2016年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(解析版)解析

2016年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足（i 为虚数单位），则复数z=（ ）A ．1B ．2C ．iD ．2i2．设集合A={x|x ＞﹣1}，B={x|x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是（ ） A ．﹣1＜x ≤1 B ．x ≤1 C ．x ＞﹣1 D ．﹣1＜x ＜1 3．下列命题中假命题的是（ ） A ．∃x 0∈R ，lnx 0＜0 B ．∀x ∈（﹣∞，0），e x ＞x+1 C ．∀x ＞0，5x ＞3x D ．∃x 0∈（0，+∞），x 0＜sinx 04．已知双曲线=1的渐近线方程为y=，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．3D ．5．已知函数y=f （x ﹣l ）+x 2是定义在R 上的奇函数，若f （﹣2）=1，则f （0）=（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．06．已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，（n ≥2），则a 6=（ ）A ．16B ．4C ．2D ．457．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，则△ABM 与△ABC 面积之比等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π），函数f （x ）的图象如图所示，则f 的值为（ ）A．B．﹣C．D．﹣10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π11．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=（）A．B．C．﹣D．﹣12．将向量=（x1，y1），=（x2，y2），…=（x n，y n）组成的系列称为向量列{}，并定义向量列{}的前n项和．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．若向量列{}是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．两位女生和两位男生站成一排照相，则两位男生不相邻的概率是．14．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线方程为．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点（A点位于x轴上方），若△AOF的面积为3，则p=．16．x∈R时，如果函数f（x）＞g（x）恒成立，那么称函数f（x）是函数g（x）的“优越函数”．若函数f（x）=2x2+x+2﹣|2x+1|是函数g（x）=|x﹣m|的“优越函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos（2ωx+）﹣2cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f （x ）的对称中心；（Ⅱ）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若△ABC 为锐角三角形且f （A ）=0，求的取值范围．18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m 的严重问题，为了了解强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：W/cm 2）之间的关系，将测量得到的声音强度D i 和声音能量I i i=1.2…10 （（表中W i =lgI i ， =W i（Ⅰ）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I的回归方程D=a+blgI ；（Ⅱ）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P 共受到两个 声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I 1和I2，且．已知点P的声音能量等于声音能量I l 与I 2之和．请根据（I ）中的回归方程，判断P 点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据（μl ，ν1），（μ2，ν2），…（μn ，νn ），其回归直线ν=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=， =﹣β．19．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA 1=4且AA 1⊥底面ABCD ，点P 为DD 1的中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥面PBC ；（Ⅱ）在BC 边上找一点Q ，使PQ ∥面A 1ABB 1，并求三棱锥Q ﹣PBB 1的体积．20．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：平面几何选讲】22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．选修4--4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（0，2）作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求+的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．2016年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=（）A．1 B．2 C．i D．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用虚数单位i的运算性质化简，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：由=（i4）503•i3+（i4）504=1﹣i，得z=（1﹣i）（1+i）=2．故选：B．2．设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】判断“x∈A且x∉B”成立的充要条件要分别说明必要性与充分性．【解答】解：∵集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，又∵“x∈A且x∉B”，∴﹣1＜x＜1；又由﹣1＜x＜1时，满足x∈A且x∉B．故选D．3．下列命题中假命题的是（）A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），e x＞x+1C．∀x＞0，5x＞3x D．∃x0∈（0，+∞），x0＜sinx0【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据对数函数以及指数函数的性质分别判断各个选项即可．【解答】解：对于A：比如x0=时，ln=﹣1，是真命题；对于B：令f（x）=e x﹣x﹣1，f′（x）=e x﹣1＜0，f（x）递减，∴f（x）＞f（0）=0，是真命题；对于C：函数y=a x（a＞1）时是增函数，是真命题，对于D：令g（x）=x﹣sinx，g′（x）=1﹣cosx≥0，g（x）递增，∴g（x）＞g（0）=0，是假命题；故选：D．4．已知双曲线=1的渐近线方程为y=，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即b=a，c===a，可得e==．故选：B．5．已知函数y=f（x﹣l）+x2是定义在R上的奇函数，若f（﹣2）=1，则f（0）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：设g（x）=f（x﹣l）+x2，∵函数y=f（x﹣l）+x2是定义在R上的奇函数，f（﹣2）=1∴g（﹣1）=f（﹣2）+1=1+1=2，即g（﹣1）=﹣g（1）=2，则g（1）=﹣2，即g（1）=f（0）+1=﹣2，则f（0）=﹣3，故选：A．6．已知正项数列{a n}中，a1=l，a2=2，（n≥2），则a6=（）A．16 B．4 C．2D．45【考点】数列递推式．【分析】由题设知a n+12﹣a n2=a n2﹣a n﹣12，且数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故a n2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此能求出a6．【解答】解：∵正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，2a n2=a n+12+a n﹣12（n≥2），∴a n+12﹣a n2=a n2﹣a n﹣12，∴数列{a n2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，∴a n2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴a n=∴a6==4，故选：B7．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，则△ABM与△ABC面积之比等于（）A．B．C．D．【考点】向量的模．【分析】点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，根据向量的概念，运算求解；3﹣﹣=，+=2，3=2，，根据△ABG和△ABC面积的关系，△ABM与△ABC面积之比，求出面积之比．【解答】解：如图G为BC的中点，点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，3﹣﹣=，+=2，3=2，=，∵△ABG和△ABC的底相等，∴S△ABG=S△ABC，=，即△ABM与△ABC面积之比：×=，故选；C8．图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】直接计算循环后的结果，当k=6时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可．【解答】解：第一次循环有a=1，T=1，K=2，第二次循环有a=0，T=1，k=3，第三次循环有a=0，T=1，k=4，第四次循环有a=1，T=2，k=5，第五次循环有a=1，T=3，k=6，此时不满足条件，输出T=3，故选C．9．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），函数f（x）的图象如图所示，则f的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，0），求出φ，从而得到f（x）的解析式，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算求值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，T==4×（﹣）=4π，解得ω=．又图象经过（，0），0=2sin（×+φ），0＜φ＜π，φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），所以：f=2sin（×2016π+）=．故选：A．10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C11．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最小时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D ，如图所示，要使∠APB 最大，则∠OPB 最大，∵sin ∠OPB==，∴只要OP 最小即可，即点P 到圆心O 的距离最小即可；由图象可知当OP 垂直于直线3x+4y ﹣10=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则∠APO=，即sin ==，此时cos α=1﹣2sin 2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos ∠APB=，∴∠APB=60°，∴△PAB 为等边三角形，此时对应的∠PAB=60°为最小，且cos ∠PAB=． 故选：B ．12．将向量=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），…=（x n ，y n ）组成的系列称为向量列{}，并定义向量列{}的前n 项和．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．若向量列{}是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是（ ）A．B．C．D．【考点】数列与向量的综合．【分析】可设每一项与前一项的差都等于向量，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得，=++…+=21（+10）=21，再由向量共线定理，即可得到所求结论．【解答】解：由新定义可设每一项与前一项的差都等于向量，=++…+=+（+）+…+（+20）=21+（1+20）•20=21（+10）=21，即有与平行的向量是．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．两位女生和两位男生站成一排照相，则两位男生不相邻的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出两位男生不相邻包含的基本事件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．【解答】解：两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数n==24，两位男生不相邻包含的基本事件个数m==12，∴两位男生不相邻的概率P===．故答案为：．14．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=e x cosx，∴f（0）=1，函数的导数f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，则f′（0）=1，即函数f（x）在点（0，1）处的切线斜率k=f′（0）=1，则对应的切线方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0，故答案为：x﹣y+1=015．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点（A点位于x轴上方），若△AOF的面积为3，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】写出直线AB的方程，联立方程组解出A点坐标，根据面积列方程解出p．【解答】解：抛物线的焦点F（，0），∴直线AB的方程为y=（x﹣）．联立方程组，消元得：3x2﹣5px+=0，解得x1=，x2=．∵A点在x轴上方，∴A（，）．∴S△AOF==3，解得p=2．故答案为：2．16．x∈R时，如果函数f（x）＞g（x）恒成立，那么称函数f（x）是函数g（x）的“优越函数”．若函数f（x）=2x2+x+2﹣|2x+1|是函数g（x）=|x﹣m|的“优越函数”，则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据“优越函数”的定义转化为不等式恒成立问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：若函数f（x）=2x2+x+2﹣|2x﹣1|是函数g（x）=|x﹣m|的“优越函数”，则等价于2x2+x+2﹣|2x+1|＞|x﹣m|对x∈R恒成立．f（x）=2x2+x+2﹣|2x+1|=，分别作出函数f（x）=2x2+x+2﹣|2x﹣1|和G（x）=|x﹣m|．当x≥m时，G（x）=x﹣m，当x＜m时，G（x）=﹣x+m，由图象知，当G（x）=x﹣m与f（x）=2x2﹣x+1相切时，由2x2﹣x+1=x﹣m，即2x2﹣2x+1+m=0，由判别式△=4﹣4×2（1+m）=4﹣8（1+m）=0得m=﹣，当G（x）=﹣x+m与f（x）=2x2+3x+3相切时，由2x2+3x+3=﹣x+m，即2x2+4x+3﹣m=0，由判别式△=16﹣4×2（3﹣m）=0得m=1，当G（x）=﹣x+m与f（x）=2x2﹣x+1相切时，由2x2﹣x+1=﹣x+m，即2x2+1﹣m=0，由判别式△=0﹣4×2（1﹣m）=0得m=1，综上若函数f（x）=2x2+x+2﹣|2x+1|是函数g（x）=|x﹣m|的“优越函数”，则故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos（2ωx+）﹣2cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的对称中心；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若△ABC为锐角三角形且f（A）=0，求的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的表达式，根据2x+=kπ，求出f（x）的对称中心即可；（Ⅱ）先求出A的值，得到B，C的范围，由正弦定理得到=（1+），从而求出其范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2cos（2ωx+）﹣2cos2ωx+1=2（cos2ωx﹣sin2ωx）﹣2cos2ωx+1=cos2ωx﹣sin2ωx﹣2cos2ωx+1=﹣2（cos2ωx+sin2ωx）+1=﹣2sin（2ωx+）+1，∴T==π，故ω=1，∴f（x）=﹣2sin（2x+）+1，由2x+=kπ，解得x=﹣，故f （x ）的对称中心是（﹣，1）；（Ⅱ）∵f （A ）=0， ∴﹣2sin （2A+）+1=0，解得A=，∴B+C=π，而△ABC 是锐角三角形， ∴45°＜C ＜90°，∴tanC ＞1， ∴====（1+），∵tanC ＞1，∴∈（，）．18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m 的严重问题，为了了解强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：W/cm 2）之间的关系，将测量得到的声音强度D i 和声音能量I i i=1.2…10 （（表中W i =lgI i ， =W i（Ⅰ）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程D=a+blgI ；（Ⅱ）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P 共受到两个 声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I 1和I 2，且．已知点P 的声音能量等于声音能量I l 与I 2之和．请根据（I ）中的回归方程，判断P 点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据（μl ，ν1），（μ2，ν2），…（μn ，νn ），其回归直线ν=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=， =﹣β．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式得出D关于w的线性回归方程，再得出D关于I的回归方程；（II）适用基本不等式求出I1+I2的范围，利用回归方程计算噪音强度．【解答】解：（I）==，==160.7．∴求声音强度D关于声音能量I的回归方程是=10lgI+160.7．（II）P点的声音能量I=I1+I2=10﹣10（）（I1+I2）=10﹣10（2+）≥4×10﹣10．∴P点的声音强度D=10lg（4×10﹣10）+160.7=10lg4+60.7＞60．∴点P会受到噪声污染的干扰．19．已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面PBC；（Ⅱ）在BC边上找一点Q，使PQ∥面A1ABB1，并求三棱锥Q﹣PBB1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AA1中点M，连结BM，PM，则PM∥AD∥BC，于是BM⊂平面PBC．由AA1⊥面ABCD得AA1⊥BC，又AB⊥BC，于是BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥AB1．由△ABM≌△A1AB1得BM⊥AB1，所以AB1⊥面PBC；（2）由PM=3可知当BQ=3时，四边形PMQB是平行四边形，故PQ∥BM，于是PQ∥平面B1A1AB，棱锥B1﹣PQB的底面△PQB是直角三角形．高为B1N．【解答】解（1）取AA1中点M，连结BM，PM，在PM∥AD∥BC，∴BM⊂平面PBC．∵AA1⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴AA1⊥BC，∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1=A，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1．∵AB=AA1=4，∠BAM=∠B1A1A=90°，AM=B1A1=2，∴△ABM≌△A1AB1，∴∠MBA=∠B1AA1，∵∠BAB1+∠B1AA1=90°，∴∠MBA+∠BAB1=90°，∴BM⊥AB1，∵BM⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，BM∩BC=B，∴AB1⊥面PBC．（2）在BC边上取一点Q，使BQ=3，∵PM为梯形ADD1A1的中位线，A1D1=2，AD=4，∴PM=3，PM∥AD，又∵BQ∥AD，∴PM BQ，∴四边形PMBQ是平行四边形，∴PQ∥BM，又BM⊂平面A1ABB1，PQ⊄平面A1ABB1，∴PQ∥平面A1ABB1．∵BC⊥平面ABB1A1，BM⊂平面ABB1A1，∴BQ⊥BM，∵AB=AA1=4，AM=A1B1=2，∴BM=AB1=2，设AB1∩BM=N，则AN==．∴B1N=AB1﹣AN=．∴V=S△BPQ•B1N==6．20．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，对导函数中m进行分类讨论，由此得到单调区间．（Ⅱ）借助（Ⅰ），对m进行分类讨论，由最大值小于等于0，构造新函数，转化为最值问题．【解答】解：（Ⅰ），当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当m＞0时，由，得，由，得，此时f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，f（1）=0，显然不成立；当m＞0时，只需m﹣lnm﹣1≤0即可，令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，x∈（0，+∞）得函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（1）=0，g（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，也就是m﹣lnm﹣1≥0对m∈（0，+∞）恒成立，∴m﹣lnm﹣1=0，解得m=1．21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，a2=b2+c2，…又因为点在椭圆C上，所以，…解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r＞0）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．…由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，…则．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，…设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，…将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值．…当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足．综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：平面几何选讲】22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2选修4--4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（0，2）作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）求出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用参数的几何意义求出．【解答】解：（I）∵ρ=，∴ρ2cos2θ=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程是x2=y，即y=x2．（II）直线l的参数方程为（t为参数）．将（t为参数）代入y=x2得t2﹣﹣4=0．∴t1+t2=，t1t2=﹣4．∴+====．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2，由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|x+1|﹣2|x|≥a恒成立，求出h（x）的最大值为1，可得1≥a，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2，解得﹣≤x≤1，故不等式的解集为[﹣，1]．（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，即|x+1|﹣2|x|≥a．设h（x）=|x+1|﹣2|x|=．故当x≥0时，h（x）≤1．当﹣1≤x＜0时，﹣2≤h（x）＜1．当x＜﹣1时，h（x）＜﹣2．综上可得h（x）的最大值为1．由题意可得1≥a，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．2016年7月22日。