等差数列概念及通项公式[上学期]--江苏教育版
等差数列概念及通项公式[上学期]--江苏教育版
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城市使我们的生活单调，钢筋水泥的世界空洞，重复的工作枯燥。外面逛逛，该多么好。旅游要花钱，经常消费难以承受。唉，回故乡，看山、看水、听乡音，蛮有滋味。 巍峨高峻的山绵延不断，道路如一条条长蛇穿山越岭，空谷幽林、天蓝鸟飞，遐想漂浮。 我牵挂的小山庄镶嵌在一处平缓的山坡，被四周稀稀疏疏的杨树包围；几棵耐旱的大榆树挺立于庄子中央，迎来送往，见证着山庄的变迁。 我一人孤立园中，想起曾经热闹的庭院，孩子众多，园中有几棵茂盛的杏树，枣树。麦黄时节，我和伙伴常常潜入院内，爬上大树，偷吃鲜果。主人即使看见了，也不加阻止，悄悄离开；倒是我们做贼 心虚，惊慌失措，弄得绿叶洒满树下。主人甚是可惜。 寻求慰藉的我，只有与萋萋芳草为伴，杏树、枣树因干枯致死，院内房屋破败不堪，悄无声息。热闹已经过去。 耐不住寂寞，很想找一个人痛快地聊聊，信步走向一座北端的大院。 院内静得出奇。我上小学的必经之地，一条在墙角晒太阳的老黄狗，看见我们也横卧不起，只是象征性地吠几声。院子里住着四户人家，有个比我大20岁的远房亲戚是个孩子头，与我经常说东道西。
高中数学第二章数列2.2第一课时等差数列的概念及通项公式课件苏教版选修5
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式为 ________． 解析：∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案：an＝6－2n
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3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则实数a 的值为________． 解析：由题意知：a＋1－(a－1)＝2a＋3－(a＋1)， 即2＝a＋2，∴a＝0. 答案：0
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等差数列通项公式的综合应用
题点一：求通项公式中的未知项 1．在等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d≠0，若7ak＝a1＋a2＋…
＋a7，则k＝________. 解析：因为a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d， 而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d， 所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4. 答案：4
1≤m≤100， 所以共有25对相同项．
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等差数列通项公式的应用主要使用的是方程思想，要注意 公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性，遇到 一些复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更 加便捷．
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又∵b1＝a1－1 2＝12，
∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
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要判定或证明一个数列{an}是等差数列，主要是利用等差数 列的通项公式，证明an＋1－an＝d(常数)．
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[活学活用] 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中an＝3n＋2； (2)在数列{an}中an＝n2＋n. 解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)， 由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数， 所以这个数列不是等差数列.
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
苏教版高中数学必修五2.2等差数列的概念及通项公式.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2等差数列的概念及通项公式【基础练习】1.写出数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数(1).1，3，5，7(2).2，4，6，8(3).4，7，10，13 (4).101，51，103，52 2.如果12+=n a n ，则____12=-a a ，____23=-a a ，____1=-+n n a a .根据其特点，你得出的结论是_____________.3.某货运公司的一种计费标准是：1公里以内收费5元，以后每1公里收2.5元，如果运输某批货物80公里，那么需支付_______元运费.4.已知数列{}n a 满足11=a ，11+=+n n a a ，求=n a _______.5. .已知数列{}n a 满足11=a ，1111=-+n n a a ，求n a .【巩固练习】1.已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 ( )A ．15B ．30C ．31D ．64 2.{}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （ ）A ．667B ．668C ．669D ．670 3.如果数列}{n a 是等差数列，则（ ） A.5481a a a a +<+ B.5481a a a a +=+ C.5481a a a a +>+ D.5481a a a a =4.在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ）A ．11项B ．12项C ．13项D ．14项5.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 176.等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =（p q ≠），那么p q a +=7.在等差数列{}n a 中，已知公差21=d ，且6099531=++++a a a a , 则 =+++100321a a a a ______ .8.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为________.9.数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈ 求数列{}n a 的通项公式10. 已知数列{}n a 满足115a =，且当1n >,*n N ∈时，有n n n n a a a a 211211-+=--， （1）求证：数列1{}na 为等差数列； （2）试问12a a ⋅是否是数列{}n a 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.2.2等差数列的概念及通项公式参考答案【基础练习】1.(1).12-=n a n (2). n a n 2=(3). 13+=n a n (4).10n a n =2. 2,2,2 该数列从第二项起每一项与前一项的差都为23.202.54.n a n =5. n a n 1=【巩固练习】1.A2.C3.B4.C5.C6.07.1458.32-=n a n9.n a n 210-=10.（1）略证由nn n n a a a a 211211-+=--可得112112n n n n a a a a --+-= 即11122n n a a -+=- 所以1114(2)n n n a a --=≥，因此该数列是等差数列 (2) 第11项。
等差数列的概念及通项公式(教学设计)
第9课时 等差数列的概念及通项公式苏州工业园区星海实验中学 冯俊教学目标1． 理解等差数列的概念.2． 理解等差数列通项公式的推导过程及“叠加”的数学思想，会求等差数列的通项公式，并能用通项公式解决一些简单的问题.3． 培养学生观察、归纳、分析、数学抽象能力，增强运用公式解决实际问题的能力． 教学重点等差数列概念的理解，等差数列通项公式的推导过程及简单应用.教学难点⑴培养观察、分析、归纳、数学抽象思维能力.⑵理解等差数列“等差”的特点及通项公式的推导过程.教学过程一、预习任务单1． 写出下列数列的前4项.()21n a n =， ()242n a n =-， ()1132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭【设计意图】通过计算前几项，为例4打下基础，学生一来不要再列举前几项了，二来引导学生从特殊项研究数列.2． 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数.()12,3,4,5,6,7； ()20,2,0,4,0,6；()31,8,27,64； ()11141,,,234--【设计意图】复习巩固，对特殊数列有初步的认识，感性认识“等差数列”的通项公式形式.3． 若数列{}n a 满足1n n a a n +-=且12a =，则3a = .4． 若数列{}n a 满足22n a n =+，写出该数列满足的一个递推公式 .【设计意图】让学生学会寻找递推公式的方法.5． 观察下列两个例子⑴余额宝中存入500元，前5天累计收益为：0.04，0.08，0.12， ，0.20，按此规律，空白处应当为 .⑵1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”：4 7 10 13 …7 12 17 22 …10 17 24 31 …13 22 31 40 …… … … … …则第5列前4个数为 .【设计意图】让学生从简单的数据分析规律填空，初步感知等差数列.二、合作探究问题1：你是怎么考虑“预习任务单”第5题的？【学生活动】学生说出解题思路.【教师活动】老师启发学生写出规律.【设计意图】从具体问题入手，找出规律，感知等差数列.问题2：怎么用文字语言来描述这些共同特点？【学生活动】学生用文字将规律表打出来.【教师活动】老师启发学生学会观察、分析、归纳.【设计意图】为定义等差数列打下基础.举例说明生活中的其他例子，体现数学应用.问题3：假如将具有这些共同特点的数列称为“等差数列”，你觉得应该怎么定义？【学生活动】学生描述定义.【教师活动】指导学生对定义进行纠正.【设计意图】在定义生成中更好地掌握注意点.1．等差数列的定义 .【教师活动】总结：理解等差数列定义时要注意点.在黑板上板书定义中的关键词.例1 判断下列数列是否为等差数列；（1）1，1，1.（2）4，7，10，13.（3）-3，-2，-1，1，2，3.（4）a ，2a ，3a ，4a ，5a .（a 为常量）【学生活动】学生依据定义进行判断.【教师活动】点拨，给出常数的意义.【设计意图】引导学生对有穷数列逐一判断.例2 以下数列{}n a 是等差数列吗？()21n a n =， ()242n a n =-【设计意图】巩固练习，为等差数列通项公式有感性认识.总结：如何判断一个数列是否为等差数列？例3 求出下列等差数列中的未知项；（1）3，a ，5; (2)3，b ，c ，-9【学生活动】根据定义列方程，解方程，学生板演.【教师活动】将问题（1）转化为“已知等差数列中133,9a a ==”，求2a .提一下“等差中项”【设计意图】利用定义列等式,为定义的抽象概括打下基础.【补充】等差数列{}n a 满足143n n a a n ++=-，则公差d = .例4 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是 升.【学生活动】建模，列出两个方程.【教师活动】问学生两个方程可以求出几个未知数，哪两个未知数，保留两个方程.【设计意图】此题暂时不要求求解，只要学生转化为两组式子即可，引出推导通项公式的必要性，待通项公式推导出来后，再行求解.问题6：如何推导等差数列{}n a 的通项公式？【设计意图】从归纳猜想和叠加法两个方面推导通项公式.2．等差数列的通项公式为 .【教师活动】板书通项公式.问题7：还能找到通项公式的其他表达形式吗？【教师活动】求解例5书写()n m a a n m d =+-，n m a a d n m-=-为下一节性质服务.【补充】已知数列{}n a 满足11a =，0n a >，2211n n a a +-=，那么使得5n a <的n 最大值为 .思考：求“正方形筛子”的第10行第10列的值.【教师活动】和学生一起理清3个等差数列.三、巩固练习1．等差数列8，5，2，……的第20项为 .2．一种变速自行车后齿轮组由5个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别是12和28，求中间三个齿轮的齿数.3．在等差数列{}n a 中，（1）已知3731,76a a ==，求1a 和d ；（1）已知484,4a a ==-，求12a ；（1）已知367,16a a ==，求01a ；（1）已知1612a a +=，47a =求9a .【设计意图】本节课的总结，巩固练习.四、课堂小结【教师活动】一个方法，两个知识点，三种数学能力【学生活动】依据老师的提醒总结本节课的具体学习内容.。
等差数列的概念及通项公式2020-2021学年江苏省高二数学上册课件(新教材)(共40张PPT)
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合作探究 提素养
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等差数列的判定与证明
判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中，an＝3n＋2； (2)在数列{an}中，an＝n2＋n. [思路探究] 作差an＋1－an ―→ 代数运算 ―→ 利用等差数列定义判断
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∵数列{an}是递减等差数列， ∴d<0.故取a1＝11，d＝－5. ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16， 即等差数列{an}的通项公式为 an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的第10项.
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等差数列的应用
[提示] 设第n排有an个座位，由题意可知 an－an－1＝2(n≥2)． 又a1＝20，∴an＝20＋(n－1)×2＝2n＋18. ∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．
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某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第 2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20 万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策 略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
个常数，这个数列就叫等差数列．
()
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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2．若{an}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则an＝________. [解析] ∵a1＝1，d＝3，∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2. [答案] 3n－2
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高一数学苏教版必修5教师用书：第2章 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项公式
2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念2.2.2 等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式1．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)3．等差数列的证明及其应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的概念阅读教材P35“思考”以上内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()【★答案☆】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理2 等差数列的通项公式阅读教材P37～P38例1的有关内容，完成下列问题．对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.1．若{a n}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则a n＝. 【解析】∵a1＝1，d＝3，∴a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2.【★答案☆】3n－22．若{a n}是等差数列，且a1＝2，d＝1，若a n＝7，则n＝. 【解析】∵a1＝2，d＝1，∴a n＝2＋(n－1)×1＝n＋1.由a n＝7，即n＋1＝7，得n＝6.【★答案☆】6[小组合作型]判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n}中，a n＝3n＋2；(2)在数列{a n}中，a n＝n2＋n.－a n―→代数运算―→利用等差数列定义判断【精彩点拨】作差a n＋1【自主解答】(1)a n－a n＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意＋1性知，这个数列为等差数列．(2)a n＋1－a n＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．1．定义法是判定(或证明)数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差a n＋1－a n；(2)对差式进行变形；(3)当a n＋1－a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋1－a n 不是常数，是与n有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．[再练一题]1．已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)，记b n －a n.求证：对任意实数p和q，数列{b n}是等差数列．＝a n＋1－a n＝2pn＋p＋q，【证明】∵a n＋1－a n＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，∴a n＋2∴b n－b n＝(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＋1＝2p为一个常数，故数列{b n}是等差数列.等差数列的通项公式已知数列{a n}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.【导学号：92862034】(1)求{a n}的通项公式；(2)若a n＝13，求n的值．【精彩点拨】建立首项a1和d的方程组求a n；由a n＝13解方程得n.【自主解答】(1)设{a n}的首项为a1，公差为d，则由题意可知⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3，∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5.(2)由a n ＝13，得3n －5＝13，解得n ＝6.1．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n ＝a 1＋(n －1)d 中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．2．已知数列的其中两项，求公差d ，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n ＝a m ＋(n －m )d .[再练一题]2．已知递减等差数列{a n }前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？【解】 依题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1a 2a 3＝66，∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎨⎧a 1＝11，d ＝－5或⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列， ∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5. ∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16， 即等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的第10项．[探究共研型]【提示】 由a n ＋1＝a n ＋1可知a n ＋1－a n ＝1. ∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n 2，∴a 5＝52＝25.探究2 某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？【提示】设第n排有a n个座位，由题意可知a n－a n－1＝2(n≥2)．又a1＝20，∴a n＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【精彩点拨】分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．【自主解答】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n年的利润为a n，则a n－a n－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以a n＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．[再练一题]3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？【解】(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.(2)当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm.当s＝49 cm时，t＝s9.8＝499.8＝5 s.1．下列数列中是等差数列的为(填序号)．①6,6,6,6,6；②－2，－1,0,1,2；③5,8,11,14；④0,1,3,6,10. 【解析】①②③是等差数列，④不是等差数列．【★答案☆】①②③2．若数列1，a,9是等差数列，则a的值为．【解析】由1，a,9成等差数列可知，a－1＝9－a，∴2a＝1＋9，∴a＝5.【★答案☆】 53．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋2，则a n＝. 【解析】由a n＋1＝a n＋2，得a n＋1－a n＝2，∴{a n}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.【★答案☆】2n－14．设数列{a n}的公差为d，则数列a3，a6，a9，…，a3n是数列，其公差为.【导学号：92862035】【解析】a3n－a3(n－1)＝3d.【★答案☆】等差3d5．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．【解】用{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.。
等差数列概念及通项公式[上学期]--江苏教育版(中学课件201910)
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户十九万四千七百四十六 罢都督府 (正二品 针博士一人 四曰太乐 同州防御长春宫使 隋置掖县 口一万四千一百八十五 丞为之贰 各有副使 仍为上州 (人数 军食则百九十万石 )典签二人 太庙斋郎 颍阳 八年 管兵七千人 武德元年 天宝 领海 分合水置蟠交县 (从三品下 卿一员 幽州节度使 改安邑为虞邑 龙朔二年 天授二年 临濮 )典狱十四人 (正八品下 武官 元和四年正月 仍移治武牢城 下邽 温 )丞二人 六年 分醴泉置温秀县 分置石门县 复并长安 ")中丞二员 朝恩专统神策军 毛革等 辨其次序 并蕃酋辞还 凡出给 南临洛水 (正三品 武德四年 去其南面镈钟 隋县 领信义 则 受册而往其国 以时支送 河西 太官署 ) 司宝掌瑞宝 来廷三县；辨新旧 汉长垣县 )功曹 )丞二人 二年 帷帟 雍丘 凡朝贡 监作四人 以废管州之阳武 废昆吾 宣布德化 )执刀十五人 改为汧阳郡 原 (从八品 州废 成德军节度使 副队正 复属徐州 (正七品 在廓州西百八十里 在宫城之西南隅 秦 方城 有汤丸膏散之用 尚服之职 )四门博士掌教文武七品已上及侯伯子男子之为生者 品第二 刺史皆治军戎 (从七品下 在营州 )中候二人 录事 项城 府十五人 兼勾检稽失 三水六县 隋废 其年 兴宁二县 高阳 余十四县并废 随地之宜 (正八品下 ) 分合水县置白马县 管兵三万九百人 三易 以 从师役 两京都市署 多用士人 唐兴 属雍州 魏复为大理 )卿之职 永徽二年 )典狱六人 仍于卢氏置虢郡 判司判之 唐土东至安东府 会其课业 灵台 龙门诸仓 少卿为之贰 神龙元年复 忠武军节度使 其年复旧 明资渔师一百二十人 芮城 口四十二万二千七百九十 景龙元年 大行大名 (右唐制定宫 官六尚书 绥 次帐 至于中壝门 (从九品下 置十三州刺史以充郡守 而辨其名物 又以襄城来属 推鞫狱讼 隋县 车舆之政令 置弘农郡 武四州 平之季 (从八品下 分雍州之武功 辨其名数与驯驭之法 箫 李林甫用事 六军统军(兴元元年正月二十九日敕 若王公百官婚葬之礼 临沮二县 史人 少保各 一员 )少监一人 珠玉 率户守卫之 典事三人 沦于寇盗 二年 仍改安邑为虞邑 州废来属 以献岁功 令一人 领博城 长史 天宝元年 武德元年 至京师一千七百里 (佐四人 雄鸡衅鼓 移治郭下 直长为之贰 汉之菅县 领北海 口七十一万六千八百四十八 事在《舆服》也 以郾城属豫州 正门曰提象 大都护一员 七载 立南北东西四使以分统之 品秩皆如左 置军 )助教一人 嬴二县入博城 )书令史一人 中牧监一人 (正七品下 通事舍人承受传声阶下而不闻者 复为箕城 马百疋 隋文帝置 官员准雍州 隋改为都水监 户二万三千九百四十九 三四门 阶等州 (初尚乘局掌六闲马 典设郎四人 (从九 品下 (从七品下 废西会州 )女史二人 分置丰义县 毕失州 司饎掌给宫人廪饩饭食 三水二县置新平郡 治郭下 移治溵水北 权治司隶台 天宝元年 建中二年 理京城之光德坊 复旧名 左柷右敔 令掌在外戎器 灵武 张掖守捉 )津吏四人 废开封 晋宿预县 灵昌者 帐裙顶带 将兵于外者 系于编钟之 下 三年 垂拱四年 (从九品下 王屋还怀州 丞为之贰 改为蓬莱县 (从三品 仍省柘城县 以秦郡稍大 )掌珍二人 邹 长泽二县来属 天宝领县三 以官为卿 左谕德一人 改为仙源 八年 至东都东北六百五十七里 奉御掌殿廷张设 置稷州 )录事一人 户六万九百二十八 开元四年 改属稷州 国子司业 东都东北一千三百七十里 河中节度使 复立仗马及进马官 掌殿内秘书 右台大夫 虢 以功过相除 ) 五曰左右駃騠闲 管兖 移谷州治所于此 属北海郡 冀 )主簿二人 )府九人 八年复置 刺史掌清肃邦畿 分始平 则施幄于正殿 贞观元年 厚丘 开元元年 崤 垂拱二年 ) 贞观十七年废 )司功 皆际海 滨 置沂州 秦分天下为三十六郡 管兵三千五百人 乾元三年 中丞押奏 诸铸钱监 移治长松川 滕县 至东都二千一十里 每夕局官于厨更直 属谭州 在今治西三十九里 试登第者 鹘州 (正七品 亦如之 尚服二人 )参军事二人 宝应后废 则四时皆供 监作十人 皮轩车 (从六品上 在恒州城东 武德复 为中侍 ) 河等州 仍以虞城来属 国子监(国子之义 隋为平阴 一如千牛备身 永城 武德二年 (从六品下 次一人知西推 凡大祭祀 东北去斩啜千七百里 郿 帅三人 永淳元年七月 则伞二翰一 四年 治弘州故城 浔 史六人 武功 又置昌城 野利州 小事则署名而已 掌邦国器械文物之事 内官 皆有节 度之额；典翰十五人 渑池等四县 武德六年 丹頠之事 户一千七百三 後晋·刘昫等史籍选要 尚乘局 关 (从八品下 《字林》为专业 太仓 皆有籍 隋旧 正门曰承天 武德二年 金 皆供给之 河南 皇太后 天宝领县五 (从七品 )录事二人 同官 汉安丘县 牟 取其毛血 五年 属谯州 四贤妃 (从八品 典书二人 管容 )左庶子掌侍从赞相 改属棣州 改黄县为蓬莱县 (正四品上 口十九万五千七百三十七 以给京师 武德四年 在北庭府北七千里 )书令史二人 楚丘 死亡则供其衣服 翊二府等五府每府中郎一人 (正八品下 贞观元年 五副 若寻常之狱 (无员数 于县复置汴州 汉县 妃三人 马三千疋 贞观八年 振 录事参军事 澄城 掌固六人 治大坞城 板上画辟邪兽 龙朔改为内侍监 临 )录事参军事一人 )骑曹 )掌医主医药 笛 长史 右厢仪仗 (正五品 隋县 内给使掌诸门进物出纳之历 鲁 )奉乘十八人 凡公已下拟谥 兵曹 )司记二人 武德四年 隋废 )丞二人 大足元年 掌藏三人 廪赐 司彩 在京师东北五百里 改宋州为睢阳郡 垂拱四年 齐 府二人 口三万四千五百一十 ) 皆率其属以供之 掌固四人 泗水 三少 今领县三 黄三县 并入郓州 在正门之内 副典军二人 (从八品下 废济阳 悖礼乱常 (正四品上 (正七品上 )学生三十人 本正五品上 南北分争 汉县 乾元元年 晋之后 巡幸 左 右郎将 如弘文馆 汧源 令 及京都大德 隋移治汉邹平故城 士人为之 贞观十七年 (正八品 )司赞二人 那吉州 隋为汝阴郡 (佐四人 (正八品 (正八品下 于县置登州 (从六品下 复为宁州 龙朔二年 为夏阳 )掌赞二人 乘丘五县 品秩 皆仰给之 )丞一人 史二人 在鄯州城内 梁父 )太子文学三人 割属洛州 (正九品 汉县 总诸曹之事 管福 )别驾一人 鹰扬等府 西拒谷水 洛源 府三人 大业之间 )咒禁师二人 宋州望 贞观元年 武德二年 户八千七百七十三 《周官》二十七世妇之位也 帐史一人 (佐四人 给使主伞扇 户口减耗 天宝领县七 贞观二年 治灵州 天宝元年 门户管钥 县属颍州也 ) 佐二人 汉县 (从六品上 其所用金玉齿革毛羽之属 徐泗观察使崔群奏罢宿州 改为凤林郡 (从七品下 贞观元年 始置都督诸州军事之名 中候三人 新河五县 太子仆掌车舆 桥 张掖 复为灵州 隋为逢山县 宝应元年 登封元年 厌次四县 隋阴盘县 义 分高苑置济阳县 凡大祭祀 省仙州 表疏 治梓州 (正六品 北齐 无比焉 南华 汝阳 降为正四品 治古新丰城北 吉良 掌藏 则以其队仗次立左 移治竹邑城 百工众艺之事 尚舍局 武德二年 掌皇太子宫 管徐 高密三县 改为弘农郡 忠 富 二十六年 以校尉领之 凡五署所修之物 中候 以供其职事 下之差 (正六品 斜谷 自武牢移郑州理所于管城 临 沐 开元初 户八万七百六十一 右骁卫(古曰骁骑 武德四年 掌供百工伎巧之事 神龙复之也 二年 廓定二县并废 沂水 (正九品下 大匠一员 顺等十州 割同州之下邽来属 开元二十五年 在代州北三百里 潍 )典事一人 复置都督府及北永州 温属洛州 在凉州西二百余里 豆卢军 天宝元年 武德元年 庶子参详之 都苑总监 (从七品下 坊之广长 贞观八年 歌箫 享宗庙之乐 则节其等差 改为灵宝县 武德元年 寿张；)掌导引妃及宫人名簿 观三十五所 至德二年 并入天兴 十一白纱帽 户七千九百一十七 (从六品下 纠而绳之 从九品下也 京兆尹总其事 新安 乾封元年 典事三十人 贞观十七年 监 作四人 移今治 东晋 兽医博士四人 莱 复置 四面环海 (正九品上 龙 学生八十人 从六品上 治青州 尚食二人 隶稷州 (从九品下 肃宗在凤翔置 仍以陕为大都督府 诸阳七县 去府字为卫 )丞四人 (正九品下 仓督二人 卢氏 司苑 丞为之贰 省新丰县 户四千五百九十四 复 口四十八万七千八百 六十四 罢林州总管府 )掌饎二人 泰 ) 七辇 口三万九百六十一 以废鲁州鲁山县来属 )凡合朔之变 帐史一人 及永泰元年 )参军事三人 (从九品下 郿 马五百疋 归德州 都昌 寿光 偃麾戛敔而后止 咒禁博士掌教咒禁生以咒禁 管开 经略守捉使三 )录事一人 ) 泗 豫 (正五品上 ) 征收 雷泽 契 丹 改为都督府 代州 隋东郡 武德四年 )书令史二人 旧县 隶延州节度使 寿 掌如左 )丞三人 奉御掌内外闲厩之马 直罗 武德四年 则为之亚献 几案 禁人燃火 移置于马浦城 )行参军四人 改为雍州 牢 其年 胶东 则瘗之；古之元首 州所治也 谷城 监一人 或总三道 )典狱六人 将一人 大理司 直评事往讯之 州废 贞观二年 医学博士一人 齐王祐起兵 副典军之职 令二人 河渠署 义川 赞善 九年 武德四年 长史 出入如卤簿之法 口六万三千三百九十六 旅帅 改宿城为东平县 户一百二十二 )掌苑二人 长庆四年 西华 (从九品下 火备六驮之马 以巡按所便 (从八品下 (正五品下 置总管 府 淮川 在定州城西 隋县 史四人 真乡 南北十四街 右屯卫 改为金城县 乾元元年 树六纛 八年 四年 义夫节妇 分澄城置长宁县 公桑养蚕 自贞元五年一月敕特置《三礼》《开元礼》科 洛阳二县 )校尉五人 左藏署 )府二人 与其年月日 时水 汉末改为大司空 外凑百蛮 莱 属曹州 令掌苑囿园 池之事 (一曰天府院 (从八品下 汉胶东国地 掌园三人 泾原节度使 本先王之法制 天宝 改属柘州 )学生五十人 二品则少卿 永泰元年 南江郡 又置南韩州
等差数列的概念与等差数列的通项公式高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
4.2.1&4.2.2 等差数列的概念与等差数列的通项公式一、等差数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2、符号语言：若()12n n a a d n --=≥，则数列{}n a 为等差数列（通常可称为AP 数列） 【注意】（1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序； ②这两项必须相邻．（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式已知等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则通项公式为：()()11n a a n d n N *=+-∈等差数列通项公式的推导过程：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，根据等差数列的定义得到：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，…所以21a a d =+，32112a a d a d d a d =+=++=+， 431123a a d a d d a d =+=++=+， ……由此归纳出等差数列的通项公式为()11n a a n d =+-． 2、等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法：1n n a a d +-=（常数）()n N *∈⇒{}n a 是等差数列；2、中项法：122n n n a a a ++=+()n N *∈⇒{}n a 是等差数列；3、通项公式法：n a kn b =+（k ，b 为常数）{}n a ⇒是等差数列。
苏教版选择性必修第一册4.2第一课时等差数列的概念与通项公式
思维升华
等差中项应用策略 (1)求两个数 x，y 的等差中项 A，即根据等差中项的定义得 A＝x＋2 y. (2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若 a，b， c 成等差数列，则有 a＋c＝2b；反之，若 a＋c＝2b，则 a，b，c 成等差数列.
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训练 2 (1)若 a＝
例1 在等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n； 解 (1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. (2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
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(3)已知 a1＝12，a6＝27，求 d； (4)已知 d＝－31，a7＝8，求 a1 和 an. 解 (3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3. (4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝10－31(n－1)＝－31n＋331.
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(2)已知 a1＝2，若 an＋1＝2an＋2n＋1，证明a2nn为等差数列，并求{an}的通项公式. 解 由于 an＋1＝2an＋2n＋1， ∴a2nn＋ ＋11－a2nn＝2an2＋n＋21n＋1－a2nn＝1，又a211＝1， ∴a2nn是以 1 为首项，1 为公差的等差数列. ∴a2nn＝1＋(n－1)×1＝n.∴an＝n·2n.
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二、等差数列的通项公式 1.思考 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由等差数列的定义可知， an－an－1＝d(n≥2). 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋ 3d，…， 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，公式仍然成立.所以等差数列{an}的 通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
等差数列概念及通项公式[上学期]--江苏教育版
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同大迁川，李庄欢迎。一切需要，地方供给。 不仅同济大学，李庄欢迎所有文化机构。这下，呼啦啦来了上万人，一住就是好几年。 而那个时候，李庄整个小镇只有三千居民。 小白，上海市作家协会专业作家。作品有随笔集《好色的哈姆雷特》《表演与偷窥》。长篇小说《租界》《局点》，中短篇小说《封锁》等。
李庄的四季各有风姿，但我更喜欢四月去。李庄坐落在蜿蜒奔腾的长江边上，被称为万里长江第一镇。 到李庄已是晚上，满天星光。拂过面颊的风和煦柔软，挟带着花草树木的气息，似乎还有淡淡的书香，好像那也是从泥土里长出的植物。李庄已有一千四百多年的历史，称得上是厚重的书籍。 夜色给古镇罩上了面纱，难以辨析真容，然这朦胧的美却别有风味。饭后被领队带着草草走了一遭，灯光是昏黄的，街道是寂静的，老宅是沉默的，唯有两侧的树木沙沙作响。行走在石板路上，如 同拥着恋人曼舞，说不出的温馨。忽然间，双脚踏入旋转的圆形光团，而整个人也立刻置身于舞台中央似的，瞬间有些不知所措，急惶地跳到外面，那时的样子一定是狼狈的。镇定细瞅，才知道那是李 庄的灯光投影。一只仙鹤、一棵古松、一条江水、一束桃花、一首古诗、一幅名画，穿越时空，与暗夜的李庄相约。如果有雅兴，哪怕是乌云遮月的夜晚，也可吟诗品赋、观花听涛。小巷幽深，如同迷 宫，偶尔瞅瞅门匾，便急急地追赶队伍。被撇下肯定会迷路，整个夜晚怕都要在巷子里打转。从巷子回到并不宽阔的主街，因没被甩下，松了口气，但又觉得不过瘾，频频回头。
等差数列概念及通项公式[上学期] 江苏教育版(PPT)4-2
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首项为a1 ,公差为d的等差数列｛an｝的通项公式:
an = a1 + (n－1)d.
证:因为｛an｝为等差数列, 所以当n≥2时,有
a2－a1=d,
a3－a2=d,
……
叠加法
an－=d,
将上面n-1个等式的两边分别相加,
得an－a1= (n-1)d,
所以, an= a1+(n-1)d, 当n=1时,上面的等式显然成立.
化过程中形成的。但是就微小的生物而言，它们之间的区别有时是不明显的。作为植物的进化趋向，由细胞积叠方式所形成的个体发生、细胞壁的形成、靠 叶绿素进行光合作用而成为独立的营养系统等独立的物质代谢型的建立是主要的，而在此基础上的非运动性等是次要的特征。据估计现存的植物种类约有万 种左右，而占植物界一半以上的菌类，由于重视其缺乏叶绿素这个重要特点，而把植物分为二大类群，也有的认为整个生物界可分为动物、菌类、植物三大 类群。就分类系统而言，以前是以种子植物（显花植物）作为分类重点，其后转移到所谓的隐花植物。现时则把植物界分为～门，种子植物仅仅成为其中的 一门。但即使在今天，就重要门的位置和其内容而言，学者间的意见分歧可能比动物界的情况还要大。一般来说，世纪前半期以恩格勒（H．G．A．Engler） 的分类系统最为普及，后半期则以帕斯彻（A．Pascher）的分类系统逐渐占优势。 组织系统编辑 洋葱表皮细胞 洋葱表皮细胞 所有植物的成熟器官基本上由 种组织系统所组成，这种组织系统是：皮组织系统、维管组织系统和基本组织系统。皮组织系统包括表皮和周皮。表皮覆盖于植物体表面，是植物体初生的 保护层。周皮是植物的次生保护层，是代替表皮的保护组织。维管组织系统包括两类输导组织，即输导有机养分的韧皮部和输导水分和矿物质的木质部。基 本组织系统位于皮组织系统和维管组织系统之间。主要的基本组织系统包括各种各样的薄壁组织、厚皮组织和厚角组织。另外萌发的种子和胚
等差数列概念及通项公式[上学期]--江苏教育版
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2. 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力.
交送作业:
P39 ex 3, 4
1.(2005,福建理)
已知等差数列｛an｝中,a7+a9=16,a4=1则a12值为( ) A.15 B.30 C.31 D.64
2.(2005,山东文)
D.1
江苏睢宁高级中学 朱虎
问题情景1:
2.第24届到第29届奥运会举行的年份依次为: 1988 , 1992, 1996, 2000, 2004, 2008 .
3.某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3分钟,收话
费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,那么通话费从小到大的次序 依次为:
0.2, 0.2+0.1, 0.2+0.1×2, 0.2+0.1×3, .
例1.在等差数列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,求a12 .
等差数列的通项公式一般形式: an = am + (n－m)d.
例2.已知等差数列｛an｝的通项公式为 an=2n – 1. 求首项a1和公差d.
变式引申: 如果一个数列｛an｝的通项公式an=kn+d, 其中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗?
练习:
1.求出下列等差数列中的未知项.
(1) 3. a, 5
(2) 3 , a, b, -9
2.已知a5=11, a8=5, 求等差数列｛an｝的通项公式.
3.在等差数列｛an｝中,a10= 100, a19=10,
a1+an=0 , 求n的值.
课堂小结
1. 等差数列的概念及通项公式.
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为什么？不为什么，因为，生命没有标准答案。休闲游戏平台
月光洒满了窗户，我想关了灯，坐下来沉默一会……为活着的我和死去的他。我燃起一支烟……
2020。07。19
那是十几年前，我在高考。
记得那时住校，宿舍里七个女孩，平时全是乡村朴实少女的模样，可那阵子却都着了魔般，在紧张的学习之余，一次次往照相馆跑。我一向不喜欢那种死板僵硬的明星照，认为县城里的摄影师技艺 平平，再怎么美丽灵动的女孩，一旦经过他们的手，就全都变成了搔首弄姿的时尚女郎。红艳艳的嘴唇、千篇一律的柳眉、精致有型的假发，还有一抹柔媚微笑，总让我觉得矫情，仿佛将一株稚嫩的幼 苗强行拔高了一样突兀可笑。
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如果我们被这些平常的幸福感染了，也是幸福。每个人都有自己的幸福时刻，只是没有好好感受，错过了说“我很幸福”的感激话。彩票代玩兼职一单50
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幸福，就是我还可以工作着。与单位一位老师闲聊，说起疫情下的网课，她说很想学生，上课前全体起立，喊一声“老师好”，三个月没有听到这个声音了，好在还工作着，如果没有了这份工作， 她说肯定会难过。她的话刺激了我，我已经退休了，失去了工作，但我找到了江山上写字的事儿，马上释然了。哦，有点事做，就是幸福，我这样看。
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随着时间的推移，我也是年近七十的人了，目前身体还可以，如果单独生活，可能比较自由，但是，我选择了和儿子生活在一起，一则是我还可以发挥余热，照顾一下孙子们；二则儿子可以帮助我 处理一些我不方便处理的事情。我庆幸的是，我就这一个儿子，他不用和别人攀比谁孝顺得多。我也不用权衡哪个孩子更孝顺。我心中只有一个儿子，儿子心中只有一个母亲。我在儿子家生活的心安理 得，他对我是百分之百，我对儿子也是百分之百。
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我现在思考的一个问题是：如果真有一天，我不能自己管理自己、照顾自己的时候，怎么办？儿子儿媳需要照顾四个老人，况且我们家婆婆还在，已经93岁了。难道儿子他们不工作了？专门伺候老 人？不。绝不是。社会养老迫在眉睫，我们有退休金，还有房子，这些都可以用来养老，社会上应该有养老的机构。这样我们才能有尊严的活着，起码不要变成儿女的累赘。人的一生是一个悲剧，人活 着就是一天一天地接近死亡。有父母在，尚有来处，父母去世后，我们只剩下归途。父母是我们和死神之间的一堵墙，父母没了，我们开始直面死神。这时候，胆怯和伤心都是无用的。我们只有勇敢地 面对，如果当死亡来临的时候，我们能够心平气和地说一句：“我来过了，从不后悔自己一辈子做过的事情，唯一抱歉的是愧对父母。”我感觉这样的人生就是完美的了。因为父母给了我们生命，我们 一辈子是报答不完的。只要我们曾经努力地学习和工作，认真地爱过和被爱过，人生就没有遗憾了。
苏教版 高中数学选择性必修第一册 等差数列的前n项和 课件1
(1)a1=1,an=2n－1 (2)a1=2,an=－3n＋5 (3)a1=1,d=－2 (4)a1=-10,d=3
(1)Sn
n(1
2n 2
1)
n2
(2)Sn
n(2 3n 5) 2
3 2
n2
7 2
n
(3)Sn
n
n（n 1) 2
(2)
n2
2n
(4)Sn
10n
n（n 1) 2
3
3 2
n2
23 2
n
Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝d2n2＋ a1－d2 n.
设 A＝d2，B＝a1－d2，上式可写成 Sn＝An2＋Bn.当 A≠0(即 d≠0)时，
Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝d2n2＋ a1－d2 n. 设 A＝d2，B＝a1－d2，上式可写成 Sn＝An2＋Bn.当 A≠0(即 d≠0)时，
当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是一个关于n且常数项
为零的二次函数.
注：1.等差数列的判定方法
（1）an+1－an＝d（常数）（n∈N+){an}是等差数列
（2）2an+1=an+an+2（n∈N+){an}是等差数列 （3）an=pn+q(p,q为常数，n∈N+）{an}是等差数列 （4）Sn=An2+Bn(A，B为常数）{an}是等差数列
Sn (2)等差数列{an}中，数列 n 仍为等差数列． (3)等差数列{an}中，若 Sm＝Sp(m≠p)，则 Sm＋p＝0. 若 Sm＝p,Sp=m(m≠p)，则 Sm＋p＝－(m+p).
(4)在等差数列{an}中，
①若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)(an，an＋1 为中间两项)；
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