(omega0);//计算x,y的近似值for (i = 0; i < 4; i++){jinsi[i, 0] = -f * (r[0, 0] * (zuobiao[i, 0] - xs0) + r[1, 0] * (zuobiao[i, 1] - ys0) + r[2, 0] * (zuobiao[i, 2] - zs0)) / (r[0, 2] * (zuobiao[i, 0] - xs0) + r[1, 2] * (zuobiao[i, 1] - ys0) + r[2, 2] * (zuobiao[i, 2] - zs0));jinsi[i, 1] = -f * (r[0, 1] * (zuobiao[i, 0] - xs0) + r[1, 1] * (zuobiao[i, 1] - ys0) + r[2, 1] * (zuobiao[i, 2] - zs0)) / (r[0, 2] * (zuobiao[i, 0] - xs0) + r[1, 2] * (zuobiao[i, 1] - ys0) + r[2, 2] * (zuobiao[i, 2] - zs0));}for (i = 0; i < 8; i += 2){chazhi[i] = zuobiao[i / 2, 3] - jinsi[i / 2, 0];chazhi[i + 1] = zuobiao[i / 2, 4] - jinsi[i / 2, 1];}for (i = 0; i < zhong.GetLength(0); i++){double k = 0;for (j = 0; j < zhong.GetLength(1); j++){k = k + zhong[i, j] * chazhi[j];}jieguo[i] = k;}//求新的近似值xs0 += jieguo[0]; ys0 += jieguo[1]; zs0 += jieguo[2];phi0 += jieguo[3]; omega0 += jieguo[4]; kappa0 += jieguo[5];q++;if (q > 1000)break;} while ((Math.Abs(jieguo[0]) > 0.020 ||Math.Abs(jieguo[1]) > 0.020) || Math.Abs(jieguo[2]) > 0.020);Console.WriteLine("共进行了{0}次运算", q);Console.WriteLine("旋转矩阵为");matrixOut(r);for (i = 0; i < jieguo.GetLength(0); i++){Console.Write("第{0}个外方位元素为：{1}", i + 1, jieguo[i]);}}//矩阵转置public static double[,] matrixTrans(double[,] X){double[,] A = X;double[,] C = new double[A.GetLength(1),A.GetLength(0)];for (int i = 0; i < A.GetLength(1); i++)for (int j = 0; j < A.GetLength(0); j++){C[i, j] = A[j, i];}return C;}//矩阵输出public static void matrixOut(double[,] X){double[,] C = X;for (int i = 0; i < C.GetLength(0); i++){for (int j = 0; j < C.GetLength(1); j++){Console.Write(" {0}", C[i, j]);}Console.Write("\n");}}//二维矩阵相乘public static double[,] matrixChe(double[,] X, double[,] Y){int i, j, n; double m;double[,] C = X; double[,] D = Y;double[,] E = new double[C.GetLength(0),C.GetLength(0)];for (i = 0; i < C.GetLength(0); i++){for (n = 0; n < C.GetLength(0); n++){m = 0;for (j = 0; j < C.GetLength(1); j++){m = m + C[i, j] * D[j, n];}E[i, n] = m;}}return E;}//计算行列式的值public static double MatrixValue(double[,] MatrixList, int Level){double[,] dMatrix = new double[Level, Level];for (int i = 0; i < Level; i++)for (int j = 0; j < Level; j++)dMatrix[i, j] = MatrixList[i, j];double c, x;int k = 1;for (int i = 0, j = 0; i < Level && j < Level; i++, j++){if (dMatrix[i, j] == 0){int m = i;for (; dMatrix[m, j] == 0; m++) ;if (m == Level)return 0;else{for (int n = j; n < Level; n++){c = dMatrix[i, n];dMatrix[i, n] = dMatrix[m, n];dMatrix[m, n] = c;}k *= (-1);}}for (int s = Level - 1; s > i; s--){x = dMatrix[s, j];for (int t = j; t < Level; t++)dMatrix[s, t] -= dMatrix[i, t] * (x / dMatrix[i, j]);}}double sn = 1;for (int i = 0; i < Level; i++){if (dMatrix[i, i] != 0)sn *= dMatrix[i, i];elsereturn 0;}return k * sn;}//计算逆阵public static double[,] ReverseMatrix(double[,] dMatrix, int Level){double dMatrixValue = MatrixValue(dMatrix, Level);if (dMatrixValue == 0) return null;double[,] dReverseMatrix = new double[Level, 2 * Level];double x, c;for (int i = 0; i < Level; i++){for (int j = 0; j < 2 * Level; j++){if (j < Level)dReverseMatrix[i, j] = dMatrix[i, j];elsedReverseMatrix[i, j] = 0;}dReverseMatrix[i, Level + i] = 1;}for (int i = 0, j = 0; i < Level && j < Level; i++, j++){if (dReverseMatrix[i, j] == 0){int m = i;for (; dMatrix[m, j] == 0; m++) ;if (m == Level)return null;else{for (int n = j; n < 2 * Level; n++)dReverseMatrix[i, n] += dReverseMatrix[m, n];}}x = dReverseMatrix[i, j];if (x != 1){for (int n = j; n < 2 * Level; n++)if (dReverseMatrix[i, n] != 0)dReverseMatrix[i, n] /= x;}for (int s = Level - 1; s > i; s--){x = dReverseMatrix[s, j];for (int t = j; t < 2 * Level; t++)dReverseMatrix[s, t] -= (dReverseMatrix[i, t] * x);}}for (int i = Level - 2; i >= 0; i--){for (int j = i + 1; j < Level; j++)if (dReverseMatrix[i, j] != 0){c = dReverseMatrix[i, j];for (int n = j; n < 2 * Level; n++)dReverseMatrix[i, n] -= (c * dReverseMatrix[j, n]);}}double[,] dReturn = new double[Level, Level];for (int i = 0; i < Level; i++)for (int j = 0; j < Level; j++)dReturn[i, j] = dReverseMatrix[i, j + Level];return dReturn;}}}。
摄影测量作业3-空间后方交会计算
CFileDialog dlgOpenFile(TRUE, _T("txt"), NULL, OFN_FILEMUSTEXIST, _T("(文本文件)|*.txt|(所有文件）|*.*)||"));
if (dlgOpenFile.DoModal() == IDCANCEL) return;//如果选择取消按钮，则退出
原理、算法流程、源程序、计算结果、结果分析、心得体会等。
三．实验所用到的数学公式及程序计算步骤。
单张影像的空间后方交会：利用已知地面控制点数据及相应像点坐标 根据共线方程反 求影像的外方位元素。 数学模型：共线条件方程式：
3
求解过程： （1）获取已知数据。从航摄资料中查取平均航高与摄影机主距；获取控制点的地面测
CMatrix X,_A,_AA,N_AA; _A = ~A;//A 的转置 _AA = _A*A; N_AA = _AA.Inv();//_AA 的逆矩阵 X = N_AA*_A*L; return X; }
CMatrix CKongJianHouFangJiaoHuiDlg::GetA(CMatrix xyXYZ, double f, CMatrix XX)//计算系数矩 阵A {
CMatrix CKongJianHouFangJiaoHuiDlg::GetL(CMatrix xyXYZ, double f, CMatrix XX)//计算 L 矩阵 {
int iRow = xyXYZ.Row(); CMatrix L(2 * iRow, 1); double XS = XX(0, 0); double YS = XX(0, 1); double ZS = XX(0, 2);
A(2*i, 3) = y*sin(w) - (x*(x*cos(k) - y*sin(k)) / f + f*cos(k))*cos(w); A(2*i, 4) = -f*sin(k) - x*(x*sin(k) + y*cos(k)) / f; A(2*i, 5) = y; A(2*i+1, 0) = (a2*f + a3*y) / _Z; A(2 * i + 1, 1) = (b2*f + b3*y) / _Z; A(2 * i + 1, 2) = (c2*f + c3*y) / _Z; A(2 * i + 1, 3) = -x*sin(w) - (y*(x*cos(k) - y*sin(k)) / f - f*sin(k))*cos(w); A(2 * i + 1, 4) = -f*cos(k) - y/ f*(x*sin(k) + y*cos(k)); A(2 * i + 1, 5) = -x; } return A; }
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单像空间后方交会-习题单像空间后方交会(遥感07-1、2学生适用)测绘学院 王双亭1 概述1.1 定义利用一定数量的地面控制点和对应像点坐标求解单张像片外方位元素的方法称为空间后方交会。
1.2 所需控制点个数与分布共线条件方程的一般形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+--+-+--=--+-+--+-+--=-)()()()()()()()()()()()(33322203331110S S S S S S S S S S S S Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f y y Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f x x （1）式中包含有六个外方位元素，即κωϕ、、、、、SSSZ Y X ，只有确定了这六个外方位元素的值，才能利用共线条件方程真正确定一张像片的任一像点与对应地面点的坐标关系。
个数：对任一控制点，我们已知其地面坐标)(i i i Z Y X 、、和对应像点坐标)(iiy x 、，代入共线条件方程可以列出两个方程式，因此，只少需要3个控制点才能解算出六个外方位元素。
在实际应用中，为了避免粗差，应有多余检查点，因此，一般需要4～6个控制点。
分布：为了最有效地控制整张像片，控制点应均匀分布于像片边缘，如下图所示。
分布分布分布由于共线条件方程是非线性的，直接答解十分困难，所以首先将共线方程改化为线性形式，然后再答解最为简单的线性方程组。
2空间后方交会的基本思路2.1 共线条件方程线性化的基本思路在共线条件方程中，令)()()()()()()()()(333222111S S S S S S S S S Z Z c Y Y b X X a Z Z Z c Y Y b X X a Y Z Z c Y Y b X X a X -+-+-=-+-+-=-+-+-=（2）则共线方程变为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-ZY fy y Z Xf x x 00 （3）对上式两侧同乘Z ，并移至方程同侧，则有⎩⎨⎧=-+=-+0)(0)(00Z y y Y f Z x x X f （4）令⎩⎨⎧-+=-+=Zy y Y f Fy Z x x X f Fx )()(00 （5）由于上式是共线方程的变形，因此，Fy Fx 、是κωϕ、、、、、S S S Z Y X 的函数。
对Fy Fx 、分别按泰劳级数展开，并且只保留一次项，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+=∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+=κκωωϕϕκκωωϕϕFy Fy Fy Z Z Fy Y Y Fy X X Fy Fy Fy Fx Fx Fx Z Z Fx Y Y Fx X X Fx Fx Fx S S S S S S S S S S S S 00)()(（6）式中，0)(Fx 、0)(Fy 分别是Fx 和Fy 的初值；•∂∂Fx 、•∂∂Fy 分别是Fx 和Fy 对各个外方位元素的偏导数；κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X 分别是κωϕ、、、、、SSSZ Y X 初值的增量。
为了明确（6）式中常数项的意义，对（6）式两侧同乘以Z1-，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+-=-∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+-=-κκωωϕϕκκωωϕϕFy Z Fy Z Fy Z Z Z Fy Z Y Y Fy Z X X Fy Z Fy Z Fy ZFx ZFx Z Fx Z Z Z Fx Z Y Y Fx Z X X Fx Z Fx Z Fx Z SS S S S S S S S S S S )1()1()1()1()1()1()(11)1()1()1()1()1()1()(1100（7）考查（7）式中的常数项，有)()]()[()]()[(])([1)(100000计计＝－x x x x x x ZX f x x Z x x X f Z Fx Z -----=----=-+-=-（8）式中x 是像点坐标的观测值；计x 是由相应地面坐标和外方位元素初值计算出的像点坐标。
这样（7）式中的常数项就有明确的意义，即为像点观测值和计算值之差。
同样也可以得到，)()]()[()]()[(])([1)(100000计计＝－y y y y y y ZY f y y Z y y Y f Z Fy Z -----=----=-+-=-（9）现将（7）式改写为⎩⎨⎧-∆+∆+∆+∆+∆+∆=-∆+∆+∆+∆+∆+∆=yS S S y x S S S x l a a a Z a Y a X a v l a a a Z a Y a X a v κωϕκωϕ262524232221161514131211 （10）式中，yxv v 、为残差；ija 为系数；κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、SS S Z Y X 是待求值，yxl l 、是像点观测值和计算值之差。
与（7）式相比较，显然有计＝＝＝＝x x l FxZ a Fx Z a FxZ a Fx Z a FxZ a X FxZ a x S S S -=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-=κωϕ111Z 1Y 11615141312111计＝＝＝＝y y l FyZ a FyZ a FyZ a FyZ a FyZ a X Fy Z a y S S S -=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-=κωϕ111Z 1Y 11262524232212 （10a ）式（10）就是以外方位元素增量为待求值的共线条件方程线性化公式，也称误差方程式。
要得到完整的线性化形式，关键是求各个系数ija ，而求ija 的关键是求出Fy Fx 、对各个外方位元素的偏导数。
如何求偏导数，将在共线方程线性化部分介绍。
2.2 答解外方位元素的基本过程每个控制点都可以按（10）式列出两个误差方程式，n 个控制点可列出2n 个方程，用矩阵形式可表示为：LAX V -= （11）式中[]Tn ynx y x y xv v v v v v Λ2211=V ；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 261622122111226216222212221211126116122112121111ΛΛM O M M ΛΛΛΛA ；[]TSSS Z Y X κωϕ∆∆∆∆∆∆=X ；[]Tn ynxy xyxl l l l l l Λ2211=L 。
如果能答解这2n 个方程构成的方程组，则可得到外方位元素的增量。
具体的求解过程应是一个迭代过程： （1）给出外方位元素的初值，000κωϕ、、、、、S S S Z Y X ；（2）对每个控制点计算误差方程式系数ija 和yx l l 、，从而按（10）式组成误差方程式；（3）答解线性方程组，得到每个外方位元素的增量κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、SSSZ Y X ；（4）将增量和初值相加，得到新的外方位元素值；（5）各个增量是否小于规定的限差？若是，则停止迭代运算；若不是，则将新外方位元素值作为初值重复（2）～（5）。
2.3 误差方程组的答解方法（最小二乘原理）式（11）是一个由2n 个方程组成的误差方程组，且方程个数多于待求值的个数，对这样的方程组应如何答解呢？在摄影测量中一般按最小二乘原理进行答解。
按最小二乘原理，求出的待求参数的最佳估计值应使各误差方程式的残差平方和为最小，即满足min=V V T（12）这样就转化为V V T对待求值的求极值问题。
下面以式（11）为例，说明求极值后误差方程式的变化。
将VV T 分别对κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X 求极值，即令00000=∆∂∂=∆∂∂=∆∂∂=∆∂∂=∆∂∂=∆∂∂κωϕV V V V V V V V V V V V T T T S T S T S T Z Y X （13）这样将得到六个新的线性方程式，方程式的个数与待求值的个数相同。
解这个方程组，则可得到κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X 的最佳估计值。
在测量平差中把由式（11）变为式（13）的过程称为误差方程式的法化，法化后的方程式称为法方程式。
显然，法方程式的系数和常数项将与误差方程式不同。
究竟法方程式的系数、常数项和原误差方程式有什么变化，又有什么关系呢？这可以通过较复杂的推导过程来找到。
在这里，我们略去推导过程，只按矩阵方式给出结论。
由于LL L A X AX A X L AX L AX V V T T T T T T T +-=--=2)()(则022=-=∂∂L A AX A XVV T T T整理后有LA AX A T T =令AA N T = 即为法方程式的系数阵。
两边同乘以1-N ，则可求出X ，即LA N X T 1-=（14）该式即为κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、SSSZ Y X 的解。
3 共线条件方程的线性化在“共线条件方程线性化的基本思路”中，我们知道：共线条件方程线性化的关健是求各个偏导数（•∂∂Fx 和•∂∂Fy ），下面我们分别求取线元素和角元素的偏导数。
3.1 线元素的偏导数已知⎩⎨⎧-+=-+=Zy y Y f Fy Z x x X f Fx )()(00 和)()()()()()()()()(333222111S S S S S S S S S Z Z c Y Y b X X a Z Z Z c Y Y b X X a Y Z Z c Y Y b X X a X -+-+-=-+-+-=-+-+-=则)()()()()()()()()()()()(032003200320031003100310y y c f c Z Zy y Z Y f Z Fy y y b f b Y Zy y Y Y f Y Fy y y a f a X Zy y X Y f X Fy x x c f c Z Zx x Z X f Z Fx x x b f b Y Zx x Y X f Y Fx x x a f a X Zx x X X f X Fx SS S S S S S S S S S S S S S S S S ---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂（15）如果把内方位元素也作为未知数进行答解，则Z x Fx-=∂∂000=∂∂y FxX f Fx=∂∂ 00=∂∂x FyZ y Fy-=∂∂0Y fFy=∂∂3.2 角元素的偏导数Fx和Fy 是角元素κωϕ、、的复合函数，为了推导的方便，我们将对角元素求导数的过程分为三个步骤。