2012年高中数学最新资料 1.1.7 柱 锥 台和球的体积1教案 新人教B版必修2
人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计
人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计一、课程目标1.了解柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.掌握柱、锥、台和球的体积计算公式；3.能够运用已学知识，解决实际问题。
二、教学重点与难点教学重点：1.柱、锥、台和球的定义和形态特征；2.计算柱、锥、台和球的体积公式及应用。
教学难点：1.球的立体图形；2.提高学生运用公式计算的能力；3.引导学生探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用。
三、教学内容与教学过程安排教学内容：1.柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.柱、锥、台和球的体积计算公式及应用。
教学过程安排：教学环节具体安排教学时间教学环节具体安排教学时间导入介绍本节课的学习目标 5 min 学习1 讲解柱、锥、台和球的定义及形态特征20 min 练习1 针对柱、锥、台和球的形态，进行练习15 min 学习2 讲解柱、锥、台和球的体积计算公式30 min 练习2 进行柱、锥、台和球的体积计算练习20 min 拓展探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用领域20 min 总结对本节课进行小结10 min四、教学方法和教学手段教学方法：1.演示教学法；2.引导式教学法；3.问题解决式教学法。
教学手段：1.黑板、彩笔；2.直观物品模型；3.PPT。
五、考核方式1.课堂练习；2.课后作业。
六、教学资源准备1.课本内容，PPT。
2.模型球、模型锥、模型台、模型柱。
七、教学反思与总结本节课是高中必修2(B版)中柱、锥、台和球的体积计算部分。
从初中到高中，体积是数学中让学生最难逃脱的一个主题。
因此，在本课程设计中，我们着重对柱、锥、台和球的定义及形态特征进行讲解，同时给出相应的计算公式及实例，引导学生练习运用公式解决问题。
在教学环节中引入了模型球、模型锥、模型台、模型柱等示范物体，试图通过直观的方式，提高学生对不同几何体的理解。
通过教学反思，认为本节课教学过程中，学生对于柱、锥、台和球的理解方面需要更进一步的引导和讲解。
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.7柱、锥、台和球的体积课件 新人教B版必修2
∴ V 平 行六面 体＝ Sa. 1 又 V 棱柱 ABC－ A′ B′ C′＝ V 平行 六面 体， 2 Sa ∴ V 棱柱 ABC－ A′ B′ C′＝ . 2
点评】 当所给几何体的体积不易求出时， 【 点评 】 当所给几何体的体积不易求出时 ， 我们可以通过“割补法” 我们可以通过 “ 割补法 ” ， 使之变形为我们 熟悉的几何体去解决． 熟悉的几何体去解决．
(1)如图 ， 当两个截面位于球心 O 的 同侧时 ， 有 如图 同侧时， 2 2 2 2 R － r1－ R － r2 ＝ 1， ， 2 2 ∴ R － 5＝ 1＋ R － 8.解得 R＝ 3， ＝ ＋ 解得 ＝ ， 4 3 ∴ V 球＝ π× 3 ＝ 36π. × 3 (2)当两个截面位于球心 O 的异侧时， 当两个截面位于球心 的异侧时， 2 2 2 2 有 R － r1＋ R － r2 ＝ 1，此方程无解． ，此方程无解． 综合(1)(2)知球的体积为 36π. 综合 知球的体积为
台体的体积 将台体的体积与上、 将台体的体积与上、下底面积及高建立函 数关系或者根据等量建立方程． 数关系或者根据等量建立方程．
例2 已知正四棱台两底面边长分别为 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和 和
10 cm，侧面积是 求正四棱台的体积． ，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积． 求正四棱台的体积 【分析】 分析】 借助于正四棱台内直角梯形，求得 借助于正四棱台内直角梯形，
球的体积 关键是找出球的半径或者半径与其它量之间 的关系． 的关系．
球的两个平行截面的面积分别是5π， ， 例3 球的两个平行截面的面积分别是 ， 8π， 两截面间距离为1，求球的体积． 两截面间距离为 ，求球的体积． 【分析】 分析】 半径． 半径． 应用轴截面中的直角三角形来求球的
高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积教案新人教B新人教B高一数学教案
1.1.7 柱锥台和球的体积【教学目标】知识与技能:理解祖暅原理，能使用祖暅原理和长方体体积公式推导出柱体、锥体、台体和球的体积公式，并可以使用体积公式求几何体的体积过程与方法:学生通过实例理解祖暅原理，借助长方体体积公式和祖暅原理推出柱的体积公式，学生通过小组探究、合作交流得到锥体的体积公式，运用化未知为已知的方法，接触到了立体几何中“割”“补”的思想方法.情感态度价值观:通过知识的发现过程，形成科学的研究价值观，收获研究成功的喜悦. 【重点】理解祖暅原理，能用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【难点】用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【教学过程】一. 知识回顾长方体的体积公式V abc Sh==圆柱的体积公式V Sh=圆锥的体积公式13V Sh =二. 新授课现在有1套3副扑克牌，整体摆放如图⑴，若有另1套3副扑克牌，经过变换，如图⑵，提问◇1:摆放图⑴的三幅扑克牌，你有办法求出体积吗？预设◇1:长方体，体积公式V abc=；提问◇2:摆放图⑵的三幅扑克牌，体积是多少呢？预设◇2:与摆放图⑴的三幅扑克牌的体积相同；提问◇3:对于图⑵的三幅扑克牌，你是怎么样得到体积的呢？预设◇3:两副扑克大小一样，每张牌都一样，张数一样，故体积相同.1.祖暅原理:幂势既同，则积不容异.原理说明:○1“幂”——截面面积（所有的截面）；②“势”——几何体的高；③等底面积、等高的柱体体积相同；④等底面积、等高的锥体体积相同；2.柱体体积公式V Sh=提问◇1:棱柱是如何产生的？预设◇1:看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.提问◇2:圆柱是如何产生的？预设◇2:a.矩形绕一边旋转得到的，追问:圆柱能否看成某平面图形移动相同的距离所形成；b. 圆柱可以看成一个圆（包括圆的内部）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.提问◇3:现在有一个长方体、一个圆柱、一个棱锥，等底面积、等高，它们的体积有什么关系？请说明理由.预设◇3:体积相同.等底面积，说明用水平面截得的①截面面积相等，等高说明几何体②高相等，由祖暅原理，得“积不容异”.提问◇4:这些柱体体积怎么计算？预设◇4:柱体体积公式V Sh=.小结:通过祖暅原理和长方体体积公式，圆柱的体积公式V Sh=是完全正确的.学生活动：自由举手发言，说清楚想法和过程.设计意图:柱体体积公式的得到，只需要简单的使用祖暅原理即可，让学生在问题中不断认识到祖暅原理的使用方法.3.锥体体积公式13V Sh =提问◇1:对于学习过的锥体是你知道哪种锥体的体积公式？你是怎么得到的.预设◇1:圆锥13V Sh=，通过取等底面积，等高的圆柱和圆锥倒水试验的方法得到.提问◇2:等底面积，等高的圆锥和棱锥之间体积会怎么样呢？我们取最特殊的棱锥，正三棱锥.你有办法证明吗？预设◇2:学生自主思考，小组讨论后，表述讨论结果. 小结1.:等底面积、等高的锥体体积相同.提问◇3:等底面积、等高的柱体之间体积相同和锥体之间体积相同，对于柱体和锥体之间的体积关系我们还没有证明，你能用今天学习的知识证明：三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的关系吗？13V V =锥柱.学生活动：小组讨论，汇报讨论结果.预设◇3:将三棱柱切割成三个三棱锥，如图，现只需要说明三个三棱锥体积相同即可. ⑴ ''B'C'A ABC B A V V --=,等底面积，等高的锥体积相等； ⑵ ''''B'C'A B BC B A V V --=,等底面积，等高的锥体积相等； ⑶ 13V V =锥柱.小结2: 1133V V Sh ==锥柱设计意图:让学生体会割补的思想方法，能够使用祖暅原理解释数学问题.学生进一步体会祖暅原理的使用.可能出现换底的三棱锥体积问题，可以做适当的铺垫. 三. 课堂探究 4.球体体积公式343V R π=问题探究、如图，将半径为R 的半球和底面半径为R 、高为R 的圆柱放在同一水平面上，现在圆柱中挖去一个底面半径为R 、高为R 圆锥.若用任意一个平行于水平面的平面去截这两个几何体，通过计算比较两个截面面积的大小关系.你能从中发现什么数学结论？学生活动：学生自主解决问题，投影解决问题过程.预设：两个截面面积的大小相等，两个几何体的体积相等.球的体积公式343V R π=球. 小结: 343V R π=球. 设计意图:通过计算得到数学结论，让学生体会发现结论的过程. 四. 课堂练习例题、如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD'，求棱锥C-A'DD'的体积与剩余C'A部分的体积之比.设计意图:割补长方体得到体积关系或者计算得到关系都可以，可以让学生体会割补的思想方法和计算的功能.巩固练习1、已知长方体形的铜块长、宽、高分别为2、4、8，将它铸成一个球形的铜块（不计损耗），求铸成的球形铜块的半径；2、某工厂将一块正方体铜块铸成了三个半径为1的球，求原正方体的棱长.设计意图:巩固练习，熟悉数学公式.五. 课外探究已知台体的上下底面面积分别为S’、S，台体的高为h，你可以借助今天学到的知识和方法推出台体的体积吗？设计意图:学生自主解决问题，体会补形的思想，熟悉锥体的体积公式.六. 课后作业学案卷课后作业【板书设计】。
高中数学 1.1.7《柱、锥、台和球的体积》教案 新人教B版必修2
1.1.7柱、锥、台和球的体积一、教学目标1、理解祖暅原理的内容；2、了解柱、锥、台体的体积公式的推导；3、掌握柱、锥、台体和球的体积公式。
4、能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积重点：体积计算及公式的推导方法难点：祖暅原理的理解及体积公式的应用二、知识梳理对祖暅原理的理解：关键词：夹在，两个平行平面，任意平面所截，截面的面积总相等1、柱体的体积一般柱体的体积公式V =，其中S为底面面积，h为棱柱的高。
棱柱〔圆柱〕的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。
2、锥体的体积圆锥的体积公式是V=〔S为底面面积，h为高〕，它是同底等高的圆柱的体积的13。
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V=〔S为底面面积，h为高〕。
棱锥与圆锥的体积公式类似，都是棱锥〔圆锥〕的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。
3、台体的体积由于圆台〔棱台〕是由圆锥〔棱锥〕截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到园台〔棱台〕的体积公式：V=，其中S'，S分别为上、下底面面积，h为圆台〔棱台〕的高。
圆台〔棱台〕的高是指两个底面之间的距离。
4、球的体积：设球的半径为R，那么它的体积为V=球，是以R为自变量的函数。
三、[例题解析]阅读课本例1与例2完成课后练习A第1，2，3题补充例题2、直棱柱底面是菱形，面积为S，过两不相邻侧棱的截面面积分别为m，n，求直棱柱的体积2、假设干毫升水倒入底面半径为2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6，假设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，那么水面的高度为3、过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半、且AC＝BC＝AB＝6，求球的体积。
[限时训练]1、正方体的全面积是S,那么它的体积是( )()A()B()C()D2、假设圆柱和圆锥的底面直径,高都与球的直径相等,那么圆锥,球,圆柱的体积比是( )()A4:2:3()B1:2:3 ()C2:1:3 ()D8:32:243、台体中一个平行于底面的截面把台体分成上下两部分，假设台体的上底面面积，截面面积，下底面面积之比为1：4：9，那么截面把台体分成上下两部分的体积的比值为〔〕()A 827()B719()C513()D354、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积等于〔〕〔A〔B〔C〔D5、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，那么圆柱的体积是;6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为6，4，3，那么三棱锥的体积为;7、一个钢球的直径是5，那么它的体积是；假设球半径变为原来的2倍，体积变为原来的倍;8、棱长均相等的正四棱锥的全面积为)2361cm +，那么它的体积为； 9、一个正三棱台的上，下底面边长分别为3cm 和6cm ，高是32cm ，求三棱台的〔1〕侧棱长；〔2〕斜高；〔3〕体积.10、棱台的两个底面面积分别是245cm 2和80cm 2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积[课后作业]习题1-1A 第7，8，9题。
教学设计4：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1.1.7 柱、锥、台和球的体积教学目标1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式． 知识梳理知识点一 祖暅原理1．内容：幂势既同，则积不容异．2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 3．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． 知识点二 柱、锥、台、球的体积公式其中S ′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r ′和r 分别表示上、下底面的半径，R 表示球的半径． 例题探究题型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288πcm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3 D ．192π cm 2【答案】C【解析】当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π× ⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192π(cm 3)． (2)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋23C ．2π＋233D ．4π＋233【答案】C【解析】该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.反思感悟 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练1 (1)正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96 【答案】B(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【答案】20π3【解析】根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱． 故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝20π3(m 3)．题型二 球的体积例2 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为________． 【答案】6πa 3【解析】长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ，得球的半径为62a ，V ＝43π⎝⎛⎭⎫62a 3＝6πa 3. (2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3 cm 3【答案】A【解析】作出该球轴的截面如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．反思感悟 (1)求球的体积，关键是求球的半径R .(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．跟踪训练2 (1)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( ) A ．12π cm 3 B ．36π cm 3 C ．646π cm 3 D ．108π cm 3【答案】B【解析】设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示．在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ， OO 1＝2 cm ，∴球的半径R ＝OA ＝22＋(5)2＝3(cm)， ∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3)．(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，求该球的体积． 解 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a . 如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R 满足R 2＝OA 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2， 所以R ＝723a ，所以V 球＝43πR 3＝72154a 3.题型三 几何体体积的求法 命题角度1 等体积法例3 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，求三棱锥A －DED 1的体积．解 1A DED V 三棱锥－ ＝1E DD A V 三棱锥－＝13×12×1×1×1＝16. 反思感悟 (1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积． (2)利用等体积法可求点到平面的距离．跟踪训练3 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求点A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵1A ABD V －＝1A A BD V － ，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d ，∴d ＝33a . 命题角度2 割补法例4 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．解 如图，连接EB ，EC .四棱锥E －ABCD 的体积 V 四棱锥E －ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF ，∴V 三棱锥F －EBC ＝V 三棱锥C －EFB ＝12V 三棱锥C －ABE ＝12V 三棱锥E －ABC＝12×12V 四棱锥E －ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E －ABCD ＋V 三棱锥F －EBC ＝16＋4＝20.反思感悟 当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积． 跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.课堂小结1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面．2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题. 达标检测1.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34【答案】D【解析】V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.2．一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A ．64π B.64π3 C ．32π D.32π3【答案】D【解析】设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 3．现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( ) A ．0.6 cm B ．0.15 cm C ．1.2 cm D ．0.3 cm【答案】A【解析】设杯里的水下降h cm ， 由题意知π⎝⎛⎭⎫2022h ＝13×20×π×32， 解得h ＝0.6 cm.4．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3C ．64πD ．1282π【答案】A【解析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r . 由题意知，l ＝2r ，① S 侧＝πrl ＝162π，② 由①②可得r ＝4，l ＝42， V 圆锥＝13πr 2h ＝π3r 2l 2－r 2＝643π.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．【答案】16π－16【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.。
高中数学必修二教案-1.1.7 柱、锥、台和球的体积1-人教B版
多面体与球一、教学目标1.知识与技能：初步理解多面体与球的结构特征和几何性质。
2.过程与方法：利用类比、联想等方法，让学生掌握解决多面体与球的相关问题。
3.情感、态度与价值观：培养学生空间想象能力和抽象概括能力。
二、教学重点，难点重点：明确多面体与球的切点和接点位置，有关元素间的数量换算。
难点：确定多面体与球的球心位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图。
三、学法与教学用具1.学法：观察，思考，交流，讨论，概括。
2.教学用具：教学一体机，PPT课件。
四、教学过程1.引入：高三总复习进入第二阶段，针对高考考题做专题复习巩固，立体几何是高考中重要模块，其中几何体与球的问题属难题类型，本节课我们共同探求一些解题方法。
2.方法介绍：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图。
3.例题讲解：、（一）内切问题(1)正方体与内切球。
例1：正方体棱长为，其内切球表面积为。
(2)正四棱锥与内切球。
例2：正四棱锥P-ABCD底面边长为6，内切球半径为1，则四棱锥的高为。
(3)正四面体与内切球。
例3：正四面体棱长为，其内切球体积为。
（二）外接问题(1)长方体与外接球。
例4：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=5，BD=12，外接球体积为。
(2)三棱锥与外接球。
例5：三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球体积为。
3454.经验总结：学生独立总结方法，写出体会。
5.作业布置：类比本节课多面体与球的问题及解题方法，预习旋转体与球的问题。
（1）圆柱与内切球体积之比为。
（2）圆柱与外接球，球半径为1，圆柱地面圆半径为，圆柱与外接球体积之比为。
高中数学1.1.7 柱、锥、台和球的体积教学设计
柱、锥、台和球的体积教学设计课题柱、锥、台和球的体积课型新授课教学目标知识与技能：掌握柱、锥、台和球的体积公式．过程与方法：通过本节学习，能运用公式求解柱、锥、台和球的体积情感态度与价值观：通过本节学习，增强学生的立体感觉与空间想象能力，增强探索问题的兴趣与好奇心学情分析本节课是必修二第一章的最后一节，学生在之前学习中已经对空间几何体的棱柱、棱锥、棱台，和圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征及性质有所了解，并且能够运用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式解决问题，这都为本课的学习打下了基础，学生对柱锥台球的体积公式有较强的学习兴趣。
重难点柱体、锥体、台体和球的体积计算教具多媒体环节教学过程师生活动设计意图旧知回顾复习长方体体积公式长方体的体积等于它的长、宽、高的积．V长方体= abc长方体的体积等于它的底面积S和高h的积V长方体= Sh学生思考回答回顾必要的基础知识导入演示教师将一摞本放在桌面上，改变这摞本的形状，引导学生观察，改变前后高度是否发生变化，每个本的面积是否发生变化，整个形状的体积是否发生变化学生观察教师演示激发学生学习兴趣．新知探究一、柱体的体积定理：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积．V Sh=柱体推论：底面半径为r，高为h圆柱的体积是V圆柱= πr2h例 1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比二、锥体的体积如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.问:从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？学生类比推理学生解答学生观察思考归纳结论提高学生的计算能力进一步巩固体积公式推出锥体体积公式提高学生类比学习能力。
1.1.7柱、锥、台和球的体积课件人教新课标B版
事实上，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平 行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个 截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
P
Q
祖暅原理
祖暅ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理:幂势既同，则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体 积相等。
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积 公式的基础和纽带，原理中含有三个条 件:
条件一是两个几何体夹在两个平行平 面之间；
条件二是用平行于两个平行平面的任 何一平面可截得两个截面；
总 条件三是两个截面的面积 相等，这三
个条件缺一不可，否则结论不成立.
名人博览
祖暅
祖冲之
祖暅，祖冲之之子，美满解决了球面积的计算问题， 得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作， 提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若 其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等， 这就是著名的“祖暅原理” （或刘祖原理）。祖暅应 用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该 原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利 发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的儿子祖皓，续 传家学，后来也成了数学家。
S球 4R2
1 V球 3 S球R
例4.如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm） 试计算这个奖杯的体积
2 3
2 3
1
1
2
4
4
4
课堂小结
1、知识： （1）祖暅原理
（2）柱、锥、台和球的体积
2、方法：
类比 转化
当堂检测
1. 一个正方体的棱长为1，它的各个顶点都 在同一个球面上，求该球的体积。
2．如图，是一个几何体的三视图，则该 几何体的体积为 ( )
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1.1.7柱、锥、台和球体积【目标要求】1.理解柱、锥、台体积的求法2.了解球体积公式【巩固教材——稳扎马步】1.一个正方体的体积是343cm 3，它的全面积是( )A.42cm 2B.196cm 2C.294cm 2D.392cm 22．一个长方体长宽高的长为1∶2∶3，表面积为198，这个长方体体积为（ ） A.1622 B.162 C.812 D.813、正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，则四面体A ABD 1-的体积为（ ） 61)(41)(31)(21)(D C B A 4.圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( ) A.π361⎪⎭⎫ ⎝⎛ B. π32191⎪⎭⎫ ⎝⎛ C. π341⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. π3412⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【重难突破——重拳出击】5.正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C ＝3cm ，它的全面积是16cm 2，它的体积是( )A.4cm 3B.27112 cm 3C.4cm 3或27112cm 3D.4cm 3或2732cm 3 6.已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为( )A.2∶1B.2∶1C.1∶(2-1)D.1∶(32-1) 7.已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系为( )A.S 1＞S 2＞S 3B.S 1＜S 3＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 38. 半球形碗内盛满了水，若将碗口平面倾斜30°，则碗内溢出的水的体积是原来水的体积的( ) A. 516 B. 1116 C.38 D.11129. M 是正四面体内切球心，平面α过M 且与四面体的一个面平行，α把原四面体截为两部分，这两部分中，较小部分的体积与较大部分的体积之比是 ( )A ．1∶3B ．8∶19C ．1∶2D ．27∶3710.两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是 .11.圆柱的底面面积为Q ，轴截面面积为P ，则此圆柱的体积为 。
2012年高中数学最新资料1.1.7柱锥台和球的体积1教案新人教B版必修2
第一章 立体几何初步
第1.1.7节柱、锥、台和球的体积
教学过程：
（一） 由上节祖暅原理所述知球的体积公式33
4R V π=
（二） 例子
1、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角，在容器内放入一个半径为R 的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是[ ]
2、如果球的体积是V 球，它的外切圆柱的体积是V 圆柱，外切等边圆锥的体积是V 圆锥，那么这三个几何体体积之比是____
3、图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。
在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的32 ，球的表面积也是圆柱全面积的3
2. 解：设圆的半径为R ，球的体积与圆柱的体积分别为V 球及V 柱 ，球的表面积与圆柱的全面积分别为S 球及S 柱，则有
S 柱=侧面积+上下底面积
注：这个发现是阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个
课堂练习：教材第32页 练习A3
小结：本节课应了解：球的体积计算公式
课后作业：教材第32页习题1-1A：11.
板书设计
球体积公式练习小结例题作业。
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1.1.7柱、锥、台和球体积【目标要求】1.理解柱、锥、台体积的求法2.了解球体积公式【巩固教材——稳扎马步】1.一个正方体的体积是343cm 3，它的全面积是( )A.42cm 2B.196cm 2C.294cm 2D.392cm 22．一个长方体长宽高的长为1∶2∶3，表面积为198，这个长方体体积为（ ） A.1622 B.162 C.812 D.813、正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，则四面体A ABD 1-的体积为（ ） 61)(41)(31)(21)(D C B A 4.圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( ) A.π361⎪⎭⎫ ⎝⎛ B. π32191⎪⎭⎫ ⎝⎛ C. π341⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. π3412⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【重难突破——重拳出击】5.正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C ＝3cm ，它的全面积是16cm 2，它的体积是( )A.4cm 3B.27112 cm 3C.4cm 3或27112cm 3D.4cm 3或2732cm 3 6.已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为( )A.2∶1B.2∶1C.1∶(2-1)D.1∶(32-1) 7.已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系为( )A.S 1＞S 2＞S 3B.S 1＜S 3＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 3 8. 半球形碗内盛满了水，若将碗口平面倾斜30°，则碗内溢出的水的体积是原来水的体积的( ) A. 516 B. 1116 C.38 D.11129. M 是正四面体内切球心，平面α过M 且与四面体的一个面平行，α把原四面体截为两部分，这两部分中，较小部分的体积与较大部分的体积之比是 ( )A ．1∶3B ．8∶19C ．1∶2D ．27∶3710.两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是 .11.圆柱的底面面积为Q ，轴截面面积为P ，则此圆柱的体积为 。
高中数学人教B版必修二教案1.1.7柱锥台和球的体积
人教B版数学必修2：柱、锥、台和球的体积一教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学过程：（一）祖暅原理：祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年．祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献．祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》．他推导球体积公式的方法非常巧妙．根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：作一个几何体V1．底面OABC是一个正方形，边长为r(图218)．高取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积a2=r2h2．另取一个边长为r的正方体V2(图219)，连结O′D′，O′C′，O′A′，锥体O′A′B′C′D′记作V3，V2V3是正方体O′D′挖去锥体O′A′B′C′D′剩下的几何体．下面来证明V1=V2V3．设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形P′TS′M，面积等于r2，截V3的截面是正方形Q′TR′N，面积等于h2(因为Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面积等于r2h2．比较V1与V2V3在等高(h)处的截面，它们的面积都是r2h2，因此体积相等，即V1=V2V3．祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．”“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等．这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．积为V4(是未知数)．和V1比较，在高h处的截面积C″EF是以a为半祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches ，Prinzip)．卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年． （二）长方体的体积Sh V = （三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：Sh V =（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等 （五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥故锥体的体积为Sh V 31=（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式h S SS S V )''(31++= （七）例子：(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为 [ ](2)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G，则棱锥BEFG的体积是平行六面体体积的[ ](3)如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为[ ]棱锥的体积是[ ](5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V1，内切切圆柱体积为V2，则[ ]A．V1∶V2=∶1 B．V1∶V2=2∶1C．V1∶V2=4∶1 D．V1∶V2=8∶1课堂练习：小结：本节课应了解：祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式课后作业：教材第34页习题11A：7、8.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.1.7 柱、锥、台和球的体积》
柱锥台和球的体积教学设计根据本节课的特点，新课程标准对本节课的教学要求和学生身心发展的合理需要我从三个不同方面确定了以下教学目标。
知识与技能：1理解组更原理。
2利用组更原理推导出柱体锥体和台体的体积公式，并掌握公式。
推导中涉及到的数学思想。
3正确运用体积公式解决简单的体积问题。
过程与方法：在长方体体积公式和祖暅原理的基础上推出柱、锥的体积公式，进而推出台体体积公式。
最后合作探究，通过观察实验视频，让学生猜想球的体积公式，并根据所学的祖暅原理推导球的体积公式。
情感态度与价值观：1通过对组更原理的学习，使学生了解我国古代数学家的突出成就让学生受到爱国主义教育，激发学生热爱科学提高学习数学的兴趣。
2二通过柱锥台球体体积公式的推导过程培养学生理论联系实际的良好思维，习惯渗透辩证的唯物主义观点。
教学重点：1棱柱、棱锥和台的体积公式的推导方法2柱、锥、台和球的体积公式的应用教学难点：（1）对祖暅原理的理解（2）球体积公式的推导学情分析：省实验的学生数学基础好，能力强，口表能力非常好，故加大了学生在思维难度上的训练学生在本节课前通过导学案对本节内容进行了自主学习。
环节一问题引入：大屏幕展示数学家祖冲之的画像，提出问题祖冲之最大的贡献是什么？学生回答：提出了圆周率π。
老师总结：其实祖冲之还有另外一个更大的贡献就是：他培养了一位同样杰出儿子——数学家祖暅。
大屏幕展示祖暅，让同学站起来介绍组更的生平。
问题一：组更原理的内容？问题二：如何理解组更原理？问题三：你认为这段文字中有哪些词是关键词？环节二：教师点题这节课我们就在组更原理的基础上再认识柱锥台和球的体积公式。
问题四：长方体的体积公式？问题五：柱体、椎体、台体的体积公式？问题六：你能解释一下，为什么柱体体积公式与长方体体积公式相同呢？大屏幕展示上图，学生回答后，用几何画板演示动画，便于学生更好地理解祖暅原理问题七：锥体体积公式，又是如何获得的？实物展示，几何画板动画展示，以便于学生理解问题八：你能试着推导一下台体的体积公式吗？展示学生学案，讲评台体体积的推导过程问题九：观察柱锥台体的体积公式，你能发现这些公式之间有什么样的内在联系吗？通过观察动画，让学生更好地理解柱锥台的体积公式之间的联系。
数学人教B2教案：1.1.7 柱、锥、台和球的体积含解析
示范教案错误!教学分析本节教材介绍了祖暅原理,并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式．利用柱体体积推导出了锥体和台体的体积．直接给出了球的体积公式．值得注意的是教学重点放在体积的计算和应用，尽量在体积公式的推导上少“纠缠”．三维目标1．掌握柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的探究能力．2．能够利用体积公式解决有关应用问题，提高学生解决实际问题的能力．重点难点教学重点:体积的计算和应用．教学难点：体积公式的推导．课时安排1课时错误!导入新课设计1.我们在初中的学习中已经会根据长方体的长、宽、高来计算长方体的体积了,那么，棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台的体积如何计算呢？设计2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的，真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑,塔底边长230。
4米，塔高146.6米，假如知道每块石块的体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？推进新课错误!错误!1回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗?并依次类比出柱体的体积公式？，2比较柱体、锥体、台体的体积公式:，V柱体＝Sh S为底面积，h为柱体的高;,V锥体＝13Sh S为底面积，h为锥体的高；，V台体＝错误!S＋\r(SS′）＋S′h S′、S分别为上、下底面积，h为台体的高.，你能发现三者之间的关系吗?柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊"形式?讨论结果:（1）棱长为a的正方体的体积V＝a3＝a2a＝Sh；长方体的长、宽和高分别为a、b、c,其体积为V＝abc＝(ab）c ＝Sh;底面半径为r高为h的圆柱的体积是V＝πr2h＝Sh，可以类比,一般的柱体的体积也是V＝Sh，其中S是底面面积，h 为柱体的高．圆锥的体积公式是V＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）,它是同底等高的圆柱的体积的错误!。
高中数学 1.1.7 柱、锥、台和球的体积(2)学案 新人教B版必修2(1)
1.1.7 柱、锥、台和球的体积(2)自主学习学习目标1．了解球的体积公式．2．会计算简单组合体的体积．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．自学导引1．球的表面积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍．2．球的体积 设球的半径为R ，则球的体积V ＝__________.对点讲练知识点一 球的体积和表面积的计算例1 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16πC.16π3D.64π3(2)一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为( )A.100π3cm 3B.208π3cm 3C.500π3cm 3 D.41613π3cm 3点评 遇到球的表面积及体积的有关计算问题时，我们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置和半径，只要这两点确定了，那球的表面积及体积问题就会迎刃而解． 变式训练1 球的截面把垂直于截面的直径分成1∶3的两段，若截面圆半径为3，则球的体积为( )A ．16πB.16π3C.32π3D ．43π知识点二 有关几何体的外接球与内切球问题例2 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．点评解决与球有关的组合问题，可通过画过球心的截面来分析，并注意组合体中半径与相关几何体的关系：①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．变式训练2 有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．知识点三综合应用例3有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．点评在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体几何问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．变式训练3 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.课时作业一、选择题1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A．144π，144πB．144π，36πC．36π，144πD．36π，36π2．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A．8∶27 B．2∶3C．4∶9 D．2∶93．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A．1倍B．2倍 C.95倍 D.74倍4．四面体ABCD中，公共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，6，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A．3二、填空题5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为______．6．一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是________．7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．三、解答题8．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇凌，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇凌的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇凌融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？9．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．【答案解析】 自学导引1．4πR 24 2.43πR 3对点讲练例1 (1)B [设球的半径为R ， 则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，R ＝2.∴球的表面积S ＝4πR 2＝16π.](2)C [由球的性质知，球的半径R ＝32＋42＝5，∴V 球＝4π3×53＝500π3(cm 3)．]变式训练1 C [设直径被分成的两段为x,3x ；则球心O 到截面的距离为x ，球半径为2x ， 由勾股定理得：x 2＋(3)2＝(2x)2，x ＝1，球半径为2，所以V ＝43π·23＝323π.]例2解 方法一 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么CC′＝a ，OC ＝2a 2. 在Rt△C′CO 中，由勾股定理，得CC′2＋OC 2＝OC′2， 即a 2＋(2a 2)2＝R 2，所以R ＝62a. 从而V 半球＝23πR 3＝23π(62a)3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2. 方法二 将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a ，球的半径为R ，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a 2＋a 2＋(2a)2，即4R 2＝6a 2，所以R ＝62a. 从而V 半球＝23πR 3＝23π(62a)3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2. 变式训练2 解 设正方体的棱长a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)， 2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上知S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.例3 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面． 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r－43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V′＝13π·(33h)2·h＝19πh 3， 由V ＝V′，得h ＝315r. 变式训练3 解(1)如图，作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O，而⊙O 1内切于△ABC. 设⊙O 的半径为R ，由题意得 43πR 3＝972π. ∴R 3＝729，∴R＝9，∴CE＝18. 已知CD ＝16，∴ED＝2.连接AE ，∵CE 是直径，CA⊥AE，CA 2＝CD·CE＝16×18＝288，∴CA＝12 2.∵AB⊥CD，∴AD 2＝CD·DE＝16×2＝32， ∴AD＝42.∴S 圆锥侧＝π·42·122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，∵△ABC 的周长为2×(12 2＋42)＝322， ∴12r·322＝12×82×16，∴r＝4. ∴内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.课时作业1．D2．C [设这两个球的半径分别是r ，R ，则4π3r 34π3R 3＝827，所以r R ＝23，则这两个球的表面积之比为4πr 24πR 2＝(r R )2＝49.]3．C [设最小球的半径为r ，则另两个球的半径分别为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2.所以36πr 24πr 2＋16πr 2＝95.]4．D [此外接球的直径即为以1，6，3为长、宽、高的长方体的体对角线，即2R ＝1＋6＋9＝4.∴R＝2，S 球＝4πR 2＝16π.] 5．12π 解析 设球的半径为R ，则43πR 3＝43π，∴R＝ 3.∴S 球＝4πR 2＝12π.6．576π cm 2解析 球的体积等于以16 cm 为底面半径，高为9 cm 的圆柱的体积，设球的半径为R ，所以43πR 3＝π·162·9，解得R ＝12，所以S 球＝4πR 2＝576π(cm 2)．7．2πa 2解析 气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长2a ，则此时气球的半径r ＝22a ， 则表面积为4πr 2＝4π×(22a)2＝2πa 2. 8．解 要使冰淇凌融化后不会溢出杯子， 则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h.依题意：13π×42×h≥12×43π×43，解得h≥8.即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇凌融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时， 制造的杯子最省材料． 9．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球． (1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)． (2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.1.7 柱、锥、台和球的体积》4
一、教材分析本节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积和表面积以后，在小学、初中学过正方体和长方体体积公式的基础上，引入并研究柱、锥、台和球的体积公式。
其中柱体的体积是基础，并且由柱体体积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积；而有球的体积公式只要求记忆公式并会应用即可，不需要掌握其推导过程。
柱、锥、台和球的体积是立体几何的重要内容，对体积计算的要求和前面表面积计算的要求是一样的，都是历年高考的重点。
通过本节知识的学习，既要使学生知道这几种空间几何体体积的公式，又要让学生知道这些公式是怎么得出的。
柱、锥、台这三种几何体的体积公式的推导是教学中的重中之重。
通过对“祖暅原理”的学习，使学生了解我国古代数学家在这方面做出的突出成就，受爱国主义教育，激发学生热爱科学，提高学习数学的兴趣。
二、学情分析对于体积这一内容，学生早在小学就有了初步认识，如长方体的体积公式。
但如何推导柱、锥、台体体积是目前的重要任务，三种几何体的体积公式的推导有着密切的联系，学习时要不断强化三者之间的关系，强化借助用已知来研究未知这种探索问题的一般性的研究方法。
柱体、锥体体积公式的推导的理论基础是“祖暅原理”，为此，必须将祖暅原理要求的三个条件落实到位，只有这样，棱柱、圆柱与长方体之间的体积转化以及一般棱锥与三棱锥之间的体积转化才能水到渠成。
三棱锥体积公式的推导是本节的重点，也是难点，要充分利用多媒体，通过课件演示，生动形象地表现三棱锥与三棱柱体积之间的关系，让学生充分体会“割补变换”这一数学思想。
最后，利用台体的定义，并紧扣台体与锥体的关系，求出台体的体积。
三、教情分析本节内容是帮助学生逐步形成空间想象能力不可缺少的一部分内容，本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，有利于巩固和提高前面学过的有关知识的理解，引导学生去思考，参与知识获得的过程，帮助学生巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，培养学生的应用意识和整体性思维，丰富学生的空间想象能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
人教新课标版数学高一- 人教B版必修2学案 1.1.7 柱、锥、台和球的体积(1)
1.1.7 柱、锥、台和球的体积(1)自主学习学习目标1．了解柱、锥、台的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题．2．结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度．自学导引1．祖暅原理(1)祖暅原理：____________，则积不容异，这就是说，夹在两个________平面间的两个几何体，被__________这两个平面的________平面所截，如果截得的两个截面的面积总________，那么这两个几何体的体积相等．(2)应用祖暅原理可以说明：等__________、等______的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱、锥、台、球的体积(1)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝______.底面半径是r，高是h 的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝__________.(2)如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝__________.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝__________.(3)如果一个台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么它的体积是V台体＝__________________.如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝________________.对点讲练知识点一求台体的体积例1已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是 6 cm，试求该三棱台的体积与表面积．点评在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．变式训练1一个正四棱台的斜高为12 cm，侧棱长为13 cm，侧面积为720 cm2，求它的体积．知识点二求锥体的体积例2三棱锥的顶点为P，已知三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，若PA＝2，PB ＝3，PC＝4.求三棱锥P－ABC的体积．点评三棱锥又称四面体，由于它的每一个面均可作为棱锥的底面，因此，灵活性较大，通过变换底面与对应的顶点，找出较易求出面积的底面和对应的高，从而求出体积，这种方法又称等体积变换．变式训练2已知正三棱锥P－ABC(如图所示)，侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，AB ＝2，求此三棱锥的体积．知识点三综合应用例3已知正三棱锥V—ABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积与体积．点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．变式训练3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋2331．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h(S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh.课时作业一、选择题1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233πB ．23πC.736πD.733π2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192πcm 3D ．192π cm 33．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是( )A.14B.14－12πC.18D.12π－185．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题 6．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________． 7．如图所示，在长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3.分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝VAEA 1—DFD 1，V 2＝VEBE 1A —FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B —C 1F 1C ，若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，则截面A 1EFD 1的面积为________．三、解答题8．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.【答案解析】 自学导引1．(1)幂势既同 平行 平行于 任意 相等 (2)底面积 高2．(1)Sh πr 2h (2)13Sh 13πr 2h(3)13h(S ＋SS ′＋S ′) 13πh(r 2＋rr ′＋r ′2)对点讲练 例1 解如图所示，O ′、O 分别是上、下底面的中心，连接OO ′、O ′B ′、OB ，在平面BCC ′B ′内过B ′作B ′D ⊥BC 于D ，在平面BOO ′B ′内作B ′E ⊥OB 于E.∵△A ′B ′C ′是边长为2的等边三角形，O ′是中心， ∴O ′B ′＝23×2×32＝233，同理OB ＝433，则BE ＝OB －O ′B ′＝233.在Rt △B ′EB 中，BB ′＝6，BE ＝233，∴B ′E ＝423，即棱台高为423cm. 所以三棱台的体积为V 棱台＝13×423(34×16＋34×4＋34×16×34×4) ＝7143(cm 3)． 由于棱台的侧面是等腰梯形，∴BD ＝12×(4－2)＝1.在Rt △B ′DB 中，BB ′＝6，BD ＝1， ∴B ′D ＝5，即梯形的高为 5 cm. 所以棱台的表面积S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧 ＝34×4＋34×16＋3×12×(2＋4)× 5 ＝53＋9 5 (cm 2)．所以棱台的表面积是(53＋95) cm 2， 体积是7143cm 3.变式训练1 解 设该棱台的上、下底面边长分别为b 和a ，高为h ，斜高为h ′，侧棱长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 侧＝12(4a ＋4b )·h ′l 2＝h ′2＋[12(a －b )]2h ′2＝h 2＋[12(a －b )]2.∵h ′＝12，l ＝13，S 侧＝720，∴⎩⎪⎨⎪⎧720＝12×4(a ＋b )×12132＝122＋14(a －b )2122＝h 2＋14(a －b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝20b ＝10h ＝119，∴V 正四棱台＝13×119×(202＋20×10＋102)＝7003119(cm 3)， 即此四棱台的体积为7003119 cm 3.例2 解 如图，在长方体中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，显然AP ⊥平面BPC.∴AP 是三棱锥A －PBC 的高． ∵S △BPC ＝12·BP·PC＝12×3×4＝6， ∴V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥A －PBC ＝13S △BPC ·AP ＝13×6×2＝4.变式训练2解 ∵三棱锥P －ABC 为正三棱锥，∴△ABC 为正三角形， PA ＝PB ＝PC ，∵侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直， 且AB ＝2，∴可建立如图所示的正方体， 则PA ⊥平面PBC ，PA ＝PB ＝PC ＝1. ∴V ＝13Sh ＝13S △PBC ·PA＝13×12×1×1×1＝16. 例3 解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝23，取BC 的中点D ，连接VD ， 则VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V —ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)．点V 在底面ABC 上的射影为H ，则A ，H ，D 三点共线，VH 即为三棱锥V —ABC 的高， VH ＝VD 2－HD 2＝VD 2－⎝⎛⎭⎫13AD 2＝(13)2－12＝23，∴V V —ABC ＝13S △ABC ·VH ＝13×33×23＝6，所以正三棱锥的体积是6. 变式训练3 C课时作业 1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．224π 解析如图为圆台的轴截面，设圆台上、下底半径及圆台的高分别为x,4x,4x ，则在三角形ABC 中，AC ＝4x ，BC ＝4x －x ＝3x ，AB ＝10，由于AB 2＝AC 2＋BC 2，∴16x 2＋9x 2＝25x 2＝100，∴x ＝2，从而可知圆台的上、下底面半径及高分别为2,8,8. ∴圆台的体积V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h＝13(π×22＋π×22×π×82＋π×82)×8＝224π. 7．413解析 本题主要考查棱柱的概念和棱柱的体积公式．长方体体积为72，则VAA 1E —DD 1F ＝12，∴S △AA 1E ＝3，∴AE ＝2.∴A 1E ＝13，∴S 矩形A 1EFD 1＝413. 8．解 (1)直观图如图所示．(2)方法一 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1， 则AA 1EB 是正方形， ∴AA 1＝BE ＝1.在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1， ∴BB 1＝ 2.∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝7＋2(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)，∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.方法二 几何体可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一， V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)． ∴几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.9．解 (1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高PO ＝4，O 点是AC 与BD 的交点．∴该几何体的体积V ＝13×8×6×4＝64. (2)如图所示，侧面PAB 中，PE ⊥AB ，则PE ＝PO 2＋OE 2＝42＋32＝5，∴S △PAB ＝12×AB ×PE ＝12×8×5＝20， 侧面PBC 中，PF ⊥BC ，则PF ＝PO 2＋OF 2＝42＋42＝4 2.∴S △PBC ＝12×BC ×PF ＝12×6×42＝122， ∴该几何体的侧面积S ＝2(S △PAB ＋S △PBC )＝40＋24 2.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教B版必修2
1.1.7 柱、锥、台和球的体积[学习目标] 1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.[知识链接]1.长宽高分别为a 、b 、c 的长方体的表面积S ＝2(ab ＋bc ＋ac )，体积V ＝abc .2.棱长为a 的正方体的表面积S ＝6a 2，体积V ＝a 3.3.底面半径为r ，母线长为l 的圆柱侧面积S 侧＝2πrl ，表面积S ＝2πrl ＋2πr 2. 4.底面半径为r ，母线长为l 的圆锥侧面积S 侧＝πrl ，表面积S ＝πr 2＋πrl . [预习导引] 1.祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.” (2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.2.柱、锥、台、球的体积其中S ′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r ′和r 分别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径.要点一 柱体的体积例1 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8－2πB.8－πC.8－π2D.8－π4答案 B解析 这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.跟踪演练1 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 4解析 此几何体是两个长方体的组合，故V ＝2×1×1＋1×1×2＝4. 要点二 锥体的体积例2 如图三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC ，三棱锥B －A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比.解 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.规律方法 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.跟踪演练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，由题意知AA 1为三棱锥的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵VA 1－ABD ＝VA －A 1BD ，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a . 要点三 台体的体积例3 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2.求正四棱台的体积.解 如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高.设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形，由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－OE －O 1E 12＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3).故正四棱台的体积为2 800 cm 3.规律方法 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.跟踪演练3 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该棱台的体积.”解 如图，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝2cm ，OB ＝22cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt△BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝2(cm).根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－22＝2(cm).S 上＝22＝4(cm 2)， S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝283 2(cm 3). 要点四 球的体积例4 过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球的半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积.解 如图，设过A 、B 、C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝33AB ＝3(cm). 设OA ＝R ，则OO ′＝12R ，∵OO ′⊥截面ABC ，∴OO ′⊥AO ′， ∴AO ′＝32R ＝3(cm)，∴R ＝2 cm ， ∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2).即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.规律方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.跟踪演练4 如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍答案 C解析 半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的半径为3x ，其体积为43π×(3x )3，其余两个球的体积之和为43πx 3＋43π×(2x )3，∴43π×(3x )3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤43πx 3＋43πx3＝3.1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48答案 D解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x ，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2.∴三条棱长分别为2、4、6. ∴V 长方体＝2×4×6＝48.2.一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3C.32πD.323π 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A.π B.2π C.4π D.8π答案 B解析 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.4.如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1ACD 的体积是( )A.16B.13 C.12 D.1答案 A解析 三棱锥D 1ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.1.计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面.例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面.2.在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题.。
高中数学1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积学案新人教B版必修2
1.1.7 柱、锥、台与球体积1．了解柱、锥、台与球体积计算公式(不要求记忆公式)．2．理解柱、锥与台体积公式推导，并知道“祖暅原理〞在解决体积问题中重要作用．1．祖暅原理及应用(1)祖暅原理．幂势既同，那么积不容异．这就是说，夹在________两个几何体，被__________任意平面所截，如果截得两个截面面积________，那么这两个几何体体积______．(2)祖暅原理应用．________、________两个柱体或锥体体积相等．“祖暅原理〞充分表达了空间与平面问题相互转化思想方法，这一原理是推导柱、锥、台与球体积公式根底与纽带．【做一做1】一斜棱柱底面积为S，上下两底面间距离为h，那么利用祖暅原理可知此斜棱柱体积为__________．2．柱、锥、台体积其中S′，S分别表示上，下底面面积，h表示高，r′与r分别表示上、下底面圆半径.柱体、锥体、台体体积有如下关系：【做一做2－1】在棱长为1正方体上，分别用过共顶点三条棱中点平面截该正方体，那么截去8个三棱锥后，剩下几何体体积是( )．A ．23B ．76C ．45D ．56【做一做2－2】用半径为R 半圆卷成一个圆锥，这个圆锥体积是( )．A ．324πR 3B ．38πR 3 C ．524πR 3 D ．58πR 3 【做一做2－3】有一个几何体三视图及其尺寸如图：那么该几何体体积为__________，外表积为__________．3．球体积V 球＝________，其中R 为球半径．【做一做3】充满氢气气球飞艇可以供游客旅行．现有一个飞艇，假设它半径扩大为原来4倍，那么它体积增大到原来( )．A ．4倍B ．8倍C ．64倍D ．16倍1．割补法在空间几何中应用剖析：试用割补法探究以下问题：(1)用割补方法说明斜三棱柱体积等于等底等高三棱锥体积三倍；(2)在斜棱柱中，我们把与侧棱垂直截面称作斜棱柱直截面．试说明斜棱柱侧面积等于直截面周长与侧棱长乘积；斜棱柱体积等于直截面面积与侧棱长乘积．(1)中关键在于要说明如何去找截面，为什么如图①所示所截得三个三棱锥体积是相等，这里用了这样一个结论：假设一条线段与平面相交且交点是线段中点，那么这条线段两个端点到这个平面距离相等．如图②所示点A 1与点C 到截面ABC 1距离相等．(2)如图③，从割补过程中，我们不难发现在割补前后其斜棱柱每个侧面上相当于将一个平行四边形割补成一个矩形，因而侧面积没有变化，体积也没有发生变化．在解题中使用体积公式时一定要注意棱锥与棱台体积公式中都有个13.三棱锥是一种比拟特殊棱锥，在求体积时可以根据条件适当转换顶点以到达简化运算目，根据这一思想还可以求一些简单距离问题．2．由锥体体积可得到台体体积剖析：利用锥体与台体联系，用平行于底面平面截锥体，截面与底面之间局部是台体，结合锥体体积公式即得台体体积公式．如下图，设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S ′，S ，高是h ，设截得台体时去掉锥体高是x ，那么截得这个台体锥体高是h ＋x ，那么V 台体＝V 大锥体－V 小锥体＝13S (h ＋x )－13S ′x ＝13[Sh ＋(S －S ′)x ]，而S ′S＝x 2h ＋x 2，所以S ′S ＝x h ＋x， 于是有x ＝S ′h S －S ′，代入体积表达式，得V 台体＝13h ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤S ＋S －S ′S ′S －S ′＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．棱锥、圆锥截面(平行于底面截面)有如下性质：S 小锥底S 大锥底＝S 小锥侧S 大锥侧＝S 小锥全S 大锥全＝对应线段比平方； V 小锥V 大锥＝对应线段比立方. 题型一 有关柱体体积问题【例1】一个圆柱去掉两个底面，沿任一条母线割开，然后放在平面上展开后得到平面图形(我们叫圆柱侧面展开图)是一个矩形，它对角线长为m ，对角线与底边成α角⎝⎛⎭⎪⎪⎫0<α<π2，求圆柱体积． 分析：(1)圆柱侧面展开图是一个矩形；(2)矩形对角线长为m ，对角线与底边成α角．解答此题可先明确展开前图形与展开后图形中量与量之间关系，再画图求解．反思：对于几何体侧面展开图问题，要注意展开前后“变〞与“不变〞．对此题而言，为了求体积要抓住关键元素，即圆柱底面半径、高．题型二 有关锥体体积问题【例2】一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥体积．分析：求三棱锥体积时需确定其底面与高，由于正三棱锥底面边长，可确定正三棱锥底面面积，这样可容易求出其体积．反思：在正三棱锥有关计算中，像Rt△SHA，Rt△SHE，Rt △SEB等是非常有用，它们联系了正三棱锥侧棱长、底面边长、高、底面正三角形外接圆半径、内切圆半径等．题型三有关台体体积问题【例3】圆台上底面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台侧面积与体积各是多少？分析：在此题中要求圆台体积必须先求出圆台高，通过作轴截面可以得到等腰梯形，进一步可以得到矩形ABCO与直角三角形BCD，利用它们可以方便地解决本问题．反思：在多面体与旋转体中有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱锥中计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥高、斜高以及斜高在底面上投影构成直角三角形，或者由棱锥高、侧棱以及侧棱在底面上投影构成直角三角形；对于棱台往往要构造直角梯形与直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．题型四有关球体体积问题【例4】设A，B，C，D是球面上四个点，且在同一平面内，AB＝BC＝CD＝DA＝3，球心到该平面距离为球半径一半，那么球体积为( )．A ．86π B．646π C．242π D．722π反思：旋转体问题要注意画轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题，利用平面图形性质加以解决．题型五 易错辨析【例5】如下图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，假设E ，F 分别为AB ，AC 中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2两局部，那么V 1∶V 2＝__________.错解：由可知几何体AEF －A 1B 1C 1是三棱台，几何体C 1B 1－EFCB 是四棱锥．设三棱柱底面积为S ，高为h ，那么由锥、台体积公式可得，V 1＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ， V 2＝13h ·34S ＝14Sh . ∴V 1∶V 2＝712Sh ∶14Sh ＝7∶3. 错因分析：几何体C 1B 1－EFCB 不是一个规那么几何体，而错解中将其看成锥体了．1(2021·福州高一期末)假设一个球外表积为4π，那么这个球体积是( )．A ．π3B ．43πC ．83π D．323π 2(2021·浙江名校第一次联考)某几何体三视图如下图，那么该几何体体积为( )．A ．6B ．163C ．143D ．4 3圆台轴截面等腰梯形腰长为a ，下底边长为2a ，对角线长为3a ，那么这个圆台体积是( )．A ．734πa 3B ．7123πa 3C ．783πa 3D ．7324πa 34正四棱台斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm 3，那么棱台高为__________．5根据图中标出尺寸，求各几何体体积．答案：根底知识·梳理1．(1)两个平行平面间 平行于这两个平面 总相等 相等 (2)等底面积 等高【做一做1】Sh【做一做2－1】D 截去每个小三棱锥体积为12×12×12×12×13＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124，那么剩余局部体积V ＝1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124×8＝1－16＝56. 【做一做2－2】A 如图，设圆锥底面半径为r ，那么2πr ＝l ＝π·R .∴r ＝2R . ∴圆锥高h ＝R 2－14R 2＝32R . ∴V 锥＝13πr 2·h ＝π3·R 24·32R ＝324πR 3. 【做一做2－3】54π 54π3．43πR 3 【做一做3】C 设气球原来半径为R ，那么现在半径为4R ，此时体积V ＝43π(4R )3＝64×4πR 33.应选C. 典型例题·领悟【例1】解：设圆柱底面半径为r ，高为h ，如图，那么由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧ h ＝m sin α，2πr ＝m cos α，∴h ＝m sin α，r ＝m cos α2π，∴V 圆柱＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m cos α2π2·m sin α＝m 3sin αcos 2α4π. 【例2】解：如图，在正三棱锥S －ABC 中，设H 为△ABC 中心，连接SH ，那么SH 长即为该正三棱锥高．连接AH ，延长后交BC 于E ，那么E 为BC 中点，且AH ⊥BC .由于△ABC 是边长为6正三角形，∴AE ＝32×6＝3 3.∴AH ＝3AE ＝2 3. 在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23，∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3. ∴V S －ABC ＝13×93×3＝9.【例3】解：首先，圆台上底半径为4 cm ，于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)．其次，如图，圆台高h ＝BC ＝BD 2－OD －AB 2＝102－6－42＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm 3)．【例4】A 根据截面圆性质求球半径．设A ，B ，C ，D 所在小圆半径为r ，那么2r ＝32，∴r ＝322.设球半径为R ，那么R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 22＋r 2.∴32R ＝r .∴R ＝ 6. ∴V 球＝43πR 3＝86π. 【例5】7∶5 正解：设三棱柱高为h ，底面面积为S ，体积为V ，那么V ＝V 1＋V 2＝Sh .因为E ，F 分别为AB ，AC 中点，所以S △AEF ＝14S ， V 1＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ，V 2＝Sh －V 1＝512Sh ， 故V 1∶V 2＝7∶5.随堂练习·稳固1．B2．A3．D 如图，由AD ＝a ，AB ＝2a ，BD ＝3a ，知∠ADB ＝90°.取DC 中点E ，AB 中点F ，分别过D 点、C 点作DH ⊥AB ，CG ⊥AB ，知DH ＝32a . ∴HB ＝3a 2－34a 2＝32a . ∴DE ＝HF ＝12a . ∴V 圆台＝π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a 2＋12a 2＋a 2·32a ＝7243πa 3. 4．2 cm 如下图，设正四棱台AC ′上底面边长为2a ，那么斜高EE ′、下底面边长分别为5a,8a .第 11 页 所以高OO ′＝5a 2－4a －a 2＝4a .又∵13×4a ×(64a 2＋4a 2＋4a 2×64a 2)＝14， ∴a ＝12，即高为2 cm. 5．解：(1)该几何体是圆锥，高h ＝10，底面圆半径r ＝3，所以底面积S ＝πr 2＝9π，那么V ＝13Sh ＝13×9π×10＝30π. (2)该几何体是正四棱台，底面中心连线就是高h ＝6， 上底面积S 上＝64，下底面积S 下＝144，那么V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13×(64＋144＋64×144)×6＝608.。
高中数学新人教版B版精品教案《1.1.7 柱、锥、台和球的体积》
（一）原理引入在桌子上放一摞大小完全相同的书，并从一侧平推书本问：平推前这一摞书本的体积与平推后的体积是否发生了变化呢？六、教学过程所以我们得到V 1=V 2=V 3=13V 三棱柱这也就证明了我们刚刚的猜想是正确的对于等底面积、等高的棱锥与棱柱来说，它们的体积之间也存在着1:3的关系即V 棱锥=13Sh例1如图，在长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C-A ′DD ′，求棱锥C-A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比解题思路：首先求出长方体与锥体的体积，二者之差即为剩余部分的体积，从而可得锥体体积与剩余部分体积之比解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则它的体积为V 长方体=abc ∵V 锥体=13Sh∴V C−A′DD′=13×12bca =16bca∴ V 余=V 长方体−V C−A′DD′=abc −16abc =56abc所以棱锥C —A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1：5ABA ′D ′B ′C ′CD 问3：三棱锥2中∆BB′C 的面积与三棱锥3中哪个面的面积是相等的？问4：那么它们的高呢？（引导回答：将三棱锥2与三棱锥3进行拼补，则∆BB′C 与∆C′CB′在同一平面上，两个三棱锥的顶点A ′、B′、C 分别重合，A ′ 根据祖暅原理， V 三棱锥2=V 三棱锥33（三）课堂小结（四）课后作业埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年， 其形状为正四棱锥，金字塔高，底面边 长，问：这座金字塔的体积为多少？空间几何体几何图形体积公式柱体V 柱体=Sh锥体V 棱锥=13Sh台体？V 台体=13hS √SS′S ′七、板书设计§柱、锥、台的体积V 柱体=Sh V 圆柱=πr 2hV 锥体=13Sh V 圆锥=13πr 2h体积公式hh SSSShhSSS ′ hhS ′。
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第一章 立体几何初步
第1.1.7节柱、锥、台和球的体积
教学过程：
（一） 由上节祖暅原理所述知球的体积公式33
4R V π=
（二） 例子
1、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角，在容器内放入一个半径为R 的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是[ ]
2、如果球的体积是V 球，它的外切圆柱的体积是V 圆柱，外切等边圆锥的体积是V 圆锥，那么这三个几何体体积之比是____
3、图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。
在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的32 ，球的表面积也是圆柱全面积的3
2. 解：设圆的半径为R ，球的体积与圆柱的体积分别为V 球及V 柱 ，球的表面积与圆柱的全面积分别为S 球及S 柱，则有
S 柱=侧面积+上下底面积
注：这个发现是阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个
课堂练习：教材第32页 练习A3
小结：本节课应了解：球的体积计算公式
课后作业：教材第32页习题1-1A：11.
板书设计
球体积公式练习小结例题作业。