因式分解练习提高班
专题06 因式分解-八年级数学讲义提高班(解析版)
因式分解知识网络图⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩提公因式法公式法因式分解分组分解法十字相乘法1 提公因式法知识概述一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数. ②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.1．（2017秋•兰陵县期末）将3x （a ﹣b ）﹣9y （b ﹣a ）因式分解，应提的公因式是（ ） A ．3x ﹣9yB ．3x+9yC ．a ﹣bD ．3（a ﹣b ） 【答案】D【解析】解：将3x （a ﹣b ）﹣9y （b ﹣a ）=3x （a ﹣b ）+9y （a ﹣b ）因式分解，应提的公因式是3（a ﹣b ）． 故选：D ．2．（2018•庐江县模拟）若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=﹣10，则ab 的值是_____． 【答案】-23．（2018春•沭阳县期中）已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值： （1）x 2y+xy 2 （2）x 2+y 2【答案】（1）24（2）28【解析】解：（1）当x+y=6、xy=4时， 原式=xy （x+y ）=4×6=24； （2）当x+y=6、xy=4时， 原式=（x+y ）2﹣2xy =62﹣2×4小试牛刀再接再厉=36﹣8 =28．4．（2017春•郯城县月考）因式分解 （1）10a （x ﹣y ）2+5ax （y ﹣x ） （2）（x+y ）2﹣10（x+y ）+25．【答案】（1）5a （x ﹣y ）（x ﹣2y ）（2）（x+y ﹣5）22 公式法知识概述一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.1．（2018•高阳县一模）计算：1252﹣50×125+252=（ ） A ．100 B ．150 C ．10000 D ．22500【答案】C2.（2018春•无锡期中）把多项式﹣x 2﹣2x ﹣1分解因式所得的结果是（ ） A ．（﹣x ﹣1）2B ．﹣（x ﹣1）2C ．（x ﹣1）2D ．﹣（x+1）2 【答案】D【解析】解：﹣x 2﹣2x ﹣1 =﹣（x 2+2x+1） =﹣（x+1）2． 故选：D ．3．（2018•南海区校级二模）已知a 与b 互为相反数，则代数式a 2+2ab+b 2﹣2018的值为______． 【答案】-2018【解析】解：∵a 与b 互为相反数， ∴a+b=0，则原式=a 2+2ab+b 2﹣2018 =（a+b ）2﹣2018 =0﹣2018 =﹣2018．小试牛刀再接再厉故答案为：﹣2018．4．（2017春•沧州期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C（2）不彻底，（x﹣2）4（3）（x﹣1）4（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1=（x2﹣2x+1）2=（x﹣1）4．5．（2017春•温江区期末）已知x+2y=3，x﹣2y=5，求x2﹣4y2﹣8的值．【答案】73 分组分解法知识概述对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：小试牛刀1．（2016秋•巫溪县期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ； （2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2； （3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1．【答案】（1）（x+y ）（x ﹣y ﹣1）（2）（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）（3）（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）（2）9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2 =9m 2﹣（4x 2﹣4xy+y 2） =（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2 =（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）； （3）4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1 =（2a+1）2﹣b 2（2a+1）2 =（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．2．（2017秋•唐河县期中）观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题 分解因式：am+an+bm+bn解法一：原式=（am+an ）+（bm+bn ） =a （m+n ）+b （m+n ） =（m+n ）（a+b ）解法二：原式=（am+bm ）+（an+bn ） =m （a+b ）+n （a+b ） =（a+b ）（m+n ）根据你发现的方法，分解因式： （1）mx ﹣my+nx ﹣ny再接再厉（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．【答案】（1）（m+n）（x﹣y）（2）（2﹣3m）（a+2b）（2）解法一：原式=（2a+4b）﹣（3ma+6mb）=2（a+2b）﹣3m（a+2b）=（2﹣3m）（a+2b）；解法二：原式=（2a﹣3ma）+（4b﹣6mb）=a（2﹣3m）+2b（2﹣3m）=（2﹣3m）（a+2b）．3．（2018春•合浦县期中）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）【解析】解：a2﹣2ab+b2﹣1，=（a﹣b）2﹣1，=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．4．（2017秋•雁江区校级期中）因式分解（1）﹣a2﹣a（2）（x+y）（5m+3n）2﹣（x+y）（m﹣n）2（3）（a2+6a）2+18（a2+6a）+81（4）x2﹣4x﹣y2+4．【答案】（1）﹣a（a+1）（2）8（x+y）（3m+n）（m+n）（3）（a+3）4（4）（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）4 十字相乘法知识概述利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.1．（2017秋•万州区期末）因式分解x 2+ax+b ，甲看错了a 的值，分解的结果是（x+6）（x ﹣2），乙看错了b 的值，分解的结果为（x ﹣8）（x+4），那么x 2+ax+b 分解因式正确的结果为（ ） A ．（x+3）（x ﹣4） B ．（x+4）（x ﹣3） C ．（x+6）（x ﹣2） D ．（x+2）（x ﹣6）【答案】D【解析】解：甲看错了a 的值：x 2+ax+b=（x+6）（x ﹣2）=x 2+4x ﹣12， ∴b=﹣12乙看错了b 的值：x 2+ax+b=（x ﹣8）（x+4）=x 2﹣4x ﹣32， ∴a=﹣4小试牛刀∴x 2+ax+b 分解因式正确的结果：x 2﹣4x ﹣12=（x ﹣6）（x+2） 故选： D ．2．（2018•诸城市一模）因式分解：x 3y ﹣2x 2y ﹣3xy=_______． 【答案】xy （x+1）（x ﹣3）3．（2018•高密市二模）因式分解：﹣2x 2y+8xy ﹣6y=________． 【答案】﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）【解析】解：原式=﹣2y （x 2﹣4x+3）=﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）， 故答案为：﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3） 4.（2017秋•香洲区期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x 2+px+q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn 且p=m+n ，则可以把x 2+px+q 因式分解成（x+m ） （x+n ）（1）x 2+4x+3=（x+1）（x+3）（2）x 2﹣4x ﹣12=（x ﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y ）2+2（x+y ）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A ，则原式=A 2+2A+1=（A+1）2 再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解析下列问题： （1）根据材料1，把x 2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x ﹣y ）2+4（x ﹣y ）+3； ②分解因式：m （m+2）（m 2+2m ﹣2）﹣3．【答案】（1）（x ﹣2）（x ﹣4）（2）（x ﹣y+1）（x ﹣y+3）（m+1）2（m ﹣1）（m+3） 【解析】解：（1）x 2﹣6x+8=（x ﹣2）（x ﹣4）； （2）①令A=x ﹣y ，再接再厉则原式=A 2+4A+3=（A+1）（A+3），所以（x ﹣y ）2+4（x ﹣y ）+3=（x ﹣y+1）（x ﹣y+3）；②令B=m 2+2m ，则原式=B （B ﹣2）﹣3=B 2﹣2B ﹣3=（B+1）（B ﹣3），所以原式=（m 2+2m+1）（m 2+2m ﹣3）=（m+1）2（m ﹣1）（m+3）．5．（2017秋•诸暨市期末）李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x 2﹣2x ﹣3＞0．经过思考，他给出了下列解法：解：左边因式分解可得：（x+1）（x ﹣3）＞0，或，解得x ＞3或x ＜﹣1．聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）＞0．【答案】x ＞3或1＜x ＜25因式分解的应用1．（2018•重庆模拟）任意一个正整数n ，都可以表示为：n=a×b×c （a≤b≤c ，a ，b ，c 均为正整数），在n的小试牛刀所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．【答案】（1）见解析（2）（2）由已知，[23（10x+y）+x+y]能被13整除整理得：231x+24y能被13整除∵231x+24y=13（10x+2y）﹣（3x+2y）∴3x+2y能被13整除∵1≤x≤9，0≤y≤9∴3≤3x+2y≤45∵x，y均为整数∴3x+2y的值可能为13、26或39①当3x+2y=13时∵x≥y，x+y≤10∴x=3，y=2，t=32∴32的阶梯三分法为2×4×4∴F（32）=2．（2018•南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．【答案】（1）4 2 （2）123【解析】解：（1）∵D（159）=159∴E（159）=100×9+10×5+1=951∴F（159）=∵D（246）=246∴E（246）=100×6+10×4+2=642∴F（246）=同理F （t ）=y∵F （s ）+F （t ）=5∴x+y=5∴y=5﹣x∵k=∴k===26x+19∵1≤x≤4，且x 为整数∴当x=4时，k 最大值为1233．（2018春•开福区校级期末）如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5π cm 2．求大、小圆盘的半径．【答案】3 cm1 cm再接再厉4（2017秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DE=b（a＞b）．（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．【答案】（1）a﹣b（2）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（3）a的长为38cm，b的长为22cm【解析】解：（1）AG=a﹣b；（2）能．a2﹣b2或a•（a﹣b）+b•（a﹣b）；a2﹣b2=a•（a﹣b）+b•（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）由题意，得a﹣b=16①，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=960，∴a+b=60②，由①、②方程组解得a=38，b=22．故a的长为38cm，b的长为22cm5．（2017秋•咸安区期末）阅读下列材料：常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣4y2﹣2x+4y；（2）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）（x﹣2y）（x+2y﹣2）（2）△ABC为等边三角形，理由见解析∵（a﹣b）2≥0；（b﹣c）2≥0，而（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴（a﹣b）2=（b﹣c）2=0∴a﹣b=0且b﹣c=0∴a=b=c∴△ABC为等边三角形．。
浙教版2019-2020学年第二学期七年级数学因式分解同步能力提升训练
( ) （3）8 a2 +1 −16a
( ) （4） x2 + 4 2 −16x2 ．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
21．给出三个多项式： 1 x2 + 2x −1, 1 x2 + 4x +1, 1 x2 − 2x ，请选择两个多项式进行加法运算，并把结果
2
2
2
分解因式（写出两种情况）．
…… 根据阅读解答以下问题：
(1) 分解因式： 16x2 − 24x + 9 = (2) 若多项式 ax2 + bx + c(a 0) 是完全平方式，则 a、b、c 之间存在某种关系，用等式表示 a、b、c 之间
的关系：
(3) 在实数范围内，若关于 x 的多项式 4x2 + mx + 25 是完全平方式，求 m 值． (4) 求多项式： x2 + y2 − 4x + 6 y +15 的最小值．
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浙教版 2019-2020 年第二学期七年级数学因式分解同步能力提升训练
一、单选题
1．下列式子从左至右的变形，是因式分解的是（ ）
A．12x2 − y = 3x 4xy
B． x −1 = x(1− 1) x
C． x2 − 2x +1 = (x −1)2
24．如图，边长为 a，b 的矩形的周长为 10，面积为 6，求 a3b2+a2b3 的值.
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25．由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法” 进行因式分解的公式： x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)． 实例 分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)． (1)尝试 分解因式：x2＋6x＋8； (2)应用 请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
八上 因式分解强化提高训练(含答案)
因式分解强化训练一．选择题（共3小题）1．“已知：a m＝2，a n＝3，求a m+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（）A．同底数幂的乘法B．积的乘方C．幂的乘方D．同底数幂的除法2．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或113．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25B．20C．15D．10二．填空题（共10小题）4．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝．5．已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝．6．若x2﹣3x+1＝0，则的值为．7．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝．8．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝9．分解因式：x4+y4+（x+y）4﹣2＝．10．已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为．11．已知x4﹣5x3+ax2+bx+c能被（x﹣1）2整除，则（a+b+c）2＝．12．已知5x＝30，6y＝30，则等于．13．+a+＝（）2．三．解答题（共23小题）14．如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于．（2）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．方法①；方法②．（3）观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：．（4）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值．15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．16．（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）．（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．17．已知22n+2﹣4n＝192，求n的值．18．（2x﹣3y）（4x2﹣9y2）（﹣2x﹣3y）．19．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）x3+x2y﹣xy2﹣y3．（4）n（m+1）2+2mn+3n．（5）2x2+4x+2﹣2y2；（6）ax2+bx2﹣ax﹣bx+a+b．（7）（b2+a2﹣c2）2﹣4a2b2 （8）﹣12x2y+x3+36xy220．在实数范围内分解因式（1）x4﹣9（2）y2﹣2y+3．（3）（x2y2+3）（x2y2﹣7）+2521．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042．22．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．（1）分别化简下列各式：（x﹣1）（x+1）＝；（x﹣1）（x2+x+1）＝；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝．（2）请你利用上面的结论计算：299+298+…+2+1．23．已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值．24．已知a、b、c是△ABC的三边，a、b使等式a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0成立，且c是偶数，求△ABC的周长．25．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．26．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，试判断△ABC的形状．27．若a，b，k均为整数且满足等式（x+a）（x+b）＝x2+kx+36，写出两个符合条件的k的值．28．已知x2﹣x﹣5＝0，求x5+2x4﹣6x3﹣19x2﹣8x+18的值．29．已知（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）＝0，求a，b的值．30．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．31．以下关于x的各个多项式中，a，b，c，m，n均为常数．（1）根据计算结果填写下表：二次项系数一次项系数常数项（2x+1）（x+2）22（2x+1）（3x﹣2）6﹣2（ax+b）（mx+n）am bn （2）已知（x+3）2（x2+mx+n）既不含二次项，也不含一次项，求m+n的值．（3）多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3，则2a+b+c的值为．32．（1）若a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．求a+b的值．（2）若实数x≠y，且x2﹣2x+y＝0，y2﹣2y+x＝0，求x+y的值．33．若x，y，z满足（x﹣y）2+（z﹣y）2+2y2﹣2（x+z）y+2xz＝0，且x，y，z是周长为48的一个三角形的三条边长，求y的长．34．m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz（xyz≠0）能被x+y+z整除？因式分解强化训练参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．“已知：a m＝2，a n＝3，求a m+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（）A．同底数幂的乘法B．积的乘方C．幂的乘方D．同底数幂的除法【解】：a m+n＝a m•a n，∴解决这个问题需要逆用同底数幂的乘法．故选：A．2．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解】：a2﹣ab﹣ac+bc＝11，（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11，a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．3．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（A）A．25B．20C．15D．10【解】法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．二．填空题（共10小题）4．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．【解】：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．5．已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝±4．【解】：∵m2+2km+16是完全平方式，∴2km＝±8m，解得k＝±4．6．若x2﹣3x+1＝0，则的值为．【解】：由已知x2﹣3x+1＝0变换得x2＝3x﹣1将x2＝3x﹣1代入＝＝＝＝＝＝7．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝﹣．【解】：∵6x＝192，32y＝192，∴6x＝192＝32×6，32y＝192＝32×6，∴6x﹣1＝32，32y﹣1＝6，∴（6x﹣1）y﹣1＝6，∴（x﹣1）（y﹣1）＝1，∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1＝﹣8．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝2【解】：（a﹣2017）（a﹣2018）＝﹣＝﹣＝2．9．分解因式：x4+y4+（x+y）4﹣2＝2（x2+xy+y2﹣1）（x2+xy+y2+1）．【解】：x4+y4+（x+y）4﹣2，＝（x2+y2）2﹣2x2y2+（x2+2xy+y2）2﹣2，＝（x2+y2）2﹣2x2y2+（x2+y2）2+4xy（x2+y2）+4x2y2﹣2，＝2（x2+y2）2+2x2y2+4xy（x2+y2）﹣2，＝2[（x2+y2）2+x2y2+2xy（x2+y2）﹣1]，＝2[（x2+xy+y2）2﹣1]，＝2（x2+xy+y2﹣1）（x2+xy+y2+1）．10．已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为8．【解】：∵a2+b2≥2|ab|，∴2|ab|≤4，∴﹣4≤﹣2ab≤4，∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4﹣2ab，∴0≤4﹣2ab≤8，∴（a﹣b）2的最大值8．11．已知x4﹣5x3+ax2+bx+c能被（x﹣1）2整除，则（a+b+c）2＝16．【解】：∵x4﹣5x3+ax2+bx+c能被（x﹣1）2整除，∴（x﹣1）2＝0，解得：x＝1，即x＝1是方程x4﹣5x3+ax2+bx+c＝0的解，∴1﹣5+a+b+c＝0，∴a+b+c＝4，∴（a+b+c）2＝42＝16．12．已知5x＝30，6y＝30，则等于1．【解】：∵5x＝30，6y＝30，∴5xy＝（5x）y＝30y＝（5×6）y＝5y×6y，∴＝5xy﹣y＝6y＝30＝5x，∴5xy﹣y﹣x＝1＝50∴xy﹣y﹣x＝0，∴xy＝x+y，∴＝1．13．a2+a+＝（a+）2．【解】：∵a＝2וa，∴这两个数是a和，三．解答题（共23小题）14．如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n．（2）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．方法①（m+n）2﹣4mn；方法②（m﹣n）2．（3）观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．（4）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值．【解】：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝m﹣n；（2）方法①（m+n）2﹣4mn；方法②（m﹣n）2；（3）这三个代数式之间的等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，∵a+b＝6，ab＝5，∴（a﹣b）2＝36﹣20＝16，∴a﹣b＝±4．故答案为m﹣n；（m+n）2﹣4mn（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是B；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案是B；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∴12＝4（x﹣2y）得：x﹣2y＝3；②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．16．（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表达）．（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．【解】：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]＝（a﹣c）2﹣（2b）2，＝a2﹣2ac+c2﹣4b2．17．已知22n+2﹣4n＝192，求n的值．【解】：22n+2﹣4n＝192，22（n+1）﹣4n＝43×3，4n+1﹣4n＝43×3，4n（4﹣1）＝43×3，4n＝43，∴n＝3．18．（2x﹣3y）（4x2﹣9y2）（﹣2x﹣3y）．【解】：原式＝﹣（4x2﹣9y2）（4x2﹣9y2）＝﹣16x4+72x2y2﹣81y4．19．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）x3+x2y﹣xy2﹣y3．（4）n（m+1）2+2mn+3n．（5）2x2+4x+2﹣2y2；（6）ax2+bx2﹣ax﹣bx+a+b．（7）（b2+a2﹣c2）2﹣4a2b2 （8）﹣12x2y+x3+36xy2【解】：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．（3原式＝（x3+x2y）﹣（xy2+y3）＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）2（x﹣y）．（4）原式＝n[（m+1）2+2m+3]＝m[（m+1）2+2（m+1）+1]＝m（m+2）2．（5）2x2+4x+2﹣2y2＝2（x2+2x+1﹣y2）＝2（x+1）2﹣y2＝2（x+1+y）（x+1﹣y）；（6）ax2+bx2﹣ax﹣bx+a+b＝x2（a+b）﹣x（a+b）+（a+b）＝（a+b）（x2﹣x+1）．（7）（b2+a2﹣c2）2﹣4a2b2，＝（b2+a2﹣c2+2ab）（b2+a2﹣c2﹣2ab），＝[（b+a）2﹣c2][（b﹣a）2﹣c2]，＝（b+a+c）（b+a﹣c）（b﹣a+c）（b﹣a﹣c）．（8）原式＝x（﹣12xy+x2+36y2）＝x（x﹣6y）2；20．在实数范围内分解因式（1）x4﹣9（2）y2﹣2y+3．（3）（x2y2+3）（x2y2﹣7）+25【解】：（1）原式＝（x2+3）（x2﹣3）＝（x2+3）（x+）（x﹣）；（2）原式＝（y﹣）2．（3）（x2y2+3）（x2y2﹣7）+25＝（x2y2）2﹣4x2y2+4＝（x2y2﹣2）2＝（xy+）2（xy﹣）2．21．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042．﹣2009010【解】：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝﹣[（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+…+（20022﹣20012）+（20042﹣20032）]，利用平方差公式12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+20012﹣20022+20032﹣20042＝﹣[（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+…+（20022﹣20012）+（20042﹣20032）]＝﹣[（2﹣1）（2+1）+（4﹣3）（4+3）+（6﹣5）（6+5）+…+（2002﹣2001）（2002+2001）+（2004﹣2003）（2004+2003）]＝﹣（1+2+3+4+…+2002+2003+2004）＝﹣＝﹣2 009 010．22．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．（1）分别化简下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1．（2）请你利用上面的结论计算：299+298+…+2+1．【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1；（2）299+298+…+2+1＝（2﹣1）×（299+298+…+2+1）＝2100﹣1．故答案为：（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣123．已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；求x3y+xy3的值．【解】：∵（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41，∴（x+y）2+（x﹣y）2＝46，则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝46，2（x2+y2）＝46，故x2+y2＝23，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝﹣36，则x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝﹣36，故4xy＝﹣36，则xy＝﹣9，x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝﹣9×23＝﹣207．24．已知a、b、c是△ABC的三边，a、b使等式a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0成立，且c是偶数，求△ABC的周长．【解】：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣8b+16）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，解得：a＝2，b＝4，∵a、b、c是△ABC的三边，且c是偶数，∴c＝4．故△ABC的周长长为：2+4+4＝10．25．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解】：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形．26．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，试判断△ABC的形状．【解】：a4+b4﹣2a2b2＝0，（a2﹣b2）2＝0，（a+b）2（a﹣b）2＝0，∵三角形的边长为a、b，∴a+b≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，即△ABC的形状是等边三角形．27．若a，b，k均为整数且满足等式（x+a）（x+b）＝x2+kx+36，写出两个符合条件的k的值．【解】：∵（x+a）（x+b）＝x2+kx+36，∴x2+（a+b）x+ab＝x2+kx+36，∴（1）∵ab＝36，∴当a＝1，b＝36时，k＝a+b＝1+36＝37．（2）∵ab＝36，∴当a＝2，b＝18时，k＝a+b＝2+18＝20．综上，可得符合条件的k的值是37、20（答案不唯一）．28．已知x2﹣x﹣5＝0，求x5+2x4﹣6x3﹣19x2﹣8x+18的值．【解】：∵x2﹣x﹣5＝0，∴x5+2x4﹣6x3﹣19x2﹣8x+18＝x3（x2﹣x﹣5）+3x2（x2﹣x﹣5）+2x（x2﹣x﹣5）﹣2（x2﹣x﹣5）+8＝8．29．已知（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）＝0，求a，b的值．【解】：∵（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）＝0，∴2a2﹣2a+4b2+4ab+1＝0，∴（a﹣1）2+（a+2b）2＝0，∴a﹣1＝0，a+2b＝0，解得a＝1，b＝﹣．30．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．【解】：（Ⅰ）∵a2﹣b﹣1＝0，∴a2﹣b＝1，a2＝b+1，（a2﹣1）（b+2）＜a2b，a2b+2a2﹣b﹣2＜a2b，a2+a2﹣b﹣2＜0，a2+1﹣2＜0，a2＜1，∴b+1＜1，∴b＜0．（或者：把a2＝b+1代入原不等式：解得b＜0）∵a2＝b+1，∵a2≥0，∴b+1≥0，b≥﹣1．答：b的取值范围为﹣1≤b＜0．（Ⅱ）a4﹣2b﹣2＝0，a4﹣2（b+1）＝0，∵a2＝b+1，∴a4﹣2a2＝0，解得a2＝0或a2＝2，∵a2＜1，∴a2＝0，∴b+1＝0，∴b＝﹣1．（或者：把a2＝b+1代入原等式：解得b＝±1，1舍去）答：b的值为﹣1．31．以下关于x的各个多项式中，a，b，c，m，n均为常数．（1）根据计算结果填写下表：二次项系数一次项系数常数项（2x+1）（x+2）252（2x+1）（3x﹣2）6﹣1﹣2（ax+b）（mx+n）am an+bm bn （2）已知（x+3）2（x2+mx+n）既不含二次项，也不含一次项，求m+n的值．（3）多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3，则2a+b+c的值为﹣4．【解】：（1）（2x+1）（x+2）＝2x2+5x+2，（2x+1）（3x﹣2）＝6x2﹣x﹣2（ax+b）（mx+n）＝amx2+（an+bm）x+bn故答案为5、﹣1、an+bm．（2）（x+3）2（x2+mx+n）＝（x2+6x+9）（x2+mx+n）＝x4+（m+6）x3+（6m+n+9）x2+（9m+6n）x+9n ∵既不含二次项，也不含一次项，∴6m+n+9＝0，9m+6n＝0解得：m＝﹣2，n＝3∴m+n＝1．答m+n的值为1．（3）∵多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3，∴设多项式M＝2x2+mx﹣3，（2x2+mx﹣3）（x2﹣3x+1）＝2x4﹣6x3+2x2+mx3﹣3mx2+mx﹣3x2+9x﹣3＝2x4+（m﹣6）x3+（2﹣3m﹣3）x2+（m+9）x﹣3＝2x4+ax3+bx2+cx﹣3，∴a＝m﹣6，b＝﹣3m﹣1，c＝m+9∴2a+b+c＝2m﹣12﹣3m﹣1+m+9＝﹣4．32．（1）若a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．求a+b的值．（2）若实数x≠y，且x2﹣2x+y＝0，y2﹣2y+x＝0，求x+y的值．【解】：（1）∵a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m，∴a2+ab+b2+ab＝7+m+9﹣m，∴（a+b）2＝16，∴a+b＝±4；（2）∵x2﹣2x+y＝0，y2﹣2y+x＝0，∴x2﹣2x+y﹣（y2﹣2y+x）＝0，∴（x+y）（x﹣y）﹣3（x﹣y）＝0∴（x+y﹣3）（x﹣y）＝0，∵x≠y，∴x+y﹣3＝0，则x+y＝3．33．若x，y，z满足（x﹣y）2+（z﹣y）2+2y2﹣2（x+z）y+2xz＝0，且x，y，z是周长为48的一个三角形的三条边长，求y的长．【解】∵（x﹣y）2+（z﹣y）2+2y2﹣2（x+z）y+2xz＝（x﹣y）2+（z﹣y）2+2y2﹣2xy﹣2yz+2xz＝（x﹣y）2+（z﹣y）2+2y（y﹣x）﹣2z（y﹣x）＝（x﹣y）2+（z﹣y）2+2（y﹣x）（y﹣z）＝0＝[（x﹣y）+（z﹣y）]2＝0，即x﹣y+z﹣y＝0，∴x+z＝2y，又∵x+y+z＝48，∴2y+y＝48，即3y＝48，则y＝16．34．m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz（xyz≠0）能被x+y+z整除？【解】：当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z因式，令x+y+z＝0，得x＝﹣（y+z），代入原式其值必为0，即[﹣（y+z）]3+y3+z3﹣myz（y+z）＝0，把左边因式分解，得﹣yz（y+z）（m+3）＝0，∵xyz≠0，∴x≠0，∵x＝﹣（y+z），∴（y+z）≠0，∴当m+3＝0时等式成立，∴当m＝﹣3时，x，y，z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除．。
初中数学：因式分解强化练习(含答案)
因式分解知识讲解1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解.注：因式分解和整式乘法互为逆运算.2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法.4、因式分解的原则（1）分解因式必须要分解到不能分解为止.（2）有公因式的一定要先提取公因式.（一）提公因式法提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式；找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数；2、字母是相同字母；3、字母的次数：相同字母的最低次数.总结:把公有的因式提出来，剩下的照着抄下来.一、填空题（1）因式分解：am-3a= a （m-3） .（2）因式分解：ax ²-ax= ax （x-1） .（3）因式分解：3ab ²+a ²b= ab （3b+a ） .（4）因式分解：x 2﹣xy= x （x ﹣y ） ．（5）因式分解：（x+y ）²-（x+y ）= （x+y ）（x+y-1） .（6）因式分解：a （a-b ）-a+b= （a-b ）（a-1） .（7）因式分解：2m(a －b)－3n(b －a)＝ (a －b)(2m ＋3n) .二、因式分解的解答题1、直接提取公因式(1)3ab 2＋a 2b ； (2)2a 2－4a ； （3）20x ³y-15x ²y 解：原式＝ab(3b ＋a) 解：原式＝2a(a －2) 解：原式=)34(52-x y x(4)x 4＋x 3＋x ； (5)3x 3＋6x 4； (6)4a 3b 2－10ab 3c ；解：原式＝x(x 3＋x 2＋1)． 解：原式＝3x 3(1＋2x)． 解：原式＝2ab 2(2a 2－5bc)．(7)－3ma 3＋6ma 2－12ma ； （8）ab b a b a 264222-+- （9） y x y x y x 332232-- 解：原式＝－3ma(a 2－2a ＋4) 解：原式=-2ab （2ab-3a+1） 解：原式=)321(22x y y x --2、变符号，再提取公因式（1）a （3-b ）+3（b-3） （2）2a （x-y ）-3b （y-x ） (3)x(x －y)＋y(y －x) 解：原式=（3-b ）（a-3） 解：原式=（x-y ）（2a+3b ） 解：原式＝(x －y)2.(4)m(5－m)＋2(m －5)； （5）)93()3(2-+-x x解：原式＝(m －2)(5－m)． 解：原式=x （x-3）；3、稍微复杂的提取公因式（1）6x （a-b ）+4y （b-a ） (2)6p(p ＋q)－4q(p ＋q)．解：原式=2（a-b ）（3x-2y ） 解：原式＝2(p ＋q)(3p －2q)．(3)4q(1－p)3＋2(p －1)2. (4)5x(x －2y)3－20y(2y －x)3.解：原式＝2(1－p)2(2q －2pq ＋1) 解：原式＝5(x －2y)3(x ＋4y)．(5)(a 2－ab)＋c(a －b)； （6）22)2(20)2(5a b b b a a --- 解：原式＝(a ＋c)(a －b)． 解:原式=5（a-2b ）2（a-4b ）4、用简便方法计算：（1）213×255-213×55. （2）1571215711576⨯-⨯-⨯. 解：（1）原式=42600； 解：（2）原式=-15.（二）平方差公式因式分解1、平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-2、平方减平方等于平方差，等于两个数的和乘以两个数的差.3、有公因式的，先提公因式，再因式分解.一、填空题（1）因式分解：a ³-a= a （a+1）（a-1） .（2）因式分解：x 2﹣4= （x+2）（x ﹣2） .（3）因式分解：16x 2－64＝ 16(x ＋2)(x －2) .（4）因式分解：a 3﹣ab 2= a （a+b ）（a ﹣b ） ．二、在实数范围内分解因式：1、(1)4x 2－y 2 (2)－16＋a 2b 2 (3)100x 2－9y 2解：(2x ＋y)(2x －y) 解：(ab ＋4)(ab －4) 解：(10x ＋3y)(10x －3y)（4）4x ²-9y ² (5)x 2－3解：原式=（2x+3y ）（2x-3y ） 解：原式＝(x －3)(x ＋3)(6)4x 2－25 (7)(x 2＋9)2－36x 2解：原式＝(2x ＋5)(2x －5) 解：原式＝(x ＋3)2(x －3)22、将下列式子因式分解.（1）（m+n ）²-（m-n ）² (2)(x ＋2y)2－(x －y)2 (3)(a ＋3)2－(a ＋b)2 解:原式=4mn 解：原式＝3y(2x ＋y) 解：原式＝(2a ＋b ＋3)(3－b)3、先提公因式再因式分解.(1)a 3－9a （2）2416x x - （3）224364b a a -解：原式＝a(a ＋3)(a －3) （2）原式=x ²（x+4）（x-4） （3）原式=4a ²（a+3b ）（a-3b ）(4)3m(2x －y)2－3mn 2 （5）(a －b)b 2－4(a －b) 解：原式＝3m(2x －y ＋n)(2x －y －n) 解：原式＝(a －b)(b ＋2)(b －2)4、四次的因式分解.(1)16－b 4 (2)x 4－4解：原式＝(2＋b)(2－b)(4＋b 2) 解：原式＝(x 2＋2)(x ＋2)(x －2) （三）完全平方公式因式分解完全平方式 222)(2b a b ab a ±=+± 等于（首-尾）2或者（首+尾）2一、填空题（1）因式分解：x 2y 2－2xy ＋1＝ (xy －1)2 ．（2）因式分解：－4a 2＋24a －36＝ －4(a －3)2 .（3）因式分解：x 2﹣6x+9= （x ﹣3）2 .（4）因式分解：ab 2﹣4ab+4a= a （b ﹣2）2 ．（5）因式分解：= ﹣（3x ﹣1）2 ．二、解答题1、分解因式.(1)a 2＋4a ＋4 (2)4x 2＋y 2－4xy (3)9－12a ＋4a 2 解：原式＝(a ＋2)2 解：原式＝(2x －y)2 解：原式＝(3－2a)22、因式分解.（1）9)1(6)1(222+---x x （2）16)4(8)4(222+-+-m m m m 解：原式=（x+2）²（x-2）² 解：原式=4)2(-m(4)(a ＋b)2－4(a ＋b)＋4 (3)(m ＋n)2－6(m ＋n)＋9解：原式＝(a ＋b －2)2 解：原式＝(m ＋n －3)23、利用因式分解计算.（1）202²+98²+202×196 （2）800²-1600×798+798²解：（1）原式=90000； 解：（2）原式=4.4、利用因式分解计算：992＋198＋1.解：原式＝992＋2×99×1＋1＝(99＋1)2＝1002＝10000. （四）十字相乘法方法步骤：第一步：拆分，拆分二次项次数和常数项.第二步：交叉相乘，然后相加，加出来的得数若等于中间的一次项系数则配对成功，可以横着写.十字相乘法专项练习题（1）=--1522x x (x-5)(x+3) (2)=+-652x x (x-2)(x-3)（2）=--3522x x (2x+1)(x-3) （4）=-+3832x x (3x-1)(x+3)（5）=+-672x x (x-1)(x-6) （6）=-+1232x x (3x-1)(x+1)（7）=--9542x x (4x-9)(x+1) （8)=--2142x x (x-7)(x+3)（9）2x 2+3x+1= (2x+1)(x+1) （10）=-+22x x (x-1)(x+2)（11）20－9y －20y 2 =-(4y+5)(5y-4) （12）=-+1872m m (m-2)(m+9)（13）=--3652p p (p-9)(p+4) （14）=--822t t (t-4)(t+2)（15）=++342x x (x+1)(x+3) （16）=++1072a a (a+2)(a+5)（17）=+-1272y y (y-3)(y-4) （18）q 2-6q+8=(q-2)(q-4)（19）=-+202x x (x-4)(x+5) （20）=++232x x (x+1)(x+2)（21）18x 2－21x+5=(3x-1)(6x-5) （22）=-+1522x x (x-3)(x+5)（23）2y 2+y －6= (2y-3)(y+2) （24）6x 2－13x+6= (2x-3)(3x-2)（25）3a 2－7a －6= (3a+2)(a-3) （26）6x 2－11x+3= (2x-3)(3x-1)（27）4m 2+8m+3= (2m+3)(2m+1) （28）10x 2－21x+2= (10x-1)(x-2)（29）8m 2－22m+15= (2m-3)(4m-5) （30）4n 2+4n －15= (2n+5)(2n-3)（31）6a 2+a －35= (2a+5)(3a-7) （32）5x 2－8x －13= (5a-13)(a+1)（33）4x 2+15x+9=(4x+3)(x+3) （34）8x 2+6x －35=(4x-7)(2x+5)因式分解中考真题专项练习（一）1、（云南）因式分解：3x 2﹣6x+3= 3（x-1)2 ．2、（宜宾）分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2= 3(m-n)2 ．3、（仙桃天门潜江江汉）分解因式：3a 2b+6ab 2= 3ab(a+b) ．4、（湘潭）因式分解：m 2﹣mn= m(m-n) ．5、（绥化）分解因式：a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3= ab(a-b)2 ．6、（潍坊）分解因式：x 3﹣4x 2﹣12x= x(x-6)(x+2) ．7、（威海）分解因式：3x 2y+12xy 2+12y 3= 3y(x+2y)2 ．8、（沈阳）分解因式：m 2﹣6m+9= (m-3)2 ．9、（黔西南州）分解因式：a 4﹣16a 2= a 2(a+4)(a-4) ．10、（南充）分解因式：x 2﹣4x ﹣12= (x-6)(x+2) ． 11、（六盘水）分解因式：2x 2+4x+2= 2(x+1)2 ． 12、（临沂）分解因式：a ﹣6ab+9ab 2= a(1-3b)2 ．13、（呼伦贝尔）分解因式：27x 2﹣18x+3= 3(3x-1)2 ． 14、（黄石）分解因式：x 2+x ﹣2= (x+2)(x-1) ．15、（哈尔滨）把多项式a 3﹣2a 2+a 分解因式的结果是 a(a-1)2 ．16、（乐山）下列因式分解：①x 3﹣4x=x （x 2﹣4）；②a 2﹣3a+2=（a ﹣2）（a ﹣1）；③a 2﹣2a ﹣2=a （a ﹣2）﹣ 2；④．其中正确的是 ②④ （只填序号）． 17、（江津区）把多项式x 2﹣x ﹣2分解因式得 (x-2)(x+1) ．18、（荆州）分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= (x-2)2 ．19、（莱芜）分解因式：﹣x 3+2x 2﹣x= -x(x-1)2 ．20、（菏泽）将多项式a 3﹣6a 2b+9ab 2分解因式得 a(a-3b)2 ．21、（抚顺）分解因式：ax 2﹣4ax+4a= a(a-2)2 ．22、（巴中）把多项式3x 2+3x ﹣6分解因式的结果是 3(x+2)(x-1) ．23、（鞍山）因式分解：ab 2﹣a= a(b+1)(b-1) ．24、（中山）分解因式：x 2﹣y 2﹣3x ﹣3y= (x+y)(x-y-3) ．25、（安顺）将x ﹣x 2+x 3分解因式的结果为 x(1-0.5x)2 ．26、（湘潭）已知m+n=5，mn=3，则m 2n+mn 2= 15 ．27、（潍坊）分解因式：27x 2+18x+3= 3(3x+1)2 ．28、（威海）分解因式：（x+3）2﹣（x+3）= (x+3)(x+2) ．29、（陕西）分解因式：a 3﹣2a 2b+ab 2= a(a-b)2 ．30、（泉州）因式分解：x 2﹣6x+9= (x-3)2 ．31、（攀枝花）因式分解：ab 2﹣6ab+9a= a(b-3)2 ．32、（内江）分解因式：﹣x 3﹣2x 2﹣x= -x(x+1)2．33、（临沂）分解因式：xy 2﹣2xy+x= x(y-1)2 ．34、（嘉兴）因式分解：（x+y ）2﹣3（x+y ）= (x+y)(x+y-3) ．35、（赤峰）分解因式：3x 3﹣6x 2+3x= 3x(x-1)2 ．36、（泰安）将x+x 3﹣x 2分解因式的结果是 x(x-21)2 ． 37、（绍兴）分解因式：x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3= xy(x-y)2 ．38、（黔东南州）分解因式：x3+4x2+4x= x(x+2)2．39、（聊城）分解因式：ax3y+axy3﹣2ax2y2= axy(x-y)2．40、（莱芜）分解因式：（2a+b）2﹣8ab= (2a-b)2．41、（巴中）把多项式x3﹣4x2y+4xy2分解因式，结果为 x(x-2y)2．42、（潍坊）在实数范围内分解因式：4m2+8m﹣4= 4(m2+2m-1) ．43、（雅安）分解因式：2x2﹣3x+1= (2x-1)(x-1) ．44、（芜湖）因式分解：（x+2）（x+3）+x2﹣4= (2x+1)(x+2) ．45、（深圳）分解因式：﹣y2+2y﹣1= -(y-1)2．46、（广元）分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2= 3m(m-3n)2．47、（广东）分解因式：2x2﹣10x= 2x(x-5) ．48、（大庆）分解因式：ab﹣ac+bc﹣b2= (a-b)(b-c) ．49、（广西）分解因式：2xy﹣4x2= 2x(y-2x) ．50、（本溪）分解因式：9ax2﹣6ax+a= a(3a-1)2．51、（北京）分解因式：mn2+6mn+9m= m(n+3)2．52、（珠海）分解因式：ax2﹣4a= a(x+2)(x-2) ．53、（张家界）因式分解：x3y2﹣x5= x3(y+x)(y-x) ．54、（宜宾）分解因式：4x2﹣1= (2x-1)(2x+1) ．55、（岳阳）分解因式：a4﹣1= (a+1)(a-1)(a2+1) ．56、（扬州）因式分解：x3﹣4x2+4x= x(x-2)2．57、（潍坊）分解因式：a3+a2﹣a﹣1= (a+1)2(a-1) ．58、（威海）分解因式：16﹣8（x﹣y）+（x﹣y）2= (4-x+y)2．59、（淄博）分解因式：8（a2+1）﹣16a=8（a﹣1）2．60、（遵义）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．因式分解中考真题专项练习（二）1、（泸州）分解因式：3a2﹣3=3（a+1）（a﹣1）．2、（泸州）分解因式：2m2﹣8=2（m+2）（m﹣2）．3、（泸州）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．4、（泸州）分解因式：2m2﹣2=2（m+1）（m﹣1）．5、（泸州）分解因式：3a2+6a+3= 3（a+1）2．6、（泸州）分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．7、（泸州）分解因式：x3﹣6x2+9x=x（x﹣3）2．8、（泸州）分解因式：3x 2+6x+3= 3（x+1）2 ．9、（泸州）分解因式：ax ﹣ay= a （x ﹣y ） ．10、（泸州）分解因式：3a 2﹣6a+3= 3（a ﹣1）2 .11、（泸州）分解因式：ax 2﹣4ax+4a= a （x 2﹣4x+4）=a （x ﹣2）2 .12、（南充）分解因式：2a 3﹣8a ＝ 2a （a+2）（a ﹣2） ．13、（德阳）分解因式：2xy 2+4xy+2x ＝ 2x （y+1）2 ．14、（眉山）分解因式：x 3﹣9x ＝ x （x+3）（x ﹣3） ．15、（绵阳）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ y （x ﹣2y ）（x+2y ） ．16、（内江）分解因式：a 3b ﹣ab 3＝ ab （a+b ）（a ﹣b ） ．17、（攀枝花）分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy ＝ xy （x ﹣1）2 ．18、（遂宁）分解因式3a 2﹣3b 2＝ 3（a+b ）（a ﹣b ） ．19、（宜宾）分解因式：2a 3b ﹣4a 2b 2+2ab 3＝ 2ab （a ﹣b ）2 ．20、（自贡）分解因式：ax 2+2axy+ay 2＝ a （x+y ）2 ．21、（广安）因式分解：3a 4﹣3b 4＝ 3（a 2+b 2）（a+b ）（a ﹣b ） ．22、（广元）分解因式：a 3﹣4a ＝ a （a+2）（a ﹣2） ．23、（眉山）分解因式：3a 3﹣6a 2+3a ＝ 3a （a ﹣1）2 ．24、（绵阳）因式分解：m 2n+2mn 2+n 3＝ n （m+n ）2 ．25、（内江）分解因式：xy 2﹣2xy+x ＝ x （y ﹣1）2 ．26、（攀枝花）分解因式：a 2b ﹣b ＝ b （a+1）（a ﹣1） ．27、（宜宾）分解因式：b 2+c 2+2bc ﹣a 2＝ （b+c+a ）（b+c ﹣a ） ．28、（泸州冲刺卷）（1）分解因式：2=-m m 83 2m(m+2)(m-2) .（2）分解因式：=-222m ()()112-+m m .（3）分解因式：=+-962x x ()23-x 29、（泸州模拟）（1）分解因式：2a 2﹣2＝ 2（a+1）（a ﹣1） ．（2）分解因式：x 2﹣2x+1＝ ()21-x ． 30、（泸州冲刺卷）（1）分解因式：3x 3﹣12x ＝ 3x （x ﹣2）（x+2） ．（2）分解因式：2x 2﹣8＝ 2（x+2）（x ﹣2） ．（3）分解因式：3m 2﹣12＝ 3（m+2）（m ﹣2） ．（4）分解因式：2m 2+4m+2＝ 2（m+1）2 ．（5）分解因式：x 2﹣6x+9＝ （x ﹣3）2 ．31、（南充）分解因式：x 2﹣4（x ﹣1）= （x ﹣2）2 ．32、（巴中）分解因式：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．33、（达州）分解因式：x3﹣9x=x（x+3）（x﹣3）．34、（乐山）把多项式分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．35、（绵阳）因式分解：x2y4﹣x4y2=x2y2（y﹣x）（y+x）．36、（宜宾）分解因式：am2﹣4an2=a（m+2n）（m﹣2n）．37、（广安）分解因式：my2﹣9m=m（y+3）（y﹣3）．38、（株洲）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=（x﹣3）（4x+3）．39、（眉山）分解因式：xy2﹣25x=x（y+5）（y﹣5）．40、（宜宾）分解因式：x3﹣x=x（x+1）（x-1）．41、（深圳）分解因式：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．42、（绵阳）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y=y（x﹣）（x+）．。
初中八年级下因式分解提升课
初二数学因式分解提升课一、 知识点回顾1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法。
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：))((212x x x x a c bx ax --=++(1)a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2)a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4)a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---；(7)a n -b n =(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1)，其中n 为正整数；(8)a n -b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；(9)a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 二、典型例题讲解例1 分解因式：(1)5131214242n n n n n n x y x y x y --+-+-+-； (2)；(3) ； (4) ． 解 (1)原式=-2x n-1y n (x 4n-2x 2ny 2+y 4) =-2x n-1y n [(x 2n)2-2x 2ny 2+(y 2)2]=-2x n-1y n (x 2n-y 2)233386x y z xyz---752257a ab a b b -+-222222a bc bc ca ab ++-+-=-2x n-1y n (x n -y)2(x n +y)2．(2)原式=x 3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x 2+4y 2+z 2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a 2-2ab+b 2)+(-2bc+2ca)+c 2＝(a-b)2+2c(a-b)+c 2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a 2+(-b)2+c 2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a 7-a 5b 2)+(a 2b 5-b 7)=a 5(a 2-b 2)+b 5(a 2-b 2)=(a 2-b 2)(a 5+b 5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)=(a+b)2(a-b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)例2 分解因式： ． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析 我们已经知道公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3的正确性，现将此公式变形为 a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c 3-3abc=［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)．3333a b c abc ++-说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b 3+c 3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a 3+b 3+c 3=3abc ；当a+b+c ＞0时，则a 3+b 3+c 3-3abc ≥0，即a 3+b 3+c 3≥3abc ，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a 3≥0，y=b 3≥0，z=c 3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：1514132......1x x x x x ++++++．分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n -b n来分解．解 因为x 16-1=(x-1)(x 15+x 14+x 13+…x 2+x+1)，所以说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：398x x -+．分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)．解法2 将一次项-9x 拆成-x-8x ．原式=x 3-x-8x+8 =(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)．解法3 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3．原式=9x 3-8x 3-9x+8 =(9x 3-9x)+(-8x 3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)．解法4 添加两项-x 2+x 2．原式=x 3-9x+8 =x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)．说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)9633x x x ++-； (2) ；(3) ； (4) ． 解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x 9+x 6+x 3-1-1-1 =(x 9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)=(x 3-1)(x 6+x 3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2+x+1)(x 6+2x 3+3)．(2)将4mn 拆成2mn+2mn ．原式=(m 2-1)(n 2-1)+2mn+2mn=m 2n 2-m 2-n 2+1+2mn+2mn=(m 2n 2+2mn+1)-(m 2-2mn+n 2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x 2-1)2拆成2(x 2-1)2-(x 2-1)2．原式=(x+1)4+2(x 2-1)2-(x 2-1)2+(x-1)4()()22114m n mn --+()()()2442111x x x ++-+-33221a b ab a b -+++=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x 2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x 2-1)2=(2x 2+2)2-(x 2-1)2=(3x 2+1)(x 2+3)．(4)添加两项+ab-ab ．原式=a 3b-ab 3+a 2+b 2+1+ab-ab=(a 3b-ab 3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b 2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b 2+1)=[a(a-b)+1](ab+b 2+1)=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab ，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式： ． 分析 将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x 2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x 2+x=y ，则原式=(y+1)(y+2)-12=y 2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)=(x-1)(x+2)(x 2+x+5)．说明 本题也可将x 2+x+1看作一个整体，比如今x 2+x+1=u ，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．()()221212x x x x ++++-22例7 分解因式： ．分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2)-90．令y=2x 2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y 2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式： ．解 设x 2+4x+8=y ，则原式=y 2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x) =(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8)．说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式：432673676x x x x +--+．解法1 原式=6(x 4+1)＋7x(x 2-1)-36x 2=6［(x 4-2x 2+1)+2x 2］+7x(x 2-1)-36x 2=6[(x 2-1)2+2x 2]+7x(x 2-1)-36x 2=6(x 2-1)2+7x(x 2-1)-24x 2=[2(x 2-1)-3x ］［3(x 2-1)+8x]()()2222483482x x x x x x ++++++=(2x 2-3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明 本解法实际上是将x 2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x 2[6(t 2+2)+7t-36]=x 2(6t 2+7t-24)=x 2(2t-3)(3t+8)=x 2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x 2-3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 例10 分解因式： ．分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u ，xy=v ，则原式=(u 2-v)2-4v(u 2-2v)=u 4-6u 2v+9v 2=(u 2-3v)2=(x 2+2xy+y 2-3xy)2=(x 2-xy+y 2)2．()()22224x xy y xy x y ++-+练习一1．分解因式：(1) (2)1052x x +-；(3) (4) ．2．分解因式：(1)3234x x +-； (2)422211x x y y -+；221194n n x x y +-+42233222324444x x y xy x y y x y ⎛⎫--+++ ⎪⎝⎭()2543251x x x x x x +++++-(3)3292624x x x +++； (4)412323x x -+．3．分解因式： (1)()22223122331x x x x -+-+-； (2)43271471x x x x ++++；(3)()()3211x y xy x y ++---；(4)()()()231520x x x +-+-．四、课后反馈教学进度：学生掌握情况：存在问题及改进措施：。
(八下)因式分解提高训练(讲义)
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：授课时间：姓名年级八性别女教学课题因式分解提高训练教学目标引导学生探究换元法、双十字相乘法、待定系数法进行因式分解，提高学生计算能力。
结合中考、奥数对因式分解进行提高训练，培养学生解题能力。
重点难点重点：因式分解的方法，典型题练习。
难点：双十字相乘法、换元法、待定系数法分解因式。
课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________课堂教学过程一、分解因式要点回顾：把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。
因式分解是多项式乘法的逆向变形。
步骤：一、提二、套三、十字四、分组五、查分解因式过程中应注意的几个问题：（1）分解因式总是在指定的数集中进行，不作特别的说明，一般指实数范围内进行；（2）分解因式的结果是几个整式积的形式，而每一个因式都应分解到不能分解为止；（3）在提取公因式时，要防止出现提取不尽、提取全项后，得该项为零、提取系数为负的因式疏忽变号等错误；（4）运用公式法应当注意，当平方项不是一个字母或数时，可用“换元法”进行分解因式。
常用公式：；222)(2bababa±=+±；；2222)(222cbacabcabcba++=+++++；))((3222333cabcabcbacbaabccba---++++=-++；=+nn ba二、基础练习：1.将下列各式分解因式：（1）ax-3by-3ay+bx；（2）101332-+xx；（3）3223923161abbaba+-；（4）66yx-；（5）2222+-+--yxyxyx；（6）61135222-++--bababa;(7)3424422---++yxyxyx。
2.已知x=y+1,求多项式233222++-+-yxyxyx的值。
3.求证：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
4.求证：212355-能被120整除。
第7讲 因式分解一--提高班
第7讲因式分解（一）知识点1 提公因式法式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.【典例】例1（2020春•萧山区期末）812﹣81肯定能被（）整除．A．79B．80C．82D．83【方法总结】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．例2（2020秋•绥中县期末）已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（）A．6B．﹣1C．﹣5D．﹣6【方法总结】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握确定公因式的方法．【随堂练习】1．（2020秋•西丰县期末）若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（）A．6B．5C．4D．32．（2020秋•莱州市期中）（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（）A．﹣22019B．﹣22020C．22019D．﹣23．（2020春•宁远县期中）若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（）A．14B．16C．20D．40知识点2 公式法—平方差公式平方差公式：22()()-=+-a b a b a b①公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；②二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积【典例】例1（2020春•和平区期中）分解因式：x2﹣（x﹣3）2＝_________．【方法总结】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．例2（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．【方法总结】本题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【随堂练习】1．（2020•铁西区二模）因式分解：（x+2）2﹣9＝__________________．2．（2020秋•西峰区期末）因式分解：（a+b）2﹣4a2．知识点3 公式法—完全平方公式完全平方公式：222++=+a ab b a b2()2222()a ab b a b-+=-即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 【典例】例1 （2020秋•厦门期末）运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解，公式中的a可以是（）A．2x2B．4x2C．2x D．4x【方法总结】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．例2（2020秋•红桥区期末）若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m=254，n=52B．m=254，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n=52【方法总结】本题考查了因式分解﹣运用公式法，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．【随堂练习】1．（2020秋•北碚区期末）若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（）A．﹣25B．﹣15C．15D．202．（2020秋•陆川县期中）若x2+6x+p＝（x﹣q）2，则p，q的值分别为（）A．6，6B．9，﹣3C．3，﹣3D．9，3知识点4 提公因式法与公式法的综合目前，我们已经学习了两种分解因式的方法：提公因式法和公式法. 这两种方法经常需要配合使用，对于一个多项式，有公因式的，需要先提取公因式，然后再使用公式法.【典例】例1（2020秋•顺城区期末）因式分解：（1）mx2﹣my2；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．【方法总结】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．例2 （2020秋•中山区期末）分解因式：（1）﹣x2+4xy﹣4y2；（2）a3b﹣ab．【方法总结】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．例3（2020秋•肇州县期末）分解因式：（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）3ax2﹣6axy+3ay2．【方法总结】本题考查的是利用提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【随堂练习】1．（2020秋•南关区校级期末）因式分解：（1）x3﹣25x；（2）3x2+6xy+3y2．2．（2020秋•绥中县期末）因式分解：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．综合运用1．（2020春•高新区期末）若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2，则b﹣a的值（）A．3B．4C．5D．62．（2020•肥东县二模）把多项式（a+b）（a+4b）﹣9ab分解因式正确的是（）A．（a﹣2b）2B．（a+2b）2C．a（a﹣3b）2D．ab（a+3）（a﹣3）3．（2020春•上虞区期末）已知x﹣y=12，xy=43，则xy2﹣x2y的值是（）A．−23B．1C．116D．234．（2020•环江县一模）因式分解：2x2﹣x＝________________．5．（2020秋•西城区校级期中）分解因式：8ab3c+2ab＝________________．6．（2020春•和平区期末）分解因式：9（x+y）2﹣（x﹣y）2．7．（2020春•江阴市校级期中）因式分解（1）x2﹣9；（2）（x2+4）2﹣16x2．8．（2020秋•金昌期末）因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）9．（2020秋•南通期中）分解因式：（1）（x﹣2）（x+1）﹣4；（2）3a3﹣6a2b+3ab2．。
《因式分解》提高专题练习 有答案
《因式分解》提高专题练习一、选择题1、因式分解（x-1）2-9的结果是（）A．（x+8）（x+1）B．（x+2）（x-4）C．（x-2）（x+4）D．（x-10）（x+8）2、下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（）A．-m2+4 B．-x2-y2 C．x2y2-1 D．（m-a）2-（m+a）2 3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）A．a2-b2 B．-x2-y2 C．49x2-y2z2 D．16m4n2-25p24、把多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（）A．（a-b）（a+b+c）B．（a-b）（a+b-c）C．（a+b）（a-b-c）D．（a+b）（a-b+c）5、下列分解因式正确的是（）A．2x2-xy-x=2x（x-y-1）B．-xy2+2xy-3y=-y（xy-2x-3）C．x（x-y）-y（x-y）=（x-y）2 D．x2-x-3=x（x-1）-36、把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为（）A．2 B．3 C．-2 D．-37、若x2+mx-15=（x+3）（x+n），则m的值是（）A．-5 B．5 C．-2 D．28、已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b，c的值为（）A．b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D．b=-4，c=-6 9、下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（x+1）（x-1）=x2+1 B．x2+6x+9=x（x+6）+9C．a2-16+3a=（a+4）（a-4）+3a D．x2+3x+2=（x+1）（x+2）10、把多项式2ab－a2－b2＋1分解因式，正确的分组方法是（）A．1＋（2ab－a2－b2）B．（2ab－b2）－（a2－1）C．（2ab－a2）－（b2－1）D．（2ab＋1）－(a2＋b2)11、若4x2－Mxy＋9y2是两数和的平方，则M的值是（）A ．36B ．±36C ．12D ．±1212、若n 为任意整数，(n ＋11)2－n 2的值总可以被k 整除，则k 的值为（ ）A ．11B ．22C ．11的倍数D ．11或22二、填空题13、18x n +1－24x n = ．14、(m ＋n )(x －y )－(m ＋n )(x ＋y ) = ．15、多项式x 2+mx +5因式分解得（x +5）（x +n ），则m = ，n = ．16、若m 2－n 2=6，且m －n=2，则m ＋n= ______ ．17、若3a ＋b ＝50，a －3b ＝11，则(2a －b )2－(a ＋2b )2＝____________．18、若100x 2＋kxy ＋49y 2可以分解成(10x －7y )2，则k 的值为__________________．19、如果a 2－8ab ＋16b 2＝0，且b ＝2.5，那么a ＝_______________．20、分解因式：(a +2)(a －2)+3a = ．三、解答题21、因式分解（1）()y x y x m +--2 （2）15(a －b )2－3y (b －a ) (3)－(a ＋b )2＋(2a －3b )2；(4)49(x －2)2－25(x －3)2． (5)a 2－6a (b －c )＋9(b －c )2；(6)4(x ＋y )2＋25－20(x ＋y)（7）1272+-a a （8）822-+m m （9）2286n mn m +-（10）x 2－6ax －9b 2－18ab （11）a 2－b 2－4a +4b(12) 1－4a 2+4ab －b 2（13）a 2－3a －ab +3b （14）a 2－1+b 2－2ab22、运用因式分解计算(1) 1.222×9－1.332×4； (2)2221000252248-；(3) 992+198+1 (4) 342＋34×32＋16223、已知 3 2a bab +==，，求22ab b a --的值24、已知4m ＋n ＝90，2m －3n ＝10，求(m ＋2n )2－(3m －n )2的值．25、观察：32－12＝8，52－32＝16，72－52＝24，92－72＝32……(1)根据上述规律填空：132－112＝_______，192－172＝_______．(2)你能用含n 的等式表示这一规律吗？并说明它的正确性．26、已知x 、y 为任意有理数，若M ＝x 2＋y 2 ，N ＝2xy ，你能确定M 、N 的大小吗？为什么？27、已知016)2)(22(2222=-+-+y x y x ，求22442y x y x ++的值.28、已知ab b a b a 412222=+++，求a 、b 的值.29、已知：a 、b 、c 为△ABC 三边，求证：04)(222222<--+b a c b a答案1、B2、B3、B4、A5、C ．6、A7、C8、D 9、D 10、A 11、D 12、 C13、6x n (3x-4) 14、-2y(m+n) 15、6 1 16、3 17、550 18、-140 19、10 20、（a+4）(a-1)21、（1）（x-y ）(mx-my-1) (2)3(a-b)(5a-5b+y) （3）(3a-2b)(a-4b)（4） (12x-29)(2x+1) （5）(a-3b+3c)2 （6） (2x+2y_5)2（7）(a-3)(a-4) （8）(m+4)(m-2) （9） (m-2n)(m-4n)(10)(x+3b)(x-3b-6a) (11)(a+b-4)(a-b) (12)(1+2a-b)(1-2a+b)(13)(a-b)(a-3) (14)(a-b-1)(a-b+1)22、（1）6.32 （2） 500 （3）10000 （4） 250023、-ab(a+b) -624、(4m+n)(-2m+3n) -90025、 (1)48 72 (2)(2n+1) 2-(2n-1)2=8n26、M-N=(x-y)2≥0 所以M≥N27、解法一：把（x 2+y 2）看作一个整体，由已知得：2（x 2+y 2）〔(x 2+y 2)－2〕－16=0，化简得：2(x 2+y 2)2－4（x 2+y 2）－16=0分解因式得：2（x 2+y 2+2）（x 2+y 2－4）=0可得：x 2+y 2=－2或x 2+y 2=4因为x 2+y 2≥0，故x 2+y 2=－2舍去.所以x 2+y 2=4所以x 4+y 4+2x 2y 2=(x 2+y 2)2=16.解法二：换元法：设x 2+y 2=a ，由已知得2a （a －2）－16=0，解得a =－2或a =4，负值舍去，故a =4.所以x 4+y 4+2x 2y 2=(x 2+y 2)2=a 2=16.28、解答：由已知得：04-12222=+++ab b a b a ， 所以0)2-()122222=+++-ab b aab b a （， 即0)()122=-+-b a ab （，因为0)(,0)1(22≥-≥-b a ab， 所以001=-=-b a ab 且，解之得：1,1==b a或者1,1-=-=b a 29、解答：)2)(2(4)(222222222222ab c b a ab c b a b a c b a --++-+=--+ ))()()((c b a c b a c b a c b a --+--+++=a 、b 、c 为△ABC 三边， 所以a 、b 、c 都大于0，且a +b >c ，a +c >b ， b +c >a ， 所以0>++c b a ，0>-+c b a ，0>+-c b a ，0<--c b a ， 故而04)(222222<--+b a c b a .。
著名机构七年级数学秋季提升班讲义因式分解综合复习课后作业-教师版
【作业1】分解因式：5324(1)21632x x y xy -+- 222(2)()18()72x x x x +-++22(3)(32)4()m n m n +-- 22(4)310x xy y -++2(5)(21)6(12)9x x -+-+ 22(6)464n n x x +--【答案】（1）222(2)(2)x x y x y -+- （2）(4)(3)(3)(2)x x x x +-+-（3）5(4)m m n +（4）(2)(5)x y x y -+-（5）24(2)x -（6）224(4)(2)(2)n x x x x -++-【作业2】已知2246130x y x y ++-+=，求22x y - 的值．【答案】-5【作业3】因式分解：21(1)44n n n a a a ++++ 11(2)4n n a a +--因式分解综合复习【分析】先提取公因式，确定公因式的方法：(1)系数公因式：应取多项式中各项系数的最大公因数(2)字母公因式：应取多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂的积【答案】2122(1)44(44)(2)n n n n n aa a a a a a a ++++=++=+11121(2)4(4)(2)(2)n n n n a a a a a a a +----=-=+-【作业4】因式分解：212(1)6n n n aa b a b ++-- 11(2)248n n n a a a +--+ 【答案】21222(1)6(6)(3)(2)n n n n n a a b a b a a ab b a a b a b ++--=--=-+111212(2)2482(44)2(2)n n n n n a a a a a a a a +----+=-+=-【作业5】因式分解：2(1)()3()2m n m n ---+ 2(2)(21)6(12)9x x -+-+【分析】借助换元法来讲解。
《因式分解法》同步提升训练
《因式分解法》提升训练1.一元二次方程(3)30x x x -+-=的根是（ ）和3 和22.已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该三角形的周长为（ ）或103.方程2||x x =的根是 .4.若分式2562x x x +++的值为0，则x 的值为 . 5.若正数a 是一元二次方程25=0x x m -+的一个根，－a 是一元二次方程2x 50x m +-=的一个根，则a 的值是 .6.已知2215500(0)x xy y xy -+=≠，则x y的值是 . 7.用因式分解法解下列方程：（1）222(3)9x x -=-；（2）22(32)40x x +-=；（3）5(23)1015x x x -=-. 8.【类比思想】（滨州中考）（1）根据要求，解答下列问题：①方程2210x x -+=的解为 ；②方程2320x x -+=的解为 ；③方程2430x x -+=的解为 ....（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程2980x x -+=的解为 ；②关于x 的方程的解为11x =，2x n =；（3）请用配方法解方程2980x x -+=，以验证猜想结论的正确性.【微专题4】运用十字相乘法解一元二次方程【注重阅读理解】阅读下列材料：（1）将2235x x +-分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：2x x x =⋅，35(5)(7)-=-⨯+.②交叉相乘，验中项：.③横向写出两因式：2235(7)(5)x x x x +-=+-.我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.（2）根据乘法原理：若0ab =，则=0a 或0b =.试用上述方法和原理解下列方程（1）2540x x ++=；（2）2670x x --=；（3）2680x x -+=；（4）2260x x +-=.参考答案：，±14.－3或107.（1）解：13x =，29x =.（2）解：125x =-，22x =-.（3）解：11x =，232x =. 8.（1）121x x == 11x =，22x = 11x =，23x =（2）①11x =，28x = ②2(1)0x n x n -++=（3）解：由298x x -=-，配方，得2949()24x -=，即9722x -=±，所以11x =，28x =. 微专题4（1）解：11x =-，24x =-.（2）解：17x =，21x =-.（3）解：12x =，24x =（4）解：132x =，22x =-.。
因式分解拓展提高
n nn 1 n 1 nn 1 1
2 2 2
2
（16）已知实数a b满足ab=1 a+b+2 求代数式
a²b+ab² 解：a²b+ab² =ab(a+b) 因为ab=1 a+b=2 所以 原式=1×2=2
（17） 应用提取公式法进行简便运算 2012+2012²-2013²
4 8 16 32 8 16 32
16 32
的个位数字
2 -12 12 12 12 12 1 2 -12 12 12 12 1 2 -12 12 12 1 2 2 2 4 2 -12 12 1 2 8 2 16 2 -12 1 2 32 2 -1 所以： 2 - 1 个位数字是5
6
所以这两个整数是65和64
1.阅读下列因式分解的过程，再回答所 提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)² =(1+x)[1+x+X(x+1)] =(1+x)²(x+1) =(1+x)³
(1)上述因式分解的方法是 共运用了 二 次 提取因式法
2 2009 1 x x ( x 1 ) x ( x 1 ) ... x ( x 1 ) (2）若分解
14 14
10
10
n
即： n=14
11、已知 a²-4a+9b²+6b+5=0 求a+B的值
解： a²-4a+9b²+6b+5=0 a²-4a+4 +9b²+6b+1 =0 (a-2)² +(3b+1) =0 ²
八年级上册数学同步培优：第12讲 因式分解二--提高班
第12讲 因式分解（二）⎧⎪⎨⎪⎩十字相乘法因式分解法（二）分组分解法因式分解的综合应用 知识点1 十字相乘法对于像这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c 分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：．【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ．【方法总结】用十字相乘法对一个形如的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a 2+4a ﹣15= ．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x 3﹣12x 2﹣15x= ． 【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二2ax bx c ++a 12a a ，12c c ，1221a c a c +1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））2ax bx c ++次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y ）2+5（x+y ）﹣6= ．【方法总结】如果式子可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x 既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x 就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2018春•相城区期中）若x 2+mx ﹣15=（x+3）（x+n ），则m ﹣n 的值为____．2．（2017秋•临颍县期末）仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x 2﹣4x+m 有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x 2+5x ﹣m 有一个因式是（3x ﹣1），求另一个因式以及m 的值． 3．（2017秋•阳泉期末）阅读与思考 x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解x 2+（p+q ）x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p ）（x+q ）=x 2+（p+q ）x+pq ，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）2ax bx c ++（x+q）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6=2×（﹣3），一次项系数﹣1=2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值。
因式分解》提升训练
因式分解》提升训练4.1 因式分解同步训练一、选择题1.选B。
将8x2-10x+2分解为2(4x2-5x+1)，而2x+2是4x2-4x的因式，因此选B。
2.选D。
x2-xy+y2可分解为(x-y)2，而其他三个多项式不能分解。
3.选B。
将x2-5x+6分解为(x-2)(x-3)，而其他三个选项是已知的等式或错误的因式分解。
4.选C。
x2+6x+9可分解为(x+3)2，而其他三个选项是正确的因式分解。
5.选B。
将x2-px-6分解为(x-3)(x+p)，因此p=5.6.选D。
将x2+3x+c分解为(x+1)(x+2)，则c=-2.7.选A。
(3a-y)(3a+y)可分解为9a2-y2，而其他三个选项是错误的因式分解。
8.选A。
___同学的其他三个题都分解得很完整，只有x3-x=x(x2-1)没有继续分解。
9.选C。
m2-n不能因式分解，m2-m+1可写成(m-1)2+1，m2-2m+1可分解为(m-1)2，而m2-2m+1也可写成(m-1)(m-1)。
二、填空题10.n=211.b=-212.a=513.x2y-ax=y(x2-ay)14.k=615.m=100.n=-2三、解答题略。
1)已知$x-y=2+a$，$y-z=2-a$，且$a^2=7$，求$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$的值。
解：将$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$化简得$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$，代入已知条件得$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(a^2+4)=30$，所以$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=30$。
2)已知对多项式$2x^3-x^2-13x+k$进行因式分解时有一个因式是$2x+3$，求$4k^2+4k+1$的值。
解：由因式定理可知$2x+3$是$2x^3-x^2-13x+k$的一个因式，则$2x^3-x^2-13x+k=(2x+3)(ax^2+bx+c)$，将$x=-\frac{3}{2}$代入得$k=-\frac{27}{4}-\frac{9}{2}a+b$，将$x=1$代入得$k=2+a+b+c$，将$x=-\frac{1}{2}$代入得$k=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}b-\frac{1}{2}c$，解得$a=-\frac{1}{2}$，$b=5$，$c=-\frac{7}{2}$，代入得$4k^2+4k+1=441$。
初一因式分解的方法和能力提高训练
因式分解能力提高因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例 1、分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考题 )x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例 2、分解因式 a +4ab+4b (2003 南通市中考题 )解： a +4ab+4b = ( a+2b )3、分组分解法要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式 a，把它后两项分成一组，并提出公因式 b，从而得到 a(m+n)+b(m+n), 又可以提出公因式 m+n ，从而得到(a+b)(m+n) 例 3、分解因式 m +5n-mn-5m 解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于 mx +px+q 形式的多项式，如果 a×b=m,c× d=q 且 ac+bd=p ，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例 4、分解因式 7x -19x-6 分析： 1 -3722-21=-19解： 7x -19x-6= (7x+2 )(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例 5、分解因式 x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
第7讲 因式分解一--提高班
第7讲因式分解（一）知识点1 提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.【典例】1.因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）= ．【方法总结】确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.2.如果x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2= ．【方法总结】如果所求的式子是个多项式，先对式子进行因式分解，然后再代入题干中给出的其他条件（或对其他条件进行整理后，再代入）进行计算.3.计算：﹣5652×0.13+4652×0.13= ．【方法总结】以前学习过乘法分配律，a(c+b)=ac+ab, 对于这类题而言，提公因式法更像是乘法分配律的逆运算，先找到相同的数字（有时是幂，需提取最低次幂），提取到括号的外边，然后对剩下的部分整理，再计算.【随堂练习】1．（2018春•郓城县期末）若x+y=1，xy=﹣7，则x2y+xy2=_____．2．（2017•崇安区一模）分解因式（x+y）2﹣3（x+y）的结果是______．知识点2 公式法—平方差公式平方差公式：22()()-=+-a b a b a b①公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；②二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积【典例】1.分解因式：a2﹣81= ．【方法总结】利用平方差公式进行因式分解，一定要先判断这个多项式是否满足平方差公式因式分解的条件，即: 公式左边是一个二项式，且两项的符号相反；二项式中，每一项都可以化成某个数或式的平方形式．2.多项式（3a+2b）2﹣（a﹣b）2分解因式的结果是（）A. （4a+b）（2a+b）B. （4a+b）（2a+3b）C. （2a+3b）2D. （2a+b）2【方法总结】利用平方差公式：22()()-=+-进行因式分解时，需要注意，式子里的a和b可以a b a b a b是数字、字母或者式子.【随堂练习】1．（2018春•凤翔县期中）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．（2018•绍兴）因式分解：4x2﹣y2=_______．知识点3 公式法—完全平方公式完全平方公式：222++=+a ab b a b2()222-+=-a ab b a b2()即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 【典例】1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A. 4x2﹣12xy+9y2B. 2x2+4x+1C. 2x2+4xy+y2D. x2﹣y2+2xy【方法总结】需要注意的是，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的 形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.2.分解因式4+12（a ﹣b ）+9（a ﹣b ）2= ．【方法总结】利用完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+，2222()a ab b a b -+=-进行因式分解时，需要注意，式子里的a 和b 可以是数字、字母或者式子.另外，分解因式时，需要注意，因式分解一定要分解到不能再分解为止.3.已知x=y+95，则代数式x 2﹣2xy+y 2﹣25= ．【方法总结】如果问题中的式子是个多项式，先对问题中的式子进行因式分解（有时是部分因式分解，目的是整理出与条件相接近或相同的式子），然后再代入题干中的条件进行运算.【随堂练习】1．（2018春•高邮市期中）若m=4n+3，则m 2﹣8mn+16n 2的值是____2．（2017•东方模拟）分解因式：9x 2﹣6x+1=_______．知识点4 提公因式法与公式法的综合目前，我们已经学习了两种分解因式的方法：提公因式法和公式法. 这两种方法经常需要配合使用，对于一个多项式，有公因式的，需要先提取公因式，然后再使用公式法.【典例】1.把多项式x 3﹣4x 分解因式所得的结果是（ ）A. x（x2﹣4）B. x（x+4）（x﹣4）C. x（x+2）（x﹣2）D. （x+2）（x﹣2）【方法总结】对一个多项式进行因式分解，如果有公因式的，先提取公因式，再使用公式法因式分解.2.把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解，正确的是（）A. a（2a+b）2B. b（2a+b）2C. b（a+2b）2D. 4b（a+b）2【方法总结】对一个多项式进行因式分解，如果有公因式的，先提取公因式，再使用公式法因式分解.【随堂练习】1．（2017秋•沾化区期末）分解因式：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）22．（2018春•慈溪市期中）因式分解：（1）3x2﹣9xy（2）4x3y﹣9xy33．（2018春•武冈市期中）把下列多项式因式分解：（1）x2﹣4（2）4x4+8x3y2+4x2y4综合运用1.因式分解：16x2y﹣xy= ．2.因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）= ．3.利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100+299= ．4.若m﹣n=3，mn=﹣2，则4m2n﹣4mn2+1的值为．5.分解因式：x2﹣9y2．6.分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是_______.7.已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为．8.分解因式：b2﹣12b+36= ．9.分解因式：ax4﹣9ay2= ．10.把多项式3a3﹣12a2+12a分解因式的结果是．11.把多项式5a3b﹣10a2b+5ab分解因式的结果是．12.因式分解：（x2﹣6）2﹣6（x2﹣6）+9.。
因式分解练习提高班
因式分解例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
解：例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。
解：1. 证明：812797913--能被45整除。
2 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。
2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
3. 在几何题中的应用。
例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
题型展示：例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。
寒假特训培优三因式分解+扩展提升
一、公因式法二、公式法三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .例5、分解因式：652++x x例6、分解因式：672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：221288b ab a --练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。
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因式分解例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
解：例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。
解：1. 证明：812797913--能被45整除。
2 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。
2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
3. 在几何题中的应用。
例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
题型展示：例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。
例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5550++=例3. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。
1. 分解因式：（1）()()a a +--23122（2）x x y x y x 5222()()-+-（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-2. 已知：x x +=-13，求x x441+的值。
3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。
5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求 （1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b()()()111111+++++的值。
4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ）A a aB a aC a aD a a .().().().()222222221111+--+++--例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+-2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足a b a c b ac >+<+，2222 证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：3. 在方程中的应用例：求方程x y xy -=的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与y ，故可考虑借助因式分解求解例3. 分解因式：x x x 323412+--=____________ 解：5、题型展示：例1. 分解因式：m n mn n 222141()-+-+解例2. 已知：a b c d ac bd 2222110+=+=+=，，且，求ab+cd 的值。
解：例3. 分解因式：x x 323+-1. 填空题：（）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：13322444311222233a a b b x x xy y y mn mn m n --+=--++=---=()2. 已知：a b c a a c abc b c b ++=+-++03223，求的值。
3. 分解因式：15++a a4. 已知：x y z A x y z x y z x y x z A 2223330--=--=--，是一个关于的一次多项式，且,,()()，试求A 的表达式。
5. 证明：()()()()()a b ab a b ab a b +-+-+-=--221112225、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式()()x a b x ab x a x b 2+++=++()进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax bx c 2++（a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax bx c 2++即()a a x a c a c x c c 122122112+++可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x x 211240-+>，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解：例2. 如果x x mx mx 43222-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
2. 在几何学中的应用例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
3、在代数证明题中的应用例. 证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。
5、题型展示例1. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ） A. 1B. -1C. ±1D. 2解：例2. 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足()()()a c b a c b -=--24。
求证：a b b c -=-证明：例3. 若x x x a 3257+++有一因式x +1。
求a ，并将原式因式分解。
解：7、因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。
【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x x 3234+-3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：例1.在∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2证明：说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知：x x x x+=+=12133，则__________ 解 题型展示：1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。
解：2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。
解：【实战模拟】 1. 分解因式：（）（）131083108233315543222x x x x x a a a a ---+++-++-()()（）（）323352476223x xy y x y x x --+-+-+2. 已知：x y xy x y +==-+6133，，求：的值。
3. 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y xy y 32230+--=，求矩形的面积。
4. 求证：n n 35+是6的倍数。
（其中n 为整数）5. 已知：a 、b 、c 是非零实数，且a b c a b c b c a c a b22211111113++=+++++=-，()()()，求a+b+c 的值。