(全国通用版)2019年中考数学复习第五单元四边形滚动小专题与四边形有关的计算与证明练习

滚动小专题(六) 与四边形有关的计算与证明
1．(2018·大庆)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，过E 作EF∥DC 交BC 的延长线于点F.
(1)证明：四边形CDEF 是平行四边形；
(2)若四边形CDEF 的周长是25 cm ，AC 的长为5 cm ，求线段AB 的长度．
解：(1)证明：∵D，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，
∴ED 是Rt △ABC 的中位线．
∴ED∥FC.BC＝2DE.
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF 是平行四边形．
(2)∵四边形CDEF 是平行四边形，
∴DC＝EF.
∵DC 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，
∴AB＝2DC.
∴四边形CDEF 的周长＝AB ＋BC.
∵四边形CDEF 的周长为25 cm ，AC 的长5 cm ，
∴BC＝25－AB.
∵在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，
∴AB 2＝BC 2＋AC 2，即AB 2＝(25－AB)2＋52.
解得AB ＝13.
∴线段AB 的长为13 cm .
2．如图，在▱ABCD 中，直线EF 绕对角线AC 的中点O 旋转，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，连接AE ，CF.
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若AC ＝2，∠CAF ＝30°，则当AF ＝3时，四边形AECF 是矩形．
证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，
∴∠OAF ＝∠OCE.
∵点O 是▱ABCD 对角线的交点，
∴OA＝OC.
在△AOF 和△COE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠OAF＝∠OCE，OA ＝OC ，
∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA )．
∴AF＝CE.
∵AF∥CE，
∴四边形AECF 是平行四边形.
3．(2018·扬州)如图，在▱ABCD 中，DB ＝DA ，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE.
(1)求证：四边形AEBD 是菱形； (2)若DC ＝10，tan ∠DCB＝3，求菱形AEBD 的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF. ∵∠AFD＝∠BFE，AF ＝BF ，
∴△AFD≌△BFE(ASA )．
∴AD＝EB.∵AD ∥EB，
∴四边形AEBD 是平行四边形．
∵BD＝AD ，
∴四边形AEBD 是菱形．
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD＝AB ＝10，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠DCB.
∴tan ∠ABE＝tan ∠DCB＝3.
∵四边形AEBD 是菱形，
∴AB⊥DE，AF ＝FB ，EF ＝DF.
∴tan ∠ABE＝EF BF
＝3. ∵DC＝10，BF ＝
102
， ∴EF＝3102
. ∴DE＝310.
∴S 菱形AEBD ＝12·AB·DE＝12
×10×310＝15.
4．(2017·上海)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC.
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．
证明：(1)在△ADE 和△CDE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，
∴△ADE≌△CDE(SSS )．∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC .
∴∠BDC＝∠DBC.∴CD＝BC ＝AD.
又∵AD∥BC.∴四边形ABCD 是菱形．
(2)∵BE＝BC ，∴∠BEC＝∠BCE.
设∠CBE＝2x°，∠BCE＝∠BEC＝3x°，则
2x ＋3x ＋3x ＝180，解得x ＝22.5.
∴∠CBD＝∠CDB＝45°.
∴∠BCD＝90°.
∴四边形ABCD 是正方形．
5．(2018·荆州)如图，对折矩形ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落在MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于点E ；延长PF 交AB 于点G.求证：
(1)△AFG≌△AFP；
(2)△APG 为等边三角形．
证明：(1)由折叠可知M ，N 分别为AD ，BC 的中点．
∵DC∥MN∥AB，
∴F 为PG 的中点，即PF ＝FG.
又∵∠PFA＝∠D＝90°，
∴∠AFP＝∠AFG＝90°.
在△AFG 和△AFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ，∠AFG＝∠AFP，PF ＝GF ，
∴△AFG≌△AFP(SAS )． (2)由题意知，△APD≌△APF≌△AGF.
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，AP ＝AG.
∴∠PAG＝60°.
∴△A PG 为等边三角形．
6．(2018·吉林)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，过AB 上一点D 作DE∥AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边作∠DEF＝∠A，另一边EF 交AC 于点F.
(1)求证：四边形ADEF 为平行四边形；
(2)当点D 为AB 中点时，▱ADEF 的形状为菱形；
(3)延长图1中的DE 到点G ，使EG ＝DE ，连接AE ，AG ，FG ，得到图2.若AD ＝AG ，试判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE＋∠DEF＝180°，∠A＋∠AFE＝180°.
又∵∠DEF＝∠A，
∴∠ADE＝∠AFE.
∴四边形ADEF 为平行四边形．
(3)四边形AEGF 为矩形．证明如下：
∵四边形ADEF 为平行四边形；
∴DE //= AF.
又∵DE＝EG ，
∴EG //= AF. ∴四边形AEGF 为平行四边形．
又∵AD＝AG ，DE ＝EG ，
∴∠AEG＝90°.
∴平行四边形AEGF 为矩形．
7．(2018·北京)如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH.
(1)求证：GF ＝GC ；
(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
解：(1)证明：连接DF.
∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，
∴AE＝FE ，DA ＝DF.
在△DAE 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝FE ，DA ＝DF ，DE ＝DE ，
∴△DAE≌△DFE(SSS )．
∴∠DFE＝∠A＝90°.
∵DA＝DC ，∴DC＝DF.
在Rt △DCG 和Rt △DFG 中，⎩
⎪⎨⎪⎧DC ＝DF ，DG ＝DG ， ∴Rt △DCG≌Rt △DFG(HL )． ∴GF＝GC. (2)BH ＝2AE.
证明：过点H 作HI⊥AB 于点I.
由(1)可知，∠EDF＋∠FDG＝45°.
∵EH⊥DE，
∴△DEH 为等腰直角三角形．
∴∠DEA ＋∠HEI＝90°.
又∵∠DEA＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠IEH.
在△DAE 和△E IH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE＝∠I，∠ADE＝∠IEH，DE ＝EH ，
∴△DAE≌△EIH(AAS )．
∴AE＝IH ，AD ＝EI.
∴AE＋BE ＝BE ＋BI.∴BI＝AE.
∴AE＝IH ＝BI ，△BHI 是等腰直角三角形．
∴BH＝2BI ＝2AE.
8．(2018·临沂)将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.
(1)如图1，当点E 在BD 上时，求证：DF ＝CD ；
(2)当α为何值时，GC ＝GB ？画出图形，并说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：由旋转可得，AE ＝AB ，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF ＝BC ＝AD ， ∴∠AEB＝∠ABE.
又∵∠ABE＋∠EDA＝∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠EDA＝∠DEF.
又∵DE＝ED ，
∴△AED≌△FDE(SAS )．
∴DF＝EA.
又∵AE＝AB ＝CD ，
∴CD＝DF.
(2)当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G 在AD 的右侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于点M. ∵GC＝GB ，
∴GH⊥BC.
∴四边形ABHM 是矩形．
∴AM＝BH ＝12AD ＝12
AG. ∴GM 垂直平分AD.
∴GD＝GA ＝DA.
∴△ADG 是等边三角形．
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°.
②当点G 在AD 的左侧时，同理可得，△ADG 是等边三角形． ∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°－60°＝300°.。