2016年高考极坐标参数方程试题
2016年高考极坐标参数方程试题
2016年高考极坐标参数方程试题1．【2016年新课标1卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，〔t 为参数，0a >〕．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．〔1〕说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；〔2〕直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，假设曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】〔1〕消去参数t 得到1C 的普通方程()2221x y a +-=．1C 是以()0,1为圆心，a 为半径的圆．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为：222sin 10a ρρθ-+-=．〔2〕曲线1C ，2C 的公共点的极坐标满足方程组222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩，假设0ρ≠，由方程组得：2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，由已知tan 2θ=，可得216cos 8sin cos 0θθθ-=，从而210a -=，解得：1a =-〔舍去〕，1a =．1a =时，极点也为1C ，2C 的公共点，在3C 上．所以1a =．2．【2016年北京理11】在极坐标系中，直线cos 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】2【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角方程：直线为：10x -=，圆为：()2211x y -+=，直线过圆心()1,0，故2AB =． 【考点】极坐标方程与直角方程的互相转化．【点评】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．3．【2016年江苏理21】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，〔t 为参数〕，椭圆C 的参数方程为：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【分析】利用三角消元将参数方程：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩化为普通方程：2214y x +=，再将直线l 的参数方程代入求解得：10t =，2167t =-，最后根据弦长公式或两点间距离公式求弦长． 【解析】椭圆C 的普通方程为：2214y x +=，将直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得：2211124t ⎫⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭，即27160t t +=，解得：10t =，2167t =-． 【考点】直线与椭圆的参数方程．【点评】将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法，加减消元法，三角恒等变换法；把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响；注意参数的几何意义．4．【2016年上海理16】以下极坐标方程中，对应的曲线为如图的是〔 〕A ．65cos ρθ=+B ．65sin ρθ=+C ．65cos ρθ=-D ．65sin ρθ=- 【答案】 D【解析】依次取0θ=，2π，π，32π，结合图形可知，只有65sin ρθ=-满足条件，故选D ．【考点】极坐标及其方程．【点评】突出表达了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力，数形结合思想等．5．【2016年天津理14】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，〔t 为参数，0p >〕的焦点F ，准线l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7,02C p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．假设||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为 ．【解析】抛物线的普通方程为：22y px =，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，7||322p CF p p =-=， 又||2||CF AF =，则3||2AF p =，由抛物线的定义得：3||2AB p =，所以A x p =，则||A y ，由//CF AB 得：EF CF EA AB =，即2EF CF EA AF==，所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF ACE CFE S S S ∆∆∆=+=，所以132p ⨯=，p = 【考点】抛物线的定义，抛物线的参数方程．【点评】凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．6．【2016年新课标2卷理23】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． 〔1〕以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；〔2〕直线l 的参数方程是：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 求l 的斜率．【分析】〔1〕利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；〔2〕先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程212cos 110ρρθ++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．【解析】〔1〕圆的方程化为：2212110x y x +++=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入，得：212cos 110ρρθ++=；〔2〕在〔1〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θα=〔R ρ∈〕，由A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得：212cos 110ρρα++=，于是，1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，12||||AB ρρ=-==由||AB 得：23cos 8α=，tan α=，所以l 【考点】圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线的参数方程．【点评】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．7．【2016年新课标3卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔1〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；〔2〕设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【分析】〔1〕利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线1C 的参数方程为普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立()||PQ d α=的三角函数表达式，最后求出最值与相应点P 的坐标即可．【解析】〔1〕1C 的普通方程2213x y +=，2C 的直角坐标方程40x y +-=；〔2〕由题意，可设点P 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()23d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，当且仅当26k παπ=+〔k Z ∈〕时，()d αP 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【考点】椭圆的参数方程，直线的根坐标方程．。
极坐标和参数方程高考题老师专用
极坐标和参数方程高考题（3）一、填空题（12道题，每道题6分，共计72分）1． 曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，若以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是________．答案 ρ＝－4cos θ解析 曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，∴x 2＋y 2＝－4x ，若以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 则方程为ρ＝－4cos θ.2． 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，255解析 消去参数θ得曲线方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分．消去参数t得曲线方程为y 2＝45x ，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.3． 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t y ＝－1－t(t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，则曲线C 的普通方程为________．答案 x 24＋y 23＝1解析 直线l 的普通方程是x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)，又曲线的普通方程为x 2a 2＋y 23＝1，代入交点(2,0)可得a ＝2，∴则曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.4． (2013·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则AB ＝____.答案 16解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.5． 已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为______.答案 (－1,1)，(1,1)解析 圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 直线l 的直角坐标方程为y ＝1.⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －1)2＝1，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴l 与⊙C 的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．6． 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．答案 2解析 依题意，曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1；曲线C 2的直角坐标系下的方程为x －y ＋1＝0.易判断圆心(0,1)在直线x －y ＋1＝0上．故C 1与C 2的交点个数为2.7． 点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，则yx 的取值范围是________．答案 [－33，33] 解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝1，圆心为(－2,0)，半径为1，设yx ＝k ，则直线y ＝kx ，即kx －y ＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，由图象知k 的取值范围是－33≤k ≤33，即y x 的取值范围是[－33，33]．8． 若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝______. 答案 －1解析 直线l 1：kx ＋2y －4－k ＝0. 直线l 2：2x ＋y －1＝0.∵l 1与l 2垂直，∴2k ＋2＝0，∴k ＝－1.9． 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，则AB ＝________. 答案14解析 极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )对应的平面直角坐标系中方程为y ＝x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)⇒(x －1)2＋(y －2)2＝4.圆心(1,2)，r ＝2.圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|2＝22，AB ＝2r 2－d 2＝24－12＝14. 10． (2012·广东)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．答案 (1,1)解析 化参数方程为普通方程然后解方程组求解． C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．11． 设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，求l 1与l 2间的距离___________．解 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)化为普通方程3x －y －2＝0，因此l 1与l 2间的距离为d ＝|4＋2|32＋(－1)2＝3105.12． 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程______________． 解 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0. 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.二、解答题（6道题，每道题13分，共计78分，第一问5分，第二问8分）13． (2012·江苏)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.14． 已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x 轴正半轴重合． (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值． 解 (1)极点为直角坐标原点O ，∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，∴ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，可化为直角坐标方程：x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程：x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)，半径r ＝2.∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.15． 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程； (2)若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值． 解 (1)y 2＝2ax ，y ＝x －2.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝2ax ，得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0， 则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )． 因为MN 2＝PM ·PN ，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，解得a ＝1(a ＝－4，舍去)． 经验证，符合题意，故a ＝1.16．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．17.(10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫42，π4，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)求直线OM 的直角坐标方程；(2)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 规范解答解 (1)由点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫42，π4， 得点M 的直角坐标为(4,4)，所以直线OM 的直角坐标方程为y ＝x .[4分](2)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，化成普通方程为(x －1)2＋y 2＝2， 圆心为A (1,0)，半径为r ＝2，由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为MA －r ＝5－ 2.[10分]评分细则 (1)得出M 的直角坐标给2分；(2)得出曲线C 的参数方程给2分；最小值直接写出没有中间过程扣2分．阅卷老师提醒 参数方程和极坐标方程的综合是高考命题的一贯方式，解决的基本思想是化为普通方程(直角坐标方程)，要求计算准确，注意参数的范围．18.在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
坐标系与参数方程联系题(真题)(含答案)
1、在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ()θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ()θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为()1，π2即为所求．2、已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ()θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ()θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ()cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ()θ＋π4＝22.3、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为()2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·||sin ()α－π3＝2||sin ()2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.4、(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12.5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.6．(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ()θ＋π6＝53，射 线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎨⎧ρ＝4sin θ，θ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ()θ＋π6＝53，θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝ρ2－ρ1＝3.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ()θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ()θ－π3＝1得ρ()12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ()233，π2. (2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为()0，233. 所以P 点的直角坐标为()1，33，则P 点的极坐标为()233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． 8．(2018·福建质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：θ＝π6(ρ>0)，A (2,0)．(1)把C 1的普通方程化为极坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△APQ 的面积． 解：(1)因为C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ. (2)依题意，设点P ，Q 的极坐标分别为()ρ1，π6，()ρ2，π6. 将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23，将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝23－1.依题意，点A (2,0)到曲线θ＝π6(ρ>0)的距离d ＝|OA |sin π6＝1，所以S △APQ ＝12|PQ |·d ＝12×(23－1)×1＝3－12.9．(2018·贵州适应性考试)在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α()π6＜α≤π4的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．解：(1)由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ， 两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6＜α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α， ∴|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α.∵π6＜α≤π4， ∴|OA |·|OB |的取值范围是(]433，4.(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．(4)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)．10、(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，()－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8； 当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.2．结论要记根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.11．(2018·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ (θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为()92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0， 则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝||8cos 2α－sin 2α＝||8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝403.12．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ()θ＋π4＝－ 2.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos ()θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)， 化为极坐标为A (2，π)，B ()2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )， 则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝||－6＋2cos ()t ＋π42.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△PAB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.13、在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为()23，π6，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)．(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值． 解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得点P 的直角坐标为(3，3)，由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α，得x 2＋(y ＋3)2＝4， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4. (2)直线l 的普通方程为x ＋2y ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)，设Q (2cos α，－3＋2sin α)， 则M ()32＋cos α，sin α， 故点M 到直线l 的距离d ＝||32＋cos α＋2sin α＋112＋22＝||5sin (α＋φ)＋525≥－5＋525＝52－1()tan φ＝12， ∴点M 到直线l 的距离的最小值为52－1.14、．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)， 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.15．(2018·武昌调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，a >0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos ()θ＋π4＝－2 2.(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝2时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围． 解：(1)由ρcos ()θ＋π4＝－22， 得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22， 化成直角坐标方程，得22(x －y )＝－22， 即直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 依题意，设P (2cos t,2sin t )， 则点P 到直线l 的距离d ＝|2cos t －2sin t ＋4|2＝||22cos ()t ＋π4＋42＝22＋2cos ()t ＋π4.当cos ()t ＋π4＝－1时，dmin ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2. (2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， ∴对∀t ∈R ，有a cos t －2sin t ＋4>0恒成立， 即a 2＋4cos(t ＋φ)>－4()其中tan φ＝2a 恒成立， ∴a 2＋4<4， 又a >0，∴0<a <2 3. 故a 的取值范围为(0,23)．16．已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为()π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为()π6，3π6，A (1,0)． 故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋()π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0.∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，化简得2t 2－22t ＋1－4a ＝0. ∴Δ＝(－22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0， t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2.根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又|PA |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2，t 1·t 2＝2t 22＝1－4a2，解得a ＝136，符合题意． 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2，t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94，符合题意．综上，实数a ＝136或a ＝94.318．(2018·贵阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋3cos t ，y ＝5＋3sin t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求当AB 取最小值时△AOB 的面积．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝4＋3cos t ，y ＝5＋3sin t(t 为参数)得C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝9， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入上式， 得C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)如图，当A ，B ，C 1，C 2四点共线，且A ，B 在线段C 1C 2上时，|AB |取得最小值，由(1)得C 1(4,5)，C 2(0,1)，则kC 1C 2＝5－14－0＝1， ∴直线C 1C 2的方程为x －y ＋1＝0， ∴点O 到直线C 1C 2的距离d ＝12＝22， 又|AB |＝|C 1C 2|－1－3＝(4－0)2＋(5－1)2－4 ＝42－4，∴S △AOB ＝12d |AB |＝12×22×(42－4)＝2－ 2.19．(2018·广州综合测试)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝22cos ()θ－π4.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t(t 为参数)消去t 得x ＋y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.由ρ＝22cos ()θ－π4＝22()cos θcos π4＋sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ， 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式， 得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2. 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)法一：设曲线C 上的点P (1＋2cos α，1＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|1＋2cos α＋1＋2sin α－4|2＝|2(sin α＋cos α)－2|2＝||2sin ()α＋π4－22.当sin ()α＋π4＝－1时，d max ＝2 2.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2. 法二：设与直线l 平行的直线l ′：x ＋y ＋b ＝0， 当直线l ′与圆C 相切时，|1＋1＋b |2＝2， 解得b ＝0或b ＝－4(舍去)， 所以直线l ′的方程为x ＋y ＝0. 因为直线l 与直线l ′的距离d ＝|0＋4|2＝2 2. 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.20．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和()32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4||sin ()α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 21．已知直线L 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2 θ.(1)求直线L 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线L 夹角为π3的直线l ，设直线l 与直线L 的交点为A ，求|PA |的最大值． 解：(1)由⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)，得L 的普通方程为2x ＋y －6＝0， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线L 的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C 的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos 2θ＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1. (2)由(1)，知直线L 的普通方程为2x ＋y －6＝0，设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)，则点P 到直线L 的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5. 由题意得|PA |＝d sin π3＝415||2sin ()α＋π4－315，所以当sin ()α＋π4＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为415(3＋2)15. 22．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.故由题意可得曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1. 所以曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45sin(θ＋φ)，()其中sin φ＝25，cos φ＝15 所以当θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，l 取得最大值，最大值为45，此时θ＝2k π＋π2－φ(k ∈Z)， 所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15， 此时A ()45，15. 所以直线l 1的普通方程为x －4y ＝0.23．(2018·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈()π2，π.(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.由ρ＝23，得sin θ＝32， ∵θ∈()π2，π，∴θ＝2π3. (2)易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)， 联立⎩⎨⎧ θ＝2π3(ρ≥0)，ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3.∴点B 的极坐标为()43，2π3，∴|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.。
高考极坐标参数方程含答案(经典39题)(1)_看图王
方程． C1 与 C2 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．
29．在平面直角坐标系
xoy
中，圆
C
的参数方程为
x
y
4 cos 4 sin
（
为参数），直线
l
（2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ，并求 | MA | | MB | 的值．
(2, )
6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆 C 的圆心为 3 ，半径 r=1，P 在圆 C 上运动。 （I）求圆 C 的极坐标方程；（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O 为原点， 以极轴为 x 轴正半轴）中，若 Q 为线段 OP 的中点，求点 Q 轨迹的直角坐标方程。
程是
4 cos
，直线 l
的参数方程是
x
3 y1 2
3 2 t.
t
,
（t
为参数）。求极点在直线 l
上的射影点
P
的
极坐标；若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l 上的动点，求 MN 的最小值。
x 4 cos
8．平面直角坐标系中，将曲线
y
sin
（ 为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的
为
t
2
，Q
为
C
2
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线
C3
:
2x
y
7
0
（t
为参数）距离的最大值。
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◎
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极坐标参数方程全套试题
极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=的距离是________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标参数方程大题(含答案)
1、在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程； （2与圆交于点，求线段的长.2、在直角坐标系中，以原点为极点，点的，点，曲线．（1和直线的极坐标方程；（2）过点的射线交曲线于点，交直线于点，若，求射线所在直线的直角坐标方程.3、在平面直角坐标系中，直线（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为 （1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点，求xOy C O xC C ,M N MN O A B 22:(1)1C x y -+=AB O l C M AB N ||||2OM ON =l xOy l t O x C l C P C l B A ,4、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求直线和曲线的普通方程； （2）已知点，且直线和曲线交于两点，求的值5、在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. （1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求.6、在平面直角坐标系中，直线（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若是直线C最大值.xOy C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k x l l C (2,0)P l C A B ，||||||PA PB -l ()0,1P x C 4sin ρθ=l C l C A B 、xoy l t x 2sin ρθ=l ()1,A ρθl参考答案1、【答案】（1（2试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标代入，得到，所以试题解析： （1（2得，∴，，∴2、【答案】（1）,；（2）.试题分析：（1）将代入化简得.同理求出点,的直角坐标分别为,，所以的直角坐标方程为，极坐标方程为；（2）设射线，代入曲线得,代入直线得：，代入求得，即方程为. 试题解析：(1)点,的直角坐标分别为,，所以直线的极坐标方程为；曲线化为极坐标为(2)设射线，代入曲线得,代入直线得：所以射线所在直线的直角坐标方程为 考点：坐标系与参数方程.cos ,sin x y ρθρθ==2250ρρ--=2250ρρ--=122ρρ+=125ρρ=-2cos ρθ=sin 3ρθ=3y x =cos ,sin x y ρθρθ==22(1)1x y -+=2cos ρθ=A B (0,3)A AB 3y =sin 3ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB ||||2OM ON =tan 3α=3y x =A B (0,3)A AB sin 3ρθ=C 2cos ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB l 3y x =3、【答案】（1（2试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（2）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法．试题解析：（1得直线得圆的直角坐标方程为把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得故可设，又直线l ，两点对应的参数分别为，，考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与圆的综合问题．4、【答案】（1）（2试题分析：（1）消去曲线C 中的参数可得C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的普通方程.（2）由直线的普通方程可知直线过P ，写出直线的参数方程，与曲线C 的普通方程联立，利用直线参数的几何意义及韦达定理可得结果. 【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数，得曲线的普通方程为y x ,y x ,θρcos =x θρsin =y θρcos θρsin 2ρρl C l C 1t 2t B A ,1t 2t 24y x =l l l C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k k C 24y x =因为直线所以直线（2）因为直线经过点，所以得到直线（为参数）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程及参数方程的互化，考查了直线参数方程及参数的几何意义，属于中档题.5、【答案】（1）直线(为参数）；曲线的直角坐标方程为；（2试题分析：（1）先根据直线参数方程标准式写直线的参数方程，利用化简极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆方试题解析：（1）直线(为参数）. ∵，∴，∴，即， 故曲线的直角坐标方程为.l l l 20P （，）l t l C l t C ()2224x y +-=l y sin ,x cos ρθρθ==l t 4sin ρθ=24sin ρρθ=224x y y +=()2224x y +-=C ()2224x y +-=（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，显然,∴,∴6、【答案】（1，曲线；（2）2试题分析：（1）消去参数可得直线的普通方程，利用公式可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2这个最大值易求．【详解】（1）∵直线（为参数），∴消去参数，得直线由，得直线C的极坐标方程为，即，∴由，，得曲线C的直角坐标方程为.（2）∵在直线C上，l C230t t--=∆>2121,3lt t t t+==-2220x y y+-=cos,sinx yρθρθ==l tlcos,sinx yρθρθ==l2sinρθ=22sinρρθ=222x yρ=+sin yρθ=2220x y y+-=()1,Aρθl2【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公是解题基础，在求论易得，学习时应注意体会．cos,sinx yρθρθ==。
历届高考中的极坐标与参数方程
1． 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，将1C 上的所有2倍后得到曲线2C . 以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=. Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；Ⅱ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.2、（2008课标）已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2：()x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数。
（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。
写出1'C ，2'C 的参数方程。
1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
3、（2009课标）已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值4、（2010课标）已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)， （Ⅰ)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;5、（2011课标）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .6、（2012课标）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
高中数学极坐标与参数方程大题（详解）
：+=1，直线l ：（t 为参数）为参数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．的普通方程．（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A|的最大值与最小值．的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程．分析： （Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cos θ、y=3sin θ得曲线C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线l 的普通方程；方程；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线l 的距离，除以的距离，除以 sin30°进一步得到|P A|，化积后由三角函数的范围求得|P A|的最大值与最小值．的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cos θ、y=3sin θ，故曲线C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l ：，由①得：t=x ﹣2，代入②并整理得：2x+y ﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）． P 到直线l 的距离为．则，其中α为锐角．为锐角．当sin （θ+α）=﹣1时，|P A|取得最大值，最大值为． 当sin （θ+α）=1时，|P A|取得最小值，最小值为．点评： 本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线C 的参数方程为：（α为参数）．（I ）写出直线l 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．的距离的最大值．考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程．分析： （1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l 的极坐标方程为：，∴ρ（sin θ﹣cos θ）=，参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C∴，∴x ﹣y+1=0（α为参数）．得（x ﹣2）2+y 2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，为半径的圆， 圆心到直线的距离为：圆心到直线的距离为： d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值最小值．最小值．考点： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程． 专题： 计算题；压轴题；转化思想．计算题；压轴题；转化思想．分析： （1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；一个椭圆；（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C 1：（t 为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y ﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；的圆； 把C 2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；的椭圆； （2）把t=代入到曲线C 1的参数方程得：P （﹣4，4），把直线C 3：（t 为参数）化为普通方程得：x ﹣2y ﹣7=0，设Q 的坐标为Q （8cos θ，3sin θ），故M （﹣2+4cos θ，2+sin θ） 所以M 到直线的距离d==，（其中sin α=，cos α=）从而当cos θ=，sin θ=﹣时，d 取得最小值．．（2）根据曲线C 的参数方程为：=．点评： 本题重点考查了直线的本题重点考查了直线的极坐标极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C 1：（t 为参数），C 2：（θ为参数）．（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为t=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：（t 为参数）距离的考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣2x+2y=0，即（x ﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1）， ∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l 的参数方程（t 为参数），把t=x 代入y=﹣1+2t 可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点P 直线AB 距离的最大值为，．点评： 本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的参数方程为为参数）．以o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点： 椭圆的参数方程；椭圆的应用． 专题： 计算题；压轴题．计算题；压轴题．点评： 此题考查学生理解并运用直线和圆的此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C上不同于A ，B 的任意一点．的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△P AB 面积的最大值．面积的最大值．圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）分）点到直线的距离（6分）分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）分）点评： 此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy 中，直线I 的参数方程为（t 为参数），若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=cos （θ+）．（1）求直线I 被曲线C 所截得的弦长；所截得的弦长；（2）若M （x ，y ）是曲线C 上的动点，求x+y 的最大值．的最大值．考点： 参数方程化成普通方程．专题： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析： （1）将曲线C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．可求弦长． （2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值． 解答：解：（1）直线I 的参数方程为（t 为参数），消去t ，可得，3x+4y+1=0； 由于ρ=cos （θ+）=（），即有ρ2=ρcos θ﹣ρsin θ，则有x 2+y 2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==， 故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，）， 则x+y==sin （），由于θ∈R ，则x+y 的最大值为1．分析：由题意椭圆的由题意椭圆的参数方程参数方程为为参数），直线的直线的极坐标极坐标方程为．将椭7．选修4﹣4：参数方程选讲：参数方程选讲 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；的普通方程； （Ⅱ）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：（t 为参数）距离的最小值．为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程．坐标系和参数方程． 分析： （1）利用x=ρcos θ，y=ρsin θ即可得出；即可得出； （2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出， 解答：解 （1）∵P 点的极坐标为，∴=3，=．∴点P 的直角坐标把ρ2=x 2+y 2，y=ρsin θ代入可得，即∴曲线C 的直角坐标方程为．（2）曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的普通方程为x ﹣2y ﹣7=0 设，则线段PQ 的中点．那么点M 到直线l 的距离.，∴点M 到直线l 的最小距离为．点评： 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．的长．点评： 本题考查参数方程化为标准方程，本题考查参数方程化为标准方程，极坐标极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．专题： 直线与圆．直线与圆． 分析： ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简得：ρ=2cos θ，即为此圆的极坐标方程．，即为此圆的极坐标方程． （II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q ．联立，解得或．∴P ．∴|PQ|==2．点评： 本题考查了极坐标化为普通方程、本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+）=4．（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．的坐标．考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程．分析： （1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式考点： 简单曲线的简单曲线的极坐标极坐标方程；直线与圆的位置关系．（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．化简即可得到此圆的极坐标方程． （II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（Ix=ρcos θ、y=ρ的距离为，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．的坐标．解答：解：（1）由曲线C 1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C 1的普通方程为：． 由曲线C 2：得：，即ρsin θ+ρcos θ=8，所以x+y ﹣8=0，即曲线C 2的直角坐标方程为：x+y ﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，∴当时，d 的最小值为，此时点P 的坐标为．10．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+）．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．引切线，求切线长的最小值．考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．计算题．分析： （I ）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程，从而得到圆心C 的直角坐标．的直角坐标．（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I ）∵，∴，∴圆C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）分）（II ）∵直线l 的普通方程为， 圆心C 到直线l 距离是，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是（10分）分）点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角体会在极坐标系和平面直角sin θ，把，把极坐标极坐标方程化为直角坐标方程．方程化为直角坐标方程． （2）求得椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0点评： 本题主要考查把本题主要考查把参数方程参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．2的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB|≥2，求实数a 的取值范围．的取值范围．考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程．分析： （1）首先，将曲线C 1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；直角坐标方程； （2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答： 解：（1）根据题意，得）根据题意，得曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4y=12， 设点P （x ʹ，y ʹ），Q （x ，y ）， 根据中点坐标公式，得根据中点坐标公式，得，代入x 2+y 2﹣4y=12，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=4， （2）直线l 的普通方程为：y=ax ，根据题意，得，根据题意，得，解得实数a 的取值范围为：[0，]．点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标；交点的极坐标；坐标系中刻画点的位置的区别，能进行坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标极坐标和直角坐标的互化．和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t 为参数），曲线C 1的方程为ρ（ρ﹣4sin θ）=12，定点A （6，0），点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．的中点．（1）求点Q 的轨迹C（Ⅱ）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 0，2），（1，3），从而直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，从而构造关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值．的值．解答： 解：（I ）圆C 1，直线C 2的直角坐标方程分别为的直角坐标方程分别为x 2+（y ﹣2）2=4，x+y ﹣4=0，解得或，∴C 1与C 2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3）， 故直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0， 由参数方程可得y=x ﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．题．13．在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P （4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ （Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，求|PM|+|PN|的取值范围．的取值范围．解答：解：（I ）直线l 的参数方程为（t 为参数）．曲线C 的极坐标方程ρ=4cos θ可化为ρ2=4ρcos θ．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2+y 2=4x ，即（x ﹣2）2+y 2=4． （II ）把直线l 的参数方程为（t 为参数）代入圆的方程可得：t 2+4（sin α+cos α）t+4=0．∵曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，∴△=16（sin α+cos α）2﹣16＞0， ∴sin αcos α＞0，又α∈[0，π）， ∴．又t 1+t 2=﹣4（sin α+cos α），t 1t 2=4． ∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵，∴，的参数方程为（t ∈R 为参数），求a ，b 的值．的值．考点： 点的点的极坐标极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 专题： 压轴题；直线与圆．压轴题；直线与圆．分析： （I ）先将圆C 1，直线C 2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：考点： 点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 坐标系和参数方程．坐标系和参数方程． 分析：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II ）设P ，又C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．函数的性质即可得出．解答： 解：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ． ∴ρ2=2，化为x 2+y 2=，配方为=3．（II ）设P ，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P （3，0）．点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=（p ∈R ），曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．两点．（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长度．的长度．考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．计算题．分析： （Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得曲线C 2及曲线C 1的直角坐标方程．的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度．长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C 2：（p ∈R ）表示直线y=x ，曲线C 1：ρ=6cos θ，即ρ2=6ρcos θ 所以x 2+y 2=6x 即（x ﹣3）2+y 2=9 本题考查了直线的参数方程、圆的本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．的直角坐标．（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==． ∴弦AB 的长度．考点： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题： 计算题．计算题．分析： （1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，本关系，消去θ可得曲线C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线l 的距离的最大值，最后列出关于r 的方程即可求出r 值．值．解答： 解：（1）由）由 ρsin （θ+）=，得，得 ρ（cos θ+sin θ）=1，∴直线l ：x+y ﹣1=0．由 得C ：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C 的极坐标（1，）．（2）在圆C ：的圆心到直线l 的距离为：的距离为：∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴． r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3． 点评： 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 点评： 本小题主要考查圆和直线的本小题主要考查圆和直线的极坐标极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+）=，圆C 的参数方程为，（θ为参数，r ＞0）（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；的极坐标；（Ⅱ）当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．计算题；压轴题．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．的公共弦的参数方程．的公共弦的参数方程． 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1 从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．。
2016年新课标全国卷考试试题汇编：极坐标--老师专用
2016年新课标全国卷试题汇编：极坐标1.（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 理数23T ）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =l 的斜率．解：（Ⅰ）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．（Ⅱ）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线=即22369014k k =+，整理得253k =，则k = 2.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数23T ）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（为参数）。
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （）=.（Ⅰ）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求∣PQ ∣的最小值及此时P 的直角坐标.解：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分 （Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值， 即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.………………8分当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分3.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数23T ）（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为 参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a解析：（Ⅰ） （均为参数）∴ ①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=∵∴即为的极坐标方程（Ⅱ）两边同乘得即 ②：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为∴ ∴4.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数23T ）(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ． （Ⅰ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解：（Ⅰ） （均为参数）222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩t∴ ①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ∵∴即为的极坐标方程（Ⅱ）两边同乘得即 ②：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为∴ ∴5．（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数23T ）（本小题满分10分）选修4–4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B两点，||AB =，求l 的斜率．解（Ⅰ）由圆C的标准方程22(6)25x y ++=，得221290x y x +++=，所以圆C的极坐标方程为212cos 90ρρθ++=． （Ⅱ）将cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩代入22(6)25x y ++=，整理得212cos 110t t α++=．设A，B两点对应参数值分别为1t ，2t ，则1212cos t t α+=-，1211t t =．所以12||||AB t t =-=，得23cos 8α=，解得cos α=，所以tan α或tan α=． 6.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数23T ）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）xOy 1C ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C 1C 2C 1C 2213x y +=2C 40x y +-=．考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．31(,)22。
极坐标参数方程试题
极坐标参数方程解答题训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11x mty t=+⎧⎨=-⎩m R t ∈（，为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 上的点到直线l1，求实数m 的值．2．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为612x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数），曲线2C 的参数方程22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）若射线:(0)l θαρ=分别交12C ,C 于A ，B 两点，求||||OB OA 的最大值.3．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求1C 和2C 的参数方程； （2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l 与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值.5．在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PM PN +的值.6．已知在极坐标系中，点(2,)6A π，2(23,)3B π，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于,P Q 两点，求CP CQ ⋅的值.7．在直角坐标系xOy 中，直线1:3C x =-，圆()()222:211C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为A ，B ，求2C AB ∆的面积．8．在极坐标系下，已知圆和直线（1）求圆和直线的直角坐标方程； （2）当时，求圆和直线的公共点的极坐标.9．已知曲线C 的极坐标方程是2221sin θρ=+，直线l的参数方程是1(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是P ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值．10．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为22cos 28cos 8ρθρθρ+=+（1）求曲线1C 的直角坐标方程;（2）曲线2C 的方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且8AB ＝，求直线AB 的斜率.11．已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线1:2sin C ρθ=上任一点P 满足3OP OM =，设点P 的轨迹为Q .（1）求曲线Q 的平面直角坐标方程；（2）将曲线Q 向右平移1个单位后得到曲线N ，设曲线N 与直线:1x tl y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，记点()0,1T ，求TA TB +.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为32cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=. （1）设点,M N 分别为曲线1C 与曲线2C 上的任意一点，求||MN 的最大值；（2）设直线1cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1C 交于,P Q 两点，且||1PQ =，求直线l 的普通方程.13．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB k ．14．在直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(1)(1)3y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min 的速度爬行（1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程； （2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.15．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB+的值．16．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．17．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．18．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若点(),P x y 在圆Cy -的取值范围.19．在直角坐标系xoy 中,以原点O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为22312cos ρθ=+,直线的极坐标方程为4sin cos ρθθ=+.(1)写出曲线1C 与直线的直角坐标方程;(2)设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线距离的最小值.20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cosx y αα=⎧⎪⎨⎪⎩，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB +的值．。
三年高考(2014-2016)数学(文) 极坐标与参数方程
三年高考（2014-2016）数学（文）试题极坐标与参数方程二、填空题1. 【 2014湖南文12】在平面直角坐标系中，曲线错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为参数）的普通方程为___________.2.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为错误！未找到引用源。
，则曲线C的直角坐标方程为_____.3.【2014高考陕西版文第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点错误！未找到引用源。
到直线错误！未找到引用源。
的距离是_______.4. 【2014高考广东卷.文.14】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的方程分别为错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为错误！未找到引用源。
轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
交点的直角坐标为_________.5.【2015高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系错误！未找到引用源。
中，以原点错误！未找到引用源。
为极点，错误！未找到引用源。
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线错误！未找到引用源。
的极坐标方程为错误！未找到引用源。
，曲线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为参数），则错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
交点的直角坐标为．6.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程源。
为参数），以原点为极点，错误！未找到引用源。
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，错误！未找到引用源。
的极坐标方程为错误！未找到引用源。
.(I)写出错误！未找到引用源。
的直角坐标方程；(II)错误！未找到引用源。
为直线错误！未找到引用源。
上一动点，当错误！未找到引用源。
到圆心错误！未找到引用源。
极坐标与参数方程测试题及答案
极坐标与参数方程测试一、选择题（每题 4 分）1．点 M 的极坐标 (5,2) 化为直角坐标为（C ）3A ． (5 , 5 3 ) B ．(5, 53) C ．(5,5 3) D ．(5,5 3)222222222．点 M 的直角坐标为 (3, 1) 化为极坐标为（B ）A ． (2, 5 )B． (2, 7 ) C ．(2,11 ) D ． (2, )66663．已知曲线 C 的参数方程为x 3t(t 为参数 ) 则点 M 1 (0,1), M 2 (5,4) 与曲线 Cy 2t21的地点关系是（ A ）A ． M 1 在曲线 C 上，但 M 2不在。
B ． M 1不在曲线C 上，但 M 2 在。
C ． M 1 ， M 2都在曲线 C 上。
D． M 1， M 2 都不在曲线 C 上。
4．曲线 5 表示什么曲线（ B）A ．直线B．圆C．射线D ．线段5．参数方程x t 1(t 为参数 ) 表示什么曲线（C ）y1 2 tA ．一条直线B．一个半圆C ．一条射线D ．一个圆x 3 cos)6．椭圆1( 为参数 ) 的两个焦点坐标是 (By5sinA ． (-3 ， 5) ， (-3 ， -3)B ．(3 ，3) ，(3，-5)C ．(1 ，1)， (-7 ， 1)D ．(7 ，-1) ， (-1 ，-1)7．曲线的极坐标方程 ρ=４sin θ 化 成直角坐标方程为 ( A)A ． x 2+(y+2) 2=4B ． x 2+(y-2) 2=4C ． (x-2) 2+y 2=4D ． (x+2) 2+y 2=48．极坐标方程 4sin2θ=3 表示曲线是 (D)A．两条射线 B ．抛物线C．圆D．两条订交直线x 2 cosD ) 9．直线： 3x-4y-9=0 与圆：，( θ为参数 ) 的地点关系是 (y2sinA．相切 B ．相离C．直线过圆心 D ．订交但直线可是圆心10．双曲线x2tanC ) y 1( θ为参数 ) 的渐近线方程为 (2 secA．y 11( x2) B ．y 1 x 22C．y 12( x 2) D ．y 12(x 2)二、填空题（每题 5 分，共 20 分）x t 12 t11．双曲线y t11tx cos12．参数方程1cosy sin1cos 的中心坐标是。
2016高考真题分类汇编[二二]_极坐标和参数方程
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专题二十二 坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为【答案】2． 【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为d ==，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α< π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
2016年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(原卷版)
以 x 轴的正半轴为极轴， ，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin( ) 2 2 ． 4
（I）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （II）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标. 9、 （2016 年高考新课标Ⅲ卷文）选修 4-4：坐标系与参数方程
x 3 cos (为参数) ，以坐标原点为极 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 y sin
点， 以 x 轴的正半轴为极轴， ， 建立极坐标系， 曲线 C2 的极坐标方程为 sin( ) 2 2 ． 4
（I）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （II）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标.
cos 3 sin 1 0 与圆 2cos
1 x 1 t 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，椭 y 3 t 2
x cos , 圆 C 的参数方程为 （ 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点， y 2sin
x t cos （ t 为参数）, l 与 C 交于 A, B 两点，| AB | 10 ， y t sin
x t cos （ t 为参数）, l 与 C 交于 A, B 两点，| AB | 10 ， y t sin
x 3 cos (为参数) ，以坐标原点为极点， 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 y sin
[来源:Z#xx#]
x a cos t y 1 a sin t
2007_2016年全国卷极坐标与参数方程高考题(汇编)
极坐标与参数方程（全国卷高考题）（2007）坐标系与参数方程：1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O .2O 交点的直线的直角坐标方程．（2008）坐标系与参数方程：已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数.曲线C 2：222()22x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 。
（1）指出C 1.C 2各是什么曲线.并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1.C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半.分别得到曲线1'C .2'C 。
写出1'C .2'C 的参数方程。
1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
（2009） 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅰ）化C 1.C 2的方程为普通方程.并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=.Q 为C 2上的动点.求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值．（2010）坐标系与参数方程：已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数).圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时.求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线.垂足为A .P 为OA 的中点．当α变化时.求P 点轨迹的参数方程.并指出它是什么曲线．（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中.曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.M 是C 1上的动点.P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点.x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中.射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A.与C 2的异于极点的交点为B.求AB .（2012）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数).以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上.且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列.点A 的极坐标为(2.π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点.求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
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2016年高考极坐标参数方程试题
1．【2016年新课标1卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩
，（t 为参数，0a >）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．
（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；
（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．
【解析】（1）消去参数t 得到1C 的普通方程()2
221x y a +-=．1C 是以()0,1为圆心，a 为半径的圆．
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为：
222sin 10a ρρθ-+-=．
（2）曲线1C ，2C 的公共点的极坐标满足方程组222sin 104cos a ρρθρθ
⎧-+-=⎨=⎩，
若0ρ≠，由方程组得：22
16cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，由已知tan 2θ=， 可得216cos 8sin cos 0θθθ-=，从而210a -=，解得：1a =-（舍去），1a =． 1a =时，极点也为1C ，2C 的公共点，在3C 上．
所以1a =．
2．【2016年北京理11】在极坐标系中，直线cos 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = ．
【答案】2
【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角方程：直线为：10x -=，
圆为：()2
211x y -+=，直线过圆心()1,0，故2AB =． 【考点】极坐标方程与直角方程的互相转化．
【点评】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．
3．【2016年江苏理21】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
（t 为参数），椭圆C 的参数方程为：cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，（θ为参数）．设直线l 与椭圆C 相交于A ，
B 两点，求线段AB 的长．
【分析】利用三角消元将参数方程：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩化为普通方程：2
214y x +=，再将直线l 的参数方程代入求解得：10t =，2167
t =-，最后根据弦长公式或两点间距离公式求弦长． 【解析】椭圆C 的普通方程为：2214y x +=，将直线l
的参数方程1122
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=
，得：2
211124t ⎫⎪⎛⎫⎝
⎭++= ⎪⎝⎭
，即27160t t +=，解得：10t =，2167t =-． 【考点】直线与椭圆的参数方程．
【点评】将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法，加减消元法，三角恒等变换法；把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响；注意参数的几何意义．
4．【2016年上海理16】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）
A ．65cos ρθ=+
B ．65sin ρθ=+
C ．65cos ρθ=-
D ．65sin ρθ=- 【答案】 D
【解析】依次取0θ=，2
π，π，32π，结合图形可知，只有65sin ρθ=-满足条件，故选D ．
【考点】极坐标及其方程．
【点评】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法.本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力，数形结合思想等．
5．【2016年天津理14】设抛物线2
22x pt y pt ⎧=⎨=⎩
，（t 为参数，0p >）的焦点F ，准线l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7,02C p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，AF 与BC 相交于点E ．若
||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为 ．
【解析】抛物线的普通方程为：22y px =，,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭，7||322p CF p p =-=， 又||2||CF AF =，则3||2AF p =，由抛物线的定义得：3||2
AB p =，所以A x p =，
则||A y ，由//CF AB 得：EF CF EA AB =，即2EF CF EA AF
==，
所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF ACE CFE S S S ∆∆∆=+=，
所以132
p ⨯=p = 【考点】抛物线的定义，抛物线的参数方程．
【点评】凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
6．【2016年新课标2卷理23】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2
2625x y ++=． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（2）直线l 的参数方程是：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，||AB =求l 的斜率．
【分析】（1）利用222
x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（2）先求直线l 的极坐
标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程
212cos 110ρρθ++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．
【解析】（1）圆的方程化为：2212110x y x +++=，将222
x y ρ=+，cos x ρθ=代入，得：212cos 110ρρθ++=；
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θα=（R ρ∈），由A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得： 212cos 110ρρα++=，于是，1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，
12||||AB ρρ=-==
由||AB =得：23cos 8
α=，tan α=，
所以l 或 【考点】圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线的参数方程．
【点评】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
7．【2016年新课标3卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方
程为sin 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线1C 的参数方程为普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立()||PQ d α=的三角函数表达式，最后求出最值与相应点P 的坐标即可．
【解析】（1）1C 的普通方程2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程40x y +-=；
（2）由题意，可设点P 的直角坐标为)
,sin αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，
()23d παα⎛⎫==+- ⎪⎝
⎭，
当且仅当26k π
απ=+（k Z ∈）时，()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【考点】椭圆的参数方程，直线的根坐标方程．。