(整理)备考高考数学--高考总复习课标版数学33函数的单调性与最值(限时练习)
函数的单调性与最值练习题(适合高三)
函数的单调性与最值练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A.(1,)+∞B.(2,)+∞C.(,0)-∞D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加4．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜x 取值范围是( )A. B. C.7．已知(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，31） C.［71，31） D.［71，1）8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜的x 取值范围是（ ）（A ）（∞- （B ） （C ）∞+） （D ） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2xy = B ．1y x= C ．2y x = D ．tan y x = 11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每小题4分）13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是14．设函数()f x =⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x xx x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 . 21．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________．22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .23．若函R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．B 【解析】试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。
高考数学复习函数的单调性与最值专题训练(含答案)
16年高考数学复习函数的单调性与最值专题训练（含答案）函数的单调性也可以叫做函数的增减性，下面是函数的单调性与最值专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.下列函数中，既是偶函数又在(0，+)内单调递减的函数是().A.y=x2B.y=|x|+1C.y=-lg|x|D.y=2|x|解析对于C中函数，当x0时，y=-lg x，故为(0，+)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.答案C.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-，-1)(1，+)解析f(x)在R上为减函数且f(|x|)|x|1，解得x1或x-1.答案D.若函数y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，a0，b0，y=ax2+bx的对称轴方程x=-0，y=ax2+bx在(0，+)上为减函数.答案B4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1)，则函数g(x)的递减区间是().A.(-，0]B.[0,1)C.[1，+)D.[-1,0]解析g(x)=如图所示，其递减区间是[0,1).故选B.答案B.函数y=-x2+2x-3(x0)的单调增区间是()A.(0，+)B.(-，1]C.(-，0)D.(-，-1]解析二次函数的对称轴为x=1，又因为二次项系数为负数，，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(-，0).答案C.设函数y=f(x)在(-，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|，当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为().A.(-，0)B.(0，+)C.(-，-1)D.(1，+)解析f(x)=f(x)=f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(-，-1).答案C二、填空题.设函数y=x2-2x，x[-2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=________.解析函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.当-21时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a;当a1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1.综上，g(a)=答案.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.解析y=-(x-3)|x|作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则a的取值范围是________.解析当a=0时，f(x)=-12x+5在(-，3)上为减函数;当a0时，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则对称轴x=必在x=3的右边，即3，故0答案10.已知函数f(x)=(a是常数且a0).对于下列命题：函数f(x)的最小值是-1;函数f(x)在R上是单调函数;若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a对任意的x10，x20且x1x2，恒有f.其中正确命题的序号是____________.解析根据题意可画出草图，由图象可知，显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数，故错误;若f(x)0在上恒成立，则2a-10，a1，故正确;由图象可知在(-，0)上对任意的x10，x20且x1x2，恒有f成立，故正确.答案三、解答题.求函数y=a1-x2(a0且a1)的单调区间.当a1时，函数y=a1-x2在区间[0，+)上是减函数，在区间(-，0]上是增函数;当0x12，则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，由x22，得x1x2(x1+x2)16，x1-x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，+)上是增函数，只需f(x1)-f(x2)0，即x1x2(x1+x2)-a0恒成立，则a16..已知函数f(x)=a2x+b3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性;(2)若ab0，求f(x+1)f(x)时的x的取值范围.解(1)当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增;当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.(2)f(x+1)-f(x)=a2x+2b3x0.(i)当a0，b0时，x-，解得x(ii)当a0，b0时，x-，解得x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函数.(2) f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，要练说，得练看。
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)本文档将介绍函数的单调性以及如何求函数的极值点和最值。
这些概念是在研究高等数学中非常重要的一部分。
函数的单调性函数的单调性描述了函数图像在定义域内的变化趋势。
一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某个区间内既递增又递减。
判断函数的单调性需要观察函数的导数。
如果函数的导数恒大于零（导函数递增），则函数单调递增；如果导数恒小于零（导函数递减），则函数单调递减。
如果导数在某个区间内既大于零又小于零，则函数在该区间内既递增又递减。
下面是一些相关联系。
练题：1. 设函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的单调区间。
- 解答：- 首先求导数：$f'(x)=3x^2-6x$- 然后求解 $f'(x)=0$ 的解，即 $3x^2-6x=0$ ，解得 $x=0, 2$- 将 $x=0$ 和 $x=2$ 代入 $f'(x)$ 的导数符号表，得到如下结果：| $x$ | $(-\infty,0)$ | $(0,2)$ | $(2,+\infty)$ |- 由上表可以看出，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上递减，在区间 $(0,2)$ 上递增，而在区间 $(2,+\infty)$ 上递增，所以函数的单调区间分别为 $(-\infty, 0)$ 和 $(2,+\infty)$。
求函数的极值点和最值函数的极值点是函数某一段上的极大值或极小值点。
函数的最大值和最小值是函数在整个定义域上的最大值和最小值。
为了求函数的极值点和最值，我们需要找到函数的临界点和边界点。
- 临界点：函数定义域内导数为零或不存在的点。
- 边界点：函数定义域的端点。
对于一个函数，如果它有极值点，那么极值点一定在函数的临界点和边界点处。
下面是一些相关练。
练题：1. 设函数 $g(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求 $g(x)$ 的极值点和最值。
函数的单调性与最值专题复习(附答案)
2函数的单调性与最值准提复习（附答案）一．高考要求：1. 了解函数单调性的概念；2. 掌握判断一些简单函数单调性的方法；3. 了解函数最值的定义，掌握求函数最值的基本方法。
二．双基梳理1.函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数；2.判断函数的单调性方法：定义法；图像法；导数法；利用已知函数法；复合函数法：同增异减。
3.函数的最大（小）值：设函数)(x f y =的定义域为A ，如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。
4．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
函数的单调性与最值(基础+复习+习题)
函数的单调性与最值一.函数单调性和单调区间的定义：①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。
②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数.3.单调性的定义①的等价形式： 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数； ()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数。
4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 5.在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则 ③ ()()f x g x +为增函数；②()1()0()f x f x >为减函数；()()0f x ≥为增函数；④()f x -为减函数.〖针对性练习〗1.函数1y x=-的单调区间是（ ）A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0） （1，∞，） C.（-∞，1） 、（1，∞） D. （-∞，1）（1，∞）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A ．32y x =-+B ．3y x= C ．245y x x =-+ D ．23810y x x =+-3．函数y =的增区间是（ ）。
高考数学复习、高中数学 函数的单调性与最值附答案解析
第2节 函数的单调性与最值课标要求:1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 知识衍化体验知 识 梳 理1.函数的单调性自左向右看图象是______自左向右看图象是______2.函数的最值[微点提醒]1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).() 2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x3.函数y＝2x－1在区间[2，3]上的最大值是________.4.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝－1f（x）在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数5.若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A. f(m)>f(1)B. f(m)<f(1)C. f(m)≥f(1)D. f(m)≤f(1)6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)考点聚焦突破考点一讨论函数的单调性【例1】(1)(2019·东北三省四校质检)若函数y＝log12(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为()A.(－∞，－4)∪[2，＋∞)B.(－4，4]C.[－4，4)D.[－4，4](2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1<a<3)在x∈[1，2]上的单调性.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】(一题多解)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性.考点二求函数的最值【例2】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg(x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________.(2).(2016北京理科14)设函数f (x )=3x 3x,x a,2x,x a.⎧-≤⎨->⎩若a =0,则f(x )的最大值为 ;若f(x )无最大值,则实数a 的取值范围是 .规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练2】 (1)(2019·郑州调研)函数f (x )＝x －1x 2在x ∈[1，4]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( ) A.3116B.2C.94D.114(2)(2018·邵阳质检)定义max{a ，b ，c ，}为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6考点三 函数单调性的应用多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2017全国III 卷理科15)设函数f (x )=1,0,02x x x x +≤⎧⎪⎨>⎪⎩则满足f (x )+f 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>1的x 的取值范围是 .角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】(16年天津理科8题)已知函数f(x)=()()2a x 4a 3x 3a,x 0,log x 11,x 0,⎧+-+<⎪⎨++≥⎪⎩ (a>0且a≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f(x)|=2-x 恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 ( )A.20,3⎛⎤⎥⎝⎦ B.23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.123,334U ⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D.123,334U ⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.【训练3】 (1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b(2) 已知f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________.第2节 函数的单调性与最值知识衍化体验知 识 梳 理f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的 f (x )≤M ； f (x )≥M ；f (x 0)＝M f (x 0)＝M基 础 自 测1.(1)√ (2)× (3)× (4)×2.A3. 24.D5.A6. D考点聚焦突破 【例1】 (1) D(2)解 f (x )在[1，2]上单调递增，证明如下：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增. 【训练1】 (一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 解 法一 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， 由于－1<x 1<x 2<1，。
高考数学专题复习：函数的单调性和最值
高考数学专题复习：函数的单调性和最值一、单选题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是（ ）A ．2y x =B ．3y x =-C ．1y x = D ．24y x =-+2．设函数()f x 为单调函数，且()0,x ∈+∞时，均有2()1f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()1f =（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．03．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()()210x f x ++≥的x 的取值范围是（ ）A ．[][)3,21,--⋃+∞B ．[][]5,32,1--⋃--C ．[][)3,21,--⋃-+∞D ．[][]3,21,1--⋃-4．函数()(2)3f x k x =-+在R 上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（-∞，0） B ．（-∞，6） C ．（1，+∞） D ．（2，+∞） 5．对于函数()y f x =，其定义域为D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件： ①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当()f x 的定义域为[],m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[],m n 是函数()f x 的“K 区间”．若函数()f x a =（0a >）存在“K 区间”，则a 的取值范围为（ ）A ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．﹣17．函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-8．已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（ ） A ．(),3-∞-B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞ 9．函数1()f x x a =+在[1,3]上单调，则实数a 的取值范围（ ） A ．(3,1)--B ．(1,3)C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃-+∞ 10．定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．()1,311．对,a b ∈R ，记{},,max ,,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数()max{1,3}()f x x x x R =+-∈的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 12．已知函数2k y x =-（0k >）在[]4,6上的最大值为1，则k 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．函数()f x =________.14．已知函数2()2f x x ax a =-++，a ∈R ，若()f x 在区间[1,1]-上的最大值是3，则a 的取值范围是________.15．已知函数()()()()()24312121x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+-+>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是______．16．函数y =________.三、解答题17．已知函数()()01ax f x bx a x =+≠- （1）若1a b ==，求()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值；（2）若0b =，试讨论函数()f x 在()1,1-上的单调性．18．已知函数212()21f x x x =+-，求函数()f x 在区间[]3,1--上的最值.19．已知函数()1f x x x=+. (1) 证明函数()f x 在()1,+∞上是增函数；(2) 求()f x 在[]2,4上的最值.20．设0a >，当11x -时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求a ，b 的值.21．已知函数1()2f x x a =+，且1(2)5f =． （1）求a 的值；（2）试判断函数在(1,)+∞上的单调性，并给予证明；（3）求函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值．22．已知函数()12x f x x -=+，[]3,5x ∈. （1）判断函数()f x 的单调性，并证明；（2）求函数()f x 的值域.参考答案1．A【分析】由基本函数的性质逐个分析判断【详解】解：对于A ，2y x =是过原点，经过一、三象限的一条直线，在R 上为增函数，所以A 正确，对于B ，3y x =-是一次函数，且10-<，所以R 上为减函数，所以B 错误，对于C ，1y x =是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在(0,1)上是减函数，所以C 错误，对于D ，24y x =-+是二次函数，对称轴为y 轴，开口向下的抛物线，在(0,1)上是减函数，所以D 错误，故选：A2．D【分析】由函数()f x 为单调函数且2(())1f f x x+=，知2()f x x+为常数，然后利用待定系数法求出函数()f x 的解析式，再求f （1）的值． 【详解】 解：函数()f x 为单调函数，且2(())1f f x x+=， 2()f x x ∴+为常数，不妨设2()f x a x+=， 则2()f x a x =-，原式化为f （a ）1=， 即21a a-=，解得2a =或1a =-（舍去）， 故2()2f x x =-，f ∴（1）220=-=，故选：D ．3．D【分析】根据题意，做出草图，再分2x <-，2x >-，2x =-三种情况讨论求解即可.【详解】根据题意，画出函数示意图：当2x <-时，210x -≤+≤，即32x -≤<-；当2x >-时，012x ≤+≤，即11x -≤≤；当2x =-时，显然成立，综上[][]3,21,1x ∈--⋃-.故选：D4．D【分析】根据一次函数的图象与性质，得到20k ->，即可求解.【详解】由题意，函数()(2)3f x k x =-+在R 上是增函数，根据一次函数的图象与性质，可得20k ->，即2k >，所以实数k 的取值范围是(2,)+∞.故选：D.5．C【分析】由已知结合函数的单调性可求m ，n 的关系，然后把原问题转化为函数图像的交点问题，结合二次函数的性质可求．【详解】因为()f x 在[],m n 上是单调减函数，所以a na m==，n m =-=，1，故11a n a m ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 欲使得关于m ，n 的方程组在0m n <≤时有解，需使y a =与21y x x =-+（0x ≥）的图像有两个交点，21y x x =-+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当12x =时，函数取得最小值34，当0x =时，函数取得最大值1， 故a 的取值范围为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：C ．6．A【分析】先求出函数()f x 的解析式，将2x =-代入计算即可.【详解】因为函数()f x 在定义域R 上单调，且(()2)1f f x x +=，所以()2f x x +为常数，不妨设()2f x x t +=，则()2f x t x =-由(()2)1f f x x +=得()21f t t t =-=，解得：1t =-，所以()21f x x =--，所以(2)2(2)13f -=---=.故选：A7．D【分析】 先求出抛物线的对称轴2(1)12m x m -=-=--，而抛物线的开口向下，且在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，从而可求出m 的取值范围【详解】解：函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--， 因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-，所以m 的取值范围为(],3-∞-，故选：D8．A【分析】根据()f x 在R 上单调递增可求解.【详解】易得函数()f x 在R 上单调递增，则由()()324f x f x +<-可得324x x +<-，解得3x <-，故不等式的解集为(),3-∞-.故选：A ．9．D【分析】 结合函数1()f x x a=+的单调性分类讨论即可. 【详解】 因为函数1()f x x a =+在(,)a -∞-和(,)a -+∞上单调递减，由题意，1()f x x a =+在[1,3]上单调，所以<1a -或3a ->，解得1a >-或3a <-，所以a 的取值范围为(,3)(1,)-∞-⋃-+∞. 故选：D10．D【分析】根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3，故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析函数的定义域和单调性，从而确定出a 所满足的不等关系，注意将本题与定义域为R 的分段函数单调性问题作区分.11．B【分析】根据已知定义，求出函数()f x 的解析式，根据一次函数的单调性分类讨论求解即可.【详解】{}1,1()max 1,33,1x x f x x x x x +≥⎧=+-=⎨-<⎩， 当1≥x 时，()1f x x =+，显然当1≥x 时，有()(1)2f x f =≥，当1x <时，()3f x x =-，显然当1x <时，有()(1)2f x f >=，因此函数()max{1,3}()f x x x x R =+-∈的最小值是2.故选：B12．B【分析】易得当0k >时，函数2k y x =-在[]4,6上单调递减，在4x =处取得最大值，从而列式计算可得结果.【详解】当0k >时，函数2k y x =-在[]4,6上单调递减， 所以函数2k y x =-（0k >）在4x =处取得最大值，最大值为142k =-， 解得2k =．故选：B .13．)+∞【分析】先求得函数的定义域和单调性，由此可求得函数的值域.【详解】 由已知得2206100x x x -≥⎧⎨-+≥⎩，解得2x ≤，所以()f x 的定义域为{}2x x ≤，且2x ≤时y =y =()f x 在(]2-∞，上是减函数，()()2f x f ≥()f x 的值域为)+∞.故答案为：)+∞.14．(,0]-∞【分析】先通过取x 的特殊值0，1，-1得到a ≤0，然后，利用分类讨论思想，分(]0,1x ∈和(]1,0x ∈-两个范围分别证明a ≤0时符合题意.【详解】由题易知(0)23f a =+≤，即1a ≤，所以()1333f a a a a =-+=-+=，又(1)|3|3f a a -=++≤，所以0a ≤.下证0a ≤时，()f x 在[1,1]-上最大值为3.当(0,1]x ∈时，22()22f x x ax a x ax a =-++=-++，max ()(1)3f x f ==; 当[1,0]x ∈-，若12a ≤-，即2a ≤-， 则{}max ()max (1),(0)f x f f =-，满足; 若102a -<≤，即20a -<≤， 此时222122(2)332444a a a f a a a ⎛⎫=-+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭， 而max ()max (1),,(0)2a f x f f f ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，满足;因此，0a ≤符合题意.【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a ≤0，然后分类讨论证明a ≤0时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.15．[)1,1-【分析】保证在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果.【详解】要使()f x 在R 上是增函数，则431114352a a a a ->⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得11a -≤<.故答案为：[)1,1-.【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．16．(,1]-∞-(或(,1)-∞-都对)【分析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；【详解】令21t x =-，则y =21t x =-在(,1)-∞-单调递减，y (0,)+∞单调递增，根据复合函数的单调性可得：y =(,1)-∞-单调递减，故答案为：(,1)-∞-.17．（1）4；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a b ==时，将函数解析式变形为()()1121f x x x =-++-，利用基本不等式可求得()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值；（2）任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，作差()()12f x f x -，通过通分、因式分解，然后分0a <、0a >两种情况讨论()()12f x f x -的符号，由此可得出结论.【详解】（1）当1a b ==时，且1x >时，10x ->，()()1111112241111x x f x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++≥=----， 当且仅当2x =时，等号成立，因此，当1a b ==时，函数()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值为4；（2）当0b =时，()1ax f x x =-， 任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，即1211x x -<<<，则()()()()()()()()()122121121212121211111111ax x ax x a x x ax ax f x f x x x x x x x -----=-==------， ①当0a <时，因为1211x x -<<<，则210x x ->，110x -<，210x -<，所以，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，此时，函数()f x 在()1,1-上为增函数；②当0a >时，因为1211x x -<<<，则210x x ->，110x -<，210x -<，所以，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，此时，函数()f x 在()1,1-上为减函数.综上所述，当0a <时，函数()f x 在()1,1-上为增函数；当0a >时，函数()f x 在()1,1-上为减函数.18．()max 4f x =，()min 12f x =-． 【分析】利用定义法判断函数的单调性，再根据单调性求得最值．【详解】[]12,3,1x x ∀∈--，且1231x x -≤<≤-()()2212121212122121f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 12121212()()2(1)(1)x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥--⎣⎦， 又由1231x x -≤<≤-，得120x x -<，1262x x -<+<-，()()1241116x x <--<， 则有121212()02(1)(1)x x x x +-<--， 则有()()120f x f x ->，故函数()f x 在区间[]3,1--上单调递减，故()()max 34f x f =-=，()()min 112f x f =-=-． 19．(1) 证明见解析；(2) 最大值174，最小值52. 【分析】 (1) 用定义法证明函数在某区间上的单调性.(2) 利用函数在某区间上为增函数求最值.【详解】(1) 证明：任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121x x x x x x --=， 因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->，120x x >，所以()()120f x f x -<，()()12f x f x <.所以函数()f x 在()1,+∞上是增函数.(2) 由(1)知，()f x 在()1,+∞上是增函数，又[]()2,41,⊆+∞，所以()f x 在[]2,4上是增函数，()f x 的最大值为17(4)4f =，最小值为()522f =. 20．2a =，2b =-.【分析】根据对称轴和定义域的关系，分2a ≥和02a <<两种情况讨论函数的最值，即可计算参数.【详解】 函数的对称轴是02a x =-<， 当12a -≤-时，2a ≥，得()()1014f f ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，即110114a b a b -+++=⎧⎨--++=-⎩ 、，解得：2a =，2b =-； 当102a -<-<时，02a <<，得()0214a f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩，即2104110a b a b ⎧++=⎪⎨⎪--++=⎩，解得：2a b ==-，舍去；所以2a =，2b =-.21．（1）1a =，（2）减函数，证明见解析，（3）最大值17，最小值111【分析】（1）由1(2)5f =，可求出a 的值； （2）利用函数的单调性证明即可；（3）由函数的单调性求出函数的最值【详解】解：（1）因为1()2f x x a =+，且1(2)5f =， 所以1145a =+，解得1a =， （2）函数1()21f x x =+在(1,)+∞上为减函数，证明如下： 任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则121211()()2121f x f x x x -=-++ 21122()(21)(21)x x x x -=++ 因为12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，所以210x x ->，12210,210x x +>+>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 所以函数1()21f x x =+在(1,)+∞上为减函数，（3）由（2）可知1()21f x x =+在[3,5]上为减函数， 所以当3x =时，函数取得最大值，即max 11()2317f x ==⨯+， 当5x =时，函数取得最小值，即min 11()25111f x ==⨯+ 22．（1）单调递增，证明见解析；（2）24,57⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明函数()f x 在区间[]3,5上的单调性； （2）根据函数()f x 在区间[]3,5上的单调性即可求其值域.【详解】（1）()12331222x x f x x x x -+-===-+++在区间[]3,5上单调递增， 证明如下：任取[]12,3,5x x ∈且12x x <，()()1212213333112222f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()12121212323232222x x x x x x x x +-+-==++++， 因为1235x x ≤<≤，所以120x x -<，120x +>，220x +>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间[]3,5上单调递增.（2）由（1）知：()f x 在区间[]3,5上单调递增，所以()()min 3123325f x f -===+，()()max 5145527f x f -===+， 所以函数()f x 的值域是24,57⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
(完整版)函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >.故当)12,x x ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在)+∞上单调递增．当(12,x x ∈时，()()12f x f x >，即函数在(上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(,-∞单调递增，在()上单调递减． 综上，函数f (x )在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图 象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区 间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数． 答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
函数单调性和求局部极值、最值(知识点及相关练习)
函数单调性和求局部极值、最值(知识点及相关练习)函数单调性和求局部极值、最值本文介绍了函数单调性和求局部极值、最值的相关知识点，并提供了相关练。
1. 函数单调性函数的单调性描述了函数在定义域内的增减情况。
根据函数的单调性，我们可以知道函数的变化规律。
1.1 递增函数和递减函数当函数的自变量逐渐增大时，如果函数的值也逐渐增大，则称该函数为递增函数。
当函数的自变量逐渐增大时，如果函数的值逐渐减小，则称该函数为递减函数。
1.2 严格递增函数和严格递减函数当函数的自变量逐渐增大时，如果函数的值严格逐渐增大，则称该函数为严格递增函数。
当函数的自变量逐渐增大时，如果函数的值严格逐渐减小，则称该函数为严格递减函数。
1.3 凸函数和凹函数在定义域内，若函数的图像位于其切线的下方，则称该函数为凸函数。
若函数的图像位于其切线的上方，则称该函数为凹函数。
2. 求局部极值、最值局部极值和最值是指函数在一定区间内取得的极值和最大值、最小值。
2.1 局部极大值和局部极小值在函数的定义域内，如果存在一个点，使得该点的邻域内的函数值不大于（或不小于）该点的函数值，则称该点为局部极大值（或局部极小值）点。
2.2 全局极大值和全局极小值在函数的定义域内，所有的局部极值中，函数值最大的点称为全局极大值点，函数值最小的点称为全局极小值点。
相关练：1. 判断以下函数的单调性：- f(x) = x^2 + 3x - 2- g(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 12. 求以下函数的局部极值和最值：- h(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5以上就是函数单调性和求局部极值、最值的相关知识点及相关练习。
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高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值.故选D.【考点】函数奇偶性的概念，函数单调性与函数极值.2.函数f(x)＝是( )A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数【答案】B【解析】因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，故为增函数，选B考点:函数的奇偶性和单调性.3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是（）A．y＝B．y＝C．y＝－x2＋2D．y＝lg|x|【答案】C【解析】答案中的四个图象如下，通过图形可知符合题意的选C.【考点】函数图象.4.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对A，函数在上为增函数，符合要求；对B，在上为减函数，不符合题意；对C，为上的减函数，不符合题意；对D，在上为减函数，不符合题意.故选A.【考点】函数的单调性，容易题.(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是5.使函数y＝与y＝log3________．【答案】(－∞，－4)(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．【解析】由y＝log3又函数y＝＝＝2＋，使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k<0，得k<－4.6.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0，解得x>2.7. [2014·济宁模拟]若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.【答案】－6【解析】由图象的对称性，知函数f(x)＝|2x＋a|关于直线x＝－对称，因为函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－＝3，即a＝－6.8.已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∵函数在[0，+∞]上是增函数，∴，∴或，∴或，又∵，∴或.【考点】函数的单调性、不等式的解法.=5.06x-9.(2014·长沙模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L10.15x2和L=2x,其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利2润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元【答案】B【解析】设该公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,利润为L(x)=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15+0.15×+30,由于x为整数,所以当x=10时,L(x)取最大值L(10)=45.6,即能获得的最大利润为45.6万元.10.如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数:①；②；③；④.其中函数是“函数”的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.【考点】1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.11.函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是_________．【答案】(0，2)【解析】∵函数的图象与的图象关于直线对称∴与互为反函数∵的反函数为，∴，．令，则，即，∴，又∵的对称轴为，且对数的底数大于1，∴的递增区间为(0，2)．12.已知，不等式的解集为.（1）求的值；（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）我们首先求出不等式的解集，这个解集与相等，由此可求得；（2），一种方法，这个函数是分段函数，我们把它化为一般的分段函数表达式，以便求出它的最大(小)值，从而求得的最大值，得到的取值范围，也可应用绝对值不等式的性质，求得最大值.试题解析：解法一：（1）由不等式｜2x－a｜－a≤2，得｜2x－a｜≤2＋a，∵解集不空，∴2＋a≥0.解不等式可得{x∣－1≤x≤1＋a}. 3分∵－1≤x≤3，∴1＋a﹦3，即a=2. 5分（2）记g(x)=f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜， 6分4,（x≤－1）则g(x)=－4x,（-1﹤x﹤1）. 8分-4,（x≥1）所以-4≤g(x)≤4，∴｜g(x)｜≤4,因此m≥4. 10分解法二：∵f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜，∵｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤｜(2x－2)－(2x＋2)｜=4. 7分｜2x－2｜－｜2x＋2｜≥｜2x｜－2－（｜2x｜＋2）=－4. 9分∴－4≤｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤4.∴｜f(x)－f(x＋2)｜≤4.∴m≥4. 10分【考点】(1)解绝对值不等式；(2)分段函数的最值，不等式恒成立问题.13.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2是极坐标方程为：，（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求的最小值.【答案】(1);(2)【解析】(1)把代入曲线C2是极坐标方程中，即可得到曲线C2的直角坐标方程；(2)由已知可知P（）,，由两点间的距离公式求出的表达式，再根据二次函数的性质，求出的最小值，然后可得min－.试题解析：(1)，. 4分(2)设P（）,6分时，， 8分. 10分【考点】1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性质.14.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于函数，此函数为偶函数，且在区间上单调递减，A选项错误；对于函数，此函数为偶函数，且当时，，故函数在区间上不单调，B选项错误；对于函数，该函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，C选项错误；对于函数，定义域为，且，故该函数为偶函数，且当时，，结合图象可知，函数在区间上单调递增，合乎题意，故选D.【考点】函数的奇偶性与单调性15.已知函数(),则（）A．必是偶函数B．当时，的图象必须关于直线对称;C．有最大值D．若，则在区间上是增函数;【答案】D【解析】在二次函数上加绝对值符号，相当于把原二次函数在轴下方的图像翻折到上方，原来处于轴上方的图像保持不变.当时画图可知不是偶函数，比如就不是偶函数，排除A；仅有无法说明的图像关于直线对称，比如满足但画图可知图像并不关于直线对称，排除B；的图像两边向上无限延伸，没有最大值，排除C；若，则函数于轴最多有一个交点，故恒有，因此，其对称轴为，开口向上，因此在区间上是增函数，D正确.【考点】1、二次函数图象及变换；2、函数的对称性、单调性与最值.16.已知x∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．【答案】最小值，最大值57.【解析】f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋.∵x∈[－3，2],∴≤2－x≤8.则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值；当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.17.已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值．【答案】，【解析】由f(x)＝＝a＋.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，∴fmax (x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，∴fmax (x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝.18.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则 ()．A．a＞0,4a＋b＝0B．a＜0,4a＋b＝0C．a＞0,2a＋b＝0D．a＜0,2a＋b＝0【答案】A【解析】由f(0)＝f(4)知，f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为－＝2.∴4a＋b＝0.又0和1在同一个单调区间内，且f(0)＞f(1)，∴y＝f(x)在(－∞，2)内为减函数．∴a＞0.故选A.19.定义域为的函数图象上两点是图象上任意一点，其中.已知向量，若不等式对任意恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得点N与在直线AB上，并且由点M的横坐标为.又向量，可得点N的横坐标也为所以点M,N在横坐标相同.所以符合不等式对任意恒成立，则称函数在上的既要大于或等于的最大值，这是解题的关键.由函数在则，.所以==.又因为.所以即求.…的最大值由打钩函数可得时式的最大值是.所以.所以.故选C.【考点】1.向量的知识.2.新定义问题.3.函数的最值.4.恒成立问题.5.大钩函数求最值.20.函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数是定义在上，易知函数的图像是函数的图像向右平移了2014个单位,因为函数的图象关于点对称，所以函数的图像关于点（0,0）对称，即函数是奇函数.由不等式得.又函数是定义在上的增函数，所以，即，设点，由知点在以（3,4）为圆心，1为半径的圆内. （为原点），因为易知圆心到原点的距离为5，所以，所以，即的取值范围是（16,36）.【考点】函数的奇偶性与单调性、点与圆的位置关系21.已知函数。
高考数学函数的单调性与最值复习试题（带答案）
高考数学函数的单调性与最值复习试题（带答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高考数学函数的单调性与最值复习试题，希望对大家有所帮助!高考数学函数的单调性与最值复习试题及答案解析一、选择题1.(2013•宣城月考)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( )A.y=log2xB.y=xC.y=-12xD.y=1xD [y=log2x在(0，+∞)上为增函数;y=x 在(0，+∞)上是增函数;y=12x在(0，+∞)上是减函数，y=-12x在(0，+∞)上是增函数;y=1x在(0，+∞)上是减函数，故y=1x在(0，1)上是减函数.故选D.]2.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2，+∞)上递增，在(-∞，-2]上递减，则f(1)=( )A.-7B.1C.17D.25D [依题意，知函数图象的对称轴为x=--m8=m8=-2，即m=-16，从而f(x)=4x2+16x+5，f(1)=4+16+5=25.]3.(2014•佛山月考)若函数y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+∞)上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增B [∵y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y=ax2+bx的对称轴方程x=-b2a<0，∴y=ax2+bx在(0，+∞)上为减函数.]4.“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A [若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b).所以充分性满足;反之，不一定成立，如二次函数f(x)=x2-2x+3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在[a，b]上单调”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件.]5.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=ln x，则有( )A.f(13)<f(2)<f(12)B.f(12)<f(2)<f(13)C.f(12)<f(13)<f(2)D.f(2)<f(12)<f(13)C [由f(2-x)=f(x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为|12-1|<|13-1|<|2-1|，所以f(12)<f(13)<f(2).故选C.]6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有( )A.最小值f(a)B.最大值f(b)C.最小值f(b)D.最大值fa+b2C [∵f(x)是定义在R上的函数，且f(x+y)=f(x)+f(y)，∴f(0)=0，令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)=0.∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函数.设x1<x2，则x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0.∴f(x)在R上是减函数.∴f(x)在[a，b]有最小值f(b).]7.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=ln x，则有( )A.f13<f(2)<f12B.f12<f(2)<f13C.f12<f13<f(2)D.f(2)<f12<f13C [由f(2-x)=f(x)可知，f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为12-1<13-1<|2-1|，所以f12<f13<f(2).]8.(2014•黄冈模拟)已知函数y=1-x+x+3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32C[显然函数的定义域是[-3，1]且y≥0，故y2=4+2(1-x)(x+3)=4+2-x2-2x+3=4+2-(x+1)2+4，根据根式内的二次函数，可得4≤y2≤8，故2≤y≤22，即m=2，M=22，所以mM=22.]二、填空题9.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.解析y=-(x-3)|x|=-x2+3x，x>0，x2-3x，x≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0，32.答案0，3210.若f(x)=ax+1x+2在区间(-2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是________.解析设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=ax1+1x1+2-ax2+1x2+2=2ax1+x2-2ax2-x1(x1+2)(x2+2)=(x1-x2)(2a-1)(x1+2)(x2+2)>0，则2a-1>0.得a>12.答案12，+∞三、解答题11.已知f(x)=xx-a(x≠a).(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)内单调递减，求a的取值范围.解析(1)证明：设x1<x2<-2，则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).∵(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-∞，-2)内单调递增.(2)设1<x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).∵a>0，x2-x1>0，∴要使f(x1)-f(x2)>0，只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围为(0，1].12.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立.(1)判断f(x)在[-1，1]上的单调性，并证明;(2)解不等式：f(x+12)(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围.解析(1)任取x1，x2∈[-1，1]，且x1则-x2∈[-1，1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)•(x1-x2)，由已知得f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)>0，x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[-1，1]上单调递增.(2)∵f(x)在[-1，1]上单调递增，∴x+12<1x-1，-1≤x+12≤1，-1≤1x-1≤1.解得-32≤x<-1.(3)∵f(1)=1，f(x)在[-1，1]上单调递增.∴在[-1，1]上，f(x)≤1.问题转化为m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0，对a∈[-1，1]成立.设g(a)=-2m•a+m2≥0.①若m=0，则g(a)=0≥0，对a∈[-1，1]恒成立.②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[-1，1]恒成立，必须g(-1)≥0且g(1)≥0，∴m≤-2，或m≥2.∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2.。
函数单调性和求最大值区间、最值(知识点及相关练习)
函数单调性和求最大值区间、最值(知识点及相关练习)函数单调性和求最大值区间、最值 (知识点及相关练)知识点在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质。
一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某些区间内既递增又递减。
单调递增和单调递减- 函数在一个区间内递增，意味着随着自变量的增加，函数值也增加。
可以通过计算函数在该区间内的导数来判断函数的单调递增性。
- 函数在一个区间内递减，意味着随着自变量的增加，函数值减少。
可以通过计算函数在该区间内的导数来判断函数的单调递减性。
最大值区间和最值- 最大值区间是指函数在某个区间内取得最大值的范围。
- 最大值是函数在某个区间内取得的最大值。
可以通过求函数的导数和二阶导数来找到函数的极值点和拐点，进而确定最大值区间和最值。
练题1. 求下列函数的单调区间并判断其单调性：a) $f(x) = x^2 - 4x + 3$b) $g(x) = \frac{1}{x}$c) $h(x) = \sin(x)$2. 求下列函数的最值：a) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ 在区间 $[-2, 4]$ 上b) $g(x) = e^{-x} + x^2$ 在区间 $(-\infty, \infty)$ 上c) $h(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上3. 请写出一个函数，使其既在某个区间内递增又在某个区间内递减。
参考答案1.a) 单调递增区间：$(2, \infty)$，单调递减区间：$(-\infty, 2)$b) 单调递增区间：$(-\infty, 0)$，单调递减区间：$(0, \infty)$c) 单调递增区间：$[2n\pi, (2n+1)\pi]$，单调递减区间：$[(2n-1)\pi, 2n\pi]$ （其中 n 为整数）2.a) 最大值：$f(4) = 9$，最大值区间：$[2, 4]$b) 最大值：$g(2) = 5$，最大值区间：$(-\infty, \infty)$c) 最大值：$h(\frac{\pi}{2}) = 1$，最大值区间：$[0,\frac{\pi}{2}]$3. 一个例子是 $f(x) = x^2$，在区间 $(-\infty, 0)$ 上递增，在区间 $(0, \infty)$ 上递减。
高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1．已知f〔x〕＝－x－x3，x∈[a，b]，且f〔a〕·f〔b〕<0，则f〔x〕＝0在[a，b]内〔〕A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．有唯一实数根[答案] D[解析] ∵函数f〔x〕在[a，b]上是单调减函数，又f〔a〕，f〔b〕异号．∴f〔x〕在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.2．〔2010·北京文〕给定函数①y＝x，②y＝log〔x＋1〕，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间〔0 ,1〕上单调递减的函数的序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析]易知y＝x在〔0,1〕递增，故排除A、D选项；又y＝log〔x＋1〕的图象是由y＝logx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．〔2010·济南市模拟〕设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则〔〕A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1 D．y1<y3<y2[答案] B[解析]∵y＝0.5x为减函数，∴0.5<0.5，∵y＝x在第一象限内是增函数，∴0.4<0.5，∴y1<y2<y3，故选B.4．〔2010·广州市〕已知函数，若f〔x〕在〔－∞，＋∞〕上单调递增，则实数a的取值范围为〔〕A．〔1,2〕B．〔2,3〕C．〔2,3] D．〔2，＋∞〕[答案] C[解析] ∵f〔x〕在R上单调增，∴，∴2<a≤3，故选C.5．〔文〕〔2010·山东济宁〕若函数f〔x〕＝x2＋2x＋alnx在〔0,1〕上单调递减，则实数a的取值范围是〔〕A．a≥0 B．a≤0C．a≥－4 D．a≤－4[答案] D[解析]∵函数f〔x〕＝x2＋2x＋alnx在〔0,1〕上单调递减，∴当x∈〔0,1〕时，f ′〔x〕＝2x＋2＋＝≤0，∴g〔x 〕＝2x2＋2x＋a≤0在x∈〔0,1〕时恒成立，∴g〔0〕≤0，g〔1〕≤0，即a≤－4.〔理〕已知函数y＝tanωx在内是减函数，则ω的取值范围是〔〕A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－1[答案] B[解析]∵tanωx在上是减函数，∴ω<0.当－<x<时，有－≤<ωx<－≤，∴，∴－1≤ω<0.6．〔2010·天津文〕设a＝log54，b＝〔log53〕2，c＝log45，则〔〕A．a＜c＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c[答案] D[解析] ∵1>log54>log53>0，∴log53>〔log53〕2>0，而log45>1，∴c>a>b.7．若f〔x〕＝x3－6ax的单调递减区间是〔－2,2〕，则a的取值范围是〔〕A．〔－∞，0] B．[－2,2]C．{2} D．[2，＋∞〕[答案] C[解析] f ′〔x〕＝3x2－6a，若a≤0，则f ′〔x〕≥0，∴f〔x〕单调增，排除A；若a>0，则由f ′〔x〕＝0得x＝±，当x<－和x>时，f ′〔x〕>0，f〔x〕单调增，当－<x<时，f〔x〕单调减，∴f〔x〕的单调减区间为〔－，〕，从而＝2，∴a＝2.[点评]f〔x〕的单调递减区间是〔－2,2〕和f〔x〕在〔－2，2〕上单调递减是不同的，应加以区分．8．〔文〕定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，＋∞〕上是增函数，若f〔〕＝0，则适合不等式f〔logx〕> 0的x的取值范围是〔〕A．〔3，＋∞〕B．〔0，〕C．〔0，＋∞〕D．〔0，〕∪〔3，＋∞〕[答案] D[解析]∵定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，＋∞〕上是增函数，且f〔〕＝0，则由f〔logx〕>0，得|logx|>，即logx>或logx<－.选D.〔理〕〔2010·南充市〕已知函数f 〔x 〕图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f 〔x 〕单调递增，设a ＝f 〔3〕，b ＝f 〔〕，c ＝f 〔2〕，则a 、b 、c 的大小关系是〔 〕A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>c>aD ．c>b>a [答案] D[解析] ∵f 〔x 〕在[－1,0]上单调增，f 〔x 〕的图象关于直线x ＝0对称，∴f〔x 〕在[0,1]上单调减；又f 〔x 〕的图象关于直线x ＝1对称，∴f〔x 〕在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f 〔3〕＝f 〔－1〕＝f 〔1〕<f 〔〕<f 〔2〕，即a<b<c.9．〔2009·天津高考〕已知函数f 〔x 〕＝若f 〔2－a2〕＞f 〔a 〕，则实数a 的取值范围是〔 〕A ．〔－∞，－1〕∪〔2，＋∞〕B ．〔－1,2〕C ．〔－2,1〕D ．〔－∞，－2〕∪〔1，＋∞〕[答案] C[解析]∵x≥0时，f 〔x 〕＝x2＋4x ＝〔x ＋2〕2－4单调递增，且f 〔x 〕≥0；当x<0时，f 〔x 〕＝4x －x2＝－〔x －2〕2＋4单调递增，且f 〔x 〕<0，∴f 〔x 〕在R 上单调递增，由f 〔2－a2〕>f 〔a 〕得2－a2>a ，∴－2<a<1.10．〔2010·泉州模拟〕定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x ＋y 〕＝f 〔x 〕＋f 〔y 〕，当x<0时，f 〔x 〕>0，则函数f 〔x 〕在[a ，b]上有〔 〕A ．最小值f 〔a 〕B ．最大值f 〔b 〕C ．最小值f 〔b 〕D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 [答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f 〔0〕＝0，令y ＝－x 得，f 〔0〕＝f 〔x 〕＋f 〔－x 〕，∴f〔－x 〕＝－f 〔x 〕．对任意x1，x2∈R 且x1<x2，，f 〔x1〕－f 〔x2〕＝f 〔x1〕＋f 〔－x2〕＝f 〔x1－x2〕>0，∴f 〔x1〕>f 〔x2〕，∴f〔x 〕在R 上是减函数，∴f〔x 〕在[a ，b]上最小值为f 〔b 〕．二、填空题11．〔2010·重庆中学〕已知函数f 〔x 〕＝ax ＋－4〔a ，b 为常数〕，f 〔lg2〕＝0，则f 〔lg 〕＝________.[答案] －8[解析] 令φ〔x 〕＝ax ＋，则φ〔x 〕为奇函数，f 〔x 〕＝φ〔x 〕－4，∵f〔lg2〕＝φ〔lg2〕－4＝0，∴φ〔lg2〕＝4，∴f〔lg 〕＝f 〔－lg2〕＝φ〔－lg2〕－4＝－φ〔lg2〕－4＝－8.12．偶函数f 〔x 〕在〔－∞，0]上单调递减，且f 〔x 〕在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f 〔x 〕在〔－∞，0]上单调递减，∴f 〔x 〕在[0，＋∞〕上单调递增．因此，若k≤0，则k －〔－2〕＝k ＋2<3，若k>0，∵f 〔x 〕在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f 〔0〕，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f 〔x 〕＝在〔－∞，－3〕上是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 [解析] ∵f 〔x 〕＝a －在〔－∞，－3〕上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a<－.14．〔2010·江苏无锡市调研〕设a 〔0<a<1〕是给定的常数，f 〔x 〕是R 上的奇函数，且在〔0，＋∞〕上是增函数，若f ＝0，f 〔logat 〕>0，则t 的取值范围是______．[答案] 〔1，〕∪〔0，〕[解析] f 〔logat 〕>0，即f 〔logat 〕>f ，∵f〔x 〕在〔0，＋∞〕上为增函数，∴logat>，∵0<a<1，∴0<t<.又f 〔x 〕为奇函数，∴f ＝－f ＝0，∴f〔logat 〕>0又可化为f 〔logat 〕>f ，∵奇函数f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上是增函数，∴f〔x 〕在〔－∞，0〕上为增函数，∴0>logat>－，∵0<a<1，∴1<t<，综上知，0<t<或1<t<.三、解答题15．〔2010·北京市东城区〕已知函数f 〔x 〕＝loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕，a>0且a≠1.〔1〕求f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断f 〔x 〕的奇偶性并予以证明；〔3〕当a>1时，求使f 〔x 〕>0的x 的取值集合．[解析] 〔1〕要使f 〔x 〕＝loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>01－x>0，解得－1<x<1.故所求定义域为{x|－1<x<1}．〔2〕由〔1〕知f 〔x 〕的定义域为{x|－1<x<1}，且f 〔－x 〕＝loga 〔－x ＋1〕－loga 〔1＋x 〕＝－[loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕]＝－f 〔x 〕，故f 〔x 〕为奇函数．〔3〕因为当a>1时，f 〔x 〕在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f 〔x 〕>0⇔>1.解得0<x<1.所以使f 〔x 〕>0的x 的取值集合是{x|0<x<1}．16．〔2010·北京东城区〕已知函数f 〔x 〕＝loga 是奇函数〔a>0，a≠1〕．〔1〕求m 的值；〔2〕求函数f 〔x 〕的单调区间；〔3〕若当x ∈〔1，a －2〕时，f 〔x 〕的值域为〔1，＋∞〕，求实数a 的值．[解析] 〔1〕依题意，f 〔－x 〕＝－f 〔x 〕，即f 〔x 〕＋f 〔－x 〕＝0，即loga ＋loga ＝0， ∴·＝1，∴〔1－m2〕x2＝0恒成立，∴1－m2＝0，∴m＝－1或m ＝1〔不合题意，舍去〕当m ＝－1时，由>0得，x ∈〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕，此即函数f 〔x 〕的定义域，又有f 〔－x 〕＝－f 〔x 〕，∴m ＝－1是符合题意的解．〔2〕∵f 〔x 〕＝loga ，∴f ′〔x 〕＝′logae＝·logae ＝2logae 1－x2①若a>1，则logae>0当x ∈〔1，＋∞〕时，1－x2<0，∴f ′〔x 〕<0，f 〔x 〕在〔1，＋∞〕上单调递减，即〔1，＋∞〕是f 〔x 〕的单调递减区间；由奇函数的性质知，〔－∞，－1〕是f 〔x 〕的单调递减区间．②若0<a<1，则logae<0当x ∈〔1，＋∞〕时，1－x2<0，∴f ′〔x 〕>0，∴〔1，＋∞〕是f 〔x 〕的单调递增区间；由奇函数的性质知，〔－∞，－1〕是f 〔x 〕的单调递增区间．〔3〕令t ＝＝1＋，则t 为x 的减函数∵x∈〔1，a －2〕，∴t∈且a>3，要使f 〔x 〕的值域为〔1，＋∞〕，需loga ＝1，解得a ＝2＋.17．〔2010·山东文〕已知函数f 〔x 〕＝lnx －ax ＋－1〔a ∈R 〕．〔1〕当a＝－1时，求曲线y＝f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔2〕当a≤时，讨论f〔x〕的单调性．[解析] 〔1〕a＝－1时，f〔x〕＝lnx＋x＋－1，x∈〔0，＋∞〕．f ′〔x〕＝，x∈〔0，＋∞〕，因此f ′〔2〕＝1，即曲线y＝f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线斜率为1.又f〔2〕＝ln2＋2，所以y＝f〔x〕在〔2，f〔2〕〕处的切线方程为y－〔ln2＋2〕＝x－2，即x－y＋ln2＝0.〔2〕因为f〔x〕＝lnx－ax＋－1，所以f ′〔x〕＝－a＋＝－x∈〔0，＋∞〕．令g〔x〕＝ax2－x＋1－a，①当a＝0时，g〔x〕＝1－x，x∈〔0，＋∞〕，当x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；当x∈〔1，＋∞〕时，g〔x〕<0，此时f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增；②当a≠0时，f ′〔x〕＝a〔x－1〕[x－〔－1〕]，〔ⅰ〕当a＝时，g〔x〕≥0恒成立，f ′〔x〕≤0，f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减；〔ⅱ〕当0<a<时，－1>1>0，x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，此时f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；x∈〔1，－1〕时，g〔x〕<0，此时f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增；x∈〔－1，＋∞〕时，g〔x〕>0，此时f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；③当a<0时，－1<0，x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，有f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减x∈〔1，＋∞〕时，g〔x〕<0，有f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f〔x〕在〔0,1〕上单调递减，〔1，＋∞〕上单调递增；当a＝时，f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减；当0<a<时，f〔x〕在〔0,1〕上单调递减，在〔1，－1〕上单调递增，在〔－1，＋∞〕上单调递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。
高中 函数的单调性与最值知识点+例题+练习 含答案
教学内容函数的单调性与最值教学目标掌握求函数的单调性与最值的方法重点单调性与最值难点单调性与最值教学准备教学过程第2讲函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．教学效果分析教学过程【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用教学效果分析课堂巩固一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．3．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是________．4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.6．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.8．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．。
(完整版)高三数学一轮复习专题复习《函数的单调性与最值》
函数的单调性与最值（45分钟 100分）、选择题（每小题5分,共40分）1.（2013 •沈阳模拟）下列函数在（0,+ a ）上是增函数的是（ ）A. y=l n( x-2)C.y=x-x 1y=- ■、 € (- a ,0].1) ________________________ 2【解析】 选 C.函数y=ln （x-2） 在（2,+ a ）上为增函数,y=- 在［0,+ a ）上为减函 数,y=x-x -1 =x- 在［0,+ a ）上为减函数，故C 正确.2.(2014 -衢州模拟 ）下列函数中，值域为（-a ,0）的是（ ）2 A.y=-x 1B.y=3x_1C.y= ' 【解析】D.y=- ' 'y=-x 2的值域为(- a ,0]； {1 1 X <T的值域为y<3X 3y=3x-1 即 y € (- a ,0); y= 的值域为(-a ,0) U (0,+ a )；3.（2014 •珠海模拟）若函数y=ax 与y=-'：在（0, ":在(0,+ a 选B.函数 1=0,+ a）上都是减函数，则y=ax +bx在（0,+ a）上是A.增函数 B.减函数b【解析】选B.因为y=ax 与、=-、在(0,+ g )上都是减函数,所以a<0,b<0,b所以y=ax 2+bx 的对称轴x=— ]<0,所以y=ax 2+bx 在(0,+ g )上为减函数.4.已知奇函数f(x)对任意的正实数 x i ,x 2(x i 丰X 2),恒有(x i -X 2)(f(x i )-f(x 2))>0,则一定正确的是()A.f(4)>f(-6)B.f(-4)<f(-6)C.f(-4)>f(-6)D.f(4)<f(-6)【解析】选 C.由(x i -x 2)(f(x i )-f(x 2))>0 知 f(x)在(0,+ g )上递增，的值域是() A.{0,1}B.{0,-1}C.{-1,1}D.{1,1}【思路点拨】 先求f(x)的值域，再据［x ］的规定求［f(x)］的值域.2X所以 y=[f(x)] € {0,-1}. 表示不超过x 的最大整数，则函数y=［f(x)］6.(2013 •天津模拟)设函数f(x)= r 2 x - 4x + 6f x > 0, t x + 6f x < 0f 则不等式 f(x)>f(1) 的解集是所以 f(4)<f(6) ? f(-4)>f(-6).又［X ］表示不超过x 的最大整数A.(-3,1) U (3,+ g)B. (-3,1) U (2,+ g)2【解析】选 A.当 x > 0 时,f(x)>f(1)=3, 即 x -4x+6>3,解得 O W x<1 或 x>3;当 x<0 时,f(x)>f(1)=3, 即 x+6>3,解得-3<x<0.故 f(x)>f(1) 的解集是(-3,1) U (3,+8).7. (2014 •厦门模拟)定义在R 上的函数f(x)在区间(-8 ,2)上是增函数，且f(x+2)的图象关于 x=0对称,则() A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)【思路点拨】由已知得到f(x)的对称性，进而作出图象大致形状，数形结合求解• 【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-8,2)上是增函数，则其在(2,+ 8)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示 ^=2【加固训练】 已知f(x)是定义在(0,+)上的单调递增函数，且满足f(3x-2)<f(1), 则实数x的取值范围是( A.(- 8,1)C. D.(1,+ 8)【解析】选B.因为 f(x) ；3x-2>0, 所以(敦一 2 < 1? 是定义在(0,+ 8 )上的单调递增函数2 x > -,,且满足 f(3x-2)<f(1), ? x €所以实数x 的取值范围是 V由图象知,f(-1)<f(3), 故选A.8.(能力挑战题)(2013 •金华模拟)设函数 g(x)=x 2-2(x € R),fg(x) + x + 4,x < g(x),f (x )= I - >g (X)・则 f(x)的值域是()r g '■ 4^°A.J U (1,+ g )B. [0,+ g ) 討)C. Lf【思路点拨】 明确自变量的取值范围，先求每一部分的函数值范围，再取并集求值域2x + x + 2, x <-> 2F 2 L x -x-2, - 1 < x < 2,、填空题(每小题5 分,共20分)9. (2014 •台州模拟)如果函数f(x)=ax 2-3x+4在区间(-g ,6)上单调递减，则实数a 的取值范围【解析】 选 D.由 x<g(x)=x 2-2 得 x 2-x-2>0,则x<-1或x>2.因此由 x > g(x)=x 2-2 得-1 < x < 2. 由以上可得f(x)的值域是 U (2,+ g ).D. 于是f(x)= 且 f(-1)=f(2)=0,所以-(2)当0时,二次函数f(x)的对称轴为直线因为f(x)在区间(-g ,6)上单调递减， 31 所以a>0,且2a > 6,解得 0<a w 4【误区警示】本题易忽视a=0的情况而失误【思路点拨】由于f(x)为R 上的减函数,所以当x<-1时,恒有f(x)>f(-1),由此可求得a 的取 值范围. 円【解析】因为f(x)为R 上的减函数，所以必有f(-1) W 1 ,即1+a w -1,所以a w -2. 答案:a w -2的取值范围是. 卜'+ax,x< li [ax z + x.x > 1【解析】因为函数f(x)=在R 上单调递减，2 2 所以g(x)=x +ax 在(-g ,1]上单调递减，且h(x)=ax +x 在(1,+ g )上单调递减，且g(1) > h(1),【解析】(1)当a=0时,f(x)=-3x+4. 函数在定义域 R 上单调递减，故在区间(-g ,6)上单调递减 10.函数 f(x)= f 1| —‘X <- 1,Xk - x + a f x >- 1在R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是【加固训练】 (2013 •保定模拟)已知函数f(x)=在R 上单调递减，则实数a综上所述,0 < aw :.a < 0,11——v 1,2a _l + a > a + 1,b所以解得a w-2.答案:a w -211. (2014 •宁波模拟)规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即ab岂^b+a+b,a,b是正实数，已知1k=3,则函数f(x)=kx 的值域是.【解析】由题意知1k=; +1+k=3,解得k=1,所以f(x)=kx=1x==(-£|+2)2+4,因为>0,所以f(x)>1.答案：(1,+ )12. 函数f(x)的定义域为A,若X I,X2€ A且f(x i)=f(x 2)时总有x i=X2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x € R)是单函数，下列命题:①函数f(x)=x 2(x € R)是单函数；②指数函数f(x)=2 x(x € R)是单函数；③若f(x)为单函数,x 1,x 2€ A 且X" X2,则f(x 1)丰 f(x 2);④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是(写出所有真命题的编号).【解析】对于①,x 1=2,x 2=-2时,f(x 1 )=f(x 2),而X" X2,故函数f(x)=x 不为单函数，故①错；对于②，因为y=2x在定义域内为单调增函数，故②正确；对于③，假设f(x 1)=f(x 2),由f(x)为单函数,故X1=X2,这与X1M X2矛盾,故原命题成立，故③正确；对于④，因函数在定义域上具有单调性，即满足f(x)为单函数的定义，故④正确.答案：②③④三、解答题(13题12分,14〜15题各14分)13. (2014 •温州模拟)已知函数 f(x)=log a (1-x)+log a (x+3)(0<a<1). ⑴求函数f(x)的定义域.⑵若函数f(x)的最小值为-4,求实数a 的值.解之得-3<x<1.所以函数的定义域为{x|-3<x<1}._ 22 ⑵ 函数可化为 f(x)=log a (l-x)(x+3)=log a (-x -2x+3)=log a [-(x+1)+4]. 2因为-3<x<1,所以 0<-(x+1) +4W 4.2因为 0<a<1,所以 log a [-(x+1) +4] > log a 4,即 f(x) min =log a 4.I -壯 由 log a 4=-4,得 a -4=4,所以 a=_=- 故实数a 的值为丄.I14. 已知函数f(x)=a- 1刘.⑵ 若f(x)<2x 在(1,+ g )上恒成立，求实数a 的取值范围【解析】 ⑴ 当x € (0,+ g )时,1f(x)=a- ”,设 0<X 1<X 2,则 X 1X 2>0,x 2-x 1>0, l\ 1\a a _电丿xj所以f(x)在(0,+ g )上是增函数【解析】(1)要使函数有意义：则有 I -X > 0 x + 3 > 0(1)求证:函数y=f(x) 在(0,+ g )上是增函数f(x 2)-f(X 1)=1 1⑵ 由题意a- <2x 在(1,+ g )上恒成立,设h(x)=2x+壬, 则a<h(x)在(1,+ g )上恒成立.任取 x i ,x 2€ (1,+ g )且 x i <X 2,因为 1<X 1<X 2,所以 X 1-X 2<O,X 1X 2>1, I 1 I所以 2-' >0,所以 h(x i )<h(X 2),所以h(x)在(i,+ g )上单调递增故 a w h(i)即 a w 3,所以a 的取值范围是(-g ,3].i5.(能力挑战题)(20i4 •绍兴模拟)已知函数f(x)⑴求f(i).⑵解不等式 f(-x)+f(3-x) > -2.【解析】⑴令x=y=i,则 f(i)=f(i)+f(i),f(i)=0.⑵由题意知f(x)为(0,+ g )上的减函数:-x>0,且B-xAO.所以 x<o,因为 f(xy)=f(x)+f(y),住)x,y € (0,+ g )且 f ' =i.所以 f(-x)+f(3-x) > -2,h(x i )-h(x 2)=(x i -x 2)的定义域是(0,+ g ),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f =i,如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y).解得-1 W x<0.所以不等式的解集为［-1,0). 可化为 f(-x)+f(3-x) > -2f > 0=f(1),f(-x)+f。
2024届新高考数学复习：专项(函数的单调性与最值)好题练习(附答案)
2024届新高考数学复习：专项（函数的单调性与最值）好题练习[基础巩固]一、选择题1．下列函数中是增函数的为( )A ．f (x )＝－xB ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫23 xC ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝3x2．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln (x ＋1)D ．y ＝2－x3．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)4．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．b <c <a5．[2023ꞏ四川内江测试]若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，1)D ．(0，1]6．[2023ꞏ山东青岛一中测试]已知y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，23B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，23 D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞7．(多选)函数f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上单调递减，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．若a ＝2 022，则f (x )在(0，1)上单调递减8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1，2) C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)9．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，0) C ．(0，2] D ．[2，＋∞)二、填空题10．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数f (x )的单调递增区间是________.12．已知函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈[2，5]，则f (x )的最大值是________．[强化练习]13．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，7]设a ＝0.1e 0.1，b ＝19 ，c ＝－ln 0.9，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．a <c <b14．设函数f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|，则f (x )( )A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 单调递增B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12 单调递减 C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12 单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12 单调递减15．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x －log 2(x ＋2)在[－1，1]上的最大值为________．16．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x <1，（a －3）x ＋4a ，x ≥1， 满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 <0成立，则a 的取值范围是________．参考答案1．D 方法一(排除法) 取x 1＝－1，x 2＝0，对于A 项有f (x 1)＝1，f (x 2)＝0，所以A 项不符合题意；对于B 项有f (x 1)＝32 ，f (x 2)＝1，所以B 项不符合题意；对于C 项有f (x 1)＝1，f (x 2)＝0，所以C 项不符合题意．故选D ．方法二(图象法) 如图，在坐标系中分别画出A ，B ，C ，D 四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D 项符合题意．故选D.2．D A 项，x 1＝0时，y 1＝1，x 2＝12 时，y 2＝2>y 1，所以y ＝11－x在区间(－1，1)上不是减函数，故A 项不符合题意．B 项，由余弦函数的图象与性质可得，y ＝cos x 在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，故B 项不符合题意．C 项，y ＝ln x 为增函数，且y ＝x ＋1为增函数，所以y ＝ln (x ＋1)在(－1，1)上为增函数，故C 项不符合题意．D 项，由指数函数可得y ＝2x 为增函数，且y ＝－x 为减函数，所以y ＝2－x 为减函数，故D 项符合题意．3．D 由x 2－4>0得x >2或x <－2，∴f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).4．B ∵a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0，1)， ∴a <c <b .故选B.5．D 由于g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上是减函数，所以a >0；由于f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1，2]上是减函数，且f (x )的对称轴为x ＝a ，则a ≤1.综上有0<a ≤1.故选D.6．C ∵f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23 .故选C.7．ACD ∵函数f (x )＝log a |x －1|在(0，1)单调递减，∴f (x )＝log a (1－x )在(0，1)上单调递减，∵y ＝1－x 在其定义域内是减函数，∴a >1.当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝log a |x －1|＝log a (x －1)，∵y ＝x －1在其定义域内是增函数，且a >1，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，故A 正确，B 错误．∵f (2－x )＝log a |2－x －1|＝log a |x －1|＝f (x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故C 正确；由a >1可知，当a ＝2 022时，f (x )在(0，1)上单调递减，故D 正确．故选ACD.8．C f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝（x ＋2）2－4，x ≥0，4x －x 2＝－（x －2）2＋4，x <0. 由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1，故选C.9．D 方法一 由题意得y ＝x (x －a )在区间(0，1)单调递减，所以x ＝a2 ≥1，解得a ≥2.故选D.方法二 取a ＝3，则y ＝x (x －3)＝(x －32 )2－94 在(0，1)单调递减，所以f (x )＝2x (x －3)在(0，1)单调递减，所以a ＝3符合题意，排除A ，B ，C ，故选D. 10．(－3，－1)∪(3，＋∞)答案解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).11．[－1，1)答案解析：∵f (0)＝log a 3<0，∴0<a <1，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为[－1，1).12．3答案解析：f (x )＝x ＋1x －1 ＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1 ，显然f (x )在[2，5]上单调递减，∴f (x )max＝f (2)＝1＋22－1＝3.13．C 设f (x )＝(1－x )e x －1，x ＞0，则当x ＞0时，f ′(x )＝－e x ＋(1－x )e x ＝－x e x ＜0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (0.1)＜f (0)＝0，即0.9 e 0.1－1＜0，所以0.1e 0.1＜19 ，即a ＜b .令g (x )＝x －ln (1＋x )，x ＞0，则当x ＞0时，g ′(x )＝1－11＋x ＝x 1＋x＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (19 )＞g (0)＝0，即19 －ln (1＋19 )＞0，所以19 ＞－ln 910 ，即b ＞c .令h (x )＝x e x ＋ln (1－x )，0＜x ≤0.1，则h ′(x )＝(1＋x )ꞏe x＋1x －1 ＝（x 2－1）e x ＋1x －1.设t (x )＝(x 2－1)e x ＋1，则当0＜x ≤0.1时，t ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x ＜0，所以t (x )在(0，0.1]上单调递减，所以t (x )＜t (0)＝0，所以当0＜x ≤0.1时，h ′(x )＞0，所以h (x )在(0，0.1]上单调递增，所以h (0.1)＞h (0)＝0，即0.1e 0.1＋ln 0.9＞0，所以0.1e 0.1＞－ln 0.9，即a ＞c ，所以b ＞a ＞c .故选C.14．D ⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|>0，|2x －1|>0⇒x ∈⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠±12，x ∈R ，∴函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝ln |－2x ＋1|－ln |－2x －1|＝ln |2x －1|－ln |2x ＋1|＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，排除A 、C ；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，12 时，f (x )＝ln (2x ＋1)－ln (1－2x )，则f ′(x )＝22x ＋1 － －21－2x ＝41－4x 2 >0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12 单调递增，排除B ；当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12 时，f (x )＝ln (－2x －1)－ln (1－2x )，则f ′(x )＝－2－2x －1 － －21－2x ＝41－4x 2 <0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12 单调递减，∴D 正确． 15．3答案解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫13 x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，∴f (x )在[－1，1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝3.16.⎝⎛⎦⎤0，34 答案解析：∵对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，∴f (x )在定义域R 上为单调递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a ≥（a －3）×1＋4a ，解得0<a ≤34 ，∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，34 .。
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限时作业11 函数的单调性与最值一、选择题1.已知f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a 、b ∈R ,a+b ≤0,则有( )A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 解析:a+b ≤0⇒a ≤-b,b ≤-a ⇒f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a)两式相加即得.答案:D2.(2008江西高考,理3)若函数y ＝f(x)的值域是［21,3］.则函数)(1)()(x f x f x F +=的值域是…( ) A.［21,3］ B.［2,310］ C.［25,310］ D.［3,310］ 解析:令t ＝f(x),则21≤t ≤3,由函数t t t g 1)(+=在区间［21,1］上是减函数,在［1,3］上是增函数,则25)21(=g ,g(1)＝2,310)3(=g ,故值域为［2,310］,选B. 答案:B3.(2008湖南高考,理10)设［x ］表示不超过x 的最大整数(如［2］＝2,［45］＝1),对于给定的n ∈N *,定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ,x ∈［1,+∞),则当x ∈［23,3)时,函数x C 8的值域是( ) A.［316,28］ B.［316,56) C.(4,328)∪［28,56) D.(4,316］∪(328,28］ 解析:依题意,当x ∈［23,2)时,［x ］＝1, 此时x C x 88=∈(4,316］; 当x ∈［2,3)时,［x ］＝2, 此时)1(56)1(788-=-⨯=x x x x C x ∈(328,28］. 因此,当x ∈［23,3)时,函数x C 8的值域是(4,316］∪(328,28］,选D. 答案:D 4.(2008重庆高考,理4)已知函数31++-=x x y 的最大值为M,最小值为m,则M m 的值为…( ) A.41 B.21 C.22 D.23 解析:函数的定义域为［-3,1］,设向量p ＝(1,1),q ＝(x -1,3+x ),则|p |＝2,|q |＝2,而31++-=x x y ＝p ·q ≤|p |·|q |＝22,则y max ＝22而3·1213'+---+-=x x xx y ,所以当x ∈(-3,-1］时y′≥0,函数是增函数,当x ∈(-1,1)时y′＜0,函数是减函数,而当x ＝-3与x ＝1时函数值相等,故y min ＝f(1)＝2,故选C.答案:C5.若函数32)(k x k x x h +-=在(1,+∞)上是增函数,则实数k 的取值范围是( ) A.［-2,+∞) B.［2,+∞) C.(-∞,-2］ D.(-∞,2］ 解析:由h′(x)＝22xk +≥0,得k ≥-2x 2, 由于-2x 2在［1,+∞)内的最大值为-2,于是,实数k 的取值范围是［-2,+∞).答案:A6.对于函数:①f(x)＝lg(|x-2|+1),②f(x)＝(x-2)2,③f(x)＝cos(x+2),判断如下三个命题的真假:命题甲:f(x+2)是偶函数;命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数;命题丙:f(x+2)-f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是…( )A.①③B.①②C.③D.②解析:由命题甲:f(x+2)是偶函数,可知①②满足条件,③不满足;作出①②函数的图象,可知①②都满足命题乙的条件;又①不满足命题丙的条件,所以选D.答案:D二、填空题7.已知f(x)是R 上的偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,则不等式f(x)≤f(3)的解集是________. 解析:如图,因为f(x)是R 上的偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,所以f(x)在［0,+∞)上是增函数,则在［-3,3］范围内f(x)≤f(3).答案:［-3,3］8.设函数f(x)＝ax 3-3x+1(x ∈R ),若对于任意x ∈［-1,1］,都有f(x)≥0成立,则实数a 的值为______.解析:由题意得f′(x)＝3ax 2-3,当a ≤0时,有f′(x)＝3ax 2-3＜0,∴f(x)在［-1,1］上为减函数.∴f(x)最小值＝f(1)＝a-2≥0,解之,得a ≥2(与条件a ≤0矛盾)不符合题意;当a ＞0时,令f′(x)＝0可得a x 1±=,当x ∈(a1-,a 1)时f′(x)＜0,f(x)为减函数; x ∈(-∞,a 1-),(a 1,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)为增函数.由f(-1)＝4-a ≥0可得0＜a ≤4, 又由021131)1(≥-=+-⨯=a a a a a a f 可得a ≥4,综上,可知a ＝4.答案:49.(2008湖南高考,理14)已知函数13)(--=a ax x f (a≠1). (1)若a ＞0,则f(x)的定义域是___________;(2)若f(x)在区间(0,1］上是减函数,则实数a 的取值范围是_________.解析:(1)当a ＞0且a≠1时,由3-ax ≥0得a x 3≤, 即此时函数f(x)的定义域是(-∞,a3］. (2)当a-1＞0,即a ＞1时,要使f(x)在(0,1］上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1＜a ≤3. 当a-1＜0,即a ＜1时,要使f(x)在(0,1］上是减函数,则需-a ＞0,此时a ＜0.综上所述,所求实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］.答案:(1)(-∞,a3］(2)(-∞,0)∪(1,3］ 10.关于函数||1lg )(2x x x f +=(x≠0),有下列命题: ①其图象关于y 轴对称;②当x ＞0时,f(x)是增函数;当x ＜0时,f(x)是减函数;③f(x)的最小值是lg2;④当-1＜x ＜0或x ＞2时,f(x)是增函数;⑤f(x)无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号是__________.解析:因为)(||1lg ||1)(lg )(22x f x x x x x f =+=-+-=-, 所以f(x)是偶函数,关于y 轴对称,①对;)||1|lg(|||1lg )(2x x x x x f +=+=, 当x ＞0时,f(x)＝lg(xx 1+),设x x x g 1)(+=,得211)('xx g -=, 当x ＞1时,g′(x)＞0,xx x g 1)(+=在(1,+∞)上单调递增, 所以f(x)＝lg(xx 1+)在(1,+∞)上单调递增; 当0＜x ＜1时,g′(x)＜0,g(x)＝xx 1+在(0,1)上单调递减, 所以f(x)＝lg(x x 1+)在(0,1)上单调递减; 同理,当x ＜0时,由偶函数的性质可知f(x)在(-1,0)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,函数f(x)＝lg ||12x x +有最小值,最小值为f(1)＝ lg2,无最大值,②⑤错,③④对,所以正确结论为①③④.答案:①③④三、解答题11已知函数f(x)＝ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数,求a 的取值范围.解:求函数f(x)的导数f′(x)＝3ax 2+6x-1.(1)当f′(x)＜0(x ∈R )时,f(x)是减函数.3ax 2+6x-1＜0(x ∈R 0029⇔a ＜0且Δ＝36+12a ＜0⇔a ＜-3.所以,当a ＜-3时,由f′(x)＜0,知f(x)(x ∈R )是减函数.(2)当a ＝-3时,f(x)＝-3x 3+3x 2-x+1＝-3(31-x )3+98, 由函数y ＝x 3在R 上的单调性,可知当a ＝-3时,f(x)(x ∈R )是减函数.(3)当a ＞-3时,在R 上存在一个区间,其上有f′(x)＞0,所以,当a ＞-3时,函数f(x)(x ∈R )不是减函数.综上,所求a 的取值范围是(-∞,-3］.12.已知函数xa a x x f --+=1)((a ∈R 且x≠a). (1)当f(x)的定义域为［a-1,21-a ］时,求证:f(x)的值域为［0,1］;(2)设函数g(x)＝x 2-1+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值.(1)证明:xa x a x a x f -+-=-+--=111)()(. 当a-1≤x ≤21-a 时,21+-a ≤-x ≤-a+1,21≤a-x ≤1,1≤x a -1≤2,∴0≤x a -+-11≤1,即f(x)的值域为［0,1］.(2)解:g(x)＝x 2-1+|x+1-a|(x≠a),①当x ≥a-1且x≠a 时,g(x)＝x 2-1+x+1-a ＝(21+x )2-41-a,如果a-1≥21-,即21≥a ,则函数在［a-1,a)和(a,+∞)上单调递增,∴g(x) min ＝g(a-1)＝(a-1)2-1＝a 2-2a;如果211-<-a ,即a ＜21且a≠21-,则g(x)min ＝g(21-)＝a --41; 当21-=a 时,g(x)的最小值不存在(因为x≠a). ②当x ＜a-1,g(x)＝x 2-1-x-1+a ＝49)21(2-+-a x , 如果a-1＞21,即a ＞23,则g(x)min ＝49)21(-=a g ;如果a-1≤21,即a ≤23,则g(x)在(-∞,a -1］上为减函数,g(x) min ＝g(a-1)＝(a-1)2-1＝a 2-2a.当a ＞23时,(a 2-2a)-(49-a )＝(232-)2＞0. 当a ＜21时,(a 2-2a)-(a -1-4)＝(21-a )2＞0. 综上,得当a ＜21且a≠21-时,g(x)的最小值是a --41;当21≤a ≤23时,g(x)的最小值是a 2-2a;当a ＞23时,g(x)的最小值为49-a ;当21-=a 时,g(x)的最小值不存在.。