柱锥台的体积

所给的是非规范(或条件比较分散的 割补法 规范的)几何体时,通过对图象的割 补或体积变换,化为与已知条件直接 联系的规范几何体,并作体积的加、 减法。 当按所给图象的方位不便计算时,可 等体积法 选择条件较集中的面作底面,以便计 算底面积和高.
S 4S 4S )
Sh
V 2 4 Sh
7 3
Sh
5 3
Sh
D
V1 : V 2 7 : 5
想 一 想 ？
上一节中，我们知道正棱柱、正棱 锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系。 那么，这里柱体、锥体、台体的体积公 式之间有没有类似的关系？ s/
V柱体=sh
V台体=
V锥体=
1 3
作业
课本第60页第2、5、9、10题．
四 课堂小结
柱体
空间几何体 的体积公式
V S底 h
V
V
V
台体
1 3 1
3 4
3
(S 上
S底 h
S上 S下 S下 ） h
锥体
球
R
3
球的表面积公式Ｓ＝4πR2
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求体积的常用方法 所给的是规范几何体,且已知条件 直接法 较集中时,就按所给图象的方位用 公式直接计算体积.
《精》P27/例7.三棱台ABC-A1B1C1 中,AB:A1B1=1:2，则三棱锥A1-ABC，BA1B1C，C-A1B1C1 的体积之比为( ) A.1:1:1 ; B.1:1:2; C.1:2:4; D.1:4:4 说明：三棱柱、三棱台可 以分割成三个三棱锥，分 割后可由锥体的体积相加 求得三棱柱和三棱台的体 积。 在立体几何中，割补法是 一种非常重要的方法。
3
1 3

1 2
aaa

a
3
3
体积分割法
4、台体（棱台、圆台）的体积
V台 体
1 3
h(S
S S S )
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点， 如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求 这两部分的体积比。
E A V1
B
V2 C
设△ABE的面积为S
V1

1 3
7 3
h( S
D1 C1 B1 D C B A1
A
课堂练习
1、在△ABC中，AB=2，AC=1.5，∠BAC=1200.若将 △ABC绕直线AC旋转一周，求形成的旋转体的体积．
课堂练习
2.用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面， 求这个圆柱的体积。 3.已知一个铜质的五棱柱底面积为16cm2，高为 4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那 么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？
V柱=sh
V圆柱=πr2h
h
h
S S S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。
若长方体的所有棱长之和为24， ⑴求长方体体积的最大值 ⑵求长方体表面积的最大值
解：设长方体的长、宽、 高分别为a,b,c， 则4(a+b+c)=24
即a+b+c=8 ⑴V=abc≤
abc 3
3
1、原理(书P30）
(1)取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观 察改变前后的体积是否发生变化？
(2)祖暅原理：
两等高的几何体若在所有等高 处的水平截面的面积相等，则这两 个几何体的体积相等．
一.柱体的体积
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到， 因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应 该具有相等的体积。
S
F
D
A
E
C B
例3、一扇形铁皮AOB,半径OA=72cm,圆心 角AOB=600,现剪下一个扇环ABCD作圆台 形容器的侧面,并从剩余的扇形COD内剪下 一个最大的圆,刚好做容器的下底(圆台下底 面大于上底面),则OC应取多少?并求这个容 器的容积.
例 4、如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是 边长为 1 的正方形，且 ADE 、 BCF 均为正三角 形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ） （A）
A B A1 C
C1 B1
例 4、如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是 边长为 1 的正方形，且 ADE 、 BCF 均为正三角 形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ） （A）
2 3
G
（B）
3 3
（C）
4 3
（D）
3 2
练 习
1、已知三棱锥S-ABC的底面是直角边 分别为a, b的直角三角形，高为c， 则它的体积为________。 2、已知长方体相邻三个面的面积分别为 2,3,6,则此长方体的对角线和体积分别 为________。 3、长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥 C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余 部分的体积之比.
S/=S
h (s + s s ' + s ')
s s/ s
1 3
sh
S/=0 s
例2.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它 的侧面展开图的扇环的圆心角是180° ,那么圆 台的体积是多少？ (结果中保留π)
S 20
2
400
S ' 10
2
100
h
1 3 7000 3
1 3
Sh
2
V 圆锥
1 3
r h
已知四面体A-BCD中，AB垂直于面BCD， ∠BCD＝∠ACD＝90º BC＝4，AB＝CD ， ＝3，求点B到面ACD的距离。 等体积法 V V
B ACD A BCD
A 3 hB B

1 3

1 2
3 5 hB
1 3

1 2
34 3
4.若一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的 正六边形，求这个六棱锥的体积．
5.一个正四棱台形油槽可以装煤油190升,假如它的上、 下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．
小结
：
１．柱体的体积公式 ２．锥体的体积公式 ３．台体的体积公式 ４．柱体、锥体、台体的体积公式 之间的关系及其应用
=8
当且仅当a＝b＝c＝2是取等号
VA
1 ABC
VC A VA
1 AB
VC A VA
1
1 B1 B
VC A
A1 A1
1 B1 B
1 BB 1 C
CC 1 B
C1 B1 B1
A
B
C C
【问题】等底同高的锥体的体积有何关系?
3、锥体(棱锥、圆锥)的体积：
V锥 体
2 3
G
（B）
3 3
（C）
4 3
（D）
3 2
• 例5、一倒放的圆锥形封闭容器，高为2h,装 入水，使水高为圆锥高的二分之一，则倒 转容器后，水的高度是多少？
常见结论
正四面体的棱长为a, 则它的
6 3 2 12 6 12 6 4
高为
a
体积为
a
3
内切球半径为
a
外接球半径为
a
数学运用
例2． 在长方体AC1中,用截面截下一个棱锥C-A1DD1，求 C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
空间几何体 的体积
复习回顾
1.底面半径为r，母线长为l的圆柱的表
2 面积为______________
2rl 2r
2
2.底面半径为r，母线长为l的圆锥的表
面积为______________ rl r
3.上底面半径为r'，下底面半径为r， 母线长为l的圆台的表面积为 _________________________
练 习
4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_________。 5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为________。
例2、正四面体S-ABC的棱长为a,D是SA的 中点,E是BC的中点,求三角形SDE绕 SE旋转一周所得旋转体的体积.
的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可． 3 2 3 3 解. V正六棱柱= 1 2 6 1 0 3 .7 4 1 0 ( m m ) 4 2 3 3 V圆柱= 5 1 0 0 .7 8 5 1 0 ( m m )
一个毛坯的体积为 V=3.74×103-0.785×103 ≈2.96×103（mm3）=2.96cm3 约有毛坯 5.8×103÷（2.96×7.8)≈251(个) 答．这堆毛坯约有251个.
5.如图几何体为一个正六棱柱中间挖 去一个圆柱。若底面正六边形的边长 4cm ， 高 3cm ， 圆 柱 的 底 面 直 径 为 2cm 。求这个几何体的体积.
数学运用
例1.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已 知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直 径是10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为 7.8g/cm3) 分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱
D
4
C
3
求棱长为
A B
2a
的正四面体的体积
BO 2 3 3 2
2a
2


2a
6
6 3
2
a
D AO

O C
1 3 3 4
a 3

2 3
3
a
V

2a
2
2 3 3
a
a
3
3
求棱长为
2a
的正四面体的体积
V V 正方体 4V 三棱锥
a 4
3 ( 20 10 ) 10
3
V 台体
10
1 3
h( S
SS ' S ' )
O
3 ( 400 200 100 ) A1 O1 C 3
(cm3)
O
A
例：1.求棱长为2的正四面体的体积。
A
B
C
D
2.已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3 求这个正六棱柱的体积。 3.已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为3 求这个正六棱锥的体积。