柱、锥、台表面积体积公式
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
圆柱、圆锥常用表格面积、体积公式
刘老师圆柱与圆锥圆柱的侧面积=底面圆周长×高字母表示：S侧=C底h 2．底面圆周长 =圆周率×直径 =圆周率×2×半径字母表示：C底=πd=2πr．3求圆柱的表面积三步：（1）圆柱的底面积 =S 底 =πr2=（πd÷2） 2=πd2÷4（2）圆柱侧面积 =S 侧 =h×C底（底面圆周长） =2πrh= πdh（3）圆柱表面积 =S 表 =S侧 +2S 底圆柱体积的公式圆柱的体积 =底面积×高字母表示：V柱=S底h圆锥体积的公式（ 1）圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的1/3V 锥 =V 柱÷3=S底 h÷3（2）已知圆锥底面积（ S）和高（ h），求体积的公式： V 锥 =S底 h÷3（3）已知圆锥体积（ V）和高（ h），求底面积的公式： S 底 =3V 锥÷h（4）已知圆锥体积（ V）和底面积（ S），求高的公式： h=3V 锥÷S底例题精讲圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式立体图形表面积体积S圆柱侧面积个底面积2πrh 2 πr2V圆柱πr2h2 hr圆柱hr 圆锥S圆锥侧面积底面积n πl2πr2V圆锥体1πr2 h3603注： l 是母线，即从极点终究面圆上的线段长板块一圆柱与圆锥【例 1】如图，用高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米( π取 )1111【例 2】有一个圆柱体的零件，高10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是 4 厘米，孔深 5 厘米(见右图)．若是将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米)圆柱体的侧面张开，放平，是边长分别为10 厘米和12 厘米的长方形，那【例3】 (第四届希望杯 2 试一试题么这个圆柱体的体积是________立方厘米． (结果用π表示 )(接头处忽略不计)，求这【例4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，恰好能做成一个油桶个油桶的容积．( π )【牢固】如图，有一张长方形铁皮，剪以下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10 厘米，那么本来长方形铁皮的面积是多少平方厘米( π 3.14 )10cm【例 5】把一个高是8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比本来的圆柱体表面积减少平方厘米．本来的圆柱体的体积是多少立方厘米【牢固】一个圆柱体底面周长和高相等．若是高缩短 4 厘米，表面积就减少平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少4cm【例 6】 (2008 年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积是 ________ cm2． ( π取 )第 2题【牢固】已知圆柱体的高是10 厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40 平方厘米，求圆柱体的体积．( π3 )【例 7】一个圆柱体的体积是立方厘米，底面半径是 2 厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米( π )【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【例 9】输液 100 毫升，每分钟输 2.5 毫升．如图，请你观察第12 分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升【例 10】(2008 年”希望杯” 五年级第 2 试 )一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图 )，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米． ( π取 )10684( 单位：厘米)【牢固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米合多少升26【牢固】一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深 15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深 25cm．酒瓶的容积是多少( π取 3)302515【牢固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(以以下图所示)，请你依照图中注明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．7cm5cm4cm【牢固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部圆柱体的底面直径和高都是12 厘米．其5 厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米( π 3 )5cm11cm【例 11】(第四届希望杯2)如，底面50 平方厘米的柱形容器中装有水，水面上飘扬着一棱 5 厘米的正方体木，木浮出水面的高度是 2 厘米．若将木沉着器中取出，水面将下降 ________厘米．2厘米【例12】有两个棱8厘米的正方体盒子， A 盒中放入直径8 厘米、高8 厘米的柱体一个，B 盒中放入直径 4 厘米、高8 厘米的柱体 4 个，在 A 盒注水，把 A 盒的水倒入 B 盒，使 B 盒也注水， A 盒余下的水是多少立方厘米【例 13】州来的傅擅做拉面，拉出的面条很很，他每次做拉面的步是的：将一个面先搓成柱形面棍， 1.6 米．尔后折，拉到 1.6 米；再折，拉到 1.6 米⋯⋯照此行下去，最后拉出的面条粗(直径 )有本来面棍的 1 ．：最后傅拉出的些面条的64有多少米 (假傅拉面的程中．面条始保持粗平均的柱形，而且没有任何浪)【例14】一个柱形容器内放有一个方形．打开水往容器中灌水． 3 分水面恰好没方体的面．再18 分水灌容器．已知容器的高50 厘米，方体的高20 厘米，求方体底面面与容器底面面之比．【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80 平方厘米，高是15厘米，水深8 厘米．现将一个底面积是 16 平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米【牢固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80 平方厘米，高是15厘米，水深 10 厘米．现将一个底面积是 16 平方厘米，高为12 厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米【牢固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80 平方厘米，高是15厘米，水深 13 厘米．现将一个底面积是 16 平方厘米，高为12 厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米【例 16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积是72 平方厘米．在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米【例 17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5 厘米，深20 厘米，水深15 厘米．今将一个底面半径为 2 厘米，高为17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米【例18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是淹没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米10 厘米、 20 厘米，杯中盛有适合的水．甲杯中2 厘米；尔后将铁块淹没于乙杯，且乙杯中【牢固】有一只底面半径是20 厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是 5 厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了 6 厘米．这段钢材有多长【例19】一个圆锥形容器高中，水面高多少厘米24 厘米，其中装满水，若是把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器【例20】(2009 年”希望杯” 一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50 升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．r1r2h12h【例 21】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1 ，乙容器中水的高度是锥高的2 ，比33较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多多的是少的的几倍乙甲【例22】(2008 年仁华考题 )如图，有一卷紧紧围绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为直径为 8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04 厘米，则薄膜张开后的面积是20 厘米，中间有一平方米．20cm8cm100cm【牢固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20 厘米，中间有素来径为 6 厘米的卷轴．已知纸的厚度为毫米，问：这卷纸张开后大体有多长【牢固】如图，厚度为0.25 毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50 厘米．这卷铜版纸的总长是多少米【例23】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．板块二旋转问题【例 24】如图，ABC是直角三角形，AB 、 AC 的长分别是 3 和 4．将ABC 绕 AC 旋转一周，求ABC 扫出的立体图形的体积．( π )CB A 【例 25】已知直角三角形的三条边长分别为3cm ， 4cm ， 5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米( π取 )【牢固】如图，直角三角形若是以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，以AC边为轴旋转16π一周，那么所形成的圆锥的体积为，那么若是以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积12π是多少BC A【例 26】如图，ABCD是矩形，BC6cm ， AB10cm ，对角线 AC 、 BD 订交 O ． E 、 F 分别是 AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米 ( π取 3)A E DOB FC 【牢固】 (2006 年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD是矩形，BC6cm ， AB10cm ，对角线 AC 、 BD圆柱、圆锥常用表格面积、体积公式订交 O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米A DOB C11 / 11。
柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
8.2空间几何体的表面积与体积
1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 33.常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( × )(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30答案 C解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中，V 111ABC A B C －棱柱＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 111P A B C 锥－棱＝13S111A B C ·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC －P A 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.3.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.4.(教材改编)一个棱长为2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________ cm 3. 答案 43π解析 由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径， 所以其外接球的半径r ＝12×23＝3(cm)，所以V 球＝43π×r 3＝43π×33＝43π(cm 3).5.(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π (m 3).题型一 求空间几何体的表面积例1 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.1＋2 2C.2＋ 3D.2 2(2)(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A.1B.2C.4D.8(3)(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________. 答案 (1)C (2)B (3)12解析 (1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示. ∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选C.(2)由主视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B. (3)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋ 3C.21D.18答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示. 因此该几何体的表面积为6×(4－12)＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.题型二 求空间几何体的体积命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积例2 (2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16 D.15答案 D解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为V 111A A B D -V 111B C D ABCD -＝V 111A AB D -V 1111A BCD ABCD -－V 111A A B D -＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D.命题点2 求简单几何体的体积例3 (2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D.2π 答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于( )A.4π3 B.32π3 C.36πD.256π3(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( ) A.23B.33C.43D.32答案 (1)B (2)A解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC ＝6，BC ＝8，∠ACB ＝90°，则AB ＝10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大.即r ＝6＋8－102＝2，故能得到的最大球的体积为43πr 3＝4π3×8＝32π3，故选B.(2)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 题型三 与球有关的切、接问题例4 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B.210C.132 D.310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线， 则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？ 解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－(12×6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( ) A.22B.1C. 2D. 3答案 C解析 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点.设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R为球的半径)，∴(x 2)2＋(x2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 11ABB A 矩形＝2×1＝ 2.14.巧用补形法解决立体几何问题典例 如图：△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5. 则此几何体的体积为________.思维点拨 将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.答案 96温馨提醒 (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”. (2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法.[方法与技巧]求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.[失误与防范]求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3答案 C解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.故选C.2.用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为( ) A.100π3B.500π3C.75πD.100π答案 D解析 依题意，设球半径为R ，满足R 2＝32＋42＝25， ∴S 球＝4πR 2＝100π.3.(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案 B解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺).所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛).4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋ 5答案 C解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示， 则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2. 又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，P A ＝2＋12＝3，从而有P A 2＋DA 2＝PD 2，∴P A ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6. 5.(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案 C解析 如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C到平面OAB 的距离，即三棱锥C-OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.选C.6.(2014·山东)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14解析 设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A －DBE V A －PBC ＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h ＝14. 7.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.答案 7 解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 8.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________.答案 932解析 设等边三角形的边长为2a ，球O 的半径为R ，则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3.又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ， 故V 球＝4π3·(233a )3＝323π27a 3， 则其体积比为932. 9.如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比.解 由题意可知这三个几何体的高都相等，设长方体的底面正方形的边长为a ，高也等于a ，故其表面积为S 1＝6a 2.直三棱柱的底面是腰长为a 的等腰直角三角形，高为a ，故其表面积为S 2＝12×a ×a ＋12×a ×a ＋(a ＋a ＋2a )×a ＝(3＋2)a 2.14圆柱的底面是半径为a 的圆的14，高为a ，故其表面积为S 3＝14πa 2＋14πa 2＋a 2＋a 2＋14×2πa ×a ＝(π＋2)a 2.所以它们的表面积之比为S 1∶S 2∶S 3＝6a 2∶(3＋2)a 2∶(π＋2)a 2＝6∶(3＋2)∶(π＋2).10.(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm 和30 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解 如图所示，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高.由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得3×12×(20＋30)×DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43， 所以棱台的高为4 3 cm.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S —ABC 的体积为( )A.3 3B.2 3C. 3D.1答案 C解析 如图，过A 作AD 垂直SC 于D ，连接BD .由于SC 是球的直径，所以∠SAC ＝∠SBC ＝90°，又∠ASC ＝∠BSC ＝30°，又SC 为公共边， 所以△SAC ≌△SBC .由于AD ⊥SC ，所以BD ⊥SC .由此得SC ⊥平面ABD .所以V S —ABC ＝V S —ABD ＋V C —ABD ＝13S △ABD ·SC . 由于在Rt △SAC 中，∠ASC ＝30°，SC ＝4，所以AC ＝2，SA ＝23，由于AD ＝SA ·CASC ＝ 3.同理在Rt △BSC 中也有BD ＝SB ·CBSC ＝ 3.又AB ＝3，所以△ABD 为正三角形，所以V S —ABC ＝13S △ABD ·SC＝13×12×(3)2·sin 60°×4＝3，所以选C.12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A.28＋6 5B.30＋6 5C.56＋12 5D.60＋12 5答案 B解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，所以AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt △ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝2 5.在Rt △BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.13.(2015·四川)在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P —A 1MN 的体积是________.答案 124解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵V 1—P A MN ＝V 1—A PMN ，又∵AA 1∥平面PMN ，∴V 1—A PMN ＝V A —PMN ，∴V A —PMN ＝13×12×1×12×12＝124， 故V 1—P A MN ＝124. 14.(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E —ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积. (1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E —ACD 的体积V E —ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63. 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥E —ACD 的侧面积为3＋2 5.15.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值.(1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形，∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC .(2)解 ∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC .在Rt △ABE 中，AB ＝2，EB ＝ 3.在Rt △ABC 中，∵AC ＝x ，BC ＝4－x 2(0<x <2)，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·4－x 2， ∴V (x )＝V E －ABC ＝36x ·4－x 2(0<x <2). ∵x 2(4－x 2)≤(x 2＋4－x 22)2＝4，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号， ∴x ＝2时，体积有最大值33.。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
故B1F＝ 82－22＝2 15， 所以S梯形BB1C1C＝12×(8＋4)×2 15＝12 15， 故四棱台的侧面积S侧＝4×12 15＝48 15， 所以S表＝48 15＋4×4＋8×8＝80＋48 15.]
[规律方法] 空间几何体表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展 开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
柱体、棱体、台体的表面积与侧面积
(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的
平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12 2π
B．12π
C．8 2π
D．10π
(2)已知某圆锥的底面半径为 8，高为 6，则该圆锥的表面积为________.
S 圆柱侧＝2πrl
r′＝r ←――――
S
圆台侧＝π(r′＋r)l
r′＝0 ――――→
S 圆锥侧＝πrl.
(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ [提示] 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： V＝Sh←S′――＝――S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′――＝―→0 V＝13Sh.
(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8 的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________cm2.
(1)B (2)144π (3)80＋48 15 [(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得 的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2 2 ，底面圆的直径为2 2 ，所 以该圆柱的表面积为2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.
柱锥台表面积及体积
S侧= rl
S表= r 2 rl
S表 (r12 r12 r1 r2 )l
an'y S侧 (r1 r提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：一个花盆需要涂漆的面积为： S= （ 10+5） 10+ 52 - 12 =150 +25 - =174 cm2
an'y
3 2 2 6 1 6 3 cm3 4
4
cm3
学习新知
巩固新知
总结提升
2 cm
96 cm
2
an'y
a 6
3
学习新知
巩固新知
总结提升
知识总结：
an'y
思想方法总结：“分割思想”、“补体思想 ”及“等价转化思想”．
100个花盆需要油漆： 1 100 174 100=174 ml 10000
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：正六棱柱的体积 V1 =S底 h 圆柱的体积 1 2 V2 =S底 h = （ ）1= cm3 2 4 所以螺帽的体积为 V V1 V2 6 3
圆台
S侧 (r1 r2 )l
r'0
圆锥
S侧 rl
预习落实
学习新知
巩固新知
总结提升
柱体 简单几何 体的体积 锥体
V柱 =Sh
1 V锥 = Sh 3 1 V台 = （S+ S S' +S’ )h 3
一底面为零
台体
柱体、锥体、台体的表面积与体积(附答案)
柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一 多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二 旋转体的表面积思考 求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三 体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 答 表面积变大了，体积不变.题型一 空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解 如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ， 则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积.解 由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2.题型二 空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ， 且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三 与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析 本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析 利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12C.36D.343.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.485.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.186.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.当堂检测答案1.答案 A解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.2.答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 3.答案 C解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 4.答案 12解析 设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.答案 3∶4(或4∶3)解析 设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ， 则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.答案 D 解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.3.答案 A解析 设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π. 4.答案 D解析 设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48. 5.答案 A解析 由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.答案 A解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.答案 B解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 二、填空题 8.答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 9.答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.答案 83π11 解析 由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3). 11.答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 13.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π ＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).。
柱体锥体台体的公式大全
柱体锥体台体的公式大全
柱体、锥体和台体都是几何体的一种，它们都具有不同的特性和公式。
1.柱体公式：
柱体是一个具有平行且相等的圆面底部和顶部的几何体。
下面是柱体
的一些重要公式：
-表面积公式：S=2πr(h+r)，其中r是底部圆的半径，h是柱体的高度。
-体积公式：V=πr²h，其中r是底部圆的半径，h是柱体的高度。
2.锥体公式：
锥体是一个具有一个圆形底部和一个顶点的几何体。
下面是锥体的一
些重要公式：
-表面积公式：S=πr(r+√(r²+h²))，其中r是底部圆的半径，h是
锥体的高度。
-体积公式：V=(1/3)πr²h，其中r是底部圆的半径，h是锥体的高度。
3.台体公式：
台体是一个具有两个平行且相等的圆面底部和顶部的几何体。
下面是
台体的一些重要公式：
-表面积公式：S=2π(R+r+l)，其中R是底部圆的半径，r是顶部圆
的半径，l是台体的斜高。
-体积公式：V=(1/3)π(R²+r²+Rr)h，其中R是底部圆的半径，r是顶部圆的半径，h是台体的高度。
这些公式是计算柱体、锥体和台体的表面积和体积时的基本公式。
在实际问题中，还可以根据具体情况进行一些衍生的计算。
例如，通过给定柱体、锥体或台体的表面积或体积，可以计算其他相关参数，如半径或高度。
柱体、锥体、台体的表面积和体积
柱体的体积公式
柱体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h 是高度。
锥体的定义和特征
• 锥体由一个圆锥面和一个尖顶组成。 • 锥体的高度是尖顶到底面的垂直距离。
锥体的表面积公式
柱体、锥体、台体的表面 积和体积
通过学习柱体、锥体和台体的表面积和体积公式，你将能够理解它们的定义、 特征以及在日常生活和建筑中的应用。
柱体的定义和特征
• 柱体由两个平行的圆面以及它们之间的侧面组成。 • 柱体的高度是两个平行圆面之间的垂直距离。
柱体的表面积公式
柱体的表面积可以通过以下公式计算：
锥体的表面积可以通过以下公式计算： 总表面积 = πr² + πrl 其中，r 是底面半径，l 是斜高。
锥体的体积公式
锥体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 1/3 × 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。 • 底面和顶面是平行的，而侧面是梯形形状。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
8． 3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学习指导核心素养1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式．2.能用表面积和体积公式解决简单的实际问题．直观想象、数学运算：利用公式计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．[学生用书P75]1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πr (r ＋l ) 圆锥底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πr (r ＋l ) 圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′)表面积： S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )2.圆柱、圆锥、圆台的体积 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高).3．球的表面积和体积 表面积：S ＝4πR 2． 体积：V ＝43πR 3．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？ 提示：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝rS 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 2．球面能展开成平面图形吗？ 提示：不能展开成平面图形．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱的侧面面积等于底面面积与高的积．( )(2)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环．( ) (3)决定球的大小的因素是球的半径．( )(4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．若圆锥的底面半径为3 ，高为1，则圆锥的体积为( ) A ．π3B ．π2C ．πD ．2π答案：C3．若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8π D ．4π解析：选D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.4．圆柱的侧面展开图是长 12 cm ，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A ．288π cm 3B ．192πcm 3C ．288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3解析：选 C ．当圆柱的高为 8 cm 时， V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π 2×8＝288π (cm 3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π 2×12＝192π(cm 3). [学生用书P75]探究点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 [问题探究]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？探究感悟：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( ) A ．40π B ．36π C ．26πD ．20π(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168πD ．169π【解析】 (1)圆锥的母线l ＝32＋42 ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.故选B.(2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋（R －r ）2 ＝（4r ）2＋（3r ）2 ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选C.【答案】 (1)B (2)C圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加．1．若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为( ) A ．9π B ．12π C ．272πD ．454π解析：选A.由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h ＝2r ＝3，所以圆柱的侧面积为2πr ·h ＝9π.2.如图，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5，BC ＝16，AD ＝4，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．解：以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图．其中圆锥的高为16－4＝12，圆柱的母线长为AD ＝4，圆锥的母线长CD ＝13，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π.探究点2 圆柱、圆椎、圆台的体积(2021·贵州安顺高二期末)若一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，求该圆锥的体积．【解】 设圆锥底面半径为r ，则由题意得2πr ＝120180·π·3，解得r ＝1.所以底面面积为S ＝πr 2＝π. 又圆锥的高h ＝32－12 ＝22 ，故圆锥的体积V ＝13 Sh ＝13 ×π×22 ＝223π.求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( ) A ．233 πB ．2 3C ．736πD ．733π解析：选D.S 1＝π，S 2＝4π，所以r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R )l ，所以l ＝2，所以h＝3 .所以V ＝13 π(1＋4＋2)×3 ＝733π.故选D.2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )A ．1B ．12C ．32D ．34解析：选D.设圆柱底面圆半径为R ，圆锥底面圆半径为r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，所以r ＝2R ，所以V 柱∶V 锥＝πR 2h ∶13πr 2h ＝3∶4，故选D.探究点3 球的表面积与体积 [问题探究]用一个平面去截球体，截面是什么形状？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？ 探究感悟：用一个平面去截球体，截面是圆面．在不过球心的截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．其关系为R 2＝d 2＋r 2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π3B ．32π3C ．8πD ．82π3【解析】 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1 ，所以截面圆的面积为S ＝π(R 2－1 )2＝(R 2－1)π＝π，所以R 2＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选C. 【答案】 C(1)球的表面积和体积的求解关键因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．(2)球的截面问题的解题技巧①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． ②解题时要注意借助球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.1．(2021·江苏徐州高一期中)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163 πB ．323 πC ．643πD ．2563π解析：选B.设这个球的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积V ＝43 πR 3＝323π.故选B. 2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积之和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积之和为 43 πR 3＋43 πr 3＝364π3 .答案：364π3探究点4 与球有关的切、接问题(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．(2)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【解析】 (1)长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32 ＝14 ，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π.(2)设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2 ＝πr 2·2r 43πr 3 ＝32.【答案】 (1)14π (2)32(1)常见几何体与球的切、接问题的解题策略①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．(2)几个常用结论①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π6解析：选A.由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43 ×π×13＝4π3.[学生用书P77]1．已知圆柱的底面半径r ＝1，母线长l 与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．9πD ．10π解析：选A.因为圆柱的表面积为2πr 2＋2πrl ，r ＝1，l ＝2，所以圆柱的表面积为6π.故选A.2．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( ) A ．8倍 B ．4倍 C ．22 倍D ．2倍解析：选C.球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的2 倍，所以球的体积扩大为原来的22 倍．3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B ．73 πa 2C ．113πa 2D ．5πa 2解析：选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23 ×32 a ＝33 a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2 ＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712 a 2，故 S 球＝4πR 2＝73 πa 2.4．已知圆台上、下底面半径分别为1，2，高为3，则圆台的体积为__________． 解析：由公式知V 圆台＝13 π(1＋2＋4)×3＝7π.答案：7π5．如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的体积．解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23 ，圆柱的底面半径为1，高为3 .所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即V 旋转体＝13 ×π×22×23 －π×12×3 ＝533 π，故所求旋转体的体积为533π. [学生用书P217(单独成册)][A 基础达标]1．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，现以AB 所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为( )A ．24πB ．21πC ．33πD ．39π解析：选A.因为在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，所以△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，故以AB 所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为12 ×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π.故选A.2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2 ∶3D ．8 ∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ，则⎝⎛⎭⎫43πr 3 ∶⎝⎛⎭⎫43πR 3 ＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.3．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是( )A ．圆柱的侧面积为2πR 2B ．圆锥的侧面积为2πR 2C ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2解析：选CD.依题意得球的半径为R ，则圆柱的侧面积为2πR ×2R ＝4πR 2，所以A 错误；圆锥的侧面积为πR ×5 ·R ＝5 πR 2，所以B 错误；球面面积为4πR 2，因为圆柱的侧面积为4πR 2，所以C 正确；因为V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13 πR 2·2R ＝23 πR 3，V 球＝43 πR 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23 πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2，所以D 正确．故选CD.4．将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ) A ．524 πR 3 B ．58 πR 3 C ．324πR 3 D ．38πR 3 解析：选C.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝πR ，所以r ＝R2 .所以圆锥的高h ＝R 2－r 2 ＝32R . 所以圆锥的体积V ＝13 πr 2×h ＝13 π(R 2 )2×32 R ＝324πR 3.故选C.5．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________.解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝πr 2＝π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝2S底＋S 侧＝6π.答案：6π7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即圆锥的底面直径为2.答案：28.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm.解析：设铁球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43 πx 3×3，解得x ＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43 πr 3＋πr 2l ＝43 π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为rR ＝H －x H，所以r ＝R －RH x ，所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR Hx 2(0<x <H ). (2)因为－2πRH<0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2 时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．[B 能力提升]11．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323 π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．963B ．163C ．243D ．483解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43 πr 3＝323 π，得r ＝2.由S 柱底＝12 a ×r ×3＝34 a 2，得a ＝23 r ＝43 ，所以V 柱＝S柱底·2r ＝483 .12．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为( )A ．8327 πB ．4327 πC ．16327πD ．32327π解析：选D.由题意，设球的半径为r ，作出玻璃杯的轴截面，可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的等边三角形，此等边三角形的高h ＝23 .根据中心(重心)的性质可得，球的半径r ＝13 h ＝233 ，所以球的体积V ＝43 πr 3＝43 π×⎝⎛⎭⎫233 3 ＝32327 π.即溢出溶液的体积为32327π，故选D.13.(多选)如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，下列说法正确的是( )A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π解析：选AD.以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，所以侧面积为π×3×5＝15π，体积为13 ×π×32×4＝12π，所以A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为13×π×42×3＝16π，所以C 错误；D 正确．故选AD.14．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD -A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403.(1)求棱AA 1的长；(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积和体积．解：(1)设AA 1＝x ，依题意可得403 ＝2×2·x －13 ×12 ×2×2·x ，解得x ＝4，故棱AA 1的长为4.(2)依题意可知， 经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，所以球的直径2R ＝22＋22＋42 ＝26 ，解得R ＝6 .故所求球的表面积为4πR 2＝24π，体积为43·πR 3＝86 π.[C 拓展探究]15．如图，用一边长为2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起4个小三角形，做成一个“底座”，将体积为4π3 的球放入其中，“底座”形状保持不变，则球的最高点与“底座”底面的距离为( )A ．62 ＋32 B ．32C ．22 ＋32D ．32 ＋32解析：选D.由题意，可得“底座”的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点截球所得的截面圆的直径为1.因为球的体积为4π3 ，所以球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为1－⎝⎛⎭⎫122 ＝32 ，因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为12，所以球的最高点与“底座”底面的距离为32 ＋1＋12 ＝32 ＋32.故选D. 16.如图，四边形ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，求图中 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积之比．解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉Ⅰ生成的圆锥，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球.设正方形的边长为 a ，则Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积分别为 V Ⅰ，V Ⅱ，V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13 πa 3，V Ⅱ＝12 ×43 πa 3－13 πa 3＝13 πa 3，V Ⅲ＝πa 3－12 ×43 πa 3＝13πa 3.所以三部分经旋转所得几何体的体积之比为1∶1∶1.。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面
积．
()
(2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的
周长有关．
()
答案：(1)× (2)√
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的
表面积与侧面积的比值是
()
1＋2π A. 2π
1＋4π B. 4π
题型三 球的表面积和体积
[学透用活]
[典例 3] (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都
为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
D．5πa2
(2)若球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是
球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 R＝OC＝2，AC＝4，AO＝ 42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴AAOE＝OEBC，即2 33＝2r，∴ r＝1. ∴S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π.
[对点练清] 1．[圆柱的侧面积]一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图
是正方形，那么该圆柱的侧面积为_________． 解析：设圆柱的底面半径为 R，
则 S＝πR2，R＝ Sπ， 底面周长 c＝2πR. 故圆柱的侧面积为 S 圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·Sπ＝4πS. 答案：4πS
2.[圆锥的表面积]如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的 圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积．
柱,锥,台的体积及球的表面积和体积
[例2] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
求证：(1) 球的
体积等于圆柱体积
的 2;
O
3
(2) 球] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
***补例*** 1. 若圆台的高是3，一个底面半径
是另一个底面半径的2倍，母线与下底 面所成的角是45°，求这个圆台的侧 面积.
***补例***
2. 如图，一块正方形薄铁片的边长
为22cm，以它的一 个顶点为圆心，一
22cm
边长为半径画弧.沿
弧剪下一扇形，围
成一锥筒.求它的侧面积和体积.
1
V锥 3 sh V台 3 h(s s' ss')
1 V锥 3 sh
s'=0
1 V台体 3 h(s s' ss')
V柱 sh
s'=s
V圆锥
1 3
R2h
r=0
V圆台
1 3
h(r 2
R
R2
)
V圆柱 R2h
r=R
三、 球的表面积、体积公式
S球表 4R2
V球
4 R3
3
典型例题 [例1] 有一堆规格相同的铁制六角
1、多面体的表面积公式是什么？
S多面体表 底面面积 侧面面积
2、圆柱体的表面积公式是什么？
S圆柱表 2 r(r l)
3、圆锥体的表面积公式是什么？
S圆锥表 r(r l)
4、圆台的表面积公式是什么？
S圆台表(r'2 r2 r'l rl)
柱、锥、台表面积体积公式
圆柱体体积公式
圆柱体体积公式
$V = pi r^{2}h$
解释
其中，$V$表示圆柱体的体积，$pi$是圆周率，$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。
棱柱体表面积公式
棱柱体表面积公式
根据棱柱的形状和尺寸有所不同，需 要具体问题具体分析。
解释
棱柱体的表面积由底面和顶面的面积 以及侧面的面积组成，具体计算方法 需要根据棱柱的具体形状和尺寸来确 定。
03
台体表面积体积公式
圆台体表面积公式
总结词
圆台体表面积公式是计算圆台侧面积和两个底面积的总和。
详细描述
圆台体表面积公式为 S = π * (r1 + r2) * l，其中 r1 和 r2 分别为圆台上下底面的半径， l 为圆台母线长度。
圆台体体积公式
总结词
圆台体体积公式是计算圆台所占三维空间的 大小。
物理学
在计算物体之间的相互作用力、热传导、电磁波的传播等物理现象 时，需要使用表面积和体积公式来描述物体的大小和形状。
化学工程
在化学工程领域，表面积和体积的计算对于反应器设计、传热传质计 算等方面具有重要意义。
表面积和体积公式的推导过程
要点一
柱体
柱体的表面积由底面和侧面组成，侧面 面积是高乘以底面周长，底面周长是 2πr（r为底面半径），所以侧面面积 是2πrh（h为高），底面面积是πr^2， 所以柱体表面积是2πrh+πr^2，体积 是底面积乘以高，即πr^2h。
棱台体体积公式
总结词
棱台体体积公式是计算棱台所占三维空间的 大小。
详细描述
棱台体体积公式为 V = (1/3) * (a1 + a2) * l * h，其中 a1 和 a2 分别为棱台上下底面的边
空间几何体的表面积与体积讲义
空间几何体的表面积与体积讲义一、知识梳理1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh 台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2 V ＝43πR 3 注意：1(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )题组二：教材改编2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cm D.32cm 3．[]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．题组三：易错自纠4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋45．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 6．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．二、典型例题题型一：求空间几何体的表面积1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172 C ．13 D.17＋3102思维升华：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二：求空间几何体的体积命题点1：以三视图为背景的几何体的体积典例 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 命题点2：求简单几何体的体积 典例已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥C 1—B 1EDF 的体积为________．思维升华：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练 (1)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323B.163C.83D.43 (2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32题型三：与球有关的切、接问题典例 在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB.9π2 C ．6π D.32π3引申探究：1．若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．2．若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．思维升华：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．跟踪训练如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.3π2 B ．3π C.2π3 D ．2π四、反馈练习1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.(24＋2)π4＋1C.(23＋2)π4＋12D.(23＋2)π4＋1 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．303．已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，三棱锥O —ABC 的体积为43，则球O 的表面积为( )A.16π3B ．16π C.32π3 D ．32π4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．24πB ．30πC ．42πD ．60π5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋436．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P —ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P —ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．9.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将该直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．10．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则R r ＝________.11.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 12如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．2＝4－x 2，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，体积有最大值33. 13.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N —P AC 与三棱锥D —P AC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶8C ．1∶6D ．1∶314．在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B ．4πC ．8πD ．20π15．已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O —ABC 的体积为( )A.32B.233C.23D.13 16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P —BCD 的体积的最大值是________．。
空间几何体的表面积与体积公式大全
外接球的半径
4
（3）规律：
:u 正四而体
=3 品 兀:2
① 正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；
② 正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；
③ 正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；
④ 正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 1： 3
⑤ 正四面体内切球与外接球体积之比为：1： 27
(2)外接球
正方体与其体内最大的正四而体有相同的外接球。(理由：过不共面的
四点确定一个球。)正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所 以它们共球。
回顾：①两点定线②三点定面③三点定圆④四点定球
如图：
(a) 正方体的体对角线=球直径 (b) 正四面体的外接球半径二？高
4
(C)正四面体的棱长=正方体棱长 X 72 (d) 正方体体积：正四面体体积=3： 1 (e) 正方体外接球半径与
1
方法 1：展平分析：（最重要的方法） 如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析！
/ Ft''、、 /』）''、、、
连接 DO 并延长交平面 ABC 于点 G,连接 GO, /
X：；盖］
连接 DO,并延长交 BC 于点 E,则 A、G、E B 笔共线＜ J A —c 在平面 AED 中，由相似
知识可得：
成正方体进行分析。如图:
1 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编借.
文档收集于互联网，已重新整理排版 word 版本可编辑•欢迎下载支持. 此时，正四面体与正方体有共同的外接球。
正四面体的棱长为“，则正方体棱长
正方体的外接球直径为其体对角线 D 亠嗨号
•••正四面体的外接球半径为: 2=也
各形状物体体积计算公式
常用体积及表面积计算公式一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3正棱台拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h －高V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径 h－高V＝πr2h/3圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物我用拟柱体公式来解决一下，至于公式本身证明需要用到积分知识（需要同时推广牛顿－莱布尼茨公式），不详谈：任何立体的体积均可以归纳成：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)S1指上表面S2指下表面S指高线垂直平分面柱体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S1+S1+4S1)V＝1/6×h×6SV＝Sh锥体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S2/4×4+S2)、、长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a+b)h/2＝mh圆 r－半径d－直径 C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形 r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形 l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环 R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径 S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆 D－长轴d－短轴 S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2V＝a3长方体 a－长b－宽c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体 S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高 V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径r－内圆半径h－高 V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径h－高 V＝πr2h/3圆台 r－上底半径R－下底半径h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高r－球半径a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径h－高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径 V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)棱台体体积计算公式：V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。