2016秋高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积练习新人教B版必修2

第9课时 1.1.7 柱、锥、台和球的体积

课时目标

1.了解祖暅原理．

2．掌握柱、锥、台和球的体积计算公式．

3．会利用柱、锥、台和球的体积公式解决有关几何体的体积问题．

识记强化

1．柱体(棱柱、圆柱)的体积公式为V 柱体＝Sh ，(S 为柱体底面积，h 为柱体的高)，V 圆

柱＝πr 2

h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)．

2．若一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S ，高为h ，则它的体积是V 锥体＝1

3

Sh ，若圆锥

的底面半径为r ，高为h ，则它的体积为V 圆锥＝13

πr 2

h .

3．若一个台体上、下底面的面积分别为S ′、S ，高为h ，则它的体积公式为V 台体＝1

3h (S

＋SS ′＋S ′)，若圆台上、下底面半径分别为r ′、r ，高为h ，则它的体积为V 圆台＝13

πh (r

2

＋rr ′＋r ′2

)．

4．球的半径为R ，则球的体积为V 球＝43

πR 3

.

课时作业

一、选择题(每个5分，共30分)

1．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3 D ．192π cm 3 答案：C

解析：圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫122π2

×8＝288π cm 3.当圆柱的高为12 cm 时，V ＝

π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫82π2

×12＝192π cm 3.

2．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为( )

A.2281π

B.881

π

8181答案：C 解析：圆锥的底面圆的周长为240°360°×2π×1＝4

3π，设底面圆的半径为r ，则有2πr

＝43π，所以r ＝2

3，于是圆锥的高h ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，故圆锥的体积V ＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫232

×

53

＝4581π. 3.

已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )

A.14

B.12

C.

36 D.34 答案：D 解析：VB 1—ABC ＝13×34×12

×3＝34

.

4．在棱长为a 的正方体中，连接各相邻面的中心，以这些线段为棱的几何体是一个正八面体，则该正八面体的体积为( )

A.13a 3

B.14a 3

C.16a 3

D.112a 3 答案：C

解析：正八面体可以看成由两个正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2

2

a ，

高为12a ，则正八面体的体积V ＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2×12a ＝16

a 3

.

5．设正三棱柱的外接圆柱体积为V 1，内切圆柱体积为V 2，则V 1：V 2的值为( ) A ．2：1 B ．4：1 C ．8：1 D ．9：1 答案：B

解析：由于这些棱柱的高相等，因此它们的体积比就等于底面积的比，设正三棱柱底面

边长为a ，则内切圆半径为36a ，外接圆半径为3

3

a ，

∴V 1：V 2＝π⎝

⎛⎭⎪⎫33a 2：π⎝ ⎛⎭

⎪⎫36a 2

＝4：1. 6．已知正方体外接球的体积是32

3π，那么正方体的棱长等于( )

A ．2 2 B.23

3

33答案：D 解析：设正方体的棱长为x ，则正方体的体对角线长为3x ，由题设有43π⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 23＝32

3π，

解得x ＝43

3

.所以选D.

二、填空题(每个5分，共15分)

7．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 答案：12π

解析：设球的半径为R ，则43

πR 3＝43π，∴R ＝3，∴球的表面积S ＝4πR 2

＝4π×3

＝12π.

8．木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的__________倍． 答案：24030

解析：由题意，得4πR 2木＝4πR 2

地·120，所以R 木＝120R 地．

所以V 木＝43πR 3木＝43π·(120R 地)3

＝24030·43

πR 3地＝24030V 地．

9．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，AB ＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．

答案：13

解析：折叠起来后，B ，C ，D 三点重合，设为点S ，则围成的三棱锥为S －AEF ，其中，

SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，如图，所以此三棱锥的体积V ＝13×1

2

×1×1×2

＝13

. 三、解答题 10．(12分)已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积．

解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r .

∵S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2

，

∴r ＝

S

6π

.